Introducción
En las unidades anteriores, se dieron las bases para la integración de funciones, así como, la integración de funciones con rigurosidad matemática. En esta unidad se estudiaran varias técnicas de integración para determinar integrales sin demasiada rigurosidad matemática y aunque no se estudiaran todas las técnicas de integración se verán las más relevantes.
Método de sustitución o cambio de variable
La integración por sustitución o cambio de variable, que como bien se menciona, es una técnica de integración que necesita uno o más cambios de variables adecuados en el integrando, de tal forma que la integral sea más sencilla de resolver. Comenzamos enunciando el teorema siguiente, la integración por sustitución.
Teorema: Método de sustitución
Sea
Demostración:
Por hipótesis,
Por otro lado, dado que
Integramos de
Utilizamos nuevamente el teorema fundamental del Cálculo, obteniendo lo siguiente:
Observamos las ecuaciones
Puede quedar no muy claro el cómo utilizar este teorema, por lo que a continuación se ejemplificara con varios ejercicios el método de sustitución.
Ejemplos:
Se hace un cambio de variable para resolver esta integral, cabe destacar que el símbolo para el cambio de variable puede ser cualquiera que guste, por ejemplo cualquier letra del alfabeto o incluso una carita feliz, en la literatura es común utilizar los símbolos de
Para resolver esta integral, proponemos a
Vemos que al hacer el cambio de variable la integral es más sencilla, ya que sabemos que en general cualquier polinomio de grado
Donde
Volviendo a la variable original
Obsérvese que este integral se puede resolver también multiplicando los factores y utilizar la linealidad de la integral, pero esto es un poco más laborioso. Así vemos que este método nos ayuda a resolver integrales fácilmente.
A simple vista esta integral puede ser complicada y necesitar de otros métodos, pero veamos que no es necesario.
Proponemos como cambio de variable:
Esta integral se resuelve como:
Volviendo a la variable original, el resultado es:
Proponemos como cambio de variable:
Vemos en el integrando que solo está el término
Por lo que reescribimos la integral y la resolvemos:
Volviendo a la variable original, se obtiene que la resolución de la integral es:
Vemos en este caso que tenemos una integral definida. Proponemos como cambio de variable:
Al hacer un cambio de variable en las integrales con límites de integración, se tiene que cambiar los límites de integración como sigue: Si
Resolviendo esta integral, sabemos que al cambiar los límites de integración se cambia el signo de la integral [ Hipervinculo: Calculo II-Tema que contiene el cambio de signo al cambiar los límites de integración], entonces tenemos que:
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Resuelve las siguientes integrales utilizando el método de sustitución:
Hint: Hacer la división de polinomios. Hint: Utilizar la identidad y utilizar un cambio de variable.
Más adelante…
Como se mencionó anteriormente, esta técnica de integración facilita resolver algunas integrales utilizando uno o más cambios de variables apropiados para poder resolver la integral como se vio en esta sección, pero en otros casos no se pueden resolver integrales solo utilizando el cambio de variable, en la siguiente sección veremos otro método de integración llamado integración por partes.
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