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Cálculo Diferencial e Integral II: Criterio de la razón y el criterio de la raíz

Por Miguel Ángel Rodríguez García

Introducción

En la sección anterior vimos dos criterios de convergencia: el criterio de comparación y el criterio de comparación del límite, en esta sección veremos el criterio de la prueba del cociente o de la razón, y el criterio de la raíz, comencemos enunciando el teorema del criterio de la razón.

Criterio de la razón

Teorema. (Prueba de la razón o del cociente)

Sea $\left \{a_{n} \right \}$ una sucesión positiva y supón que:

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=r$$

Entonces $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge si $r<1$, diverge si $r>1$ y si $r=1$ no es concluyente.

Demostración:

Observemos que:

$$a_{n}>0 \space \space \forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N} \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>0 \space \forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N} \Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=r \geq 0$$

Para demostrar este teorema, dividamos por los casos siguientes:

  • Caso $1)$: Si $0\leq r < 1$, entonces:

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=r$$

Podemos escoger un número $S$ tal que $r < S < 1 \space \Rightarrow \exists \space k \space \epsilon \space \mathbb{N}$

Tal que:

$$\forall \space n \space \geq k \space \Rightarrow \bigg{|}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \bigg{|}<S \space \Rightarrow a_{n+1} <S a_{n}$$

En particular:

$$a_{k+1}<S a_{k} \space \space y \space \space a_{k+2}<S a_{k+1}<S(S a_{k})=S^{2} a_{k}$$

Por tanto:

$$a_{k+2}<S^{2} a_{k} \Rightarrow a_{k+3}<S a_{k+2 }<S^{3} a_{k}$$

Continuando de esta manera hasta $n$, se tiene que:

$$a_{n}=a_{k+m}<S^{m} a_{k}$$

Por otro lado, como $S<1$, entonces la siguiente serie:

$$\sum_{m=1}^{\infty}S^{m} \space \space con \space m \geq 1$$

Es una serie geométrica, por tanto:

$\Rightarrow \sum_{m=1}^{\infty}S^{m}$ converge $\Rightarrow \sum_{m=1}^{\infty}S^{m}a_{k}$ converge

$\Rightarrow \sum_{m=1}^{\infty}a_{k+m}$ converge.

Por el criterio de comparación, así $\sum_{n=k+1}^{\infty}a_{n}$ converge,

$$\therefore \sum_{n}^{\infty}a_{n} \space converge$$

  • Caso $2)$: Si $r>1$

Vemos que:

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=r$$

Podemos escoger un número $S$ tal que $r >S > 1 \space \Rightarrow \exists \space k \space \epsilon \space \mathbb{N}$

Tal que:

$$\forall n\geq k \space \space \bigg{|} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \bigg{|}>S \Rightarrow \forall \space n \geq k \space \Rightarrow a_{n+1}>S a_{n}$$

Se tiene que para:

$$a_{k+1}>S a_{k}$$

$$a_{k+2}>S a_{k+1}>S(S a_{k})=S^{2} a_{k}$$

$$a_{k+3}>S a_{k+2}>S(S^{2} a_{k})=S^{3} a_{k}$$

Continuando de esta manera, $\forall \space n\geq k$, entonces:

$$a_{k+n}>S^{n} a_{k}$$

$\sum_{n=1}^{\infty}S^{n}$ es una serie geométrica con $|S|>1$

$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}S^{n}$ diverge $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}S^{n}a_{k}$ diverge $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_{k+n}$ diverge

$\Rightarrow \sum_{n=k+1}^{\infty}a_{n}$ diverge

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} \space diverge$$

$\square$

  • Caso $3)$: Para este caso solo hay que dar un ejemplo, veamos:

Tomemos siguientes las series:

$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} \space \space y \space \space \sum_{i=1}^{\infty}1$$

Es fácil ver que la segunda serie diverge cuando $n \to \infty$, para la primera serie, tenemos que:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{(n+1)^2}=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{(1+\frac{1}{n^2})^2}=1$$

Lo cual sabemos que esta serie converge.

Por lo que para $r=1$ no hay conclusión de la convergencia de la serie.

$\square$

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}$$

Usamos el criterio de la razón, tomamos el límite de la sucesión como:

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}}=\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{(n+1)!}=\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{(n+1)n!}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n+1}=0<1$$

Por tanto, por el criterio de la razón:

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} \space converge$$

Ahora veamos el criterio de la raíz.

Criterio de la raíz

Teorema. (Criterio de la raíz)

Sea $\left \{ a_{n}\right \}$ una sucesión con $a_{n}\geq 0 \space \space \forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N}$ tal que:

$$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_{n}}=L$$

Entonces $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge si $L<1$ y diverge si $L>1$.

Demostración:

Divimos esta demostración por casos:

  • $1): L<1$

Supongamos que $L<1$, observamos que $L \geq0$, tomamos $r$ tal que $L<r<1$, por definición del limite:

$$\exists \space k \space \epsilon \space \mathbb{N}$$

Tal que:

$$\forall \space n\geq k \Rightarrow \space \sqrt[n]{a_{n}}<r$$

$$\Rightarrow a_{n}<r^{n}$$

Pero:

$\sum_{n=k}^{\infty }r^{n}$ converge ya que $r<1$ y es una serie geométrica, por el criterio de comparación.

$$\Rightarrow \sum_{n=k}^{\infty }a_{n} \space converge$$

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} \space converge$$

  • $2): L>1$

Ahora, supongamos que $L>1$, toma $r$ tal que $1<r<L$, por definición del límite:

$$\exists \space k \space \epsilon \space \mathbb{N}$$

Tal que:

$$\forall \space n\geq k \Rightarrow \space \sqrt[n]{a_{n}}>r$$

$$\Rightarrow a_{n}>r^{n}$$

Pero $1<r$, por consiguiente por el criterio de las series geométricas:

$$\Rightarrow \sum_{n=k}^{\infty }r^{n} \space diverge \space \Rightarrow \sum_{n=r}^{\infty }a_{n} \space diverge$$

Por el criterio de comparación:

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} \space diverge$$

$\square$

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

  • $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(1+\frac{1}{n})^{2n}}{e^{n}}$$

Apliquemos el criterio de la raíz, tomamos el límite de la sucesión como:

$$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{\frac{(1+\frac{1}{n})^{2n}}{e^{n}}}=\lim_{n \to \infty }\frac{(1+\frac{1}{n})^{2n}}{e^{n}}=\frac{1}{e}<1$$

Por tanto, por el criterio de la raíz:

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(1+\frac{1}{n})^{2n}}{e^{n}} \space converge$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

  1. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{9^{n}}{2^{n+1}n}$$
  2. $$\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{n^{10}})^{n}$$
  3. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{n!n!}$$
  4. $$\sum_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{1}{1+n} \right )^{n}$$
  5. $$\sum_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{2n+3}{3n+2} \right )^{n}$$

Más adelante…

En esta sección vimos otros dos criterios más de convergencia que son el criterio de la razón en el cual el valor del límite de la división entre la sucesión $a_{n+1}$ y $a_{n}$ nos dice si la serie es convergente o divergente, y el criterio de la raíz que dependiente del valor se toma del límite de la raíz n-esima de la sucesión nos dice si la sucesión es convergente o divergente. En la siguiente sección veremos otro criterio de convergencia, que es el criterio de la integral.

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