Introducción

Continuaremos revisando resultados derivados de las Propiedades básicas de los números reales vistas en la entrada anterior.

Resultados relacionados a la multiplicación

Proposición. Demostraremos lo siguiente:

1. Sean $a,b \in\RR$. Si $ab=0 \Rightarrow a=0 $ ó $b=0$.
2. Sea $a\in \RR, a\neq 0$. Si $ax=a$, entonces $x=1$.
3. Sean $a,b,c \in \RR$ con $a \neq 0$. Si $ab = ac \Rightarrow b=c$.

Demostración:

1. Procederemos a demostrar por contradicción. Así suponemos que $ab=0$, $a\neq 0$ y $b\neq 0$. Entonces por la propiedad M5 existen $a^{-1},b^{-1}\in\RR$ tales que $a\cdot a^{-1}=1$ y $b\cdot b^{-1}=1$.
   Y como $ab=0$ se sigue:
   \begin{align*}
   &\Rightarrow (ab)\cdot b^{-1}=0\cdot b^{-1}\tag{por multiplicar $b^{-1}$}\\
   &\Rightarrow a (b\cdot b^{-1}) = 0\cdot b^{-1}\tag{por M3}\\
   &\Rightarrow a (1) = 0\cdot b^{-1}\tag{por M5}\\
   &\Rightarrow a = 0\cdot b^{-1}\tag{por M4}\\
   &\Rightarrow a = b^{-1}\cdot 0 \tag{por M2}\\
   &\Rightarrow a = 0 \contradiccion \tag{por resultado $a\cdot 0=0$}\\
   \end{align*}
   Lo anterior es una contradicción, pues supusimos que $a\neq 0$.
   $\therefore \quad a=0 \quad \text{o}\quad b=0$.
   
   Observación: Utilizaremos el símbolo $\contradiccion$ para referirnos a una contradicción en las pruebas.
   
   Otra alternativa de demostración para este punto 1 es la siguiente:
   Vamos a suponer que $ab=0$ y $a\neq 0$. Por M5 sabemos que existe $a^{-1}\in\RR$ inverso multiplicativo de $a$, así tenemos que:
   \begin{align*}
   &\Rightarrow a^{-1}\cdot (ab)=a^{-1}\cdot 0 \tag{por multiplicar $a^{-1}$}\\
   &\Rightarrow (a^{-1}\cdot a)b=a^{-1}\cdot 0 \tag{por M3}\\
   &\Rightarrow 1\cdot b=a^{-1}\cdot 0 \tag{por M5}\\
   &\Rightarrow b=a^{-1}\cdot 0 \tag{por M4}\\
   &\Rightarrow b = 0 \tag{por resultado $a\cdot 0=0$}\\
   \end{align*}
   Análogamente, si consideramos $b\neq 0$ obtendríamos que $a=0$.
   $\therefore a=0 $ ó $b=0$
2. Como por hipótesis tenemos que $ax=a$.
   \begin{align*}
   &\Rightarrow ax + (-a)=a + (-a)\tag{por sumar $-a$}\\
   &\Rightarrow ax + (-a) = 0\tag{por S5}\\
   &\Rightarrow ax + (-1)(a)=0\tag{por $-a = (-1)(a)$}\\
   &\Rightarrow ax +(a)(-1)=0\tag{por M2}\\
   &\Rightarrow a (x + (-1))=0\tag{por D}\\
   \end{align*}
   
   Por el punto anterior 1 tenemos que $a=0$ ó $x + (-1)=0$. Pero como por hipótesis tenemos que $a\neq 0$ entonces $x + (-1)=0$.
   
   Como ya vimos que el inverso aditivo es único $\Rightarrow x$ es el inverso aditivo de $-1$, que por el resultado $-(-a)=a$ usando $a=1$, sabemos que es 1.
   $$\therefore \quad x=1$$
3. Como por hipótesis tenemos que $a\neq 0$ entonces existe $a^{-1}\in\RR$ por M5.
   Así multiplicando por $a^{-1}$ en ambos lados de la igualdad $ab=ac$ tenemos:
   \begin{align*}
   &\Rightarrow a^{-1}(ab)=a^{-1}(ac)\\
   &\Rightarrow (a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c\tag{por M3}\\
   &\Rightarrow 1\cdot b= 1\cdot c\tag{por M5}\\
   &\Rightarrow b=c\tag{por M4}\\
   \end{align*}
   $$\therefore \quad b=c$$
   

$\square$

Como vimos en las pruebas anteriores, conforme vayamos probando más propiedades los resultados que obtendremos se volverán más interesantes. A continuación demostraremos algunos con los que seguramente ya estás familiarizado.

Algunos productos notables

Notación: Definimos $x-y:=x + (-y)$.

Proposición: Para $x,y \in \RR$ se cumple lo siguiente:

1. Diferencia de cuadrados: $x^{2} – y^{2} =(x – y)(x+y)$ .
2. Si $x^{2} = y^{2}$ entonces $x=y \quad$ o $\quad x=-y$ .
3. Diferencia de cubos: $x^{3} – y^{3}=(x-y)(x^{2} +xy+ y^{2})$ .
4. Suma de cubos: $x^{3} + y^{3}=(x-y)(x^{2} -xy+ y^{2})$ .

Demostración:

1. Partiremos de $(x – y)(x+y)$, así obtenemos lo siguiente:
   \begin{align*}
   (x – y)(x+y)&= (x-y)x + (x-y)y\tag{por D}\\
   &=x(x-y)+y(x-y)\tag{por M2}\\
   &=x(x+(-y))+y(x+(-y))\\
   &=x\cdot x + x\cdot (-y)+y\cdot x+y\cdot (-y)\tag{por D}\\
   &= x^{2} – xy+yx-y^{2}\tag{por $-xy=x(-y)$}\\
   &= x^{2} – xy+xy-y^{2}\tag{por M2}\\
   &= x^{2} +0-y^{2}\tag{por S5}\\
   &= x^{2} -y^{2}\tag{por S4}\\
   \therefore \quad(x – y)(x+y)&=x^{2} -y^{2}
   \end{align*}
2. Sabemos que $x^{2} =y^{2}$. Veamos que si sumamos $-y^{2}$ en ambos lados obtenemos:
   $$x^{2} – y^{2}=y^{2}- y^{2} \Rightarrow x^{2} – y^{2}=0$$
   Aplicando el punto anterior se sigue que:
   $$(x – y)(x+y)=0$$
   Recordando la proposición vista al principio de la entrada decimos que: $x-y=0$, o bien, $x+y=0$.
   Por un lado tenemos que al sumar $y$ en $x-y=0$:
   \begin{align*}
   (x-y)+y&=0+y\\
   x+((-y)+y)&=y\tag{por S3 y S4}\\
   x&=y\tag{por S5}\\
   \end{align*}
   $$\therefore \quad x=y$$
   
   Y por otro tenemos que al sumar $-y$ en $x+y=0$:
   \begin{align*}
   (x+y)-y&=0-y\\
   x+(y+(-y))&=-y\tag{por S3 y S4}\\
   x&=-y\tag{por S5}\\
   \end{align*}
   $$\therefore \quad x=-y$$
   De lo anterior concluimos que $x=y$, ó $x=-y$.
   
   Los incisos 3 y 4 se dejarán como ejercicios en la Tarea moral.
   

$\square$

Propiedades relacionadas a los inversos multiplicativos

Notación: Denotaremos al inverso multiplicativo de $a\in\RR$ como $a^{-1}=\frac{1}{a}$. Consecuentemente, definimos $\frac{a}{b}:= a \cdot b^{-1}$.

Proposición: Para $a,b,c,d \in \RR$ se cumple lo siguiente:

1. Para $a,b\neq 0$, $$(ab)^{-1} = a^{-1}b^{-1}\quad \text{.}$$
2. Para $b,c\neq 0$, $$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}\quad \text{.}$$
3. Para $b,d \neq 0$, $$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} =\frac{ad+bc}{bd}\quad \text{.}$$
4. Para $b,d \neq 0$, $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\quad \text{.}$$
5. Para $b,c,d \neq 0$, $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{ad}{bc}\quad \text{.}$$
6. Para $b,d \neq 0$, $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Rightarrow ad=bc \quad \text{.}$$

Demostración:

1. Observemos que por la propiedad de cerradura M1, $ab\in\RR$ y $ab\neq 0$. Así por M5 se sigue que: $$(ab)(ab)^{-1}=1 \tag {1}\quad \text{.}$$
   De este modo, lo que queremos probar es: $$(ab)(a^{-1}b^{-1})=1\quad \text{.}$$
   Comenzando por el lado izquierdo de la igualdad tenemos:
   \begin{align*}
   (ab)(a^{-1}b^{-1})&=a(b(a^{-1}b^{-1}))\tag{por M3}\\
   &=a(b(b^{-1}a^{-1}))\tag{por M2}\\
   &=a((bb^{-1})a^{-1})\tag{por M3}\\
   &=a((1)a^{-1})\tag{por M5}\\
   &=aa^{-1}\tag{por M4}\\
   &=1 \quad \text{.}\tag{por M5}
   \end{align*}
   Concluimos que $(ab)(a^{-1}b^{-1})=1 \tag{2}$. Al igualar con $(1)$ nos queda: $$(ab)(ab)^{-1}=(ab)(a^{-1}b^{-1})\quad\text{.}$$ Y aplicando el punto 3 de la primera sección de esta entrada tenemos: $$(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}\quad\text{.}$$
2. Recordemos que por la definición $\frac{a}{b}=ab^{-1}$. Por lo que tendríamos:
   \begin{align*}
   \frac{ac}{bc} &=(ac)(bc)^{-1}\\
   &=(ac)(b^{-1}c^{-1})\tag{ por el punto anterior}\\
   &=((ac)b^{-1})c^{-1}\tag{por M3}\\
   &=(a(cb^{-1}))c^{-1}\tag{por M3}\\
   &=(a(b^{-1}c))c^{-1}\tag{por M2}\\
   &=(ab^{-1})c)c^{-1}\tag{por M3}\\
   &=(ab^{-1})(cc^{-1})\tag{por M3}\\
   &=(ab^{-1})(1)\tag{por M5}\\
   &=ab^{-1} \quad \text{.}\tag{por M4}\\
   \end{align*}
   $$\therefore \quad \frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}\quad \text{.}$$
3. La propiedad 3 queda como ejercicio para nuestro lector.
4. Procedamos a demostrar la propiedad 4, comenzaremos por $$\frac{ac}{bd}=\frac{ac}{bd}\quad\text{.}$$
   Así por definición tenemos lo siguiente:
   \begin{align*}
   \frac{ac}{bd}&=(ac)(bd)^{-1}\\
   &= (ac)(b^{-1}d^{-1})\tag{por el primer punto}\\
   &= ((ac)b^{-1})d^{-1}\tag{por M3}\\
   &=(a(cb^{-1}))d^{-1}\tag{por M3}\\
   &=(a(b^{-1}c))d^{-1}\tag{por M2}\\
   &=((ab^{-1})c)d^{-1}\tag{por M3}\\
   &=(ab^{-1})(cd^{-1})\tag{por M3}\\
   &=\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}\quad\text{.}
   \end{align*}
   $$\therefore \quad \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\quad\text{.}$$
5. La propiedad 5 queda como ejercicio para nuestro lector.
6. Sean $b,d \neq 0$. Supongamos que: $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad\text{.}$$
   $P.d.$ $ad = bc$.
   Ya que $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad\text{,}$$ por definición tenemos $ab^{-1}=cd^{-1}$.
   Multiplicando por $b$ se sigue que:
   \begin{align*}
   &\Rightarrow(ab^{-1})b =(cd^{-1})b\\
   &\Rightarrow a(b^{-1}b) =c(d^{-1}b)\tag{por M3}\\
   &\Rightarrow a(1) =c(bd^{-1})\tag{por M5 y M2}\\
   &\Rightarrow a =(cb)d^{-1}\quad\text{.}\tag{por M4 y M3}\\
   \end{align*}
   
   Ahora multiplicaremos la igualdad anterior por $d$:
   \begin{align*}
   &\Rightarrow ad =((cb)d^{-1})d\\
   &\Rightarrow ad =(cb)(d^{-1}d)\tag{por M3}\\
   &\Rightarrow ad =(cb)(1)\tag{por M5}\\
   &\Rightarrow ad =cb\tag{por M4}\\
   &\Rightarrow ad =bc\quad\text{.}\tag{por M2}\\
   \end{align*}

$\square$

Más adelante

Durante las últimas dos entradas vimos las propiedades relacionadas con la suma y la multiplicación de los números reales. Sin embargo, no son las únicas propiedades que este conjunto de números cumple. En la siguiente entrada comenzaremos a ver las propiedades de orden de los números reales y algunas de sus consecuencias.

Tarea moral

Prueba los puntos 3 y 4 de la sección «Algunos productos notables».

• Diferencia de cubos: $x^{3} – y^{3}=(x-y)(x^{2} +xy+ y^{2})$
• Suma de cubos: $x^{3} + y^{3}=(x+y)(x^{2} -xy+ y^{2})$
  Sugerencia: Utiliza el punto anterior «Diferencia de cubos» y prueba que $y^{3}=-(-y)^{3}$.

Prueba los puntos 3 y 5 de la sección anterior:

• Para $b,d \neq 0$, $$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} =\frac{ad+bc}{bd}\quad\text{.}$$
• Para $b,c,d \neq 0$, $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{ad}{bc}\quad\text{.}$$

Entradas relacionadas

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• Entrada siguiente del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Propiedades de orden de los números reales
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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»