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Cálculo Diferencial e Integral II: Series alternantes y el criterio de Leibniz

Por Miguel Ángel Rodríguez García

Introducción

En la sección anterior vimos unas series especiales llamadas p-series, en esta sección veremos otras series especiales llamadas series alternantes, que, como bien dice su nombre, son series cuyos términos van alternando el valor de su signo.

Series alternantes

Una serie alternante puede tener la forma siguiente:

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} b_{n} = b_{1} - b_{2} + b_{3} - b_{4} + b_{5} - \dots . .$

Como vemos, la serie va alternando sus signos para cada $n$ .

Existe un teorema de convergencia para estas series alternantes y se llama el teorema de Leibniz, el criterio de Leibniz o el criterio de la serie alternante, enunciado por el siguiente teorema.

Teorema. (Criterio de Leibniz o criterio de la serie alternante)

Si ${a_{n}}$ es una sucesión monótona decreciente tal que $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ , entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} a_{n}$ converge.

Demostración:

Consideramos ${S_{2 n}}$ donde ${S_{n}}$ son las sumas parciales de $a_{n}$ , como $a_{n}$ es una serie alternante entonces:

$S_{1} = a_{1}$

$S_{2} = a_{1} - a_{2}$

$S_{3} = a_{1} - a_{2} + a_{3}$

$S_{4} = a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4}, \dots .,$

$S_{2 n} = (a_{1} - a_{2}) + (a_{3} - a_{4}) +, \dots ., + (a_{2 n - 1} - a_{2 n})$

Por otro lado:

$S_{2 n + 2} = (a_{1} - a_{2}) + (a_{3} - a_{4}) +, \dots ., + (a_{2 n - 1} - a_{2 n}) + (a_{2 n + 1} - a_{2 n + 2})$

Como la sucesión es monótona decreciente:

$\Rightarrow a_{2 n + 1} \geq a_{2 n + 2} \Rightarrow a_{2 n + 1} - a_{2 n + 2} \geq 0$ .

Ya que estamos sumando un número positivo entonces:

$\Rightarrow S_{2 n + 2} \geq S_{2 n}$

$\Rightarrow {S_{2 n}}$ es decreciente, ahora:

$S_{2 n} = a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + a_{5} + \dots .$

$\begin{matrix} (1) & = a_{1} - (a_{2} - a_{3}) -, \dots ., - (a_{2 n - 2} - a_{2 n - 1}) - a_{2 n} \end{matrix}$

Como $a_{n} \geq a_{n + 1}$ de la anterior relación $(1)$ vemos que las suma parcial $S_{n}$ es más pequeña, ya que es una serie decreciente, entonces:

$S_{2 n} \leq a_{1} \forall n$

Por lo que $a_{1}$ es una cota superior de ${S_{2 n}} \Rightarrow S_{2 n}$ converge, por lo que consideremos a $L$ como:

$lim_{n \to \infty} S_{2 n} = L$

Observemos que $\forall n S_{2 n + 1} = S_{2 n} + a_{2 n + 1}$ , y que:

$lim_{n \to \infty} a_{n} = 0 \Rightarrow lim_{n \to \infty} a_{2 n + 1} = 0$

Por hipótesis, por lo que:

$\Rightarrow lim_{n \to \infty} S_{2 n + 1} = lim_{n \to \infty} (S_{2 n} + a_{2 n + 1})$

$= lim_{n \to \infty} S_{2 n} + lim_{n \to \infty} a_{2 n + 1} = L + 0 = L$

$∴ lim_{n \to \infty} S_{2 n + 1} = L y lim_{n \to \infty} S_{2 n} = L \Rightarrow lim_{n \to \infty} S_{n} = L$

$∴ \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n + 1} a_{n} c o n v e r g e$

Ejemplos

Diga si las siguientes series convergen o divergen.

$\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{1}{n}$

Para utilizar el criterio de Leibniz tenemos que ver que sea decreciente, pero claramente la sucesión $\frac{1}{n}$ es decreciente, entonces tomando el límite tenemos que:

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

$∴ \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{1}{n} c o n v e r g e$

$\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{1}{n^{2} + 1}$

Veamos si es decreciente:

Sea $a_{n} = \frac{1}{n^{2} + 1}$ , Como $n > 0$ entonces:

$n^{2} < (n + 1)^{2} \Rightarrow n^{2} + 1 < (n + 1)^{2} + 1 \Rightarrow \frac{1}{(n + 1)^{2}} > \frac{1}{(n + 1)^{2} + 1}$

$∴ a_{n} > a_{n + 1}$

Por tanto, $a_{n}$ es decreciente, sabemos que el límite:

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2} + 1} = 0$

Por el criterio de leibniz:

$\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{1}{n^{2} + 1} c o n v e r g e$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

$\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{1}{2 n + 1}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{3 n - 1}{2 n + 1}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{1}{l n (n + 4)}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{n}{\sqrt{n^{3} + 2}}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{n}{10^{n}}$

Más adelante…

En esta sección vimos el criterio de Leibniz que se aplica a las series alternantes y que estas series tiene que ser monótonamente decreciente y que su límite cuando $n \to \infty$ sea cero para decir si la serie es convergente o divergente, en la siguiente sección veremos más criterios de convergencia que se pueden aplicar a las series alternantes, estos criterios son el criterio de convergencia absoluta.

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Cálculo Diferencial e Integral II: P-Series

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la sección anterior vimos el criterio de la integral, en esta sección veremos unas series especiales llamadas p-series o series-p.

Ya hemos visto algunas series que llevan un nombre en específico, por mencionar algunas, son:

Series armónicas

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots .$

Series telescópicas

$\sum_{n = 0}^{\infty} (b_{n} - b_{n - 1})$

Series geométricas

$\sum_{n = 0}^{\infty} a r^{n} = \frac{a}{1 - r}$

Series alternadas (el término cambia de signo para cada $n$ )

$\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n + 1} \frac{1}{n}$

Ahora veamos otro tipo de series.

P-series

Definición. Las p-series se definen de la siguiente manera:

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} = 1 + \frac{1}{2^{p}} + \dots . + \frac{1}{n^{p}} + \dots .$

Donde $p$ es cualquier número real mayor a cero. Para ver en que casos convergen estas series, enunciamos el siguiente teorema.

Teorema. (Convergencia de las p-series)

La p-serie dada como:

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$

Converge si $p > 1$ y diverge si $0 \leq p \leq 1$ .

Demostración:

Tomamos la siguiente función:

$f (x) = \frac{1}{x^{p}}$

Si $x ϵ [1, \infty), \Rightarrow f (x)$ es continua en $[1, \infty)$ . Veamos si es decreciente, para ello derivamos:

$f^{'} (x) = - p x^{- p - 1} = - p x^{- (p + 1)} = \frac{- p}{x^{p + 1}}$

$\forall x ϵ [1, \infty), x^{p + 1} > 0 y p > 1$

Por hipótesis.

$∴ f^{'} (x) = \frac{- p}{x^{p + 1}}$

Es decreciente en el intervalo $[1, \infty)$ .

Como $f (x)$ es continua, positiva y decreciente, entonces podemos aplicar el criterio de la integral, ya que sabemos que:

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} d x c o n v e r g e \Leftrightarrow p > 1$

$\Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} c o n v e r g e \Leftrightarrow p > 1$

En otro caso diverge.

$∴ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} c o n v e r g e$

Si $p > 1$ y diverge si $0 \leq p \leq 1$ .

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

Diga si las siguientes series convergen o divergen.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{3 n^{2} - 4 n + 5}$

Sea ${b_{n}} = \frac{1}{n^{2}}$ .

Por p-series $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ converge ya que $p = 2$ .

Consideremos el criterio de comparación del límite, por lo que proponemos la serie anterior, entonces:

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^{2}}}{\frac{1}{3 n^{2} - 4 n + 5}} = lim_{n \to \infty} \frac{3 n^{2} - 4 n + 5}{n^{2}} = 3 \neq 0$

Como $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ converge, entonces:

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{3 n^{2} - 4 n + 5} c o n v e r g e$

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} - 10}{4 n^{5} + n^{3}}$

Tomamos la siguiente sucesión ${b_{n}} = \frac{1}{n^{3}}$

Entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}$ converge por p-series ya que $p = 3$ .

Consideramos la sucesión anterior para aplicar el criterio de comparación del límite como sigue:

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{n^{3}}{\frac{n^{2} - 10}{4 n^{5} + n^{3}}}} = lim_{n \to \infty} \frac{4 n^{5} + n^{3}}{(n^{2} - 10) n^{5}} = lim_{n \to \infty} \frac{4 n^{5} + n^{3}}{n^{5} - 10 n^{7}} = 4 \neq 0$

$∴$ Por el criterio de comparación en el límite:

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} - 10}{4 n^{5} + 10 n^{3}} c o n v e r g e$

Tarea moral

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 n + 1)^{3}}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} - \frac{1}{8^{n}}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{3} + 1}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} - \frac{8}{n}$

Más adelante…

En esta sección vimos los tipos de series que ya hemos visto, pero faltan por ver unos tipos de series más que se ven en general en los cursos de cálculo que más adelante los veremos, en la siguiente sección veremos las series alternantes, aunque ya las definimos en esta sección, la veremos con más detalle en la siguiente entrada.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Criterio de la integral

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la sección anterior vimos dos criterios de convergencia para las series, el criterio de la raíz y el criterio de la razón. En esta sección veremos el criterio de la integral enunciado el siguiente teorema.

Criterio de la integral

Teo: (Criterio de la integral)

Sea $f$ una función continua, positiva y decreciente en $[1, \infty)$ y sea ${a_{n}}$ una sucesión tal que $a_{n} = f (n)$ entonces:

$\sum_{n = \infty}^{\infty} a_{n} c o n v e r g e \Leftrightarrow \int_{1}^{\infty} f (x) d x c o n v e r g e$

Demostración:

Figura 1: Función decreciente en el intervalo $[1, \infty]$ (curva azul), área del valor n-esimo de la sucesión $a_{n}$ con altura $f (n)$ (figura de la izquierda), área del valor n-esimo de la sucesión $a_{n + 1}$ con altura $f (n + 1)$ (figura de la derecha).

$\Rightarrow ⌟$

Supongamos que $\sum_{i = 1}^{n} a_{n}$ converge.

De la figura $(1)$ vemos que el área del rectángulo con altura $f (n)$ (figura de la izquierda) es mayor que el área bajo la curva entre $n$ y $n + 1$ , en donde se interpretan a estos rectángulos como el área del valor n-esimo de la sucesión $a_{n}$ .

Matemáticamente, podemos interpretar lo anterior como:

$\Rightarrow a_{n} \geq \int_{n}^{n + 1} f (x) d x$

Si hacemos lo anterior para $n$ rectángulos, se tiene que:

$\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \geq \sum_{i = 1}^{n} \int_{n}^{n + 1} f (x)$

$\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \geq \int_{1}^{2} f (x) d + \int_{2}^{3} f (x) + \dots + \int_{n}^{n + 1} f (x) d x$

$\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \geq \int_{1}^{n + 1} f (x) d x$

$\Rightarrow lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \geq lim_{n \to \infty} \int_{1}^{n + 1} f (x) d x$

$\Rightarrow \sum_{i = 1}^{\infty} a_{n} \geq \int_{1}^{\infty} f (x) d x$

Como $\sum_{i = 1}^{\infty} a_{n}$ converge, por el criterio de comparación:

$\Rightarrow \int_{1}^{\infty} f (x) d x c o n v e r g e$

$\Leftarrow ⌟$

Supongamos que $\int_{1}^{\infty} f (x) d x c o n v e r g e$ .

De la figura $(1)$ vemos que el área del rectángulo con altura $f (n + 1)$ (figura de la derecha) es menor que el área bajo la curva entre $n$ y $n + 1$ , vemos en este caso que la sucesión correspondiente es $a_{n + 1}$ .

$\Rightarrow a_{n + 1} \leq \int_{n}^{n + 1} f (x) d x$

$\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n + 1} a_{i} \leq \int_{1}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{3} f (x) + \dots + \int_{n}^{n + 1} f (x) d x$

$\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n + 1} a_{i} \leq \int_{1}^{n + 1} f (x) d x$

$\Rightarrow lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n + 1} a_{i} \leq lim_{n \to \infty} \int_{1}^{n + 1} f (x) d x$ $\Rightarrow \sum_{i = 1}^{\infty} a_{n} \leq \int_{1}^{\infty} f (x) d x$

Como $\int_{1}^{\infty} f (x) d x$ converge, por el criterio de comparación

$\Rightarrow \sum_{i = 1}^{\infty} a_{n} c o n v e r g e$

Veamos unos ejemplos:

Ejemplos

Diga si las siguientes series convergen o divergen.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$

Tomemos $f (x) = \frac{1}{x}$ , sabemos que la función es continua en el intervalo $[1, \infty)$ y es decreciente, además de que sabemos que es continua, por lo que podemos utilizar el criterio de la integral como sigue:

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x = lim_{x \to \infty} \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t = lim_{x \to \infty} [l n (t)] |_{1}^{x} = lim_{x \to \infty} (l n (x) - l n (1)) = lim_{n \to \infty} l n (x) = \infty$

$∴ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x d i v e r g e$

$∴ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} d i v e r g e$

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{n}{n^{2} + 1}$

Tomamos $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Claramente, $f$ es continua en $R \Rightarrow f$ es continua en $[1, \infty)$ , vemos que:

$x^{2} + 1 > 0 \forall x ϵ R y x > 0 \Rightarrow x ϵ [1, \infty)$

$∴ \frac{x}{x^{2} + 1} > 0$

Veamos si $f (x)$ es decreciente, para ello derivamos:

$f^{'} (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{(x^{2} + 1)^{2}} = \frac{- x^{2} + 1}{(x^{2} + 1)^{2}}$

Vemos que $(x^{2} + 1)^{2} > 0$ y si $x ϵ [1, \infty)$ , entonces $x^{2} + 1 > 0$ , pero tenemos un signo negativo en $f^{'} (x)$ :

$∴ f$ es decreciente en $[1, \infty)$ .

Por lo que podemos utilizar el criterio de la integral como sigue:

$\Rightarrow \int_{1}^{\infty} \frac{x}{x^{2} + 1} d x = lim_{n \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{t}{t^{2} + 1} d t = lim_{n \to \infty} [\frac{1}{2} l n (t^{2} + 1)] |_{1}^{x} = lim_{n \to \infty} [\frac{1}{2} l n (x^{2} + 1) - \frac{1}{2} l n (2)] = \infty$

$∴ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{n^{2} + 1} d i v e r g e a \infty$

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1}$

Sea $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ Claramente $f$ es continua, positiva y decreciente en $[1, \infty)$ , por lo que podemos aplicar el teorema:

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2} + 1} d x = lim_{n \to \infty} \int_{1}^{x} \frac{1}{t^{2} + 1} d t = lim_{n \to \infty} [\arctan (t)] |_{1}^{x} = lim_{n \to \infty} (\arctan (x) - \arctan (1)) = \frac{π}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π}{4}$

$∴ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2} + 1} c o n v e r g e$

$∴ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1} c o n v e r g e$

Tarea moral

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \arctan (n)$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{l n (n)}{n}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n^{2}}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n}}$

Más adelante…

En esta sección vimos el criterio de la integral en el cual se toma como función $f (x)$ a la sucesión ${a_{n}}$ de la serie, esta función tiene que ser continua, decreciente y positiva en el intervalo $[1, \infty)$ para utilizar este criterio de la integral y observar la convergencia o divergencia de la serie, en la siguiente sección veremos otras series especiales llamadas p-series.

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Geometría Moderna I: Teorema de Ceva

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

En esta ocasión veremos algunas proposiciones sobre concurrencia de rectas, principalmente el teorema de Ceva y su forma trigonométrica, a partir de los cuales mostraremos otros resultados.

Teorema de Ceva

Definición 1. Si una recta pasa por el vértice de un triángulo, el segmento comprendido entre el vértice y la intersección con el lado opuesto, se llama ceviana.

Teorema 1, de Ceva. Sean $△ A B C$ y $A X$ , $B Y$ , $C Z$ cevianas, entonces $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes si y solo si
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = 1$ .

Demostración. Supongamos que $A X$ , $B Y$ y $C Z$ concurren en $S$ .

Aplicamos el teorema de Menelao a $△ A B X$ y la trasversal $Z S C$
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B C}{C X} \frac{X S}{S A} = - 1$ .

Nuevamente, usamos el teorema de Menelao, ahora en $△ A X C$ y la transversal $B Y S$
$\frac{A S}{S X} \frac{X B}{B C} \frac{C Y}{Y A} = - 1$ .

Multiplicamos estas dos igualdades y reordenamos
$\frac{A Z}{Z B} \frac{X B}{C X} \frac{C Y}{Y A} \frac{X S}{S A} \frac{A S}{S X} \frac{B C}{B C} = 1$ .

Simplificamos empleando segmentos dirigidos
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = 1$ .

Conversamente, supongamos que para las tres cevianas $A X$ , $B Y$ y $C Z$ , se cumple la igualdad $\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = 1$ , sea $S = B Y \cap C Z$ , queremos ver que $A X$ pasa por $S$ .

Sea $X^{'} = A S \cap B C$ , entonces las cevianas $A X^{'}$ , $B Y$ y $C Z$ son concurrentes por lo tanto
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X^{'}}{X^{'} C} \frac{C Y}{Y A} = 1$ .

Como resultado de esta igualdad y nuestra hipótesis obtenemos
$\frac{B X}{X C} = \frac{B X^{'}}{X^{'} C}$ .

Es decir, $X$ y $X^{'}$ dividen a $B C$ en la misma razón, por lo tanto, $X = X^{'}$ .

Forma trigonométrica del teorema de Ceva

Forma trigonométrica del teorema de Ceva. Sean $A Z$ , $B Y$ y $C Z$ cevianas de un triángulo $△ A B C$ , entonces $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes si y solo si
$\frac{\sin ∠ A C Z}{\sin ∠ Z C B} \frac{\sin ∠ B A X}{\sin ∠ X A C} \frac{\sin ∠ C B Y}{\sin ∠ Y B A} = 1$ .

Demostración. Aplicamos el lema de la razón a los puntos $X$ , $Y$ , $Z$ (figura 1)

$\frac{B X}{X C} = \frac{B A}{A C} \frac{\sin ∠ B A X}{\sin ∠ X A C}$ ,
$\frac{C Y}{Y A} = \frac{C B}{B A} \frac{\sin ∠ C B Y}{\sin ∠ Y B A}$ ,
$\frac{A Z}{Z B} = \frac{A C}{C B} \frac{\sin ∠ A C Z}{\sin ∠ Z C B}$ .

Multiplicamos las tres igualdades
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A}$
$= \frac{\sin ∠ A C Z}{\sin ∠ Z C B} \frac{\sin ∠ B A X}{\sin ∠ X A C} \frac{\sin ∠ C B Y}{\sin ∠ Y B A}$ .

Por el teorema de Ceva, $\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = 1$
si y solo si $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes.

Por lo tanto,
$\frac{\sin ∠ A C Z}{\sin ∠ Z C B} \frac{\sin ∠ B A X}{\sin ∠ X A C} \frac{\sin ∠ C B Y}{\sin ∠ Y B A} = 1$
si y solo si $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes.

Conjugados isotómicos

Proposición 1. Sea $△ A B C$ y $P$ un punto en el plano, sean $X = A P \cap B C$ , $Y = B P \cap C A$ , $Z = C P \cap A B$ , considera los puntos isotómicos $X^{'}$ , $Y^{'}$ , $Z^{'}$ de $X$ , $Y$ , $Z$ respectivamente, entonces las cevianas $A X^{'}$ , $B Y^{'}$ , $C Z^{'}$ son concurrentes, al punto de concurrencia se le conoce como conjugado isotómico de $P$ respecto a $△ A B C$ .

Demostración. Como $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes, por el teorema de Ceva $\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = 1$ .

Ya que $X^{'}$ , $Y^{'}$ , $Z^{'}$ son las reflexiones de $X$ , $Y$ , $Z$ , respectivamente, respecto de los puntos medios de $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente entonces

$\frac{A Z^{'}}{Z^{'} B} \frac{B X^{'}}{X^{'} C} \frac{C Y^{'}}{Y^{'} A}$
$= \frac{Z B}{A Z} \frac{X C}{B X} \frac{Y A}{C Y}$
$= (\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A})^{- 1} = 1$ .

Por lo tanto, por el teorema de Ceva, $A X^{'}$ , $B Y^{'}$ , $C Z^{'}$ son concurrentes.

Teorema de Blanchet

Definición 2. Si tres cevianas $A X$ , $B Y$ , $C Z$ de un triángulo $△ A B C$ concurren en un punto $P$ , a $△ X Y Z$ se le conoce como triángulo de Ceva de $P$ respecto de $△ A B C$ .

Teorema 2, de Blanchet. Sea $△ A B C$ y $X$ el pie de la altura por $A$ , sea $P$ cualquier punto en $A X$ , $△ X Y Z$ el triángulo de Ceva de $P$ respecto de $△ A B C$ , entonces $A X$ es la bisectriz de $∠ Z X Y$ .

Demostración. Sean $l$ la paralela a $B C$ por $A$ , $D = X Z \cap l$ , $E = X Y \cap l$ , entonces tenemos las siguientes semejanzas $△ Y C X \sim △ Y A E$ , $△ Z A D \sim △ Z B X$ , esto es,
$\frac{Y C}{Y A} = \frac{C X}{A E}$ y $\frac{Z A}{Z B} = \frac{A D}{B X}$ .

Como las cevianas $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes, por el teorema de Ceva tenemos
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = 1$ .

Sustituimos las ecuaciones derivadas de la semejanza
$\frac{D A}{B X} \frac{B X}{X C} \frac{X C}{A E} = 1$ .

Esto implica que $D A = A E$ .

Como $∠ E A X = ∠ X A D = \frac{π}{2}$ , por criterio de congruencia LAL, $△ X A E ≅ △ X A D$ .

Por lo tanto, $∠ D X A = ∠ A X E$ .

Teorema del nido de Ceva

Teorema 3. Sean $A D$ , $B E$ , $C F$ tres cevianas de un triángulo $△ A B C$ ; $D X$ , $E Y$ , $F Z$ , tres cevianas de $△ D E F$ , si dos de las tercias $(A D, B E, C F)$ ; $(D X, E Y, F Z)$ ; $(A X, B Y, C Z)$ , entonces la tercera también es concurrente.

Demostración. Supongamos que $(A D, B E, C F)$ y $(D X, E Y, F Z)$ son concurrentes, la prueba para otros casos es análoga.

Aplicamos el lema de la razón a los triángulos $△ A E F$ , $△ B F D$ , $△ C D E$ y los respectivos puntos $X$ , $Y$ , $Z$ ,

$\frac{E X}{X F} = \frac{E A}{A F} \frac{\sin ∠ E A X}{\sin ∠ X A F}$ ,

$\frac{F Y}{Y D} = \frac{F B}{B D} \frac{\sin ∠ F B Y}{\sin ∠ D B Y}$ ,

$\frac{D Z}{Z E} = \frac{D C}{C E} \frac{\sin ∠ D C Z}{\sin ∠ E C Z}$ .

Sean $X^{'} = A X \cap B C$ , $Y^{'} = B Y \cap C A$ , $Z^{'} = C Z \cap A B$ , recordemos que si dos ángulos son suplementarios su seno es igual, ahora multiplicamos las tres ecuaciones y reacomodamos

$\frac{D Z}{Z E} \frac{E X}{X F} \frac{F Y}{Y D}$
$= (\frac{A F}{F B} \frac{B D}{D C} \frac{C E}{E A})^{- 1} \frac{\sin ∠ X^{'} A C}{\sin ∠ X^{'} A B} \frac{\sin ∠ Y^{'} B A}{\sin ∠ C B Y^{'}} \frac{\sin ∠ Z^{'} C B}{\sin ∠ A C Z^{'}}$ .

Por otra parte, como $(A D, B E, C F)$ y $(D X, E Y, F Z)$ son concurrentes, por el teorema de Ceva
$\frac{A F}{F B} \frac{B D}{D C} \frac{C E}{E A} = 1$ ,

$\frac{D Z}{Z E} \frac{E X}{X F} \frac{F Y}{Y D} = 1$ .

Por lo tanto,
$\frac{\sin ∠ A C Z^{'}}{\sin ∠ Z^{'} C B} \frac{\sin ∠ X^{'} A B}{\sin ∠ X^{'} A C} \frac{\sin ∠ C B Y^{'}}{\sin ∠ Y^{'} B A} = 1$ .

Por la forma trigonométrica del teorema de Ceva, $A X^{'} = A X$ , $B Y^{'} = B Y$ , $C Z^{'} = C Z$ , son concurrentes.

Teorema de Jacobi

Teorema 4, de Jacobi. Sean $△ A B C$ , $X$ , $Y$ , $Z$ puntos tales que $∠ X B C = ∠ A B Z = β_{1}$ , $∠ B C X = ∠ Y C A = γ_{1}$ , $∠ C A Y = ∠ Z A B = α_{1}$ , entonces las rectas $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes, al punto de concurrencia se le conoce como punto de Jacobi.

Demostración. Sean $∠ B A C = α_{0}$ , $∠ C B A = β_{0}$ , $∠ A C B = γ_{0}$ , $Q = B X \cap C A$ , $R = C X \cap A B$ .

Como $A X$ , $B Q$ , $C R$ concurren en $X$ , por el teorema de Ceva trigonométrico,
$\frac{\sin ∠ A C R}{\sin ∠ R C B} \frac{\sin ∠ B A X}{\sin ∠ X A C} \frac{\sin ∠ C B Q}{\sin ∠ Q B A} = 1$ .

Por lo tanto,

$1 = \frac{\sin ∠ B A X}{\sin ∠ X A C} \frac{\sin γ_{0} + γ_{1}}{\sin γ_{1}} \frac{\sin π - β_{1}}{\sin π - (β_{0} + β_{1})}$
$= \frac{\sin ∠ B A X}{\sin ∠ X A C} \frac{\sin γ_{0} + γ_{1}}{\sin γ_{1}} \frac{\sin β_{1}}{\sin β_{0} + β_{1}}$ .

Igualmente podemos encontrar

$\frac{\sin ∠ A C Z}{\sin ∠ Z C B} \frac{\sin β_{0} + β_{1}}{\sin β_{1}} \frac{\sin α_{1}}{\sin α_{0} + α_{1}} = 1$ ,

$\frac{\sin ∠ C B Y}{\sin ∠ Y B A} \frac{\sin α_{0} + α_{1}}{\sin α_{1}} \frac{\sin γ_{1}}{\sin γ_{0} + γ_{1}} = 1$ .

Multiplicando estas tres ecuaciones y obtenemos
$\frac{\sin ∠ A C Z}{\sin ∠ Z C B} \frac{\sin ∠ B A X}{\sin ∠ X A C} \frac{\sin ∠ C B Y}{\sin ∠ Y B A} = 1$ .

Lo que significa, por la forma trigonométrica del teorema de Ceva que $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes.

Observación. Notemos que el punto de Jacobi es una generalización de los puntos de Fermat que vimos en la unidad 2.

Puntos de Napoleón

Corolario. Sea $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ una configuración externa (interna) de Napoleón, sean $I_{a}$ , $I_{b}$ , $I_{c}$ , los incentros de $△ A^{'} B C$ , $∠ A B^{'} C$ , $∠ A B C^{'}$ respectivamente, entonces $A I_{a}$ , $B I_{b}$ , $C I_{c}$ son concurrentes, al punto de concurrencia $N_{+}$ ( $N_{-}$ ) se le conoce como primer (segundo) punto de Napoleón.

Demostración. Como $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ , $△ A B C^{'}$ son equiláteros y están construidos externamente (internamente) sobre los lados de $△ A B C$ entonces $∠ I_{a} B C = ∠ A B I_{c} = ∠ B C I_{a} = ∠ I_{b} C A = ∠ C A I_{b} = ∠ I_{c} A B = \frac{π}{6}$ .

Por el teorema de Jacobi, $A I_{a}$ , $B I_{b}$ , $C I_{c}$ son concurrentes.

Teorema de Routh

Teorema 5, de Routh. Sean $A X$ , $B Y$ , $C Z$ cevianas de un triángulo $△ A B C$ y considera $D = B Y \cap A X$ , $E = B Y \cap C Z$ , $F = A X \cap C Z$ , $z = \frac{A Z}{Z B}$ , $x = \frac{B X}{X C}$ , $y = \frac{C Y}{Y B}$ entonces el área de $△ D E F$ se puede calcular mediante la siguiente formula:
$(△ D E F) = \frac{(1 - x y z)^{2}}{(x y + y + 1) (y z + z + 1) (z x + x + 1)} (△ A B C)$ .

Demostración. Como $△ A F C$ y $△ A X C$ tienen la misma altura desde $C$ entonces.
$\frac{(△ A F C)}{(△ A X C)} = \frac{A F}{A X} = \frac{A F}{A F + F X} = \frac{1}{1 + \frac{F X}{A F}}$ .

Aplicando el teorema de Menelao en $△ A B X$ y la transversal $Z F C$
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B C}{C X} \frac{X F}{F A} = - 1$
$\Leftrightarrow \frac{X F}{F A} = \frac{Z B}{A Z} \frac{X C}{B C} = \frac{1}{z} \times \frac{X C}{B X + X C} = \frac{1}{z (x + 1)}$ .

Como resultado,
$(△ A F C) = \frac{1}{1 + \frac{1}{z (x + 1)}} (△ A X C) = \frac{z (x + 1)}{z x + z + 1} (△ A X C)$

Por otro lado,
$\frac{(△ A X C)}{(△ A B C)} = \frac{X C}{B C} = \frac{X C}{B X + X C} = \frac{1}{x + 1}$ .

Por lo tanto,
$(△ A F C) = \frac{z (x + 1)}{z x + z + 1} \times \frac{1}{1 + x} (△ A B C) = \frac{z}{z x + z + 1} (△ A B C)$ .

Igualmente podemos encontrar
$(△ B D A) = \frac{x}{x y + x + 1} (△ A B C)$ ,
$(△ C E B) = \frac{y}{y z + y + 1} (△ A B C)$ .

Finalmente
$(△ D E F) = (△ A B C) - (△ A F C) - (△ B D A) - (△ C E B)$
$= (△ A B C) (1 - \frac{z}{z x + z + 1} - \frac{x}{x y + x + 1} - \frac{y}{y z + y + 1})$
$= \frac{(1 - x y z)^{2}}{(x y + y + 1) (y z + z + 1) (z x + x + 1)} (△ A B C)$ .

Los cálculos de la última ecuación quedan para el lector.

Observación. Notemos que este resultado generaliza el teorema de Ceva pues si $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes entonces $(△ D E F) = 0$ , lo que implica que $\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = x y z = 1$ .

Por el contrario, si $x y z = 1$ , entonces $(△ D E F) = 0$ , es decir $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes.

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos sobre el punto de Nagel, un punto notable del triángulo con varias propiedades interesantes, la existencia de los conjugados isotómicos nos permitirá presentar este punto.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Empleando el teorema de Menelao, muestra que las medianas, las alturas y las bisectrices internas de todo triángulo son concurrentes.
Sea $△ A B C$ y $X$ , $X^{'} \in B C$ ; $Y$ , $Y^{'} \in C A$ ; $Z$ , $Z^{'} \in A B$ , los puntos en que una circunferencia interseca a los lados de $△ A B C$ , prueba que si $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes, entonces $A X^{'}$ , $B Y^{'}$ , $C Z^{'}$ son concurrentes.
In un triangulo $△ A B C$ , $D$ , $E$ , $F$ son los pies de las alturas desde $A$ , $B$ , $C$ , muestra que las perpendiculares desde $A$ , $B$ , y $C$ a $E F$ , $D F$ y $D E$ , respectivamente son concurrentes.
Si las diagonales de un cuadrilátero convexo $A B C D$ se intersecan en $P$ muestra que
$\frac{\sin ∠ P A D}{\sin ∠ P A B} \frac{\sin ∠ P B A}{\sin ∠ P B C} \frac{\sin ∠ P C B}{\sin ∠ P C D} \frac{\sin ∠ P D C}{\sin ∠ P D A} = 1$ .
Teorema de Kariya. Sea $Γ (I)$ el incírculo de un triángulo $△ A B C$ , sean $D$ , $E$ , $F$ los puntos de tangencia de $Γ (I)$ con $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente, sean $(I, r)$ una circunferencia con centro en $I$ y radio $r$ , $X = (I, r) \cap I D$ , $Y = (I, r) \cap I E$ , $Z = (I, r) \cap I F$ , demuestra que $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes.

Entradas relacionadas

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Otros cursos.

Fuentes

Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 37-53, 85-93.
Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 158-160.
Posamentier, A. y Salkind, C; Challenging Problems in Geometry. New York: Dover, 1996, pp 36-42.
Wikipedia
The University of Georgia

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral II: Criterio de la razón y el criterio de la raíz

Por Miguel Ángel Rodríguez García

4 respuestas

Introducción

En la sección anterior vimos dos criterios de convergencia: el criterio de comparación y el criterio de comparación del límite, en esta sección veremos el criterio de la prueba del cociente o de la razón, y el criterio de la raíz, comencemos enunciando el teorema del criterio de la razón.

Criterio de la razón

Teorema. (Prueba de la razón o del cociente)

Sea ${a_{n}}$ una sucesión positiva y supón que:

$lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = r$

Entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge si $r < 1$ , diverge si $r > 1$ y si $r = 1$ no es concluyente.

Demostración:

Observemos que:

$a_{n} > 0 \forall n ϵ N \Rightarrow \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} > 0 \forall n ϵ N \Rightarrow lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = r \geq 0$

Para demostrar este teorema, dividamos por los casos siguientes:

Caso $1)$ : Si $0 \leq r < 1$ , entonces:

$lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = r$

Podemos escoger un número $S$ tal que $r < S < 1 \Rightarrow \exists k ϵ N$

Tal que:

$\forall n \geq k \Rightarrow | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | < S \Rightarrow a_{n + 1} < S a_{n}$

En particular:

$a_{k + 1} < S a_{k} y a_{k + 2} < S a_{k + 1} < S (S a_{k}) = S^{2} a_{k}$

Por tanto:

$a_{k + 2} < S^{2} a_{k} \Rightarrow a_{k + 3} < S a_{k + 2} < S^{3} a_{k}$

Continuando de esta manera hasta $n$ , se tiene que:

$a_{n} = a_{k + m} < S^{m} a_{k}$

Por otro lado, como $S < 1$ , entonces la siguiente serie:

$\sum_{m = 1}^{\infty} S^{m} c o n m \geq 1$

Es una serie geométrica, por tanto:

$\Rightarrow \sum_{m = 1}^{\infty} S^{m}$ converge $\Rightarrow \sum_{m = 1}^{\infty} S^{m} a_{k}$ converge

$\Rightarrow \sum_{m = 1}^{\infty} a_{k + m}$ converge.

Por el criterio de comparación, así $\sum_{n = k + 1}^{\infty} a_{n}$ converge,

$∴ \sum_{n}^{\infty} a_{n} c o n v e r g e$

Caso $2)$ : Si $r > 1$

Vemos que:

$lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = r$

Podemos escoger un número $S$ tal que $r > S > 1 \Rightarrow \exists k ϵ N$

Tal que:

$\forall n \geq k | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | > S \Rightarrow \forall n \geq k \Rightarrow a_{n + 1} > S a_{n}$

Se tiene que para:

$a_{k + 1} > S a_{k}$

$a_{k + 2} > S a_{k + 1} > S (S a_{k}) = S^{2} a_{k}$

$a_{k + 3} > S a_{k + 2} > S (S^{2} a_{k}) = S^{3} a_{k}$

Continuando de esta manera, $\forall n \geq k$ , entonces:

$a_{k + n} > S^{n} a_{k}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} S^{n}$ es una serie geométrica con $| S | > 1$

$\Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} S^{n}$ diverge $\Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} S^{n} a_{k}$ diverge $\Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} a_{k + n}$ diverge

$\Rightarrow \sum_{n = k + 1}^{\infty} a_{n}$ diverge

$∴ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} d i v e r g e$

Caso $3)$ : Para este caso solo hay que dar un ejemplo, veamos:

Tomemos siguientes las series:

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} y \sum_{i = 1}^{\infty} 1$

Es fácil ver que la segunda serie diverge cuando $n \to \infty$ , para la primera serie, tenemos que:

$lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{(n + 1)^{2}}}{\frac{1}{n^{2}}} = lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{1}{(1 + \frac{1}{n^{2}})^{2}} = 1$

Lo cual sabemos que esta serie converge.

Por lo que para $r = 1$ no hay conclusión de la convergencia de la serie.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n!}$

Usamos el criterio de la razón, tomamos el límite de la sucesión como:

$lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{(n + 1)!}}{\frac{1}{n!}} = lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n + 1)!} = lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n + 1) n!} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} = 0 < 1$

Por tanto, por el criterio de la razón:

$∴ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n!} c o n v e r g e$

Ahora veamos el criterio de la raíz.

Criterio de la raíz

Teorema. (Criterio de la raíz)

Sea ${a_{n}}$ una sucesión con $a_{n} \geq 0 \forall n ϵ N$ tal que:

$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = L$

Entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge si $L < 1$ y diverge si $L > 1$ .

Demostración:

Divimos esta demostración por casos:

$1) : L < 1$

Supongamos que $L < 1$ , observamos que $L \geq 0$ , tomamos $r$ tal que $L < r < 1$ , por definición del limite:

$\exists k ϵ N$

Tal que:

$\forall n \geq k \Rightarrow \sqrt[n]{a_{n}} < r$

$\Rightarrow a_{n} < r^{n}$

Pero:

$\sum_{n = k}^{\infty} r^{n}$ converge ya que $r < 1$ y es una serie geométrica, por el criterio de comparación.

$\Rightarrow \sum_{n = k}^{\infty} a_{n} c o n v e r g e$

$∴ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} c o n v e r g e$

$2) : L > 1$

Ahora, supongamos que $L > 1$ , toma $r$ tal que $1 < r < L$ , por definición del límite:

$\exists k ϵ N$

Tal que:

$\forall n \geq k \Rightarrow \sqrt[n]{a_{n}} > r$

$\Rightarrow a_{n} > r^{n}$

Pero $1 < r$ , por consiguiente por el criterio de las series geométricas:

$\Rightarrow \sum_{n = k}^{\infty} r^{n} d i v e r g e \Rightarrow \sum_{n = r}^{\infty} a_{n} d i v e r g e$

Por el criterio de comparación:

$∴ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} d i v e r g e$

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(1 + \frac{1}{n})^{2 n}}{e^{n}}$

Apliquemos el criterio de la raíz, tomamos el límite de la sucesión como:

$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{(1 + \frac{1}{n})^{2 n}}{e^{n}}} = lim_{n \to \infty} \frac{(1 + \frac{1}{n})^{2 n}}{e} = \frac{1}{e} < 1$

Por tanto, por el criterio de la raíz:

$∴ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(1 + \frac{1}{n})^{2 n}}{e^{n}} c o n v e r g e$

Tarea moral

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{9^{n}}{2^{n + 1} n}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{n^{10}})^{n}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 n)!}{n! n!}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{1 + n})}^{n}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + 3}{3 n + 2})}^{n}$

Más adelante…

En esta sección vimos otros dos criterios más de convergencia que son el criterio de la razón en el cual el valor del límite de la división entre la sucesión $a_{n + 1}$ y $a_{n}$ nos dice si la serie es convergente o divergente, y el criterio de la raíz que dependiente del valor se toma del límite de la raíz n-esima de la sucesión nos dice si la sucesión es convergente o divergente. En la siguiente sección veremos otro criterio de convergencia, que es el criterio de la integral.

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