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Geometría Moderna I: Trigonometría

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

En esta entrada presentaremos las razones trigonométricas respecto de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, estas pueden ser vistas como funciones si consideramos el ángulo como una variable, veremos como extender estas funciones a ángulos de cualquier magnitud y algunas identidades trigonométricas.

Razones trigonométricas

Definiciones. Consideremos un triángulo rectángulo $\triangle ABC$ donde $AB$ es la hipotenusa y sea $\alpha =  \angle BAC$, decimos que $BC$ es el cateto opuesto a $\alpha$ y $AC$ es el cateto adyacente a $\alpha$.

Definimos las razones trigonométricas respecto del ángulo $\alpha$ como sigue:

El seno del ángulo $\alpha$ como $\dfrac{c.opuesto}{hipotenusa}$ y lo denotamos como $\sin \alpha = \dfrac{BC}{AB}$.
El coseno del ángulo $\alpha$ como $\dfrac{c.adyacente}{hipotenusa}$ y lo denotamos como $\cos \alpha = \dfrac{AC}{AB}$.
La tangente del ángulo $\alpha$ como $\dfrac{c.opuesto}{c.adyacente}$ y lo denotamos como $\tan \alpha = \dfrac{BC}{AC}$.
La cosecante del ángulo $\alpha$ como como $\dfrac{hipotenusa}{c.opuesto}$ y lo denotamos como $\csc \alpha = \dfrac{AB}{BC}$.
La secante del ángulo $\alpha$ como $\dfrac{hipotenusa}{c.adyacente}$  y lo denotamos como $\sec \alpha = \dfrac{AB}{AC}$.
La cotangente del ángulo $\alpha$ como $\dfrac{c.adyacente}{c.opuesto}$ y lo denotamos como $\cot \alpha = \dfrac{AC}{BC}$.

Figura 1

Si consideramos el ángulo complementario a $\alpha$, $\beta = \angle CBA$, entonces de las definiciones se siguen las siguientes relaciones:

$\sin \alpha = \cos \beta$, $\cos \alpha = \sin \beta$, $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, $\tan \alpha \tan \beta = 1$.

$\csc \alpha = \sec \beta$, $\sec \alpha = \csc \beta$, $\cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, $\cot \alpha \cot \beta = 1$.

Círculo trigonométrico

Consideremos $(O, 1)$ un círculo con centro en $O$ de radio $1$, por $O$ trazamos dos rectas perpendiculares $x$ e $y$, tomamos un punto $P \in (O, 1)$ en el cuadrante formado por el rayo derecho $Ox$ y el rayo superior $Oy$ y trazamos las proyecciones $X$, $Y$ de $O$ a las rectas $x$, $y$ respectivamente.

El triángulo $\triangle OPX$ es rectángulo y su hipotenusa $OP = 1$, si consideramos el ángulo $\angle XOP = \gamma$ entonces
$\sin \gamma = PX$ y
$\cos \gamma = OX$.

Figura 2

Tracemos la tangente a $(O, 1)$ por $Q$, la intersección entre $x$ y $(O, 1)$, tomemos $R$ como la intersección entre la tangente y $OP$ entonces $RQ \parallel PX$ y los triángulos $\triangle OPX$ y $\triangle ORQ$ son semejantes por lo tanto
$\tan \gamma = \dfrac{PX}{OX} = \dfrac{RQ}{OQ} = RQ$ y
$\sec \gamma = \dfrac{OP}{OX} = \dfrac{OR}{OQ} = OR$.

Ahora trazamos la tangente a $(O, 1)$ por $S$, la intersección de $y$ con $(O, 1)$, tomamos $T$ como la intersección de la tangente con $OP$ entonces $ST \parallel x$, por lo tanto $\gamma = \angle STO$ y así $\triangle OPX$ y $\triangle TOS$ son semejantes, por lo tanto,
$\csc \gamma = \dfrac{OP}{PX} = \dfrac{OT}{OS} = OT$ y 
$\cot \alpha = \dfrac{OX}{PX} = \dfrac{ST}{OS} = ST$.

Con esta construcción podemos extender las definiciones de función trigonométrica para ángulos agudos a ángulos de cualquier magnitud trasladando el punto $P$ alrededor de la circunferencia $(O, 1)$ y tomando las proyecciones de $P$, $X$ e $Y$ a las rectas $x$ e $y$ respectivamente que tomaremos como positivas si se encuentran en los rayos derecho y superior o negativas si se encuentran en los rayos izquierdos e inferior de las rectas $x$, $y$ respectivamente.

De esta manera todas las razones trigonométricas quedan determinadas por el valor de $\sin \gamma = PX$ y $\cos \gamma = OX$.

Teorema 1, identidad pitagórica. Sea $0 \leq \gamma < 2\pi$ entonces, $\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1$.

Demostración. Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo $\triangle OPX$, (figura 2).

$1 = PX^2 + OX^2 = \sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma$.

$\blacksquare$

Ley extendida de senos

Teorema 2, ley extendida de los senos. Sean $\triangle ABC$ y $(O, R)$ su circuncírculo, etiquetemos $\angle BAC = \alpha$, $\angle CBA = \beta$, $\angle ACB = \gamma$ y $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$ las longitudes de sus lados, entonces
$\dfrac{\sin \alpha}{a} = \dfrac{\sin \beta}{b} = \dfrac{\sin \gamma}{c} = \dfrac{1}{2R}$.

Demostración. Tracemos $D$ el punto diametralmente opuesto a $C$, entonces $\angle BDC = \alpha$, pues subtienden el mismo arco.

$\angle CBD$ es un ángulo recto, pues $CD$ es diámetro, por lo tanto $\sin \alpha = \sin \angle BDC = \dfrac{a}{CD}$.

Por lo tanto, $\dfrac{\sin \alpha}{a} = \dfrac{1}{2R}$.

Figura 3

De manera análoga podemos ver que
$\sin \beta = \dfrac{b}{2R}$ y
$\sin \gamma = \dfrac{c}{2R}$.

Por lo tanto, $\dfrac{\sin \alpha}{a} = \dfrac{\sin \beta}{b} = \dfrac{\sin \gamma}{c} = \dfrac{1}{2R}$.

$\blacksquare$

Corolario. El seno de un ángulo inscrito en una circunferencia de diámetro $1$ es igual a la cuerda que abarca dicho ángulo.

Demostración. Se sigue de sustituir $2R = 1$ en el teorema anterior.

$\blacksquare$

Ley de cosenos

Teorema 3, ley de cosenos. Sean $\triangle ABC$, $\angle BAC = \alpha$, $\angle CBA = \beta$, $\angle ACB = \gamma$ y $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$ las longitudes de sus lados, entonces se da la siguiente igualdad:
$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma$.

Demostración. Trazamos $D$ el pie de la perpendicular a $BC$ desde $A$ y aplicamos el teorema de Pitágoras a $\triangle ABD$ y $\triangle ADC,$ de donde obtenemos

$\begin{equation} c^2 = AD^2 + (a – DC)^2 = AD^2 + a^2 – 2a(DC) + DC^2, \end{equation}$
$b^2 = AD^2 + DC^2$
$\Leftrightarrow$ $\begin{equation} AD^2 = b^2 – DC^2. \end{equation}$

Figura 4

Sustituimos $(2)$ en $(1)$ y obtenemos $c^2 = b^2 + a^2 – 2a(DC)$.

Por otro lado $\cos \gamma = \dfrac{DC}{b}$ $\Leftrightarrow$ $b \cos \gamma = DC$.

Así que $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma$.

De manera similar se puede ver que
$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos \alpha$ y
$b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta$.

$\blacksquare$

El seno de la suma

Teorema 4, el seno de la suma de dos ángulos. Sean $\alpha$ y $\beta$ ángulos agudos entonces $\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha$.

Demostración. Sea $\square ABCD$ cíclico tal que $BD = 1$ es diámetro del circuncírculo, $\angle DBA = \alpha$ y $\angle CBD =\beta$.

Figura 5

Como consecuencia del corolario tenemos que $AC = \sin (\alpha + \beta)$, ademas $\triangle BAD$ y $\triangle DCB$ son triángulos rectángulos pues $DB$ es diámetro.

Se sigue que
$AB = \cos \alpha$,
$CD = \sin \beta$,
$AD = \sin \alpha$ y
$BC = \cos \beta$.

El teorema de Ptolomeo nos dice que
$\begin{equation} AC \times BD = AB \times CD + BC \times AD. \end{equation}$

Por lo tanto, $\sin (\alpha + \beta) = \cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta$.

$\blacksquare$

El coseno de la suma

Teorema 5, el coseno de la suma de dos ángulos. Sean $\alpha \ne 0$ y $\beta$ ángulos agudos tales que $\alpha + \beta < \dfrac{\pi}{2}$ entonces $\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta$.

Demostración. Sea $\square ABCD$ cíclico tal que $BC = 1$ es diámetro del circuncírculo, $\angle CBD = \alpha$ y $\angle DBA = \beta$.

Figura 6

Como $\triangle BAC$ y $\triangle BDC$ son triángulos rectángulos y $BC = 1$ tenemos que
$AC = \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha$ (teorema 4),
$BD = \cos \alpha$,
$AB = \cos (\alpha + \beta)$,
$CD = \sin \alpha$,
$AD = \sin \angle DCA = \sin \beta$ (corolario).

Por el teorema de Ptolomeo $(3)$, aplicado a $\square ABCD$ obtenemos:
$\cos (\alpha + \beta) \sin \alpha + \sin \beta$
$= (\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha) \cos \alpha$
$= \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \cos^2 \alpha$
$ = \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha + (\sin \beta)(1 – \sin^2 \alpha)$ (teorema 1)
$= \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha – \sin \beta \sin^2 \alpha + \sin \beta$.

$\Leftrightarrow$$\cos (\alpha + \beta) \sin \alpha = \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha – \sin \beta \sin^2 \alpha$.

Por lo tanto, $\cos (\alpha + \beta) = \cos \beta \cos \alpha -\sin \beta \sin \alpha$.

$\blacksquare$

Seno y coseno del ángulo medio

Teorema 6, el seno y el coseno del ángulo medio. Sea $\alpha \ne 0$ un ángulo agudo entonces
$\sin \dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 – \cos \alpha}{2}}$ y $\cos \dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + \cos \alpha}{2}}$.

Demostración. Sea $\square ABCD$ cíclico tal que $BC = 1$ es diámetro y $\angle CBD = \angle DBA = \dfrac{\alpha}{2}$.

Figura 7

Ya que $\triangle BAC$ y $\triangle BDC$ son triángulos rectángulos podemos ver que
$AC = \sin \alpha$,
$BD = \cos \dfrac{\alpha}{2}$,
$AB = \cos \alpha$,
$CD = \sin \dfrac{\alpha}{2}$,
$AD = \sin \angle DCA = \sin \dfrac{\alpha}{2}$ (corolario).

Aplicando Ptolomeo $(3)$ y el teorema 4 obtenemos:
$\cos \alpha \sin \dfrac{\alpha}{2} + \sin \dfrac{\alpha}{2} = \sin \alpha \cos \dfrac{\alpha}{2} $
$= \sin (\dfrac{\alpha}{2} +\dfrac{\alpha}{2}) \cos \dfrac{\alpha}{2} = 2 \sin \dfrac{\alpha}{2} \cos^2 \dfrac{\alpha}{2}$.

Por lo tanto, $2 \sin \dfrac{\alpha}{2} \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} = \sin \dfrac{\alpha}{2} (\cos \alpha + 1)$ $\Rightarrow$  
$\begin{equation} \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\cos \alpha + 1}{2}. \end{equation}$

De donde se sigue que $\cos \dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{\cos \alpha + 1}{2}}$.

Ahora sustituimos la identidad pitagórica en la ecuación $(4)$ y obtenemos:
$1 – \sin^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\cos \alpha + 1}{2}$
$\Leftrightarrow$
$\sin \dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 – \cos \alpha}{2}}$.

$\blacksquare$

Más adelante…

En la siguiente entrada estudiaremos algunas propiedades relacionadas con el incírculo y los excÍrculos de un triángulo, así como también sobre sus centros y radios.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. $i)$ A partir de un triangulo equilátero deriva los valores de las seis razones trigonométricas para los ángulos $\dfrac{\pi}{3}$ y $\dfrac{\pi}{6}$,
    $ii)$ A partir de un triángulo rectángulo isósceles deduce los valores de las seis razones trigonométricas para el ángulo $\dfrac{\pi}{4}$.
  2. Recordemos que consideramos la magnitud de un ángulo central como positiva, si recorremos el arco de circunferencia que subtiende dicho ángulo en el sentido contrario al de las manecillas del reloj y negativa en caso contraio, muestra que para cualquier valor de $\alpha$ se cumple que:
    $i)$ $\sin (-\alpha) = -\sin \alpha$,
    $ii)$ $\cos (-\alpha) = \cos \alpha$,
    $iii)$ $\sin (\pi – \alpha) = \sin \alpha$,
    $iv)$ $\cos (\pi – \alpha) = -\cos \alpha$,
    $v)$ $\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha$.
  3. Sean $\alpha$ y $\beta$ ángulos agudos tales que $\alpha \geq \beta$, muestra geométricamente:
    $i)$ el seno de la diferencia de dos ángulos, $\sin (\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \sin \beta \cos \alpha$,
    $ii)$ el coseno de la diferencia de dos ángulos, $\cos (\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.
  4.  Sean $\alpha$ y $\beta$ ángulos agudos prueba que:
    $i)$ $\sin \alpha \cos \beta = \dfrac{\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta)}{2}$,
    $ii)$ $\cos \alpha \sin \beta = \dfrac{\sin (\alpha + \beta) – \sin (\alpha – \beta)}{2}$.
  5. Sea $\triangle ABC$, por $A$ traza cualquier recta que corte a $BC$ en $L$, muestra que $\dfrac{BL}{LC} = \dfrac{AB \sin \angle BAL}{AC \sin \angle LAC}$.
Figura 8
  1. Demuestra que si $\dfrac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \dfrac{\sin \delta}{\sin \gamma}$ y $\alpha + \beta = \delta + \gamma < \pi$ entonces $\alpha = \delta$ y $\beta = \gamma$.
  2. Sea $\triangle ABC$ con $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$, $\alpha = \angle BAC$, $\beta = \angle CBA$, $\gamma = \angle ACB$, demuestra las siguientes formulas para calcular el área de $\triangle ABC$:
    $i)$ $(\triangle ABC) = \dfrac{ac \sin \beta}{2} = \dfrac{ab \sin \gamma}{2} = \dfrac{bc \sin \alpha}{2}$,
    $ii)$ $(\triangle ABC) = \dfrac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin (\beta + \gamma)} = \dfrac{b^2 \sin \alpha \sin \gamma}{2 \sin (\alpha + \gamma)} = \dfrac{c^2 \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin (\alpha + \beta)}$.

Entradas relacionadas

Fuentes

  • Santos, J., Tesis Geometría del Cuadrilátero. 2010, pp 69-78.
  • Cárdenas, S., Notas de Geometría. México: Ed. Prensas de Ciencias, 2013, pp 55-62.
  • Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 89-95.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Probabilidad I-Videos: Distribución Bernoulli

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

En esta ocasión estudiaremos una distribución de probabilidad discreta que resulta ser un bloque de construcción básico para otras distribuciones del mismo tipo. Se trata de la distribución Bernoulli, la cual obtiene su nombre por el matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705), quien fue el primero en formalizar este modelo.

Distribución Bernoulli

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X\sim Bernoulli\left ( p\right ) $. Encuentra la distribución de probabilidad de la variable $1-X$.
  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X\sim Bernoulli\left ( \theta\right ) $. Encuentra la distribución de probabilidad de la variable $$\begin{array}{ll} a) & X^{n} \\ b) & \left ( 1-X\right ) ^{n} \end{array}$$
  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X\sim Bernoulli\left ( p\right ) $  y sean $a$ y $b$ constantes con $a\neq 0$. Sea $Y$ la variable aleatoria definida como $Y=aX+ b$. Encuentra la distribución de probabilidad de $Y$.
  • Considera el experimento en el que se prueba un medicamento en personas que contraen cierta enfermedad para ver si funciona y se recuperan. La probabilidad de que un paciente se recupere es .7. Si se sabe tres personas han contraído dicha enfermedad, ¿Cuál sería la función de masa de probabilidad asociada a este experimento?
  • Tomando en cuenta el ejercicio anterior, ¿Cuál sería la función de masa de probabilidad si son $n$ las personas que se han enfermado?, explica tu respuesta.

Más adelante…

Los ensayos Bernoulli conforman un modelo teórico que solo con experiencia se puede determinar si es apropiado para describir observaciones específicas. Asegurar que un experimento, se ajusta a un ensayo Bernoulli se deriva casi siempre de evidencia experimental y en muchas ocasiones puede servir como un indicador de problemas que en cierto proceso pudieran presentarse.

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L

Probabilidad I-Videos: Variables aleatorias discretas

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

Una vez que se realiza un experimento y se conoce un resultado particular de nuestro espacio muestral, una variable aleatoria toma algún valor numérico. En general, es más probable que este valor numérico se encuentre en ciertos subconjuntos de los números reales. La naturaleza de estos subconjuntos es de lo que depende el cálculo de las probabilidades asociadas a cada variable aleatoria.

En este video estudiaremos aquellas variables aleatorias que toman sus posibles valores de un subconjunto a lo más numerable de números reales.

Variables aleatorias discretas

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

  • Demuestra que si $X$ y $Y$ son variables aleatorias tal que $Y=g\left ( x\right )$, entonces $Y$ tiene función de masa de probabilidad igual a $\displaystyle \sum_{x:g\left ( x\right ) =y} {f_X(x)}$.
  • Para que valores de la constante $k$ ,las siguientes definen funciones de masa de probabilidad sobre el conjunto de los números naturales? $$\begin{array}{ll} i) & f\left ( x\right ) =k2^{-x} \\ ii) & f\left ( x\right ) =\frac{k2^x} {x!} \end{array}$$
  • Si $X$ y $Y$ son variables aleatorias con función de masa de probabilidad igual a la dada en el ejercicio anterior, inciso $i$ y $ii$ respectivamente, encuentra: $$\begin{array}{ll} I) & P\left ( X>1\right ) \\ & P\left ( Y>1\right ) \\ II) & La\ probabilidad\ de\ que\ X\ sea\ par. \\ & La\ probabilidad\ de\ que\ Y\ sea\ par. \end{array}$$
  • Si la función de distribución de $X$ está dada por $$F\left ( x\right ) = \left \{ \begin{array}{ll} 0 & para\ x<0 \\ \frac{1} {16} & para\ 0\le x<1 \\ \frac{5} {16} & para\ 1\le x<2 \\ \frac{11} {16} & para\ 2\le x<1 \\ \frac{15} {16} & para\ 3\le x<4 \\ 1 & para\ x\geq 4 \end{array} \right.$$ encuentra la distribución de probabilidad de $X$.
  • Si la función de distribución de $X$ está dada por $$F\left ( x\right ) = \left \{ \begin{array}{ll} 0 & para\ x<1 \\ \frac{1} {3} & para\ 1\le x<4 \\ \frac{1} {2} & para\ 4\le x<6 \\ \frac{5} {6} & para\ 6\le x<10 \ 1 & para\ x\geq 1 \end{array} \right.$$ encuentra: $$\begin{array}{ll} i) & P\left ( 2<X\le 6\right ) \\ ii) & P\left ( X=4\right ) \end{array}$$

Más adelante…

Es importante ahora estudiar algunos casos particulares de distribuciones de probabilidad, para variables aleatorias discretas que surgen de tipos comunes de experimentos, pues el conocimiento de estas, elimina la necesidad de resolver los mismos problemas de probabilidad una y otra vez.

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Cálculo Diferencial e Integral I: El número de Euler

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

Supongamos que tenemos un peso el cual hemos decidido invertir y, para hacerlo, tenemos tres opciones. La primera es invertir en el Banco A que está dispuesto a regresarnos un 100% de interés después de un año. En este caso, al finalizar el año tendríamos el doble de dinero que con el que iniciamos, es decir, tendríamos $ \$2.00.$

Nuestra segunda opción es el Banco B, que nos propone invertir nuestro dinero con ellos y promete generar el 50% del capital dos veces al año. Asumiendo que reinvertimos el dinero obtenido de tal forma que el capital inicial del segundo semestre es igual al capital final del primero, tendríamos lo siguiente

SemestreInterésCapital inicialCálculoCapital final
150% / $\frac{1}{2}$$1.00$1 \cdot (1+\frac{1}{2})$$1.50
250% / $\frac{1}{2}$$1.50$1.5\cdot (1+\frac{1}{2})$$2.25

Notemos que el cálculo podemos hacerlo de forma directa mediante la siguiente expresión

$$\left(1 \cdot \left(1+\frac{1}{2} \right) \right) \cdot \left(1+\frac{1}{2} \right) = 1 \cdot \left(1+\frac{1}{2} \right)^2.$$

Por otro lado, la tercera opción, el Banco C, promete entregarnos 25% de interés cada trimestre. Si después de cada trimestre se invierte todo el capital inicial más los intereses generados, tenemos el siguiente escenario.

TrimestreInterésCapital inicialCálculoCapital final
125% / $\frac{1}{4}$$1.00$1 \cdot (1+\frac{1}{4})$$1.25
225% / $\frac{1}{4}$$1.25$1.25 \cdot (1+\frac{1}{4})$$1.5625
325% / $\frac{1}{4}$$1.5625$1.5625 \cdot (1+\frac{1}{4})$$1.953125
425% / $\frac{1}{4}$$1.953125$1.953125 \cdot (1+\frac{1}{4})$$2.441406

De igual forma, podemos compactar los cálculos anteriores:

$$1 \cdot \left(1+\frac{1}{4} \right) \cdot \left(1+\frac{1}{4} \right) \cdot \left(1+\frac{1}{4} \right) \cdot \left(1+\frac{1}{4} \right) = 1 \cdot \left(1+\frac{1}{4} \right)^4.$$

Después de analizar todas las opciones, vemos que el Banco C nos permite generar más dinero al final del año siendo la mejor de nuestras tres opciones. Una interrogante natural después de haber evaluado los ejercicios anteriores es saber qué sucede si tenemos una tasa de interés de $\frac{1}{365}$ de forma diaria, lo cual generaría

$$1 \cdot \left(1 + \frac{1}{365} \right)^{365} = 2.714567.$$

Este escenario nos permite ganar una mayor cantidad de dinero al final del periodo. ¿Qué pasaría si tuviésemos una tasa de interés que se paga cada hora o cada minuto o cada segundo? Con una periodicidad lo suficientemente alta, ¿podríamos hacernos infinitamente ricos? Esta última pregunta la responderemos analizando el siguiente límite:

$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n.$$

El número de Euler

Después de la motivación dada en la introducción, definiremos la sucesión $\{e_n\}$ tal que $e_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right).$

Por los ejemplos revisados donde se calcula el interés en diferentes periodicidades, podemos inferir que la sucesión $\{e_n\}$ es creciente y a continuación lo probaremos.

Proposición. La sucesión $\{e_n\}$ es creciente.

Demostración.

Usando la fórmula del binomio de Newton se tiene lo siguiente

\begin{align*}
e_n & = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \\ \\
& = \sum_{ k = 0}^{n} { n \choose k } \frac{1}{n^k} \\ \\
& = \sum_{ k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \frac{n (n-1) \ldots (n-k+1)}{n^k} \\ \\
& = \sum_{ k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \ldots \frac{n-k+1}{n} \\ \\
& = \sum_{ k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot 1 \cdot \left( 1 – \frac{1}{n} \right) \ldots \left( 1 – \frac{k-1}{n} \right) \tag{1} \\ \\
& = 1 + 1 + \frac{1}{2!} \left(1 – \frac{1}{n} \right) + \frac{1}{3!} \left(1 – \frac{1}{n} \right) \left(1 – \frac{2}{n} \right) + \ldots + \frac{1}{n!} \left( 1 – \frac{1}{n} \right) \left( 1 – \frac{2}{n} \right) \ldots \left( 1 – \frac{n-1}{n} \right).
\end{align*}

$$\therefore e_n = 1 + 1 + \frac{1}{2!} \left(1 – \frac{1}{n} \right) + \frac{1}{3!} \left(1 – \frac{1}{n} \right) \left(1 – \frac{2}{n} \right) + \ldots + \frac{1}{n!} \left( 1 – \frac{1}{n} \right) \cdot \left( 1 – \frac{2}{n} \right) \ldots \left( 1 – \frac{n-1}{n} \right).$$

Análogamente, se tiene que

\begin{align*}
e_{n + 1} = & 1 + 1 + \frac{1}{2!} \left(1 – \frac{1}{n+1} \right) + \frac{1}{3!} \left(1 – \frac{1}{n+1} \right) \left(1 – \frac{2}{n+1} \right) + \ldots \\ \\
& + \frac{1}{n!} \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right) \cdot \left( 1 – \frac{2}{n +1} \right) \ldots \left( 1 – \frac{n-1}{n+1} \right) \\ \\
& + \frac{1}{(n+1)!} \left( 1- \frac{1}{n+1} \right) \left( 1 – \frac{2}{n+1} \right) \ldots \left( 1 – \frac{n}{n+1} \right).
\end{align*}

Notemos que

$$\left( 1 – \frac{1}{n} \right) < \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right), \ldots, \left( 1- \frac{k-1}{n} \right) < \left( 1- \frac{k-1}{n+1} \right).$$

Es decir, cada término de $e_n$ es más chico que su correspondiente de $e_{n+1}$ a partir del tercero. Además, $e_{n+1}$ tiene un término positivo extra, se sigue entonces que $e_n < e_{n+1}.$

Por tanto, $\{e_n\}$ es creciente.

$\square$

Antes de continuar, probaremos una proposición respecto a la serie geométrica.

Proposición. Sea $r \in \mathbb{R}$ tal que $|r|<1$, entonces

$$\sum_{k=0}^{n} r^k = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}.$$

Demostración.

Sea $S_n = 1 + r + r^2 + r^3 + \ldots + r^n$. Entonces se tiene que

$$r \cdot S_n = r + r^2+r^3+r^4+\ldots+r^{n+1}.$$

Restando $S_n-rS_n$ se tiene

\begin{align*}
S_n-rS_n & = 1 + r + r^2 + r^3 + \ldots + r^n-(r + r^2+r^3+r^4+\ldots+r^{n+1}) \\
& = 1-r^{n+1}.
\end{align*}

\begin{gather*}
\Rightarrow & S_n-rS_n = 1-r^{n+1}. \\
\Rightarrow & S_n (1-r) = 1-r^{n+1}.
\end{gather*}

$$\therefore S_n = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}.$$

$\square$

Al inicio se planteó la siguiente pregunta: con una periodicidad lo suficientemente alta, ¿podríamos hacernos infinitamente ricos? La respuesta es no y lo probamos en la siguiente proposición.

Proposición. La sucesión $\{e_n\}$ está acotada entre 2 y 3.

Demostración.

Dado que $\{ e_n\}$ es creciente, se tiene que $e_1 \leq e_n$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Así, $e_1 = \left( 1 + \frac{1}{1} \right)^{1} = 2$. Por tanto, $2 \leq e_n$ para todo $n \in \mathbb{N}.$

Ahora probaremos que $3$ es una cota superior de la sucesión.

Notemos que $k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots k \geq 1 \cdot 2 \cdot 2 \ldots 2 = 2^{k-1}$ y de $(1)$ tenemos que

\begin{align*}
e_n & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot 1 \cdot \left( 1 – \frac{1}{n} \right) \ldots \left( 1 – \frac{k-1}{n} \right) \\ \\
& < \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \\ \\
& = 1 + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k!} \\ \\ 
& \leq 1 + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2^{k-1}} \\ \\
& = 1 + \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{1}{2^{k}}.
\end{align*}

Además, por la proposición anterior se tiene que

$$ \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{1}{2^k} = \frac{1 – \frac{1}{2^n}}{1- \frac{1}{2}} <2.$$

Por tanto, se sigue que $$1 + \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{1}{2^{k}} < 3.$$

Se concluye que $2 < e_n < 3$.

$\square$

Hemos probado que $\{e_n\}$ es una sucesión creciente y acotada. Por tanto, se sigue que es convergente, y converge al supremo. Definimos el número de Euler de la siguiente forma:

$$e := \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n.$$

A continuación, mostramos la gráfica de esta sucesión.

Este número ha logrado posicionarse como uno de los más conocidos dentro del mundo de las matemáticas, siendo $e$ la base del logaritmo natural y dentro de este mismo curso se ha usado antes al momento de estudiar la función exponencial.

Más adelante…

En esta unidad hemos revisado a detalle el límite de una sucesión y en la unidad anterior estudiamos el concepto y propiedades de las funciones, es tiempo de continuar con un concepto más avanzado que requiere del entendimiento de ambos temas: el límite de una función.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Encuentra los siguientes límites:

  • $$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}.$$
  • $$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n.$$
  • $$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}.$$
  • $$\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n.$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Sucesiones de Cauchy

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

2 respuestas

Introducción

En las entradas anteriores vimos las propiedades de una sucesión convergente para lo cual era necesario conocer su límite. En esta ocasión estudiaremos a las sucesiones de Cauchy, éstas cumplen una propiedad particular: dado un valor positivo arbitrario, existe un momento a partir del cual la distancia entre dos términos cualesquiera de la sucesión es menor al valor arbitrario establecido. Además, probaremos la relación entre este tipo de sucesiones y las sucesiones convergentes.

Sucesiones de Cauchy

La definición formal de sucesión de Cauchy se da a continuación.

Definición. Se dice que una sucesión $\{a_n\}$ de números reales es una sucesión de Cauchy si para todo $\varepsilon > 0$ existe un número natural $k$ tal que para todos los números naturales $n$, $m \geq k$ se satisface que $|a_n – a_m| < \varepsilon.$

En esta entrada demostraremos la equivalencia entre que una sucesión sea de Cauchy y que sea convergente. La gran ventaja que presenta el concepto de sucesión de Cauchy es que podremos probar que una sucesión converge sin necesidad de conocer su límite, puesto que la definición no hace uso de él. Pero antes de probarlo, veremos un par de ejemplos para familiarizarnos con la definición.

Ejemplo 1. La sucesión $\{\frac{1}{n}\}$ es una sucesión de Cauchy.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$.

Tomemos $k > \frac{2}{\varepsilon}$. Si $n$, $m > k$, entonces $\frac{1}{n} < \frac{1}{k} < \frac{\varepsilon}{2}$. Análogamente se tiene que $\frac{1}{m} < \frac{\varepsilon}{2}.$

Por lo anterior, si $n$, $m > k$, entonces

\begin{align*}
\left\lvert \frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right\rvert & \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \\
& < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} \\
& = \varepsilon.
\end{align*}

$$\therefore \left\lvert \frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right\rvert < \varepsilon.$$

Se concluye que $\{\frac{1}{n}\}$ es una sucesión de Cauchy.

$\square$

Ejemplo 2. Prueba que la sucesión $\{ \frac{n}{n+1} \}$ es de Cauchy.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0.$ Consideremos $k \in \mathbb{N}$ tal que $k > \frac{2}{\varepsilon}$, y por tanto $ \frac{1}{k} < \frac{\varepsilon}{2}$. Además, si $n$, $m > k$, entonces se sigue que

\begin{align*}
\left| \frac{n}{n+1} – \frac{m}{m+1} \right| & = \left| \frac{nm+n-nm-m}{(n+1)(m+1)} \right| \\ \\
& = \left| \frac{n-m}{(n+1)(m+1)} \right| \\ \\
& \leq \left| \frac{n-m}{nm} \right| , \text{ pues } (n+1)(m+1) > nm \\ \\
& = \left| \frac{n}{nm} – \frac{m}{nm} \right| \\ \\
& = \left| \frac{1}{m} – \frac{1}{n} \right| \\ \\
& \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \\ \\
& < \frac{1}{k} + \frac{1}{k}, \text{ pues } n,m > k \\ \\
& < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}, \text{ pues } \frac{1}{k} < \frac{\varepsilon}{2} \\ \\
& = \varepsilon.
\end{align*}

Por tanto, $\{ \frac{n}{n+1} \}$ es de Cauchy.

$\square$

Ejemplo 3. Demuestra que la sucesión $\{ (-1)^n \}$ no es de Cauchy.

Demostración.

Debemos probar que existe $\varepsilon > 0$ tal que para todo $k \in \mathbb{N}$, existe al menos un $n > k$ y al menos un $m > k$, tales que $|a_n-a_m| \geq \varepsilon$.

Notemos que la sucesión toma el valor $1$ cuando $n$ es par y $-1$ cuando $n$ es impar. Así, consideremos $\varepsilon = 2$ y sea $k \in \mathbb{N}$. Tomemos cualquier número par $n$ tal que $n > k$ y sea $m = n+1$, $m$ impar. Entonces se tiene que

$$|a_n-a_m| = |1-(-1)| = 2 = \varepsilon.$$

Por tanto, se puede concluir que $\{(-1)^n\}$ no es de Cauchy.

$\square$

Proposición. Si $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ son sucesiones de Cauchy, entonces la sucesión $\{a_n+b_n\}$ también es de Cauchy.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$. Como $\{a_n\}$ es de Cauchy, para $\frac{\varepsilon}{2} > 0$ existe $k_1$ tal que si $n$, $m > k_1$, se tiene que $$|a_n-a_m| < \frac{\varepsilon}{2}.$$

Como $\{b_n\}$ es de Cauchy, para $\frac{\varepsilon}{2} > 0$ existe $k_2$ tal que si $n$, $m > k_2$, se tiene que $$|b_n-b_m| < \frac{\varepsilon}{2}.$$

Consideremos $k = max\{k_1, k_2 \}$, si $n$, $m > k$, entonces

\begin{align*}
|(a_n+b_n)-(a_m+b_m)| & = |(a_n-a_m)+(b_n-b_m)| \\
& \leq |a_n-a_m| + |b_n-b_m| \\
& < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
\end{align*}

$$\therefore |(a_n+b_n)-(a_m+b_m)| < \varepsilon.$$

Por lo tanto, la sucesión $\{a_n+b_n\}$ también es de Cauchy.

$\square$

Una de las propiedades naturales de las sucesiones de Cauchy es que son sucesiones acotadas; esto derivado directamente de la definición donde debe existir un punto $k$ a partir de donde cualesquiera dos términos deben distar menos de $\varepsilon$. A continuación demostraremos tal propiedad.

Proposición. Toda sucesión de Cauchy está acotada.

Demostración.

Sea $\{a_n\}$ una sucesión de Cauchy. Entonces para $\varepsilon = 1$, existe $k \in \mathbb{N}$ tal que para $n \geq k$, se tiene que $|a_n – a_k| < \varepsilon = 1$. De la desigualdad del triángulo se tiene que

\begin{gather*}
& |a_n|-|a_k| \leq |a_n-a_k| < 1. \\
\Rightarrow & |a_n| \leq 1 + |a_k|.
\end{gather*}

Notemos que $1+|a_k|$ es una cota para los términos subsecuentes de $a_k$. Para extender la cota a los primeros $k-1$ términos, consideremos $M = max\{ |a_1|, |a_2|, \ldots, |a_{k-1}|, 1+|a_k|\}$. De esta forma, para todo $n \in \mathbb{N}$ se tiene que $|a_n| < M$. Por tanto, la sucesión está acotada.

$\square$

Es importante resaltar que no es equivalente que una sucesión sea de Cauchy a que cumpla que la distancia entre dos términos consecutivos sea cada vez menor, y lo veremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4. Sea $\{a_n\}$ tal que $a_n = \sqrt{n}$. Prueba que la sucesión $\{a_n\}$ satisface que

$$\lim_{n \to \infty} |a_{n+1}-a_n| = 0.$$

Pero que no es una sucesión de Cauchy.

Demostración.

Notemos que

\begin{align*}
|a_{n+1}-a_n| & = \left\lvert \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right\rvert \\ \\
& = \left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right) \cdot \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ \\
& = \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ \\ & = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.
\end{align*}

Por lo anterior, se sigue que
$$\lim_{n \to \infty} |a_{n+1}-a_n| = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0.$$

Por otro lado, se tiene que la sucesión $\{a_n\}$ no está acotada, por lo cual no puede ser una sucesión de Cauchy.

$\square$

Relación entre sucesiones convergentes y de Cauchy

Como se menciona anteriormente, dentro del conjunto de los números reales, que una sucesión sea de Cauchy es equivalente a que sea convergente y a este hecho se le suele llamar Completitud de $\mathbb{R}$. Este tema se estudiará en cursos más avanzados, pero de forma intuitiva, que $\mathbb{R}$ sea completo quiere decir que «no deja huecos en la recta numérica». Es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real.

Teorema. Si $\{a_n\}$ es una sucesión convergente de números reales, entonces es de Cauchy.

Demostración

Sea $\varepsilon > 0$. Dado que $\{a_n\}$ es convergente, digamos a $L$, entonces para $\frac{\varepsilon}{2}$ existe un número $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_0$ se satisface que $|a_n – L | < \frac{\varepsilon}{2}.$

Consideremos $k = n_0$. Si $n$, $m \geq k$, entonces

\begin{align*}
|a_n-a_m| & = |a_n-L+L-a_m| \\
& \leq|a_n-L| + |L-a_m| \\
& = |a_n-L| + |a_m – L| \\
& < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} \\
& = \varepsilon.
\end{align*}

$$\therefore |a_n-a_m| < \varepsilon.$$

Por lo tanto, $\{a_n\}$ es de Cauchy.

$\square$

Teorema. Toda sucesión de Cauchy es convergente.

Demostración.

Sea $\{a_n\}$ una sucesión de Cauchy. Por la proposición revisada anteriormente, $\{a_n\}$ está acotada. Además, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesión $\{a_{n_r}\}$ convergente y llamemos $L$ al límite de tal subsucesión. Probaremos que $\{a_n\}$ también converge a $L$.

Sea $\varepsilon > 0$. Como la sucesión $\{a_n\}$ es de Cauchy, entonces existe $k \in \mathbb{N}$ tal que
$$|a_n-a_m| < \varepsilon \quad \forall n,m \geq k. \tag{1}$$

Por otro lado, como $\{a_{n_r} \}$ converge a $L$, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que

$$|a_{n_l} – L| < \varepsilon \quad \forall n_l \geq n_0. \tag{2}$$

Consideremos $M = max\{k, n_0\}$. Si $s \geq M \geq n_0$, entonces se cumple $(2)$ y además sabemos que $n_s \geq s \geq M \geq k$, pues $n_l$ es una sucesión creciente de números naturales. Por tanto, también se cumple $(1)$. De esto se sigue que

\begin{align*}
|a_s-L|& = |a_s-a_{n_s}+a_{n_s}-L| \\
& \leq |a_s-a_{n_s}|+|a_{n_s}-L| \\
& \leq \frac{\varepsilon}{2} +\frac{\varepsilon}{2} \\
& = \varepsilon.
\end{align*}

$$\therefore |a_s-L| < \varepsilon \quad \forall s \geq M.$$

Se concluye que $\{a_n\}$ es convergente.

$\square$

Más adelante…

Uno de los números más famosos en matemáticas y que probablemente has escuchado hablar de él es el número de Euler: $e$. En la siguiente entrada estudiaremos este número a través de sucesiones y probaremos algunas de sus propiedades.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Da un ejemplo de una sucesión de Cauchy.
  • Da un ejemplo de una sucesión acotada que no sea una sucesión de Cauchy.
  • Prueba mediante la definición que la sucesión $\{ \frac{n+1}{n} \}$ es de Cauchy.
  • Demuestra mediante la definición que la sucesión $\{ (-1)^n \}$ no es de Cauchy.
  • Demuestra mediante la definición que si $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ son sucesiones de Cauchy, entonces la sucesión $\{a_n \cdot b_n\}$ también es de Cauchy.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»