Cálculo Diferencial e Integral II: Integración de funciones racionales por fracciones parciales

Introducción

En la sección anterior vimos el método de sustitución trigonométrica que es un método que utiliza sustituciones con funciones básicas trigonométricas para poder resolver ciertos tipos de integrales, en esta sección mostraremos como integrar cualquier función racional como una suma de fracciones más simples llamadas fracciones parciales y que son más fáciles de integrar, a este método se le denomina el método por fracciones parciales.

Método de las fracciones parciales

Considérese una función racional: $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

Donde $P(x)$ y $Q(x)$ son polinomios de grado $n$ y $m$ respectivamente, es posible reescribir el polinomio $f(x)$ si el grado de $P(x)$ es menor que el grado de $Q(x)$, es decir, $n < m$.

Al reescribir la función $f(x)$ como combinación lineal de más polinomios se le conoce como método de fracciones parciales, así, al integrar la función $f(x)$ se integran estos polinomios facilitando la integración en algunos casos.

A continuación veremos los casos en los que se puede utilizar este método

Caso 1: El denominador $Q(x)$ es un producto de factores lineales distintos

Como los factores del polinomio $Q(x)$ son productos de factores lineales distintos, entonces podemos escribir a $Q(x)$ como: $(a_{1}x+b_{1})(a_{2}x+b_{2})….(a_{k}x+b_{k})$ donde ningún factor se repite y ningún factor es un múltiplo constante de otro, entonces existen constantes $A_{1}, A_{2}…., A_{k}$ tales que:

$$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A_{1}}{a_{1}x+b_{1}}+\frac{A_{2}}{a_{2}x+b_{2}}+….+\frac{A_{k}}{a_{k}x+b_{k}}$$

Veamos el ejemplo siguiente.

  • $\int \frac{1}{x^{2}-5x+6}dx$

Notamos que el grado del numerador es menor que el grado del denominador, pero para utilizar el caso anterior podemos reescribir el denominador como sigue:

$$x^{2}-5x+6=(x-3)(x-2)$$

Lo cual los factores son lineales, entonces podemos usar las fracciones parciales como:

$$\frac{1}{x^{2}-5x+6}=\frac{1}{(x-3)(x-2)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{(x-2)}=\frac{A(x-2)+B(x-3)}{(x-3)(x-2)}$$

Tenemos que identificar los valores de las variables $A$ y $B$.

Observamos la igualdad, vemos que se debe tener que tanto los denominadores y los numeradores de ambos lados de la igualdad deben ser iguales respectivamente, por lo que:

$$1=A(x-2)+B(x-3)=Ax-2A+Bx-3B=x(A+B)-2A-3B$$

$$1= x(A+B)-2A-3B $$

Vemos que: $A+B=0$ ya que no hay un factor de $x$ en el lado izquierdo de la igualdad $\Rightarrow A=-B$

Por otro lado: $1=-2A-3B=-2(-B)-3(B) \Rightarrow B=-1 \Rightarrow A=1$

Por lo que la integral se reescribe como:

$$\int \frac{1}{x^{2}-5x+6}dx=\int \frac{1}{(x-3)}-\frac{1}{(x-2)}dx=\int \frac{1}{(x-3)}dx-\int \frac{1}{(x-2)}dx$$

Estas integrales se pueden resolver por el método de sustitución, quedando como resultado:

$$\int \frac{1}{(x-3)}dx-\int \frac{1}{(x-2)}dx=ln(x-3)-ln(x-2)+C$$

$$\therefore \int \frac{1}{x^{2}-5x+6}dx =ln(x-3)-ln(x-2)+C$$

Caso 2: El denominador es un producto de factores lineales algunos de los cuales se repiten

Suponga que el primer factor lineal: $a_{1}x+b_{1}$ se repite $k$ veces, es decir, el factor lineal está elevado a la $k$, por lo que podemos usar las fracciones parciales como:

$$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A_{1}}{a_{1}x+b_{1}}+\frac{A_{2}}{(a_{1}x+b_{1})^{2}}+….+\frac{A_{k}}{(a_{1}x+b_{1})^{k}}$$

Veamos un ejemplo.

  • $\int \frac{5x^{2}-36x+48}{x(x-4)^{2}}dx$

Vemos que el denominador es de grado mayor que el nominador y que el factor $(x-4)$ se repite dos veces, utilizando lo visto del caso $(2)$ y el caso $(1)$, tenemos que:

$$\frac{5x^{2}-36x+48}{x(x-4)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-4}+\frac{C}{(x-4)^{2}}$$

Hacemos la suma de las fracciones:

$$\frac{A(x-4)^{2}}{x(x-4)^{2}}+\frac{Bx(x-4)}{x(x-4)^{2}}+\frac{Cx}{x(x-4)^{2}}=\frac{A(x-4)^{2}+Bx(x-4)+Cx}{x(x-4)^{2}}$$

Vemos que:

$5x^{2}-36x+48=A(x-4)^{2}+Bx(x-4)+Cx=A(x^{2}-8x+16)+Bx(x-4)+Cx=x^{2}(A+B)+x(-8A-4B+C)+16A$

$\Rightarrow 5=A+B$

$-36=-8A-AB+C$

$48=16A$

Resolviendo este sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas tenemos que:

$$A=3 \Rightarrow B=2 \Rightarrow C=-4$$

Así la integral se reescribe como:

$$\int \frac{5x^{2}-36x+48}{x(x-4)^{2}}dx=\int \left (\frac{3}{x}+\frac{2}{x-4}-\frac{4}{(x-4)^{2}} \right )dx=\int \frac{3}{x}dx+\int \frac{2}{x-4}dx-\int \frac{4}{(x-4)^{2}}dx$$

Resolvemos estas integrales por el método de sustitución resultando:

$$\int \frac{5x^{2}-36x+48}{x(x-4)^{2}}dx=3ln(x)+2ln(x-4)+\frac{4}{x-4}+C$$

Caso 3: El denominador contiene un factor cuadrático irreducible, ninguno de los cuales se repite

Si el denominador $Q(x)$ tiene un factor $ax^{2}+bx+c$ irreducible, entonces se tendrá un término de la forma;

$$\frac{1}{Q(x)}=\frac{Ax+B}{ax^{2}+bx+c}$$

Veamos un ejemplo donde se use este caso, pero sin integrar la función $f(x)$, ya que esta entrada se haría un poco larga y tediosa.

  • $\frac{4x^2-8x+1}{(x+2)(x^{2}-2x+3)}$

Combinando lo visto del caso $1$ y caso $3$ tenemos que:

$$\frac{4x^2-8x+1}{(x+2)(x^{2}-2x+3)}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{Bx+C}{(x^{2}-2x+3)}=\frac{A(x^{2}-2x+3)+(Bx+C)(x+2)}{(x+2)(x^{2}-2x+3)}$$

$\Rightarrow 4x^2-8x+1=A(x^{2}-2x+3)+(Bx+C)(x+2)=Ax^{2}-2Ax+3A+Bx^{2}+2Bx+Cx+2C$

$\Rightarrow 4x^2-8x+1=x^{2}(A+B)+x(-2A+2B+C)+3A+2C$

$\Rightarrow 4=A+B$

$-8=-2A+2B+C$

$1=3A+2C$

Resolviendo este sistema de 3 ecuaciones y 3 variables tenemos que:

$$A=3 \Rightarrow B=1\Rightarrow C=-4$$

Así podemos reescribir la división polinómica como:

$$\frac{4x^2-8x+1}{(x+2)(x^{2}-2x+3)}=\frac{3}{x+2}+\frac{x-4}{x^{2}-2x+3}$$

Caso 4: El denominador contiene un factor cuadrático irreducible que se repite $k$ veces

Si $Q(x)$ tiene un factor $ax^{2}+bx+c$ irreducible y se repite $k$ veces, entonces se tendrá la siguiente forma:

$$\frac{1}{Q(x)}=\frac{A_{1}x+B_{1}}{ax^{2}+bx+c}+\frac{A_{2}x+B_{2}}{(ax^{2}+bx+c)^{2}}+….+\frac{A_{k}x+B_{k}}{(ax^{2}+bx+c)^{k}}$$

Veamos un ejemplo utilizando este caso sin integrar.

  • $\frac{1-x+2x^2-x^3}{x(x^{2}+1)^{2}}$

De los casos anteriores tenemos que:

$$\frac{1-x+2x^2-x^3}{x(x^{2}+1)^{4}}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}+\frac{Dx+E}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{A(x^{2}+1)^{2}+(Bx+C)x(x^{2}+1)+x(Dx+E)}{x(x^{2}+1)^{2}}$$

$\Rightarrow 1-x+2x^2-x^3=A(x^{2}+1)^{2}+(Bx+C)x(x^{2}+1)+x(Dx+E)=A(x^{4}+2x^{2}+1)+B(x^{2}+Cx)(x^2+1)+Dx^{2}+Ex$

$=Ax^{4}+2Ax^{2}+A+Bx^{4}+Bx^{2}+C^{3}+Cx+Dx^{2}+Ex=(A+B)x^{4}+Cx^{3}+x^{2}(2A+B+D)+(C+E)x+A$

$\Rightarrow 0=A+B$

$-1=C$

$2=2A+B+D$

$1=C+E$

$1=A$

Resolviendo este sistema de ecuaciones con 5 incógnitas y 5 ecuaciones, vemos que: $A=1$ y $C=-1 \Rightarrow B=1$, $D=1$ y $E=0$

Así tenemos que:

$$\frac{1-x+2x^2-x^3}{x(x^{2}+1)^{4}}=\frac{1}{x}+\frac{-x-1}{x^{2}+1}+\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Resolver las siguientes integrales:

  1. $$\int \frac{x^{2}+4x+1}{(x-1)(x+1)(x+3)}dx$$
  2. $$\int \frac{6x+7}{(x+2)^{2}}dx$$
  3. $$\int \frac{2x^{2}-4x-8}{(x^{2}-x)(x^2+4)}dx$$
  4. $$\int \frac{5x^{2}+20x+6}{x^{3}+2x^{2}+x}dx$$
  5. $$\frac{4x}{(x^{2}+1)(x^{2}+2x+3)}dx$$

Más adelante…

Aunque el método de fracciones parciales es un poco laborioso, es un gran método para resolver este tipo de integrales con funciones racionales, utilizando también el método de fracciones parciales en el cual se divide en 4 casos diferentes para que la función racional sea más sencilla de integrar. En la siguiente sección comenzaremos a ver algunos métodos numéricos para la integral.

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