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Álgebra Superior I: Problemas de condicionales y cuantificadores

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

En esta entrada resolveremos problemas de temas vistos en entradas anteriores. Haremos algunos ejemplos relacionados con los conectores condicionales que vimos en una entrada anterior: la implicación y la doble implicación. También veremos algunos de cuantificadores lógicos.

Problemas resueltos

Problema. Si $P$ y $R$ son verdaderas y $Q$ es falsa, di si la siguiente proposición es verdadera o falsa: $$(P \lor R) \Rightarrow \neg(Q \land R).$$

Solución. Haremos una tabla de verdad pero únicamente con los valores que nos dan, es decir, no vamos a hacer la tabla para todos los casos, sino únicamente los que nos interesan en este momento:

$P$$Q$$R$$P \lor R$ $Q \land R$$\neg (Q \land R)$$(P \lor R) \Rightarrow \neg(Q \land R)$
$1$$0$$1$  $1$ $0$  $1$   $1$

Por lo tanto la proposición es verdadera para los valores de verdad dados.

$\square$

Problema. Di si las siguientes proposiciones sobre los números enteros son verdaderas o no:

  1. $(3+1=4) \Rightarrow (0<10)$
  2. $(4=5) \Leftrightarrow (9+1=10)$
  3. $((6<7) \lor (3^2=10)) \Rightarrow (12<12^2)$
  4. $((-1<1) \land (1<-1)) \Leftrightarrow ((13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2))$

Solución.

Vamos a hacer algunas verificaciones sobre cada una de las proposiciones para encontrar su valor de verdad:

  • $(3+1=4) \Rightarrow (0<10)$

Como $3+1=4$ es verdadera y $0<10$ es verdadera también, entonces la proposición es verdadera.

  • $(4=5) \Leftrightarrow (9+1=10)$

Recordemos que la doble condicional es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Por un lado no es cierto que $4=5$ mientras que sí es verdad que $9+1=10$. Por lo tanto la proposición es falsa.

  • $((6<7) \lor (3^2=10)) \Rightarrow (12<12^2)$

Vamos a ver la proposición por partes. Primero veamos que $((6<7) \lor (3^2=10))$ es una disyunción verdadera pues una de las proposiciones que la componen, $6<7$, lo es. Como $12<12^2$ es verdad, entonces la implicación tiene antecedente y subsecuente verdaderos y por lo tanto es verdadera.

  • $((-1<1) \land (1<-1)) \Leftrightarrow ((13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2))$

De nuevo vamos a dividir la proposición en sus partes, $(-1<1) \land (1<-1)$ y $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$. Primero notemos que $(-1<1) \land (1<-1)$ es falsa, pues no es cierto que $1<-1$.

Ahora, veamos cómo es $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$. Nota que $12=13-1$ y $12=12-1+1$, entonces $13-1=12-1+1$. Entonces esta primera parte es verdad, mientras que $1+1=2$ pero no es cierto que $2<2$. Así que es falso que $1+1<2$. Entonces $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$ es falso.

Como $(-1<1) \land (1<-1)$, $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$ son ambas falsas, entonces $((-1<1) \land (1<-1)) \Leftrightarrow ((13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2))$ es verdadero.

$\square$

Nota: En este tipo de ejercicios, ¿viste cómo se dieron las argumentaciones de las proposiciones en cada caso? El secreto aquí fue «desarmar» las proposiciones en partes más pequeñas. Esto lo hacemos pues recuerda que los conectores son binarios, esto significa que su valor de verdad depende del valor de verdad de las dos proposiciones que conectan.

Así, para ver cuál es el valor de verdad de $((6<7) \lor (3^2=10)) \Rightarrow (12<12^2)$, lo que hicimos fue deshacerlo en sus partes. Una parte $A$ fue $(6<7) \lor (3^2=10)$ y la otra parte $B$ fue $12<12^2$. Entonces bastaba con verificar cuáles eran los valores de verdad de $A$ y $B$. Para ello, volvimos a «desarmar» a $A$ en sus partes «atómicas». Es decir, desarmamos $(6<7) \lor (3^2=10)$ en $6<7$ y $3^2=10$ y estudiamos el valor de verdad de cada uno de ellos. Usualmente este tipo de pensamiento de «desarmar un problema en sus partes» te ayudará a verificar o demostrar cosas más adelante.

Problema. Sean $P(x)$, $Q(x)$ y $R(x)$ los siguientes predicados:

  • $P(x): x \leq 4$
  • $Q(x): x +1$ es par.
  • $R(x): x> 0$

Si nuestro universo de discurso son los números enteros, ¿cuáles son los valores de verdad de las siguientes proposiciones?

  1. $P(1)$
  2. $P(1) \Rightarrow Q(1)$
  3. $P(0) \Rightarrow (R(5) \Rightarrow Q(0))$
  4. $R(-1) \lor P(2)$
  5. $\neg R(-2) \land P(-2)$

Solución.

1.$P(1)$

Es verdadera, pues $1 \leq 4$.

2. $P(1) \Rightarrow Q(1)$

Como $P(1)$ es verdadera y además $1+1=2$ es par, entonces la proposición es verdadera.

3. $P(0) \Rightarrow (R(5) \Rightarrow Q(0))$

Vamos a dividir la proposición en partes. Primero notemos que $P(0)$ es verdad. Mientras que $R(5) \Rightarrow Q(0)$ es falsa, ya que es cierto que $5>0$ pero es falso que $0+1$ sea par. Entonces la proposición es falsa.

4. $R(-1) \lor P(2)$

Como $R(-1)$ es falsa pero $P(2)$ es verdad, entonces la proposición es verdadera.

5. $\neg R(-2) \land P(-2)$

Como $-2>0$ es falsa, entonces $\neg R(-2)$ es verdad. Además, $-2<4$ es verdad. De esta manera la proposición es verdadera.

$\square$

Problema. Considera los siguientes predicados:

  • $P(x): 2x>0$
  • $Q(x):x>0$
  • $R(x): x=20$
  • $T(x):x<0$

Determina la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones, considerando que nuestro universo de discurso son los números enteros. Si la proposición no es verdadera, da un contraejemplo o explicación de ello.

  1. $\forall x: (P(x) \Rightarrow Q(x))$
  2. $\exists x: (Q(x) \land T(x))$
  3. $\forall x: (R(x) \Rightarrow Q(x))$
  4. $\exists ! x:(R(x))$
  5. $ \nexists x :(Q(x) \land P(x))$

Solución.

  • $\forall x:(P(x) \Rightarrow Q(x))$

Nota que siempre que se cumple $2x>0$ entonces $x>0$ (más adelante demostrarás esto con toda formalidad, pero de momento lo daremos por cierto). Por lo tanto la proposición es verdadera.

  • $\exists x: (Q(x) \land T(x))$

Para que esto sucediera, necesitaríamos la existencia de al menos un elemento $x$ que cumpla $0<x$ y $x>0$, es decir necesitaríamos un elemento que sea positivo y negativo a la vez, pero esto no es posible. Por lo tanto la proposición es falsa.

  • $\forall x:(R(x) \Rightarrow Q(x))$

Lo que nos dice esta proposición es «Para todo número entero $x$ que cumpla $x=20$ entonces $x>0$» o dicho de otra manera: «Si un número entero es igual a 20, entonces será positivo.» Lo cuál es correcto, pues si el número es distinto a 20, la implicación será correcta (recuerda la tabla de verdad de la implicación), mientras que el único caso en donde la hipótesis se cumple es cuando $x=20$ y claramente es un número que cumple $x>0$. Entonces la proposición es verdadera.

  • $\exists ! x:(R(x))$

Esto nos quiere decir que existe un único número entero que sea igual a 20, e inmediatamente podemos saber que es verdadera, pero ¿A qué nos referiremos que un número sea igual a 20? Primero tendríamos que ponernos de acuerdo de qué significa la igualdad. Aunque ahora no lo haremos, piensa el cómo nos aseguraríamos de que es el único número entero que cumple esa propiedad. ¿Qué pasaría si no fuera cierto?

  • $ \nexists x: (Q(x) \land P(x))$

Lo que dice la proposición es que ningún número $x$ va a cumplir a la vez $x>0$ y $2x>0$, pero esto no es cierto, pues pensemos en $x=1$. Cumple $Q(x)$ ya que $1>0$ y cumple $P(x)$ porque $2\cdot 1=2>0$. Entonces podemos decir que es falso pues dimos un contraejemplo que contradijo la proposición.

$\square$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Campo de pendientes asociado a una ecuación diferencial, curvas integrales y método de las isoclinas

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

Hola, bienvenidos a una nueva entrada del curso de Ecuaciones Diferenciales I. En la entrada anterior definimos a las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria. Así que ahora veremos un poco de la geometría de soluciones a ecuaciones diferenciales de primer orden, en particular de la forma \begin{align*}\frac{dy}{dt}=f(t,y(t)).\end{align*}

Comenzaremos asociando un campo de pendientes a una ecuación diferencial, definiremos posteriormente el concepto de curvas integrales, y estudiaremos la relación que existe con las soluciones a la ecuación asociada.

Posteriormente revisaremos el método de las isoclinas el cual sirve para encontrar y dibujar las soluciones a una ecuación diferencial usando las curvas de nivel de $\frac{dy}{dt}=f(t,y(t))$, vista como una función $f:\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$.

Manos a la obra!

Campo de pendientes asociado a una ecuación diferencial y relación con sus soluciones

En el primer video, vemos cómo asociar un campo de pendientes a una ecuación de la forma $\frac{dy}{dt}=f(t,y(t))$ y revisamos un par de ejemplos.

Una vez que asociamos un campo de pendientes, en los siguientes dos videos definimos a las curvas integrales y estudiamos la relación que guardan con las soluciones a la ecuación diferencial.

Método de las isoclinas

Estudiamos un método bastante sencillo, llamado de las isoclinas, para conocer el comportamiento de las soluciones a una ecuación diferencial, mediante las curvas de nivel de la función $f:\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ que define a la ecuación y el campo de pendientes asociado que definimos en los videos de la sección anterior.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Esboza el campo de pendientes asociado a la ecuación $\frac{dy}{dt}=y$.
  • Dibuja las curvas integrales del campo de pendientes asociado a la ecuación $\frac{dy}{dt}=y$.
  • Prueba que si $\phi: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ es una curva integral del campo de pendientes asociado a la ecuación $\frac{dy}{dt}=f(t,y(t))$ entonces $\phi(t)$ es solución a la ecuación diferencial.
  • Esboza las soluciones de la ecuación $\frac{dy}{dt}=-\frac{t}{y}$, con base en la información obtenida en el segundo ejemplo del último video. Analiza qué sucede con los puntos sobre el eje $t$, ¿forman parte de alguna solución a la ecuación?
  • En el último video hablamos acerca de las ventajas del método de las isoclinas. ¿Cuáles son las desventajas de usar este método para encontrar las soluciones a una ecuación?
  • Utiliza el método de las isoclinas para encontrar las soluciones a la ecuación $\frac{dy}{dt}=\frac{y}{t}$.

Más adelante

En la próxima entrada continuaremos analizando soluciones de una ecuación diferencial de primer orden desde un punto de vista geométrico. En esta ocasión nos enfocaremos en el caso particular de las ecuaciones del tipo $\frac{dy}{dt}=f(y)$.

Para esto analizaremos los puntos de equilibrio de la función $f(y)$ y haremos un diagrama bastante sencillo de dibujar que nos servirá para hacer un esbozo de las soluciones a la ecuación.

Nos vemos en la próxima ocasión.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Idea intuitiva de límite de una función

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

La definición de límite de una función suele ser uno de los conceptos más retadores dentro del cálculo y es por ello que, antes de entrar a su análisis formal, queremos dar una introducción con la finalidad de desarrollar la intuición necesaria para lograr el entendimiento de esta definición.

Idea intuitiva de límite de una función

Consideremos la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(x) = 10x$.

En la gráfica de la función $f(x) = 10x$, podemos observar que si $x$ toma valores cercanos a $2$, entonces $f(x)$ se aproxima a $20$. ¿Pero qué tanto es posible aproximar los valores de la función $f(x)$ a $20$?

Por ejemplo, ¿podemos encontrar un valor de $x$ distinto de $2$ tal que $f(x)$ esté a una distancia de $20$ menor que $12$ , es decir, $|f(x) – 20| < 12$?

Consideremos $x = 1$. De esta forma, $f(1) = 10$ y $|f(1) – 20| = |10 – 20| = 10 < 12$.

¿Podemos encontrar un valor de $x$ distinto de $2$ tal que $f(x)$ esté a una distancia de $20$ menor que $1$, es decir, $|f(x) – 20| < 1$?

Si tomamos $x=1.99$, se tiene que $|f(1.99) – 20| = |19.9 – 20| = 0.1 < 1$.

Hasta este momento, se han encontrado valores puntuales de $x$ que permiten que $f(x)$ se aproxime a $20$. Sin embargo, existen más valores de $x$ que lo pueden cumplir. Retomando la última aproximación deseada, podemos ver que $x=2.02$ también cumple el propósito, pues $|f(2.02) – 20| = |20.2- 20| = 0.2 < 1$. En realidad, es posible hallar todo un intervalo que lo cumpla.

Para poder obtener dicho intervalo, procedemos estableciendo la desigualdad deseada

\begin{gather*}
& |f(x) – 20| < 1. \\ \\
\Leftrightarrow & |10x – 20|< 1. \\ \\
\Leftrightarrow & \frac{|10x – 20|}{10}< \frac{1}{10}. \\ \\
\Leftrightarrow & |x – 2| < \frac{1}{10}.
\end{gather*}

Lo anterior indica que para que $f(x)$ esté a una distancia de $20$ menor que $1$, entonces $x$ debe estar a una distancia de $2$ menor que $\frac{1}{10}$.

¿Podemos encontrar un valor de $x$ distinto de $2$ tal que $f(x)$ esté a una distancia de $20$ menor que $\varepsilon > 0$, es decir, $|f(x) – 20| < \varepsilon$?

Análogamente, se obtiene que para que $|f(x)-20| < \varepsilon$, entonces $|x-2| < \frac{\varepsilon}{10}$. Generalizando más, podemos notar que para cualquier $x_0 \in \mathbb{R}$ se tiene que $|f(x)-10x_0| < \varepsilon$ con $x \neq x_0$, siempre que $|x-x_0| < \frac{\varepsilon}{10}.$

En la siguiente entrada se proporcionará la definición formal del límite. Sin embargo, de forma provisional para esta entrada, diremos que $L \in \mathbb{R}$ es el límite de la función $f$ en $x_0$ si la distancia entre $f(x)$ y $L$ es menor que un número $\varepsilon > 0$ elegido de antemano cuando $x$ se aproxima a $x_0$, pero es distinto de $x_0$.

Considerando lo anterior para nuestro ejemplo, se tiene que el límite de $f$ en $x_0 = 2$ es $L = 20$.

Usemos como segundo ejemplo la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(x) = x^2$.

Veremos que el límite de $f$ en $x_0 = 4$ es $L=16$. Para ello, notemos que

\begin{gather*}
& |f(x) – 16| < \varepsilon. \\
\Leftrightarrow & |x^2 – 16| < \varepsilon. \\
\Leftrightarrow & |(x-4)(x+4)| < \varepsilon. \\
\Leftrightarrow &|x-4||x+4| < \varepsilon.
\end{gather*}

A diferencia del caso anterior, parece que no es tan directo llegar a nuestro objetivo, pero notemos que particularmente podemos pedir que $|x-4| < 1$, entonces

\begin{gather*}
& -1< x-4 < 1. \\
\Leftrightarrow & 3 < x < 5. \\
\Leftrightarrow & 7 < x+4<9.
\end{gather*}

En resumen, si $|x-4|<1$, entonces $|x+4| < 9$. Lo cual implica que
$$|x^2 – 16| = |x-4||x+4| < 9|x-4|.$$
Si además restringimos la distancia de $x$ respecto a $4$ de tal manera que $|x-4| < \frac{\varepsilon}{9}$ y retomando la expresión anterior llegamos a lo siguiente:

\begin{gather*}
|x^2 – 16| = |x-4||x+4| < 9|x-4| < 9 \cdot \frac{\varepsilon}{9} = \varepsilon. \\
\therefore |x^2 – 16| < \varepsilon.
\end{gather*}

Esto siempre que $|x-4|$ sea menor que $1$ y $\frac{\varepsilon}{9}$, es decir, siempre que $|x-4| < min\{1, \frac{\varepsilon}{9} \}$.


De los dos ejemplos revisados en esta entrada, podemos notar que logramos que $f(x)$ se aproxime a $L$ con una distancia menor de épsilon cuando $x$ está lo suficientemente cerca de $x_0$. Para lograr esto último, acotamos $x-x_0$ en términos de un valor positivo que depende de $\varepsilon$ (para el primer ejemplo fue $\frac{\varepsilon}{5}$ y para el segundo $min\{1, \frac{\varepsilon}{9} \}$). Vale la pena entonces darle un nombre a este valor positivo: $\delta$.

Parafraseando: Logramos que $f$ se aproxime arbitrariamente, dado $\varepsilon > 0$, a $L$ cuando $x$ está lo suficientemente cerca, $\delta > 0$, de $x_0$.

Obtenemos así un indicio muy importante, para probar que $L$ es el límite de $f$ en $x_0$, habrá que dar un valor arbitrario fijo y positivo $\varepsilon > 0$ para el cual necesitaremos encontrar otro valor positivo, $\delta > 0$, tal que si $|x-x_0|<\delta$, entonces se cumpla que $|f(x)-L| < \varepsilon$. Adicionalmente, se pide que $x \neq x_0$, tal condición puede ser compactada de la siguiente forma $0 < |x-x_0| < \delta$, pues que la distancia entre $x$ y $x_0$ sea mayor que cero implica directamente que son distintos.

Antes de finalizar con esta entrada, es conveniente aclarar que no siempre tendremos funciones tan amigables en las cuales podamos evaluar directamente el valor de $x_0$ en $f$ para encontrar $L$. Incluso habrá ocasiones en las cuales no nos podamos aproximar de la manera en la que lo hicimos en estos ejemplos, pero por ahora no daremos muchos detalles extra al respecto, será tema para entradas posteriores.

Más adelante…

En la siguiente entrada daremos la definición formal de límite de una función y veremos varios ejemplos de funciones cuyo límite existe. Una vez dominemos la definición podremos incursionar en varias de sus propiedades y podremos tomar ventaja de estos conocimientos para tener una mayor comprensión sobre el comportamiento de diversas funciones de interés.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Para corroborar que la idea intuitiva de límite de una función se ha comprendido, se queda como ejercicio realizar un análisis similar al expuesto en esta entrada. Consideremos la función $f(x) = 4x^2$ definida para todo $x \in \mathbb{R}$. En este caso, tomaremos $x_0=3$ y $f(x_0) = 4(3)^2 =36.$

  • Grafica $f(x)$.
  • Encuentra un valor de $x$ tal que $|f(x)-36| < 30$.
  • Encuentra un valor de $x$ tal que $|f(x)-36| < 1$.
  • Encuentra un intervalo de $x$ alrededor de $x_0 = 3$ tal que $|f(x)-36| < \frac{1}{100}$.
  • Encuentra un intervalo de $x$ alrededor de $x_0 = 3$ tal que $|f(x)-36| < \varepsilon$, con $\varepsilon > 0$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Sucesiones divergentes y sus propiedades

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

Anteriormente estuvimos revisando el concepto de sucesiones convergentes, así como varios ejemplos y sus propiedades. Hasta este punto, deberíamos sentirnos bastante cómodos con las sucesiones convergentes puesto que en esta entrada revisaremos con mayor detalle las sucesiones divergentes.

Sucesiones divergentes a infinito

Antes de iniciar a ver las propiedades de este tipo de sucesiones, vale la pena recordar la definición que se dio previamente.

Definición. Sea $\{a_n\}$ una sucesión en $\mathbb{R}$. Decimos que $\{a_n\}$ diverge a infinito si para todo $M \in \mathbb{R}$, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_0$, entonces $M < a_n$.

La definición nos indica que una sucesión diverge a infinito si para cualquier número real $M$, existe un punto $n_0$, en el que todos los valores subsecuentes en la sucesión son mayores que $M$. Cuando una sucesión $\{a_n\}$ diverge a infinito lo denotaremos como $$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty.$$

Propiedades de las sucesiones divergentes a infinito

Ahora sí, estamos listos para indagar las propiedades de las sucesiones que divergen a infinito. La primera propiedad que probaremos será el hecho de que si multiplicamos una sucesión divergente a infinito por una constante positiva, la sucesión resultante también diverge a infinito.

Proposición. Sea $\{a_n\}$ en $\mathbb{R}$ tal que $$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty,$$ y sea $c > 0$ fijo, entonces $$\lim_{n \to \infty} c \cdot a_n = \infty.$$

Demostración.
Sea $M \in \mathbb{R}$. Consideremos $\frac{M}{c} \in \mathbb{R}$.
Como $\{a_n\}$ diverge a infinito, entonces existe $n_0$ tal que para todo $n \geq n_0$ se tiene

\begin{gather*}
& \frac{M}{c} < a_n. \\
\Leftrightarrow & M < c \cdot a_n.
\end{gather*}

$$\therefore \lim_{n \to \infty} c \cdot a_n = \infty.$$

$\square$

En la demostración anterior, se da un valor arbitrario de $M$ y se debe mostrar que existe un número natural $n_0 \text{,}$ tal que para todos los valores subsecuentes de la sucesión $\{c \cdot a_n\}$, son mayores que $M$. Para ello, se usa el hecho de que $\{a_n\}$ es divergente y, particularmente, para el número real $\frac{M}{c}$ existe tal número natural.

La siguiente proposición nos indica cómo se comportan la suma y la multiplicación de sucesiones divergentes que, como es de esperarse, el resultado de tales operaciones es una sucesión divergente.

Proposición. Sean $\{ a_n \}$ y $\{ b_n \}$ dos sucesiones en $\mathbb{R}$ tales que $$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty \quad \text{ y } \quad \lim_{n \to \infty} b_n = \infty.$$

Entonces

$i)$ $$\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \infty.$$
$ii)$ $$\lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = \infty.$$

Demostración.

$i)$ Sea $M \in \mathbb{R}$. Como $\{a_n\}$ diverge a infinito, se tiene que
$$\exists n_1 \in \mathbb{N} \text{ tal que si } n \geq n_1 \Rightarrow \frac{M}{2} < a_n.$$

Y como $\{b_n\}$ también diverge a infinito, se tiene que
$$\exists n_2 \in \mathbb{N} \text{ tal que si } n \geq n_2 \Rightarrow \frac{M}{2} < b_n.$$

Consideremos $n_0 = max\{n_1, n_2 \}$. Si $n \geq n_0$, entonces se cumplen las dos expresiones de arriba y al sumarlas obtenemos que $M < a_n+b_n.$
$$\therefore \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \infty.$$

$ii)$ Sea $M \in \mathbb{R}$.
Para $\{a_n\}$ consideremos el número real $\hat{M} = max\{M, 0\}$. Debido a que $\{a_n\}$ diverge, existe $n_1 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_1$, entonces $\hat{M} < a_n$, lo que implica que $M < a_n$ y $0 < a_n.$

Para $\{b_n\}$ consideremos el número real $1$. Debido a que $\{b_n\}$ diverge, existe $n_2 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_2$, entonces $1 < b_n.$

Sea $n_0 = max\{n_1, n_2 \}$. Si $n \geq n_0$, entonces se cumplen las condiciones anteriores. Como $a_n$ es positivo para todo $n \geq n_0$, podemos multiplicar la expresión $1 < b_n$ por $a_n$ y la desigualdad se preservará, es decir, $a_n < a_n b_n$ y además $M < a_n$, por transitividad concluimos que $M < a_n b_n.$

$\square$

Después de haber revisado las propiedades anteriores y sabiendo que la sucesión $\{n\}$ generada por los números naturales diverge, es posible ampliar nuestro repertorio de sucesiones divergentes. Las siguientes sucesiones divergen por implicación directa de las proposiciones vistas: $\{5n\}$, $\{n+n^2+n^3\}$, $\{7n^2+4n\}$, etc.

La siguiente propiedad hace referencia a que si tenemos una sucesión $\{a_n\}$ divergente a infinito y otra sucesión $\{b_n\}$ para la cual existe un punto a partir del cual siempre es mayor que $\{a_n\}$, entonces $\{b_n\}$ también diverge a infinito.

Proposición. Sean $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ sucesiones en $\mathbb{R}$ tales que
$i$) Existe $n_1 \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq n_1$ se cumple $b_n \geq a_n.$
$ii$) $\lim\limits_{n\to \infty} a_n = \infty.$
Entonces $$\lim_{n\to \infty} b_n = \infty.$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$. Por hipótesis, existe $n_1 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_1$, entonces $b_n \geq a_n$. Y como $\{a_n\}$ diverge a infinito, existe $n_2 \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq n_2$, se tiene que $a_n > M$. Consideremos $n_0 = max\{n_1,n_2 \}$, entonces si $n \geq n_0$, se cumple $b_n \geq a_n$ y $a_n > M$. Se concluye que $b_n > M$ para todo $n \geq n_0.$

$$\therefore \lim_{n\to \infty} b_n = \infty.$$

$\square$

Proposición. Sea $c > 1$, entonces $$\lim_{n \to \infty} c^n = \infty.$$

Demostración.

Para realizar esta demostración haremos uso de la proposición anterior. Sea $n \in \mathbb{N}$. Como $c > 1$, entonces $c-1>0$ y por la desigualdad de Bernoulli, tenemos

\begin{gather*}
c^n = (1+c-1)^n \geq 1+n(c-1) > n(c-1). \\
\therefore c^n > n(c-1).
\end{gather*}

Además, sabemos que la sucesión $\{n\}$ diverge a infinito y si multiplicamos esta sucesión por una constante positiva, en este caso $c-1$, la sucesión $\{(c-1)n\}$ también diverge a infinito. Utilizando la proposición anterior, se concluye que $$\lim_{n \to \infty} c^n = \infty.$$

$\square$

Como última propiedad, revisaremos que una sucesión monótona no acotada es divergente. Probaremos que las sucesiones crecientes no acotadas divergen a infinito. Se dejará como tarea moral probar que las sucesiones decrecientes no acotadas divergen a $-\infty.$

Proposición. Si $\{ a_n \}$ es una sucesión creciente y no acotada, entonces $$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty.$$

Demostración.
Sea $\{a_n \}$ una sucesión creciente y no acotada y sea $M \in \mathbb{R}$. Como la sucesión no está acotada, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $M < a_{n_0}$ y como la sucesión es creciente $a_n \geq a_{n_0}$ para todo $n \geq n_0.$

\begin{gather*}
\therefore M < a_n \text{, para todo } n \geq n_0. \\ \\
\therefore \lim_{n \to \infty} a_n = \infty.
\end{gather*}

$\square$

En la demostración anterior hay una sutileza que vale la pena enfatizar: usamos el hecho de que la sucesión no está acotada para probar que existe al menos un elemento específico, $a_{n_0}$, que es mayor que un real arbitrario $M$, pero para probar que diverge a infinito, hay que probar que también todos los elementos subsecuentes, $a_n$ con $ n \geq n_0$, son mayores a $M$ y, en ese momento, es cuando se usa la hipótesis de monotonía.

Más adelante…

En las entradas subsecuentes revisaremos conceptos derivados de las sucesiones: el concepto de subsucesión, las sucesiones de Cauchy y culminaremos con el estudio de una de las constantes más famosas dentro de matemáticas, el número de Euler.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Si $\{ a_n \}$ es una sucesión decreciente y no acotada, entonces $$\lim_{n \to \infty} a_n = – \infty.$$
  • Sea $\{ a_n \}$ una sucesión divergente a infinito tal que para todo $n\in \mathbb{N}$ se cumple que $a_n \neq 0$. Entonces $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_n} = 0.$$
  • Prueba lo siguiente:
    $i)$ $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2+1}{n+1} = \infty.$
    $ii)$ $\lim\limits_{n \to \infty} (n – \sqrt{n} )= \infty.$
  • Demuestra que si $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L,$$ donde $L > 0,$ entonces $$\lim_{n\to \infty} a_n = \infty.$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Probabilidad I: Medida de Probabilidad

Por Octavio Daniel Ríos García

2 respuestas

Introducción

En la última sesión demostramos un teorema de vital importancia que permite construir un σ-álgebra a partir de cualquier familia dada de conjuntos. Con esto, ya tenemos los objetos necesarios para empezar a tratar con el concepto de «medida». Anteriormente comentamos que un σ-álgebra es el conjunto cuyos elementos son a los que podremos «calificar», es decir, los que podremos medir. En esta sesión describiremos la noción de «medir» los elementos de un σ-álgebra dado.

Definición de Medida de Probabilidad

Dado un espacio muestral $\Omega$ y $\mathscr{F}$ un σ-álgebra sobre $\Omega$, pretendemos asignar a cada $A \in \mathscr{F}$ un valor numérico. Para ello, en matemáticas utilizamos funciones. En este caso, necesitaremos una función que exprese nuestra noción de «probabilidad de ocurrencia». A cada elemento $A \in \mathscr{F}$ se le asignará un valor $\mathbb{P}(A) \in \mathbb{R}$ que deberá estar en el intervalo $[0,1]$. Así, el $0$ representará lo menos probable posible, y el $1$ lo más probable posible. Esta discusión da lugar a la definición de medida de probabilidad.

Definición. Sea $\Omega$ un conjunto y $\mathscr{F}$ un σ-álgebra sobre $\Omega$. Diremos que una función $\mathbb{P}\colon\mathscr{F} \longrightarrow \mathbb{R}$ es una medida de probabilidad si cumple las siguientes propiedades:

  1. Para todo $A \in \mathscr{F}$ se cumple que $\mathbb{P}(A) \geq 0$. Esto es, $\mathbb{P}$ es no-negativa.
  2. Si $\left\lbrace A_{n} \right\rbrace_{n=1}^{\infty}$ es una familia numerable de conjuntos ajenos dos a dos de $\mathscr{F}$, entonces
    \[ \mathbb{P}\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_{n}). \]Esta propiedad es conocida como σ-aditividad. Es decir, $\mathbb{P}$ es σ-aditiva.
  3. $\mathbb{P}(\emptyset) = 0$ y $\mathbb{P}(\Omega) = 1$.

Por familia numerable de conjuntos ajenos dos a dos, queremos decir que se cumple que

\[ \forall i, j \in \mathbb{N}^{+}\colon (i \neq j \implies A_{i} \cap A_{j} = \emptyset). \]

Es decir, que para cualesquiera índices $i$ y $j$, si $i$ es distinto de $j$, entonces los conjuntos $A_{i}$ y $A_{j}$ son ajenos.

En resumidas cuentas, una medida de probabilidad es cualquier función que satisface las tres propiedades de la definición anterior. Además, si $\Omega$ es un conjunto, $\mathscr{F}$ un σ-álgebra sobre $\Omega$, y $\mathbb{P}\colon\mathscr{F} \longrightarrow \mathbb{R}$ es una medida de probabilidad, la terna $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ recibe el nombre de espacio de probabilidad. Es decir, a partir de ahora, cuando digamos que «$(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ es un espacio de probabilidad», se entenderá que $\Omega$, $\mathscr{F}$ y $\mathbb{P}$ son los objetos que corresponden.

Juntando todas nuestras herramientas

Ya que tenemos los conceptos más fundamentales de la probabilidad, hay que ver cómo encajan juntos. Para empezar, recuerda que el espacio muestral de un fenómeno aleatorio es el conjunto $\Omega$. Los elementos de este conjunto son todos los resultados posibles del fenómeno. Luego, tomaremos a $\mathscr{F}$, que es un σ-álgebra sobre $\Omega$. Finalmente, sobre $\mathscr{F}$ se define la medida de probabilidad $\mathbb{P}\colon \mathscr{F} \longrightarrow \mathbb{R}$.

Pero, ¿por qué se define la medida sobre el σ-álgebra? ¿Por qué no la definimos directamente sobre $\Omega$? Recuerda que los elementos de un σ-álgebra, a los cuales llamaremos eventos, son subconjuntos de $\Omega$. En la primera entrada de este curso justificamos las propiedades de un σ-álgebra. En particular, mencionamos que un evento $A \in \mathscr{F}$ burdamente cumple lo siguiente: Dado cualquier $\omega \in \Omega$ (es decir, dado cualquiera de los resultados posibles del fenómeno aleatorio), la pregunta «¿es cierto que $\omega \in A$» tiene respuesta. Por ello, cuando nuestra medida de probabilidad asigne el número $\mathbb{P}(A)$ al conjunto $A$, ese número expresa cuál es la probabilidad de que sea cierto que $\omega \in A$. En otras palabras, entre $0$ y $1$, ¿qué tan probable es que ocurra cualquiera de los resultados en $A$? La respuesta será $\mathbb{P}(A)$. Por este motivo, el número $\mathbb{P}(A)$ suele leerse como «la probabilidad del evento $A$», o simplemente, «la probabilidad de $A$».

Justificando las propiedades de una medida de probabilidad

Por otro lado, veamos un poco sobre la motivación de las propiedades de una medida de probabilidad. La no-negatividad surge muy naturalmente de nuestra restricción de la medida al intervalo $[0,1]$. Por otro lado, la σ-aditividad tiene dos razones de ser. Primero, observa que la σ-aditividad implica la aditividad finita. Si $A_{1}$, $A_{2}$, … , $A_{n} \in \mathscr{F}$ son $n$ eventos cualesquiera que son ajenos dos a dos, podemos definir la siguiente familia numerable de conjuntos:

\[ E_{1} = A_{1}, E_{2} = A_{2}, E_{3} = A_{3}, \ldots, E_{n} = A_{n}, E_{n+1} = \emptyset, E_{n+2} = \emptyset, \ldots, \]

Es decir, para cada $k \in \mathbb{N}$ tal que $k \geq n+1$, se define $E_{k} = \emptyset$. Esta es una familia numerable de eventos ajenos (observa que la intersección de cualesquiera dos eventos de la familia resulta ser vacía). Por lo tanto, podemos aplicar la σ-aditividad de $\mathbb{P}$. Esto es, se tiene que

\[ \mathbb{P}\left( \bigcup_{k=1}^{\infty} E_{k} \right) = \sum_{k=1}^{\infty} \mathbb{P}(E_{k}), \]

pero recuerda que para cada $k \geq n+1$, se tiene que $E_{k} = \emptyset$, y para cada $k \leq n$, se cumple que $E_{k} = A_{k}$. Por un lado, esto significa que

\[ \bigcup_{k=1}^{\infty} E_{k} = \left( \bigcup_{k=1}^{n} E_{k} \right) \cup \left( \bigcup_{k=n+1}^{\infty} E_{k} \right) = \left( \bigcup_{k=1}^{n} A_{k} \right) \cup (\emptyset) = \bigcup_{k=1}^{n} A_{k}. \]

Por otro lado, tenemos que

\begin{align*}
\sum_{k=1}^{\infty} \mathbb{P}(E_{k}) &= \sum_{k=1}^{n} \mathbb{P}(E_{k}) + \sum_{k=n+1}^{\infty} \mathbb{P}(E_{k}) \\&= \sum_{k=1}^{n} \mathbb{P}(A_{k}) + \sum_{n=3}^{\infty} \mathbb{P}(\emptyset) \\
&= \sum_{k=1}^{n} \mathbb{P}(A_{k}) + \sum_{n=1}^{\infty} 0 \\
&= \sum_{k=1}^{n} \mathbb{P}(A_{k})
\end{align*}

Esto nos permite concluir que

\[ \mathbb{P}\left(\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}\right) = \sum_{k=1}^{n} \mathbb{P}(A_{k}). \]

En conclusión, cualquier medida de probabilidad es finitamente aditiva. En particular, es finitamente aditiva para $n = 2$, por lo que si se tienen $A_{1}$, $A_{2} \in \mathscr{F}$ eventos ajenos, se sigue que $\mathbb{P}(A_{1} \cup A_{2}) = \mathbb{P}(A_{1}) + \mathbb{P}(A_{2})$.

La σ-aditividad y, en consecuencia, la aditividad, obedecen a nuestra intuición de medir la probabilidad de dos o más eventos que no comparten elementos. Si $A$ y $B$ son eventos ajenos, cuando un $\omega$ es uno de los elementos de $A$, no puede ser un elemento de $B$. Por ello, como la probabilidad de que el resultado del fenómeno aleatorio sea alguno de los elementos de $A$ es $\mathbb{P}(A)$, este valor no expresa nada sobre la probabilidad de que el resultado del fenómeno sea un elemento de $B$. Análogamente, $\mathbb{P}(B)$ tampoco expresa nada sobre la probabilidad de que el resultado sea un elemento de $A$. Burdamente, cuando $A$ y $B$ son eventos ajenos, $\mathbb{P}(A)$ y $\mathbb{P}(B)$ no expresan la probabilidad de algo en común.

Por lo tanto, sumar estos dos valores resulta en la probabilidad de que el resultado sea un elemento exclusivamente de $A$ o exclusivamente de de $B$. Pero al ser ajenos, esto es lo mismo que expresar la probabilidad de que el resultado sea un elemento de $A \cup B$. Esto motiva que cuando $A$ y $B$ son eventos ajenos, $\mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$. Esta misma idea se extiende al caso de una familia numerable de eventos ajenos, y es la que motiva la σ-aditividad.

Finalmente, la última propiedad establece que $\mathbb{P}(\emptyset) = 0$ y $\mathbb{P}(\Omega) = 1$. ¿Por qué le pedimos a $\mathbb{P}$ que cumpla esto? Recordando que $0$ representa lo más improbable y $1$ lo más probable posible, que $\mathbb{P}(\emptyset) = 0$ expresa que la probabilidad de algo lógicamente imposible debe de ser $0$. Mucho cuidado, el evento $\emptyset$ no representa «que no ocurra nada», esa es una interpretación errónea de $\emptyset$ como evento. Por otro lado, $\mathbb{P}(\Omega) = 1$ se pide porque la probabilidad de que el resultado sea cualquiera de los resultados posibles debe de ser la más alta posible, pues siempre se obtiene alguno de los elementos de $\Omega$ como resultado.

Ejemplo básico de medida de probabilidad

Sean $\Omega = \{ 1, 2, 3 \}$ y $\mathscr{F} = \mathscr{P}(\Omega)$. Sea $\mathbb{P}\colon \mathscr{F} \longrightarrow \mathbb{R}$ la función dada por la siguiente regla de correspondencia: para cada $A \in \mathscr{F}$, definimos

\[ \mathbb{P}(A) = \frac{\left| A \right|}{\left| \Omega \right|}, \]

donde $\left| A \right|$ es la cardinalidad de $A$. Esto es, $|A|$ es el número de elementos que tiene $A$. Primero, tenemos que ver que $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ es un espacio de probabilidad. Ya sabemos que $\Omega$ es un conjunto y que $\mathscr{P}(\Omega)$ es un σ-álgebra sobre $\Omega$. Nos falta ver que $\mathbb{P}$ es una medida de probabilidad. Es decir, hay que ver que satisface las propiedades de una medida de probabilidad.

  1. Primero, hay que verificar que para cualquier evento $A \in \mathscr{F}$ se cumple que $\mathbb{P}(A) \geq 0$. En efecto, para cualquier conjunto finito $A$ se tiene que $\left| A \right| \in \mathbb{N}$. Además, $\Omega \neq \emptyset$, por lo que $|\Omega| \neq 0$. Por lo tanto, $\frac{|A|}{|\Omega|}$ está bien definido, y se cumple que $\frac{|A|}{|\Omega|} \geq 0$. En conclusión, para cualquier evento $A \in \mathscr{F}$ se cumple que $\mathbb{P}(A) \geq 0$.
  2. Para ver la segunda propiedad, como $\Omega$ es finito, basta con ver que $\mathbb{P}$ es finitamente aditiva. Sean $A$, $B \in \mathscr{F}$ eventos cualesquiera tales que $A \cap B = \emptyset$. Debemos de demostrar que $\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$. Observa que como $A$ y $B$ son finitos y $A \cap B = \emptyset$, se tiene que $|A \cup B| = |A| + |B|$. Así, tenemos que
    \[ \frac{|A \cup B|}{|\Omega|} = \frac{|A|+|B|}{|\Omega|} = \frac{|A|}{|\Omega|} + \frac{|B|}{|\Omega|}, \]y por la definición de $\mathbb{P}$, podemos concluir que $\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$.
  3. Finalmente, como $|\emptyset| = 0$, se tiene que $\mathbb{P}(\emptyset) = 0$, y por la definición de $\mathbb{P}$, tenemos que $\mathbb{P}(\Omega) = \frac{|\Omega|}{|\Omega|} = 1$.

Bien, con esto hemos demostrado que $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ es un espacio de probabilidad.

Ahora veamos algunos aspectos más prácticos de este ejemplo. Por ejemplo, ¿cuál será la probabilidad de que el resultado de este fenómeno sea $3$? Para obtenerla, hay que encontrar a qué evento nos referimos. En este caso, nos interesa que el resultado sea $3$. Así, el evento en cuestión sería aquel que tenga como único elemento a $3$, es decir, $\{ 3 \}$. Bien, entonces la probabilidad de que el resultado sea $3$ es $\mathbb{P}(\{3\})$. Utilicemos la definición de $\mathbb{P}$ para el cálculo:

\begin{align*}
\mathbb{P}(\{3\}) &= \frac{|\{3\}|}{|\Omega|} \\ &= \frac{|\{3\}|}{|\{1, 2, 3\}|} \\ &= \frac{1}{3},
\end{align*}

así, $\mathbb{P}(\{3\}) = \frac{1}{3}$, por lo que la probabilidad de que el resultado de este fenómeno sea $3$ es $\frac{1}{3}$, o $0.33333\ldots$ Hay quienes escriben la probabilidad de un evento de manera porcentual. De esta forma, la probabilidad de que el resultado sea $3$ es $33.333\ldots\%$.

Hagamos otra pregunta. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado de este fenómeno sea un número impar? Hay que encontrar primero el evento que contiene todos los resultados impares. Esto es, sería el siguiente conjunto

\[ B = \{ \omega \in \Omega \mid \exists k \in \mathbb{Z}\colon \omega = 2k + 1 \}, \]

que para este $\Omega$ es muy sencillo: son $1$ y $3$. Así, $B = \{1,3\}$, y podemos calcular la probabilidad de $B$ usando la expresión que define a $\mathbb{P}$ como sigue.

\begin{align*}
\mathbb{P}(B) &= \mathbb{P}(\{1, 3\}) \\ &= \frac{|\{1,3\}|}{|\Omega|} \\ &= \frac{|{1,3}|}{|{1,2,3}|} \\ &= \frac{2}{3}.
\end{align*}

Por lo tanto, la probabilidad d e que el resultado de este fenómeno sea un número impar es $\frac{2}{3}$, o bien $0.6666\ldots$, o $66.666\ldots\%$.

Para terminar con este ejemplo, veamos algo relacionado con la aditividad de $\mathbb{P}$. Ya vimos que $\mathbb{P}$ es aditiva. ¿Qué pasa si sumamos las probabilidades de dos eventos que no son ajenos? Por ejemplo, sean $C_{1} = \{1,2\}$ y $C_{2} = \{2,3\}$. Primero, se tiene que

\begin{align*}
\mathbb{P}(C_{1}) = \mathbb{P}(\{1,2\}) = \frac{2}{3}, \\
\mathbb{P}(C_{1}) = \mathbb{P}(\{2,3\}) = \frac{2}{3},
\end{align*}

por lo que $\mathbb{P}(C_{1}) + \mathbb{P}(C_{2}) = \frac{4}{3}$, y $\frac{4}{3} > 1$. ¿Qué falló aquí? Llegamos a un número que es mayor a $1$, ¿no debería de pasar que $\mathbb{P}(C_{1}) + \mathbb{P}(C_{2})$ es la probabilidad de algún evento? El problema está en que $C_{1}$ y $C_{2}$ no son ajenos. Observa que $C_{1} \cap C_{2} = \{1,2\} \cap \{2,3\} = \{2\}$. Nota que $\mathbb{P}(C_{1})$ expresa «la probabilidad de que el resultado del experimento sea un elemento de $C_{1}$». En términos más amigables, $\mathbb{P}(C_{1})$ expresa la probabilidad de que el resultado sea $1$ o $2$. Es decir, en esta cantidad se incluye la posibilidad de que el resultado sea $2$. De manera similar, $\mathbb{P}(C_{2})$ expresa la probabilidad de que el resultado sea $2$ o $3$. Por ello, en el momento en el que sumamos $\mathbb{P}(C_{1})$ y $\mathbb{P}(C_{2})$, estamos contabilizando la probabilidad de que el resultado sea $2$ más de una vez, algo que no debemos de hacer.

Así, se confirma que cuando $C_{1}$ y $C_{2}$ son eventos que no son ajenos, la probabilidad de $\mathbb{P}(C_{1} \cup C_{2})$ no coincide con $\mathbb{P}(C_{1}) + \mathbb{P}(C_{2})$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios son opcionales. Es decir, no formarán parte de tu calificación. Sin embargo, te recomiendo resolverlos para que desarrolles tu manejo de los conceptos abordados en esta entrada.

  • Sean $\Omega = \{1,2,3,4\}$ y $\mathscr{F} = \mathscr{P}(\Omega)$. Definimos la siguiente función auxiliar $p\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ mediante las siguientes reglas de correspondencia:
    \begin{align*}
    p(1) = \frac{1}{4}, \quad p(2) = \frac{1}{4}, \quad p(3) = \frac{1}{8}, \quad p(4) = \frac{3}{8}.
    \end{align*} Sea $\mathbb{P}\colon \mathscr{F} \longrightarrow \mathbb{R}$ la función dada por: Para cada $A \in \mathscr{F}$, definimos
    \begin{align*}
    \mathbb{P}(A) = \sum_{k \in A} p(k).
    \end{align*} Por ejemplo, $\mathbb{P}(\{1,3\}) = p(1) + p(4) = \frac{1}{4} + \frac{3}{8}$. Adicionalmente, se define $\mathbb{P}(\emptyset) = 0$.
    • Demuestra que $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ es un espacio de probabilidad.
    • ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado del fenómeno en este ejercicio sea un número par?
    • ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea un número impar?
  • Sea $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ un espacio de probabilidad. Sean $A$, $B \in \mathscr{F}$ tales que $A \cap B \neq \emptyset$. ¿Qué le sumarías (o restarías) a $\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$ para obtener una expresión que sí sea igual a $\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$? Daremos la respuesta a esta pregunta en la próxima sesión, pero comienza a pensarlo.
  • En la entrada mencionamos que el evento $\emptyset$ no representa «que no ocurra nada», y que debe de interpretarse como el evento «imposible». ¿Por qué? Por ejemplo, retomando cuando $\Omega = \{1,2,3\}$, es claro que $\{1 \} \cap \{3\} = \emptyset$. ¿Tiene sentido que su probabilidad sea $0$? ¿Existe algún resultado $\omega \in \Omega$ tal que $\omega \in \{1 \} \cap \{3 \}$?

Más adelante…

En esta sesión tocamos las propiedades que hacen que una función sea considerada una medida de probabilidad. Estas propiedades tienen consecuencias que abordaremos en una entrada posterior. Antes de hacerlo, en la siguiente entrada abordaremos ciertas minucias sobre la interpretación de las operaciones con eventos en el contexto de la probabilidad.

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