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Nociones topológicas básicas en espacios métricos

Por Lizbeth Fernández Villegas

4 respuestas

$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

Ya que hemos visto cómo son las bolas abiertas en diferentes métricas, procederemos a analizar cómo son cuando las comparamos con un conjunto $A \subset X$. Como recurso, usaremos imágenes representativas con la intención de ayudar en la abstracción de los conceptos que a continuación se anuncian. Aunque las bolas no necesariamente se representan siempre como circunferencias (métrica del taxista), o como objetos con bordes punteados (como el segmento vertical que forma parte de la bola abierta en la métrica del ascensor), para fines gráficos rescataremos la idea de usar líneas punteadas para hacer alusión al «borde» de una bola abierta, sugiriendo que son puntos en el conjunto $X$ que no están en ella. Por el contrario, representaremos con lineas continuas a los puntos que sí formen parte de un conjunto dado.

Unas breves comparaciones entre subconjuntos y puntos

Para iniciar, pensemos en un espacio métrico $(X,d)$:

Representación de un espacio métrico $X.$

Y en un conjunto $A$ contenido en $X$:

Representación de un conjunto $A$ contenido en un espacio métrico $X.$

Identifiquemos puntos arbitrarios en $X$:

Representación de puntos en el espacio métrico $X.$

Entonces un punto $x \in X$ puede pertenecer o no al conjunto $A$.
Si $x \in A$, entonces una bola abierta con centro en $x$ podría tener puntos tanto en $A$ como en $X \setminus A$.

Representación de una bola abierta con centro en $A$ y con puntos «dentro» y «fuera» del conjunto $A.$
Representación de otra bola abierta con centro en $A$ y con puntos «dentro» y «fuera» del conjunto $A.$

o bien, puede tener todos sus puntos en $A$

Representación de una bola abierta con centro en $A$ y con todos sus puntos en $A.$

¿Puede haber una bola con centro en un punto en $A$ que esté totalmente contenida en el conjunto $X \setminus A$?

Por otro lado, si consideramos ahora $x \notin A$ , una bola abierta con centro en $x$ podría tener puntos tanto en $A$ como en $X \setminus A$.

Representación de una bola abierta con centro en $X \setminus A$ y con puntos «dentro» y «fuera» del conjunto $A.$
Representación de otra bola abierta con centro en $X \setminus A$ y con puntos «dentro» y «fuera» del conjunto $A.$

O bien, puede solo tener puntos en $X \setminus A$

Representación de una bola abierta con centro en $X \setminus A$ y con todos sus puntos en $X \setminus A.$

¿Es posible que una bola con centro en un punto en $X \setminus A$ esté totalmente contenida en $A$?.

Habiendo hecho estos comentarios generales, asignemos términos a los puntos de $X$ según las condiciones que cumplan las bolas abiertas asociadas.

Conceptos topológicos en un espacio métrico

Definición. Punto interior de un conjunto. Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Decimos que $x$ es punto interior de $A$ en $(X,d)$ si existe $\varepsilon > 0$ tal que $B(x,\varepsilon) \subset A$.

Representación de una bola abierta con centro en $x$ contenida en $A.$

Aunque $x$ pueda tener alguna bola abierta que no esté «totalmente» contenida en $A$, basta con que exista una que sí lo esté para que a $x$ se le considere un punto interior.

Representación de bolas abiertas con centro en un punto interior $x.$ Existe una contenida en $A.$

De acuerdo con la definición, un punto $x \in X$ no será punto interior de $A$ cuando para todo $ \varepsilon >0, B(x,\varepsilon)$ tiene puntos en $X \setminus A$. Los siguientes esquemas muestran puntos que no son puntos interiores del conjunto $A$ (tal vez sí lo sean de otro conjunto).

Representación de las bolas abiertas con centro en un punto que no es punto interior de $A.$
Representación de las bolas abiertas con centro en un punto que no es punto interior de $A.$
Representación de las bolas abiertas con centro en un punto que no es punto interior de $A.$

Definición. Interior de un conjunto. El conjunto formado por todos los puntos interiores de $A$ se denomina interior de $A$ en $(X,d)$ y se denota como:
$$Int (A) := \{x \in X|x \text{ es punto interior de A}\}$$

Representación de puntos que tienen una bola abierta contenida en $A.$

El conjunto $Int(A)$ se representa de la siguiente manera:

Representación de todos los puntos interiores de $A.$

Definición. Conjunto abierto. Diremos que $A \subset X$ es un conjunto abierto en $(X,d)$ si $A=Int(A)$.

Nota que en la definición de punto interior, no hemos pedido, explícitamente, que el punto en cuestión pertenezca a $A,$ pero si pruebas que para todo $A \subset X$ se cumple que $Int(A) \subset A$ notarás que un conjunto $A$ es abierto cuando todos sus puntos son puntos interiores, es decir, cuando también $A \subset Int(A)$. El conjunto $A$ que estamos considerando en nuestros dibujos no es abierto, pues tiene puntos que no son puntos interiores.

Representación de un punto de $A$ que no tiene una bola abierta contenida en $A.$

Pero si tomamos un conjunto $A$ de la siguiente forma, sí coincide con su interior y por lo tanto, es abierto.

Representación de un conjunto $A$ donde todos sus puntos son puntos interiores de $A.$

Definición. Punto de contacto o punto de adherencia. Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Se dice que $x$ es punto de contacto (o de adherencia) de $A$ en $(X,d)$ si para todo $\varepsilon >0$ se cumple que $B(x,\varepsilon) \cap A \neq \emptyset$.

Representación de un punto de contacto de $A.$
Representación de un punto de contacto de $A.$

Incluso un punto que no esté en $A$ podría ser punto de contacto de $A$.

Representación de un punto de contacto de $A$ que no está en $A.$

Pero si existe una bola abierta con centro en $x$ que no interseca al conjunto $A,$ $x$ no será punto de contacto, incluso si sí tuviera alguna bola que sí interseca al conjunto $A.$

Representación de un punto de $X$ que no es punto de contacto de $A.$

Definición. Cerradura o adherencia de un conjunto. El conjunto formado por todos los puntos de contacto es denominado la cerradura de $A$ en $(X,d)$, y se denota como:

$$ \overline {A} := \{x \in X| x \text{ es punto de contacto de A}\}$$

Representación de puntos de contacto del conjunto $A.$

Todos los puntos de contacto de $A$.

Representación de la cerradura de $A.$

Definición. Conjunto cerrado. Diremos que un conjunto $A \subset X$ es un conjunto cerrado en $(X,d)$ si $A=\overline{A}$.
Si pruebas que para todo $A \subset X$ se satisface que $A \subset \overline{A}$ notarás que un conjunto $A$ es cerrado cuando todos sus puntos de contacto están en $A$, es decir, cuando $\overline{A} \subset A$. En el ejemplo que estamos manejando, $A$ no es cerrado, pues tiene puntos de contacto que no están en $A$:

Representación de un punto de contacto de $A$ que no está en $A.$

Pero si $A$ fuera considerado inicialmente de esta forma, sí coincide con su cerradura y por tanto, es cerrado:

Representación de un conjunto que tiene como elementos a todos sus puntos de contacto.

Al final de esta sección se te propondrá como ejercicio demostrar que $A \subset X$ es un conjunto cerrado en $(X,d)$ si y solo sí su complemento $X \setminus A$ es un conjunto abierto en $(X,d)$.

Representación de un conjunto $A$ cerrado y su complemento abierto.

Definición. Bola cerrada. Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Considera un punto $x \in X$ y $\varepsilon \in \mathbb {R}, \, \varepsilon>0$. La bola cerrada con centro en $x$ y radio $\varepsilon$ se define como el conjunto de puntos en $X$ tales que el valor de su distancia al punto $x$ es menor o igual que $\varepsilon$. Se denota como:

$$\overline{B}(x,\varepsilon) := \{y \in X | d(x,y) \leq \varepsilon \}$$

Nota: A diferencia de la bola abierta, la bola cerrada sí incluye a los puntos cuya distancia al centro es exactamente $\varepsilon$.

Antes de poner un círculo «cerrado» como representación de una bola cerrada, enunciemos la siguiente:

Proposición. La cerradura de una bola abierta $B(x,\varepsilon)$ (denotado como $\overline{B(x,\varepsilon)}$) no coincide, necesariamente con la bola cerrada $\overline{B}(x,\varepsilon)$. Veamos un contraejemplo con la métrica discreta en $\mathbb{R}^2$ y con $\varepsilon=1$.

Dado un punto $x$ en $\mathbb{R}^2$, según la definición, la bola cerrada de radio $1$ con centro en $x$ es el conjunto:

\begin{align*}
\overline{B}(x,1) :&= \{y \in \mathbb{R}^2 | d(x,y) \leq 1\}\\
&= \mathbb{R}^2
\end{align*}

Pues la distancia entre dos puntos en la métrica discreta solo puede ser $0$ o $1$.

Representación de una bola cerrada de radio $1$ en $\mathbb{R}^2$ con la métrica discreta.

Pero si consideramos que para todos los puntos $y$ de $\mathbb{R}^2$ la bola abierta $B(y,1)= \{y\}$, (pues la distancia entre $y$ y el resto de los puntos en $\mathbb{R}^2$ no es menor que $1$), veremos que todos los puntos en $\mathbb{R}^2$ que son distintos de $x$ tienen una bola abierta que no interseca a $B(x,1)$, por lo tanto no hay ningún punto de $\mathbb{R}^2$ diferente de $x$ que esté en la cerradura de $B(x,1)= \{x\}$. En conclusión $\overline{B(x,1)}=\{x\}$.

Representación de la cerradura de una bola abierta de radio $1$ en $\mathbb{R}^2$ con la métrica discreta.

Proposición. En espacios normados la cerradura de una bola abierta sí es la bola cerrada. Es decir $\overline{B(x,\varepsilon)} = \overline{B}(x,\varepsilon)$. La demostración se propone como ejercicio.

Definición. Punto de acumulación. Sea $A$ un subconjunto de un espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Decimos que $x$ es punto de acumulación de $A$ en $(X,d)$ si para todo $ \varepsilon >0$ se cumple que $(B(x,\varepsilon) \setminus \{ x \}) \cap A \neq \emptyset$. Nota que a diferencia del punto de contacto, el punto de acumulación se descarta de la intersección entre las bolas abiertas y $A$.

Representación de bolas abiertas que intersecan al conjunto $A$ incluso quitando el centro.

¿Es un punto de contacto también un punto de acumulación en cualquier métrica?

Proposición. Toda bola abierta que tiene un punto de acumulación de $A$, tiene también una cantidad infinita de puntos en $A.$

Demostración:
Supón que $x \in X$ es un punto de acumulación de $A$ y que $x \in B(y,\varepsilon), y \in X, \varepsilon>0$.

Representación de un punto de acumulación $x$ como elemento de una bola abierta con centro en $y.$

Supón también que, contrario a lo que se quiere demostrar, esta bola abierta tiene una cantidad finita de puntos en $A$, digamos $\{x_1,x_2,…,x_n\}$ distintos de $x$.

Representación de la cantidad finita de puntos que suponemos pertenecen a la bola abierta con centro en $y.$

Considera $\varepsilon_{i}:=d(x,x_i), \, i=1,2,…,n \,$ la distancia entre cada uno de ellos a $x$. Sea $\varepsilon_0>0$ tal que $B(x,\varepsilon_0) \subset B(y,\varepsilon).$ Esta $\varepsilon_0$ existe porque $x$ es elemento de $B(y,\varepsilon) \, $ y toda bola abierta es un conjunto abierto en el espacio métrico (se dejará como ejercicio al final de esta sección).
Sea $\varepsilon_{m}= min\{\varepsilon_{i}|i=0,…,n\}$. Entonces el conjunto $B(x,\varepsilon_{m})\setminus \{x\}$ deja fuera todos los puntos de $A$, pues para todo $ \, x_i, i=1,…,n$ pertenecientes a $A \cap B(y,\varepsilon), \varepsilon_{m} \leq d(x,x_i)$, por lo tanto existe una bola abierta que, al quitarle el punto $x$ no interseca a $A$.

Representación de una bola abierta con centro en $x$ que es punto de acumulación, pero al «quitar» $x$ no interseca al conjunto $A.$

Entonces $x$ no es un punto de acumulación de $A$, lo cual es una contradición a la hipótesis. Por lo tanto una bola abierta que tenga un punto de acumulación de $A$, tiene también una cantidad infinita de puntos en $A$.

Nota: Se puede concluir también que un conjunto finito no tiene puntos de acumulación.

Definición. Punto frontera de un conjunto. Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Decimos que $x$ es punto frontera de $A$ en $(X,d)$ si para toda $\varepsilon > 0$ se cumple que $B(x,\varepsilon) \cap A \neq \emptyset$ y también $B(x,\varepsilon) \cap (X/A) \neq \emptyset$ .

Representación de bolas abiertas que tienen puntos tanto «dentro» como «fuera» del conjunto $A.$

Definición. Conjunto frontera de un conjunto. El conjunto formado por todos los puntos frontera es denominado la frontera de $A$ en $(X,d)$, y se denota como:

$$\partial A := \{x \in X| x \text{ es punto frontera de A}\}$$

Representación de la frontera de $A.$

Proposición. Prueba que $\partial A := \overline{A} \setminus Int(A)$. La demostración se propone como ejercicio.

La Topología es un área de las Matemáticas que generaliza estos conceptos del espacio métrico. Estudia familias de subconjuntos de un conjunto $X$ donde los elementos, (que son subconjuntos de $X),$ se denominan abiertos en $X.$ Si esta familia $\tau \subset \mathcal{P}(X) \,$ de abiertos satisface que tiene al conjunto $X$ y al conjunto $\emptyset$ como elementos, que la unión arbitraria de abiertos es también un abierto y que la intersección de dos conjuntos abiertos es un conjunto abierto, decimos que $\tau$ es una topología, o un espacio topológico en $X.$ (Para saber más ver Antonyan, S., Curso de Topología. Facultad de Ciencias, UNAM). Para finalizar con esta sección, veamos por qué un espacio métrico es un espacio topológico:

Proposición. Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Entonces cumple con los siguientes axiomas:

  • 1. Los conjuntos $X$ y $\emptyset$ son abiertos en $(X,d)$.
  • 2. Si $\{U_i\}:i \in \mathcal{I}$ es una colección de conjuntos abiertos de $X$ entonces la unión $\cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ es un conjunto abierto.
  • 3. Si $U$ y $V$ son subconjuntos abiertos de $X$ entonces la intersección $U \cap V$ es un conjunto abierto en $X$.

Demostración:
Para demostrar que $X$ es abierto, demostraremos que cada punto en $X$ es un punto interior de $X$. Sea $x \in X$ y $\varepsilon>0$, por definición $B(x,\varepsilon)= \{y \in X|d(x,y)<\varepsilon \} \subset X. \,$ Por lo tanto para todo $\, x\in X, \, x \in Int(X)$. Se concluye que $X$ es abierto. La propiedad para el conjunto $\emptyset$ se cumple por vacuidad.

Representación de una bola abierta con centro en $x$ contenida en $X.$

Sea $x \in \cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i \,$ entonces $x \in U_{i_0}$ para algún $i_0 \in \mathcal{I}$. Como particularmente $U_{i_0}$ es un conjunto abierto, entonces existe $\varepsilon>0$ tal que$ B(x,\varepsilon) \subset U_{i_0} \subset \cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$. Por lo tanto para todo $ \, x\in \cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ se cumple que $x \in Int(\cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i)$, en consecuencia $\cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ es un conjunto abierto en $X$.

Representación de una bola abierta con centro en $x$ contenida en la unión de abiertos.

Si $x \in U \cap V$ para $U,V$ abiertos en $X$, entonces $x \in U$ y $x \in V$ de modo que existen $\varepsilon_1 >0$ y $\varepsilon_2 >0$ tales que $B(x,\varepsilon_1) \subset U$ y $B(x,\varepsilon_2) \subset V$. Sea $\varepsilon= min \{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}$ entonces $B(x,\varepsilon) \subset B(x,\varepsilon_1) \subset U$ y $B(x,\varepsilon) \subset B(x,\varepsilon_2) \subset V$. Así, $B(x,\varepsilon) \subset U \cap V$, probando así que para todo $\, x \in U \cap V, x \in Int(U \cap V)$. Por lo tanto $U \cap V$ es un conjunto abierto en $X.$

Representación de una bola abierta con centro en $x$ contenida en la intersección de dos abiertos.

Más adelante…

Pondremos en práctica las nociones aquí aprendidas para analizar espacios métricos de funciones. Una vez conocido mejor ese espacio, continuaremos con la generalización de definiciones vistas en los cursos de cálculo y hablaremos de convergencia de sucesiones, límite y continuidad en espacios métricos.

Tarea moral

Sea $X$ un espacio métrico y $A \subset X$. Demuestra que se cumplen las siguientes afirmaciones:

  1. Una bola abierta en $X$ es un conjunto abierto.
  2. El conjunto $Int(A)$ es abierto.
  3. Para todo $A \subset X$, $Int(A) \subset A$.
  4. Una bola cerrada en $X$ es un conjunto cerrado.
  5. El conjunto $\overline{A}$ es cerrado.
  6. $A$ es un conjunto cerrado en $(X,d)$ si y solo sí su complemento $X \setminus A$ es un conjunto abierto.
  7. La frontera de $A$ es un conjunto cerrado.
  8. Si $A$ es finito, entonces es cerrado.
  9. En espacios normados la cerradura de una bola abierta sí es la bola cerrada. Es decir $\overline{B(x,r)} = \overline{B}(x,r)$.
  10. ¿Es siempre la frontera de una bola abierta $B(x,d)$ el mismo conjunto de puntos $y \in X$ donde se cumple la igualdad $d(x,y)=\varepsilon? \,$ Demuestra que en espacios normados sí ocurre.
  11. $\partial A = \overline{A} \setminus Int(A)$.

Bibliografía

  • Apostol, T., Análisis Matemático (2a ed.). México: Editorial Reverté, 1996. Págs: 60-66 y 74-77.
  • Bartle, R.G., The Elements of Real Analysis. New York: J. Wiley, 1964.Págs: 69-74.
  • Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2013. Págs: 37-43.
  • Jost, J., Postmodern Analysis (3rd ed.). New York: Springer-Verlag, 2005. Págs: 84-87.
  • Kolmogorov, A.N., Fomin, S.V., Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. (2a ed.). Moscú: Editorial MIR, 1975. Págs: 60-62 y 64-66.
  • Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). New York: McGraw–Hill, 1953. Págs: 32-35.

Enlaces

La bola abierta en un espacio métrico

Por Lizbeth Fernández Villegas

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$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

Probablemente recuerdes que en los cursos de Cálculo Diferencial e Integral se habló de bolas de radio $\varepsilon>0$ con centro en un punto $x$. Había otros conjuntos, como los conjuntos abiertos y cerrados, de los que habrás visto representaciones gráficas, (puedes consultar la entrada $\mathbb{R}^n$ como espacio Topológico para tener presente los conceptos en la métrica usual). Estas ideas pueden generalizarse a otros espacios con métrica distinta a la euclidiana. En la sección que aquí se presenta visualizaremos algunos ejemplos y comprobarás que conjuntos como la bola abierta, quedan representados por figuras diferentes a las ya conocidas (no siempre se trata de círculos o esferas). Observarás los cambios que las métricas pueden generar, incluso cuando también se trata de distancias en el conjunto $\mathbb {R}^n$.
Comencemos por identificar puntos que estén “cerca” entre sí, aquellos cuya distancia no exceda cierta cantidad. Para eso tenemos la siguiente:

Definición. Bola abierta. Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Considera un punto $x \in X$ y $\varepsilon \in \mathbb {R}$ tal que $\varepsilon>0$. La bola abierta con centro en $x$ y radio $\varepsilon$ se define como el conjunto de puntos en $X$ tales que el valor de su distancia al punto $x$ es menor que $\varepsilon$. Se denota como:

$$B(x,\varepsilon) := \{y \in X | d(x,y) < \varepsilon\}$$

Representación de bola abierta con centro en $x.$ Los puntos en verde tienen distancia a $x$ menor que $\varepsilon,$ contrario a los puntos rojos.

Nota que si $x$ es el centro, entonces siempre está en la bola abierta sin importar el valor de $\varepsilon > 0$, pues precisamente, $d(x,x)=0<\varepsilon$

Ejemplos de bolas abiertas en espacios métricos

La bola abierta en la métrica discreta

Recordemos que en la métrica discreta, la distancia entre dos puntos diferentes siempre es $1$. Entonces, si $0<\varepsilon<1$ la bola abierta solo tendrá como elemento al centro.

Representación de $B(x, \varepsilon ),$ con $0 < \varepsilon<1 $ en la métrica discreta.

Por el contrario, si $\varepsilon>1$ la bola abierta tendrá como elementos a todos los elementos del espacio métrico.

Representación de $B(x, \varepsilon ),$ con $\varepsilon > 1 $ en la métrica discreta.

La bola abierta en $\mathbb{R}$ con la métrica euclidiana

Considera el conjunto $\mathbb{R}$ con la métrica usual.
\[
d(x,y) := |x-y| := \left\{ \begin{array}{lcc}
x-y & si & x \geq y \\
\\ y-x & si & x < y
\end{array}
\right.
\]
Para $x,y \in \mathbb{R}$

Entonces para un punto $x_{0} \in \mathbb{R}$ y $\varepsilon>0$, la bola abierta $B(x_0,\varepsilon)$ está dada por el intervalo abierto $(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon)$.

Representación de $B(x_0,\varepsilon) = (x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon).$
Representación de $B(0,3) = (-3,3).$

Más específicamente, la bola abierta con centro en $0$ y radio $3$ es el intervalo $(-3,3)$.

Mientras que la bola abierta con centro en $2$ y radio $3$ es el intervalo $(-1,5)$.

Representación de $B(2,3) = (-1,5).$

La bola abierta en $\mathbb{R}^2$ con la métrica euclidiana

Considera ahora $\mathbb{R}^2$ y la métrica euclidiana definida por:
$$d(x,y) := \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2}$$
con $x=(x_{1},x_{2})$ y $y=(y_{1},y_{2}) \in \mathbb{R}^2$.

Entonces para un punto $x_{0}=(x_{0_1},x_{0_2}) \in \mathbb{R}^2$ y $\varepsilon>0$, la bola abierta $B(x_0,\varepsilon)$ está dada por el conjunto de puntos que están «dentro de la circunferencia» con centro en $x_0$ y radio $\varepsilon$.

Representación de $B(x_0, \varepsilon)$ en $\mathbb{R}^2$ con la métrica usual.
Representación de $B((2,3),4)$ en $\mathbb{R}^2$ con la métrica usual.

Por ejemplo, si $x_0=(2,3)$ y $\varepsilon=4$ la bola abierta $B((2,3),4)$ está formada por los puntos dentro de la circunferencia con centro en $(2,3)$ y radio $4$.

La bola abierta en $\mathbb{R}^3$ con la métrica euclidiana

Si pensamos en $\mathbb{R}^3$ y la métrica euclidiana definida por:
$$d(x,y) := \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2+(x_{3}-y_{3})^2}$$
con $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ y $y=(y_{1},y_{2},y_{3}) \in \mathbb{R}^3$.


Entonces para un punto $x_0=(x_{0_1},x_{0_2},x_{0_3}) \in \mathbb{R}^3$ y $\varepsilon>0$, la bola abierta $B(x_0,\varepsilon)$ está dada por el conjunto de puntos que están «dentro de la esfera» con centro en $x_0$ y radio $\varepsilon$.

Representación de $B(x_0, \varepsilon)$ en $\mathbb{R}^3$ con la métrica usual.
Representación de $B((3,2,1),3)$ en $\mathbb{R}^3$ con la métrica usual.

Por ejemplo, si $x_0=(3,2,1)$ y $\varepsilon=3$, la bola abierta $B((3,2,1),3)$ está formada por los puntos “dentro de la esfera” con centro en $(3,2,1)$ y radio $3$.

La bola abierta en la métrica del taxista
En la sección Otros ejemplos de espacios métricos definimos esta métrica en el conjunto $\mathbb{R}^2$ como:
$$d(x,y) :=|y_1-x_1|+|y_2-x_2| $$
para $x=(x_{1},x_{2})$ y $y=(y_{1},y_{2}) \in \mathbb{R}^2$.
Entonces para un punto $x_{0}=(x_{0_1},x_{0_2}) \in \mathbb{R}^2$ y $\varepsilon >0$, la bola abierta $B(x_{0},\varepsilon )$ está dado por el conjunto de puntos $y=(y_{1},y_{2}) \in \mathbb{R}^2$ que satisfacen:
\begin{align*}
d(x_{0},y)=|y_1-x_{0_1}|+|y_2-x_{0_2}|&< \varepsilon \\
\Leftrightarrow |y_2-x_{0_2}|&< \varepsilon -|y_1-x_{0_1}| \\
\Leftrightarrow – \varepsilon +|y_1-x_{0_1}|< y_2-x_{0_2}&< \varepsilon -|y_1-x_{0_1}|
\end{align*}
Esto quiere decir que el conjunto buscado está delimitado por las rectas:
\begin{align}
y_{2}-x_{0_2}&= \varepsilon -(y_1-x_{0_1})\\
y_{2}-x_{0_2}&= \varepsilon +(y_1-x_{0_1})\\
y_{2}-x_{0_2}&= – \varepsilon -(y_1-x_{0_1})\\
y_{2}-x_{0_2}&= – \varepsilon +(y_1-x_{0_1})
\end{align}
Que son representadas a continuación:

Como la desigualdad es estricta concluimos que la bola abierta será un «rombo abierto» cuyas diagonales tienen longitud $2\varepsilon$ con centro en el punto $x_{0}=(x_{0_1},x_{0_2})$.

Representación de $B(x_0, \varepsilon)$ en $\mathbb{R}^2$ con la métrica del taxista.

Como ejemplo considera la bola abierta con centro en $(-3,2)$ y de radio $2$. El conjunto $B((-3,2),2)$ se muestra en la siguiente imagen.

Representación de $B((-3,2),2)$ en $\mathbb{R}^2$ con la métrica del taxista.

La bola abierta en la métrica del ascensor

Recordemos que el desplazamiento entre dos pisos de edificios iguales o diferentes motiva una métrica en $\mathbb{R}^2$. (Ver Otros ejemplos de espacios métricos). Si estamos en el piso marcado con el punto $x_{0}=(x_{0_1},x_{0_2}) \in \mathbb{R}^2$ y tenemos $\varepsilon>0$ como límite de distancia, procedamos a identificar los puntos a los que podemos llegar:

Estando en el mismo edificio, el ascensor puede llevarnos hasta una distancia menor que $\varepsilon$ hacia arriba, o bien, una distancia menor que $\varepsilon$ hacia abajo.

Representación de $B((x_{0_1},x_{0_2}), \varepsilon)$ en $\mathbb{R}^2$ con la métrica del ascensor cuando $|x_{0_2}|> \varepsilon$.

Como la planta baja está a distancia $\varepsilon_1:=|x_{0_2}|$ entonces si $\varepsilon_1> \varepsilon$, nuestro ascensor no llega hasta ahí.

En contraparte, si $\varepsilon_1 \leq \varepsilon$, entonces sí podemos llegar a la planta baja y, quizá también, a otros niveles del «sótano».

En este caso, aún nos podemos desplazar hasta una distancia $\varepsilon-\varepsilon_1$, primero sobre el eje $x$ y luego sobre el eje $y$ a modo de la métrica del taxista. En consecuencia, la bola abierta está conformado por una linea vertical de longitud $2\varepsilon$, sin los extremos, que tiene centro en el punto $x_{0}=(x_{0_1},x_{0_2})$. Si $\varepsilon_1 < \varepsilon$, se agrega también a la bola abierta, un «rombo abierto» con centro en el punto $(x_{0_1},0)$ cuyas diagonales miden $2(\varepsilon-\varepsilon_1)$. Esto se representa en la siguiente imagen:

Representación de $B((x_{0_1},x_{0_2}), \varepsilon)$ en $\mathbb{R}^2$ con la métrica del ascensor cuando $|x_{0_2}|\leq \varepsilon$.

Como ejemplo, la bola con centro en $(-2,1)$ y radio $3$ tendrá la siguiente representación:

Representación de $B((-2,1), 3)$ en $\mathbb{R}^2$ con la métrica del ascensor.

La bola abierta en el tablero de ajedrez.
Hemos visto que en un conjunto dado por las casillas del tablero de ajedrez se pueden definir métricas de acuerdo al movimiento de cada pieza. Como ejemplo, considera el movimiento permitido para la reina. Sea $x_0$ la casilla donde se encuentra. En cada turno, esta pieza se puede mover en cualquier dirección y cualquier cantidad de casillas. Como la distancia entre dos casillas se define como el mínimo de movimientos necesarios para que la pieza llegue de una casilla a la otra, entonces tenemos las siguientes bolas abiertas para distintos valores de $\varepsilon$:

Si $0<\varepsilon \leq 1$ entonces la distancia entre dos casillas debe ser menor que $1$. En consecuencia buscamos señalar las casillas a las que se puede desplazar la reina en $0$ movimientos que es, únicamente, la casilla en la que está posicionada.

Representación de $B(x_0, \varepsilon)$ con $0<\varepsilon \leq 1$ en el tablero de ajedrez con la métrica de la reina.

Si $1<\varepsilon \leq 2$ entonces se permite hacer a lo más un movimiento. Las casillas a las que se puede desplazar la reina están señaladas en tonos amarillos, pues puede elegir cualquier dirección y elegir también, detenerse en cualquiera de ellas.

Representación de $B(x_0, \varepsilon)$ con $1<\varepsilon \leq 2$ en el tablero de ajedrez con la métrica de la reina.

Si $2<\varepsilon$ entonces ya se permiten hacer 2 movimientos. En la figura anterior podemos visualizar casillas no sombreadas en amarillo. No obstante a cualquiera de ellas se puede llegar desde alguna de las casillas iluminadas. En consecuencia, con dos movimientos es posible que la reina llegue a cualquier casilla del tablero.

Representación de $B(x_0, \varepsilon)$ con $2<\varepsilon$ en el tablero de ajedrez con la métrica de la reina.


En contraparte el rey, que también se puede mover en cualquier dirección, no puede avanzar más que una casilla por turno. Esto origina las siguientes representaciones de bolas abiertas:

Para $\varepsilon \leq 1$ el rey no puede hacer ningún movimento y permanece en la casilla donde esté ubicado.

Representación de $B(x_0, \varepsilon)$ con $0 < \varepsilon \leq 1$ en el tablero de ajedrez con la métrica del rey.

Para $1 <\varepsilon \leq 2$ el rey puede hacer un movimiento y acceder así, a las casillas adyacentes a su posición.

Representación de $B(x_0, \varepsilon)$ con $1 <\varepsilon \leq 2$ en el tablero de ajedrez con la métrica del rey.

Para $2 <\varepsilon \leq 3$ el rey puede avanzar hasta dos casillas, lo que se representa iluminando las casillas vecinas con respecto a la imagen anterior.

Representación de $B(x_0, \varepsilon)$ con $2 <\varepsilon \leq 3$ en el tablero de ajedrez con la métrica del rey.

Para $3 <\varepsilon \leq 4$ una nueva familia de casillas vecinas se agrega a la bola abierta. ¿Puedes decir entonces, cuál es la distancia más grande entre dos casillas con la métrica del rey? ¿Y con la de la reina?

Representación de $B(x_0, \varepsilon)$ con $3 <\varepsilon \leq 4$ en el tablero de ajedrez con la métrica del rey.

Más adelante

Retomaremos los conceptos de interior, cerradura o frontera de un conjunto, así como de conjunto abierto y cerrado vistos en los cursos de Cálculo pero ahora generalizados en cualquier espacio métrico.

Tarea moral

  1. Representa las bolas abiertas en la métrica del ajedrez con otras piezas.
  2. Muestra un ejemplo de bola abierta en la métrica del ascensor en el que el centro esté fuera del rombo, uno donde esté dentro y uno más donde el centro esté sobre el vértice.
  3. Da un ejemplo de espacio métrico y dos bolas $B(x,\varepsilon_1)$ y $B(y,\varepsilon_2)$ tales que $\varepsilon_1>\varepsilon_2$ pero $B(x,\varepsilon_1) \subset B(y,\varepsilon_2)$.

Bibliografía

Enlaces

Espacios normados

Por Lizbeth Fernández Villegas

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$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

«En el Análisis tropezamos, casi siempre, con espacios provistos tanto de una topología como de operaciones de adición de elementos y multiplicación de éstos por números, es decir, tropezamos con los así llamados espacios topológicos lineales. Entre estos espacios, constituyen una clase importante los espacios normados. La teoría fue desarrollada en los trabajos de S. Banach y de otros autores». (Kolmogorov,1975).

Probablemente recuerdes de tus cursos de Geometría Analítica y Álgebra Lineal, el concepto de espacio vectorial (puedes revisarlo en Álgebra Lineal I: Espacios vectoriales). En esta entrada retomaremos la noción que representa la «medida» de cada vector para asociar ese valor a una distancia.

Definición. Norma. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb R$. Se dice que una aplicación $\| \cdot \| : V \rightarrow \mathbb R$ es una norma si para todo $x,y \in V$ y para todo $\lambda \in \mathbb R$ se satisface:

  1. $\| x \|=0 \iff x=0$
  2. $\|\lambda x\| = |\lambda| \|x\|$
  3. $\|x + y\| \leq \|x\|+\|y\|$

El espacio vectorial $(V,\|\cdot\|)$ es llamado espacio normado.

A continuación ilustramos dichos axiomas en el espacio vectorial $\mathbb{R}^2,$ donde los vectores suelen representarse con flechas que inician en el origen y terminan en el punto del plano a representar.

Usaremos la norma euclidiana, donde para $(x,y) \in \mathbb{R}^2$
$$\|(x,y)\| := \sqrt{x^2 + y^2}.$$

Nota que la norma de un vector $\vec{u} = (x,y) \in \mathbb{R}^2$ equivale a la distancia euclidiana que hay entre el origen y el punto $(x,y).$

Representación de un vector $\vec{u} = (x,y) \in \mathbb{R}^2.$

De acuerdo con el primer axioma, la norma de un vector es cero si y solo si, el vector es cero. En este caso, el vector cero es $(0,0).$

Representación de la propiedad $1$ en $\mathbb{R}^2:$ $\| \vec{u} \|=0 \iff \vec{u}= \vec{0}.$

El segundo axioma habla del producto de un vector por un escalar. Sea $\vec{u}$ un vector en $\mathbb{R}^2,$ la igualdad $\|\lambda \vec{u}\| = |\lambda| \|\vec{u}\|$ indica que el tamaño de la flecha de $\vec{u}$ cambia en proporción con el valor de $\lambda.$ En el siguiente gráfico, el vector en verde, muestra a $\, \vec{u} \,$ luego de ser multiplicado por un escalar en el intervalo $(-3,3).$

Representación de la propiedad $2$ en $\mathbb{R}^2:$ $\|\lambda \vec{u}\| = |\lambda| \|\vec{u}\|.$

El tercer axioma dice que la norma de la suma de dos vectores es menor igual que la suma de la norma de cada uno. La siguiente imagen visualiza que, si $\vec{u}$ y $\vec{w}$ son vectores en $\mathbb{R}^2,$ la magnitud de la flecha que representa $\vec{u}+\vec{w}$ es menor igual que la suma de las magnitudes de las flechas de $\vec{u}$ y $\vec{w}.$ Esta propiedad, en el caso de las normas, también se conoce como desigualdad del triángulo.

Representación de la propiedad $3$ en $\mathbb{R}^2:$ $\|\vec{u}+\vec{w}\| \leq \|\vec{u}\|+\|\vec{w}\|.$

Ahora veremos que un espacio normado $V$ es también un espacio métrico, si para dos puntos $x,y \, \in V \,$se define la distancia como:

$$d(x,y):=\|x-y\|$$

Probemos que $d$ es una métrica.

Demostración: Sean $x,y,z \in V$

  1. $d(x,x)=\|x-x\|=\|0\|\iff x=0$
  2. $d(x,y)=\|x-y\|=\|(-1)(-x+y)\|=|-1|\|-x+y\|=1\|y-x\|=\|y-x\|=d(y,x)$
  3. $d(x,y)=\|x-y\|=\|x-z+z-y\|\leq \|x-z\|+\|z-y\|=d(x,z)+d(z,y).$

Ya que sabemos que un espacio normado induce un espacio métrico, notemos que el recíproco no siempre es válido, es decir:

Proposición. No todos los espacios métricos son inducidos por espacios normados.

Demostración: Considera $X \subset \mathbb{R} \,$ tal que $\, X \neq \{0\} \,$ con $\, d \,$ la métrica discreta definida en Espacios métricos, entonces si tomamos $x\in \mathbb{R} \,$ con $\, x \neq 0$ y suponemos que existe una norma para este espacio, se tienen que cumplir las siguientes igualdades:
$\|2x\|=|2|\|x\|=|2|\|x-0\|=|2|d(x,0)=2(1)=2$
Lo cual no puede ser, pues la distancia únicamente asigna valores en $\{0,1\}.$

Ejemplos de normas en espacios vectoriales:

  1. La norma $\mathbf{p}$ en $\mathbf{\mathbb {R}^n}.$
    Sea $\, p \,$ $\in [1, \infty)$ y $x \in \mathbb {R}^n$. Si $x=(x_1,…, x_n)$, definimos:
    $\| x \|_p := (\sum_{i=1}^n |x_i|^p ) ^ {1/p}.$
  2. La norma infinito en $\mathbf{\mathbb {R}^n}.$
    Sea $x \in \mathbb {R}^n.$ Definimos:
    $\|x\|_\infty := max \{|x_1|,…,|x_n|\}.$
  3. La norma infinito en el espacio de funciones reales continuas en el intervalo $\mathbf{[a,b].}$
    En el espacio vectorial $C^0[a,b],$ para $f \in C^0[a,b]$ definimos:
    $\norm{f}_\infty :=\underset{a \leq x \leq b}{max} \, |f(x)|.$
  4. La norma infinito en el conjunto de sucesiones reales acotadas.
    Sea $\ell_\infty$ el conjunto de sucesiones acotadas de números reales. Si $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in \ell_\infty,$ definimos:
    $\norm{(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}}_\infty :=\underset{n \in \mathbb{N}}{sup} \, |x_{n}|.$
  5. La norma $\mathbf{p}$ en el conjunto de sucesiones $\ell_p.$
    Sea $\, p \,$ $\in [1, \infty).$ Para sucesiones de números reales definimos
    $\ell_p :=\{(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \, | \, \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty \}$
    es decir, $\ell_p$ es el conjunto de sucesiones $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ tales que la serie $\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p$ es convergente. Definimos:
    $\norm{(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}}_p := (\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^p ) ^ {1/p}.$
  6. La norma $\mathbf{p}$ en el espacio de funciones reales continuas en el intervalo $\mathbf{[a,b].}$
    Sea $f \in C^0[a,b]$ y $p \in [1,\infty).$ Definimos:
    $\norm{f}_p:= \left(\int_{a}^{b} |f(x)|^p \,dx \right)^{1/p}.$

Más adelante…

Es sencillo probar que las funciones anteriores así definidas, satisfacen los primeros dos axiomas de una norma. Para probar el tercero, la desigualdad del triángulo, las normas definidas en 1, 5 y 6 usaremos las desigualdades de Young, Hölder y Minkowski que veremos en la siguiente entrada.

Tarea moral

  1. Demuestra que si $(V,\|\cdot \|)$ es un espacio normado, entonces $\forall \, x \in V, \norm{x} \geq 0$.
  2. Demuestra que la norma $p$ con $p=2,$ es decir, $\| x \|_2$ induce la métrica euclidiana.
  3. Demuestra que la norma del ejemplo $3$ induce la métrica en el espacio de funciones continuas vista en Espacios métricos.
  4. Demuestra que en el conjunto de números complejos $\mathbb{C}$ pueden definirse las normas de los ejemplos $1$ y $2.$

Bibliografía

  • Apostol, T., Análisis Matemático (2a ed.). México: Editorial Reverté, 1996. Págs: 57-59.
  • Bartle, R.G., The Elements of Real Analysis. New York: J. Wiley, 1964. Págs: 59-64.
  • Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2013. Págs: 11-21.
  • Jost, J., Postmodern Analysis (3rd ed.). New York: Springer-Verlag, 2005. Págs: 44,45.
  • Kolmogorov, A.N., Fomin, S.V., Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. (2a ed.). Moscú: Editorial MIR, 1975. Págs: 149-151.

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Otros ejemplos de espacios métricos

Por Lizbeth Fernández Villegas

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$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

En la sección anterior hablamos sobre la métrica que se asigna entre dos puntos de un conjunto. Estamos tan acostumbrados a unir, automáticamente, dos puntos con el segmento que los une, que es natural que asumamos que la longitud de este segmento definirá la distancia entre ellos. No obstante, puede haber situaciones donde sea necesario considerar factores que nos hagan modificar la manera en que definimos esa distancia. Veamos algunos ejemplos.

Métrica del taxista

Supongamos que nos encontramos en un poblado y nos interesa partir del punto $A$ para llegar al punto $B$ usando el camino más corto. No nos es posible caminar sobre la recta que, en la geometría euclideana une a los dos puntos, pues esto implicaría tener que atravesar las casas y las construcciones que se ubiquen sobre ella. En estas circunstancias lo que resta es desplazarse sobre las calles, en la manera en que lo haría un taxista (suponiendo que no hay restricciones adicionales al recorrido, como el tráfico o el sentido de la vialidad).

En la imagen se pueden visualizar algunas posibles rutas.

Si definimos la distancia como el menor número de cuadras que separan al punto $A$ del punto $B$, podemos observar que los caminos verde, azul y naranja representan rutas de distancia mínima. Cada una de estas cuadras se puede proyectar de manera horizontal y vertical sobre la recta horizontal que tiene a $A$ y la recta vertical que tiene a $B$. En consecuencia, definimos la métrica para dos puntos $A=(a_1,a_2)$ y $B=(b_1,b_2)$ en el conjunto $\mathbb{R}^2$ como:

$$d(A,B):=|b_1-a_1|+|b_2-a_2| $$

Métrica del ascensor

Ahora nos encontramos en cierta planta de un edificio y nos interesa movernos a otra planta. Si el punto al que vamos se encuentra en el mismo edificio, simplemente nos dirigimos al ascensor, en la misma planta, hasta recorrer la cantidad de pisos deseados. Esta situación se representa en la siguiente imagen:

Por otra parte, si nos interesa llegar a un piso de otro edificio que está sobre la misma calle, debemos tomar el ascensor del edificio en que nos ubicamos hasta llegar a la planta baja, caminar hasta el otro edificio y, posteriormente, tomar el ascensor ahí hasta llegar a nuestro destino. Este movimiento puede visualizarse a continuación:

A partir de esto se define la métrica para dos puntos $A=(a_1,a_2) \,$ y $\, B=(b_1,b_2)$ en el conjunto $\mathbb{R}^2$ como:

\[
d(A,B) := \left\{ \begin{array}{lcc}
|b_2-a_2| & si & a_1 = b_1 \\
\\ |a_2|+|b_1-a_1|+|b_2| & si & a_1 \neq b_1
\end{array}
\right.
\]

Métrica de Hamming

En el ámbito de la Teoría de la Información interesa contar el número de cambios que se requieren para que una palabra se convierta en otra. Por ejemplo:

Para convertir «casa» en «pasa» se requiere cambiar una letra.
Para convertir «casa» en «taza» se requiere el cambio en dos letras.
Para convertir «roca» en «flor» se requiere cambiar cuatro letras.

Este número de cambios define la distancia de Hamming.

Para conocer más al respecto puedes consultar el libro:

Metcalf, L., Casey, W., Cybersecurity and Applied Mathematics. USA: Editorial ELSEVIER, 2016, págs 16 y 17.

El tablero de ajedrez

Consideremos las piezas Rey, Reina, Alfil, Caballo y Torre en el juego de ajedrez. De acuerdo a las reglas, cada una de estas piezas tiene un movimiento particular definido. Una pieza ubicada en la casilla $A$ requiere una mínima cantidad de movimientos para llegar a la casilla $B.$ Te dejaremos como ejercicio probar que cada pieza define una métrica (determinada por el número de cambios de posición) en el conjunto de puntos dado por las casillas del tablero de ajedrez. Una representación de estas distancias entre casillas se verá al final de la entrada La bola abierta en un espacio métrico.

Más adelante…

Recordaremos el concepto de espacio normado. Probablemente ya lo has visto en cursos de cálculo o álgebra lineal. Estos espacios inducen también una métrica entre sus puntos. ¿Será que todos los espacios métricos son inducidos por una norma?

Tarea moral

  1. Demuestra que cada uno de los ejemplos anteriores es una métrica.
  2. Define la métrica del taxista para puntos en $\mathbb{R}^n$.
  3. Define la métrica del ascensor para edificios que no necesariamente estén sobre la misma calle. Combina con la métrica del taxista.

Bibliografía

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Espacios métricos

Por Lizbeth Fernández Villegas

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$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

«Desde un punto de vista intuitivo, un espacio métrico es, simplemente, un conjunto en donde podemos hablar de la distancia entre sus elementos, lo que nos permitirá precisar la noción de «proximidad», una idea que está presente implícitamente en todos los conceptos fundamentales de la Topología y el Análisis.

Como estructura matemática abstracta, el concepto de espacio métrico fue introducido inicialmente por el matemático francés M.Fréchet en 1906. Probó que las ideas de Cantor de subconjuntos abiertos y cerrados podían extenderse de manera natural a los espacios métricos. Más tarde, el concepto fue desarrollado por F. Hausdorff en su Mengenlehre. En parte, su importancia radica en que constituye una interesante generalización de los espacios normados, cuya teoría fue básicamente desarrollada por Stephan Banach como cimiento del Análisis Funcional. El desarrollo posterior de las investigaciones sobre topología métrica ha puesto de manifiesto su extraordinario poder para unificar una amplia variedad de teorías hasta entonces dispersas y aparentemente independientes». (Díaz, 1998).

Maurice Fréchet
(1878-1973)
Fuente: Laurent Mazliak (LPSM).
Cantor
(1845-1918)
Fuente: Maths Society Ventures.
F. Hausdorff
(1868,1942)
Fuente: Carlos Prieto / UNAM
Stephan Banach
(1892,1945)
Fuente: Efemérides Matemáticas – UNAM

¿Qué es un espacio métrico?

Pensemos en un conjunto de elementos que representamos como puntos. Supongamos que cada vez que tomamos dos puntos cualesquiera del conjunto podemos hablar de la distancia que hay entre ellos (como un valor numérico específico), entonces tenemos un espacio métrico cuando se cumplen ciertas condiciones.

Como representación de la idea de distancia observa el siguiente esquema. Aunque en él se muestran solo algunas de las distancias entre dos puntos, esta debe estar definida entre cualquier par del conjunto. Nota que la distancia del punto $E$ a sí mismo es $0$. Así lo será también la distancia de cualquier otro punto a sí mismo.

Ejemplo intuitivo de espacio métrico con representación de algunas distancias.

La distancia cumplirá lo siguiente:

  • La distancia de un punto a sí mismo será $0$. La distancia entre puntos distintos será distinta de $0$.
  • En un espacio métrico la distancia entre dos puntos es simétrica. Esto significa que la distancia entre el punto $x$ y $y$ coincide con la distancia entre el punto $y$ y $x$.
    Aunque esto parezca difícil de contradecir, ¿puedes mencionar un ejemplo en tu vida cotidiana en el que el camino que sigues para llegar a un lugar no coincida con el de regreso? Probablemente esto marcará diferencias en los metros recorridos y quizá también en el tiempo o el costo del traslado.
  • Entre cualesquiera tres puntos se satisface la desigualdad del triángulo. Decimos que la suma de dos de las distancias entre los vértices de un triángulo es mayor o igual que la distancia restante.

De manera formal, tenemos lo siguiente:

Definición. Espacio métrico. Un espacio métrico $(X,d)$ es un par ordenado donde $X$ es un conjunto no vacío, (cuyos elementos llamaremos puntos) y $d$ es la métrica asociada a este.

Definición. Métrica. Llamaremos métrica o distancia en $X$ a una relación $d: X \times X \to \mathbb{R}$ que satisface los siguientes tres axiomas para cualesquiera $x$, $y$, $z$ $\in X$:

\[
\begin{align}
& d(x,y)=0 \quad\text{si y solo si}\quad x = y \\
& d(x,y) = d(y,x) \\
& d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)
\end{align}
\]

Nota: La distancia nunca es negativa. De estos axiomas se deduce que si $x \neq y$ entonces $0<d(x,y)$ pues:
\begin{align*}
0 &= d(x,x)\\
&\leq d(x,y) + d(y,x)\\
&= d(x,y) + d(x,y)\\
&= 2d(x,y)
\end{align*}

Luego de multiplicar por $\dfrac{1}{2}$ ambos lados, se deduce que $0 \leq d(x,y)$. Como $x \neq y$ concluimos a partir del axioma $(1)$ que $0<d(x,y)$.

Naturalmente estaremos pensando en la forma en que usualmente medimos las distancias a nuestro alrededor. ¿Sí satisfacen la definición de métrica estos métodos convencionales? ¿Habrá otras maneras de asignar distancias?

Ejemplos de espacios métricos

La métrica discreta

Sea $X$ un conjunto no vacío. Si para cualesquiera $x, y \in X$ definimos $d:X \times X \to \mathbb{R}$ como:

\[
d(x,y):= \left\{\begin{array}{lcc}
0 & si & x = y \\
\\ 1 & si & x \neq y
\end {array}
\right.
\]

Entonces $d$ es una métrica en $X. \, $ En este caso $(X,d)$ recibe el nombre de espacio discreto. Denotaremos este espacio como $(X,d_{disc}).$

La distancia entre dos puntos distintos siempre es $1$.

Demostración: Sean $x, y, z \in X$. El axioma $(1)$ se cumple por definición.

Para demostrar el axioma $(2)$ veamos que si $x = y$ entonces $d(x,y) = 0 = d(y,x)$. Por otro lado, si $x \neq y$ entonces $d(x,y) = 1 = d(y,x)$. En cualquier caso $d(x,y) = d(y,x)$.

Para demostrar $(3)$ veamos que si $x=y$ entonces $d(x,y)=0$. Como las distancias siempre son mayores o iguales a cero se sigue que $d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y)$.
Por otro lado, si $x \neq y$ entonces $d(x,y) = 1$ y tenemos los siguientes casos:

Notemos que $d(x,z) = 1$ o $d(z,y) = 1$, pues de lo contrario tendríamos que $d(x,z) = 0$ y $d(z,y)=0$, lo cual implica que $x = z = y$. Por lo tanto $x = y$, lo cual es una contradicción. De lo anterior se concluye que $d(x,y)=1 \leq d(x,z) + d(z,y)$.

El conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ con la métrica usual

Sean $x,y \in \mathbb{R}$. Entonces $d$ definida (y denotada) como

\[
d(x,y) := |x-y| := \left\{ \begin{array}{lcc}
x-y & si & x \geq y \\
\\ y-x & si & x < y
\end{array}
\right.
\]

es una métrica en $\mathbb{R}.$

Demostración:
$(1) \, $ Sean $x,y,z \in \mathbb{R}$ entonces $d(x,y)=0 \text{ si y solo si } |x-y|=0 \text{ si y solo si } x=y$.

$(2) \, $ $d(x,y)=|x-y|=|y-x|=d(y,x)$.

$(3) \, $ $d(x,y)=|x-y|=|x-z+z-y|\leq|x-z|+|z-y|=d(x,z)+d(z,y)$.

El conjunto $\mathbb R^n$ con la métrica usual

Sean $x,y,z \in \mathbb R^n$, con $x=(x_{1},…,x_{n})$, $y=(y_{1},…,y_{n})$ y $z=(z_{1},…,z_{n}),$ definimos

$$d(x,y) := \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+…+(x_{n}-y_{n})^2},$$

entonces $d$ es una métrica en $\mathbb{R}^n.$

Demostración:
$(1)$
\begin{align*}
d(x,y) = 0
&\iff \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+…+(x_{n}-y_{n})^2} = 0 \\
&\iff \forall i=1,…,n, (x_{i}-y_{i})^2 = 0 \\
&\iff\forall i=1,…,n, x_{i}=y_{i} \\
&\iff x=y
\end{align*}

$(2)$
Para cada $\, i=1,…,n, (x_{i}-y_{i})^2= (y_{i}-x_{i})^2$ entonces:
\begin{align*}
\sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+…+(x_{n}-y_{n})^2}&=\sqrt{(y_{1}-x_{1})^2+…+(y_{n}-x_{n})^2}\\
\text{ Por lo tanto } \quad d(x,y)&=d(y,x)
\end{align*}

$(3)$
\begin{align*}
d(x,y) &= \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+…+(x_{n}-y_{n})^2}\\
&= \sqrt{(x_{1}-z_{1}+z_{1}-y_{1})^2+…+(x_{n}-z_{n}+z_{n}-y_{n})^2}\\
&\leq \sqrt{(x_{1}-z_{1})^2+…+(x_{n}-z_{n})^2} + \sqrt{(z_{1}-y_{1})^2+…+(z_{n}-y_{n})^2}\\
&=d(x,z)+d(z,y)
\end{align*}

Este espacio métrico es llamado el «espacio aritmético euclídeo de $n$ dimensiones $\mathbb R^n$»

El conjunto $C^0[a,b]:=\{f:[a,b] \to \mathbb R: \quad\text{f es función continua}\}$

Para recordar la definición de función continua en $\mathbb{R}$ puedes consultar el siguiente enlace: Cálculo Diferencial e Integral I: Definición de continuidad y sus propiedades.

Considera $f,g \in C^0 [a,b]$. Para cada $t \in [a,b]$ identifiquemos la medida del segmento que une a los puntos$ (t,f(t))$ y $(t,g(t))$. El segmento más grande representará la distancia entre ambas funciones.


Definimos:
$$d(f,g) := \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |f(t)-g(t)|$$
Recordemos que este máximo existe, pues al ser $f$ y $g$ funciones continuas, también lo es la función $|f-g|, \,$ (propiedad que se ve en Cálculo Diferencial e Integral I: Definición de continuidad y sus propiedades.) De acuerdo con el teorema del máximo-mínimo, (que puedes consultar en Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones acotadas y teorema del máximo-mínimo), existe un punto en $[a,b]$ donde la función $|f-g|, \,$ alcanza su máximo. En consecuencia $d$ es una métrica en el espacio de funciones $ C^0 [a,b].$

Demostración: Sean $f, g \in C^0 [a,b]$

$(1)$ \begin{align*} d(f,g) = 0 &\iff 0 = \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |f(t)-g(t)|\\
&\iff \forall t \in [a,b], |f(t)-g(t)| =0\\
&\iff \forall t \in [a,b], f(t) = g(t)\\
&\iff f=g
\end{align*}

$(2)$
Como $\forall t \in [a,b], f(t)$ y $g(t) \in \mathbb{R} $, entonces $|f(t)-g(t)| = |g(t)-f(t)|$. Así:
\begin{align*}
d(f,g) &= \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |f(t)-g(t)|\\
&= \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |g(t)-f(t)|\\
&= d(g,f)\\
\text{Por lo tanto }\quad d(f,g) &= d(g,f).
\end{align*}

$(3)$
Dado que existe $t_1 \in [a,b]$ tal que
$\underset{a \leq t \leq b}{max}\,|f(t)-g(t)| = |f(t_{1}) – g(t_{1})|$
Como
\begin{align*}|f(t_{1}) – g(t_{1})| &= |f(t_{1})-h(t_{1})+h(t_{1})-g(t_{1})|\\
&\leq |f(t_{1}) – h(t_{1})| + |h(t_{1} – g(t_{1}))|\\
& \leq \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |f(t)-h(t)| + \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |h(t)-g(t)|
\end{align*}
concluimos $d(f,g) \leq d(f,h) + d(h,g)$.

El conjunto $\mathcal{B}(A,\mathbb{R}):= \{ f:A \to \mathbb{R}: f\text{ es acotada}\}$

Antes de definir una métrica en el espacio anunciado, recordemos un concepto que probablemente conoces:

Definición. Función acotada. Sea $A$ un conjunto no vacío. Decimos que una función $f:A \to \mathbb{R}$ es acotada si existe $M \in \mathbb{R}$ y $x_0 \in \mathbb{R}$ tales que para cada $ \, a \in A$ ocurre que $|x_0-f(a)| \leq M$.

Nuestra distancia será entre funciones que satisfacen la siguiente:

Definición. Espacio de funciones acotadas. El conjunto $$\mathcal{B}(A,\mathbb{R}):= \{ f:A \to \mathbb{R}: f\text{ es acotada}\}$$ es un espacio métrico pues si dos funciones $f,g \in \mathcal{B}(A, \mathbb{R})$ entonces la función $f-g \,$ también es acotada, por lo tanto existe el $\underset{z\in A}{sup}\,|f(z)-g(z)|$. Esto permite definir la distancia entre ellas como $$d_\infty (f,g):= \underset{z\in A}{sup}\,|f(z)-g(z)|$$ y recibe el nombre de métrica uniforme.

La siguiente imagen representa la distancia entre dos funciones acotadas $f$ y $g.$ Como ejemplo, la función $f$ es la función de Dirichlet, que vale $1$ si se evalúa en los racionales ($\mathbb{Q}$) y vale $0$ en caso contrario.

Ejemplo de funciones $f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ acotadas.

Veamos que $d_\infty$ en efecto, es métrica.

Demostración: Sean $f,g,h \in \mathcal{B}(A,\mathbb{R})$ entonces:
$(1)$ \begin{align*}
d_\infty(f,g)&=0 \\
\Leftrightarrow \underset{z\in A}{sup}\,|(f(z)-g(z)|&=0 \\
\Leftrightarrow \forall \, z \in A, |f(z)-g(z)|&=0 \\
\Leftrightarrow \forall \, z \in A, f(z)&=g(z) \\
\Leftrightarrow f&=g. \\
\text{Por lo tanto: } d_\infty (f,g)=0 &\Leftrightarrow f=g
\end{align*}

$(2)$ \begin{align*}
d_\infty (f,g)&=\underset{z\in A}{sup}\,|f(z)-g(z)|\\
&=\underset{z\in A}{sup}\,|g(z)-f(z)| \\
&=d_\infty(g,f).\\
\text{Por lo tanto: } d_\infty(f,g)&=d_\infty(g,f)
\end{align*}

$(3)$ \begin{align*}
d_\infty(f,g)&=\underset{z\in A}{sup}\,|f(z)-g(z)|\\
&\leq \underset{z\in A}{sup}\,\{|f(z)-h(z)|+|h(z)-g(z)|\}\\
&\leq \underset{z\in A}{sup}\,|f(z)-h(z)| + \underset{z\in A}{sup}\,|h(z)-g(z)|\\
&\leq d_\infty(f,h)+d_\infty(h,g)\\
\text{Por lo tanto: }d_\infty(f,g)&\leq d_\infty(f,h)+d_\infty(h,g)
\end{align*}

Más adelante…

Ya aprendimos qué es un espacio métrico y comprobamos que las distancias vistas en otros cursos satisfacen la definición. En la siguiente entrada conoceremos algunos ejemplos más con la finalidad de hacer consciente que hay otras maneras de medir la separación entre dos objetos.

Tarea moral

¡Es tu turno de practicar!

  1. Sean $x,y \in \mathbb R^2$ con $x=(x_{1},x_{2})$ y $y=(y_{1},y_{2}).$ Demuestra que $d(x,y) := \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2 + 4(x_{2}-y_{2})^2}$ es métrica para $\mathbb{R}^2.$
  2. Sean $x,y \in \mathbb R^n$ con $x=(x_{1},…,x_{n})$ y $y=(y_{1},…,y_{n}).$ Demuestra que $d(x,y) := |x_{1}-y_{1}|+…+|x_{n}-y_{n}|$ es métrica para $\mathbb{R}^n.$
  3. Sean $x,y \in \mathbb R^n$ con $x=(x_{1},…,x_{n})$ y $y=(y_{1},…,y_{n}).$ Demuestra que $d(x,y) := max \{|x_{1}-y_{1}|,…,|x_{n}-y_{n}|\}$ es métrica para $\mathbb{R}^n.$

Bibliografía

Enlaces