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Cálculo Diferencial e Integral I: Propiedades de orden de los números reales.

Introducción

Comenzaremos a revisar un conjunto de propiedades muy particular que éstas nos permitirán ordenar a los números reales. De acuerdo a este orden podremos decir para un par de números reales, quién es mayor o menor que otro. Así a la lista de propiedades vista previamente le agregaremos las siguientes.

Noción de orden en $\r$

O1.-Existe un subconjunto $P\subseteq \r$ tal que para todo $a\in\r$ ocurre una y sólo una de las siguientes afirmaciones:

  • $a=0$
  • $a\in P$
  • $-a\in P$

O2.-Si $a,b \in P$ entonces $a+b \in P$.

O3.-Si $a,b \in P$ entonces $a\cdot b \in P$.

Observación: Notemos que $P$ esta conformado por los números reales positivos.

Definición: Decimos que:

  • $a>b$ si $a-b \in P$.
  • $a<b$ si $b>a$.
  • $a\geq b$ si $a-b \in P$ o $a=b$.
  • $a\leq b$ si $b-a \in P$ o $a=b$.

Tricotomía

Proposición (Tricotomía): Para cuales quiera $a,b \in \r$. Tenemos que cumple una y sólo una de la siguientes afirmaciones:

  1. $a=b$
  2. $a>b$
  3. $b>a$

Demostración:

Sean $a,b\in\r$. Como por la cerradura de la suma S1 tenemos que: $$a+(-b)= a-b\in\r$$

Por O1 se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:

  • $a-b=0$
  • $a-b\in P$
  • $-(a-b)\in P$

Aplicando las definiciones anteriores nos quedaría:

  • $a-b=0 \Rightarrow a=b$
  • $a-b\in P \Rightarrow a>b$
  • $-(a-b)\in P\Rightarrow b-a\in P \Rightarrow b>a$

$\square$

Leyes de los signos

Definición: Diremos que $a$ es positivo si $a\in P$ y que es negativo si $-a\in P$.

Proposición(Leyes de los signos): Sean $a,b\in\r$. Se cumplen las siguientes afirmaciones:

  1. Si $a,b >0$ entonces $a\cdot b >0$.
  2. Si $a,b < 0$ entonces $a\cdot b >0$
  3. Si $a>0$, $b<0$ entonces $a\cdot b < 0$.
  4. Si $a<0$, $b>0$ entonces $a\cdot b < 0$.

Demostración:

  1. Consideremos $a>0$ y $b>0$. Así tenemos que $a\in P$ y $b\in P$ entonces por O3 $a\cdot b \in P$
    $$\therefore a\cdot b > 0$$
  2. Ahora tomemos $a< 0$ y $b<0$. Por lo que $-a\in P$ y $-b\in P$ entonces por O3 $(-a)\cdot( -b) \in P$
    $$\therefore a\cdot b > 0$$

$\square$

Algunos resultados importantes

Proposición: Sean $a,b,c,d \in \r$. Tenemos que se cumplen los siguientes resultados:

  1. Si $a>b$ entonces $a+c>b+c$.
  2. Si $a<b$ y $c<0$ entonces $ac>bc$.
  3. Si $a<b$ y $c>0$ entonces $ac<bc$.
  4. Si $a<b$ y $c<d$ entonces $a+c<b+d$.
  5. Si $a<b$ y $c>d$ entonces $a-c<b-d$.
  6. Si $a<b$ entonces $-b<-a$.

Demostración:

  1. Cómo $a>b$ esto significa que $a-b \in P$.
    Así se sigue que:
    \begin{align*}
    a-b &= a +0 -b\\
    &= a + (c -c)-b\\
    &= (a +c) – (c+b)\\
    \end{align*}
    De lo anterior concluimos que $(a +c) – (c+b) \in P$, es decir, $a +c > c+b$
  2. Tarea moral
  3. Por hipótesis tenemos que $a<b$ y $c>0$ por lo que ocurre: $b-a \in P$ y $c \in P$.
    Por O3 afirmamos que $c (b-a) \in P$. Observemos que: $c (b-a) = cb – ca = bc – ac$.
    $$\therefore bc – ac \in P$$
    $$\therefore bc>ac $$
  4. Ya que $a<b$ y $c<d$ se sigue que $b-a \in P$ y $d-c \in P$. Así por O2 tenemos:
    $$(b-a)+(d-c) \in P$$
    Notemos que:
    \begin{align*}
    (b-a)+(d-c) &= b-a+d-c\\
    &= b+d -a-c\\
    &= (b+d) – (a+c)\\
    \end{align*}
    $$\therefore (b+d) – (a+c) \in P$$
    $$\therefore b+d > a+c$$
  5. Tenemos que $a<b$ y $c>d$ $\Rightarrow b-a \in P$ y $c-d \in P$.
    Por O2 se sigue que $(b-a) + (c-d) \in P$. Y como tenemos lo siguiente:
    \begin{align*}
    (b-a) + (c-d)&= b-a + c-d\\
    &= (b-d) + (-a +c)\\
    &= (b-d) – (a-c)\\
    \end{align*}
    Así concluimos que: $(b-d) – (a-c)\in P$.
    $$ \therefore b-d > a-c$$
  6. Tarea moral

$\square$

Transitividad

Proposición (Transitividad): Para $a,b \in \r$ se cumplen las siguientes propiedades:

  1. Si $a>b$ y $b>c \Rightarrow a>c$.
  2. Si $a< b$ y $b<c \Rightarrow a<c$.

Demostración:

  1. Cómo $a>b$ y $b>c$ sabemos que $a-b \in P$ y $b-c \in P$.
    Entonces tenemos por O2 $(a-b)+(b-c)\in P$. Y cómo:
    $$(a-b)+(b-c) = a+(-b+b)-c = a-c$$
    Así $a-c \in P$ y por lo tanto $a>c$.
  2. Ya qué $b>a$ y $c>b$. Aplicando el punto anterior se sigue que:
    $$c> a \Rightarrow a < c$$

$\square$

El cuadrado de un número real

Proposición: Para todo $a\in \r$ se cumple lo siguiente:

$$a^{2} \geq 0$$

Demostración: Tomemos $a\in \r$. Por la propiedad O1 debemos considerar los siguientes tres casos.

  • Caso $a =0$:
    Cómo $a=0$, al multiplicar por $a$ en ambos lados de la igualdad tenemos:
    \begin{align*}
    a\cdot a &= 0\cdot a\\
    a\cdot a &= 0\cdot 0\\
    a^{2} &= 0\\
    \end{align*}
    Concluimos así $a^{2} \geq 0$.
  • Caso $a>0$
    Así $a\in P$ y por O3 tenemos que $a \cdot a \in P$. Por lo que $a^{2} \in P$, es decir, $a^{2}> 0$. Se concluye $a^{2} \geq 0$.
  • Caso $a< 0$
    Ahora tenemos que $-a\in P$ y por O3 que $-a \cdot -a \in P$. Así $a^{2}= (-a)(-a) \in P$, por lo que $a^{2} \geq 0$.

De los casos anteriores probamos $a^{2} \geq 0$ para todo $a\in \r$

$\square$

Tarea moral

Demuestra los puntos 3 y 4 de las Leyes de los signos.

  • Si $a>0$, $b<0$ entonces $a\cdot b < 0$.
    • Hint: Prueba $a\cdot (-b)$ es inverso aditivo de $ab$, es decir, $ab + a\cdot (-b) =0$
  • Si $a<0$, $b>0$ entonces $a\cdot b < 0$.
    • Hint: Aplica o prueba el resultado $(-a)(-b)=-(ab)$.

Prueba los puntos 2 y 6 de la sección Algunos resultados…

  • Si $a<b$ y $c<0$ entonces $ac>bc$.
  • Si $a<b$ entonces $-b<-a$.

Muestre que para $a,b \in \r$ se cumplen las siguientes propiedades:

  • Si $a>1$ entonces $a^{2} > a$.
  • Si $0<a<1$ entonces $a^{2} < a$.
  • $$a< \sqrt{ab}< \frac{a+b}{2} <b$$

Más adelante

Ya que hemos definido las propiedades de orden y varios de sus resultados más importantes. En la siguiente entrada comenzaremos por definir a los intervalos en los reales y a resolver desigualdades apoyándonos en todo lo visto en esta entrada.

Entradas relacionadas

Cálculo Diferencial e Integral I: Propiedades algebraicas de los números reales (Parte 2)

Introducción

Continuaremos revisando resultados derivados de las Propiedades básicas de los números reales vistas en la entrada anterior.

Resultados relacionados a la multiplicación

Demuestra lo siguiente:

  1. Sean $a,b \in\RR$. Si $ab=0 \Rightarrow a=0 $ ó $b=0$.
  2. Sea $a\in \RR, a\neq 0$. Si $ax=a$, entonces $x=1$.
  3. Sean $a,b,c \in \RR$ con $a \neq 0$. Si $ab = ac \Rightarrow b=c$.

Demostración:

  1. Procederemos a demostrar por contradicción. Así suponemos que $ab=0$, $a\neq 0$ y $b\neq 0$. Entonces por la propiedad M5 existen $a^{-1},b^{-1}\in\RR$ tales que $a\cdot a^{-1}=1$ y $b\cdot b^{-1}=1$.
    Y cómo $ab=0$ se sigue:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow (ab)\cdot b^{-1}=0\cdot b^{-1}\tag{por sumar $b^{-1}$}\\
    &\Rightarrow a (b\cdot b^{-1}) = 0\cdot b^{-1}\tag{por M3}\\
    &\Rightarrow a (1) = 0\cdot b^{-1}\tag{por M5}\\
    &\Rightarrow a = 0\cdot b^{-1}\tag{por M4}\\
    &\Rightarrow a = b^{-1}\cdot 0 \tag{por M2}\\
    &\Rightarrow a = 0 \contradiccion \tag{por resultado $a\cdot 0=0$}\\
    \end{align*}
    Lo anterior es una contradicción, pues supusimos que $a\neq 0$.
    $\therefore a=0 $ ó $b=0$

    Observación: Utilizaremos el símbolo $\contradiccion$ para referirnos a una contradicción en las pruebas.
  2. Como por hipótesis tenemos que $ax=a$.
    \begin{align*}
    &\Rightarrow ax + (-a)=a + (-a)\tag{por sumar $-a$}\\
    &\Rightarrow ax + (-a) = 0\tag{por S5}\\
    &\Rightarrow ax + (-1)(a)=0\tag{por $-a = (-1)(a)$}\\
    &\Rightarrow ax +(a)(-1)=0\tag{por M2}\\
    &\Rightarrow a (x + (-1))=0\tag{por D}\\
    \end{align*}

    Por el punto anterior 1 tenemos que $a=0$ ó $x + (-1)=0$. Pero como por hipótesis tenemos que $a\neq 0$ entonces $x + (-1)=0$.

    Como ya vimos que el inverso aditivo es único $\Rightarrow x$ es el inverso aditivo de $-1$ que por el resultado $-(-a)=a$ usando $a=1$ sabemos que es 1.
    $$\therefore x=1$$
  3. Cómo por hipótesis tenemos que $a\neq 0$ entonces existe $a^{-1}\in\RR$ por M5.
    Así multiplicando por $a^{-1}$ en ambos lados de la igualdad $ab=ac$ tenemos:
    \begin{align*}
    a^{-1}(ab)&=a^{-1}(ac)\\
    (a^{-1}a)b&=(a^{-1}a)c\tag{por M3}\\
    1\cdot b&= 1\cdot c\tag{por M5}\\
    b&=c\tag{por M4}\\
    \end{align*}
    $$\therefore b=c$$

$\square$

Como vimos en las pruebas anteriores, conforme vayamos probando más propiedades los resultados que obtendremos se volverán más interesantes. A continuación demostraremos algunos con los que seguramente ya estás familiarizado.

Algunos productos notables

Proposición: Para $x,y \in \RR$ se cumple lo siguiente:

  1. Diferencia de cuadrados: $x^{2} – y^{2} =(x – y)(x+y)$
  2. Si $x^{2} = y^{2}$ entonces $x=y$ ó $x=-y$.
  3. Diferencia de cubos: $x^{3} – y^{3}=(x-y)(x^{2} +xy+ y^{2})$
  4. Suma de cubos: $x^{3} + y^{3}=(x-y)(x^{2} -xy+ y^{2})$
    Notación: Definimos $x-y:=x + (-y)$.

Demostración:

  1. Partiremos de $(x – y)(x+y)$, así obtenemos lo siguiente:
    \begin{align*}
    (x – y)(x+y)&= (x-y)x + (x-y)y\tag{por D}\\
    &=x(x-y)+y(x-y)\tag{por M2}\\
    &=x(x+(-y))+y(x+(-y))\\
    &=x\cdot x + x\cdot (-y)+y\cdot x+y\cdot (-y)\tag{por D}\\
    &= x^{2} – xy+yx-y^{2}\tag{por $-xy=x(-y)$}\\
    &= x^{2} – xy+xy-y^{2}\tag{por M2}\\
    &= x^{2} +0-y^{2}\tag{por S5}\\
    &= x^{2} -y^{2}\tag{por S4}\\
    \end{align*}
  2. Sabemos que x^{2} =y^{2}. Veamos que si sumamos $-y^{2}$ en ambos lados obtenemos:
    $$x^{2} – y^{2}=y^{2}- y^{2} \Rightarrow x^{2} – y^{2}=0$$
    Aplicando el punto anterior se sigue que:
    $$(x – y)(x+y)=0$$
    Recordando el resultado visto al principio decimos que: $x-y=0$, o bien, $x+y=0$.
    Por un lado tenemos que al sumar $y$ en $x-y=0$:
    \begin{align*}
    (x-y)+y&=0+y\\
    x+((-y)+y)&=y\tag{por S3 y S4}\\
    x&=y\tag{por S5}\\
    \end{align*}
    $$\therefore x=y$$

    Y por otro tenemos que al sumar $-y$ en $x+y=0$:
    \begin{align*}
    (x+y)-y&=0-y\\
    x+(y+(-y))&=-y\tag{por S3 y S4}\\
    x&=-y\tag{por S5}\\
    \end{align*}
    $$\therefore x=-y$$
    De lo anterior concluimos que $x=y$, ó $x=-y$.

$\square$

Los incisos 3 y 4 se dejarán como ejercicios en la Tarea moral.

Propiedades relacionadas a los inversos multiplicativos

Definición: Denotaremos al inverso multiplicativo de $a\in\RR$ como $a^{-1}=\frac{1}{a}$.

Proposición: Para $a,b,c,d \in \RR$ se cumple lo siguiente:

  1. Para $a,b\neq 0$.$$(ab)^{-1} = a^{-1}b^{-1}$$
  2. Para $b,c\neq 0$. $$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$$
  3. Para $b,d \neq 0$. $$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} =\frac{ad+bc}{bd}$$
  4. Para $b,d \neq 0$. $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$
  5. Para $b,c,d \neq 0$. $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{ad}{bc}$$
  6. Para $b,d \neq 0$. $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Rightarrow ad=bc$$

Demostración:

  1. Observemos que por la propiedad de cerradura M1 $ab\in\RR$ y $ab\neq 0$. Así por M5 se sigue que: $$(ab)(ab)^{-1}=1 \tag {1}$$
    De este modo, lo que queremos probar es: $$(ab)(a^{-1}b^{-1})=1$$
    Comenzando por el lado izquierdo de la igualdad tenemos:
    \begin{align*}
    (ab)(a^{-1}b^{-1})&=a(b(a^{-1}b^{-1}))\tag{por M3}\\
    &=a(b(b^{-1}a^{-1}))\tag{por M2}\\
    &=a((bb^{-1})a^{-1})\tag{por M3}\\
    &=a((1)a^{-1})\tag{por M5}\\
    &=aa^{-1}\tag{por M4}\\
    &=1\tag{por M5}
    \end{align*}
    Concluimos que $(ab)(a^{-1}b^{-1})=1 \tag{2}$. Al igualar con $(1)$ nos queda: $$(ab)(ab)^{-1}=(ab)(a^{-1}b^{-1})$$ Y aplicando el punto 3 de la primer sección de esta entrada tenemos: $$(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$$
  2. Recordemos que por la definición $\frac{a}{b}=ab^{-1}$. Por lo que tendríamos:
    \begin{align*}
    \frac{ac}{bc} &=(ac)(bc)^{-1}\\
    &=(ac)(b^{-1}c^{-1})\tag{ por el punto anterior}\\
    &=((ac)b^{-1})c^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(a(cb^{-1}))c^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(a(b^{-1}c))c^{-1}\tag{por M2}\\
    &=(ab^{-1})c)c^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(ab^{-1})(cc^{-1})\tag{por M3}\\
    &=(ab^{-1})(1)\tag{por M5}\\
    &=ab^{-1}\tag{por M4}\\
    \end{align*}
    $$\therefore \frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$$
  3. Tarea moral
  4. Comenzaremos por $$\frac{ac}{bd}$$
    Así por definición tenemos lo siguiente:
    \begin{align*}
    \frac{ac}{bd}&=(ac)(bd)^{1}\\
    &= (ac)(b^{1}d^{1})\tag{por el primer punto}\\
    &= ((ac)b^{1})d^{1}\tag{por M3}\\
    &=(a(cb^{1}))d^{1}\tag{por M3}\\
    &=(a(b^{1}c))d^{1}\tag{por M2}\\
    &=((ab^{1})c)d^{1}\tag{por M3}\\
    &=(ab^{1})(cd^{1})\tag{por M3}\\
    &=\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}
    \end{align*}
    $$\therefore \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$
  5. Tarea moral
  6. Sean $b,d \neq 0$. Supongamos que $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$.
    $P.d.$ $ad = bc$
    Ya que $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$, por definición tenemos $ab^{-1}=cd^{-1}$.
    Multiplicando por $b$ se sigue que:
    \begin{align*}
    (ab^{-1})b &=(cd^{-1})b\\
    a(b^{-1}b) &=c(d^{-1}b)\tag{por M3}\\
    a(1) &=c(bd^{-1})\tag{por M5 y M2}\\
    a &=(cb)d^{-1}\tag{por M4 y M3}\\
    \end{align*}

    Ahora multiplicaremos la igualdad anterior por $d$:
    \begin{align*}
    ad &=((cb)d^{-1})d\\
    ad &=(cb)(d^{-1}d)\tag{por M3}\\
    ad &=(cb)(1)\tag{por M5}\\
    ad &=cb\tag{por M4}\\
    ad &=bc\tag{por M2}\\
    \end{align*}

$\square$

Tarea moral

Prueba los puntos 3 y 4 de la sección «Algunos productos notables».

  • Diferencia de cubos: $x^{3} – y^{3}=(x-y)(x^{2} +xy+ y^{2})$
  • Suma de cubos: $x^{3} + y^{3}=(x-y)(x^{2} -xy+ y^{2})$
    Hint: Utiliza el punto anterior y prueba que $y^{3}=-(-y)^{3}$.

Prueba los puntos 3 y 5 de la sección anterior.

  • Para $b,d \neq 0$. $$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} =\frac{ad+bc}{bd}$$
  • Para $b,c,d \neq 0$. $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{ad}{bc}$$

Más adelante

Durante las últimas dos entradas vimos las propiedades relacionadas con la suma y la multiplicación de los números reales. Sin embargo, no son las únicas propiedades que este conjunto de números cumple. En la siguiente entrada comenzaremos a ver las propiedades de orden de los números reales y algunas de sus consecuencias.

Entradas relacionadas

Cálculo Diferencial e Integral I: Propiedades algebraicas de los números reales (Parte 1)

Introducción

En esta entrada comenzaremos revisando las propiedades básicas de los números reales relacionadas con las operaciones suma y multiplicación. Daremos un vistazo a los resultados derivados de ellas.

Propiedades básicas de los números reales

A continuación enlistaremos una serie de propiedades que cumplen respectivamente la suma y la multiplicación en el conjunto de números reales $\mathbb{R}$. 

Definición (Propiedades básicas): Consideremos $\mathbb{R}$ y las operaciones suma ($+$) y multiplicación ($\cdot$) se cumple que:

S1.- Para cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a+b \in \mathbb{R}$  (Cerradura de la suma)

S2.- Para cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a+b = b+a$    (Conmutatividad de la suma)

S3.- Para cualesquiera $a,b,c\in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a + (b+c) = (a+b)+c$    (Asociatividad de la suma)

S4.- Existe $0\in \mathbb{R}$ tal que para cualquier $a\in \mathbb{R}$ :
$a + 0 =0+a=a$    (Neutro aditivo)

S5.- Para cualquier $a\in \mathbb{R}$ existe $-a\in \mathbb{R}$ tal que:
$a + (-a) = (-a)+ a = 0$    (Inverso aditivo)

M1.- Para cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a\cdot b \in \mathbb{R}$    (Cerradura de la multiplicación)

M2.- Para cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a\cdot b = b\cdot a$    (Conmutatividad de la multiplicación)

M3.- Para cualesquiera $a,b,c \in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a \cdot (b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c$    (Asociatividad de la multiplicación)

M4.- Existe $1\in \mathbb{R}$ tal que para cualquier $a\in \mathbb{R}$:
$a \cdot 1 = 1\cdot a=a$    (Neutro multiplicativo)

M5.- Para cualquier $a \in \mathbb{R}$ con $a\neq 0$, existe $a^{-1} \in X$ tal que:
$a \cdot a^{-1} = a^{-1}\cdot a = 1$    (Inverso multiplicativo)

A.- $1\neq 0$    (El neutro aditivo es distinto del neutro multiplicativo)

D.- Para cualesquiera $a,b,c \in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a\cdot (b+c) = a \cdot b + a\cdot c$    (Ley distributiva) 

Esta lista de propiedades serán nuestras «reglas del juego» con las cuales iremos probando los siguientes resultados. Aconsejamos tenerla disponible ya que haremos referencia a ella en todas las demostraciones siguientes.

Primeras observaciones

Proposición: Los neutros e inversos son únicos en $\mathbb{R}$. Es decir:

  1. $0$ es único
  2. $1$ es único
  3. Para todo $a \in\mathbb{R}$, $-a$ es único
  4. Para todo $a \in\mathbb{R}$, $a^{-1}$ es único

En esta ocasión demostraremos sólo los puntos 1 y 3.
Demostración punto 1:
Sea $a \in \mathbb{R}$. Supongamos que el $0$ no es único, entonces existe un $0^{*} \in \mathbb{R}$ tal que cumple lo siguiente: $a + 0^{*} = a$
Y como $ a + 0 = a$ $$\Rightarrow a + 0 = a + 0^{*}$$
Así tenemos que:
\begin{align}
&\Rightarrow (-a) + (a + 0) = (-a) + (a + 0^{*})\\
&\Rightarrow ((-a )+ a) + 0 = ((-a )+ a) + 0^{*}\\
&\Rightarrow 0 + 0 = 0 + 0^{*}\\
&\Rightarrow 0 = 0 + 0^{*}\\
&\Rightarrow 0 = 0^{*}\\
\end{align}

En $(1)$ sumamos $-a$ en ambos lados de la igualdad. Para $(2)$ aplicamos S3. Por la propiedad S5 en ambos lados de la igualdad se sigue $(3)$. Aplicando S4 para $0 +0$ en $(4)$.  Volvemos a aplicamos S4 para $0 +0^{*}$ en $(5)$.
$\therefore 0$ es único.

Demostración punto 3: Sea $a \in \mathbb{R}$. Supongamos que el $-a$ no es único, entonces existe un $-a^{*} \in \mathbb{R}$ tal que cumple lo siguiente: $a + (-a^{*}) = 0$
Y como $ a + (-a) = 0$ $$\Rightarrow a + (-a) = a + (-a^{*})$$
Así tenemos que:
\begin{align}
& \Rightarrow (-a) + (a + (-a)) = (-a) + a + (-a^{*})\\
& \Rightarrow ((-a )+ a) + (-a) = ((-a )+ a) + (-a^{*})\\
& \Rightarrow 0 + (-a) = 0 +(-a^{*})\\
&\Rightarrow -a = – a ^{*}\\
\end{align}

En $(6)$ sumamos $-a$ en ambos lados de la igualdad. Para $(7)$ aplicamos S3. Por la propiedad S5 en ambos lados de la igualdad se sigue $(8)$. Aplicando S4 en ambos lados en $(9)$.  
$\therefore -a$ es único.

$\square$

Algunos resultados

Proposición: Para $a,b \in \mathbb{R}$ se cumple lo siguiente:

  1. $a \cdot 0 = 0$
  2. $-a = (-1)(a)$
  3. $-(-a) = a$
  4. $(-a)(b)= – (ab)$
  5. $(-a)(-b)= ab$
    Nota: Escribiremos $ab$ para referirnos al producto $a \cdot b$.

Demostración:
1. $P.d.$ $a \cdot 0 = 0$

Comencemos con el lado izquierdo de la igualdad:
\begin{align*}
a \cdot 0 = a \cdot (0+0) &\Rightarrow a \cdot 0 = a \cdot 0 + a \cdot 0\tag{por S4 y D}\\
&\Rightarrow a \cdot 0 + (-a\cdot 0) = (a \cdot 0 + a \cdot 0) + (-a \cdot 0)\tag{por sumar $-a\cdot 0$}\\
&\Rightarrow 0 = (a \cdot 0 + a \cdot 0) + (-a \cdot 0)\tag{por S5}\\
&\Rightarrow 0 = a \cdot 0 + (a \cdot 0 + (-a \cdot 0))\tag{por S3}\\
&\Rightarrow 0 = a \cdot 0 + 0\tag{por S5}\\
&\Rightarrow 0 = a \cdot 0\tag{por S4} \\
\end{align*}
$$\therefore a \cdot 0 = 0$$

2. $P.d.$ $-a = (-1)(a)$
Observemos que si probamos que $a + ((-1)(a)) =0$ implicaría que $(-1)(a)$ es el inverso aditivo de $a$ que por lo visto anteriormente sabemos es único.

Así a partir del lado izquierdo de la igualdad tenemos:

\begin{align*}
a + ((-1)(a)) &= a\cdot 1 + ((-1)(a))\tag{por M4}\\
&= a\cdot 1 + (a)(-1)\tag{por M2}\\
&= a (1+(-1))\tag{por D}\\
&= a\cdot 0\tag{por S5}\\
&= 0\tag{por 1.}
\end{align*}

Por lo que ya tenemos $a + ((-1)(a))=0$ . Y como ya probamos que el inverso aditivo es único concluimos $$-a = (-1)(a)$$.

3. $P.d.$ $-(-a) = a$
Vemos que si probáramos que $-(-a)$ es el inverso aditivo de $-a$ terminaríamos.
\begin{align*}
(-a)+(-(-a)) &= (-a)\cdot 1 + (-1)(-a)\tag{por M4 y 2.}\\
&= (-a)\cdot 1 + (-a)(-1)\tag{por M2}\\
&= (-a)(1+(-1)\tag{por D}\\
&=(-a)(0)\tag{por S5}\\
&=0\tag{por 2.}\\
\end{align*}
Así obtenemos que: $$(-a)+(-(-a)) =0 \Rightarrow ((-a)+(-(-a)))+a= 0+a$$.

Por lo anterior se sigue que:
\begin{align*}
&\Rightarrow ((-a)+(-(-a)))+a= a\tag{por S4}\\
&\Rightarrow ((-(-a))+(-a))+a =a\tag{por S2}\\
&\Rightarrow (-(-a))+((-a)+a)=a\tag{por S3}\\
&\Rightarrow (-(-a))+ 0=a\tag{por S5}\\
&\Rightarrow -(-a)=a\tag{por S4}
\end{align*}
$$\therefore -(-a)=a$$

$\square$

El resto de los incisos se dejarán como ejercicios en la Tarea moral. Recuerda que para realizarlos puedes hacer uso de todos los resultados probados en esta entrada, a menos que se indique lo contrario.

Tarea moral

Demuestra las siguientes propiedades.:

  • $1$ es único en $\RR$.
  • Para todo $a \in\mathbb{R}$, $a^{-1}$ es único.
  • Sin usar el resultado $-(-a) = a$, demuestra que $-(-1) = 1$.

Para $a,b \in \mathbb{R}$ se cumple lo siguiente:

  • $(-a)(b)= – (ab)$
  • $(-a)(-b)= ab$

Más adelante

En la siguiente entrada continuaremos viendo resultados derivados de las propiedades de la suma y la multiplicación de los números reales por lo que nuestra primer lista será de suma utilidad.

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