Cálculo Diferencial e Integral II: Series alternantes y el criterio de Leibniz

Introducción

En la sección anterior vimos unas series especiales llamadas p-series, en esta sección veremos otras series especiales llamadas series alternantes, que, como bien dice su nombre, son series cuyos términos van alternando el valor de su signo.

Series alternantes

Una serie alternante puede tener la forma siguiente:

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_{n}=b_{1}-b_{2}+b_{3}-b_{4}+b_{5}-…..$$

Como vemos, la serie va alternando sus signos para cada $n$.

Existe un teorema de convergencia para estas series alternantes y se llama el teorema de Leibniz, el criterio de Leibniz o el criterio de la serie alternante, enunciado por el siguiente teorema.

Teorema. (Criterio de Leibniz o criterio de la serie alternante)

Si $\left \{ a_{n} \right \}$ es una sucesión monótona decreciente tal que $\lim_{n \to \infty}a_{n}=0$, entonces $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{n}$ converge.

Demostración:

Consideramos $\left \{ S_{2n} \right \}$ donde $\left \{ S_{n} \right \}$ son las sumas parciales de $a_{n}$, como $a_{n}$ es una serie alternante entonces:

$$S_{1}=a_{1}$$

$$S_{2}=a_{1}-a_{2}$$

$$S_{3}=a_{1}-a_{2}+a_{3}$$

$$S_{4}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}, …. ,$$

$$S_{2n}=(a_{1}-a_{2})+(a_{3}-a_{4})+, …., +(a_{2n-1}-a_{2n})$$

Por otro lado:

$$S_{2n+2}=(a_{1}-a_{2})+(a_{3}-a_{4})+, …., +(a_{2n-1}-a_{2n})+(a_{2n+1}-a_{2n+2})$$

Como la sucesión es monótona decreciente:

$$\Rightarrow a_{2n+1}\geq a_{2n+2} \Rightarrow a_{2n+1}-a_{2n+2} \geq 0$$.

Ya que estamos sumando un número positivo entonces:

$$\Rightarrow S_{2n+2} \geq S_{2n}$$

$\Rightarrow \left \{ S_{2n} \right \}$ es decreciente, ahora:

$$S_{2n}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+a_{5}+….$$

$$=a_{1}-(a_{2}-a_{3})-, …., – (a_{2n-2}-a_{2n-1})-a_{2n} \tag{1}$$

Como $a_{n} \geq a_{n+1}$ de la anterior relación $(1)$ vemos que las suma parcial $S_{n}$ es más pequeña, ya que es una serie decreciente, entonces:

$$S_{2n} \leq a_{1} \space \forall \space n$$

Por lo que $a_{1}$ es una cota superior de $\left \{ S_{2n} \right \} \Rightarrow S_{2n}$ converge, por lo que consideremos a $L$ como:

$$\lim_{n\to \infty}S_{2n}=L$$

Observemos que $\forall \space n \space S_{2n+1}=S_{2n}+a_{2n+1}$, y que:

$$\lim_{n\to \infty}a_{n}=0 \Rightarrow \lim_{n\to \infty}a_{2n+1}=0$$

Por hipótesis, por lo que:

$$\Rightarrow \lim_{n\to \infty}S_{2n+1}=\lim_{n\to \infty}(S_{2n}+a_{2n+1})$$

$$=\lim_{n\to \infty}S_{2n}+\lim_{n\to \infty}a_{2n+1}=L+0=L$$

$$\therefore \lim_{n\to \infty}S_{2n+1}=L \space y \space \lim_{n\to \infty}S_{2n}=L \Rightarrow \lim_{n\to \infty}S_{n}=L$$

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_{n} \space converge$$

$\square$

Ejemplos

Diga si las siguientes series convergen o divergen.

  • $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$$

Para utilizar el criterio de Leibniz tenemos que ver que sea decreciente, pero claramente la sucesión $\frac{1}{n}$ es decreciente, entonces tomando el límite tenemos que:

$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0$$

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n} \space converge$$

  • $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n^{2}+1}$$

Veamos si es decreciente:

Sea $a_{n}= \frac{1}{n^{2}+1}$, Como $n>0$ entonces:

$$n^{2}<(n+1)^{2} \Rightarrow n^{2}+1<(n+1)^{2}+1 \Rightarrow \frac{1}{ (n+1)^{2} } > \frac{1}{ (n+1)^{2}+1 } $$

$$ \therefore a_{n}>a_{n+1} $$

Por tanto, $a_{n}$ es decreciente, sabemos que el límite:

$$ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^{2}+1}=0 $$

Por el criterio de leibniz:

$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n^{2}+1} \space converge$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

  1. $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{2n+1}$$
  2. $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{3n-1}{2n+1}$$
  3. $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{ln(n+4)}$$
  4. $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n}{\sqrt{n^{3}+2}}$$
  5. $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n}{10^{n}}$$

Más adelante…

En esta sección vimos el criterio de Leibniz que se aplica a las series alternantes y que estas series tiene que ser monótonamente decreciente y que su límite cuando $n \to \infty$ sea cero para decir si la serie es convergente o divergente, en la siguiente sección veremos más criterios de convergencia que se pueden aplicar a las series alternantes, estos criterios son el criterio de convergencia absoluta.

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