Al final de la primera unidad del curso, estudiamos bifurcaciones en familias uniparamétricas de ecuaciones autónomas de primer orden de la forma $$\frac{dy}{dt}=f_{\lambda}(y).$$ Los conceptos más elementales de dicha teoría los podemos extender a sistemas de ecuaciones de primer orden. Así podremos estudiar familias de sistemas de ecuaciones de la forma $$\dot{\textbf{X}}=\textbf{F}(\lambda, \textbf{X})$$ donde $\lambda$ es un parámetro real. Al igual que para ecuaciones autónomas de primer orden, nuestro interés se centrará en estudiar los cambios cualitativos en los puntos de equilibrio y demás soluciones al sistema conforme varía el parámetro $\lambda$. Es decir, estudiaremos las bifurcaciones en familias de sistemas de ecuaciones de primer orden.
Comenzaremos por definir los conceptos más elementales en la teoría de bifurcaciones en términos de sistemas de dos ecuaciones de primer orden. Posteriormente nos enfocaremos en estudiar algunos casos interesantes que ocurren en familias de sistemas de ecuaciones lineales. En los sistemas lineales podemos introducir el parámetro en los coeficientes de la matriz asociada al sistema. Con ayuda del plano traza – determinante, podremos analizar de mejor manera las bifurcaciones que ocurren para cada caso. En cualquier caso el número de puntos de equilibrio no cambia, ya que al ser sistemas lineales homogéneos, el origen siempre será el único punto de equilibrio, pero conforme varían los parámetros lo que cambiará es su estabilidad.
Para el caso no lineal ofreceremos dos ejemplos típicos de bifurcaciones: la bifurcación de punto silla y la bifurcación de Hopf. Para el primer ejemplo, la bifurcación provoca un cambio en el número de puntos de equilibrio, y por supuesto en la estabilidad de estos. En la bifurcación de Hopf, siempre habrá un único punto de equilibrio, pero lo que cambiará será su estabilidad, y además aparecerá una solución periódica que atrae a todas las demás soluciones.
¡Vamos a comenzar!
Bifurcaciones en sistemas de ecuaciones lineales
En el primer video definimos los conceptos elementales en la teoría de bifurcaciones, tales como familias de ecuaciones de primer orden que dependen de un parámetro y el valor de bifurcación.
En el segundo video estudiamos algunas bifurcaciones en sistemas de dos ecuaciones lineales.
Bifurcaciones en sistemas de ecuaciones no lineales
En el último video de esta entrada estudiamos un par de bifurcaciones que ocurren en sistemas no lineales: la bifurcación de punto silla y la bifurcación de Hopf.
Los campos vectoriales que aparecen en los videos fueron realizados en el siguiente enlace.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
Estudia la familia de sistemas de la forma $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$$ donde $a<0$ es un valor fijo y $\lambda$ es un parámetro real. Representa los cambios que ocurren en el plano traza – determinante, según los valores de $\lambda$.
Realiza lo mismo que el ejercicio anterior para la familia de sistemas que depende del parámetro $\lambda$ $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix}.$$
Considera la familia de sistemas $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & x^{2}+y \\ \dot{y} & = & x-y+\lambda. \end{array}$$ Encuentra todas las posibles bifurcaciones y estudia los cambios en el comportamiento de las soluciones.
Demuestra que bajo un cambio a coordenadas polares, un sistema de dos ecuaciones puede escribirse en la forma $$\begin{array}{rcl} \dot{r} & = & \frac{x\dot{x}+y\dot{y}}{r} \\ \dot{\theta} & = & \frac{x\dot{y}-\dot{x}y}{r^{2}}. \end{array}$$
(Bifurcación de Pitchfork): Realiza un estudio completo de la familia de sistemas $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -x^{3}-\lambda x \\ \dot{y} & = & -y. \end{array}$$
Más adelante
Estamos a punto de concluir nuestro curso de Ecuaciones Diferenciales. En la siguiente entrada estudiaremos los conjuntos límite, los cuáles han estado apareciendo en distintos planos fase que hemos dibujado. Además, enunciaremos y discutiremos el teorema de Poincaré – Bendixson en el plano.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
La educación en matemáticas es mucho más complicada que lo que esperabas, incluso si esperabas que es más complicada que lo que esperabas. – Edward Griffith Begle
Introducción
Nos acercamos al final de este curso. Para concluir estudiaremos un último tema que tiene que ver con los sistemas autónomos de ecuaciones diferenciales no lineales.
Resolver de forma analítica sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales puede ser una tarea sumamente complicada y en algunos casos hasta imposible, es por ello que en muchas ocasiones se opta por resolverlos con métodos numéricos. En este curso no veremos métodos numéricos y mucho menos métodos analíticos para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales debido a que requerimos de más teoría que queda fuera de este primer curso de ecuaciones diferenciales. Pero lo que si podemos hacer es un análisis cualitativo como lo hemos estado haciendo en esta unidad.
Recordemos que el espacio fase de un sistema de ecuaciones diferenciales aporta la suficiente información como para conocer de forma completa el comportamiento de los soluciones a diferentes tiempos, incluso esta información puede ser suficiente para describir el fenómeno que estemos estudiando sin la necesidad de conocer explícitamente las soluciones del sistema.
En esta y las próximas entradas comenzaremos a desarrollar métodos cualitativos que nos permitirán construir el espacio fase de sistemas no lineales y por tanto conocer el comportamiento de sus soluciones a diferentes tiempos y diferentes condiciones iniciales.
En estos momentos ya conocemos métodos analíticos y geométricos que nos permiten entender completamente a los sistemas lineales, es posible combinar estos métodos con algunas otras técnicas cualitativas adicionales para describir a los sistemas no lineales. Comenzaremos desarrollando el método de linealización, el cual nos mostrará cómo es que puede aproximarse un sistema no lineal a un punto de equilibrio por medio de un sistema lineal.
Enseguida podemos darnos cuenta de que el único punto de equilibrio del sistema es el origen. Usando la herramienta que hemos estado utilizando a lo largo de esta unidad podemos visualizar el plano fase del sistema acompañado del campo vectorial asociado.
Plano fase del sistema no lineal (1).
Las trayectorias en general no muestran un comportamiento parecido a alguno de los sistemas estudiados en las entradas anteriores y claro que debe ser así, ya que en este caso se trata de un sistema no lineal. Sin embargo, se puede notar que alrededor del punto de equilibrio, es decir del origen, si hay un comportamiento que nos parece familiar, pues se trata de una espiral que se aleja del origen (parecido a foco inestable).
Lo que haremos será aproximar el sistema (\ref{1}) con un sistema que sea mucho más fácil de analizar. Observemos que el término que hace que el sistema no sea lineal es $x^{2}y$ en la ecuación para $y^{\prime}$. Si $x$ y $y$ son pequeñas (cercanas al punto de equilibrio), entonces el término $x^{2}y$ es aún mucho más pequeño, de manera que para valores pequeños de $x$ y de $y$ es posible aproximar el sistema (\ref{1}) en un sistema lineal en el que no aparece el término $x^{2}y$, dicho sistema es
\begin{align*} x^{\prime} &= y \\ y^{\prime} &= -x + y \label{2} \tag{2} \end{align*}
Ambos sistemas deben ser muy similares en una vecindad muy próxima al punto de equilibrio, en este caso en el origen. Veamos el plano fase del sistema lineal (\ref{2}).
Plano fase del sistema lineal (2).
Si observamos con cuidado ambos planos fase vemos que efectivamente son muy similares alrededor del origen, ya que ambos corresponden a espirales que se alejan del origen.
El plano fase del sistema (\ref{2}) corresponde a un sistema con valores propios complejos. Prueba que efectivamente los valores propios son
$$\lambda_{1} = \dfrac{1 + i \sqrt{3}}{2} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \lambda_{2} = \dfrac{1 -i \sqrt{3}}{2}$$
Como son complejos con parte real positiva, sabemos que las soluciones del sistema lineal se mueven en espiral alejándose del origen.
Lo que hemos hecho se conoce como linealización del punto de equilibrio. Cerca del punto de equilibrio aproximamos el sistema no lineal por medio de un sistema lineal apropiado. Para condiciones iniciales cerca del punto de equilibrio las soluciones del sistema no lineal y de la aproximación lineal permanecen cercanas entre sí, por lo menos en algún intervalo.
El sistema no lineal (\ref{1}) se conoce como ecuación de Van der Pol y más adelante volveremos a él.
Veamos cómo sería hacer una linealización de un sistema no polinomial. Consideremos el sistema no lineal
$$\lambda_{1} = \dfrac{-1 + i \sqrt{3}}{2} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \lambda_{2} = \dfrac{-1 -i \sqrt{3}}{2}$$
Como estos números son complejos con parte real negativa, esperamos que el correspondiente punto de equilibrio para el sistema no lineal sea un foco estable.
A continuación se muestra el plano fase del sistema no lineal (\ref{3}) y posteriormente el plano fase del sistema linealizado (\ref{6}) y observemos en ambos el comportamiento de las trayectorias alrededor del punto de equilibrio $Y_{0} = (0, 0)$.
Plano fase del sistema (3).Plano fase del sistema (6).
Efectivamente, en ambos planos fase alrededor del origen presentan el mismo comportamiento correspondiente a un foco estable.
El proceso de linealización puede ser directo independientemente del sistema no lineal que tengamos, pero debemos apoyarnos de una herramienta del cálculo diferencial conocida como matriz Jacobiana.
Linealización de los puntos de equilibrio
Consideremos el siguiente sistema autónomo no lineal.
Supongamos que $Y_{0} = (x_{0}, y_{0})$ es un punto de equilibrio de este sistema (no necesariamente el origen). Queremos entender qué sucede con las soluciones cerca de $Y_{0}$, es decir, linealizar el sistema cerca de $Y_{0}$. Introducimos nuevas variables.
\begin{align*} u &= x -x_{0} \\ v &= y -y_{0} \label{8} \tag{8} \end{align*}
Lo que hacen estas variables es mover el punto de equilibrio al origen. Si $x$ y $y$ están cerca del punto de equilibrio $(x_{0}, y_{0})$, entonces $u$ y $v$ tienden a $0$.
Como los números $x_{0}$ y $y_{0}$ son constantes y además
$$x = u + x_{0} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y = v + y_{0}$$
entonces el sistema (\ref{7}) escrito en términos de $u$ y $v$ es
ya que $Y_{0} = (x_{0}, y_{0})$ es un punto de equilibrio, esto nos muestra que hemos movido el punto de equilibrio al origen en el plano $UV$.
Lo que haremos a continuación es apoyarnos de algunos resultados del curso de Cálculo III. Necesitamos eliminar los términos de orden superior o no lineales del sistema (\ref{9}). Como esas expresiones pueden incluir funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, no siempre es claro cuáles son los términos lineales. En este caso es necesario estudiar a $F_{1}$ y $F_{2}$ con más atención.
De cálculo sabemos que es posible estudiar una función analizando su mejor aproximación lineal, la cual está dada por el plano tangente para funciones de dos variables, es decir
El lado derecho es la ecuación para el plano tangente a la gráfica de $F_{1}$ en $Y_{0} = (x_{0}, y_{0})$. Recordemos que la expresión (\ref{10}) es también la aproximación polinomial de primer grado de Taylor para $F_{1}$.
Podemos, entonces, reescribir el sistema (\ref{9}) como
Donde $\vartheta_{F_{1}}$ y $\vartheta_{F_{2}}$ son los términos que forman la diferencia entre el plano tangente y las funciones $F_{1}$ y $F_{2}$, respectivamente, y son precisamente los términos que deseamos ignorar al formar la aproximación lineal del sistema.
Como $Y_{0} = (x_{0}, y_{0})$ es un punto de equilibrio, entonces
Por lo tanto, el sistema linealizado en el punto de equilibrio $Y_{0} = (x_{0},y_{0})$ es
$$\begin{pmatrix} u^{\prime} \\ v^{\prime} \end{pmatrix} = \mathbf{J} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \label{15} \tag{15}$$
Una observación importante de este proceso es que para crear el sistema linealizado sólo es necesario conocer las derivadas parciales de las componentes $F_{1}$ y $F_{2}$ del campo vectorial en el punto de equilibrio $Y_{0}$, no es necesario hacer el cambio de variable moviendo el punto de equilibrio al origen. Más adelante veremos ejemplos para mostrar este hecho.
Clasificación de los puntos de equilibrio
El método de linealización tiene como propósito usar un sistema lineal para predecir el comportamiento de las soluciones de un sistema no lineal cerca de un punto de equilibrio. En una vecindad de dicho punto, las soluciones de los sistemas lineales y no lineales están cercanas entre sí, por lo menos en un intervalo corto. Para la mayor parte de los sistemas, la información ganada al estudiar la linearización es suficiente para determinar el comportamiento a largo plazo de las soluciones del sistema no lineal cerca del punto de equilibrio.
Esta vez no seremos explícitos, pero es posible hacer una clasificación de los puntos de equilibrio en base a los valores propios de la matriz Jacobiana (\ref{14}).
Si todos los valores propios de $\mathbf{J}$ son números reales negativos o números complejos con parte real negativa, entonces $(u, v) = (0, 0)$ es un nodo atractor para el sistema lineal y todas las soluciones se acercan a $(u, v) = (0, 0)$ cuando $t \rightarrow \infty$. Para el sistema no lineal, las soluciones que empiezan cerca del punto de equilibrio $(x, y) = (x_{0}, y_{0})$ se acercan a éste cuando $t \rightarrow \infty$. Por tanto, decimos que $(x_{0}, y_{0})$ es un nodo atractor. Si los valores propios son complejos, entonces $(x_{0}, y_{0})$ es un foco estable.
De modo similar, si $\mathbf{J}$ sólo tiene valores propios positivos o complejos con parte real positiva, entonces las soluciones con condiciones iniciales cerca del punto de equilibrio $(x_{0}, y_{0})$ tienden a alejarse de éste cuando $t$ crece. Decimos entonces que para un sistema no lineal el punto $(x_{0}, y_{0})$ es una nodo repulsor. Si los valores propios son complejos, entonces $(x_{0}, y_{0})$ es un foco inestable.
Si $\mathbf{J}$ tiene un valor propio positivo y uno negativo, entonces el punto de equilibrio $(x_{0}, y_{0})$ es un punto silla.
Es importante mencionar que esta clasificación de los puntos de equilibrio para los sistemas no lineales no nos dice nada acerca del comportamiento de las soluciones con posiciones iniciales lejanas del punto de equilibrio $(x_{0}, y_{0})$.
Para concluir con esta entrada realicemos algunos ejemplos.
Ejemplo: Linealizar el siguiente sistema no lineal.
Solución: Comencemos por observar el plano fase de este sistema no lineal.
Plano fase del sistema no lineal.
Nota: Cuando estudiamos las propiedades cualitativas de las trayectorias vimos que es posible esbozar el plano fase de un sistema no lineal si resolvemos la ecuación diferencial
pero no siempre obtendremos una ecuación sencilla de resolver. En general, aún no sabemos cómo esbozar el plano fase de un sistema no lineal, lo ideal es que nosotros lo pudiéramos hacer a mano. Por ahora sólo nos estaremos apoyando de un programa que nos permite obtenerlo, más adelante veremos cómo esbozarlo no sólo cerca de los puntos de equilibrio.
Continuemos con el ejemplo. Del plano fase podemos observar que los puntos de equilibrio son
No es necesario hacer algún tipo de cambio de variable, directamente podemos determinar la matriz Jacobiana para obtener una expresión similar a (\ref{15}). Calculemos las derivadas parciales de $F_{1}(x, y)$ y $F_{2}(x, y)$.
De la primer ecuación obtenemos que $x = 0$ y $2 -x -y = 0$, de este segundo resultado vemos que $x = 2 -y$, sustituyamos ambos valores en la segunda ecuación.
Para $x =0$ obtenemos $3y =0$, de donde $y =0$. Por lo tanto, el origen es un punto de equilibrio.
Para $x =2 -y$, tenemos
$$-(2 -y) + 3y -2(2 -y)y =y^{2} -1 = 0$$
De donde $y_{1} = 1$ y $y_{2} = -1$, sustituyendo ambas raíces en $x = 2 -y$, se tiene
Plano fase del sistema linealizado en el punto de equilibrio $Y_{0} = (3, -1)$.
Por su puesto que se puede aplicar todo lo que sabemos sobre sistemas lineales, podemos determinar los valores propios y los vectores propios para obtener las soluciones generales, podemos también determinar la traza, el determinante, el discriminante y determinar la estabilidad de los puntos de equilibrio, etcétera.
Lo que estamos obteniendo es una descripción local del comportamiento de las soluciones del sistema no lineal alrededor de los puntos de equilibrio.
Una aclaración importante es que los planos fase de los sistemas lineales obtenidos están siendo graficados en el plano $UV$, es por ello que cada uno se encuentra centrado en el origen, en el origen de dicho plano.
$\square$
Finalicemos esta entrada con un ejemplo de especies en competencia.
Un modelo de especies en competencia
El sistema Volterra – Lotka es un conocido sistema para especies en competencia y es de la forma
donde $x$ y $y$ son mayores o igual a cero y los parámetros $A -F$ son siempre positivos.
Consideremos un ejemplo particular del sistema Volterra – Lotka. Sean $x$ y $y$ las poblaciones de dos especies que compiten por recursos, un incremento en cualquier especie tiene un efecto adverso sobre la razón de crecimiento de la otra. El modelo es el siguiente.
Para un valor dado de $x$, si $y$ se incrementa entonces el término $-xy$ ocasiona que $x^{\prime}$ decrezca. De forma similar, para un valor dado de $y$, si $x$ crece entonces $-2xy$ provoca que $y^{\prime}$ disminuya. Un aumento en la población de cualquiera de las especies ocasiona una disminución en la razón de crecimiento de la otra.
El plano fase del sistema no lineal es
Plano fase del sistema de especies en competencia.
Nota: El plano fase se ilustra para $x$ y $y$ en $\mathbb{R}$, sin embargo, recordemos que el sistema Volterra – Lotka sólo esta definido en el primer cuadrante en el que $x, y \geq 0$, esto debido a que no existen poblaciones negativas. Se puede observar que los cuatro puntos de equilibrio del sistema si pertenecen al primer cuadrante. Sólo consideraremos esta zona.
Consideremos el punto de equilibrio $Y_{3} = (1,1)$, el cual nos indica que es posible para las dos especies coexistir en equilibrio (como las flores y las abejas que se ayudan a sobrevivir y prosperar mutuamente).
Linealizamos el sistema alrededor del punto de equilibrio $Y_{3} = (1, 1)$, para ello evaluemos en la matriz Jacobiana.
como uno es positivo y otro negativo concluimos que el punto de equilibrio es un punto silla. El plano fase del sistema lineal es
Plano fase linealizado alrededor del punto de equilibrio $Y_{3} = (1, 1)$.
Sólo hay dos trayectorias que tienden hacia el punto de equilibrio $Y_{3} = (1, 1)$ cuando $t$ crece, de modo que bajo cualquier perturbación en las condiciones iniciales provocará que una especie domine sobre la otra, sin embargo, este modelo de especies es muy simplificado que no esperamos ver soluciones que conduzcan al punto de equilibrio $(1, 1)$ en la naturaleza.
De tarea moral linealiza el sistema para el resto de puntos de equilibrio.
$\square$
Ahora sabemos como estudiar las soluciones de un sistema no lineal alrededor de sus puntos de equilibrio, esto sólo nos dará información local, de manera que no es suficiente si lo que queremos es describir las soluciones para tiempos grandes. En la siguiente entrada veremos una técnica que nos permite describir las soluciones lejos de los puntos de equilibrio.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
Considerar los siguientes tres sistemas no lineales:
$x^{\prime} = 2x + y$ $y^{\prime} = -y + x^{2}$
$x^{\prime} = 2x + y$ $y^{\prime} = y + x^{2}$
$x^{\prime} = 2x + y$ $y^{\prime} = -y -x^{2}$
Los tres sistemas tienen un punto de equilibrio en $(0,0)$. ¿Cuáles dos sistemas tienen planos fase similares cerca de $(0,0)$?. Justificar la respuesta.
Considerar los siguientes tres sistemas no lineales:
Los tres sistemas tienen un punto de equilibrio en $(0,0)$. ¿Cuáles son los dos sistemas que tienen planos fase similares cerca de $(0,0)$?. Justificar la respuesta.
Dado el siguiente sistema no lineal:
$x^{\prime} = -2x + y$ $y^{\prime} = -y + x^{2}$
Encontrar el sistema linealizado para el punto de equilibrio $(0, 0)$.
Clasificar el punto de equilibrio.
Esbozar el plano fase para el sistema no lineal cerca del origen $(0, 0)$.
Repetir los puntos anteriores para el punto de equilibrio $(2, 4)$.
Para el modelo de población de especies en competencia
Linealizar el sistema con respecto al punto de equilibrio $(0, 0)$.
Visualizar el plano fase del sistema linealizado.
¿Los planos fase de ambos sistemas alrededor del punto de equilibrio $(0, 0)$ son similares?. ¿Qué puede estar sucediendo?.
Más adelante…
Una propiedad interesante del campo vectorial
$$F(x, y) = (F_{1}(x, y), F_{2}(x, y))$$
es que en un punto el vector $F$ puede ser totalmente vertical si la componente $F_{1}$ es cero, o bien puede ser totalmente horizontal se la componente $F_{2}$ es cero. Esta propiedad resultará sumamente útil a la hora de estudiar las trayectorias de un sistema no lineal lejos de un punto de equilibrio.
Al conjunto de puntos en los que alguna de las componentes de la función vectorial $F$ es cero se les denomina nulclinas.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
En la entrada anterior consideramos nuevamente el sistema de ecuaciones que modelaba el movimiento de un péndulo, en este caso con fricción, de la forma $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & y \\ \dot{y} & = & -\sin{x}-y \end{array}$$ y analizamos las diferencias que existen entre este sistema y el que modela al péndulo simple (sin fricción), entre ellas que el nuevo sistema ya no es hamiltoniano. Sin embargo, la función hamiltoniana $H(x,y)=\frac{1}{2}y^{2}-\cos{x}+1$ que define al sistema del péndulo simple fue útil para esbozar el plano fase del sistema con fricción.
Lo anterior nos motivó a estudiar a un conjunto de funciones que compartieran las mismas propiedades de $H$, en función de los sistemas de ecuaciones y sus puntos de equilibrio. A dichas funciones $L$ las llamamos funciones de Lyapunov. Estudiamos sus propiedades y establecimos el teorema de estabilidad de Lyapunov que nos indica la estabilidad de puntos de equilibrio cuando el sistema admite una función de Lyapunov.
En esta entrada estudiaremos un tipo particulas de sistemas para los cuales es relativamente sencillo encontrar una función de Lyapunov, bajo ciertas hipótesis que deben cumplir los puntos de equilibrio del sistema. Tales sistemas son llamados sistemas gradiente y son de la forma $$\dot{\textbf{X}}=-\nabla{G}(\textbf{X})$$ para alguna función $G: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$, que por comodidad, la tomaremos de clase $C^{\infty}$. En términos de sistemas de dos ecuaciones, que son las hemos estado estudiando, tenemos que un sistema es gradiente si $$ \begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -\frac{\partial{G}}{\partial{x}} \\ \dot{y} & = & – \frac{\partial{G}}{\partial{y}} \end{array}$$ para alguna función $G: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$. Estudiaremos sus principales propiedades y como ya mencionamos veremos cuándo este tipo de sistemas admite una función de Lyapunov.
Sistemas gradiente
En el primer video definimos a los sistemas gradientes y estudiamos sus principales propiedades. Además, encontramos una función de Lyapunov para puntos de equilibrio que son mínimos locales estrictos para la función $G$ que define al sistema gradiente.
En el segundo video estudiamos un par de sistemas gradientes, así como su plano fase.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
Sea $\dot{\textbf{X}}=-\nabla{G(\textbf{X})}$ un sistema gradiente. Prueba que $\dot{G}(\textbf{X})=0 \iff \textbf{X}$ es un punto de equilibrio del sistema.
Considera el sistema gradiente $\dot{\textbf{X}}=-\nabla{G(\textbf{X})}$. Demuestra que si $(x_{0},y_{0})$ es un mínimo local estricto para $G$, entonces es asintóticamente estable.
Demuestra que el sistema de dos ecuaciones, obtenido por la linealización de un sistema gradiente en un punto de equilibrio, tiene únicamente valores propios reales.
Considera el sistema de ecuaciones $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & y^{2}+2xy \\ \dot{y} & = & x^{2}+2xy \end{array}$$ que estudiamos en el primer ejemplo del segundo video. Linealiza el sistema en el origen y encuentra su estabilidad.
Supongamos que un sistema hamiltoniano es gradiente. Prueba que entonces la función hamiltoniana $H$ es armónica, es decir, se satisface $$\frac{\partial^{2}{H}}{\partial{x}^{2}}+\frac{\partial^{2}{H}}{\partial{y}^{2}}=0.$$ ¿El recíproco es cierto?
Da un ejemplo de un sistema que sea hamiltoniano y gradiente a la vez.
Verifica que el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & x^{2}-2xy \\ \dot{y} & = & y^{2}-x^{2} \end{array}$$ es gradiente. Esboza su plano fase.
Considera la función $G(x,y)=x^{4}+2y^{4}$. Define un sistema gradiente con dicha función, encuentra sus puntos de equilibrio, encuentra una función de Lyapunov para el sistema (si existe) y determina la estabilidad de los puntos de equilibrio.
Más adelante
En la siguiente entrada estudiaremos un poco de bifurcaciones en sistemas de dos ecuaciones de primer orden. Es decir, estudiaremos familias de sistemas de primer orden que varían respecto a un parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$. Estudiaremos primero familias de sistemas lineales, y posteriormente analizaremos un par de sistemas no lineales, cuyas bifurcaciones son comunes en dicha área de las ecuaciones diferenciales.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
En la entrada anterior definimos a los sistemas hamiltonianos, que son aquellos que tienen la forma $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & \frac{\partial{H}}{\partial{y}} \\ \dot{y} & = & -\frac{\partial{H}}{\partial{x}} \end{array}$$ para cierta función $H:\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ que llamamos función hamiltoniana. Vimos sus principales propiedades, una de las cuales nos dice que las curvas de nivel de $H$ coinciden con las curvas solución del sistema de ecuaciones. Así, estudiar el plano fase y la estabilidad de los puntos de equilibrio para este tipo de sistemas es bastante sencillo. Lamentablemente no todos los sistemas son hamiltonianos, y por lo tanto no es posible encontrar una función $H$ que sea una cantidad conservada para el sistema.
Comenzaremos estudiando el sistema de ecuaciones que modela el movimiento pendular con fricción. A diferencia del péndulo simple que no tiene fricción, este nuevo sistema no es hamiltoniano. Sin embargo, con ayuda de la función hamiltoniana que define al sistema del péndulo simple, podremos hacer un buen esbozo del plano fase. Esto ocurrirá ya que la derivada de $H$ respecto al tiempo satisface $$\dot{H}(x(t),y(t))\leq 0$$ para cualquier solución $(x(t),y(t))$ del sistema. Esto significa que las curvas solución al sistema recorren las curvas de nivel de $H$ de valores mayores a menores.
Con el análisis realizado para el sistema del péndulo con fricción, lo siguiente que haremos será estudiar un tipo de funciones que comparten las propiedades que satisface la función $H$ antes mencionada, y que llamaremos funciones de Lyapunov. Definiremos formalmente a dichas funciones y veremos sus principales propiedades, entre ellas el teorema de estabilidad de Lyapunov que nos dice que si existe una función de Lyapunov $L:U \rightarrow \mathbb{R}$ definida en una vecindad $U$ de un punto de equilibrio para un sistema de ecuaciones, entonces el punto de equilibrio es estable. Si además $\dot{L}<0$ en $U$, excepto en el punto de equilibrio, entonces este será asintóticamente estable.
¡Vamos a comenzar!
El péndulo con fricción
Comenzamos estudiando el sistema que modela el movimiento de un péndulo con fricción. Revisamos las diferencias y similitudes que mantiene con el sistema para el péndulo simple y esbozamos su plano fase con ayuda de la función hamiltoniana que define al sistema del péndulo simple.
Funciones de Lyapunov
En el video definimos a las funciones de Lyapunov, revisamos algunas propiedades interesantes y demostramos el Teorema de estabilidad de Lyapunov. Mediante un par de ejemplos observamos cuándo aplicar este último teorema.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
Esboza el plano fase del sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -xy^{4} \\ \dot{y} & = & x^{4}y. \end{array}$$ Verifica que el sistema no es hamiltoniano. Por lo tanto, existen sistemas no hamiltonianos para los cuales existen funciones que son cantidades conservadas. (Por lo dicho en el video, $L(x,y)=x^{4}+y^{4}$ es una cantidad conservada para el sistema).
Considera el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & y-2x \\ \dot{y} & = & 2x-y-x^{3}. \end{array}$$ Prueba que el origen es un punto de equilibrio. Demuestra que la función $L(x,y)=(x+y)^{2}+\frac{1}{2}x^{4}$ es una función de Lyapunov para el origen. Determina la estabilidad del punto de equilibrio.
Considera el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & y \\ \dot{y} & = & -\sin{x}-y. \end{array}$$ Prueba que los puntos de equilibrio de la forma $(m\pi,0)$ con $m$ par son asintóticamente estables, usando el último teorema del segundo video.
Prueba que el origen es el único punto de equilbirio para el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -xy \\ \dot{y} & = & x^{2}-y. \end{array}$$ Considera la función $L:U \rightarrow \mathbb{R}$ definida como $L(x,y)=x^{2}+y^{2}$ donde $U$ es un abierto que contiene a $(0,0)$. Prueba que $L$ es una función de Lyapunov para el punto de equilibrio. ¿Es $(0,0)$ asintóticamente estable?
Considera el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -2x \\ \dot{y} & = & x-y. \end{array}$$ y la función $L(x,y)=c_{1}x^{2}+c_{2}y^{2}$, $c_{1}, c_{2}$ constantes. Encuentra valores para las constantes de tal forma que $L$ sea una función de Lyapunov para el sistema.
Más adelante
En la próxima entrada definiremos un tipo particular de sistemas, los llamados sistemas gradiente. Al igual que los sistemas hamiltonianos, veremos sus principales propiedades. Además, probaremos la existencia de funciones de Lyapunov para algunos puntos de equilibrio en particular de dichos sistemas.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
Las matemáticas son la creación más poderosa y bella del espíritu humano. – Stefan Banach
Introducción
Con esta entrada culminaremos el estudio de los sistemas lineales. En la unidad 3 hicimos un estudio analítico y en esta unidad un estudio cualitativo, aunque reducido a un sistema compuesto por dos ecuaciones, esto con el fin de hacer al mismo tiempo un estudio geométrico en el plano.
A continuación presentamos un breve resumen de los visto en las entradas anteriores.
Clasificación de los planos fase y los puntos de equilibrio
El sistema que estudiamos todo este tiempo fue
\begin{align*} x^{\prime} &= ax + by \\ y^{\prime} &= cx + dy \label{1} \tag{1} \end{align*}
Este sistema lo podemos escribir en forma matricial como
$$\begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \label{2} \tag{2}$$
Si
$$\mathbf{Y}^{\prime} = \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix}, \hspace{1cm} \mathbf{Y} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$
Vimos que la naturaleza y estabilidad del punto de equilibrio quedó caracterizada por los valores propios de la matriz $\mathbf{A}$ del sistema.
El único punto de equilibrio de los sistemas lineales es el origen $Y_{0} = (0, 0)$, siempre que el determinante de $\mathbf{A}$ sea distinto de cero. En la entrada anterior teníamos que $|\mathbf{A}| = 0$, es por ello que obtuvimos infinitos puntos de equilibrio y es que el hecho de que tengamos valores propios nulos es un caso especial y poco común.
En el caso en el que no hay valores propios nulos, sabemos que en función del comportamiento de las trayectorias en relación con el punto de equilibrio aislado $Y_{0} = (0, 0)$, este punto se denominará: nodo, punto silla, centro, foco, atractor o repulsor. Recordemos cuando se da cada caso.
El punto de equilibrio es un nodo.
Este caso ocurre cuando los valores propios $\lambda_{1}$ y $\lambda_{2}$ son reales y del mismo signo.
Si $\lambda_{1} < \lambda_{2} < 0$, entonces todas las trayectorias se acercan al origen, de manera que el punto de equilibrio es un nodo atractor y será asintóticamente estable.
Nodo atractor.
Si $\lambda_{1} > \lambda_{2} > 0$, entonces todas las trayectorias se alejan del origen, por tanto, el punto de equilibrio es un nodo repulsor y será inestable.
Nodo repulsor.
El punto crítico es un punto silla.
Este caso se presenta cuando los valores propios $\lambda_{1}$ y $\lambda_{2}$ son reales y de distinto signo.
Si $\lambda_{1} < 0$ y $\lambda_{2} > 0$ ocurre que dos trayectorias rectas se acercan al origen y otras dos trayectorias rectas se separan de él, mientras que el resto de trayectorias al pasar cerca del origen inmediatamente se alejan de él. Esto nos permite concluir que todo punto silla es inestable.
Punto silla.
El punto crítico es un centro.
Este caso se presenta cuando los valores propios son imaginarios puros.
Si $\lambda_{1} = i \beta$ y $\lambda_{2} = -i \beta$, entonces las trayectorias serán curvas cerradas que rodean al origen, en general tienen forma de elipses, de modo que ninguna trayectoria tiende a él cuando $t \rightarrow + \infty $ o $t \rightarrow -\infty $, esto hace que el punto de equilibrio sea estable, pero no asintóticamente estable.
Centro.
El punto crítico es un foco.
En este caso los valores propios son complejos conjugados y tienen parte real no nula.
Si $\lambda_{1} = \alpha + i \beta$ y $\lambda_{2} = \alpha -i \beta$ con $\alpha < 0$, entonces las trayectorias son curvas en forma de espiral que, conforme $t \rightarrow + \infty$ todas se acercan al origen, es por ello que el punto de equilibrio es asintóticamente estable.
Foco estable.
Si $\lambda_{1} = \alpha + i \beta$ y $\lambda_{2} = \alpha -i \beta$ con $\alpha > 0$, entonces las trayectorias son curvas en forma de espiral que, conforme $t \rightarrow + \infty$ todas se separan del origen, es por ello que el punto de equilibrio es inestable.
Foco inestable.
El punto crítico es un atractor o un repulsor.
Este caso se presenta cuando un sistema lineal tiene valores propios reales, del mismo signo, pero además iguales.
Si $\lambda_{1} = \lambda_{2} < 0$, entonces las trayectorias tienden hacia el origen en forma de rayos o curvas dependiendo de si es posible determinar dos vectores propios o uno propio y otro generalizado. En este caso el punto de equilibrio es un atractor y es asintóticamente estable.
Atractor.
Si $\lambda_{1} = \lambda_{2} > 0$, entonces las trayectorias se alejan el origen en forma de rayos o curvas dependiendo de si es posible determinar dos vectores propios o uno propio y otro generalizado. En este caso el punto de equilibrio es un repulsor y es inestable.
Repulsor.
Los puntos críticos son una recta.
En este caso particular hay infinitos puntos de equilibrio, todos sobre una recta y ocurre cuando uno o ambos valores propios son cero.
Líneas de puntos fijos inestables.
Líneas de puntos fijos estables.
Como podemos ver, las características de las trayectorias y de los puntos de equilibrio en el plano fase quedan determinadas por los valores propios de la matriz de coeficientes $\mathbf{A}$. Sin embargo, estas características también se pueden describir en términos de la traza $T$ y del determinante $D$ de la matriz de coeficientes $A$, veamos como es esto.
La traza y el determinante de la matriz de coeficientes
Consideremos la matriz de coeficientes
$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \label{4} \tag{4}$$
Sabemos que la traza de una matriz se define como la suma de los elementos de la diagonal principal de dicha matriz. En nuestro caso, la traza de $\mathbf{A}$ es
$$T = Tr(\mathbf{A}) = a + d \label{5} \tag{5}$$
Por otro lado, el determinante de la matriz $\mathbf{A}$ es
$$D = |\mathbf{A}| = ad -bc \label{6} \tag{6}$$
Consideremos la ecuación característica de $\mathbf{A}$.
$$|\mathbf{A} -\lambda \mathbf{I}| = \begin{vmatrix} a -\lambda & b \\ c & d -\lambda \end{vmatrix} = 0 \label{7} \tag{7}$$
El polinomio característico es
$$P(\lambda) = (a -\lambda)(d -\lambda) -bc = \lambda^{2} -(a + d) \lambda + (ad -bc) \label{8} \tag{8}$$
Si sustituimos las ecuaciones (\ref{5}) y (\ref{6}) en la ecuación característica se tiene
$$\lambda^{2} -T \lambda + D = 0 \label{9} \tag{9}$$
Hemos logrado escribir a los valores propios de $\mathbf{A}$ en términos de la traza y del determinante de la misma matriz $\mathbf{A}$.
De tarea moral, usando (\ref{10}) calcula explícitamente las operaciones $(\lambda_{1} + \lambda_{2})$ y $(\lambda_{1} \cdot \lambda_{2})$ y verifica que se satisfacen las siguientes relaciones importantes.
Es decir, la traza y el determinante de $\mathbf{A}$ también se pueden escribir en términos de los valores propios de $\mathbf{A}$.
El análisis cualitativo que hemos hecho a lo largo de las últimas entradas ha sido en función de los valores propios, recordemos que las posibilidades son
Valores propios reales y distintos:
$\lambda_{1} < \lambda_{2} < 0$.
$\lambda_{1} > \lambda_{2} > 0$.
$\lambda_{1} < 0$ y $\lambda_{2} > 0$.
Valores propios complejos:
$\lambda_{1} = \alpha + i \beta$ y $\lambda_{2} = \alpha -i \beta$ con $\alpha < 0$.
$\lambda_{1} = \alpha + i \beta$ y $\lambda_{2} = \alpha -i \beta$ con $\alpha = 0$.
$\lambda_{1} = \alpha + i \beta$ y $\lambda_{2} = \alpha -i \beta$ con $\alpha > 0$.
Valores propios repetidos:
$\lambda_{1} = \lambda_{2} < 0$.
$\lambda_{1} = \lambda_{2} > 0$.
Valores propios nulos
$\lambda_{1} = 0$ y $\lambda_{2} < 0$.
$\lambda_{1} = 0$ y $\lambda_{2} > 0$.
$\lambda_{1} = \lambda_{2} = 0$.
Sin embargo, ahora podemos analizar cada caso pero en función de los valores de la traza $T$ y el determinante $D$ de $\mathbf{A}$, ya que inmediatamente podemos notar de (\ref{10}) que los valores propios de $\mathbf{A}$ son complejos si $T^{2} -4D < 0$, son repetidos si $T^{2} -4D = 0$, y son reales y distintos si $T^{2} -4D > 0$.
El plano Traza – Determinante
Comenzaremos a hacer un nuevo bosquejo para los sistemas lineales examinando el conocido plano traza – determinante. El eje $T$ corresponderá a la línea horizontal y representa a la traza, mientras que el eje $D$ corresponderá a la vertical y representa al determinante. En este plano la curva
$$T^{2} -4D = 0$$
o su equivalente,
$$D(T) = \dfrac{T^{2}}{4} \label{13} \tag{13}$$
es una parábola con concavidad hacia arriba. Arriba de ésta encontramos $T^{2} -4D < 0$, y abajo de ella $T^{2} -4D > 0$, tal como se muestra en la siguiente figura.
Plano traza – determinante.
Para usar este plano, calculamos primero $T$ y $D$ para una matriz $\mathbf{A}$ dada y luego localizamos el punto $(T, D)$ en el plano. De forma inmediata podremos visualizar si los valores propios son reales, repetidos o complejos, dependiendo de la posición de $(T, D)$ respecto a la parábola.
Ejemplo: Determinar el tipo de valores propios que tiene el siguiente sistema lineal.
Como $T^{2} -4D < 0$, entonces inmediatamente concluimos que los valores propios son complejos conjugados. Ahora bien, aún no sabemos si se trata de un centro o algún tipo de espiral, pero por el momento no nos preocupemos por ello.
Sólo con el fin de conocer el tipo de soluciones que tiene el sistema, su plano fase es el siguiente.
Plano fase del sistema.
Las trayectorias del sistema corresponden a espirales y el punto de equilibrio es un foco inestable. Observa que la figura ya nos da los valores de la traza, el determinante y el discriminante, aunque con una notación distinta.
Ahora puedes regresar a visualizar los planos fase de todos los ejemplos que hicimos en las 4 entradas anteriores y poner más atención en los valores de la traza y el determinante.
$\square$
Por su puesto que podemos hacer mucho más en el plano traza – determinante. Por ejemplo, desearíamos no sólo saber si los valores propios de $\mathbf{A}$ son complejos, repetidos o reales, sino que también conocer si tienen parte real nula o distinta de cero o si son reales positivos, negativos o de distinto signo, etcétera.
A continuación haremos un análisis más detallado sobre las raíces (\ref{10}) y veremos que tipo de información nos proporciona sobre los sistemas lineales.
Recordemos que los valores propios de $\mathbf{A}$, en términos de la traza y el determinante de $\mathbf{A}$ son
Atendiendo a los diferentes valores de $T$ y $D$, se tiene:
Si $T^{2} -4D < 0$, entonces los valores propios $\lambda_{1}$ y $\lambda_{2}$ son complejos conjugados con parte real igual a $T /2$. Se tienen los siguientes casos:
Los valores propios son imaginarios puros si $T = 0$ (centro y estabilidad).
Los valores propios tienen parte real negativa cuando $T < 0$ (foco y estabilidad asintótica).
Los valores propios tienen parte real positiva cuando $T > 0$ (foco e inestabilidad).
Si consideramos el plano traza – determinante y denotamos por $O$ al origen podremos asegurar que por encima de la parábola $T^{2} -4D = 0$ se tiene:
En el eje $OD$ se presentan los centros y hay estabilidad.
A la izquierda del eje $OD$ se presentan los focos y hay estabilidad asintótica.
A la derecha del eje $OD$ también se presentan focos, pero hay inestabilidad.
Si $D < 0$, entonces se tiene $T^{2} -4D > T^{2}$. En este caso los valores propios son reales y de distinto signo, lo que significa que se presentarán puntos silla e inestabilidad. En el plano traza – determinante los encontraremos por debajo del eje $T$.
Si $D > 0$ y $T^{2} -4D \geq 0$, entonces los valores propios son reales y tienen el mismo signo que $T$. Los casos posibles son:
Si $T < 0$, se tiene:
Cuando $T^{2} -4D = 0$, los valores propios son iguales y negativos (atractor y estabilidad asintótica).
Cuando $T^{2} -4D > 0$, los valores propios son reales, distintos y negativos (nodo atractor y estabilidad asintótica).
Si $T > 0$, se tiene:
Cuando $T^{2} -4D = 0$, los valores propios son iguales y positivos (repulsor e inestabilidad).
Cuando $T^{2} -4D > 0$, los valores propios son reales, distintos y positivos (nodo repulsor e inestabilidad).
Si $D = 0$, entonces uno o ambos valores propios son cero. Los siguientes casos se obtienen directamente de (\ref{11}) y (\ref{12}).
Si $T = 0$ (origen), entonces ambos valores propios son cero (recta de puntos de equilibrio y trayectorias paralelas a dicha recta).
Si $T > 0$, entonces un valor propio es cero y el otro es positivo (recta de puntos de equilibrio inestables y trayectorias rectas que se alejan de la recta de puntos de equilibrio).
Si $T < 0$, entonces un valor propio es cero y el otro es negativo (recta de puntos de equilibrio asintóticamente estables y trayectorias rectas que tienden a la recta de puntos de equilibrio).
¡Todo lo que hemos aprendido sobre sistemas lineales homogéneos compuestos por dos ecuaciones diferenciales de primer orden con coeficientes constantes, incluyendo todas las características anteriores, se resume en el siguiente diagrama!.
Plano traza – determinante con todas las posibilidades de planos fase.
Veamos un ejemplo.
Ejemplo: Caracterizar el siguiente sistema lineal.
Como $T > 0$, $D > 0$ y $T^{2} -4D = 0$, vamos al punto 3 y deducimos que el sistema lineal tiene valores propios iguales y positivos. De acuerdo a las ecuaciones (\ref{11}) y (\ref{12}) se tiene el siguiente sistema.
\begin{align*} T &= 2 = \lambda_{1} + \lambda_{2} \\ D &= 1 = \lambda_{1}\lambda_{2} \end{align*}
De la primer ecuación obtenemos $\lambda_{1} = 2 -\lambda_{2}$, sustituyendo en la segunda ecuación se tiene
La única raíz es $\lambda_{2} = 1$, sustituyendo en cualquier ecuación del sistema obtenemos que $\lambda_{1} = 1$. Por lo tanto, el único valor propio de la matriz $\mathbf{A}$ es $\lambda = 1$ (iguales y positivos, tal como lo habíamos deducido).
Si vamos al plano traza – determinante, como $T > 0$ y $D > 0$, entonces estamos en el primer cuadrante, pero además $T^{2} -4D = 0$, así que estamos situados sobre la parábola del primer cuadrante, exactamente en el punto $(T, D) = (2, 1)$, esto nos permite concluir que el plano fase del sistema corresponde a repulsor.
El plano fase del sistema es el siguiente.
Plano fase del sistema.
Efectivamente se trata de un repulsor.
$\square$
Debido a que cada punto del plano traza – determinante representa un plano fase distinto, el plano traza – determinante es un ejemplo de lo que se conoce como plano paramétrico.
El plano paramétrico
El plano traza – determinante es un ejemplo de un plano paramétrico. Los elementos de la matriz $\mathbf{A}$ son parámetros que se pueden ajustar, cuando esos elementos cambian, la traza y el determinante de la matriz también se modifican y el punto $(T, D)$ se mueve en el plano paramétrico. Cuando este punto entra en las diversas regiones del plano traza – determinante, debemos imaginar que los retratos fase asociados también experimentan transformaciones.
El plano traza – determinante es un esquema de clasificación del comportamiento de todas las posibles soluciones de sistemas lineales.
En este enlace se tiene acceso a una herramienta visual del plano paramétrico. En él se puede mover el punto $(T, D)$ a lo largo de las diferentes regiones del plano traza – determinante a la vez que visualizamos el tipo de planos fase que se generan. ¡Pruébalo y diviértete!
Con esto concluimos el estudio de los sistemas lineales. Cabe mencionar que el plano traza – determinante no da una información completa sobre el sistema lineal tratado.
Por ejemplo, a lo largo de la parábola $T^{2} -4D = 0$ tenemos valores propios repetidos, pero no podemos determinar si tenemos uno o varios vectores propios linealmente independientes. para saberlo es preciso calcularlos.
De modo similar, no podemos determinar la dirección en que las soluciones se mueven alrededor del origen si $T^{2}-4D < 0$. Por ejemplo, las dos matrices
tienen traza $T = 0$ y determinante $D = 1$, pero las soluciones del sistema $\mathbf{Y}^{\prime} = \mathbf{AY}$ se mueven alrededor del origen en el sentido de las manecillas del reloj, mientras que las soluciones de $\mathbf{Y}^{\prime} = \mathbf{BY}$ viajan en el sentido opuesto.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
Hacer un análisis cualitativo de los siguientes sistemas lineales apoyándose de la traza y el determinante de la matriz de coeficientes $\mathbf{A}$, así como del plano traza – determinante. Es decir, de acuerdo al valor de la traza $T$, el determinante $D$ y el discriminante $T^{2} -4D$, determinar que tipo de valores propios tiene el sistema, así como el tipo de plano fase y estabilidad del punto de equilibrio.
Estamos cerca de concluir el curso. En las próximas entradas estudiaremos de manera cualitativa a los sistemas no lineales compuestos por dos ecuaciones diferenciales de primer orden.
En particular, en la siguiente entrada veremos que alrededor de un punto de equilibrio de un sistema no lineal las trayectorias son muy parecidas a las de un sistema lineal lo que nos permitirá observar el comportamiento que tienen las soluciones del sistema no lineal, al menos cerca de un punto de equilibrio.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
