Cálculo Diferencial e Integral II: Integrales trigonométricas básicas

Introducción

Hasta esta sección ya hemos visto dos métodos de integración: cambio de variable e integración por partes, antes de entrar a las integrales trigonométricas o el método de sustitución trigonométrica, hay que saber algunas integrales trigonométricas básicas para entrar a los métodos de integración mencionados.

Integrales trigonométricas básicas

Ya hemos visto dos integrales trigonométricas directas y fundamentales, estas integrales son las siguientes:

$$\int sen(x)dx=-cos(x)+C$$

$$\int cos(x)dx=sen(x)+C$$

Ahora veremos las integrales indefinidas de las 4 funciones trigonométricas básicas restantes utilizando el método de cambio de variable, empecemos con la función $tan(x)$.

  • $$\int tan (x)dx$$

Para integrar esta función sabemos que lo podemos reescribir en término de las funciones $sen(x)$ y $cos(x)$, entonces:

$$\int tan (x)dx=\int \frac{sen(x)}{cos(x)}dx$$

Integramos por el método de sustitución haciendo un cambio de variable.

Sea $u=cos(x) \Rightarrow du=-sen(x)dx \Rightarrow -du=sen(x)dx$ entonces tenemos que:

$$\int tan (x)dx=-\int \frac{du}{u}=-\int \frac{1}{u}du=-ln|u|+C=-ln|cos(x)|+C$$

$$\therefore \int tan (x)dx=-ln|cos(x)|+C$$

  • $$\int cot(x)dx$$

Para resolver esta integral, nuevamente usamos el truco anterior, reescribimos el integrando en términos de las funciones $sen(x)$ y $cos(x)$, entonces:

$$\int cot(x)dx=\int \frac{cos(x)}{sen(x)}dx$$

Hacemos un cambio de variable, sea $u=sen(x) \Rightarrow du=cos(x)dx$ entonces tenemos que:

$$\int cot(x)dx=\int \frac{1}{u}du=ln|u|+C=ln|sen(x)|+C$$

$$\therefore \int cot(x)dx=ln|sen(x)|+C$$

  • $$\int sec(x)dx$$

Al resolver las integrales anteriores talvez este tentado por cambiar la función $sec(x)$ en términos de las funciones $sen(x)$ y $cos(x)$, pero esto no nos sirve, ya que al hacer esto no encontraremos un cambio de variable adecuado, recordemos que $sec(x)=\frac{1}{cos(x)}$. Para resolver esta integral tenemos que multiplicar por $1$, en donde tiene que ser un uno adecuado, veamos:

$$\int sec(x)dx=\int sec(x)\left ( \frac{sec(x)+tan(x)}{sec(x)+tan(x)}\right )dx=\int \frac{sec^{2}(x)+sec(x)tan(x)}{sec(x)+tan(x)}dx$$

Integramos por el método de sustitución, hacemos un cambio de variable.

Sea $u=sec(x)+tan(x) \Rightarrow du=(sec(x)tan(x)+sec^{2}(x))dx$, entonces:

$$ \int sec(x)dx =\int \frac{1}{u}du=ln|u|+C=ln|sec(x)+tan(x)|+C$$

$$\therefore \int sec(x)dx=ln|sec(x)+tan(x)|+C$$

  • $$\int csc(x)dx$$

Análogamente, al ejercicio anterior, multiplicamos por un uno adecuado:

$$\int csc(x)dx=\int csc(x) \left ( \frac{csc(x)+cot(x)}{csc(x)+cot(x)} \right )dx=\int \frac{csc^{2}(x)+csc(x)cot(x)}{csc(x)+cot(x)}dx$$

Hacemos un cambio de variable.

Sea $u=csc(x)+cot(x) \Rightarrow du=(-csc(x)cot(x)-csc^{2}(x))dx=-(csc(x)cot(x)+csc^{2}(x))dx$

$$\int csc(x)dx=-\int \frac{1}{u}du=-ln|u|+C=-ln|csc(x)+cot(x)|+C$$

$$\therefore \int csc(x)dx=-ln|csc(x)+cot(x)|+C$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Resuelve las siguientes integrales:

  1. $$\int (4sen(x)-4sec^{2}(x))dx$$
  2. $$\int cos(2x-6)dx$$
  3. $$\int e^{x}cos(e^{x})dx$$
  4. $$\int csc(3x+1)dx$$
  5. $$\int (tan(5x)+xcot(4x^{2}+1)+sec(7x+3))dx$$

Más adelante…

Aunque esta sección solo vimos integrales trigonométricas básicas, en las siguientes secciones veremos el método de integrales trigonométricas que contienen producto de potencias de funciones $sen(x)$ y $cos(x)$, producto de potencias de funciones $tan(x)$ y $cot(x)$ y el método por sustitución trigonométrica, por lo que nos serán útiles las integrales que vimos en esta sección para resolver las integrales por venir.

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