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Cálculo Diferencial e Integral II: Integrales trigonométricas-Producto de potencias de senos y cosenos

Por Miguel Ángel Rodríguez García

Introducción

En las secciones anteriores vimos dos métodos de integración: el método de cambio de variable y la integración por partes, además, en la sección anterior estudiamos las integrales de las funciones trigonométricas básicas. En esta sección veremos integrales trigonométricas que en el integrando contienen producto de potencias de senos y cosenos.

Integrales trigonométricas-Producto de potencias de senos y cosenos

Las integrales trigonométricas incluyen combinaciones algebraicas de las seis funciones trigonométricas básicas, siempre podemos expresar tales integrales en términos de senos y cosenos.

Comenzamos con las integrales del tipo:

$$\int \sin^{n}(x)\cos^{m}(x)dx$$

Donde $m$ y $n$ son enteros no negativos, es decir, números positivos o cero y $m, \space n \space \epsilon \space \mathbb{Z}$. Para esta integral vamos a obtener 3 casos distintos, veamos el primer caso:

Caso 1: Si $n$ es impar

Entonces sabemos que $n$ se puede escribir como: $n=2k+1$ con $k \space \epsilon \space \mathbb{Z}$, por lo que la integral la podemos reescribir como:

$$\int \sin^{n}(x)\cos^{m}(x)dx=\int \sin^{2k+1}(x)\cos^{m}(x)dx=\int \sin^{2k}(x)\sin(x)\cos^{m}(x)dx$$

$$=\int (\sin^{2}(x))^{k}\sin(x)\cos^{m}(x)dx$$

Utilizamos la siguiente relación:

$$\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1 \Rightarrow \sin^{2}(x)=1-\cos^{2}(x) \tag{1}$$

Sustituimos en la integral, así:

$$\int \sin^{n}(x)\cos^{m}(x)dx= \int (1-\cos^{2}(x))^{k}\cos^{m}(x)\sin(x)dx$$

Para resolver esta integral tomamos el cambio de variable siguiente:

$$u=\cos(x)$$

Veamos un ejemplo en donde se aplica el caso anterior:

  • $\int \sin^{3}(x)dx$

Vemos que la potencia de la función $\sin(x)$ es impar, por lo que podemos usar la relación entre las funciones seno y coseno $(1)$ dando lugar la siguiente integral:

$$\int \sin^{3}(x)dx=\int \sin^{2}(x)\sin(x)dx=\int (1-\cos^{2}(x))\sin(x)dx$$

Utilizamos el cambio de variable que nos sugieren, sea $u=\cos(x) \Rightarrow du=-\sin(x)dx \Rightarrow -du=\sin(x)dx$. La integral se reescribe como:

$$ \int \sin^{3}(x)dx =-\int (1-u^{2})du=\int u^{2}du-\int du=\frac{u^{3}}{3}-u+C$$

Volvemos a la variable original y tenemos que la resolución de la integral es:

$$\int \sin^{3}(x)dx=\frac{\cos^{3}(x)}{3}-\cos(x)+C$$

Caso 2: Si $m$ es impar

Análogamente, al caso anterior, escribimos a $m$ como $m=2k+1$ con $k \space \epsilon \space \mathbb{Z}$, así:

$$\int \sin^{n}(x)\cos^{m}(x)dx=\int \sin^{n}(x)\cos^{2k+1}(x)dx=\int \sin^{n}(x)\cos^{2k}(x)\cos(x)dx$$

Nuevamente, usamos lo siguiente:

$$\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1 \Rightarrow \cos^{2}(x)=1-\sin^{2}(x) \tag{2}$$

Sustituyendo esta relación en la integral a resolver, se obtiene que:

$$\Rightarrow \int \sin^{n}(x)\cos^{m}(x)dx=\int \sin(x)^{n}(1-\sin^{2}(x))^{k}\cos(x)dx$$

Para resolver esta integral se toma el cambio de variable siguiente:

$$u=\sin(x)$$

Veamos un ejemplo en donde se aplica el caso anterior:

  • $\int \sin^{4}(x)\cos^{5}(x)dx$

Vemos que el exponente en el coseno es un número impar por lo que reescribimos el integrando utilizando la relación $(2)$ como:

$$\int \sin^{4}(x)\cos^{4}(x)\cos(x)dx=\int \sin^{4}(x)(1-\sin^{2}(x))^{2}\cos(x)dx$$

Utilizamos el cambio de variable que nos sugiere, sea $u=\sin(x) \Rightarrow du=\cos(x)dx$ la integral se reescribe como:

$$\int u^{4}(1-u^{2})^{2}du=\int u^{4}(1-2u^{2}+u^{4})du=\int u^{4}du-\int 2u^{6}du+\int u^{8}du=\frac{u^{5}}{5}+C_{1}-\frac{2u^{7}}{7}-C_{2}+\frac{u^{9}}{9}+C_{3}$$

Sea $C=C_{1}-C_{2}+C_{3}$

$$\Rightarrow \int u^{4}(1-u^{2})^{2}du=\frac{u^{5}}{5}-\frac{2u^{7}}{7}+\frac{u^{9}}{9}+C$$

Así la resolución de la integral es:

$$\int \sin^{4}(x)\cos^{5}(x)dx=\frac{\sin^{5}(x)}{5}-\frac{2\sin^{7}(x)}{7}-\frac{\sin^{9}(x)}{9}+C$$

Caso 3: si $n$ y $m$ son pares

Entonces a $n$ y $m$ se reescriben como $n=2k$ y $m=2p$ con $k, \space p \space \epsilon \space \mathbb{Z}$, en este caso utilizamos identidades de reducción de potencias [Hipervinculo: Calculo II-Demostración de las siguientes identidades], sustituimos las siguientes relaciones: $$\sin^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2} \tag{3}$$ y $$\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2} \tag{4}$$

Reescribiendo la integral, se tiene que:

$$\int \sin^{n}(x)\cos^{m}(x)dx=\int \sin^{2k}(x)\cos^{2p}(x)dx=\int (\sin^{2}(x))^{k}(\cos^{2}(x))^{p}dx=\int \left ( \frac{1-\cos(2x)}{2} \right )^{k}\left ( \frac{1+\cos(2x)}{2} \right )^{p}dx$$

Por lo que se procede a integrar.

Veamos un ejemplo sencillo en donde se aplica este caso:

  • $\int \sin^{2}(x)\cos^{2}(x)dx$

Utilizamos las sustituciones $(3)$ y $(4)$ como sigue:

$$\int \sin^{2}(x)\cos^{2}(x)dx=\left ( \frac{1-\cos(2x)}{2}\right ) \left (\frac{1+\cos(2x)}{2}\right )=\int \frac{1}{4}dx-\frac{1}{4}\int \cos^{2}(2x)dx \tag{5}$$

La primera integral es directo, en la segunda integral vemos que la potencia en el término de coseno está al cuadrado por lo que podemos sustituir nuevamente la relación $(4)$:

$$\int \cos^{2}(2x)dx=\int \frac{1}{2}(1+\cos(4x))dx=\int \frac{1}{2}dx+\frac{1}{2}\int \cos(4x)dx$$

La primera integral es directa, en la segunda integral utilizamos un cambio de variable, sea $u=4x \Rightarrow du=4dx$ entonces:

$$ \int \frac{1}{2}dx+\frac{1}{2}\int \cos(4x)dx =\frac{x}{2}+C_{2}+\frac{\sin(u)}{8}+C_{3}=\frac{x}{2}+C_{2}+\frac{\sin(4x)}{8}+C_{3}$$

Sustituyendo en $(5)$, tenemos que:

$$\int \sin^{2}(x)\cos^{2}(x)dx=\frac{x}{4}+C_{1}-\frac{1}{4} \left (\frac{x}{2}+C_{2}+\frac{\sin(4x)}{8}+C_{3} \right)$$

Sea $C=C_{1}-C_{2}-C_{3}$, entonces la resolución de la integral es:

$$\int \sin^{2}(x)\cos^{2}(x)dx=\frac{4x}{32}-\frac{\sin(4x)}{32}+C=\frac{1}{32}(4x-\sin(4x))+C$$

Integrales que involucran senos y cosenos de distintos ángulos

Estas integrales son de la forma:

$$\int \cos(mx)\sin(mx)dx$$ $$\int \sin(mx)\sin(nx)dx$$ $$\int \cos(mx)\cos(nx)dx$$

Para resolver estas integrales se recurre a las siguientes identidades trigonométricas:

  1. $$\sin(mx)\sin(nx)=\frac{1}{2}[\cos((m-n)x)-\cos((m+n)x)]$$
  2. $$\cos(mx)\cos(nx)=\frac{1}{2}[\cos((m-n)x)+\cos((m+n)x)]$$
  3. $$\sin(mx)\cos(nx)=\frac{1}{2}[\sin((m-n)x)+\sin((m+n)x)]$$
  4. $$\cos(mx)\sin(nx)=\frac{1}{2}[\sin((m-n)x)-\sin((m+n)x)]$$

[Hipervinculo: Calculo II-Demostración de las anteriores relaciones]

Veamos un ejemplo sencillo:

  • $\int \sin(5x)\cos(4x)dx$

Si comparamos con las identidades trigonométricas mencionadas anteriormente utilizamos la identidad trigonométrica número $(3)$, reescribiendo la integral como:

$$\int \sin(5x)\cos(4x)=\int \frac{1}{2}[\sin((5-4)x)+\sin((5+4)x)]=\frac{1}{2} \int \sin(x) + \frac{1}{2} \int \sin(9x)$$

La primera integral es directa y la segunda integral solo utilizamos un cambio de variable proponiendo $u=9x \Rightarrow \frac{du}{9}=dx$ Asi:

$$\int \sin(5x)\cos(4x)dx=\frac{1}{2}\cos(x)-\frac{1}{2}\frac{1}{9}\cos(9x)+C=\frac{1}{2}\cos(x)-\frac{1}{18}\cos(9x)+C$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

  1. $$\int \sin^{3}(x)\cos^{2}(x)dx$$
  2. $$\int \cos^{5}(2x)dx$$
  3. $$\int \sin^{2}(x)\cos^{4}(x)dx$$
  4. $$\int_{0}^{1} \sin^{4}(x)$$
  5. $$\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} \sqrt{1+\cos(4x)}dx$$ Hint: Utilice la relación $\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}$
  6. $$\int \sin(-3x)\sin(2x)dx$$

Más adelante…

En esta sección vimos integrales trigonométricas que involucran potencias de senos y cosenos mostrando los 3 casos en donde se pueden resolver este tipo de integrales, además, vimos integrales que involucran senos y cosenos de distintos ángulos donde se solucionan con las relaciones vistas. En la siguiente sección veremos integrales trigonométricas que involucran potencias de funciones tangente y secante en el integrando y análogamente a esta sección, tendremos varios casos en donde se pueden resolver las integrales trigonométricas que involucran potencias de funciones tangente y secante.

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