Cálculo Diferencial e Integral II: Criterio de la integral

Introducción

En la sección anterior vimos dos criterios de convergencia para las series, el criterio de la raíz y el criterio de la razón. En esta sección veremos el criterio de la integral enunciado el siguiente teorema.

Criterio de la integral

Teo: (Criterio de la integral)

Sea $f$ una función continua, positiva y decreciente en $[1, \infty)$ y sea $\left \{ a_{n} \right \}$ una sucesión tal que $a_{n} = f(n)$ entonces:

$$\sum_{n=\infty}^{\infty}a_{n} \space converge \space \Leftrightarrow \int_{1}^{\infty}f(x)dx \space converge$$

Demostración:

Figura 1: Función decreciente en el intervalo $[1,\infty]$ (curva azul), área del valor n-esimo de la sucesión $a_{n}$ con altura $f(n)$ (figura de la izquierda), área del valor n-esimo de la sucesión $a_{n+1}$ con altura $f(n+1)$ (figura de la derecha).

$\Rightarrow \lrcorner$

Supongamos que $\sum_{i=1}^{n}a_{n}$ converge.

De la figura $(1)$ vemos que el área del rectángulo con altura $f(n)$ (figura de la izquierda) es mayor que el área bajo la curva entre $n$ y $n+1$, en donde se interpretan a estos rectángulos como el área del valor n-esimo de la sucesión $a_{n}$.

Matemáticamente, podemos interpretar lo anterior como:

$$\Rightarrow a_{n} \geq\int_{n}^{n+1}f(x)dx$$

Si hacemos lo anterior para $n$ rectángulos, se tiene que:

$$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}a_{i} \geq \sum_{i=1}^{n}\int_{n}^{n+1}f(x)$$

$$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}a_{i} \geq \int_{1}^{2}f(x)d+\int_{2}^{3}f(x)+…+\int_{n}^{n+1}f(x)dx$$

$$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}a_{i}\geq \int_{1}^{n+1}f(x)dx$$

$$\Rightarrow \lim_{n \to \infty } \sum_{i=1}^{n}a_{i}\geq \lim_{n \to \infty}\int_{1}^{n+1}f(x)dx$$

$$\Rightarrow \sum_{i=1}^{\infty}a_{n}\geq \int_{1}^{\infty} f(x)dx$$

Como $\sum_{i=1}^{\infty}a_{n}$ converge, por el criterio de comparación:

$$\Rightarrow \int_{1}^{\infty} f(x)dx \space \space converge$$

$\Leftarrow \lrcorner$

Supongamos que $ \int_{1}^{\infty}f(x)dx \space converge $.

De la figura $(1)$ vemos que el área del rectángulo con altura $f(n+1)$ (figura de la derecha) es menor que el área bajo la curva entre $n$ y $n+1$, vemos en este caso que la sucesión correspondiente es $a_{n+1}$.

$$\Rightarrow a_{n+1}\leq \int_{n}^{n+1}f(x)dx$$

$$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n+1}a_{i}\leq \int_{1}^{2}f(x)dx+\int_{2}^{3}f(x)+…+\int_{n}^{n+1}f(x)dx$$

$$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n+1}a_{i}\leq \int_{1}^{n+1}f(x)dx$$

$$\Rightarrow \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}\leq \lim_{n \to \infty}\int_{1}^{n+1}f(x)dx$$ $$\Rightarrow \sum_{i=1}^{\infty}a_{n}\leq \int_{1}^{\infty}f(x)dx$$

Como $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ converge, por el criterio de comparación

$$ \Rightarrow \sum_{i=1}^{\infty}a_{n} \space \space converge$$

$\square$

Veamos unos ejemplos:

Ejemplos

Diga si las siguientes series convergen o divergen.

  • $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

Tomemos $f(x)=\frac{1}{x}$, sabemos que la función es continua en el intervalo $[1, \infty)$ y es decreciente, además de que sabemos que es continua, por lo que podemos utilizar el criterio de la integral como sigue:

$$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx=\lim_{x \to \infty}\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt=\lim_{x \to \infty}\left [ ln(t) \right ]\bigg|_{1}^{x}=\lim_{x \to \infty}(ln(x)-ln(1))=\lim_{n \to \infty}ln(x)=\infty$$

$$\therefore \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx \space diverge$$

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \space diverge$$

  • $$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}$$

Tomamos $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$

Claramente, $f$ es continua en $\mathbb{R} \Rightarrow f$ es continua en $[1, \infty)$, vemos que:

$$x^{2}+1>0 \space \forall \space x \space \epsilon \space \mathbb{R} \space y \space x>0 \Rightarrow x \space \epsilon \space [1,\infty)$$

$$\therefore \frac{x}{x^{2}+1}>0$$

Veamos si $f(x)$ es decreciente, para ello derivamos:

$$f'(x)=\frac{x^{2}+1-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{-x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}}$$

Vemos que $(x^{2}+1)^{2}>0$ y si $x \space \epsilon \space [1,\infty)$, entonces $x^{2}+1>0$, pero tenemos un signo negativo en $f'(x)$:

$\therefore f$ es decreciente en $[1,\infty)$.

Por lo que podemos utilizar el criterio de la integral como sigue:

$$\Rightarrow \int_{1}^{\infty}\frac{x}{x^{2}+1}dx=\lim_{n \to \infty}\int_{1}^{t}\frac{t}{t^{2}+1}dt=\lim_{n \to \infty}\left [ \frac{1}{2}ln(t^{2}+1) \right ]\bigg|_{1}^{x}=\lim_{n \to \infty}[\frac{1}{2}ln(x^{2}+1)-\frac{1}{2}ln(2)]=\infty$$

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1} \space diverge \space a \space \infty$$

  • $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}$$

Sea $f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$ Claramente $f$ es continua, positiva y decreciente en $[1, \infty)$, por lo que podemos aplicar el teorema:

$$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}+1}dx=\lim_{n \to \infty}\int_{1}^{x}\frac{1}{t^{2}+1}dt=\lim_{n \to \infty}\left [ artan(t) \right ]\bigg{|}_{1}^{x}=\lim_{n \to \infty}(arctan(x)-arctan(1))=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$$

$$\therefore \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}+1} \space converge$$

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1} \space converge$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

  1. $$\sum_{n=1}^{\infty} arctan(n)$$
  2. $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ln(n)}{n}$$
  3. $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}$$
  4. $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n^{2}}$$
  5. $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n}}$$

Más adelante…

En esta sección vimos el criterio de la integral en el cual se toma como función $f(x)$ a la sucesión $\left \{ a_{n} \right \}$ de la serie, esta función tiene que ser continua, decreciente y positiva en el intervalo $[1,\infty)$ para utilizar este criterio de la integral y observar la convergencia o divergencia de la serie, en la siguiente sección veremos otras series especiales llamadas p-series.

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