Cálculo Diferencial e Integral II: P-Series

Introducción

En la sección anterior vimos el criterio de la integral, en esta sección veremos unas series especiales llamadas p-series o series-p.

Ya hemos visto algunas series que llevan un nombre en específico, por mencionar algunas, son:

  • Series armónicas

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+….$$

  • Series telescópicas

$$\sum_{n=0}^{\infty}(b_{n}-b_{n-1})$$

  • Series geométricas

$$\sum_{n=0}^{\infty}ar^{n}=\frac{a}{1-r}$$

  • Series alternadas (el término cambia de signo para cada $n$)

$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$$

Ahora veamos otro tipo de series.

P-series

Definición. Las p-series se definen de la siguiente manera:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}=1+\frac{1}{2^{p}}+….+\frac{1}{n^{p}}+….$$

Donde $p$ es cualquier número real mayor a cero. Para ver en que casos convergen estas series, enunciamos el siguiente teorema.

Teorema. (Convergencia de las p-series)

La p-serie dada como:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}$$

Converge si $p>1$ y diverge si $0\leq p \leq 1$.

Demostración:

Tomamos la siguiente función:

$$f(x)=\frac{1}{x^{p}}$$

Si $x \space \epsilon \space [1, \infty), \Rightarrow f(x)$ es continua en $[1, \infty)$. Veamos si es decreciente, para ello derivamos:

$$f'(x)=-px^{-p-1}=-px^{-(p+1)}=\frac{-p}{x^{p+1}}$$

$$\forall \space x \space \epsilon \space [1,\infty), \space \space x^{p+1}>0 \space \space y \space \space p>1$$

Por hipótesis.

$$\therefore f'(x)=\frac{-p}{x^{p+1}}$$

Es decreciente en el intervalo $[1,\infty) $.

Como $f(x)$ es continua, positiva y decreciente, entonces podemos aplicar el criterio de la integral, ya que sabemos que:

$$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{p}}dx \space converge \Leftrightarrow p>1$$

$$ \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} \space converge \space \Leftrightarrow p>1$$

En otro caso diverge.

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} \space converge$$

Si $p>1$ y diverge si $0 \leq p \leq 1$.

$\square$

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

Diga si las siguientes series convergen o divergen.

  • $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n^{2}-4n+5}$$

Sea $\left \{b_{n} \right \}=\frac{1}{n^{2}}$.

Por p-series $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$ converge ya que $p=2$.

Consideremos el criterio de comparación del límite, por lo que proponemos la serie anterior, entonces:

$$\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n^{2}}}{{\frac{1}{3n^{2}-4n+5}}}=\lim_{n \to \infty}\frac{3n^{2}-4n+5}{n^{2}}=3\neq 0$$

Como $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$ converge, entonces:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n^{2}-4n+5} \space converge $$

  • $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}-10}{4n^{5}+n^{3}}$$

Tomamos la siguiente sucesión $\left \{b_{n} \right \} =\frac{1}{n^{3}}$

Entonces $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}$ converge por p-series ya que $p=3$.

Consideramos la sucesión anterior para aplicar el criterio de comparación del límite como sigue:

$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\frac{n^{3}}{\frac{n^{2}-10}{4n^{5}+n^{3}}}}=\lim_{n \to \infty}\frac{4n^{5}+n^{3}}{(n^{2}-10)n^{5}}=\lim_{n \to \infty}\frac{4n^{5}+n^{3}}{n^{5}-10n^{7}}=4\neq 0$$

$\therefore$ Por el criterio de comparación en el límite:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}-10}{4n^{5}+10n^{3}} \space converge$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

  1. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{3}}$$
  2. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{3}}$$
  3. $$\sum_{n=1}^{\infty}-\frac{1}{8^{n}}$$
  4. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{n^{3}+1}$$
  5. $$\sum_{n=1}^{\infty}-\frac{8}{n}$$

Más adelante…

En esta sección vimos los tipos de series que ya hemos visto, pero faltan por ver unos tipos de series más que se ven en general en los cursos de cálculo que más adelante los veremos, en la siguiente sección veremos las series alternantes, aunque ya las definimos en esta sección, la veremos con más detalle en la siguiente entrada.

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