Cálculo Diferencial e Integral II: Integrales trigonométricas-Producto de potencias de senos y cosenos

Introducción

En las secciones anteriores vimos dos métodos de integración: el método de cambio de variable y la integración por partes, además, en la sección anterior estudiamos las integrales de las funciones trigonométricas básicas. En esta sección veremos integrales trigonométricas que en el integrando contienen producto de potencias de senos y cosenos.

Integrales trigonométricas-Producto de potencias de senos y cosenos

Las integrales trigonométricas incluyen combinaciones algebraicas de las seis funciones trigonométricas básicas, siempre podemos expresar tales integrales en términos de senos y cosenos.

Comenzamos con las integrales del tipo:

$$\int sen^{n}(x)cos^{m}(x)dx$$

Donde $m$ y $n$ son enteros no negativos, es decir, números positivos o cero y $m, \space n \space \epsilon \space \mathbb{Z}$. Para esta integral vamos a obtener 3 casos distintos, veamos el primer caso:

Caso 1: Si $n$ es impar

Entonces sabemos que $n$ se puede escribir como: $n=2k+1$ con $k \space \epsilon \space \mathbb{Z}$, por lo que la integral la podemos reescribir como:

$$\int sen^{n}(x)cos^{m}(x)dx=\int sen^{2k+1}(x)cos^{m}(x)dx=\int sen^{2k}(x)sen(x)cos^{m}(x)dx$$

$$=\int (sen^{2}(x))^{k}sen(x)cos^{m}(x)dx$$

Utilizamos la siguiente relación:

$$sen^{2}(x)+cos^{2}(x)=1 \Rightarrow sen^{2}(x)=1-cos^{2}(x) \tag{1}$$

Sustituimos en la integral, así:

$$\int sen^{n}(x)cos^{m}(x)dx= \int (1-cos^{2}(x))^{k}cos^{m}(x)sen(x)dx$$

Para resolver esta integral tomamos el cambio de variable siguiente:

$$u=cos(x)$$

Veamos un ejemplo en donde se aplica el caso anterior:

  • $\int sen^{3}(x)dx$

Vemos que la potencia de la función $sen(x)$ es impar, por lo que podemos usar la relación entre las funciones seno y coseno $(1)$ dando lugar la siguiente integral:

$$\int sen^{3}(x)dx=\int sen^{2}(x)sen(x)dx=\int (1-cos^{2}(x))sen(x)dx$$

Utilizamos el cambio de variable que nos sugieren, sea $u=cos(x) \Rightarrow du=-sen(x)dx \Rightarrow -du=sen(x)dx$. La integral se reescribe como:

$$ \int sen^{3}(x)dx =-\int (1-u^{2})du=\int u^{2}du-\int du=\frac{u^{3}}{3}-u+C$$

Volvemos a la variable original y tenemos que la resolución de la integral es:

$$\int sen^{3}(x)dx=\frac{cos^{3}(x)}{3}-cos(x)+C$$

Caso 2: Si $m$ es impar

Análogamente, al caso anterior, escribimos a $m$ como $m=2k+1$ con $k \space \epsilon \space \mathbb{Z}$, así:

$$\int sen^{n}(x)cos^{m}(x)dx=\int sen^{n}(x)cos^{2k+1}(x)dx=\int sen^{n}(x)cos^{2k}(x)cos(x)dx$$

Nuevamente, usamos lo siguiente:

$$sen^{2}(x)+cos^{2}(x)=1 \Rightarrow cos^{2}(x)=1-sen^{2}(x) \tag{2}$$

Sustituyendo esta relación en la integral a resolver, se obtiene que:

$$\Rightarrow \int sen^{n}(x)cos^{m}(x)dx=\int sen(x)^{n}(1-sen^{2}(x))^{k}cos(x)dx$$

Para resolver esta integral se toma el cambio de variable siguiente:

$$u=sen(x)$$

Veamos un ejemplo en donde se aplica el caso anterior:

  • $\int sen^{4}(x)cos^{5}(x)dx$

Vemos que el exponente en el coseno es un número impar por lo que reescribimos el integrando utilizando la relación $(2)$ como:

$$\int sen^{4}(x)cos^{4}(x)cos(x)dx=\int sen^{4}(x)(1-sen^{2}(x))^{2}cos(x)dx$$

Utilizamos el cambio de variable que nos sugiere, sea $u=sen(x) \Rightarrow du=cos(x)dx$ la integral se reescribe como:

$$\int u^{4}(1-u^{2})^{2}du=\int u^{4}(1-2u^{2}+u^{4})du=\int u^{4}du-\int 2u^{6}du+\int u^{8}du=\frac{u^{5}}{5}+C_{1}-\frac{2u^{7}}{7}-C_{2}+\frac{u^{9}}{9}+C_{3}$$

Sea $C=C_{1}-C_{2}+C_{3}$

$$\Rightarrow \int u^{4}(1-u^{2})^{2}du=\frac{u^{5}}{5}-\frac{2u^{7}}{7}+\frac{u^{9}}{9}+C$$

Así la resolución de la integral es:

$$\int sen^{4}(x)cos^{5}(x)dx=\frac{sen^{5}(x)}{5}-\frac{2sen^{7}(x)}{7}-\frac{sen^{9}(x)}{9}+C$$

Caso 3: si $n$ y $m$ son pares

Entonces a $n$ y $m$ se reescriben como $n=2k$ y $m=2p$ con $k, \space p \space \epsilon \space \mathbb{Z}$, en este caso utilizamos identidades de reducción de potencias [Hipervinculo: Calculo II-Demostración de las siguientes identidades], sustituimos las siguientes relaciones: $$sen^{2}(x)=\frac{1-cos(2x)}{2} \tag{3}$$ y $$cos^{2}(x)=\frac{1+cos(2x)}{2} \tag{4}$$

Reescribiendo la integral, se tiene que:

$$\int sen^{n}(x)cos^{m}(x)dx=\int sen^{2k}(x)cos^{2p}(x)dx=\int (sen^{2}(x))^{k}(cos^{2}(x))^{p}dx=\int \left ( \frac{1-cos(2x)}{2} \right )^{k}\left ( \frac{1+cos(2x)}{2} \right )^{p}dx$$

Por lo que se procede a integrar.

Veamos un ejemplo sencillo en donde se aplica este caso:

  • $\int sen^{2}(x)cos^{2}(x)dx$

Utilizamos las sustituciones $(3)$ y $(4)$ como sigue:

$$\int sen^{2}(x)cos^{2}(x)dx=\left ( \frac{1-cos(2x)}{2}\right ) \left (\frac{1+cos(2x)}{2}\right )=\int \frac{1}{4}dx-\frac{1}{4}\int cos^{2}(2x)dx \tag{5}$$

La primera integral es directo, en la segunda integral vemos que la potencia en el término de coseno está al cuadrado por lo que podemos sustituir nuevamente la relación $(4)$:

$$\int cos^{2}(2x)dx=\int \frac{1}{2}(1+cos(4x))dx=\int \frac{1}{2}dx+\frac{1}{2}\int cos(4x)dx$$

La primera integral es directa, en la segunda integral utilizamos un cambio de variable, sea $u=4x \Rightarrow du=4dx$ entonces:

$$ \int \frac{1}{2}dx+\frac{1}{2}\int cos(4x)dx =\frac{x}{2}+C_{2}+\frac{sen(u)}{8}+C_{3}=\frac{x}{2}+C_{2}+\frac{sen(4x)}{8}+C_{3}$$

Sustituyendo en $(5)$, tenemos que:

$$\int sen^{2}(x)cos^{2}(x)dx=\frac{x}{4}+C_{1}-\frac{1}{4} \left (\frac{x}{2}+C_{2}+\frac{sen(4x)}{8}+C_{3} \right)$$

Sea $C=C_{1}-C_{2}-C_{3}$, entonces la resolución de la integral es:

$$\int sen^{2}(x)cos^{2}(x)dx=\frac{4x}{32}-\frac{sen(4x)}{32}+C=\frac{1}{32}(4x-sen(4x))+C$$

Integrales que involucran senos y cosenos de distintos ángulos

Estas integrales son de la forma:

$$\int cos(mx)sen(mx)dx$$ $$\int sen(mx)sen(nx)dx$$ $$\int cos(mx)cos(nx)dx$$

Para resolver estas integrales se recurre a las siguientes identidades trigonométricas:

  1. $$sen(mx)sen(nx)=\frac{1}{2}[cos((m-n)x)-cos((m+n)x)]$$
  2. $$cos(mx)cos(nx)=\frac{1}{2}[cos((m-n)x)+cos((m+n)x)]$$
  3. $$sen(mx)cos(nx)=\frac{1}{2}[sen((m-n)x)+sen((m+n)x)]$$
  4. $$cos(mx)sen(nx)=\frac{1}{2}[sen((m-n)x)-sen((m+n)x)]$$

[Hipervinculo: Calculo II-Demostración de las anteriores relaciones]

Veamos un ejemplo sencillo:

  • $\int sen(5x)cos(4x)dx$

Si comparamos con las identidades trigonométricas mencionadas anteriormente utilizamos la identidad trigonométrica número $(3)$, reescribiendo la integral como:

$$\int sen(5x)cos(4x)=\int \frac{1}{2}[sen((5-4)x)+sen((5+4)x)]=\frac{1}{2} \int sen(x) + \frac{1}{2} \int sen(9x)$$

La primera integral es directa y la segunda integral solo utilizamos un cambio de variable proponiendo $u=9x \Rightarrow \frac{du}{9}=dx$ Asi:

$$\int sen(5x)cos(4x)dx=\frac{1}{2}cos(x)-\frac{1}{2}\frac{1}{9}cos(9x)+C=\frac{1}{2}cos(x)-\frac{1}{18}cos(9x)+C$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

  1. $$\int sen^{3}(x)cos^{2}(x)dx$$
  2. $$\int cos^{5}(2x)dx$$
  3. $$\int sen^{2}(x)cos^{4}(x)dx$$
  4. $$\int_{0}^{1} sen^{4}(x)$$
  5. $$\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} \sqrt{1+cos(4x)}dx$$ Hint: Utilice la relación $cos^{2}(x)=\frac{1+cos(2x)}{2}$
  6. $$\int sen(-3x)sen(2x)dx$$

Más adelante…

En esta sección vimos integrales trigonométricas que involucran potencias de senos y cosenos mostrando los 3 casos en donde se pueden resolver este tipo de integrales, además, vimos integrales que involucran senos y cosenos de distintos ángulos donde se solucionan con las relaciones vistas. En la siguiente sección veremos integrales trigonométricas que involucran potencias de funciones tangente y secante en el integrando y análogamente a esta sección, tendremos varios casos en donde se pueden resolver las integrales trigonométricas que involucran potencias de funciones tangente y secante.

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