Geometría Analítica I: Rotaciones y traslaciones

Por Paola Lizeth Rojas Salazar

Introducción

En este apartado, vamos a continuar con el estudio de las isometrías que se empezaron a analizar en la unidad anterior, las rotaciones y traslaciones.

Encontrando un punto fijo

Recuerda que ya definimos la rotación de un ángulo $\theta$ con centro en $c$ ($\rho_{\theta,c}$), en función de la traslación de $c$ al origen $\tau_c$ y la rotación de $\theta$ en el origen $\rho_\theta$, como: $\rho_{\theta,c}=\tau_c\circ \rho_\theta \circ \tau_{-c}$. Usando matrices, esta expresión se convierte en:

\begin{equation}\rho_{\theta,c}(x)= R_\theta (x-c)+c=R_\theta x+(c-R_\theta c)\end{equation}

Observa que esta expresión es de la forma $Ax+b$ con $b$ constante, por lo que $\rho_{\theta,c} \in Iso^+ (2).

Por otro lado, si el problema se invierte y ahora queremos ver que una función $f(x)=Ax+b \in Iso^+ (2)$ es la rotación de una función en algún centro, debemos encontrar un punto fijo $c$ para el que $f(c)=c$. Es decir:

\begin{equation}c=Ac+b\end{equation}

\begin{equation}c-Ac=b\end{equation}

Esto quiere decir, que debemos encontrar una solución a la ecuación $x-Ax=b$, que se puede reescribir como:

\begin{equation}(I-A)x=b\end{equation}

Por lo que has visto en los capítulos anteriores, esperamos que, al ver esta expresión, hayas recordado que este sistema tiene solución única si y solo si su determinante es distinto de cero, donde su determinante es:

\begin{equation}det(I-R_\theta)=det\begin{pmatrix} 1-\cos(\theta) & \sin(\theta) \\
-\sin(\theta) & 1-\cos(\theta)\end{pmatrix}\end{equation}

Donde puedes comprobar que $det(I-R_\theta)=2(1-\cos(\theta))$.

Lo anterior implica que, si $\theta\neq 0$, entonces $det(I-R_\theta)\neq 0)$, lo que resulta en una solución única para el sistema resultante que es $A=R_\theta$ el punto fijo que estábamos buscando. Finalmente, podemos concluir que $f$ es una rotación.

Centro de rotación para composición de rotaciones

Lo anterior implica el siguiente corolario:

Corolario A: La composición de rotaciones es una nueva rotación.

La nueva pregunta que surge es, ¿cuál es el centro de rotación de la composición de rotaciones? Las siguientes líneas, las dedicaremos a encontrar este nuevo centro de rotación.

Considera $\rho_{\alpha,a}$ y $\rho_{\beta,b}$ las rotaciones de ángulos $\alpha$ y $beta$ y centros en $a$ y $b$ respectivamente. La composición de estas dos rotaciones tiene un ángulo $\alpha + \beta$, pero su centro depende del orden de composición.

Para encontrar el centro de rotación, de forma geométrica, para $\rho_{\beta,b} \circ \rho_{\alpha,a}$, se trazan las líneas que van de $a$ a $b$, después, midiendo los ángulos a partir de esta recta, la línea que pasa por $a$ con ángulo $-\frac{\alpha}{2}$ y la que pasa por $b$ con ángulo $\frac{\beta}{2}$. La intersección de las últimas dos líneas es el nuevo centro de rotación $c$.

Observa que, para la composición $\rho_{\alpha,a} \circ \rho_{\beta,b}$, su nuevo centro de rotación es el reflejado de $c$ respecto de la línea que pasa por $a$ y $b$.

Tarea moral

  1. Verifica que, efectivamente, se cumple que $det(I-R_\theta)=2(1-\cos(\theta))$.
  2. Demuestra el Corolario A.
  3. Como veremos más delante, las homotecias, son transformaciones de la forma $f(x)=kx+b$ donde $k\neq 0$ se conoce como el factor de expansión. Demuestra que las homotecias con $k\neq 1$ tienen un punto fijo (este punto fijo se llama centro de expansión).

Más adelante…

En la siguiente entrada de esta unidad, hablaremos sobre otro tipo de isometrías que ya estudiamos en la unidad anterior, las reflexiones.

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