$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

En esta entrada vamos a ver una forma de definir distancias (sí, de nuevo) pero ahora no directamente entre los elementos de un conjunto, sino entre los subconjuntos de un espacio métrico. Entonces, los subconjuntos pasarán a ser vistos como elementos de un nuevo espacio con cierta métrica. Al final haremos sucesiones de conjuntos. Descubriremos bajo qué condiciones estas sucesiones de conjuntos convergen. Será emocionante descubrir que dos conjuntos están cerca uno de otro, cuando son muy parecidos entre sí (en forma y tamaño). Esta entrada está basada en el contenido del libro «A course in Metric Geometry», escrito por Dmitri Burago, Yuri Burago y Sergei Ivanov (páginas 252 y 253). Omitiremos las demostraciones de las proposiciones, pues no son parte de los objetivos del curso. El lector puede consultarlas en el libro mencionado si así lo desea.

Visualiza la unión de todas las bolas de radio $\varepsilon$. Definimos el conjunto $U_\varepsilon(A) =: \underset{x\in A}{\cup}B(x,\varepsilon)$. Nota que este conjunto contiene al conjunto $A$.

Asímismo, todos los elementos de $U_\varepsilon(A)$ distan en menos que $\varepsilon$ a algún elemento de $A$, pues están en una de las bolas de radio $\varepsilon$.

Pensemos ahora en los conjuntos definidos de esta forma en $A$ pero buscando que también contengan a un conjunto $B \subset X$

Se puede dar el caso en que aunque $U_\varepsilon(A)$ contiene a $A,$ no contiene al conjunto $B.$

Identificando valores para $\varepsilon >0$ suficientemente grandes, se logra la contención deseada:

Podemos identificar al ínfimo de los $\varepsilon$´s $>0$ y encontrar así un conjunto $U_{\varepsilon´´}(A)$ más ajustado pero que sigue conteniendo a ambos conjuntos.

Análogamente, vamos a identificar los conjuntos $U_\varepsilon(B)$ que también contienen a $A$.

Se puede dar el caso en que aunque $U_\varepsilon(B)$ contiene a $B,$ no contiene al conjunto $A.$

Identificando valores para $\varepsilon >0$ suficientemente grandes, se logra la contención deseada:

Podemos identificar al ínfimo de los $\varepsilon$´s $>0$ y encontrar así un conjunto $U_{\varepsilon´´}(B)$ más ajustado pero que sigue conteniendo a ambos conjuntos.

Si seleccionamos al ínfimo de los $\varepsilon$’s tales que ambos conjuntos quedan contenidos de la forma $A \subset U_\varepsilon(B)$ y $B \subset U_\varepsilon(A)$. Podemos definir la distancia de Hausdorff entre $A$ y $B$ como ese ínfimo. Formalmente:
$$d_H(A,B) =: inf \{\varepsilon>0: A \subset U_\varepsilon(B) \,y\, B \subset U_\varepsilon(A) \}$$

Sean $A\subset X$ y $B\subset X$ y $\varepsilon >0$. Si definimos $\text{dist}(a,B) =: \underset{b \in B}{inf} \, d(a,b)$ para cada $a \in A$ y análogamente $\text{dist}(b,A) =: \underset{a \in A}{inf} \, d(a,b)$ para $b \in B$ entonces las siguientes son propiedades de la distancia de Hausdorff.

a) $d_H(A,B) = max\{\underset{a \in A}{sup} \, \text{dist}(a,B),\underset{b \in B}{sup} \, \text{dist}(b,A)\}.$

b) $d_H(A,B) \leq \varepsilon$ si y solo si para todo $a \in A,$ $\text{dist}(a,B) \leq \varepsilon$ y para todo $b \in B, \, \text{dist}(b,A) \leq \varepsilon.$ Esto puede no ocurrir si cambiamos «$\leq$» por «$<$».

Anteriormente hemos hablado de la definición de una función acotada (Espacios de funciones) y de una sucesión acotada (Convergencia), veamos esta definición de un modo más general:

Proposición. Si $(X,d)$ es un espacio métrico, entonces $d_H$ define una métrica en el conjunto de conjuntos cerrados y acotados $\mathcal{M}(X):=\{F \subset X: F \text{ es cerrado y acotado}\}$. (En el libro de Burago la métrica puede tomar el valor infinito, en ese sentido $d_H$ también sería una métrica en el conjunto de los subconjuntos cerrados de $X$, incluyendo los no acotados).

Eso significa que $A,B \in \mathcal{M}(X)$ cumplen:

1) $d_H(A,B)=0$ si y solo si los conjuntos son iguales. En este caso tendremos que para todo $\varepsilon>0$ $A \subset U_\varepsilon(B)$ y $B \subset U_\varepsilon(A)$. Además $U_\varepsilon(B)=U_\varepsilon(A).$

2) La propiedad de simetría en espacios métricos dice que $d_H(A,B) = d_H(B,A)$

3) Se cumple la desigualdad del triángulo entre conjuntos: $$d_H(A,B) \leq d_H(A,C) + d_H(C,B)$$.
Para fines ilustrativos de esta propiedad recordemos que:
$d_H(A,B) = max\{\underset{a \in A}{sup} \, \text{dist}(a,B),\underset{b \in B}{sup} \, \text{dist}(b,A)\}.$
$d_H(A,C) = max\{\underset{a \in A}{sup} \, \text{dist}(a,C),\underset{c \in C}{sup} \, \text{dist}(c,A)\}.$
$d_H(B,C) = max\{\underset{b \in B}{sup} \, \text{dist}(b,C),\underset{c \in C}{sup} \, \text{dist}(c,B)\}.$
La imagen siguiente representa esas distancias.

A continuación, visualizaremos ejemplos de sucesiones en el espacio métrico de Hausdorff. Entonces los elementos de las sucesiones serán conjuntos cerrados y acotados.
Si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es una sucesión de conjuntos de un espacio métrico y $A_n \to A$ en la métrica de Hausdorff, entonces $d_H(A_n,A) \to 0$ en $\mathbb{R}.$ Eso significa que los conjuntos indicados por la sucesión no solo se van a acercar (en posición, si podemos pensarlo así) al conjunto $A$, sino que se van a ver como éste (pues cuando $d_H =0$ los conjuntos son iguales).

La sucesión presentada muestra estrellas de la misma forma y tamaño pero distinta posición en $\mathbb{R}^2$ cada vez más grandes pero proporcionales entre sí. Para cada $n \in \mathbb{N}$ la estrella $A_n$ tiene su centro en el punto $(\frac{1}{n},0)$. Entonces la sucesión $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ converge a la estrella con centro en $(0,0)$.

La sucesión de huellas de perrito muestra manchas cada vez más pequeñas que convergen a las manchas verdes.

Tenemos una sucesión de conos $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ definida como sigue: para cada $n \in \mathbb{N}$ el cono $A_n$ tiene su centro en $(0,\frac{-3}{n},0)$, altura $\frac{2}{n}$ y radio $1$. Entonces los conos ven disminuída su altura hasta llegar a $0$ mientras que el centro se desplaza al origen. Finalmente convergen al círculo unitario en el plano horizontal.

Formalmente, tenemos los siguientes:

Ejemplos de sucesiones de conjuntos en espacios euclidianos que convergen a un conjunto $A$ en el espacio de Hausdorff.

Para cada $n \in \mathbb{N}$ considera en el espacio euclidiano $\mathbb{R}^2$ el conjunto $A_n =: \overline{B}(0,1+\frac{1}{n})$. Entonces $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ es una sucesión en el espacio de Hausdorff que converge al conjunto $A=:\overline{B}(0,1)$.

Como sugerencia, puedes demostrar que la medida del apotema vista como $\, cos \alpha \,$ tiende a $1$ en $\mathbb{R}$.

La siguiente sucesión muestra cilindros en $\mathbb{R}^3$.

Ahora presentaremos algunas condiciones que garantizan la convergencia en sucesiones de conjuntos. En la última se menciona la noción de compacidad, concepto del que se hablará en entradas próximas. Por el momento podemos imaginar el resultado en espacios euclidianos, donde los compactos son los conjuntos cerrados y acotados.

Proposición. Sea $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión en $\mathcal{M}(X)$ tal que $A_n \to A$ en $\mathcal{M}(X)$. Entonces:

a) $A$ es el conjunto de límites de todas las sucesiones convergentes $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $X$ tales que para toda $n \in \mathbb{N}, \, a_n \in A_n$.

b) El conjunto al que converge la sucesión está dado por: $A = \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} (\overline{\underset{m \geq n}{\cup} A_m})$.

Esto significa que en cada iteración, vamos a considerar la cerradura de la unión de todos los conjuntos, exceptuando los de las primeras posiciones (según la iteración en la que vayamos). Esto define nuevos conjuntos, cuya intersección es el conjunto al que la sucesión converge.

La intersección de todos los conjuntos de este estilo es el conjunto al que la sucesión converge:

Proposición. Sea $(X,d)$ un espacio métrico compacto y $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de subespacios compactos en él, entonces:
a) Si $A_{n+1} \subset A_n$, entonces $A_n \to \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap}A_n$ en $\mathcal{M}(X)$.

b) Si para todo $n \in \mathbb{N}, \, A_n \subset A_{n+1}$, entonces $A_n \to \overline{\underset{n \in \mathbb{N}}{\cup}A_n}$ en $\mathcal{M}(X)$.

Más adelante…

Ya que hemos estudiado algunas propiedades en un espacio métrico, comenzaremos a relacionar un espacio con otros a través de funciones. Veremos bajo qué circunstancias es posible hablar de “cercanía” en puntos del contradominio cuando se parte de puntos cercanos en el espacio métrico del dominio.

Tarea moral

1. Describe las características de las sucesión definida como:
   $A_1=[0,1]$
   $A_2=[0,1] \setminus (\frac{1}{3},\frac{2}{3})=[0,\frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3},1],$
   $A_3=[0,\frac{1}{3}] \setminus (\frac{1}{9},\frac{2}{9}) \cup [\frac{2}{3},1]\setminus (\frac{7}{9},\frac{8}{9})=[0,\frac{1}{9}] \cup [\frac{2}{9},\frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3},\frac{7}{9}] \cup[\frac{8}{9},1]$
   Y así, recursivamente, se va quitando la tercera parte central, de cada intervalo que quedaba. La intersección de estos conjuntos es conocido como el conjunto de Cantor. ¿Bajo qué resultados mencionados en esta entrada podemos concluir la convergencia de la sucesión?
2. El copo de nieve de Koch es la curva a la que converge una sucesión definida como sigue:
   $A_1$ es un triángulo equilátero.
   $A_2$ sustituye la tercera parte central de cada lado por dos aristas de la misma medida.
   $A_3$ Hace lo mismo. Se repite el proceso recursivamente
   ¿Qué puedes decir del área encerrada por las curvas a medida que la sucesión aumenta? ¿Hay condiciones suficientes para concluir la convergencia de estos conjuntos?
3. Demuestra la convergencia en el espacio de Hausdorff de la sucesión de polígonos circunscritos descrita anteriormente.
4. Demuestra la convergencia en el espacio de Hausdorff de la sucesión de cilindros expresada anteriormente.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

Ante el modelado de situaciones, resulta útil identificar qué tan lejos está un objeto de convertirse en otro. Si se identifica una secuencia o patrón entre una situación y la siguiente, posiblemente se pueda comprobar que, tras varios cambios, nos aproximaremos a algún resultado específico. El Análisis Matemático ofrece herramientas que formalizan este estudio. En la sección que a continuación presentamos trabajaremos más con la noción de cercanía a través de distancias que van tendiendo a cero. Esta vez lo haremos con una sucesión que toma elementos del espacio métrico. Se verá bajo qué condiciones estos puntos se acercan cada vez más a cierto punto en el espacio métrico. Comencemos con la siguiente:

Definición. Sucesión. Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Decimos que una función $x: \mathbb{N} \to X$ es una sucesión en $X$.

Podemos pensar entonces que una sucesión elige, para cada número natural $n$, un elemento $x_n$ del conjunto $X$. Vamos a denotar una sucesión como $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}.$

¿Bajo qué condiciones podemos decir que la sucesión se aproxima cada vez más a cierto punto $x$ en $(X,d)$? Para que esto ocurra se espera que, siempre que se fije una distancia $\varepsilon >0$ como referencia, se pueda asegurar que los últimos elementos de la sucesión, tengan una distancia al punto $x$ menor que $\varepsilon$, es decir, que exista un número natural $N \,$ de modo que todos los puntos asignados por la sucesión a partir de la posición $N$, estén “dentro” de la bola de radio $\varepsilon$ con centro en $x$, el punto de convergencia. De manera formal, tenemos la:

Definición. Sucesión convergente. Vamos a decir que una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es convergente en $(X,d)$ si existe $x \in X$ tal que para todo $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N$ ocurre que $d(x_n,x)<\varepsilon$.

Si es así, diremos que $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge a $x$ y se indicará en la notación como:
$$x_n \to x$$
o como:
$$\underset{n \to \infty}{lim} \, x_n =x$$
Nota: $x_n \to x \text{ en } X \iff d(x_n,x) \to 0 \text{ en } \mathbb{R}$.
Si la sucesión no es convergente decimos que es divergente.

Ahora veamos que una sucesión no puede converger a dos puntos diferentes:

Proposición. Si $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es una sucesión convergente en $X$ entonces el límite $\underset{n \to \infty}{lim} \, x_n$ es único.
Demostración:
Supongamos que $x_n \to x_a \,$ y $\, x_n \to x_b \,$ en $X$. Sea $\varepsilon>0$. Siguiendo la definición de convergencia se tiene que para todo $\frac{\varepsilon}{2} >0$ existen números naturales $N_a\, $ y $\, N_b\, $ tales que para todo $n\geq N_a, \, d(x_n,x_a)< \frac{\varepsilon}{2}$ y para todo $n\geq N_b, \, d(x_n,x_b)< \frac{\varepsilon}{2}$. Si elegimos $N = max\{N_a,N_b\}$ las dos condiciones anteriores se satisfacen. Entonces, para toda $n\geq N$,
$0 \leq d(x_a,x_b) \leq d(x_a,x_n)+d(x_n,x_b) \leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}= \varepsilon$
Nota entonces que $\forall \, \varepsilon >0,$ la distancia entre $x_a$ y $x_b$ queda acotada por $0 \leq d(x_a,x_b) \leq \varepsilon.$
En conclusión, $d(x_a,x_b)=0$, por lo tanto los puntos de convergencia son iguales.

Es importante mencionar que la convergencia de una sucesión depende tanto de la métrica como del conjunto a considerar. Una sucesión puede ser convergente en un espacio métrico pero no serlo en otro. Por ejemplo, la sucesión que a cada natural $n$ le asigna el número $\frac{1}{n}$ cumple que $(\frac{1}{n}) \to 0$ en $\mathbb{R}$ con la métrica euclideana, pero en el subespacio euclideano $(0,1]$ no es convergente, pues $0$ no está en el subespacio.

Definición. Subsucesión de $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}.$. Una subsucesión $(x_{k(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ es una composición de la sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ con una función estrictamente creciente, $k:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$.
Esto significa que una subsucesión tomará elementos en $X$ de la sucesión, en el mismo orden en que aparecen, aunque es posible que vaya descartando algunos.

Hay una relación entre el límite de una sucesión y los de sus subsucesiones:

Proposición. Una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge a $x$ en $X$ si y solo si toda subsucesión $(x_{k(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ converge a $x$ en $X$.

Demostración:
Sea $(x_{k(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ una subsucesión de $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Como $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge entonces existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N, \, d(x_n,x) < \varepsilon$. Ya que $k: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ es estrictamente creciente, tenemos que para todo $j \geq N, \, k(j) \geq k(N) \geq N$. Así, $d(x_k(j),x)< \varepsilon$, lo cual demuestra que $(x_{k(n)}) \to x$. El regreso es trivial, pues es posible definir una subsucesión como la sucesión misma.

Definición. Sucesión acotada. Diremos que una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $X$ es acotada si existe $M \in \mathbb{R}$ y $x \in X$ tales que $\forall \, n \in \mathbb{N}$ ocurre que $d(x,x_n) \leq M$.
Esto significa que una sucesión es acotada si todos los puntos $x_n,$ con $n \in \mathbb{N}$ están en una bola abierta con centro en algún punto $x$ del espacio métrico.

¿Es posible concluir que una sucesión es convergente si sabemos que es una sucesión acotada? Al final se te propondrá dar un ejemplo de una sucesión acotada que no sea convergente.
En contraparte, tenemos la siguiente:

Proposición. Toda sucesión convergente es acotada.
Demostración:
Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión que converge a $x$ en $X$. Buscamos «encerrar» todos los puntos de la sucesión en una bola abierta. Si suponemos $\varepsilon = 1$, existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N, \, d(x_n,x)<1$. Hasta aquí ya logramos «encerrar» todos los puntos de la sucesión a partir de $x_N$.

Para encerrar los elementos que van antes en la sucesión, considera las distancias entre $x$ y cada uno de esos puntos como $d_i = d(x_i,x), \, i=1,…,N-1$.

Si hacemos $M = máx\{d_i,1\}, \, i=1,…,N-1$, se consigue que para todo $n \in \mathbb{N}, \, d(x_n,x)<M$ con lo cual se demuestra que la sucesión es acotada.

Los últimos resultados que expondremos en esta entrada son muy importantes, en el sentido en que suele acudirse a ellos para otras demostraciones. Te sugerimos tenerlos presentes.

Proposición. Si $x_n \to x$ en $X$ entonces $x$ es un punto de contacto del conjunto $\{x_n \,|n \in \mathbb{N}\}$.
Según la definición, basta con demostrar que toda bola abierta de radio $\varepsilon >0$ con centro en $x$ interseca al conjunto $\{x_n\}$. La demostración se deja como ejercicio.

Proposición. Sea $A \subset X$ y $x \in X$. Entonces $x \in \overline{A}$ si y solo si existe una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $A$ tal que $x_n \to x$ en $X$.

Demostración:
El regreso se concluye a partir de la proposición anterior.
Si $x \in \overline{A}$ entonces todas las bolas abiertas con centro en $x$ intersecan al conjunto $A$. Así, para cada $n \in \mathbb{N}$, podemos elegir un punto $x_n \in B(x, \frac{1}{n}) \cap A$. Como $d(x,x_n)< \frac{1}{n} \to 0$ en $\mathbb{R}$, se concluye que $x_n \to x$ en $X$.

Más adelante…

Tendremos un acercamiento a un espacio métrico cuyos elementos son los subconjuntos cerrados de otro espacio métrico. Al definir la distancia entre estos subconjuntos cerrados veremos que, si una sucesión de ellos converge, entonces lo hace en un subconjunto cerrado. Ya que eso significa que la distancia tiende a cero, y la distancia entre dos elementos es cero cuando son iguales, podemos esperar que los subconjuntos de la sucesión se parecerán cada vez más, al subconjunto al cual convergen.

Tarea moral

1. Prueba que si $(x_n) \to x$ en $X$ entonces $x$ es un punto de contacto del conjunto $\{x_n \,|n \in \mathbb{N}\}$.
2. Demuestra que una sucesión constante converge.
3. ¿Puede una sucesión ser convergente en el espacio discreto? ¿Bajo qué condiciones?
4. Da un ejemplo de una sucesión en $\mathbb{Q}$ que converge en $\mathbb{R}$ pero no en $\mathbb{Q}$.
5. Sea $A \subset X$. Demuestra que $x$ es un punto interior de $A$ si y solo si para toda $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ que converge a $x$ en $X$, existe $N>0$ tal que $\forall \, n \geq N, x_n \in A$.
6. Demuestra que $x \in X$ es un punto frontera de $A \subset X$ si y solo si existen sucesiones $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $A$ y $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $X\setminus A$ que convergen a $x$.
7. Demuestra que si la imagen de una sucesión es finita entonces la sucesión es convergente.
8. Da un ejemplo de una sucesión acotada que no sea convergente.

Enlaces

• Análisis Matemático.
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