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Cálculo Diferencial e Integral I: Propiedades algebraicas de los números reales (Parte 2)

Por Karen González Cárdenas

Introducción

Continuaremos revisando resultados derivados de las Propiedades básicas de los números reales vistas en la entrada anterior.

Resultados relacionados a la multiplicación

Demostraremos lo siguiente:

  1. Sean $a,b \in\RR$. Si $ab=0 \Rightarrow a=0 $ ó $b=0$.
  2. Sea $a\in \RR, a\neq 0$. Si $ax=a$, entonces $x=1$.
  3. Sean $a,b,c \in \RR$ con $a \neq 0$. Si $ab = ac \Rightarrow b=c$.

Demostración:

  1. Procederemos a demostrar por contradicción. Así suponemos que $ab=0$, $a\neq 0$ y $b\neq 0$. Entonces por la propiedad M5 existen $a^{-1},b^{-1}\in\RR$ tales que $a\cdot a^{-1}=1$ y $b\cdot b^{-1}=1$.
    Y cómo $ab=0$ se sigue:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow (ab)\cdot b^{-1}=0\cdot b^{-1}\tag{por multiplicar $b^{-1}$}\\
    &\Rightarrow a (b\cdot b^{-1}) = 0\cdot b^{-1}\tag{por M3}\\
    &\Rightarrow a (1) = 0\cdot b^{-1}\tag{por M5}\\
    &\Rightarrow a = 0\cdot b^{-1}\tag{por M4}\\
    &\Rightarrow a = b^{-1}\cdot 0 \tag{por M2}\\
    &\Rightarrow a = 0 \contradiccion \tag{por resultado $a\cdot 0=0$}\\
    \end{align*}
    Lo anterior es una contradicción, pues supusimos que $a\neq 0$.
    $\therefore a=0 $ ó $b=0$

    Observación: Utilizaremos el símbolo $\contradiccion$ para referirnos a una contradicción en las pruebas.
  2. Como por hipótesis tenemos que $ax=a$.
    \begin{align*}
    &\Rightarrow ax + (-a)=a + (-a)\tag{por sumar $-a$}\\
    &\Rightarrow ax + (-a) = 0\tag{por S5}\\
    &\Rightarrow ax + (-1)(a)=0\tag{por $-a = (-1)(a)$}\\
    &\Rightarrow ax +(a)(-1)=0\tag{por M2}\\
    &\Rightarrow a (x + (-1))=0\tag{por D}\\
    \end{align*}

    Por el punto anterior 1 tenemos que $a=0$ ó $x + (-1)=0$. Pero como por hipótesis tenemos que $a\neq 0$ entonces $x + (-1)=0$.

    Como ya vimos que el inverso aditivo es único $\Rightarrow x$ es el inverso aditivo de $-1$ que por el resultado $-(-a)=a$ usando $a=1$ sabemos que es 1.
    $$\therefore x=1$$
  3. Cómo por hipótesis tenemos que $a\neq 0$ entonces existe $a^{-1}\in\RR$ por M5.
    Así multiplicando por $a^{-1}$ en ambos lados de la igualdad $ab=ac$ tenemos:
    \begin{align*}
    a^{-1}(ab)&=a^{-1}(ac)\\
    (a^{-1}a)b&=(a^{-1}a)c\tag{por M3}\\
    1\cdot b&= 1\cdot c\tag{por M5}\\
    b&=c\tag{por M4}\\
    \end{align*}
    $$\therefore b=c$$

$\square$

Como vimos en las pruebas anteriores, conforme vayamos probando más propiedades los resultados que obtendremos se volverán más interesantes. A continuación demostraremos algunos con los que seguramente ya estás familiarizado.

Algunos productos notables

Proposición: Para $x,y \in \RR$ se cumple lo siguiente:

  1. Diferencia de cuadrados: $x^{2} – y^{2} =(x – y)(x+y)$
  2. Si $x^{2} = y^{2}$ entonces $x=y$ ó $x=-y$.
  3. Diferencia de cubos: $x^{3} – y^{3}=(x-y)(x^{2} +xy+ y^{2})$
  4. Suma de cubos: $x^{3} + y^{3}=(x-y)(x^{2} -xy+ y^{2})$
    Notación: Definimos $x-y:=x + (-y)$.

Demostración:

  1. Partiremos de $(x – y)(x+y)$, así obtenemos lo siguiente:
    \begin{align*}
    (x – y)(x+y)&= (x-y)x + (x-y)y\tag{por D}\\
    &=x(x-y)+y(x-y)\tag{por M2}\\
    &=x(x+(-y))+y(x+(-y))\\
    &=x\cdot x + x\cdot (-y)+y\cdot x+y\cdot (-y)\tag{por D}\\
    &= x^{2} – xy+yx-y^{2}\tag{por $-xy=x(-y)$}\\
    &= x^{2} – xy+xy-y^{2}\tag{por M2}\\
    &= x^{2} +0-y^{2}\tag{por S5}\\
    &= x^{2} -y^{2}\tag{por S4}\\
    \end{align*}
  2. Sabemos que x^{2} =y^{2}. Veamos que si sumamos $-y^{2}$ en ambos lados obtenemos:
    $$x^{2} – y^{2}=y^{2}- y^{2} \Rightarrow x^{2} – y^{2}=0$$
    Aplicando el punto anterior se sigue que:
    $$(x – y)(x+y)=0$$
    Recordando el resultado visto al principio decimos que: $x-y=0$, o bien, $x+y=0$.
    Por un lado tenemos que al sumar $y$ en $x-y=0$:
    \begin{align*}
    (x-y)+y&=0+y\\
    x+((-y)+y)&=y\tag{por S3 y S4}\\
    x&=y\tag{por S5}\\
    \end{align*}
    $$\therefore x=y$$

    Y por otro tenemos que al sumar $-y$ en $x+y=0$:
    \begin{align*}
    (x+y)-y&=0-y\\
    x+(y+(-y))&=-y\tag{por S3 y S4}\\
    x&=-y\tag{por S5}\\
    \end{align*}
    $$\therefore x=-y$$
    De lo anterior concluimos que $x=y$, ó $x=-y$.

$\square$

Los incisos 3 y 4 se dejarán como ejercicios en la Tarea moral.

Propiedades relacionadas a los inversos multiplicativos

Definición: Denotaremos al inverso multiplicativo de $a\in\RR$ como $a^{-1}=\frac{1}{a}$.

Proposición: Para $a,b,c,d \in \RR$ se cumple lo siguiente:

  1. Para $a,b\neq 0$.$$(ab)^{-1} = a^{-1}b^{-1}$$
  2. Para $b,c\neq 0$. $$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$$
  3. Para $b,d \neq 0$. $$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} =\frac{ad+bc}{bd}$$
  4. Para $b,d \neq 0$. $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$
  5. Para $b,c,d \neq 0$. $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{ad}{bc}$$
  6. Para $b,d \neq 0$. $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Rightarrow ad=bc$$

Demostración:

  1. Observemos que por la propiedad de cerradura M1 $ab\in\RR$ y $ab\neq 0$. Así por M5 se sigue que: $$(ab)(ab)^{-1}=1 \tag {1}$$
    De este modo, lo que queremos probar es: $$(ab)(a^{-1}b^{-1})=1$$
    Comenzando por el lado izquierdo de la igualdad tenemos:
    \begin{align*}
    (ab)(a^{-1}b^{-1})&=a(b(a^{-1}b^{-1}))\tag{por M3}\\
    &=a(b(b^{-1}a^{-1}))\tag{por M2}\\
    &=a((bb^{-1})a^{-1})\tag{por M3}\\
    &=a((1)a^{-1})\tag{por M5}\\
    &=aa^{-1}\tag{por M4}\\
    &=1\tag{por M5}
    \end{align*}
    Concluimos que $(ab)(a^{-1}b^{-1})=1 \tag{2}$. Al igualar con $(1)$ nos queda: $$(ab)(ab)^{-1}=(ab)(a^{-1}b^{-1})$$ Y aplicando el punto 3 de la primer sección de esta entrada tenemos: $$(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$$
  2. Recordemos que por la definición $\frac{a}{b}=ab^{-1}$. Por lo que tendríamos:
    \begin{align*}
    \frac{ac}{bc} &=(ac)(bc)^{-1}\\
    &=(ac)(b^{-1}c^{-1})\tag{ por el punto anterior}\\
    &=((ac)b^{-1})c^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(a(cb^{-1}))c^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(a(b^{-1}c))c^{-1}\tag{por M2}\\
    &=(ab^{-1})c)c^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(ab^{-1})(cc^{-1})\tag{por M3}\\
    &=(ab^{-1})(1)\tag{por M5}\\
    &=ab^{-1}\tag{por M4}\\
    \end{align*}
    $$\therefore \frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$$
  3. Tarea moral
  4. Comenzaremos por $$\frac{ac}{bd}$$
    Así por definición tenemos lo siguiente:
    \begin{align*}
    \frac{ac}{bd}&=(ac)(bd)^{1}\\
    &= (ac)(b^{1}d^{1})\tag{por el primer punto}\\
    &= ((ac)b^{1})d^{1}\tag{por M3}\\
    &=(a(cb^{1}))d^{1}\tag{por M3}\\
    &=(a(b^{1}c))d^{1}\tag{por M2}\\
    &=((ab^{1})c)d^{1}\tag{por M3}\\
    &=(ab^{1})(cd^{1})\tag{por M3}\\
    &=\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}
    \end{align*}
    $$\therefore \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$
  5. Tarea moral
  6. Sean $b,d \neq 0$. Supongamos que $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$.
    $P.d.$ $ad = bc$
    Ya que $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$, por definición tenemos $ab^{-1}=cd^{-1}$.
    Multiplicando por $b$ se sigue que:
    \begin{align*}
    (ab^{-1})b &=(cd^{-1})b\\
    a(b^{-1}b) &=c(d^{-1}b)\tag{por M3}\\
    a(1) &=c(bd^{-1})\tag{por M5 y M2}\\
    a &=(cb)d^{-1}\tag{por M4 y M3}\\
    \end{align*}

    Ahora multiplicaremos la igualdad anterior por $d$:
    \begin{align*}
    ad &=((cb)d^{-1})d\\
    ad &=(cb)(d^{-1}d)\tag{por M3}\\
    ad &=(cb)(1)\tag{por M5}\\
    ad &=cb\tag{por M4}\\
    ad &=bc\tag{por M2}\\
    \end{align*}

$\square$

Tarea moral

Prueba los puntos 3 y 4 de la sección «Algunos productos notables».

  • Diferencia de cubos: $x^{3} – y^{3}=(x-y)(x^{2} +xy+ y^{2})$
  • Suma de cubos: $x^{3} + y^{3}=(x-y)(x^{2} -xy+ y^{2})$
    Hint: Utiliza el punto anterior y prueba que $y^{3}=-(-y)^{3}$.

Prueba los puntos 3 y 5 de la sección anterior.

  • Para $b,d \neq 0$. $$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} =\frac{ad+bc}{bd}$$
  • Para $b,c,d \neq 0$. $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{ad}{bc}$$

Más adelante

Durante las últimas dos entradas vimos las propiedades relacionadas con la suma y la multiplicación de los números reales. Sin embargo, no son las únicas propiedades que este conjunto de números cumple. En la siguiente entrada comenzaremos a ver las propiedades de orden de los números reales y algunas de sus consecuencias.

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