2.4 Inversión de un Teorema y circunferencia de antisimilitud
Introducción
A lo largo de los teoremas vistos en geometría moderna se han demostrado y visto propiedades, pero gracias a la inversión se pueden deducir y demostrar nuevos teoremas de los ya vistos. A esto se le denomina Inversión de un Teorema.
Ejemplo dado un teorema referente a las alturas de un triángulo, se puede demostrar usando inversión y referente a circunferencias.
Sean $Z$ y $Z’$ dos circunferencias que se intersecan en $A$ y $O$, de $O$ se tiene los diámetros $OE$ de $Z’$ y $OF$ de $Z$ donde intersecan a $Z$ en $B$ y $Z’$ en $C$; Por lo cual el eje radical $AO$ pasa por el centro de la circunferencia de los puntos $O$, $B$ y $C$ la cual llamaremos $Z’$$’$.
Usando el Teorema: El inverso de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por el centro de inversión: Por lo cual, usando $O$ como centro de inversión, se tiene que los inversos de $A$, $B$ y $C$ son $A’$, $B’$ y $C’$ respectivamente.
Las circunferencias $Z$, $Z’$ y $Z’$$’$ se invierten en $A’B’$, $A’C’$ y $B’C’$ correspondientemente. Y las líneas $AO$, $FO$ y $EO$ se invierten en sí mismas por Teorema de inversión de línea que pasa por el centro de inversión. Se tiene la inversión:
Ahora como un diámetro interseca su circunferencia ortogonalmente, entonces $B’O$ y $C’O$ por la propiedad de conservación de ángulos en la inversión son las alturas del triángulo $A’B’C’$, entonces $A’O \perp B’C’$.
Por lo tanto, $AO \perp $ $Z’$$’$ entonces $AO$ pasa por el centro de $Z’$$’$ $_ \blacksquare$
Circunferencia de Antisimilitud
Definición de circunferencia de antisimilitud
La circunferencia de antisimilitus es una circunferencia respecto a la cual dos circunferencias son mutuamente inversas
Recordemos dos propiedades:
- El centro de inversión de dos circunferencias inversas es el centro de similitud.
- Dado un par de puntos inversos son antihomologos con respecto al centro de similitud.
Teorema Circunferencias de Antisimilitud
Sean dos circunferencias de las cuales existen tres posibles casos ($O$ y $O’$ centros de similitud):
Caso 1.-
Si se intersecan, entonces tienen dos circunferencias de antisimilitud tal que sus centros son los centros de similitud de las circunferencias dadas y que pasan por sus puntos de intersección.
Caso 2.-
Si no se intersecan (o son tangentes), entonces solo tienen una circunferencia de antisimilitud cuyo centro está en el centro de similitud exterior si las circunferencias son mutuamente excluyentes.
Caso 3.-
Si no se intersecan, entonces solo tiene una circunferencia de antisimilitud cuyo centro está en el centro de similitud interior si las circunferencias son internas una a la otra.
Lema
Una circunferencia $C_1$ y dos puntos inversos respecto a ella los llamaremos $S$ y $S’$ los cuales se invierten en una recta $C’_1$ y en dos puntos simétricos $P$ y $Q$ respecto a $C_1$, cuando el centro de inversión es un punto $A$ en $C_1$.
Teorema
Dos circunferencias que no se intersecan se pueden invertir en dos circunferencias iguales.
Demostración
Sean $C_1$ y $C’_1$ circunferencias y $C$ la circunferencia de antisimilitud de dichas circunferencias. Sea $A \in C$ y sea $C_2$ con centro $A$.
Las inversas de $C_1$ y $C’_1$ respecto a $C_2$ son dos circunferencias simétricas respecto al inverso de $C$ (Por el Lema anterior). $_\blacksquare$
Más adelante…
Es hora de ver algunas construcciones respecto a la inversión.
Entradas relacionadas
- Ir a Geometría Moderna II
- Entrada anterior del curso: Conservación de ángulos y razón cruzada
- Siguiente entrada del curso: Construcciones