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Variable Compleja I: Consecuencias del teorema integral de Cauchy

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

En la entrada anterior establecimos una versión local, para discos, del teorema integral de Cauchy y vimos que una primera consecuencia de este resultado es la fórmula integral de Cauchy, la cual nos permitió establecer la existencia de las derivadas de todos los órdenes de una función analítica en un dominio.

En esta entrada probaremos algunas otras consecuencias de este teorema tan importante en el Análisis Complejo, como el teorema de Liouville, el teorema Fundamental del Álgebra, el teorema de Morera, entre otros.

Proposición 37.1. (Desigualdad de Cauchy.)
Sean $D \subset C$ un dominio, $f : D \to C$ una función analítica en $D$ , $z_{0} \in D$ y $r > 0$ tal que $C (z_{0}, r) \subset D$ . Entonces:
$| f^{(n)} (z_{0}) | \leq \frac{n! M_{r}}{r^{n}}, \forall n \in N,$ donde $M_{r} := max_{z \in C (z_{0}, r)} | f (z) |$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $M_{r} := max_{z \in C (z_{0}, r)} | f (z) |$ .

Como $f$ es analítica en $D$ , en particular lo es en $z_{0}$ , por lo que de la proposición 36.5 tenemos que las derivadas de todos los ordenes de $f$ en $z_{0}$ existen en el interior de la circunferencia $C (z_{0}, r) \subset D$ y están dadas por:
$f^{(n)} (z_{0}) = \frac{n!}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r)} \frac{f (z)}{(z - z_{0})^{n + 1}} d z,$ por lo que, de la proposición 34.3(5) se sigue que:
$\begin{aligned} | f^{(n)} (z_{0}) | & = | \frac{n!}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r)} \frac{f (z)}{(z - z_{0})^{n + 1}} d z | \\ = \frac{n!}{2 π} | \int_{C (z_{0}, r)} \frac{f (z)}{(z - z_{0})^{n + 1}} d z | \\ \leq \frac{n!}{2 π} \int_{C (z_{0}, r)} \frac{| f (z) |}{{| z - z_{0} |}^{n + 1}} | d z | \\ \leq \frac{n!}{2 π} \frac{M_{r}}{r^{n + 1}} \int_{C (z_{0}, r)} | d z | \\ = \frac{n!}{2 π} \frac{2 π r M_{r}}{r^{n + 1}} \\ = \frac{n! M_{r}}{r^{n}} . \end{aligned}$

Teorema 37.1. (Teorema de Liouville.)
Sea $f : C \to C$ una función entera y acotada. Entonces $f$ es constante.
\begin{proof}
Dadas las hipótesis, tenemos que $f$ es analítica en todo punto del plano complejo. Sea $ζ \in C$ un punto arbitrario. De acuerdo con la desigualdad de Cauchy, para todo $n \in N$ se cumple que:
$| f^{(n)} (ζ) | \leq \frac{n! M_{r}}{r^{n}},$ donde $M_{r} = max_{z \in C (ζ, r)} | f (z) |$ .

Como $f$ es acotada, entonces existe una constante $M$ tal que $M_{r} \leq M$ para todo $z \in C$ . Entonces para $n = 1$ se tiene que:
$| f^{'} (ζ) | \leq \frac{M}{r} .$

Lo anterior se cumple para todo $r > 0$ , por lo que tomando el límite cuando $r \to \infty$ se sigue que:
$| f^{'} (ζ) | = 0 ⟹ f^{'} (ζ) = 0.$

Dado que $ζ \in C$ es arbitrario, para todo $z \in C$ se cumple que $f^{'} (z) = 0$ y como $f$ es entera, entonces, de la proposición 19.2 se sigue que $f$ es constante.

Corolario 37.1.
Toda función no constante y entera no es acotada.

Demostración. Es inmediato del teorema de Liouville.

Ejemplo 37.1.
La función $sen (z)$ es entera y no es constante, por lo que no es acotada.

Corolario 37.2.
Sea $f : C \to C$ una función entera tal que $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ . Si $u (x, y)$ es acotada para todo $z = x + i y \in C$ , entonces $u (x, y)$ y $v (x, y)$ son funciones constantes.

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $| u (x, y) | \leq M$ para todo $z = x + i y \in C$ . Definimos a la función:
$g (z) = e^{f (z)} .$

Claramente $g$ es una función entera tal que $g (z) \neq 0$ para todo $z \in C$ . Por la proposición 20.2(4) tenemos que:
$| g (z) | = | e^{f (z)} | = e^{u (x, y)} \leq e^{M}, \forall z \in C,$ es decir $g$ es una función acotada y entera, por lo que del teorema de Liouville se sigue que $g$ es una función constante y por tanto $f$ es función constante, por lo que $u (x, y)$ y $v (x, y)$ son constantes.

Ejemplo 37.2.
Sean $f, g : C \to C$ dos funciones enteras, tales que $g (z) \neq 0$ y $| f (z) | \leq | g (z) |$ para todo $z \in C$ . Veamos que existe una constante $c \in C$ tal que $f (z) = c g (z)$ .

Solución. Definimos a la función:
$h (z) := \frac{f (z)}{g (z)},$ como $g (z) \neq 0$ para todo $z \in C$ , entonces $h$ está bien definida en $C$ y es una función entera por ser el cociente de dos funciones enteras. Por hipótesis tenemos que:
$| h (z) | = | \frac{f (z)}{g (z)} | = \frac{| f (z) |}{| g (z) |} \leq 1, \forall z \in C,$ es decir, $h$ es una función acotada y entera, por lo que del teorema de Liouville se sigue que $h (z) = c$ , para algún $c \in C$ , entonces $f (z) = c g (z)$ .

Teorema 37.2. (Teorema Fundamental del Álgebra.)
Todo polinomio complejo $p (z)$ de grado mayor o igual a $1$ , tiene al menos una raíz en $C$ , es decir, existe $z_{0} \in C$ tal que $p (z_{0}) = 0$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, procedemos por contradicción. Supongamos que:
$p (z) = c_{0} + c_{1} z + \dots + c_{n - 1} z^{n - 1} + c_{n} z^{n} \neq 0,$ para todo $z \in C$ . Como $p$ es de grado $n \geq 1$ , entonces $c_{n} \neq 0$ y $| c_{n} | > 0$ .

Consideremos a la función $f (z) = 1 / p (z)$ , la cual está bien definida y es una función entera. Por la desigualdad del triángulo tenemos que:
$\begin{aligned} | f (z) | & = | \frac{1}{p (z)} | \\ = \frac{1}{| z |^{n}} \frac{1}{| \frac{c_{0}}{z^{n}} + \frac{c_{1}}{z^{n - 1}} + \dots + \frac{c_{n - 2}}{z^{2}} + \frac{c_{n - 1}}{z} + c_{n} |} \\ \leq \frac{1}{| z |^{n}} \frac{1}{| \frac{c_{0}}{z^{n}} | + | \frac{c_{1}}{z^{n - 1}} | + \dots + | \frac{c_{n - 2}}{z^{2}} | + | \frac{c_{n - 1}}{z} | + | c_{n} |} . \end{aligned}$

Notemos que:
$| \frac{c_{k}}{z^{n - k}} | = \frac{| c_{k} |}{| z^{n - k} |} = \frac{| c_{k} |}{| z |^{n - k}} .$

Por lo que, si $n > k$ , entonces:
$lim_{| z | \to \infty} | \frac{c_{k}}{z^{n - k}} | = lim_{| z | \to \infty} \frac{| c_{k} |}{| z |^{n - k}} = 0,$ de donde:
$lim_{| z | \to \infty} (| \frac{c_{0}}{z^{n}} | + | \frac{c_{1}}{z^{n - 1}} | + \dots + | \frac{c_{n - 2}}{z^{2}} | + | \frac{c_{n - 1}}{z} | + | c_{n} |) = | c_{n} | > 0,$ es decir:
$lim_{| z | \to \infty} | f (z) | = 0,$ entonces, para $ε = 1$ existe $R \in R$ tal que:
$R \leq | z | ⟹ | f (z) | \leq 1.$

Por otra parte, dado que el disco cerrado $\overset{―}{B (0, R)}$ es un conjunto compacto y la función real:
$| f (z) | = \sqrt{u^{2} (x, y) + v^{2} (x, y)},$ es una función continua de las variables $x$ e $y$ , entonces, proposición 10.9, $| f (\overset{―}{B (0, R)}) |$ es un conjunto compacto, es decir, cerrado y acotado, por lo que existe $K > 0$ tal que:
$| f (z) | \leq K, \forall z \in \overset{―}{B (0, R)} .$

Considerando lo anterior, sea $M := max {K, 1}$ , entonces para todo $z \in C$ se cumple que $| f (z) | \leq M$ , es decir, $f$ es una función acotada, por lo que del teorema de Liouville se sigue que $f$ debe ser constante, entonces $p$ es constante, lo cual es una contradicción, por lo que existe $z_{0} \in C$ tal que $p (z_{0}) = 0$ .

Corolario 37.3.
Un polinomio complejo $p (z) = c_{0} + c_{1} z + \dots + c_{n - 1} z^{n - 1} + c_{n} z^{n}$ , de grado $n \geq 1$ , tiene una factorización:
$p (z) = c (z - z_{1}) (z - z_{2}) \dots (z - z_{n}),$ donde $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}$ son las raíces de $p$ y $c \in C$ es una constante.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Observación 37.1
Debe ser claro que raíces $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}$ del polinomio $p$ en el resultado anterior no necesariamente son distintas. En general, los factores de $p$ en el corolario 37.3 pueden agruparse en la forma:
$p (z) = c (z - z_{1})^{n_{1}} (z - z_{2})^{n_{2}} \dots (z - z_{k})^{n_{k}},$ donde $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{k}$ son raíces de $p$ distintas, $c \in C$ es una constante y $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}$ son números naturales que indican, respectivamente, la multiplicidad de cada raíz de $p$ .

Ejemplo 37.3.
El polinomio $p (z) = i z (z - 1)^{2} (z + i)^{5}$ tiene a $z_{1} = 0$ como una raíz simple, mientras que $z_{2} = 1$ es una raíz doble o de multiplicidad $2$ y $z_{3} = - i$ es una raíz de multiplicidad $5$ .

Teorema 37.3. (Teorema de Morera.)
Sean $D \subset C$ una región y $f : D \to C$ una función continua en $D$ tal que:
$\int_{γ} f (z) d z = 0,$ para todo contorno cerrado en $D$ . Entonces $f$ es analítica en $D$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, tenemos que para todo contorno cerrado $γ$ en $D$ se cumple que:
$\int_{γ} f (z) d z = 0,$ por lo que, proposición 35.2, existe una primitiva de $f$ en $D$ , es decir, existe $F : D \to C$ analítica tal que $F^{'} (z) = f (z)$ para todo $z \in D$ . Por el corolario 36.3, tenemos que $F \in C^{\infty} (D)$ , en particular, $F^{(2)} (z)$ existe y también es analítica en $D$ , pero $F^{(2)} (z) = f^{'} (z)$ para todo $z \in D$ . Por lo tanto, $f$ es analítica en $D$ .

Corolario 37.4. (Teorema de Morera generalizado.)
Sean $D \subset C$ una dominio y $f : D \to C$ una función continua en $D$ y analítica en $D ∖ {z_{0}}$ , para algún $z_{0} \in D$ . Entonces $f$ es analítica en $D$ .

Demostración. Se sigue del teorema integral de Cacuhy generalizado (para discos), teorema 36.4 y del teorema de Morera, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.

Observación 37.2.
La fórmula integral de Cauchy nos dice cómo el valor $f (z_{0})$ es representado por alguna integral de contorno. En particular, si elegimos al contorno de integración $γ$ como una circunferencia con centro en $z_{0}$ , entonces podemos ver que el valor de $f (z_{0})$ es un tipo de promedio de los valores de $f (z)$ en los puntos $z$ que están sobre dicha circunferencia.

Proposición 37.5. (Teorema del valor medio de Gauss.)
Sean $D \subset C$ un dominio, $f : D \to C$ una función analítica, $z_{0} \in D$ fijo y $r > 0$ tal que $C (z_{0}, r) \subset D$ , entonces:
$\begin{matrix} (37.1) & f (z_{0}) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (z_{0} + e^{i t}) d t . \end{matrix}$

Demostración. Dadas las hipótesis, parametrizamos a $C (z_{0}, r)$ como $γ : [0, 2 π]$ , dada por $γ (t) = z_{0} + r e^{i t}$ . Por la fórmula integral de Cauchy tenemos que:
$\begin{aligned} f (z_{0}) & = \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r)} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z \\ = \frac{1}{2 π i} \int_{0}^{2 π} \frac{f (z_{0} + e^{i t})}{z_{0} + r e i t - z_{0}} i r e^{i t} d t \\ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (z_{0} + r e^{i t}) d t . \end{aligned}$

Definición 37.1. (Propiedad del valor medio.)
Sean $D \subset C$ un dominio y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ . Se dice que $f$ tiene la {\bf propiedad del valor medio} si para todo $z_{0} \in D$ y $r > 0$ tal que $\overset{―}{B} (z_{0}, r) \subset D$ se cumple que:
$f (z_{0}) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (z_{0} + e^{i t}) d t .$

Corolario 37.5.
Si $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ es una función analítica en un dominio $D \subset C$ , entonces las partes real e imaginaria de $f$ , es decir, las funciones reales $u (x, y)$ y $v (x, y)$ tienen la propiedad del valor medio en $D$ , es decir:
$u (z_{0}) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} u (z_{0} + e^{i t}) d t,$
$v (z_{0}) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} v (z_{0} + e^{i t}) d t .$

Demostración. Es inmediata de la proposición 37.5 al tomar la parte real e imaginaria en ambos lados de la igualdad (37.1).

Lema 37.1.
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado y $g : [a, b] \to R$ una función continua en $[a, b]$ tal que $g (x) \geq 0$ para todo $x \in [a, b]$ . Si:
$\int_{a}^{b} g (t) d t = 0,$ entonces $g (x) = 0$ para todo $x \in [a, b]$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, definimos a la función:
$φ (x) = \int_{a}^{x} g (t) d t, \forall x \in [a, b] .$

Por el teorema Fundamental del Cálculo es claro que $φ$ es una función diferenciable con derivada:
$φ^{'} (x) = g (x), \forall x \in [a, b] .$

Más aún, de las propiedades de la integral real se cumple que:
$0 \leq φ (x) = \int_{a}^{x} g (t) d t \leq \int_{a}^{b} g (t) d t = 0,$ por lo que $φ (x) = 0$ y $φ^{'} (x) = 0$ para todo $x \in [a, b]$ , entonces $g (x) = 0$ para todo $x \in [a, b]$ .

Teorema 37.4. (Principio del módulo máximo.)
Sean $D \subset C$ un dominio y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ . Si existe un punto $z_{0} \in D$ tal que $| f (z) | \leq | f (z_{0}) |$ para todo $z \in D$ , es decir, el módulo $| f (z) |$ alcanza su máximo en $z_{0}$ , entonces $f$ es una función constante en $D$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, de acuerdo con la proposición 19.3, basta probar que $| f (z) |$ es constante en $D$ . Consideremos a la función $g : D \to R$ dada por $g (z) = | f (z) |$ . Procedemos a probar que $g$ es constante en $D$ .

Notemos que, como $D$ es un dominio, en particular es abierto, por lo que para cada $z \in D$ existe un disco abierto $B (z, ρ) \subset D$ . Si $0 < r < ρ$ , entonces $\overset{―}{B} (z_{0}, r) \subset B (z_{0}, ρ) \subset D$ . Por lo que, de la proposición 37.5 se cumple que:
$f (z) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (z + r e^{i t}) d t,$ de donde:
$\begin{aligned} g (z) & = | f (z) | \\ = | \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (z + r e^{i t}) d t | \\ \leq \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} | f (z + r e^{i t}) | d t \\ (37.2) & = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} g (z + r e^{i t}) d t, \end{aligned}$ para cualquier $0 < r < ρ$ .

Sea $M = g (z_{0}) = | f (z_{0}) | \geq 0$ y definimos a los conjuntos:
$U := {z \in D : g (z) = M}, V := {z \in D : g (z) < M} .$

Entonces $D = U \cup V$ y $U \cap V = \emptyset$ . Veamos que $V = \emptyset$ . Para ello probemos que $U$ y $V$ son ambos abiertos y utilicemos el hecho de que $D$ es conexo.

Sea $z \in U$ y $ρ > 0$ tal que se cumple (37.2) para $0 < r < ρ$ . Notemos que para $r$ fijo en este intervalo, como $z \in U$ y $g (z) \leq M$ para todo en $z \in D$ , entonces se cumple que:
$M = g (z) \leq \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} g (z + r e^{i t}) d t \leq \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} M d t = M .$

Por lo que:
$\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} g (z + r e^{i t}) d t = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} M d t,$ es decir:
$\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} [M - g (z + r e^{i t})] d t = 0.$

Dado que $h (t) = M - g (z + r e^{i t}) \geq 0$ para todo $t \in [0, 2 π]$ y $g$ es una función continua, entonces por el lema 37.1 concluimos que:
$M = g (z + r e^{i t}),$ para todo $t \in [0, 2 π]$ , por lo que $z + r e^{i t} \in U$ . Es decir, la circunferencia con centro en $z$ y radio $r$ está contenida en $U$ . Como esto se cumple para todo $r \in (0, ρ)$ , concluimos que el disco abierto $B (z, ρ)$ está contendio en $U$ . Dado que $z$ es un punto arbitrario de $U$ , entonces $U$ es un conjunto abierto.

Ahora supongamos que $z \in V$ , entonces $g (z) < M$ . Puesto que $g$ es una función continua en $D$ , en particular lo es en $z$ , por lo que para $ε = M - g (z) > 0$ existe $r > 0$ tal que si $ζ \in B (z, r)$ , entonces $| g (z) - g (ζ) | < ε$ . De donde:
$g (ζ) - g (z) = | g (ζ) | - | g (z) | \leq | g (z) - g (ζ) | < ε,$ por lo que:
$\begin{aligned} g (ζ) & = g (ζ) - g (z) + g (z) \\ < ε + g (z) \\ = M - g (z) + g (z) \\ = M, \end{aligned}$ para cada $ζ \in B (z, r)$ . Por lo que $B (z, r) \subset V$ y como $z$ era arbitrario, entonces $V$ también es abierto.

Notemos que $U \neq \emptyset$ , ya que por definición al menos el punto $z_{0} \in D$ es un punto de $U$ . Por lo tanto, dado que $D$ es conexo, se sigue que $V = \emptyset$ , entonces $g (z) = M$ para todo $z \in D$ , es decir la función $| f (z) |$ es constante en $D$ , por lo que el resultado se sigue de la proposición 19.3.

Observación 37.3.
Se puede probar el principio del módulo máximo para funciones complejas continuas que satisfacen la propiedad del valor medio. Esta es una clase más general de funciones e incluye a las funciones analíticas. Se puede consultar una prueba de este hecho en Complex variables theory and applications, de H.S. Kasana.

Reformulando el teorema 37.4, podemos decir que el módulo de una función compleja, que es analítica y no constante en un dominio $D$ , no alcanza su valor máximo en $D$ . El principio del módulo máximo tiene numerosas formulaciones, las siguientes son ejemplos de ellas.

Observación 37.2.
Si $D \subset C$ es un dominio, denotamos a la frontera de $D$ como $\partial D$ , entonces $\overset{―}{D} = D \cup \partial D$ es un dominio cerrado y acotado en $C$ .

Corolario 37.6.
Sea $D \subset C$ un dominio acotado en el plano complejo y $f : \overset{―}{D} \to C$ una función continua en $\overset{―}{D}$ , que es analítica en $D$ . Entonces $| f (z) |$ alcanza su valor máximo en algún punto de la frontera de $D$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, como $\overset{―}{D}$ es cerrado y acotado, entonces es un conjunto compacto, proposición 10.7, y como la función $| f |$ es continua, entonces, proposición 10.10, alcanza su máximo en algún punto de $\overset{―}{D}$ . Si $| f |$ alcanza su máximo en algún punto de $\partial D = \overset{―}{D} ∖ D$ , entonces no hay nada que probar.

Supongamos que $| f |$ alcanza su máximo en algún punto de $D$ , entonces, por el principio del módulo máximo, tenemos que $f$ es una función constante en $D$ , por lo que, por la continuidad de $f$ , se sigue que $f$ es constante en $\overset{―}{D}$ . En tal caso, $| f |$ alcanza su valor máximo, el cual es único, en cada punto de $\partial D$ .

Ejemplo 37.4.
Sea $R \subset C$ el dominio rectangular:
${z = x + i y \in C : 0 \leq x \leq π, 0 \leq y \leq 1},$ y sea $f (z) = sen (z)$ . Determinemos el valor máximo de $| f |$ en $R$ .

Solución. Sabemos que $f$ es una función entera, por lo que en particular es analítica en $int R$ y continua en $R$ , entonces por el principio del módulo máximo sabemos que $| f |$ alcanza su máximo en $\partial R$ .

Por la observación 22.5, para $z = x + i y \in C$ tenemos que:
$| f (z) | = | sen (z) | = \sqrt{{sen}^{2} (x) + {senh}^{2} (y)} .$

Como $z = x + i y \in \partial R$ , figura 137, entonces $sen (x)$ alcanza su máximo en $π / 2 \in [0, π]$ , mientras que $senh (y)$ alcanza su máximo en $1 \in [0, 1]$ , entonces el valor máximo de $| f |$ en el dominio $R$ se alcanza en $z = π / 2 + i$ .

Figura 137: Dominio rectangular $R \subset C$ del ejemplo 37.4.

Teorema 37.5. (Principio del módulo mínimo.)
Sean $D \subset C$ un dominio y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ tal que $f (z) \neq 0$ para todo $z \in D$ . Si existe un punto $z_{0} \in D$ tal que $| f (z_{0}) | \leq | f (z) |$ para todo $z \in D$ , es decir, el módulo $| f (z) |$ alcanza su mínimo en $z_{0}$ , entonces $f$ es una función constante en $D$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, como $f (z) \neq 0$ para todo $z \in D$ , definimos a la función:
$g (z) = \frac{1}{f (z)},$ la cual es analítica en $D$ . Como $| f |$ alcanza su mínimo en $z_{0} \in D$ , entonces $| g |$ alcanza su máximo en $z_{0}$ , por lo que, del principio del módulo máximo se sigue que $g$ es una función constante en $D$ y por tanto lo es $f$ .

Corolario 37.7.
Sea $D \subset C$ un dominio acotado en el plano complejo y $f : \overset{―}{D} \to C$ una función continua en $\overset{―}{D}$ , analítica en $D$ y que cumple que $f (z) \neq 0$ para todo $z \in D$ . Entonces $| f (z) |$ alcanza su valor mínimo en algún punto de la frontera de $D$ .
Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Ejemplo 37.4.
Sea $f (z) = z^{2} + 2$ . Determinemos el valor mínmo de $| f |$ en el disco cerrado $\overset{―}{B} (0, 1)$ .

Solución. Sabemos quue $f$ es una función entera, por lo que en particular es continua en $\overset{―}{B} (0, 1)$ y analítica en $B (0, 1)$ . Notemos que $f (z) = 0$ para $z = \pm \sqrt{2} i$ , los cuales son puntos fuera de $\overset{―}{B} (0, 1)$ , por lo que del principio del módulo mínimo $| f |$ alcanza su valor mínimo en $\partial \overset{―}{B} (0, 1)$ .

Sea $z \in \partial \overset{―}{B} (0, 1)$ . Si escribimos a $z$ en su forma polar, entonces:
$z = e^{i θ}, θ \in [0, 2 π] .$

Considerando la proposición 20.2 tenemos que:
$\begin{aligned} | f (z) | & = | z^{2} + 2 | \\ = | \cos (2 θ) + 2 + i sen (2 θ) | \\ = \sqrt{{(\cos (2 θ) + 2)}^{2} + {sen}^{2} (2 θ)} \\ = \sqrt{4 \cos (2 θ) + 5} . \end{aligned}$

Determinamos los puntos críticos de $| f |$ :
$\frac{d | f (z) |}{d θ} = - \frac{8 sen (2 θ)}{2 \sqrt{4 \cos (2 θ) + 5}} = 0,$ de donde $θ = 0, π / 2, π, 3 π / 2$ son los puntos críticos de $| f |$ . Entonces, en $θ = π / 2$ y $θ = 3 π / 2$ la función $| f (z) |$ alcanza el valor mínimo $1$ , en el disco cerrado $\overset{―}{B} (0, 1)$ .

Cerraremos esta entrada con un resultado que es una aplicación del principio del módulo máximo. Aunque este resultado no es no de lo más básicos en la teoría de la Variable Compleja, nos permite ver el tipo de restricciones que la analiticidad de una función compleja impone.

Teorema 37.6. (Lema de Schwarz.)
Sea $f$ una función analítica en el disco unitario abierto $B (0, 1) \subset C$ , tal que $| f (z) | \leq 1$ para $z \in B (0, 1)$ . Entonces $| f (z) | \leq | z |$ para todo $z \in B (0, 1)$ y $| f^{'} (0) | \leq 1$ . Más aún, si $| f (z_{0}) | = | z_{0} |$ para algún $z_{0} \in B (0, 1)$ tal que $z_{0} \neq 0$ ó $| f^{'} (0) | = 1$ , entonces $f (z) = c z$ para todo $z \in B (0, 1)$ y para alguna constante $c \in C$ tal que $| c | = 1$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, definimos a la función $g : B (0, 1) \to C$ como:
$g (z) = {\begin{array}{lcc} \frac{f (z)}{z}, & si & z \neq 0, \\ f^{'} (0), & si & z = 0. \end{array}$

Notemos que $g$ es una función continua en $B (0, 1)$ ya que:
$lim_{z \to 0} g (z) = lim_{z \to 0} \frac{f (z)}{z} = f^{'} (0) .$

Por otra parte, $g$ es analítica en $B^{*} (0, 1) = B (0, 1) ∖ {0}$ . Entonces, por el teorema de Morera generalizado, $g$ es analítica en $B (0, 1)$ .

Sea $0 < r < 1$ , por lo que $\overset{―}{B} (0, r) \subset B (0, 1)$ . Entonces $g$ es analítica en $\overset{―}{B} (0, r)$ y para $z \in \partial B (0, 1)$ se tiene que:
$| g (z) | = | \frac{f (z)}{z} | \leq \frac{1}{r} .$

Por el principio del módulo máximo tenemos que:
$| g (z) | \leq \frac{1}{r}, \forall z \in \overset{―}{B} (0, r) .$

Notemos que si $z \in B (0, 1)$ es fijo, al tomar el límite cuando $r \to 1$ , se tiene que $| g (z) | \leq 1$ , entonces $| f (z) | \leq | z |$ para todo $z \in B (0, 1)$ . Además $| f^{'} (0) | = | g (0) | \leq 1$ .

Por otra parte, si $| f (z_{0}) | = | z_{0} |$ para algún $z_{0} \in B^{*} (0, 1)$ , entonces $| g (z_{0}) | = 1$ , es decir, el máximo del módulo de $g$ se alcanza en un punto interior del disco abierto $B (0, 1)$ , por lo que del principio del módulo máximo se tiene que $g$ es una función constante, es decir, $g (z) = c$ , con $c \in C$ tal que $| c | = 1$ . Del mismo modo, si $| f^{'} (0) | = 1$ , entonces $| g (0) | = 1$ y el máximo del módulo de $g$ se alcanza en $z = 0$ , por lo que del principio del módulo máximo se concluye que $g$ es constante.

Tarea moral

Sea $R$ el dominio rectangular ${z :\in C : | Re (z) | \leq 4, | Im (z) | \leq 3}$ . Supón que $f$ es una función analítica en $R$ tal que $| f (z) | \leq 1$ para todo $z \in \partial R$ , entonces muestra que:
$| f^{'} (0) | \leq \frac{14}{9 π} .$
Sea $f$ una función analítica en un dominio $D \subset C$ y $z_{0} \in D$ . Muestra que:
$f^{(n)} (z_{0}) = \frac{1}{2 π r^{n + 1}} \int_{0}^{2 π} f (z_{0} + r e^{i t}) e^{- i n t} d t,$ si $\overset{―}{B} (z_{0}, r) \subset D$ , con $r > 0$ .
Muestra que:
$\int_{0}^{2 π} \cos (\cos (t)) \cosh (sen (t)) d t = 2 π .$ Hint: Utiliza la proposición 37.5.
Sea $D \subset C$ un dominio con frontera $\partial D$ . Sea $f (z)$ una función no constante definida en $\overset{―}{D} = D \cup \partial D$ , tal que $| f (z_{0}) | > m$ para algún $z_{0} \in D$ y $| f (z) | \leq m$ para todo $z \in \partial D$ . Entonces,
a) si $f$ es analítica en $D$ , muestra que existe un punto en $\partial D$ donde $f$ no es continua;
b) si $f$ es continua en $\partial D$ , muestra que existe un punto en $D$ donde $f$ no es analítica.
Sean $D \subset C$ un dominio acotado con frontera $\partial D$ y $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ una función analítica en $D$ y continua en $\partial D$ . Muestra que las siguientes funciones alcanzan su máximo en la frontera del dominio $D$ .
a) $(x^{2} + y^{2}) e^{u (x, y)}$ .
b) $(u^{2} (x, y) + v^{2} (x, y)) e^{u (x, y)}$ .
c) $({sen}^{2} (x) + {senh}^{2} (y)) e^{u (x, y)}$ .
d) $(\cos^{2} (x) + {senh}^{2} (y)) e^{u (x, y)}$ .
Hint: En cada caso, define a la función $g (z)$ cuya parte real corresponde con la función dada y aplica el principio del módulo máximo.
Sea $f$ una función entera tal que $| f (z) | \leq c | z |^{λ} + d$ para todo $z \in C$ , con $λ, c$ y $d$ constantes positivas. Prueba que $f$ es necesariamente un polinomio complejo cuyo grado no es mayor que $λ$ .
Hint: Modifica la prueba del teorema de Liouville.
Prueba la siguiente generalización del lema de Schwarz. Si $f$ es una función analítica en el disco $B (z_{0}, r)$ y $m$ es una constante tal que $| f (z) - f (z_{0}) | \leq m$ para todo $z \in B (z_{0}, r)$ , entonces $| f^{'} (z_{0}) | \leq m / r$ y $| f (z) - f (z_{0}) | \leq (m / r) | z - z_{0} |$ se cumple para todo $z \in B (z_{0}, r)$ .
Sea $f$ una función entera tal que $f (0) = 0$ y $lim_{| z | \to \infty} Re f (z) = 0$ . Prueba que $f (z) = 0$ para todo $z \in C$ .

Más adelante…

En esta entrada hemos abordado algunas de las consecuencias más importantes del teorema integral de Cauchy.

En la siguiente entrada veremos la versión homótopica del teorema de Cauchy y con ella generalizaremos el resultado para ciertos dominios del plano complejo $C$ , llamados dominios simplemente conexos, lo cual nos permitirá extender nuestra versión local, para discos, de dicho resultado.

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Variable Compleja I: Teorema integral de Cauchy

Por Pedro Rivera Herrera

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Introducción

El teorema integral de Cauchy es una de las piedras angulares del análisis complejo. Dicho resultado resuelve dos características aparentemente contradictorias de las integrales de contorno cuando $f$ es una función fija pero el contorno $γ$ , a lo largo del que se integrará a $f$ , puede cambiar. Por una parte, es posible modificar el contorno $γ$ de forma bastante drástica sin efecto en la integral, por ejemplo, reemplazando un contorno simple por un contorno no simple a trozos. Por otra parte, si cambiamos un contorno semicircular en el semiplano superior del plano complejo $C$ , que une a $- 1$ y $1$ , por un contorno semicircular en el semiplano inferior de $C$ , que une a $- 1$ y $1$ , tenemos que el resultado de la integral de $f (z) = z^{- 1}$ a lo largo de dichos contornos cambia completamente. Entonces, a través del teorema integral de Cauchy nos será posible explicar estas dos características y concluir que lo que realmente importa es el número de vueltas que un contorno $γ$ da alrededor de los puntos que se encuentran fuera del dominio de $f$ .

El teorema integral de Cauchy-Goursat establece que dentro de ciertos dominios la integral de una función analítica a lo largo de un contorno cerrado simple es cero. Una extensión de este teorema nos permitirá reemplazar integrales sobre ciertos contornos complicados con integrales sobre contornos que son fáciles de evaluar.

En esta entrada abordaremos una versión local del teorema integral de Cauchy para discos abiertos, la cual nos permitirá obtener un resultado general de dicho teorema.

Recordemos el siguiente resultado visto en nuestros cursos de Cálculo.

Teorema 36.1. (Teorema de Green.)
Sea $C$ una curva de clase $C^{1}$ , cerrada, simple y orientada positivamente, tal que es la frontera de una región $D \subset R^{2}$ . Si $P, Q : D \to R$ son dos funciones reales de clase $C^{1}$ , entonces:
$\int_{C} P d x + Q d y = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y .$

Procedemos a enunciar una primera versión del teorema integral de Cauchy para rectángulos.

Teorema 36.2. (Primera versión del Teorema Integral de Cauchy.)
Sean $U \subset C$ un conjunto abierto, $f : U \to C$ una función de clase $C^{1}$ y $R \subset U$ un rectángulo cerrado con frontera $\partial R$ orientada positivamente. Entonces:
$\int_{\partial R} f (z) d z = 0.$

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ .

De la definición 17.2 se tiene que $f$ es de clase $C^{1}$ si y solo si $u, u : U \to R$ son dos funciones reales de clase $C^{1}$ . Más aún, por el teorema 17.1 se cumple que las funciones $u$ y $v$ satisfacen las ecuaciones de C-R, por ser $f$ una función analítica en $U$ . Entonces, para $d z = d x + i d y$ , por la observación 34.3 y el Teorema de Green, se tiene que:
$\begin{aligned} \int_{\partial R} f (z) d z & = \int_{\partial R} (u d x - v d y) + i \int_{\partial R} (v d x + u d y) \\ = \iint_{R} (- \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}) d x d y + i \iint_{R} (\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}) d x d y \\ = \iint_{R} (\frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y}) d x d y + i \iint_{R} (\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial x}) d x d y \\ = 0. \end{aligned}$

Bajo la hipótesis adicional de que $f^{'} (z)$ es continua para todo $z \in U$ , la demostración de esta primera versión del Teorema de Cauchy es clara. Aunque el Teorema de Green fue establecido hasta 1828, fue Augustin Cauchy quien en 1814 demostró por primera vez el teorema 36.1, bajo la hipótesis adicional de continuidad sobre $f^{'}$ , utilizando una formulación equivalente a la establecida en el Teorema de Green.

Observación 36.1.
Más adelante probaremos que las derivadas de una función analítica son también funciones analíticas y por tanto continuas, proposición 16.1, entonces la hipótesis de continuidad sobre $f^{'}$ resulta redundante e innecesaria.

Procedemos ahora a probar una versión local del Teorema integral de Cauchy para discos.

Teorema 36.3. (Teorema Integral de Cauchy-Goursat para discos.)
Sean $r > 0$ , $z_{0} \in C$ un punto fijo y $f : B (z_{0}, r) \to C$ una función analítica en el disco abierto $B (z_{0}, r)$ . Entonces:
$\int_{γ} f (z) d z = 0,$ para cualquier contorno cerrado $γ$ en $B (z_{0}, r)$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $z_{0} = x_{0} + i y_{0}$ el centro del disco $B (z_{0}, r)$ , $ζ = x + i y \in B (z_{0}, r)$ cualquier punto y $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ . De acuerdo con la proposición 35.2 basta con probar que existe una primitiva de $f$ en $B (z_{0}, r)$ .

Sea $γ_{1}$ el contorno dado por el segmento de recta vertical que une a $z_{0}$ con $x_{0} + i y$ seguido del segmento de recta horizontal que une a $x_{0} + i y$ con $ζ$ , es decir, $γ_{1} := [z_{0}, x_{0} + i y] + [x_{0} + i y, ζ]$ . Análogamente, definimos al contorno $γ_{2}$ dado por el segmento de recta horizontal que une a $z_{0}$ con $x + i y_{0}$ seguido del segmento de recta vertical que une a $x + i y_{0}$ con $ζ$ , es decir, $γ_{2} := [z_{0}, x + i y_{0}] + [x + i y_{0}, ζ]$ , figura 134.

Es claro que el contorno $γ = γ_{2} + (- γ)$ es un contorno cerrado y coincide con la frontera $\partial R$ del rectángulo $R \subset B (z_{0}, r)$ con vértices $z_{0}, x + i y_{0}, ζ, x_{0} + i y \in B (z_{0}, r)$ . Por lo que, del lema de Goursat y la proposición 34.2, tenemos que:
$\begin{aligned} 0 & = \int_{\partial R} f (z) d z \\ = \int_{z_{0}}^{x + i y_{0}} f (z) d z + \int_{x + i y_{0}}^{ζ} f (z) d z + \int_{ζ}^{x_{0} + i y} f (z) d z + \int_{x_{0} + i y}^{z_{0}} f (z) d z \\ = \int_{γ_{2}} f (z) d z + \int_{- γ_{1}} f (z) d z . \end{aligned}$

Es decir:
$\int_{γ_{2}} f (z) d z = - \int_{- γ_{1}} f (z) d z = \int_{γ_{1}} f (z) d z .$

Figura 134: Rectángulo cerrado $R \subset B (z_{0}, r)$ .

Considerando lo anterior definimos a la función:
$F (z) := \int_{γ_{1}} f (z) d z = \int_{γ_{2}} f (z) d z .$

Veamos que $F$ es una primitiva de $f$ en $B (z_{0}, r)$ .

Como en los segmentos $[z_{0}, x + i y_{0}]$ y $[x_{0} + i y, ζ]$ el término imaginario es constante, entonces podemos parametrizar a dichos segmentos, respectivamente, como:
$\begin{aligned} β_{1} (t) & = t + i y_{0}, \forall t \in [x_{0}, x], \\ β_{2} (t) & = t + i y, \forall t \in [x_{0}, x] . \end{aligned}$

Análogamente, en los segmentos $[z_{0}, x_{0} + i y]$ y $[x + i y_{0}, ζ]$ el término real es constante, por lo que podemos parametrizar a dichos segmentos, respectivamente, como:
$\begin{aligned} β_{3} (t) & = x_{0} + i t, \forall t \in [y_{0}, y], \\ β_{4} (t) & = x + i t, \forall t \in [y_{0}, y] . \end{aligned}$

Entonces, de la definición 34.1 y la proposición 33.1, se sigue que:
$\begin{aligned} F (z) & = \int_{γ_{1}} f (z) d z \\ = \int_{β_{1}} f (z) d z + \int_{β_{4}} f (z) d z \\ = \int_{x_{0}}^{x} f (t + i y_{0}) d t + i \int_{y_{0}}^{y} f (x + i t) d t \\ = \int_{x_{0}}^{x} u (t + i y_{0}) d t + i \int_{x_{0}}^{x} v (t + i y_{0}) d t - \int_{y_{0}}^{y} v (x, t) d t + i \int_{y_{0}}^{y} u (x, t) d t . \end{aligned}$

Por el primer Teorema Fundamental del Cálculo tenemos que:
$\begin{aligned} \frac{\partial F (z)}{\partial y} & = \frac{\partial}{\partial y} \int_{x_{0}}^{x} u (t + i y_{0}) d t + i \frac{\partial}{\partial y} \int_{x_{0}}^{x} v (t + i y_{0}) d t \\ - \frac{\partial}{\partial y} \int_{y_{0}}^{y} v (x, t) d t + i \frac{\partial}{\partial y} \int_{x_{0}}^{x} u (x, t) d t \\ = 0 + i 0 - v (x, y) + i u (x, y) \\ = i [u (x, y) + i v (x, y)] \\ = i f (z) . \end{aligned}$

Procediendo de manera análoga tenemos que:
$F (z) = \int_{β_{2}} f (z) d z + \int_{β_{3}} f (z) d z,$ de donde:
$\frac{\partial F (z)}{\partial x} = f (z) .$

Tenemos que:
$0 = f (z) - f (z) = \frac{\partial F (z)}{\partial x} + i \frac{\partial F (z)}{\partial y},$ es decir, si $F (z) = U (x, y) + i V (x, y)$ , entonces:
$\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial y} = - \frac{\partial V}{\partial x},$ por lo que $U$ y $V$ satisfacen las ecuaciones de C-R. Más aún, como $f$ es analítica en $B (z_{0}, r)$ , en particular es continua, por lo que $U_{x}, U_{y}, V_{x}$ y $V_{y}$ son continuas, es decir, $F$ es una función de clase $C^{1} (B (z_{0}, r))$ , entonces por el teorema 18.1 tenemos que $F$ es una función analítica en $B (z_{0}, r)$ tal que:
$F^{'} (z) = \frac{\partial F (z)}{\partial x} = - i \frac{\partial F (z)}{\partial y} = f (z), \forall z \in B (z_{0}, r),$ es decir, $F$ es una primitiva de $f$ en $B (z_{0}, r)$ , por lo que de la proposición 35.2 se sigue que:
$\int_{γ} f (z) d z = 0,$ para cualquier contorno cerrado $γ$ en $B (z_{0}, r)$ .

Ejemplo 36.1.
Evaluemos la integral:
$\int_{γ} \frac{e^{z}}{z^{2} - 16} d z,$ donde $γ$ describe a la circunferencia $C (0, 2)$ orientada positivamente y recorrida una vez.

Solución. Es claro que la función:
$f (z) = \frac{e^{z}}{z^{2} - 16},$ es analítica en $D = C ∖ {- 4, 4}$ y en particular es analítica en el disco abierto $B (0, 3) \subset D$ .

Por otra parte, tenemos que el contorno cerrado $C (0, 2)$ , parametrizado por $γ (t) = 2 e^{i t}$ , con $t \in [0, 2 π]$ , está completamente contenido en el disco $B (0, 3)$ , figura fig:f135, por lo que del teorema 36.3 se sigue que:
$\int_{γ} \frac{e^{z}}{z^{2} - 16} d z = 0.$

Figura 135: Contorno cerrado $C (0, 2)$ completamente contenido en el disco $B (0, 3)$ .

Ejemplo 36.2.
Veamos que
$\int_{0}^{\infty} \cos (t^{2}) d t = \int_{0}^{\infty} sen (t^{2}) d t = \frac{\sqrt{2 π}}{4} .$

Solución. Es claro que ambas integrales son integrales reales impropias, por lo que debemos probar que:
$lim_{r \to \infty} \int_{0}^{r} \cos (t^{2}) d t = lim_{r \to \infty} \int_{0}^{r} sen (t^{2}) d t = \frac{\sqrt{2 π}}{4} .$

Dado que $e^{i t^{2}} = \cos (t^{2}) + sen (t^{2})$ , basta probar que:
$lim_{r \to \infty} \int_{0}^{r} e^{t^{2}} d t = \frac{(1 + i) \sqrt{2 π}}{4},$ y tomar la parte real e imaginaria para obtener el resultado.

Sea $f (z) = e^{i z^{2}}$ . Definimos al contorno cerrado $γ = γ_{1} + γ_{2} - γ_{3}$ , firgura 136, donde:
$\begin{aligned} γ_{1} (t) & = t, \forall t \in [0, r] \\ γ_{3} (t) & = t e^{i π / 4}, \forall t \in [0, r], \\ γ_{2} (t) & = r e^{i t}, \forall t \in [0, π / 4] . \end{aligned}$

Figura 136: Contorno $γ = γ_{1} + γ_{2} - γ_{3}$ del ejemplo 36.2.

Tenemos que $f$ es una función entera, por lo que es analítica en cualquier disco abierto, en particular si consideramos al disco abierto $B (0, R)$ , con $0 < r < R$ , entonces es claro que el contorno $γ$ está completamente contenido en $B (0, R)$ , por lo que del Teorema Integral de Cauchy-Goursat, para discos y de la proposición 34.2, se sigue que:
$0 = \int_{γ} e^{i z^{2}} d z = \int_{γ_{1}} e^{i z^{2}} d z + \int_{γ_{2}} e^{i z^{2}} d z - \int_{γ_{3}} e^{i z^{2}} d z,$ por lo que:
$\begin{aligned} \int_{0}^{r} e^{i t^{2}} d t & = \int_{γ_{1}} e^{i z^{2}} d z \\ = \int_{γ_{3}} e^{i z^{2}} d z - \int_{γ_{2}} e^{i z^{2}} d z \\ (36.1) & = \frac{(1 + i) \sqrt{2}}{2} \int_{0}^{r} e^{- t^{2}} d t - \int_{γ_{2}} e^{i z^{2}} d z . \end{aligned}$

Por el ejemplo 34.11 sabemos que:
$| \int_{γ_{2}} e^{i z^{2}} d z | \leq \frac{π (1 - e^{r^{2}})}{4 r},$ por lo que, tomando el límite cuando $r \to \infty$ tenemos que:
$| \int_{γ_{2}} e^{i z^{2}} d z | = 0, ⟹ \int_{γ_{2}} e^{i z^{2}} d z = 0.$

Entonces, tomando el límite cuando $r \to \infty$ en (36.1) tenemos que:
$lim_{r \to \infty} \int_{0}^{r} e^{i t^{2}} d t = \frac{(1 + i) \sqrt{2}}{2} lim_{r \to \infty} \int_{0}^{r} e^{- t^{2}} d t .$

De nuestros cursos de Cálculo sabemos que:
$\int_{0}^{\infty} e^{- t^{2}} d t = \frac{π}{2},$ por lo que:
$\int_{0}^{\infty} e^{i t^{2}} d t = lim_{r \to \infty} \int_{0}^{r} e^{i t^{2}} d t = \frac{(1 + i) \sqrt{2}}{2} \frac{π}{2} = \frac{(1 + i) \sqrt{2 π}}{4} .$

Por último, tomando la parte real e imaginaria de esta última igualdad tenemos el resultado.

Teorema 36.4. (Teorema Integral de Cauchy-Goursat generalizado para discos.)
Sean $r > 0$ , $z_{0} \in C$ un punto fijo, $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n} \in B (z_{0}, r)$ , $D := B (z_{0}, r) ∖ {z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}}$ y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ tal que:
$lim_{z \to z_{j}} (z - z_{j}) f (z) = 0,$ para todo $j = 1, \dots, n$ . Entonces:
$\int_{γ} f (z) d z = 0,$ para cualquier contorno cerrado $γ$ en $D$ que no pasa por los puntos $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, es suficiente con probar el caso para un único punto $z_{1} \in B (z_{0}, r)$ en el cual $f$ no es analítica y proceder por inducción.

De manera similar a la prueba anterior, basta mostrar que existe una primitiva de $f$ en $D = B (z_{0}, r) ∖ {z_{1}}$ . Para ello tomamos a $ζ \in D$ y consideramos al contorno poligonal $γ$ que une al centro $z_{0}$ del disco abierto $B (z_{0}, r)$ con $ζ$ , considerando segmentos de recta verticales y horizontales, sin pasar por $z_{1}$ y definimos a dicha primitiva como la función:
$F (z) = \int_{γ} f (z) d z,$ la cual está bien definida pues $B (z_{0}, r)$ es poligonal conexo, entonces el contorno poligonal $γ$ siempre existe. Solo basta considerar la ubicación del punto $z_{1} \in B (z_{0}, r)$ al definir a $γ$ . Si $z_{1}$ no cae en las rectas $x = x_{0}$ y $y_{0}$ , entonces bastan tres segmentos de recta para unir a $z_{0} = x_{0} + i y_{0}$ con el punto $ζ \neq z_{1}$ , en tal caso es fácil mostrar, de la misma manera que antes, que $F_{y} (z) = i f (z)$ y $F_{x} (z) = f (z)$ utilizando el lema de Goursat generalizado y concluir que $F$ es una primitiva de $f$ en $D$ , por lo que el resultado se sigue de la proposición 35.2.

Por último, si $z_{1}$ cae en alguna de las rectas $x = x_{0}$ ó $y = y_{0}$ , basta con fijar otro punto de inicio de $γ$ , distinto del centro del disco $B (z_{0}, r)$ , en la definición de $F$ y volver a plantear el análisis anterior.

Observación 36.2.
Notemos que el resultado anterior es equivalente a pedir que $f$ sea analítica en $B (z_{0}, r) ∖ {z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}}$ , con $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n} \in B (z_{0}, r)$ , y continua en $B (z_{0}, r)$ .

Corolario 36.1.
Sean $r > 0$ , $z_{0} \in C$ un punto fijo, $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $f : B (z_{0}, r) \to C$ una función analítica en el disco abierto $B (z_{0}, r)$ , $ζ \in B (z_{0}, r)$ y $γ : [a, b] \to B (z_{0}, r)$ un contorno cerrado que no pasa por $ζ$ . Entonces:
$f (ζ) \int_{γ} \frac{d z}{z - ζ} = \int_{γ} \frac{f (z)}{z - ζ} d z .$

Demostración.Dadas las hipótesis, sea $ζ \in B (z_{0}, r)$ , como $f$ es analítica en el disco abierto $B (z_{0}, r)$ , en particular lo es en $ζ$ , por lo que:
$lim_{z \to ζ} \frac{f (z) - f (ζ)}{z - ζ} = f^{'} (ζ) .$

Considerando lo anterior definimos a la función:
$g (z) = {\begin{array}{lcc} \frac{f (z) - f (ζ)}{z - ζ} & si & z \neq ζ, \\ f^{'} (ζ) & si & z = ζ . \end{array}$

Claramente $g$ es una función analítica en $B (z_{0}, r) ∖ {ζ}$ y continua en $ζ$ , por lo que:
$lim_{z \to ζ} (z - ζ) g (z) = 0.$

Entonces, por el Teorema de Cauchy generalizado tenemos que:
$\begin{aligned} 0 & = \int_{γ} g (z) d z \\ = \int_{γ} \frac{f (z) - f (ζ)}{z - ζ} d z \\ = \int_{γ} \frac{f (z)}{z - ζ} d z - \int_{γ} \frac{f (ζ)}{z - ζ} d z \\ = \int_{γ} \frac{f (z)}{z - ζ} d z - f (ζ) \int_{γ} \frac{d z}{z - ζ} . \end{aligned}$

Por lo que:
$f (ζ) \int_{γ} \frac{d z}{z - ζ} = \int_{γ} \frac{f (z)}{z - ζ} d z,$ para cualquier contorno cerrado $γ$ en $B (z_{0}, r)$ que no pasa por $ζ$ .

Lema 36.1.
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , $γ : [a, b] \to C$ un contorno y $φ : C \to C$ una función que está definida y es continua en los puntos del contorno, es decir, en $γ ([a, b])$ . Para cada $n \in N^{+}$ se define a la función:
$F_{n} (z) := \int_{γ} \frac{φ (ζ)}{(ζ - z)^{n}} d ζ, z \notin γ ([a, b]) .$

Entonces, cada función $F_{n}$ es analítica en $C ∖ γ ([a, b])$ y $F_{n}^{'} (z) = n F_{n + 1} (z)$ , lo cual implica que cada $F_{n}$ tiene derivadas analíticas de todos los órdenes.

Demostración. Dadas las hipótesis, primero procedemos a verificar que cada función $F_{n}$ es continua. Sea $z_{0} \in D := C ∖ γ ([a, b])$ fijo. Como $[a, b] \subset R$ es compacto y la función $γ$ es continua, entonces, proposición 10.9, $γ ([a, b])$ es compacto, por lo que, proposición 10.10, $γ$ alcanza su valor mínimo, entonces definimos a $r := min_{t \in [a, b]} | γ (t) - z_{0} | > 0$ . Análogamente, como $γ ([a, b])$ es compacto y $φ$ es continua en dicho conjunto, entonces su imagen también es un conjunto compacto, en particular es un conjunto acotado, es decir, existe $M > 0$ tal que $| φ (ζ) | \leq M$ para todo $ζ \in γ ([a, b])$ .

Recordemos la factorización:
$x^{n} - y^{n} = (x - y) (x^{n - 1} + x^{n - 2} y + \dots + x y^{n - 2} + y^{n - 1}) .$

Entonces:
$\begin{aligned} \frac{1}{(ζ - z)^{n}} - \frac{1}{(ζ - z_{0})^{n}} & = [\frac{1}{ζ - z} - \frac{1}{ζ - z_{0}}] [\frac{1}{(ζ - z)^{n - 1}} + \frac{1}{(ζ - z)^{n - 2} (ζ - z_{0})} \\ + \dots + \frac{1}{(ζ - z) (ζ - z_{0})^{n - 2}} + \frac{1}{(ζ - z_{0})^{n - 1}}] \\ = (z - z_{0}) [\frac{1}{(ζ - z)^{n} (ζ - z_{0})} + \frac{1}{(ζ - z)^{n - 1} (ζ - z_{0})^{2}} \\ + \dots + \frac{1}{(ζ - z)^{2} (ζ - z_{0})^{n - 1}} + \frac{1}{(ζ - z) (ζ - z_{0})^{n}}] . \end{aligned}$

Multiplicando por $φ (ζ)$ e integrando a lo largo de $γ$ , en ambos lados de la igualdad anterior, tenemos que:
$\begin{aligned} F_{n} (z) - F_{n} (z_{0}) & = (z - z_{0}) \int_{γ} [\frac{φ (ζ)}{(ζ - z)^{n} (ζ - z_{0})} + \dots + \frac{φ (ζ)}{(ζ - z) (ζ - z_{0})^{n}}] d ζ \\ = (z - z_{0}) \int_{γ} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{φ (ζ)}{(ζ - z)^{n - k} (ζ - z_{0})^{k + 1}} d ζ \\ (36.3) & = (z - z_{0}) \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{γ} \frac{φ (ζ)}{(ζ - z)^{n - k} (ζ - z_{0})^{k + 1}} d ζ, \end{aligned}$ donde $z \in B (z_{0}, r / 2)$ y $ζ \in γ ([a, b])$ . Por lo que $| z - z_{0} | < r / 2$ , $r / 2 < r \leq | ζ - z_{0} |$ y $r / 2 < | ζ - z |$ , entonces:
$| \frac{φ (ζ)}{(ζ - z)^{n - k} (ζ - z_{0})^{k + 1}} | < M {(\frac{2}{r})}^{n + 1},$ para cada $0 \leq k \leq n - 1$ .

Por lo tanto, para $ε > 0$ , tomando $δ < r / 2$ se tiene que si $| z - z_{0} | < δ$ , entonces podemos acotar a (36.3) mediante la proposición 34.3(5) y la desigualdad del triángulo, es decir:
$\begin{aligned} | F_{n} (z) - F_{n} (z_{0}) | & = | z - z_{0} | | \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{γ} \frac{φ (ζ)}{(ζ - z)^{n - k} (ζ - z_{0})^{k + 1}} d ζ | \\ \leq | z - z_{0} | \sum_{k = 0}^{n - 1} | \int_{γ} \frac{φ (ζ)}{(ζ - z)^{n - k} (ζ - z_{0})^{k + 1}} d ζ | \\ \leq | z - z_{0} | \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{γ} | \frac{φ (ζ)}{(ζ - z)^{n - k} (ζ - z_{0})^{k + 1}} d ζ | \\ < δ \sum_{k = 0}^{n - 1} M {(\frac{2}{r})}^{n + 1} \int_{γ} | d z | \\ = n δ M ℓ (γ) {(\frac{2}{r})}^{n + 1} . \end{aligned}$

Por lo que, para:
$δ := min {\frac{r}{2}, \frac{ε r^{n + 1}}{n M ℓ (γ) 2^{n + 1}}},$ se tiene que si $| z - z_{0} | δ$ , entonces $| F_{n} (z) - F_{n} (z_{0}) | < ε$ , por lo que $F_{n}$ es una función continua.

Dividiendo en ambos lados de la igualdad (36.3) por $z - z_{0}$ , tenemos que:
$\begin{aligned} \frac{F_{n} (z) - F_{n} (z_{0})}{z - z_{0}} & = \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{γ} \frac{φ (ζ)}{(ζ - z)^{n - k} (ζ - z_{0})^{k + 1}} d ζ \\ = \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{γ} \frac{φ (ζ) (ζ - z_{0})^{- (k + 1)}}{(ζ - z)^{n - k}} d ζ . \end{aligned}$

Dado que $z_{0} \notin γ ([a, b])$ , entonces para cada $0 \leq k \leq n - 1$ , la función:
$φ (ζ) (ζ - z_{0})^{- (k + 1)},$ es continua. Por lo tanto, de la primera parte de la prueba tenemos que la función:
$h (z) = \int_{γ} \frac{φ (ζ) (ζ - z_{0})^{- (k + 1)}}{(ζ - z)^{n - k}} d ζ,$ es una función continua para cada $0 \leq k \leq n - 1$ . Entonces:
$\begin{aligned} F_{n}^{'} (z_{0}) & = lim_{z \to z_{0}} \frac{F_{n} (z) - F_{n} (z_{0})}{z - z_{0}} \\ = lim_{z \to z_{0}} \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{γ} \frac{φ (ζ) (ζ - z_{0})^{- (k + 1)}}{(ζ - z)^{n - k}} d ζ \\ = \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{γ} lim_{z \to z_{0}} \frac{φ (ζ) (ζ - z_{0})^{- (k + 1)}}{(ζ - z)^{n - k}} d ζ \\ = \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{γ} \frac{φ (ζ)}{(ζ - z_{0})^{n + 1}} d ζ \\ = \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{γ} \frac{φ (ζ)}{(ζ - z_{0})^{n + 1}} d ζ \\ = n \int_{γ} \frac{φ (ζ)}{(ζ - z_{0})^{n + 1}} d ζ \\ = n F_{n + 1} (z_{0}) . \end{aligned}$

Definición 36.1. (Índice de un contorno cerrado respecto a un punto.)
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $γ : [a, b] \to C$ un contorno cerrado y $z_{0} \in C ∖ γ ([a, b])$ , es decir, $z_{0} \in C$ es un punto que no está en el contorno $γ$ . Se define al índice de $γ$ con respecto de $z_{0}$ como:
$n (γ, z_{0}) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{d z}{z - z_{0}} .$

Proposición 36.1.
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $γ : [a, b] \to C$ un contorno cerrado y $z_{0} \in C ∖ γ ([a, b])$ . Entonces:
$\begin{matrix} (36.3) & \int_{γ} \frac{1}{z - z_{0}} d z = 2 π k i, \end{matrix}$ para algún $k \in Z$ . Es decir, la integral (36.3) es un múltiplo entero de $2 π i$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, por la definición 34.1 tenemos que:
$h (z) := \int_{γ} \frac{1}{z - z_{0}} d z = \int_{a}^{b} \frac{γ^{'} (t)}{γ (t) - z_{0}} d t .$

Considerando lo anterior definimos a la función híbrida $F : [a, b] \to C$ como:
$F (x) := \int_{a}^{x} \frac{γ^{'} (t)}{γ (t) - z_{0}} d t, a \leq x \leq b .$

Por construcción es claro que $F$ es una función continua en $[a, b]$ y que $F (a) = 0$ y $F (b) = h (z)$ . Veamos que $F (b) = 2 π k i$ , para algún $k \in Z$ .

Dado que $γ^{'}$ es continua en $[a, b]$ , salvo quizás en un número finito de puntos, entonces $F$ es diferenciable en los puntos de continuidad de $γ^{'}$ y su derivada está dada por el Teorema Fundamental del Cálculo:
$\begin{matrix} (36.4) & F^{'} (x) = \frac{γ^{'} (x)}{γ (x) - z_{0}}, \end{matrix}$ para los puntos donde $γ^{'}$ existe.

Sea $G : [a, b] \to C$ la función híbrida dada por:
$G (t) = e^{- F (t)} [γ (t) - z_{0}], a \leq t \leq b .$

Por construcción tenemos que $G$ es también continua en $[a, b]$ . Más aún, para cada $t \in [a, b]$ donde $γ^{'}$ es continua, por (36.4) y como $γ (a) = γ (b) \neq z_{0}$ , tenemos que:
$\begin{aligned} G^{'} (t) & = e^{- F (t)} γ^{'} (t) - F^{'} (t) e^{- F (t)} [γ (t) - z_{0}] \\ = e^{- F (t)} (γ^{'} (t) - F^{'} (t) [γ (t) - z_{0}]) \\ = e^{- F (t)} (γ^{'} (t) - \frac{γ^{'} (t)}{γ (t) - z_{0}} [γ (t) - z_{0}]) \\ = e^{- F (t)} [γ^{'} (t) - γ^{'} (t)] \\ = 0. \end{aligned}$

Lo anterior nos dice que $G$ es una función constante en cada subintervalo donde $γ^{'}$ existe y como $G$ es continua entonces $G$ es una función constante en $[a, b]$ , por lo que $G (a) = G (b)$ , es decir:
$e^{- F (a)} [γ (a) - z_{0}] = e^{- F (b)} [γ (b) - z_{0}] .$

Dado que $F (a) = 0$ y $γ (a) = γ (b) \neq z_{0}$ , tenemos que:
$e^{- F (b)} = 1,$ lo cual implica, por la proposición 20.2(10), que para algún $k \in Z$ :
$F (b) = 2 π k i .$

Entonces:
$2 π k i = F (b) = h (z) = \int_{γ} \frac{1}{z - z_{0}} d z,$ para algún $k \in Z$ .

Corolario 36.2.
El índice de un contorno cerrado $γ$ respecto a un punto $z_{0}$ es un número entero.

Demostración. Es inmediato de la definición de $n (γ, z_{0})$ y la proposición 36.1.

Observación 36.3.
Claramente $f (z) = \frac{1}{z - z_{0}}$ es una función analítica en $D := C ∖ {z_{0}}$ . Si pudiéramos encontrar una función analítica $F : D \to C$ tal que $F^{'} (z) = f (z)$ para todo $z \in D$ , entonces tendríamos que $n (γ, z_{0}) = 0$ para toda curva cerrada $γ$ en $D$ , que no pase por $z_{0}$ . Sin embargo, de acuerdo con el ejemplo 34.1 y la proposición 35.3 sabemos que $f$ no tiene primitiva en $D$ , por lo que $n (γ, z_{0}) \neq 0$ para toda curva cerrada $γ$ en $D$ , que no pase por $z_{0}$ .

Para continuar, en este punto es importante introducir el siguiente resultado, el cual intuitivamente es claro, pero cuya demostración es bastante complicada y se escapa de los objetivos de estas notas, por lo que en el curso lo tomaremos como válido, aunque puede consultarse una prueba formal de este hecho en:

Complex Analysis: The Argument Principle in Analysis and Topology, de Alan F. Beardon.
An Introduction to Classical Complex Analysis, de Robert B. Burckel.

Teorema 36.5. (Teorema de la curva de Jordan.)
Los puntos en cualquier contorno cerrado simple $C \subset C$ son la frontera de dos dominios distintos, uno de los cuales es el interior de $C$ , denotado por $I$ , y está acotado. El otro, es el exterior de $C$ , denotado por $E$ , y no es acotado. En tal caso, $I \cup E \cup C$ es igual al plano complejo $C$ .

Ejemplo 36.3.
Sean $r > 0$ y $z_{0} \in C$ un punto fijo. Consideremos a los conjuntos disjuntos $S_{1} = {z \in C : | z - z_{0} | < r}$ y $S_{2} = {z \in C : | z - z_{0} | > r}$ , los cuales son abiertos en $C$ . Geométricamente es claro que la circunferencia $C (z_{0}, r) = {z \in C : | z - z_{0} | = r}$ es un contorno cerrado simple y los puntos en $C (z_{0}, r)$ son la frontera de $S_{1}$ y $S_{2}$ . El interior de $C (z_{0}, r)$ es $S_{1}$ , el cual es un conjunto acotado y el exterior de $C (z_{0}, r)$ es $S_{2}$ , el cual es un conjunto no acotado.

Observación 36.4.
Por la proposición 10.9 sabemos que al ser $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un conjunto compacto y $γ : [a, b] \to C$ una trayectoria, es decir, $γ$ es una función continua en $[a, b]$ , entonces la curva $γ ([a, b])$ en el plano complejo, es un conjunto compacto, es decir, una curva en $C$ es un conjunto cerrado y acotado. Entonces el conjunto $U = C ∖ γ ([a, b])$ es un conjunto abierto no vacío, por lo que, ejercicio 9 de la entrada 10, podemos ver a $U$ como la unión disjunta numerable de dominios, correspondientes con las componentes conexas de $U$ .

El siguiente lema enuncia algunas de las propiedades clave del índice de un contorno.

Lema 36.2.
Sean $γ$ un contorno cerrado en el plano complejo y $U = C ∖ γ ([a, b])$ . Se cumplen las siguientes propiedades.

$n (γ, z)$ permanece constante conforme $z$ toma valores en cualquiera de las componentes conexas de $U$ .
$n (γ, z) = 0$ para cualquier $z$ en la componente no acotada de $U$ .
Si $γ$ es simple, entonces $n (γ, z) = 1$ ó $n (γ, z) = - 1$ , para todo $z$ en la componente acotada de $U$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, únicamente probaremos las primeras dos propiedades. La última afirmación está sustentada en el teorema de la curva de Jordan y por lo extenso de su prueba la omitiremos, pero se puede consultar una prueba detallada en An Introduction to Complex Function Theory, de Bruce P. Palka.

Sea $φ : γ ([a, b]) \to C$ dada por:
$φ (ζ) = \frac{1}{2 π i} .$ Por lo que, del lema 36.1 para $n = 1$ y la definición 36.1, tenemos que:
$n (γ, z) = \int_{γ} \frac{1}{ζ - z} d ζ,$ es una función analítica, de $z$ , en $U$ , cuya derivada está dada por:
$n^{'} (γ, z) = \int_{γ} \frac{1}{(ζ - z)^{2}} d ζ .$ Por otra parte, si fijamos a $z \in C$ , entonces la función:
$f (ζ) = \frac{1}{(ζ - z)^{2}},$ es una función analítica, de $ζ$ , en $C ∖ {z}$ y tiene como primitiva, en dicho conjunto, a la función:
$F (ζ) = - \frac{1}{ζ - z} .$ Si $z \in U$ , entonces $γ$ es un contorno cerrado en $C ∖ {z}$ , por lo que del TFC para integrales de contorno, proposición 35.1, para $z \in U$ tenemos que:
$\int_{γ} \frac{1}{(ζ - z)^{2}} d ζ = \int_{γ} f (ζ) d ζ = 0.$ Por lo que $n^{'} (γ, z) = 0$ en $U$ , entonces de la proposición 19.2 concluimos que $n (γ, z)$ es una función constante en cada componente de $U$ .
Sea $r > 0$ tal que el conjunto compacto $γ ([a, b])$ está contenido en el disco abierto $B (0, r)$ . Tenemos que el conjunto $C ∖ B (0, r)$ es un subconjunto conexo de $U$ , entonces por la proposición 10.6(1) se cumple que dicho conjunto conexo está contenido en alguna componente conexa $D$ de $U$ . Notemos que la componente conexa $D$ es la única componente no acotada de $U$ , ya que todas las demás componentes claramente subconjuntos de $B (0, r)$ .

Como el punto $z_{0} = 2 r \in D$ y la función $f (ζ) = (ζ - z_{0})^{- 1}$ es analítica en $B (0, r)$ , por el teorema (local) integral de Cauchy, teorema 36.3, tenemos que:
$n (γ, z_{0}) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{1}{ζ - z} d ζ = 0.$ Entonces, por el inciso anterior tenemos que $n (γ, z) = 0$ para todo $z \in D$ .

Observación 36.5.
De acuerdo con lo anterior, el índice de un contorno $n (γ, z_{0})$ tiene una interpretación geométrica clara, ya que nos dice el número de vueltas que el contorno cerrado $γ$ le da al punto $z_{0}$ y su signo está determinado por la orientación del contorno, es decir, si $γ$ tiene orientación positiva entonces $n (γ, z_{0})$ es positivo, mientras que si $γ$ tiene orientación negativa entonces $n (γ, z_{0})$ es negativo.

Más aún, si el contorno cerrado $γ$ es simple y el punto $z_{0}$ está en el interior de $γ$ , entonces $n (γ, z_{0}) = 1$ , mientras que si $z_{0}$ está fuera del contorno entonces $n (γ, z_{0}) = 0$ .

Motivados en lo anterior establecemos la siguiente definición, la cual es consistente con el teorema de la curva de Jordan.

Definición 36.2. (Interior de un contorno cerrado simple.)
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , y $γ : [a, b] \to C$ un contorno cerrado simple en $C$ . Se define al interior de $γ$ como el conjunto:
$I (γ) := {z \in C : n (γ, z) \neq 0} .$

Algunas de las propiedades más elementales del índice de un contorno están dadas en la siguiente:

Proposición 36.2. (Propiedades del índice de un contorno.)
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , y $γ, β : [a, b] \to C$ dos contornos cerrados en $C$ con el mismo punto inicial. Se cumplen las siguientes propiedades.

$n (- γ, z) = - n (γ, z)$ , para todo $z \in C ∖ γ ([a, b])$ .
$n (γ + β, z) = n (γ, z) + n (β, z)$ , para todo $z \in C ∖ (γ ([a, b]) \cup β ([a, b]))$ .
$n (\overset{―}{γ}, \overset{―}{z}) = - n (γ, z)$ , para todo $z \in C ∖ γ ([a, b])$ .
n(a\gamma+b,az+b) = n(\gamma,z) $, p a r a t o d o$ z\in\mathbb{C}\setminus\gamma([a,b]) $, c o n$ a\neq 0 $y$ b$ dos constantes.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Ejemplo 36.4.
Sean $r > 0$ y $z_{0} \in C$ un punto fijo. Consideremos a la circunferencia $C (z_{0}, r)$ y al disco abierto $B (z_{0}, r)$ .

a) Sea $γ : [0, 2 π] \to C$ dada por $γ (t) = z_{0} + r e^{i t}$ , es decir, $γ$ parametriza a la circunferencia $C (z_{0}, r)$ positivamente. Si $z \in B (z_{0}, r)$ , entonces por el lema 36.2(1), la definición 36.1 y el ejemplo 34.1(a) tenemos que:
$\begin{aligned} n (γ, z) & = n (γ, z_{0}) \\ = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{1}{ζ - z_{0}} d ζ \\ = \frac{1}{2 π i} 2 π i \\ = 1. \end{aligned}$

Más aún, por el lema 36.2(2), tenemos que si $z \in C ∖ B (z_{0}, r)$ , entonces $n (γ, z) = 0$ .

b) Sea $γ : [0, 2 π] \to C$ dada por $γ (t) = z_{0} + r e^{- i t}$ , es decir, $γ$ parametriza a la circunferencia $C (z_{0}, r)$ negativamente. Si $z \in B (z_{0}, r)$ , entonces por el lema 36.2(1), la definición 36.1 y la definición 34.1 tenemos que:
$\begin{aligned} n (γ, z) & = n (γ, z_{0}) \\ = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{1}{ζ - z_{0}} d ζ \\ = \frac{1}{2 π i} \int_{0}^{2 π} \frac{γ^{'} (t)}{γ (t) - z_{0}} d t \\ = \frac{1}{2 π i} \int_{0}^{2 π} \frac{- i r e^{- i t}}{z_{0} + r e^{- i t} - z_{0}} d t \\ = - \frac{i}{2 π i} \int_{0}^{2 π} d t \\ = - \frac{i}{2 π i} 2 π \\ = - 1. \end{aligned}$

Del lema 36.2(2), se sigue que para $z \in C ∖ B (z_{0}, r)$ , se cumple que $n (γ, z) = 0$ .

c) Sea $γ : [0, 2 π n] \to C$ , con $n \in N^{+}$ , dada por $γ (t) = z_{0} + r e^{i t}$ , es decir, $γ$ parametriza a la circunferencia $C (z_{0}, r)$ positivamente, pero la recorre $n$ -veces. Si $z \in B (z_{0}, r)$ , entonces por el lema 36.2(1), la definición 36.1 y la definición 34.1 tenemos que:
$\begin{aligned} n (γ, z) & = n (γ, z_{0}) \\ = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{1}{ζ - z_{0}} d ζ \\ = \frac{1}{2 π i} \int_{0}^{2 π n} \frac{γ^{'} (t)}{γ (t) - z_{0}} d t \\ = \frac{1}{2 π i} \int_{0}^{2 π n} \frac{i r e^{- i t}}{z_{0} + r e^{- i t} - z_{0}} d t \\ = \frac{i}{2 π i} \int_{0}^{2 π n} d t \\ = \frac{i}{2 π i} 2 π n \\ = n . \end{aligned}$

Más aún, por el lema 36.2(2), tenemos que si $z \in C ∖ B (z_{0}, r)$ , entonces $n (γ, z) = 0$ .

De acuerdo con los resultados previos, estamos listos para establecer una de las primeras consecuencias del teorema integral de Cauchy generalizado, para discos, mediante el cual podremos obtener una representación fundamental de una función analítica.

Proposición 36.3. (Fórmula integral de Cauchy para discos.)
Sean $r > 0$ , $z_{0} \in C$ un punto fijo, $f : B (z_{0}, r) \to C$ una función analítica en el disco abierto $B (z_{0}, r)$ y $γ$ un contorno cerrado en $B (z_{0}, r)$ . Entonces:
$n (γ, z) f (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ,$ para todo $z \in B (z_{0}, r) ∖ γ ([a, b])$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, fijamos un punto $z \in B (z_{0}, r) ∖ γ ([a, b])$ . Definimos a la función:
$g : B (z_{0}, r) \to C,$ como:
$g (ζ) = {\begin{array}{lcc} \frac{f (ζ) - f (z)}{ζ - z} & si & ζ \neq z, \\ f^{'} (z) & si & ζ = z, \end{array}$ donde $ζ$ es una variable independiente.

Es claro que $g$ es una función analítica en $B (z_{0}, r) ∖ {z}$ . Más aún, como $f$ es analítica en $B (z_{0}, r)$ , entonces:
$lim_{ζ \to z} g (ζ) = lim_{ζ \to z} \frac{f (ζ) - f (z)}{ζ - z} = f^{'} (z) = g (z),$ es decir, $g$ es continua en $z$ , por lo que:
$lim_{ζ \to z} (ζ - z) g (ζ) = 0.$

Como $z$ no está en el contorno cerrado $γ$ , del teorema 36.4 y la definición 36.1, tenemos que:
$\begin{aligned} 0 & = \int_{γ} g (ζ) d ζ \\ = \int_{γ} \frac{f (ζ) - f (z)}{ζ - z} d ζ \\ = \int_{γ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ - \int_{γ} \frac{f (z)}{ζ - z} d ζ \\ = \int_{γ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ - 2 π i n (γ, z) f (z), \end{aligned}$ es decir:
$n (γ, z) f (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ .$ Dado que $z \in B (z_{0}, r) ∖ γ ([a, b])$ es arbitrario, entonces se tiene el resultado.

Observación 36.6.
Un aspecto importante de la fórmula integral de Cauchy es que para un punto $z \in C$ para el cual $n (γ, z) \neq 0$ , podemos expresar el valor de la función $f (z)$ de manera explícita en términos de los valores de $f$ que se encuentran en el contorno $γ$ , a cierta distancia de $z$ .

La aplicación más usual de la fórmula integral de Cauchy se tiene para el caso en que $n (γ, z) = 1$ , ya que bajo dicha condición se tiene que:
$f (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ .$

Ejemplo 36.5.
Evaluemos la integral:
$\int_{γ} \frac{e^{π z}}{z^{3} + z} d z,$ donde $γ$ parametriza positivamente a la circunferencia $C (0, 2)$ .

Solución. Primeramente parametrizamos a la circunferencia $C (0, 2)$ como $γ (t) = 2 e^{i t}$ , con $0 \leq t \leq 2 π$ .

Aplicando fracciones parciales tenemos que:
$\frac{e^{π z}}{z^{3} + z} = \frac{e^{π z}}{z} - \frac{e^{π z}}{2 (z - i)} - \frac{e^{π z}}{2 (z + i)} .$

Notemos que para todo $z \in B (0, 2)$ , por el ejemplo 36.4(a), se cumple que:
$n (γ, z) = n (γ, 0) = 1.$

Sea $f (z) = e^{π z}$ . Claramente $f$ es una función entera, por lo que para $r > 2$ , se cumple que $C (0, 2) \subset B (0, r)$ y $f$ es analítica en $B (0, r)$ . Entonces, de la fórmula integral de Cauchy para discos, como $0, i, - i \in B (0, 2) \subset B (0, r)$ , tenemos que:
$\begin{aligned} \int_{γ} \frac{e^{π ζ}}{ζ} d ζ = \int_{γ} \frac{e^{π ζ}}{ζ - 0} d ζ & = 2 π i n (γ, 0) f (0) \\ = 2 π i (1) (e^{0}) \\ = 2 π i . \end{aligned}$
$\begin{aligned} \int_{γ} \frac{e^{π ζ}}{2 (ζ - i)} d ζ = \frac{1}{2} \int_{γ} \frac{e^{π ζ}}{ζ - i} d ζ & = \frac{2 π i n (γ, i) f (i)}{2} \\ = \frac{2 π i (1) (e^{i π})}{2} \\ = - π i . \end{aligned}$
$\begin{aligned} \int_{γ} \frac{e^{π ζ}}{2 (ζ + i)} d ζ = \frac{1}{2} \int_{γ} \frac{e^{π ζ}}{ζ + i} d ζ & = \frac{2 π i n (γ, - i) f (- i)}{2} \\ = \frac{2 π i (1) (e^{- i π})}{2} \\ = - π i . \end{aligned}$

De la proposición 34.2(1) tenemos que:
$\begin{aligned} \int_{γ} \frac{e^{π ζ}}{ζ^{3} + ζ} d ζ & = \int_{γ} \frac{e^{π ζ}}{ζ} d ζ - \int_{γ} \frac{e^{π ζ}}{2 (ζ - i)} d ζ - \int γ \frac{e^{π ζ}}{2 (ζ + i)} d ζ \\ = 2 π i - (- i π) - (- i π) \\ = 4 π i . \end{aligned}$

Por lo que:
$\int_{γ} \frac{e^{π z}}{z^{3} + z} d z = 4 π i .$

Ejemplo 36.6.
Veamos que:
$\int_{γ} \frac{e^{i π z}}{2 z^{2} - 5 z + 2} d z = \frac{2 π}{3},$ donde $γ$ es la circunferencia unitaria $C (0, 1)$ , orientada positivamente.

Solución. Tenemos que $γ (t) = e^{i t}$ , para $0 \leq t \leq 2 π$ , parametriza a la circunferencia unitaria $C (0, 1)$ , positivamente. Factorizando el denominador del integrando, tenemos que $2 z^{2} - 5 z + 2 = (2 z - 1) (z - 2)$ , es decir, $z_{0} = 1 / 2$ y $z_{1} = 2$ son las raíces de dicho polinomio complejo. Como $1 / 2$ está en el interior de $γ$ , por el lema 36.2(1) y el ejemplo 36.4(a), concluimos que:
$n (γ, 1 / 2) = n (γ, 0) = 1.$

Sea $f (z) = \frac{e^{i π z}}{z - 2}$ . Claramente $f$ es analítica en $D = C ∖ {2}$ , por lo que es analítica en $B (0, 2) \subset D$ y $γ$ está completamente contenida en $D$ , entonces, por la fórmula integral de Cauchy (para discos), tenemos que:
$\begin{aligned} \int_{γ} \frac{e^{i π z}}{2 z^{2} - 5 z + 2} d z & = \int_{γ} \frac{e^{i π z}}{(2 z - 1) (z - 2)} d z \\ = \int_{γ} \frac{f (z)}{2 z - 1} d z \\ = \frac{1}{2} \int_{γ} \frac{f (z)}{z - 1 / 2} d z \\ = π i n (γ, 1 / 2) f (1 / 2) \\ = π i (1) \frac{e^{i π / 2}}{\frac{1}{2} - 2} \\ = \frac{2 π}{3} . \end{aligned}$

Procedemos ahora a establecer una consecuencia de la fórmula integral de Cauchy, la cual nos deja ver claramente las diferencias entre el Cálculo Complejo y el Cálculo Real.

Proposición 36.4.
Sean $U \subset C$ un conjunto abierto y $f : U \to C$ una función analítica en $U$ . Entonces $f^{'}$ también es analítica en $U$ . En particular $f \in C^{1} (U)$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, basta probar que cada $z_{0} \in U$ es el centro de algún disco abierto $D$ en el cual $f^{'}$ es analítica, por lo que $f^{(2)} (z_{0}) = (f^{'})^{'} (z_{0})$ existe.

Sean $z_{0} \in U$ fijo y $r > 0$ tal que $B (z_{0}, r) \subset U$ . Fijamos a $s$ tal que $0 < s < r$ y definimos a $D = B (z_{0}, s)$ . Por la fórmula integral de Cauchy para discos, aplicada al disco $B (z_{0}, r)$ y al contorno $γ = \partial D$ orientado positivamente, es decir, $γ (t) = z_{0} + s e^{i t}$ , con $0 \leq t \leq 2 π$ , tenemos que:
$f (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ, \forall z \in D .$

Del lema 36.2(1) se sigue que:
$n (γ, z) = n (γ, z_{0}) = \frac{1}{2 π i} \int_{0}^{2 π} \frac{i s e^{i t}}{s e^{i t}} d t = 1,$ para todo $z \in D$ .

Sea $φ : γ ([0, 2 π]) \to C$ dada por:
$φ (ζ) = \frac{f (ζ)}{2 π i} .$

Del lema 36.1, aplicado a $φ$ para el caso $n = 1$ , tenemos que:
$F_{1} (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ = f (z), \forall z \in D,$ por lo que:
$f^{'} (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{2}} d ζ,$ para todo $z \in D$ . Aplicando el lema 36.1, para el caso $n = 2$ , tenemos que:
$f^{'} (z) = F_{1}' (z) = F_{2} (z),$ donde $F_{2}$ es una función analítica en $C ∖ γ ([0, 2 π])$ . Por lo tanto, $f^{'}$ es analítica en $D \subset C ∖ γ ([0, 2 π])$ .

Como $z_{0} \in U$ es arbitrario, entonces $f$ es analítica en $U$ .

Por último, dado que $f$ es analítica en $U$ , para $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ , por el teorema 17.1 tenemos que existen las derivadas parciales $u_{x}, u_{y}, v_{x}$ y $v_{y}$ y satisfacen las ecuaciones de C-R en $U$ , es decir:
$f^{'} (z) = f_{x} = i f_{y},$ y como $f^{'}$ es analítica en $U$ , en particular es continua en $U$ , por lo que las derivadas parciales $u_{x}, u_{y}, v_{x}$ y $v_{y}$ son continuas en $U$ y por tanto $f \in C^{1} (U)$ .

Corolario 36.3.
Sean $U \subset C$ un conjunto abierto y $f : U \to C$ una función analítica en $U$ . Entonces $f$ es indefinidamente diferenciable en $U$ y todas las derivadas $f^{'}, f^{(2)}, \dots, f^{(k)}, \dots$ , también son funciones analíticas en $U$ . En particular $f \in C^{\infty} (U)$ .

Demostración. Se sigue del resultado anterior al aplicar inducción, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.

Proposición 36.5. (Fórmula integral de Cauchy para derivadas, en discos.)
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $z_{0} \in C$ fijo, $r > 0$ , $f : B (z_{0}, r) \to C$ una función analítica en el disco abierto $B (z_{0}, r)$ y $γ : [a, b] \to B (z_{0}, r)$ un contorno cerrado en $B (z_{0}, r)$ . Entonces, para todo $n \in N$ :
$n (γ, z) f^{(n)} (z) = \frac{n!}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{n + 1}} d ζ,$ para todo $z \in B (z_{0}, r) ∖ γ ([a, b])$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, procedemos por inducción sobre $n$ . Para $n = 0$ tenemos que $f^{(0)} = f$ , por lo que el resultado se sigue de la fórmula integral de Cauchy (para discos), proposición 36.3, para toda función analítica en $B (z_{0}, r)$ . Supongamos que el resultado se cumple para algún $n \in N$ fijo. Verifiquemos que el resultado se cumple para $n + 1$ .

Como $f$ es analítica en $B (z_{0}, r)$ , por la proposición 36.4, tenemos que $f^{'}$ también es analítica en $B (z_{0}, r)$ . Sea $z \in B (z_{0}, r) ∖ γ ([a, b])$ fijo, entonces por hipótesis de inducción, aplicada a $f^{'}$ , tenemos que:
$\begin{matrix} (36.5) & n (γ, z) f^{(n + 1)} (z) = n (γ, z) (f^{'})^{(n)} (z) = \frac{n!}{2 π i} \int_{γ} \frac{f^{'} (ζ)}{(ζ - z)^{n + 1}} d ζ . \end{matrix}$

Sea $g : B (z_{0}, r) ∖ {z} \to C$ dada por:
$g (ζ) = \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{n + 1}} .$

Es claro que $g$ es analítica en $B (z_{0}, r) ∖ {z}$ y su derivada es:
$g^{'} (ζ) = \frac{f^{'} (ζ)}{(ζ - z)^{n + 1}} - \frac{(n + 1) f (ζ)}{(ζ - z)^{n + 2}} .$

Notemos que $g^{'}$ es una función continua en $B (z_{0}, r) ∖ {z}$ y tiene como primitiva a $g$ , por lo que del TFC para integrales de contorno, proposición 35.1, y la proposición 34.2(1), tenemos que:
$\begin{aligned} 0 & = \int_{γ} g^{'} (ζ) d ζ \\ = \int_{γ} \frac{f^{'} (ζ)}{(ζ - z)^{n + 1}} d ζ - (n + 1) \int_{γ} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{n + 2}} d ζ, \end{aligned}$ es decir:
$\begin{matrix} (36.6) & \int_{γ} \frac{f^{'} (ζ)}{(ζ - z)^{n + 1}} d ζ = (n + 1) \int_{γ} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{n + 2}} d ζ . \end{matrix}$

Entonces, de (36.5) y (36.6) se sigue que:
$\begin{aligned} n (γ, z) f^{(n + 1)} (z) & = \frac{n!}{2 π i} \int_{γ} \frac{f^{'} (ζ)}{(ζ - z)^{n + 1}} d ζ \\ = \frac{n!}{2 π i} (n + 1) \int_{γ} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{n + 2}} d ζ \\ = \frac{(n + 1)!}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{n + 2}} d ζ . \end{aligned}$

Dado que $z \in B (z_{0}, r) ∖ γ ([a, b])$ es arbitrario y $f$ una función arbitraria, analítica en $B (z_{0}, r)$ , entonces para todo $n \in N$ y $z \in B (z_{0}, r) ∖ γ ([a, b])$ se cumple que:
$n (γ, z) f^{(n)} (z) = \frac{n!}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{n + 1}} d ζ .$

Ejemplo 36.7.
Sea $B (z_{0}, r) \subset C$ un disco abierto y $f : B (z_{0}, r) \to C$ una función analítica en dicho disco. Si $γ$ es un contorno cerrado contenido en $B (z_{0}, r)$ y $ζ$ es un punto en el interior de $γ$ veamos que:
$\frac{1}{n!} \int_{γ} \frac{f^{(n)} (z)}{z - ζ} d z = \int_{γ} \frac{f (z)}{(z - ζ)^{n + 1}} d z .$

Solución. Como la función $f$ es analítica en $B (z_{0}, r)$ , entonces $f^{(n)}$ es analítica $B (z_{0}, r)$ . Por la fórmula integral de Cauchy tenemos que:
$n (γ, ζ) f^{(n)} (ζ) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f^{(n)} (z)}{z - ζ} d z .$

Por otra parte, de la fórmula integral de Cauchy para derivadas tenemos que:
$n (γ, ζ) f^{(n)} (ζ) = \frac{n!}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (z)}{(z - ζ)^{n + 1}} d z .$

Entonces:
$\frac{1}{n!} \int_{γ} \frac{f^{(n)} (z)}{z - ζ} d z = \int_{γ} \frac{f (z)}{(z - ζ)^{n + 1}} d z .$

Ejemplo 36.8.
Veamos que:
$\int_{γ} \frac{e^{z^{2}}}{(z - i)^{4}} d z = - \frac{4 π}{3 e},$ donde $γ$ es la circunferencia $C (0, 2)$ con orientación positiva.

Solución. Tenemos que $γ (t) = 2 e^{i t}$ , para $0 \leq t \leq 2 π$ , parametriza a la circunferencia $C (0, 2)$ , positivamente. Como $i$ está en el interior de $γ$ , por el lema 36.2(1) y el ejemplo 36.4(a), concluimos que:
$n (γ, i) = n (γ, 0) = 1.$

Sea $f (z) = e^{z^{2}}$ . Claramente $f$ es una función entera, por lo que en particular es analítica en cualquier disco abierto $B (0, r)$ , con $r > 2$ . Utilizando las reglas de derivación tenemos que:
$f^{(3)} (z) = (12 z + 8 z^{3}) e^{z^{2}} .$

Como $γ$ está completamente contenida en el disco abierto $B (0, r)$ , con $r > 2$ , entonces, por la fórmula integral de Cauchy para derivadas (en discos), tenemos que:
$\begin{aligned} \int_{γ} \frac{e^{z^{2}}}{(z - i)^{4}} d z & = \frac{2 π i}{3!} n (γ, i) f^{(3)} (i) \\ = \frac{π i}{3} (1) [12 i + 8 i^{3}] e^{i^{2}} \\ = \frac{π i}{3 e} (4 i) \\ = - \frac{4 π}{3 e} . \end{aligned}$

Tarea moral

Determina el valor de las siguientes integrales, donde cada circunferencia está orientada positivamente.
a) $\int_{C (0, 1)} (z^{2} + 2 z)^{- 1} d z$ .
b) $\int_{C (- i, 3 / 2)} (z^{4} + z^{2})^{- 1} d z$ .
Sea $b > 0$ . Muestra que:
$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- t^{2}} \cos (2 b π t) d t = \sqrt{π} e^{- b^{2} π^{2}} .$
Hint: Considera la integral:
$\int_{\partial R} e^{- z^{2}} d z,$ donde $R$ es el rectángulo con vértices en $- c, c, c + b π i$ y $- c + b π i$ , para $c > 0$ .
Evalúa las siguientes integrales, donde cada circunferencia está orientada positivamente.
a) $\int_{C (0, 1)} Log (z + e) z^{- 1} d z$ .
b) $\int_{C (0, 2)} e^{z} (z + 1)^{- 2} d z$ .
Muestra que:
$\int_{0}^{\infty} t^{- 1} sen (t) d t = \frac{π}{2} .$
Hint: Considera la integral:
$\int_{γ} z^{- 1} e^{i z} d z,$ ,donde el contorno de integración está dado por $γ = [s, r] + γ_{r} + [- r, - s] - γ_{s}$ , para $0 < s < r < \infty$ , $γ_{r} (t) = r e^{i t}$ y $γ_{s} (t) = s e^{i t}$ , ambas con $t \in [0, π]$ .
Para $k \in N^{+}$ , define:
$I_{k} := \int_{γ_{k}} \frac{sen (z)}{z} d z,$ donde $γ_{k} (t) = e^{t + i t}$ , para $t \in [- 2 π k, 2 π k]$ . Determina el $lim_{k \to \infty} I_{k}$ .
Hint: Usa el ejercicio anterior.
Demuestra la proposición 36.2.
Sea $γ = γ_{1} + γ_{2} + γ_{3}$ , donde $γ_{1} (t) = e^{i t}$ , con $0 \leq t \leq 2 π$ , $γ_{2} (t) = - 1 + 2 e^{- 2 i t}$ , con $0 \leq t \leq 2 π$ y $γ_{3} (t) = 1 - i + e^{i t}$ , con $π / 2 \leq t \leq 9 π / 2$ . Determina todos los valores que toma $n (γ, z)$ para $z \in C ∖ γ$ .

Más adelante…

En esta entrada hemos probado algunos resultado importantes sobre las integrales de contorno como el Teorema Fundamental del Cálculo para el caso complejo y el lema de Goursat, que como veremos nos permitirá probar el Teorema de Cauchy para el caso en que se tiene un contorno cerrado arbitrario.

En la siguiente entrada probaremos algunas versiones del Teorema integral de Cauchy y abordaremos algunas de sus consecuencias más importantes, como la Fórmula Integral de Cauchy, el Teorema de Liouville, el Teorema Fundamental del Álgebra, entre otros. Además veremos un recíproco del Teorema de Cauchy conocido como el Teorema de Morera.

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Variable Compleja I: Teorema integral de Cauchy versión homótopica

Por Pedro Rivera Herrera

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Introducción

Dos de las nociones básicas de la topología son la de homotopía y homología. La relación de homotopía describe las características topológicas de dos espacios topológicos en términos de familias de contornos que varían continuamente. Mientras que la homología es una propiedad topológica de un dominio $D \subset C$ , la cual se puede definir en términos de propiedades de contornos en $D$ . Los dos conceptos están relacionados, pero son diferentes.

La versión local del teorema integral de Cauchy, dada en el Teorema 36.3, enfatiza la topología del dominio y cómo el camino se encuentra dentro de él. Para mejorar nuestra comprensión de este hecho, examinamos estas cuestiones topológicas con más detalle. En esta entrada lo haremos de dos maneras: mediante el concepto de homotopía y de homología, para ello consideramos deformaciones continuas de un contorno $γ$ , dada por la noción topológica de homotopía.

Como veremos, tanto el concepto de homotopía como el de homología formalizan la idea de que un dominio $D \subset C$ tiene «agujeros», y el hecho de que la integral a lo largo de un contorno $γ$ depende de cómo se recorre dicho contorno en el dominio $D$ , en relación con estos agujeros. Sin embargo, ambos conceptos lo hacen de forma diferente, aunque relacionada. La homotopía es más fácil para visualizar y geométricamente bastante natural, mientras que la homología es algebraicamente más simple. En esta entrada reformularemos el teorema integral de Cauchy desde estos dos conceptos y extenderemos la versión local del teorema de Cauchy a dominios en el plano complejo $C$ más generales.

El enfoque que tomamos en esta entrada se basa en el concepto geométrico de deformación de contornos. Por ejemplo, si $γ_{0}$ describe a la semicircunferencia en el semiplano superior de $C$ que va de $1$ a $- 1$ , es decir, orientada positivamente, entonces:
$γ_{0} (t) = e^{i t}, \forall t \in [0, π] .$

Por otra parte, si $γ_{1}$ describe a la semicircunferencia en el semiplano inferior de $C$ que va de $1$ a $- 1$ , es decir, orientada negativamente, entonces:
$γ_{1} (t) = e^{- i t}, \forall t \in [0, π] .$

Geométricamente es fácil visualizar que podemos deformar a $γ_{0}$ en $γ_{1}$ por un desplazamiento vertical, figura 138.

Podemos formalizar lo anterior de forma analítica considerando a la función:
$γ_{s} (t) = (1 - s) e^{i t} + s e^{- i t},$ donde $t \in [0, π]$ y $s \in [0, 1]$ .

Entonces, $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son dos contornos semicirculares y el contorno $γ_{s}$ varía continuamente conforme $s$ varía continuamente de $0$ a $1$ .

Sin embargo, si los contornos no deben pasar por el origen, por ejemplo al considerar a la función $f (z) = z^{- 1}$ , tenemos que $f$ es continua en $D = C ∖ {0}$ , pero para $γ_{1 / 2}$ , si $t = π / 2$ , entonces dicho contorno pasa por el origen, es decir, puede haber contornos en $D$ cuya deformación pase por el origen, como es el caso de la deformación $γ_{s}$ . De hecho, se puede verificar que no existe ninguna deformación continua de $γ_{0}$ en $γ_{1}$ sin que algún contorno intermedio pase por el origen.

Entonces, el origen se vuelve un obstáculo para deformar el contorno, y cualquier intento de hacerlo hace que el camino $γ_{s}$ pase por el origen. Es decir, el origen crea un agujero y el contorno no puede cruzar el agujero.

Figura 138: Deformación continua del contorno $γ_{0}$ en el contorno $γ_{1}$ .

Primeramente formalizamos lo que es una homotopía en el plano complejo $C$ .

Definición 38.1.(Homotopía.)
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $D \subset C$ un dominio y $γ_{0}, γ_{1} : [a, b] \to D$ dos contornos. Una homotopía entre $γ_{0}$ y $γ_{1}$ es una función continua:
$H : [a, b] \times [0, 1] \to D,$ tal que:
$\begin{aligned} H (t, 0) & = γ_{0} (t), \forall t \in [a, b], \\ H (t, 1) & = γ_{1} (t), \forall t \in [a, b] . \end{aligned}$

Cuando existe tal homotopía, se dice que $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son homotópicas en $D$ , lo cual se denota como $γ_{0} \sim_{D} γ_{1}$ .

Observación 38.1.
Si $γ_{s} (t) := H (t, s)$ , entonces, para cada $s \in [0, 1]$ fijo, $γ_{s}$ es un contorno en $D$ , el cual deforma continuamente a $γ_{0}$ en $γ_{1}$ , conforme $s$ varía continuamente de $0$ a $1$ .

Nuestro objetivo es aplicar esta definición de homotopía a la integración compleja al considerar qué sucede con $\int_{γ} f (z) d z$ cuando permitimos que el contorno $γ$ varíe continuamente, por lo que resulta preciso establecer condiciones bajo las cuales $γ$ puede deformarse continuamente sin cambiar la integral.

Una definición precisa de estas homotopías es motivado por los siguientes tres supuestos:

Si $z_{0}$ y $z_{1}$ son puntos en un dominio $D \subset C$ , $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son dos contornos en $D$ que unen a $z_{0}$ con $z_{1}$ . Es, decir, $γ_{0}$ y $γ_{1}$ tienen como punto inicial a $z_{0}$ y como punto final a $z_{1}$ . Entonces, es posible deformar continuamente a $γ_{0}$ para que coincida con $γ_{1}$ , manteniendo los extremos fijos en $z_{0}$ y $z_{1}$ , sin salir de $D$ .
Si $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son dos contornos cerrados en un dominio $D \subset C$ , es posible deformar continuamente a $γ_{0}$ para que coincida con $γ_{1}$ , en posición y orientación, sin salir de $D$ .
Si $γ_{0}$ es un contorno cerrado en un dominio $D \subset C$ , es posible deformar continuamente a $γ_{0}$ a un punto $z_{0} \in D$ , sin salir de $D$ . Esta situación es un caso particular del anterior, cuando el $γ_{1} (t) = z_{0}$ para todo $t$ , es decir, se degenera en un punto.

En cualquier caso las deformaciones deben mantener al contorno dentro del dominio $D \subset C$ donde la función $f$ es analítica.

Motivados en lo anterior, planteamos las siguientes definiciones.

Definición 38.2. (Homotopía con extremos fijos.)
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $D \subset C$ un dominio, $γ_{0}, γ_{1} : [a, b] \to D$ dos contornos tales que $γ_{0} (0) = γ_{1} (0) = z_{0} \in D$ y $γ_{0} (1) = γ_{1} (1) = z_{1} \in D$ . Se dice que $γ_{0}$ es {\bf homótopica con extremos fijos} a $γ_{1}$ si existe una función continua:
$H : [a, b] \times [0, 1] \to D,$ tal que:

$H (t, 0) = γ_{0} (t), \forall t \in [a, b]$ ,
$H (t, 1) = γ_{1} (t), \forall t \in [a, b]$ ,
$H (a, s) = z_{0}, \forall s \in [0, 1]$ ,
$H (b, s) = z_{1}, \forall s \in [0, 1]$ .

La función continua $H$ se llama una homotopía con extremos fijos o una deformación continua con extremos fijos.

Observación 38.2.
Si $γ_{s} (t) := H (t, s)$ , entonces, para cada $s \in [0, 1]$ fijo, $γ_{s}$ es un contorno en $D$ que une a $z_{0}$ con $z_{1}$ . Conforme $s$ varía continuamente de $0$ a $1$ , el contorno $γ_{s}$ deforma continuamente a $γ_{0}$ en $γ_{1}$ .

Ejemplo 38.1.
Sean $D = {z \in C : | z | < 2} = B (0, 2)$ , $γ_{0} (t) = t$ y $γ_{1} (t) = e^{i π / 2 (t - 1)}$ , ambas con $t \in [- 1, 1]$ . Veamos que $γ_{0}$ es homotópica con extremos fijos a $γ_{1}$ .

Solución. Sea $z_{0} = - 1$ y $z_{1} = 1$ . De acuerdo con la definición 38.2 solo basta con exhibir una función continua $H : [- 1, 1] \times [0, 1] \to D$ que satisfaga las cuatro propiedades.

Sea $H : [- 1, 1] \times [0, 1] \to D$ dada por:
$H (t, s) = (1 - s) γ_{0} (t) + s γ_{1} (t), (t, s) \in [- 1, 1] \times [0, 1] .$

Separando a $H$ en su parte real e imaginaria, por la proposición 15.1, es claro que $H$ es continua ya que $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son continuas. Más aún, para todo $t \in [- 1, 1]$ se cumple que $H (t, 0) = γ_{0} (t)$ y $H (t, 1) = γ_{1} (t)$ . Mientras que para todo $s \in [0, 1]$ se cumple que:
$H (- 1, s) = (1 - s) (- 1) + s (e^{- i π}) = - 1 + s + s (- 1) = - 1 = z_{0} .$
$H (1, s) = (1 - s) (1) + s (e^{0}) = 1 - s + s (1) = 1 = z_{1} .$

Por lo tanto $γ_{0}$ es homotópica con extremos fijos a $γ_{1}$ , figura 139.

Figura 139: Homotopía con extremos fijos del contorno $γ_{0}$ en el contorno $γ_{1}$ , en el dominio $D$ .

Definición 38.3. (Homotopía de contornos cerrados y homotopía a un punto.)
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $D \subset C$ un dominio, $γ_{0}, γ_{1} : [a, b] \to D$ dos contornos cerrados en $D$ . Se dice que $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son {\bf homótopicas como contornos cerrados}, si existe una función continua:
$H : [a, b] \times [0, 1] \to D,$ tal que:

$H (t, 0) = γ_{0} (t), \forall t \in [a, b]$ ,
$H (t, 1) = γ_{1} (t), \forall t \in [a, b]$ ,
$H (a, s) = H (b, s), \forall s \in [0, 1]$ .

La función continua $H$ se llama una homotopía de contornos cerrados o una deformación continua de contornos cerrados.

Si $γ_{1}$ es un contorno constante, es decir, $γ_{1} (t) = z_{0}$ para todo $t \in [a, b]$ y $z_{0} \in D$ , entonces se dice que $γ_{0}$ es homotópica a un punto $z_{0}$ en el dominio $D$ .

Observación 38.3.
Si $γ_{s} (t) := H (t, s)$ , entonces, para cada $s \in [0, 1]$ fijo, $γ_{s}$ es un contorno cerrado en $D$ , para todo $s \in [0, 1]$ . Conforme $s$ varía continuamente de $0$ a $1$ , el contorno $γ_{s}$ deforma continuamente a $γ_{0}$ en $γ_{1}$ .

Más aún, si $γ_{0}$ es homotópica a un punto $z_{0} \in D$ , la tercera condición de la definición 38.3 establece que el punto inicial de $H (0, s)$ y el punto final de $H (1, s)$ son el mismo.

Ejemplo 38.2.
Veamos que la circunferencia unitaria y la elipse $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ , ambas orientadas positivamente, son homotópicas como curvas cerradas en la región anular:
$D_{1} = {z \in C : \frac{1}{2} < | z | < 3} .$

Mientras que la circunferencia unitaria es homotópica a $0$ en el dominio $D_{2} = B (0, 3)$ .

Solución. Podemos parametrizar a la circunferencia y a la elipse, respectivamente, como:
$γ_{0} (t) = e^{i t} y γ_{1} (t) = 2 \cos (t) + i sen (t), \forall t \in [0, 2 π] .$

Para la primera parte del ejercicio proponemos a la función $H_{1} : [0, 2 π] \times [0, 1] \to D_{1}$ dada por:
$H_{1} (t, s) = (1 + s) \cos (t) + i sen (t) .$

Dado que $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son funciones continuas, entonces $H_{1}$ es continua.

Por otra parte, es claro que para todo $t \in [0, 2 π]$ se cumple que $H_{1} (t, 0) = γ_{0} (t)$ y $H_{1} (t, 1) = γ_{1} (t)$ . Mientras que para todo $s \in [0, 1]$ tenemos que:
$H_{1} (0, s) = 1 + s = H_{1} (2 π, s),$ por lo que $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son homotópicas como curvas cerradas en $D_{1}$ , figura 140.

Figura 140: Homotopía de los contornos cerrados $γ_{0}$ y $γ_{1}$ , en el dominio $D_{1}$ .

Para la segunda parte del ejercicio, consideramos a $γ_{1} (t) = 0$ , para todo $t \in [0, 2 π]$ . Proponemos a la función $H_{2} : [0, 2 π] \times [0, 1] \to D_{1}$ dada por:
$H_{2} (t, s) = (1 - s) γ_{0} (t) .$

Claramente $H_{2}$ es continua. Además, para todo $t \in [0, 2 π]$ se cumple que $H_{2} (t, 0) = γ_{0} (t)$ y $H_{2} (t, 1) = γ_{1} (t)$ . Mientras que para todo $s \in [0, 1]$ tenemos que:
$H_{2} (0, s) = (1 - s) (1) = H_{2} (2 π, s),$ por lo que $γ_{0}$ es homotópica a $0$ en $D_{2}$ , figura 141.

Figura 141: Homotopía del contorno cerrado $γ_{0}$ en $0$ , en el dominio $D_{2}$ .

Considerando lo anterior, ahora podemos formalizar la idea de un dominio $D \subset C$ sin agujeros o sin hoyos.

Definición 38.4. (Dominio simplemente conexo y múltiplemente conexo.)
Sea $D \subset C$ un dominio, es decir, un conjunto abierto y conexo. Se dice que $D$ es simplemente conexo si toda curva cerrada en $D$ es homotópica (como una curva cerrada) a un punto en $D$ , es decir, a alguna curva constante en $D$ .

Si $D$ no es simplemente conexo, entonces se llama múltiplemente conexo. Un dominio múltiplemente conexo con $n$ agujeros u hoyos, se llama $(n + 1)$ -conexo.

Ejemplo 38.3.
a) $C$ es un dominio simplemente conexo.
b) Sea $r > 0$ y $z_{0} \in C$ fijo. Todo disco abierto $B (z_{0}, r)$ es un dominio simplemente conexo. Mientras que todo disco perforado $B^{*} (z_{0}, r) = {z \in C : 0 < | z - z_{0} | < r}$ es un dominio doblemente conexo.
c) La región anular ${z \in C : 1 < | z | < 2}$ es un dominio doblemente conexo.

En este punto es importante considerar los siguientes resultados de nuestros cursos de Cálculo.

Teorema 38.1. (Igualdad de las derivadas parciales cruzadas.)
Si $U \subset R^{2}$ es un conjunto abierto y $u : U \to R$ es una función real de clase $C^{2} (U)$ , entonces las derivadas parciales cruzadas son iguales, es decir:
$\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} .$

Teorema 38.2. (Regla de Leibniz o de diferenciación bajo el signo de integral.)
Sean $[a, b], [c, d] \subset R^{2}$ , con $a < b$ y $c < d$ , dos intervalos cerrados y $f : [a, b] \times [c, d] \to R$ una función continua en $[a, b] \times [c, d]$ . Entonces la función real $g : [a, b] \to R$ dada por:
$g (x) = \int_{c}^{d} f (x, y) d y,$ es continua en $[a, b]$ . Más aún, si la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}$ existe y es continua en $[a, b] \times [c, d]$ , entonces $g$ es diferencibale en $[a, b]$ , con $g^{'}$ continua y dada por:
$g^{'} (x) = \frac{d}{d x} \int_{c}^{d} f (x, y) d y = \int_{c}^{d} \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) d y .$

Observación 38.4.
A lo largo de esta cuarta unidad hemos trabajado con contornos para garantizar que las curvas a lo largo de las cuales integramos sean funciones continuas de clase $C^{1}$ o de clase $C^{1}$ a trozos. Sin embargo, notemos que en las definiciones 38.1, 38.2 y 38.3 solo se pidió que la función $H$ , que determina a la homotopía, sea una función continua, pero no se estableció nada sobre su diferenciabilidad, por lo que las curvas $γ_{s} (t) = H (t, s)$ , con $s \in [0, 1]$ , sobre las que se integra a una función compleja, no necesariamente tienen que ser de clase $C^{1}$ o de clase $C^{1}$ a trozos, sino que simplemente son funciones continuas, por lo que es importante considerar esta pequeña sutileza, ya que la prueba que daremos del siguiente resultado considerará este supuesto adicional sobre la diferenciabilidad de las curvas $γ_{s}$ . Una prueba completa, sin este supuesto adicional, se escapa de los objetivos de estas notas, pero puede consultarse en los siguientes textos:
Complex Analysis de Ian Stewart, David Tall.
Functions of One Complex Variable I de John B. Conway.
Complex Analysis with Applications de Nakhlé H. Asmar, Loukas Grafakos.

Teorema 38.3. (Teorema integral de Cauchy, versión homotópica.)
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $D \subset C$ un dominio, $f : D \to C$ una función analítica en $D$ y $γ_{0}, γ_{1} : [a, b] \to D$ son dos contornos en $D$ .

Si $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son dos contornos que unen a $z_{0}, z_{1} \in D$ y son homotópicas (con extremos fijos) en $D$ , entonces:
$\int_{γ_{0}} f (z) d z = \int_{γ_{1}} f (z) d z .$
Si $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son dos contornos cerrados y son homotópicas (como contornos cerrados) en $D$ , entonces:
$\int_{γ_{0}} f (z) d z = \int_{γ_{1}} f (z) d z .$

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $H : [a, b] \times [0, 1] \to D$ una homotopía entre $γ_{0}$ y $γ_{1}$ . Como se mencionó en la observación 38.4, adicionalmente suponemos que $H (t, s)$ es una función de clase $C^{2} ([a, b] \times [0, 1])$ .

Para cada $s \in [0, 1]$ fijo, definimos al contorno $γ_{s} (t) := H (t, s)$ , para $t \in [a, b]$ . Sea $I (s)$ la integral de $f$ a lo largo del contorno $γ_{s}$ , es decir:
$\begin{aligned} I (s) : & = \int_{γ_{s}} f (z) d z \\ = \int_{a}^{b} f (γ_{s} (t)) γ_{s}^{'} (t) d t \\ = \int_{a}^{b} f (H (t, s)) \frac{\partial H (t, s)}{\partial t} d t . \end{aligned}$

Veamos que $I (s)$ es una función constante, para ello determinamos su derivada. Por hipótesis sabemos que $f$ es una función analítica en $D$ , en particular es continua en $D$ y como $H (t, s)$ es una función de clase $C^{2}$ , en particular para cada $s \in [0, 1]$ , $γ_{s} (t)$ es un contorno en $D$ , entonces $I (s)$ es una función bien definida y en particular continua en $[0, 1]$ , teorema 38.2.

Por la proposición 36.4 sabemos que $f \in C^{1} (D)$ , ya que $f$ es analítica en $D$ , por lo que $f^{'}$ es una función continua en $D$ y para cada $s \in [0, 1]$ fijo, el contorno $γ_{s}$ está completamente contenido en $D$ , entonces, de la regla de la cadena y la regla de Leibniz, tenemos que:
$\begin{aligned} I^{'} (s) & = \frac{d}{d s} \int_{a}^{b} f (H (t, s)) \frac{\partial H (t, s)}{\partial t} d t \\ = \int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial s} [f (H (t, s)) \frac{\partial H (t, s)}{\partial t}] d t \\ (38.1) & = \int_{a}^{b} [f^{'} (H (t, s)) \frac{\partial H (t, s)}{\partial s} \frac{\partial H (t, s)}{\partial t} + f (H (t, s)) \frac{\partial^{2} H (t, s)}{\partial s \partial t}] d t . \end{aligned}$

Notemos que:
$\frac{\partial}{\partial t} [f (H (t, s)) \frac{\partial H (t, s)}{\partial s}] = f^{'} (H (t, s)) \frac{\partial H (t, s)}{\partial s} \frac{\partial H (t, s)}{\partial t} + f (H (t, s)) \frac{\partial^{2} H (t, s)}{\partial s \partial t},$ y como $H$ es de clase $C^{2}$ , entonces por el teorema 38.1 se cumple que:
$\frac{\partial^{2} H (t, s)}{\partial t \partial s} = \frac{\partial^{2} H (t, s)}{\partial s \partial t},$ es decir:
$\begin{matrix} (38.2) & \frac{\partial}{\partial t} [f (H (t, s)) \frac{\partial H (t, s)}{\partial s}] = f^{'} (H (t, s)) \frac{\partial H (t, s)}{\partial s} \frac{\partial H (t, s)}{\partial t} + f (H (t, s)) \frac{\partial^{2} H (t, s)}{\partial t \partial s} . \end{matrix}$

Entonces, de (38.1), (38.2) y la proposición 33.2, se sigue que:
$\begin{aligned} I^{'} (s) & = \int_{a}^{b} [f^{'} (H (t, s)) \frac{\partial H (t, s)}{\partial s} \frac{\partial H (t, s)}{\partial t} + f (H (t, s)) \frac{\partial^{2} H (t, s)}{\partial s \partial t}] d t \\ = \int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial t} [f (H (t, s)) \frac{\partial H (t, s)}{\partial s}] d t \\ (38.3) & = f (H (b, s)) \frac{\partial H (b, s)}{\partial s} - f (H (a, s)) \frac{\partial H (a, s)}{\partial s} . \end{aligned}$

De acuerdo con (38.3), tenemos lo siguiente.

Si $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son dos contornos que unen a $z_{0}, z_{1} \in D$ y $H$ es una homotopía (con extremos fijos) entre en $γ_{0}$ y $γ_{1}$ , entonces:
$\begin{aligned} I^{'} (s) & = f (H (b, s)) \frac{\partial H (b, s)}{\partial s} - f (H (a, s)) \frac{\partial H (a, s)}{\partial s} \\ = f (z_{1}) \frac{\partial z_{1}}{\partial s} - f (z_{0}) \frac{\partial z_{0}}{\partial s} \\ = 0, \end{aligned}$ para todo $s \in [0, 1]$ .

Por lo que, para todo $s \in [0, 1]$ tenemos que $I (s)$ es una función constante, en particular tenemos que $I (0) = I (1)$ , es decir:
$\int_{γ_{0}} f (z) d z = \int_{γ_{1}} f (z) d z .$
Si $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son dos contornos cerrados y $H$ es una homotopía (como contornos cerrados) entre $γ_{0}$ y $γ_{1}$ , entonces:
$\begin{aligned} I^{'} (s) & = f (H (b, s)) \frac{\partial H (b, s)}{\partial s} - f (H (a, s)) \frac{\partial H (a, s)}{\partial s} \\ = f (H (b, s)) \frac{\partial H (b, s)}{\partial s} - f (H (b, s)) \frac{\partial H (b, s)}{\partial s} \\ = 0, \end{aligned}$ para todo $s \in [0, 1]$ .

Por lo que, para todo $s \in [0, 1]$ tenemos que $I (s)$ es una función constante, en particular tenemos que $I (0) = I (1)$ , es decir:
$\int_{γ_{0}} f (z) d z = \int_{γ_{1}} f (z) d z .$

Corolario 38.1.
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $D \subset C$ un dominio, $f : D \to C$ una función analítica en $D$ y $γ : [a, b] \to D$ un contorno cerrado en $D$ . Si $γ$ es homotópica a un punto en $D$ , entonces:
$\int_{γ} f (z) d z = 0.$

Demostración. Dadas las hipótesis, como $γ$ es homotópica a un punto en $z_{0} \in D$ , es decir, a una curva constante $β (t) = z_{0}$ para todo $t \in [a, b]$ , entonces:
$\int_{γ} f (z) d z = \int_{β} f (z) d z = \int_{a}^{b} f (β (t)) β^{'} (t) d t = \int_{a}^{b} f (z_{0}) (0) d t = 0.$

El siguiente resultado generaliza el teorema integral de Cauchy para discos.

Corolario 38.2.
Sean $D \subset C$ un dominio simplemente conexo y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ . Entonces:
$\int_{γ} f (z) d z = 0,$ para todo contorno $γ$ cerrado en $D$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, consideremos al contorno cerrado $γ : [a, b] \subset R \to D$ , con $a < b$ . Como el dominio $D$ es simplemente conexo, entonces al ser $γ$ un contorno cerrado en $D$ , por definición es homotópica a un punto en $z_{0} \in D$ , es decir, a una curva constante $β (t) = z_{0}$ para todo $t \in [a, b]$ , entonces:
$\int_{γ} f (z) d z = \int_{β} f (z) d z = \int_{a}^{b} f (β (t)) β^{'} (t) d t = \int_{a}^{b} f (z_{0}) (0) d t = 0.$

Como $γ$ es arbitraria, el resultado se cumple para todo contorno cerrado en $D$ .

Corolario 38.3.
Sean $D \subset C$ un dominio simplemente conexo y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ . Las siguientes condiciones son equivalentes.

$f$ tiene una primitiva $F$ en $D$ .
Si $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son dos contornos en $D$ con los mismos puntos inicial y final, entonces:
$\int_{γ_{0}} f (z) d z = \int_{γ_{1}} f (z) d z .$

Demostración. El resultado se sigue del corolario 38.2 y la proposición 35.2.

Observación 38.5.
Notemos que la primitiva $F$ de la función $f$ , en el corolario 38.3(1) es:
$F (z) = \int_{γ_{z}} f (ζ) d ζ,$ donde $γ_{z}$ es el contorno en $D$ que une a un punto fijo $z_{0} \in D$ con $z \in D$ .

Ejemplo 38.4.
Evaluemos la integral:
$\int_{C (0, 2)} \frac{e^{z}}{z^{2} - 9} d z,$ donde la circunferencia $C (0, 2)$ está orientada positivamente.

Solución. Parametrizamos a la circunferencia $C (0, 2)$ como $γ (t) = 2 e^{i t}$ , para $t \in [0, 2 π]$ .

Sea $f (z) = \frac{e^{z}}{z^{2} - 9}$ . Es claro que $f$ es analítica en $D = C ∖ {- 3, 3}$ . Dado que $C (0, 2) \subset D$ , entonces no pasa por los puntos donde $f$ no es analítica, por lo que, del ejemplo 38.2 concluimos que $γ$ es homotópica a $0 \in D$ , figura 142, entonces:
$\int_{γ} \frac{e^{z}}{z^{2} - 9} d z = 0.$

Figura 142: Homotopía del contorno cerrado $γ$ en el punto $0$ , en el dominio $D$ .

Proposición 38.1. (Extensión del teorema de Cauchy para dominios múltiplemente conexos.)
Sean $C, C_{1}, C_{2}, \dots, C_{n}$ contornos cerrados simples, orientados positivamente, tales que cada contorno $C_{k}$ está en el interior de $C$ , para $k = 1, \dots, n$ y el interior de $C_{k}$ no tiene puntos en común con el interior de $C_{j}$ , si $k \neq j$ , es decir, $I (C_{k}) \cap I (C_{j}) = \emptyset$ para todo $k \neq j$ . Sea $D \subset C$ un dominio tal que $D$ contiene a todos los contornos y la región entre $C$ y $C_{1} + C_{2} + \dots + C_{n}$ . Si $f : D \to C$ es una función analítica en $D$ , entonces:
$\int_{C} f (z) d z = \sum_{k = 1}^{n} \int_{C_{k}} f (z) d z .$

Demostración. Dadas las hipótesis, por simplicidad solo probaremos el caso para dos contornos cerrados simples, orientados positivamente. La prueba del caso general es completamente análoga y se deja como ejercicio al lector.

Nos apoyaremos en la figura 143 para la prueba. Debe ser claro que los contornos utilizados han sido elegidos para simplificar la gráfica, aunque el resultado sigue siendo válido para cualesquiera contornos que satisfagan las condiciones del resultado.

La prueba consiste en construir dos contornos disjuntos o cortes, digamos $L_{1}$ y $L_{2}$ , que unen a $C_{1}$ con $C$ . Así, el contorno $C_{1}$ será dividido en dos contornos $C_{1}^{*}$ y $C_{1}^{* *}$ , mientras que el contorno $C$ será dividido en dos contornos $C^{*}$ y $C^{* *}$ , como se muestra en la figura 144. Entonces tenemos dos nuevos contornos:
$K_{1} = - C_{1}^{*} + L_{1} + C^{*} - L_{2} y K_{2} = - C_{1}^{* *} + L_{2} + C^{* *} - L_{1} .$

Figura 143: Dominio $D$ que contiene a los contornos cerrados simples $C$ y $C_{1}$ y a la región entre ellos.

Figura 144: Los cortes $L_{1}$ y $L_{2}$ y los contornos cerrados simples $K_{1}$ y $K_{2}$ .

(a) El contorno $K_{1}$ y el dominio $D_{1}$ .

Es claro que el dominio $D$ es doblemente conexo, mientras que los nuevos dominios $D_{1}$ y $D_{2}$ son simplemente conexos y los contornos $K_{1}$ y $K_{2}$ son cerrados simples, orientados positivamente y cada uno está contenido en los dominios $D_{1}$ y $D_{2}$ . respectivamente. Por hipótesis la función $f$ es analítica en el dominio $D = D_{1} \cup D_{2}$ , por lo que $f |_{D_{1}}$ y $f |_{D_{2}}$ también son analíticas.

Aplicando el corolario 38.2, tenemos que:
$\int_{K_{1}} f (z) d z = 0 y \int_{K_{2}} f (z) d z = 0.$

Por la proposición 34.2 tenemos que:
$\begin{aligned} \int_{K_{1}} f (z) d z & = \int_{- C_{1}^{*} + L_{1} + C^{*} - L_{2}} f (z) d z \\ = \int_{- C_{1}^{*}} f (z) d z + \int_{L_{1}} f (z) d z + \int_{C^{*}} f (z) d z + \int_{- L_{2}} f (z) d z \\ = - \int_{C_{1}^{*}} f (z) d z + \int_{L_{1}} f (z) d z + \int_{C^{*}} f (z) d z - \int_{L_{2}} f (z) d z . \end{aligned}$
$\begin{aligned} \int_{K_{2}} f (z) d z & = \int_{- C_{1}^{* *} + L_{2} + C^{* *} - L_{1}} f (z) d z \\ = \int_{- C_{1}^{* *}} f (z) d z + \int_{L_{2}} f (z) d z + \int_{C^{* *}} f (z) d z + \int_{- L_{1}} f (z) d z \\ = - \int_{C_{1}^{* *}} f (z) d z + \int_{L_{2}} f (z) d z + \int_{C^{* *}} f (z) d z - \int_{L_{1}} f (z) d z . \end{aligned}$

Por lo que:
$\begin{aligned} 0 & = \int_{K_{1}} f (z) d z + \int_{K_{2}} f (z) d z \\ = - \int_{C_{1}^{*}} f (z) d z + \int_{C^{*}} f (z) d z - \int_{C_{1}^{* *}} f (z) d z + \int_{C^{* *}} f (z) d z \\ = \int_{C^{*} + C^{* *}} f (z) d z - \int_{C_{1}^{*} + C_{1}^{* *}} f (z) d z \\ = \int_{C} f (z) d z - \int_{C_{1}} f (z) d z . \end{aligned}$

Entonces:
$\int_{C} f (z) d z = \int_{C_{1}} f (z) d z .$

Proposición 38.2. (Extensión de la fórmula integral de Cauchy para dominios simplemente conexos.)
Sean $D \subset C$ un dominio simplemente conexo, $f : D \to C$ una función analítica en $D$ y $C$ un contorno cerrado simple, orientado positivamente, tal que está completamente contenido en $D$ . Si $z_{0}$ es un punto en el interior de $C$ , entonces:
$f (z_{0}) = \frac{1}{2 π i} \int_{C} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z .$

Demostración. Dadas las hipótesis, como $f$ es analítica en $D$ , en particular es continua en $z_{0} \in D$ que está en el interior de $C$ , por lo que dado $ε > 0$ existe $δ > 0$ tal que si $| z - z_{0} | < δ$ , entonces $| f (z) - f (z_{0}) | < ε$ .

Notemos que la circunferencia $γ$ dada por $C (z_{0}, δ / 2)$ , orientada positivamente, también está en el interior de $C$ .

Dado que $f (z_{0})$ es un valor fijo, entonces por el ejemplo 34.1(a) tenemos que:
$f (z_{0}) = \frac{f (z_{0})}{2 π i} \int_{γ} \frac{1}{z - z_{0}} d z = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (z_{0})}{z - z_{0}} d z .$

Por el corolario 38.3(2) tenemos que:
$\frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z = \frac{1}{2 π i} \int_{C} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z .$

Entonces, de la proposición 34.2(1) y la proposición 34.3(5), tenemos que:
$\begin{aligned} | \frac{1}{2 π i} \int_{C} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z - f (z_{0}) | & = | \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z - \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (z_{0})}{z - z_{0}} d z | \\ = | \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (z) - f (z_{0})}{z - z_{0}} d z | \\ \leq \frac{1}{2 π} \int_{γ} \frac{| f (z) - f (z_{0}) |}{| z - z_{0} |} | d z | \\ < \frac{1}{2 π} \frac{ε}{δ / 2} \int_{γ} | d z | \\ = \frac{1}{2 π} \frac{ε}{δ / 2} δ π \\ = ε . \end{aligned}$

Dado que $ε > 0$ es arbitrario, entonces:
$| \frac{1}{2 π i} \int_{C} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z - f (z_{0}) | = 0 ⟹ f (z_{0}) = \frac{1}{2 π i} \int_{C} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z .$

Ejemplo 38.5.
Evaluemos la integral:
$\int_{γ} \frac{5 z - 2}{z^{2} - z} d z,$ donde $γ$ es el contorno cerrado dado en la figura 145.

Solución. Sea $f (z) = \frac{5 z - 2}{z^{2} - z}$ . Claramente $f$ es analítica en $D = C ∖ {0, 1}$ , ya que en $z_{1} = 0$ y en $z_{2} = - 1$ el denominador de la función racional se anula. Si consideramos a dos circunferencias con centro en $z_{1}$ y $z_{2}$ , de radio suficientemente pequeño para caer dentro del contorno $γ$ y las orientamos positivamente, entonces por la proposición 38.1 tenemos que:
$\int_{γ} f (z) d z = \int_{γ_{1}} f (z) d z + \int_{γ_{2}} f (z) d z .$

Aplicando fracciones parciales tenemos que:
$\frac{5 z - 2}{z^{2} - z} = \frac{2}{z} + \frac{3}{z - 1} .$

Por lo que:
$\begin{aligned} \int_{γ} \frac{5 z - 2}{z^{2} - z} d z & = \int_{γ_{1}} (\frac{2}{z} + \frac{3}{z - 1}) d z + \int_{γ_{2}} (\frac{2}{z} + \frac{3}{z - 1}) d z \\ = 2 \int_{γ_{1}} \frac{1}{z} d z + 3 \int_{γ_{1}} \frac{1}{z - 1} d z + 2 \int_{γ_{2}} \frac{1}{z} d z + 3 \int_{γ_{2}} \frac{1}{z - 1} d z \\ = 2 (2 π i) + 0 + 0 + 3 (2 π i) \\ = 10 π i . \end{aligned}$

Figura 145: Contornos $γ$ , $γ_{1}$ y $γ_{2}$ en $D$ .

Ejemplo 38.6.
Veamos que:
$\int_{γ} \frac{e^{z}}{z - 1} d z = i 2 π e,$ donde $γ$ es la circunferencia $C (0, 2)$ orientada positivamente.

Solución. Sea $f (z) = e^{z}$ . Claramente $f$ es una función entera, $γ$ está completamente contenido en $C$ y $z_{0} = 1$ es un punto en el interior de $γ$ , entonces por la fórmula integral de Cauchy tenemos que:
$e = f (1) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{e^{z}}{z - 1} d z,$ de donde el resultado se sigue al multiplicar por $2 π i$ la igualdad anterior.

Cerramos esta entrada mencionando algunos resultados relacionados con la versión homológica del teorema integral de Cauchy.

Definición 38.5. (Ciclo en $C$ .)
A una sucesión finita de curvas cerradas suaves o suaves a trozos en $C$ , se le llama un ciclo y se le denota como $σ = (γ_{1}, \dots, γ_{n})$ . En un ciclo no importa el orden de las curvas cerradas, es decir, un ciclo es una secuencia finita, no ordenada, de contornos cerrados en $C$ .

Ejemplo 38.7.
Dado que $σ$ es una sucesión finita de contornos cerrados en $C$ , entonces un contorno cerrado es un ciclo.

Observación 38.6.
Denotamos a la unión de las curvas que forman a un ciclo, es decir, al conjunto compacto:
$γ_{1} (I_{1}) \cup γ_{2} (I_{2}) \cup \dots \cup γ_{n} (I_{n}),$ como $| σ |$ , donde $I_{k}$ es un intervalo real cerrado y $γ_{k} (I_{k})$ la imagen o la curva de dicho intervalo bajo el contorno $γ_{k}$ , para $1 \leq k \leq n$ . Entonces, diremos que un ciclo $σ$ está en un conjunto $S \subset C$ si $| σ | \subset S$ .

Definición 38.6.
Sean $U \subset C$ un conjunto abierto, $f : U \to C$ una función continua en $U$ y $σ$ un ciclo en $U$ . Se define a la integral de $f$ a lo largo del ciclo $σ$ como:
$\int_{σ} f (z) d z := \int_{γ_{1}} f (z) d z + \int_{γ_{2}} f (z) d z + \dots + \int_{γ_{n}} f (z) d z .$

En particular, para $z \in C ∖ | σ |$ se define el índice de $σ$ respecto a $z$ , es decir, $n (σ, z)$ , como:
$n (σ, z) = \frac{1}{2 π i} \int_{σ} \frac{d ζ}{ζ - z} .$

Definición 38.7. (Ciclo homólogo a $0$ .)
Sean $U \subset C$ un conjunto abierto y $σ$ un ciclo en $U$ . Se dice que $σ$ es como homólogo a $0$ en $U$ si $n (σ, z) = 0$ para todo $z \in C ∖ U$ .

Observación 38.7.
Dado que para $z \in C ∖ | σ |$ se cumple que $z \in C ∖ γ_{k} (I_{k})$ , para cada contorno cerrado $γ_{k}$ que forma a $σ$ , entonces:
$n (σ, z) = n (γ_{1}, z) + n (γ_{2}, z) + \dots + n (γ_{n}, z) .$

Antes de continuar con el resultado esperado, podemos preguntarnos sobre ¿cuál es la relación del concepto de homología con el de homotopía? Específicamente podemos preguntarnos si ¿existe una relación entre ser un contorno homotópico a un punto y un contorno homólogo a 0? Para responder a esto tenemos la siguiente:

Proposición 38.3.
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $D \subset C$ un dominio y $γ : [a, b] \to C$ un contorno cerrado en $D$ . Si $γ$ es homotópica a un punto $z_{0} \in D$ , entonces $γ$ es homólogica a $0$ en $D$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, como $γ$ es homotópica a un punto $z_{0} \in D$ , es decir, a una curva constante $β (t) = z_{0}$ para todo $t \in [a, b]$ , entonces, del teorema 38.3 y la definición 36.1, se cumple que:
$n (γ, z) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{d ζ}{ζ - z} = \frac{1}{2 π i} \int_{β} \frac{d ζ}{ζ - z} = \int_{a}^{b} \frac{β^{'} (t)}{β (t) - z} d t = 0,$ para todo $z \in C ∖ γ ([a, b])$ .

Teorema 38.4. (Teorema integral de Cauchy, versión homológica.)
Sean $U \subset C$ un conjunto abierto, $f : U \to C$ una función analítica en $U$ y $σ$ un ciclo en $U$ . Entonces:
$\int_{σ} f (z) d z = 0,$ si y solo si $σ$ es homólogo a $0$ en $U$ .

Omitimos la prueba de este hecho, pero se puede consultar una prueba detallada en An Introduction to Complex Function Theory, de Bruce P. Palka, y una prueba parcial de este resultado en Notas para un curso de Variable Compleja I, de Oscar Palmas Velasco y Alberto Lazcano García.

Proposición 38.4. (Fórmula integral de Cauchy, versión homológica.)
Sean $U \subset C$ un conjunto abierto, $f : U \to C$ una función analítica en $U$ y $σ$ un ciclo en $U$ . Si $σ$ es homólogo a $0$ en $U$ , entonces:
$n (σ, z) f (z) d z = \frac{1}{2 π i} \int_{σ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ,$ para todo $z \in U ∖ | σ |$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, fijamos un punto $z \in U ∖ | σ |$ . Definimos a la función:
$g : U \to C,$ como:
$g (ζ) = {\begin{array}{lcc} \frac{f (ζ) - f (z)}{ζ - z} & si & ζ \neq z, \\ f^{'} (z) & si & ζ = z, \end{array}$ donde $ζ$ es una variable independiente.

Es claro que $g$ es una función analítica en $U ∖ {z}$ . Más aún, como $f$ es analítica en $U$ , entonces:
$lim_{ζ \to z} g (ζ) = lim_{ζ \to z} \frac{f (ζ) - f (z)}{ζ - z} = f^{'} (z) = g (z),$ es decir, $g$ es continua en $z$ , por lo que $g$ es continua en $U$ , entonces, por el teorema de Morera generalizado, tenemos que $g$ es analítica en $U$ .

Como $z$ no está en ninguno de los contorno cerrados $γ_{k}$ , que conforman al ciclo $σ$ , del teorema 38.4 y la definición 38.6, tenemos que:
$\begin{aligned} 0 & = \int_{σ} g (ζ) d ζ \\ = \int_{σ} \frac{f (ζ) - f (z)}{ζ - z} d ζ \\ = \int_{σ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ - \int_{σ} \frac{f (z)}{ζ - z} d ζ \\ = \int_{σ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ - 2 π i n (σ, z) f (z), \end{aligned}$ es decir:
$n (σ, z) f (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{σ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ .$

Dado que $z \in U ∖ | σ |$ es arbitrario, entonces se tiene el resultado.

Con los resultados previos podemos dar otra prueba del corolario 38.3.

Corolario 38.4.
Sean $D \subset C$ un dominio simplemente conexo y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ . Entonces existe una primitiva de $f$ en $D$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $γ$ un contorno cerrado en $D$ . Como $D$ es simplemente conexo, $γ$ es homotópico a un punto $z_{0} \in D$ . Por la proposición 38.1 $γ$ es homólogo a $0$ en $D$ y por el teorema 38.4 se cumple que:
$\begin{matrix} (38.4) & \int_{γ} f (z) d z = 0. \end{matrix}$

Dado que $γ$ es arbitraria, entonces (38.4) se cumple para todo contorno cerrado $γ$ en $D$ . Por lo tanto, de la proposición 35.2 sabemos que esto es equivalente a que exista una primitiva de $f$ en $D$ , es decir, una función analítica $F : D \to C$ tal que $F^{'} (z) = f (z)$ para todo $z \in D$ .

Teorema 38.5.
Sean $D \subset C$ un dominio. Si todo contorno cerrado en $D$ es homólogo a $0$ , entonces $D$ es simplemente conexo.

Tarea moral

Sea $D \subset C$ un dominio. Muestra que $\sim_{D}$ es una relación de equivalencia en el conjunto de contornos cerrados en $D$ .
Sean $D = C ∖ {0}$ y $γ : [- π / 2, π / 2] \to D$ , el contorno dado por $γ (t) = e^{i t}$ . Define de manera explícita dos contornos poligonales $β_{1}$ y $β_{2}$ en $D$ , que unan a $- i$ y $i$ , tales que:
$\int_{β} f (z) d z = \int_{γ} f (z) d z$ se cumple para toda función analítica $f$ en $D$ , si $β = β_{1}$ , pero la igualdad no se cumple si $β = β_{2}$ .
Sean $r$ y $R$ dos constantes positivas tales que $0 < r < R$ . Define al contorno $γ_{r} (t) = r e^{i t}$ , para $0 \leq t \leq 2 π$ . Muestra que:
$\frac{1}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{R + z}{(R - z) z} d z = 1.$ Considerando lo anterior deduce que:
$\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{R^{2} - r^{2}}{R^{2} + r^{2} - 2 r R \cos (t)} d t = 1.$
Si $γ$ es la circunferencia $C (i, 1)$ , orientada positivamente, muestra que:
$\int_{γ} \frac{2 z}{z^{2} + 2} d z = 2 π i .$
Evalúa la integral:
$\int_{γ} \frac{1}{4 z^{2} + 4 z - 3} d z,$ para los siguientes contornos orientados positivamente.
a) $γ$ es la circunferencia $C (0, 1)$ .
b) $γ$ es la circunferencia $C (- 3 / 2, 1)$ .
c) $γ$ es la circunferencia $C (0, 3)$ .
Sea $D = {z \in C : 1 / 2 < | z | < 4}$ . Determina explícitamente una homotopía $H (t, s)$ entre los contornos cerrados en $D$ , orientados positivamente, dados por la elipse $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ , con punto inicial $(2, 0)$ y la circunferencia unitaria $C (0, 1)$ , con punto inicial $(1, 0)$ , ambos recorridos una sola vez.
Sea $γ (t) = 1 + i + 2 e^{i t}$ , para $t \in [0, 2 π]$ . Evalúa las siguientes integrales.
a) $\int_{γ} \frac{1}{z - 1} d z$ .
b) $\int_{γ} \frac{1}{(z - 3 i) (z - 1)} d z$ .
c) $\int_{γ} \frac{1}{z^{2} + 9} d z$ .
d) $\int_{γ} \frac{1}{(z - i) (z + i)} d z$ .
Muestra que:
$\int_{γ} \frac{sen (z)}{4 z + π} d z = - \frac{\sqrt{2} π i}{4},$ donde $γ$ es la circunferencia unitaria $C (0, 1)$ , orientada positivamente.

Más adelante…

En esta entrada hemos generalizado el teorema integral de Cauchy para dominios más generales que un disco abierto, para ello recurrimos a los conceptos topológicos de homotopía y homología. Además extendimos dicho resultado para dominios múltiplemente conexos, lo cual es de mucha utilidad al evaluar integrales.

En la siguiente entrada veremos algunos resultados muy importantes que relacionan los conceptos de diferenciabilidad e integrabilidad con las sucesiones y series de funciones complejas.

Entradas relacionadas

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Geometría Moderna II: Inversión de un Teorema

Por Armando Arzola Pérez

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Introducción

A lo largo de los teoremas vistos en geometría moderna se han demostrado y visto propiedades, pero gracias a la inversión se pueden deducir y demostrar nuevos teoremas de los ya vistos. A esto se le denomina Inversión de un Teorema.

Inversión de un Teorema y circunferencia de antisimilitud

Ejemplo. Dado un teorema referente a las alturas de un triángulo, se puede demostrar usando inversión y referente a circunferencias.
Sean $Z$ y $Z^{'}$ dos circunferencias que se intersecan en $A$ y $O$ , de $O$ se tiene los diámetros $O E$ de $Z^{'}$ y $O F$ de $Z$ donde intersecan a $Z$ en $B$ y $Z^{'}$ en $C$ ; Por lo cual el eje radical $A O$ pasa por el centro de la circunferencia de los puntos $O$ , $B$ y $C$ la cual llamaremos $Z^{'}$ $^{'}$ .

Usando el Teorema. El inverso de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por el centro de inversión: Por lo cual, usando $O$ como centro de inversión, se tiene que los inversos de $A$ , $B$ y $C$ son $A^{'}$ , $B^{'}$ y $C^{'}$ respectivamente.
Las circunferencias $Z$ , $Z^{'}$ y $Z^{'}$ $^{'}$ se invierten en $A^{'} B^{'}$ , $A^{'} C^{'}$ y $B^{'} C^{'}$ correspondientemente. Y las líneas $A O$ , $F O$ y $E O$ se invierten en sí mismas por Teorema de inversión de línea que pasa por el centro de inversión. Se tiene la inversión:

Ahora como un diámetro interseca su circunferencia ortogonalmente, entonces $B^{'} O$ y $C^{'} O$ por la propiedad de conservación de ángulos en la inversión son las alturas del triángulo $A^{'} B^{'} C^{'}$ , entonces $A^{'} O ⊥ B^{'} C^{'}$ .
Por lo tanto, $A O ⊥$ $Z^{'}$ $^{'}$ entonces $A O$ pasa por el centro de $Z^{'}$ $^{'} .$

$△$

Circunferencia de Antisimilitud

Definición. La circunferencia de antisimilitud es una circunferencia respecto a la cual dos circunferencias son mutuamente inversas.

Recordemos dos propiedades:

El centro de inversión de dos circunferencias inversas es el centro de similitud.
Dado un par de puntos inversos son antihomologos con respecto al centro de similitud.

Teorema. Sean dos circunferencias de las cuales existen tres posibles casos ( $O$ y $O^{'}$ centros de similitud).

Caso 1. Si se intersecan, entonces tienen dos circunferencias de antisimilitud tal que sus centros son los centros de similitud de las circunferencias dadas y que pasan por sus puntos de intersección.

Inversión de un Teorema Circunferencia de antisimilitud Caso1

Caso 2. Si no se intersecan (o son tangentes), entonces solo tienen una circunferencia de antisimilitud cuyo centro está en el centro de similitud exterior si las circunferencias son mutuamente excluyentes.

Inversión de un Teorema
Circunferencia de antisimilitud
Caso 2.1

Inversión de un Teorema
Circunferencia de antisimilitud
Caso 2.2

Caso 3. Si no se intersecan, entonces solo tiene una circunferencia de antisimilitud cuyo centro está en el centro de similitud interior si las circunferencias son internas una a la otra.

Inversión de un Teorema
Circunferencia de antisimilitud
Caso 3

Lema. Una circunferencia $C_{1}$ y dos puntos inversos respecto a ella los llamaremos $S$ y $S^{'}$ los cuales se invierten en una recta $C_{1}^{'}$ y en dos puntos simétricos $P$ y $Q$ respecto a $C_{1}$ , cuando el centro de inversión es un punto $A$ en $C_{1}$ .

Teorema. Dos circunferencias que no se intersecan se pueden invertir en dos circunferencias iguales.

Inversión de un Teorema
Circunferencia de antisimilitud
Teorema

Demostración. Sean $C_{1}$ y $C_{1}^{'}$ circunferencias y $C$ la circunferencia de antisimilitud de dichas circunferencias. Sea $A \in C$ y sea $C_{2}$ con centro $A$ .
Las inversas de $C_{1}$ y $C_{1}^{'}$ respecto a $C_{2}$ son dos circunferencias simétricas respecto al inverso de $C$ (Por el Lema anterior).

Más adelante…

Es hora de ver algunas construcciones respecto a la inversión.

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Geometría Moderna II: Conservación de ángulos

Por Armando Arzola Pérez

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Introducción

Ya analizado en el anterior tema, la inversión de rectas y circunferencias, es momento de ver como la inversión hace conservación de ángulos.

Conservación de ángulos y razón cruzada

Teorema. La inversión es una transformación, que preserva ángulos e invierte orientación.

Demostración. Para ello lo demostraré de dos maneras distintas:

1.º Forma

Se tiene una circunferencia de inversión $C_{o} (O, r)$ , $A$ y $B$ circunferencias que se intersecan, y sea $P$ uno de los puntos de intersección, además se tiene $P^{'}$ inversa de $P$ .
Ahora construyamos la circunferencia $C$ tangente a $A$ en $P$ y que pase por $P^{'}$ , de igual forma se construye $D$ tangente a $B$ en $P$ y que pase por $P^{'}$ . Sea $L_{1}$ recta tangente a $A$ en $P$ y de igual forma tangente a $C$ en $P$ , sea $L_{2}$ recta tangente a $B$ en $P$ y es tangente a $D$ en $P$ , entonces el ángulo entre $A$ y $B$ es el mismo entre $C$ y $D$ .
Como $C$ y $D$ pasan por puntos inversos, entonces son ortogonales a $C_{o}$ la circunferencia de inversión, $P$ y $P^{'}$ son ortogonales entre $A^{'}$ y $B^{'}$ dos circunferencias inversas a $A$ y $B$ respectivamente, entonces se tiene que el ángulo entre $A^{'}$ y $B^{'}$ es el mismo entre $A$ y $B$ .
Por lo tanto, la inversión preserva ángulos e invierte orientación.

2.º Forma

Sean 2 curvas que se intersecan en $P$ y $P \neq O$ . Tracemos una línea por $O P$ y otra por $O$ que corte a las curvas en $Q$ y $R$ , $O Q R$ colineales.
Se tiene que $P$ , $Q$ y $R$ tienen inversos $P^{'}$ , $Q^{'}$ y $R^{'}$ respectivamente, entonces las inversas de dichas curvas $P Q$ y $P R$ tendrán que intersecarse en $P^{'}$ , $Q^{'}$ y $R^{'}$ respectivamente, ahora por definición de inversión $O P \times O P^{'} = O Q \times O Q^{'} = O R \times O R^{'}$ , por lo cual $△ O P Q \approx △ O Q^{'} P^{'}$ y también $△ O P R \approx △ O R^{'} P^{'}$ , y si trazamos las secantes que corten a las curvas en $P$ y $P^{'}$ , y que pase por $Q$ , $R$ , $Q^{'}$ y $R^{'}$ , entonces

$∠ O P Q = ∠ P^{'} Q^{'} O$ , $∠ O P R = ∠ P^{'} R^{'} O .$

Y por lo cual $∠ Q P R = ∠ R^{'} P^{'} Q^{'}$ y $∠ R P Q = - ∠ R^{'} P^{'} Q^{'}$ , ahora si se tiene el límite cuando $Q$ y $R$ tienden a $P$ , entonces $Q^{'}$ y $R^{'}$ tienden a $P^{'}$ , por lo cual $∠ R P Q$ y $∠ R^{'} P^{'} Q^{'}$ tienden a ser los angulos límite de la intersección de las curvas.
Por lo tanto, los ángulos preservan la inversión en magnitud pero opuestos en signo.

Observación. Es por ello que se dice que la inversión es una transformación isogonal.

Corolario. Si dos curvas son tangente una a la otra en $P$ , sus inversas son tangentes una a la otra en $P^{'}$ .

Corolario. Objetos ortogonales se invierten en objetos ortogonales.

Corolario. Rectas paralelas se invierten en circunferencias tangentes en el centro de inversión.

Teorema. Sea $A$ una circunferencia y $A^{'}$ su inversa, entonces son homotéticas desde el centro de inversión.

Inversión y Distancias

Teorema. Sean $P$ y $P^{'}$ puntos inversos y $B$ un punto colineal a $P P^{'}$ y que corta al círculo de inversión, entonces

$B P^{'} = \frac{B P}{1 + B P / r}$ y $B P = \frac{B P^{'}}{1 - B P^{'} / r} .$

Demostración. Se tiene que $B P^{'} = r - O P^{'} = r - \frac{O P^{'} \times O P}{O P}$ , entonces por definición de inversión:

$\begin{aligned} B P^{'} & = r - \frac{r^{2}}{O P} \\ = r - \frac{r^{2}}{r + B P} \\ = \frac{r \times B P}{r + B P} \\ = \frac{B P}{1 + B P / r} \end{aligned}$

$\Rightarrow B P^{'} = \frac{B P}{1 + B P / r}$

Ahora

$\begin{aligned} B P & = O P - r \\ = \frac{O P^{'} \times O P}{O P^{'}} - r \\ = \frac{r^{2}}{O P^{'}} - r \\ = \frac{r^{2}}{r - B P^{'}} - r \\ = \frac{r \times B P^{'}}{r - B P^{'}} \\ = \frac{B P^{'}}{1 - B P^{'} / r} . \end{aligned}$

Teorema. Sea $C (O, r)$ una circunferencia de inversión y $P$ y $Q$ dos puntos con inversos $P^{'}$ y $Q^{'}$ respectivamente, entonces

$P^{'} Q^{'} = \frac{r^{2} \times Q P}{O P \times O Q} .$

Demostración. Se tiene por definición de inversión: $O P \times O P^{'} = r^{2}$ y $O Q \times O Q^{'} = r^{2} .$

$\begin{aligned} \Rightarrow O P \times O P^{'} = O Q \times O Q^{'} \\ \Rightarrow \frac{O P}{O Q^{'}} = \frac{O Q}{O P^{'}} \\ \Rightarrow △ O Q P \approx △ O P^{'} Q^{'} \\ \Rightarrow \frac{O P}{O Q^{'}} = \frac{O Q}{O P^{'}} = \frac{Q P}{P^{'} Q^{'}} \\ \Rightarrow \frac{O Q}{O P^{'}} = \frac{Q P}{P^{'} Q^{'}} \\ \Rightarrow P^{'} Q^{'} = \frac{Q P \times O P^{'}}{O Q} \\ \Rightarrow P^{'} Q^{'} = \frac{Q P \times O P^{'} \times O P}{O Q \times O P} \\ \Rightarrow P^{'} Q^{'} = \frac{r^{2} \times Q P}{O Q \times O P} . \end{aligned}$

Si $P$ , $Q$ y $O$ son colineales, asumiendo $O P < O Q$ .

Entonces $O P \times O P^{'} = O Q \times O Q^{'}$ y $P^{'} Q^{'} = O P^{'} - O Q^{'}$

$\begin{aligned} \Rightarrow P^{'} Q^{'} & = \frac{O P \times O P^{'}}{O P} \\ = \frac{r^{2}}{O P} - \frac{r^{2}}{O Q} \\ = r^{2} (\frac{O Q - O P}{O P \times O Q}) \\ = \frac{r^{2} \times P Q}{O P \times O Q} . \end{aligned}$

Teorema de Ptolomeo. Sea $A B C D$ un cuadrilátero cíclico convexo, entonces

$B C \times B D = B C \times A D + C D \times A B .$

Demostración. Sea una circunferencia de inversión $C (A, r)$ y se tiene una circunferencia circunscrita del cuadrilátero cíclico. La circunferencia invierte los puntos en una línea, es decir, se tiene $B^{'}$ inverso de $B$ , $C^{'}$ inverso de $C$ y $D^{'}$ inverso de $D$ , los cuales forman la línea « $L$ », se muestra:

Conservación de ángulos
Teorema Ptolomeo

Entonces se maneja las distancias de la línea «L $, s e t i e n e$ B’D’=B’C’+C’D’$ y por el teorema anterior:

$B^{'} D^{'} = \frac{B D \times r^{2}}{A B \times A D}$ , $B^{'} C^{'} = \frac{B C \times r^{2}}{A B \times A C}$ y $C^{'} D^{'} = \frac{C D \times r^{2}}{A C \times A D}$

$\Rightarrow \frac{B D \times r^{2}}{A B \times A D} = \frac{B C \times r^{2}}{A B \times A C} = \frac{C D \times r^{2}}{A C \times A D}$

Entonces se cancelan las $r^{2}$ y si nos fijamos en el denominador tenemos en comun $A B$ , $A D$ y $A C$ . Por lo cual multiplicamos por $A B \times A D \times A C$

$\Rightarrow \frac{B D \times A B \times A D \times A C}{A B \times A D} = \frac{B C \times A B \times A D \times A C}{A B \times A C} = \frac{C D \times A B \times A D \times A C}{A C \times A D}$

Por lo tanto, $A C \times B D = B C \times A D + C D \times A B .$

Teorema de Feuerbach

Teorema. La circunferencia de los nueve puntos del triángulo es tangente al incirculo y a los tres excirculos.

Demostración. Sea el triángulo $△ A B C$ con $C_{I}$ el incirculo y $C_{E}$ el excirculo, sea $B C$ la tangente a $C_{1}$ y $C_{E}$ , se tiene otra tangente $B^{'} C^{'}$ la cual es simétrica a $B C$ con respecto a la bisectriz $A I$ , de lo anterior se tienen tres cosas: $C \in A B$ , $B^{'} \in A C$ y $A^{'} = B C \cap B^{'} C^{'}$ .

Por otra parte, los puntos $A$ y $A^{'}$ son centros de homotecia de $C_{I}$ y $C_{E}$ respectivamente, entonces $I_{E}$ es dividido por $A^{'}$ y $A$ interna y externamente en razón de sus radios.

$\Rightarrow \frac{I A^{'}}{A^{'} E} = - \frac{I A}{A E} = \frac{r}{r A}$

Entonces $A$ y $A^{'}$ son armónicos respecto a $I$ y $E$ . Trazamos perpendiculares $E$ , $I$ y $A$ sobre $B C$ y sus pies los llamamos $P_{e}$ , $P_{i}$ y $P_{a}$ respectivamente, entonces los triángulos $△ E P_{e} A^{'} \approx △ I P_{i} A^{'} \approx A P_{a} A^{'}$ , entonces $P_{a}$ y $A^{'}$ son armonicos respecto a $P_{i}$ y $P_{e}$ .
Ahora sea $M_{A}$ punto medio de $B C$ entonces también lo es de $P_{i}$ y $P_{e}$ , trazamos la circunferencia $Z$ con centro $M_{A}$ y radio $M_{A} P_{i}$ , entonces $A^{'}$ y $P_{a}$ son inversos respecto a $Z$

Por lo cual

$P_{e} P_{i} = B C - 2 P_{i} C = a - 2 (s - c) = c - b .$

Donde $a$ es el lado opuesto al vértice $A$ , de igual forma $b$ es de $B$ , $c$ es de $C$ y $s$ es el semiperímetro.

Entonces el radio de $z$ es de $\frac{c - b}{2}$ y $M_{A} M_{B} = c / 2.$

Por lo cual $S = B^{'} C^{'} \cap M_{A} M_{B} .$

$\Rightarrow M_{A} S = M_{A} M_{B} + M_{B} S = M_{A} M_{B} - S M_{B}$ , y $M_{A} M_{B}$ paralelo a $B A$ entonces $△ B^{'} S M_{B} \approx △ B^{'} C^{'} A$ por lo cual sus lados son proporcionales $\frac{S M_{B}}{C^{'} A} = \frac{M_{B} B^{'}}{A B^{'}} .$ .

$\Rightarrow S M_{B} = \frac{C^{'} A \times B^{'} M_{B}}{B^{'} A}$

Y como $C A = C^{'} A$ y $B^{'} A = B A$ entonces

$S M_{B} = \frac{C^{'} A \times B^{'} M_{B}}{B^{'} A} = \frac{C A (B A - M_{B} A)}{B A} = \frac{2 b c - b^{2}}{2 c}$

$\Rightarrow M_{A} S = M_{A} M_{B} - S M_{B} = \frac{c}{2} - \frac{2 b c - b^{2}}{2 c} = \frac{(c - b)^{2}}{2 c} .$

Así,

$M_{A} S \times M_{A} M_{B} = \frac{(c - b)^{2}}{2 c} \times \frac{c}{2} = (\frac{c - b}{2})^{2} .$

Y por lo cual $S$ y $M_{B}$ son inversos respecto a la circunferencia $Z$ con diámetro $P_{i} P_{e}$ . El inverso de $B^{'} C^{'}$ es una circunferencia que pasa por $M_{A}$ el centro de inversión y por $P_{a}$ y $M_{B}$ . Como una circunferencia está determinada por tres puntos y la circunferencia de los nueve puntos cumple esto, entonces $C_{N}$ es la inversa de la recta $B^{'} C^{'}$ con respecto a la circunferencia $Z$ .
Pero el inverso de $C_{I}$ con respecto a $Z$ es $C_{I}$ , al igual $C_{E}$ su inverso con respecto a $Z$ es $C_{E}$ , ya que son ortogonales a $Z$ ; $B^{'} C^{'}$ es tangente a $C_{I}$ y $C_{E}$ y como la inversión conserva ángulos se sigue que la circunferencia $C_{N}$ será tangente a las circunferencias $C_{I}$ y $C_{E}$ (De igual forma para los otros 2 excirculos).

Teorema. La razón cruzada es invariante bajo inversiones.

Demostración. (Se debe de interpretar como la razón cruzada entre puntos colineales y rectas concurrentes).

Sea, $C (O, r)$ circunferencia, $A$ , $B$ , $C$ y $D$ cuatro puntos colineales distintos de $O$ , sus inversos $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ y $D^{'}$ con respecto a $C$ y $a^{'} = O A^{'}$ , $b^{'} = O B^{'}$ , $c^{'} = O C^{'}$ y $d^{'} = O D^{'} .$

Ahora las razones cruzadas coinciden: $O (a^{'} b^{'}, c^{'} d^{'}) = o (A B, C D) .$

Como la razón cruzada es una propiedad proyectiva y las inversiones respeten ángulos e invierten orientación.

$o (A B, C D) = \frac{s e n ∠ A O C}{s e n ∠ A O D} \times \frac{s e n ∠ D O B}{s e n ∠ C O B} = \frac{- s e n ∠ A^{'} O C^{'}}{- s e n ∠ A^{'} O D^{'}} \times \frac{- s e n ∠ D^{'} O B^{'}}{- s e n ∠ C^{'} O B^{'}} = O (a^{'} b^{'}, c^{'} d^{'}) .$

Más adelante…

Se verá como la inversión es una forma alterna de resolver problemas ya demostrados y más fáciles de ver, además se revisará un tema de importante, la circunferencia de antisimilitud.

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