Cálculo Diferencial e Integral I: Propiedades algebraicas de los números reales (Parte 2)

Introducción

Continuaremos revisando resultados derivados de las Propiedades básicas de los números reales vistas en la entrada anterior.

Resultados relacionados a la multiplicación

Demuestra lo siguiente:

  1. Sean $a,b \in\RR$. Si $ab=0 \Rightarrow a=0 $ ó $b=0$.
  2. Sea $a\in \RR, a\neq 0$. Si $ax=a$, entonces $x=1$.
  3. Sean $a,b,c \in \RR$ con $a \neq 0$. Si $ab = ac \Rightarrow b=c$.

Demostración:

  1. Procederemos a demostrar por contradicción. Así suponemos que $ab=0$, $a\neq 0$ y $b\neq 0$. Entonces por la propiedad M5 existen $a^{-1},b^{-1}\in\RR$ tales que $a\cdot a^{-1}=1$ y $b\cdot b^{-1}=1$.
    Y cómo $ab=0$ se sigue:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow (ab)\cdot b^{-1}=0\cdot b^{-1}\tag{por sumar $b^{-1}$}\\
    &\Rightarrow a (b\cdot b^{-1}) = 0\cdot b^{-1}\tag{por M3}\\
    &\Rightarrow a (1) = 0\cdot b^{-1}\tag{por M5}\\
    &\Rightarrow a = 0\cdot b^{-1}\tag{por M4}\\
    &\Rightarrow a = b^{-1}\cdot 0 \tag{por M2}\\
    &\Rightarrow a = 0 \contradiccion \tag{por resultado $a\cdot 0=0$}\\
    \end{align*}
    Lo anterior es una contradicción, pues supusimos que $a\neq 0$.
    $\therefore a=0 $ ó $b=0$

    Observación: Utilizaremos el símbolo $\contradiccion$ para referirnos a una contradicción en las pruebas.
  2. Como por hipótesis tenemos que $ax=a$.
    \begin{align*}
    &\Rightarrow ax + (-a)=a + (-a)\tag{por sumar $-a$}\\
    &\Rightarrow ax + (-a) = 0\tag{por S5}\\
    &\Rightarrow ax + (-1)(a)=0\tag{por $-a = (-1)(a)$}\\
    &\Rightarrow ax +(a)(-1)=0\tag{por M2}\\
    &\Rightarrow a (x + (-1))=0\tag{por D}\\
    \end{align*}

    Por el punto anterior 1 tenemos que $a=0$ ó $x + (-1)=0$. Pero como por hipótesis tenemos que $a\neq 0$ entonces $x + (-1)=0$.

    Como ya vimos que el inverso aditivo es único $\Rightarrow x$ es el inverso aditivo de $-1$ que por el resultado $-(-a)=a$ usando $a=1$ sabemos que es 1.
    $$\therefore x=1$$
  3. Cómo por hipótesis tenemos que $a\neq 0$ entonces existe $a^{-1}\in\RR$ por M5.
    Así multiplicando por $a^{-1}$ en ambos lados de la igualdad $ab=ac$ tenemos:
    \begin{align*}
    a^{-1}(ab)&=a^{-1}(ac)\\
    (a^{-1}a)b&=(a^{-1}a)c\tag{por M3}\\
    1\cdot b&= 1\cdot c\tag{por M5}\\
    b&=c\tag{por M4}\\
    \end{align*}
    $$\therefore b=c$$

$\square$

Como vimos en las pruebas anteriores, conforme vayamos probando más propiedades los resultados que obtendremos se volverán más interesantes. A continuación demostraremos algunos con los que seguramente ya estás familiarizado.

Algunos productos notables

Proposición: Para $x,y \in \RR$ se cumple lo siguiente:

  1. Diferencia de cuadrados: $x^{2} – y^{2} =(x – y)(x+y)$
  2. Si $x^{2} = y^{2}$ entonces $x=y$ ó $x=-y$.
  3. Diferencia de cubos: $x^{3} – y^{3}=(x-y)(x^{2} +xy+ y^{2})$
  4. Suma de cubos: $x^{3} + y^{3}=(x-y)(x^{2} -xy+ y^{2})$
    Notación: Definimos $x-y:=x + (-y)$.

Demostración:

  1. Partiremos de $(x – y)(x+y)$, así obtenemos lo siguiente:
    \begin{align*}
    (x – y)(x+y)&= (x-y)x + (x-y)y\tag{por D}\\
    &=x(x-y)+y(x-y)\tag{por M2}\\
    &=x(x+(-y))+y(x+(-y))\\
    &=x\cdot x + x\cdot (-y)+y\cdot x+y\cdot (-y)\tag{por D}\\
    &= x^{2} – xy+yx-y^{2}\tag{por $-xy=x(-y)$}\\
    &= x^{2} – xy+xy-y^{2}\tag{por M2}\\
    &= x^{2} +0-y^{2}\tag{por S5}\\
    &= x^{2} -y^{2}\tag{por S4}\\
    \end{align*}
  2. Sabemos que x^{2} =y^{2}. Veamos que si sumamos $-y^{2}$ en ambos lados obtenemos:
    $$x^{2} – y^{2}=y^{2}- y^{2} \Rightarrow x^{2} – y^{2}=0$$
    Aplicando el punto anterior se sigue que:
    $$(x – y)(x+y)=0$$
    Recordando el resultado visto al principio decimos que: $x-y=0$, o bien, $x+y=0$.
    Por un lado tenemos que al sumar $y$ en $x-y=0$:
    \begin{align*}
    (x-y)+y&=0+y\\
    x+((-y)+y)&=y\tag{por S3 y S4}\\
    x&=y\tag{por S5}\\
    \end{align*}
    $$\therefore x=y$$

    Y por otro tenemos que al sumar $-y$ en $x+y=0$:
    \begin{align*}
    (x+y)-y&=0-y\\
    x+(y+(-y))&=-y\tag{por S3 y S4}\\
    x&=-y\tag{por S5}\\
    \end{align*}
    $$\therefore x=-y$$
    De lo anterior concluimos que $x=y$, ó $x=-y$.

$\square$

Los incisos 3 y 4 se dejarán como ejercicios en la Tarea moral.

Propiedades relacionadas a los inversos multiplicativos

Definición: Denotaremos al inverso multiplicativo de $a\in\RR$ como $a^{-1}=\frac{1}{a}$.

Proposición: Para $a,b,c,d \in \RR$ se cumple lo siguiente:

  1. Para $a,b\neq 0$.$$(ab)^{-1} = a^{-1}b^{-1}$$
  2. Para $b,c\neq 0$. $$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$$
  3. Para $b,d \neq 0$. $$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} =\frac{ad+bc}{bd}$$
  4. Para $b,d \neq 0$. $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$
  5. Para $b,c,d \neq 0$. $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{ad}{bc}$$
  6. Para $b,d \neq 0$. $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Rightarrow ad=bc$$

Demostración:

  1. Observemos que por la propiedad de cerradura M1 $ab\in\RR$ y $ab\neq 0$. Así por M5 se sigue que: $$(ab)(ab)^{-1}=1 \tag {1}$$
    De este modo, lo que queremos probar es: $$(ab)(a^{-1}b^{-1})=1$$
    Comenzando por el lado izquierdo de la igualdad tenemos:
    \begin{align*}
    (ab)(a^{-1}b^{-1})&=a(b(a^{-1}b^{-1}))\tag{por M3}\\
    &=a(b(b^{-1}a^{-1}))\tag{por M2}\\
    &=a((bb^{-1})a^{-1})\tag{por M3}\\
    &=a((1)a^{-1})\tag{por M5}\\
    &=aa^{-1}\tag{por M4}\\
    &=1\tag{por M5}
    \end{align*}
    Concluimos que $(ab)(a^{-1}b^{-1})=1 \tag{2}$. Al igualar con $(1)$ nos queda: $$(ab)(ab)^{-1}=(ab)(a^{-1}b^{-1})$$ Y aplicando el punto 3 de la primer sección de esta entrada tenemos: $$(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$$
  2. Recordemos que por la definición $\frac{a}{b}=ab^{-1}$. Por lo que tendríamos:
    \begin{align*}
    \frac{ac}{bc} &=(ac)(bc)^{-1}\\
    &=(ac)(b^{-1}c^{-1})\tag{ por el punto anterior}\\
    &=((ac)b^{-1})c^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(a(cb^{-1}))c^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(a(b^{-1}c))c^{-1}\tag{por M2}\\
    &=(ab^{-1})c)c^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(ab^{-1})(cc^{-1})\tag{por M3}\\
    &=(ab^{-1})(1)\tag{por M5}\\
    &=ab^{-1}\tag{por M4}\\
    \end{align*}
    $$\therefore \frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$$
  3. Tarea moral
  4. Comenzaremos por $$\frac{ac}{bd}$$
    Así por definición tenemos lo siguiente:
    \begin{align*}
    \frac{ac}{bd}&=(ac)(bd)^{1}\\
    &= (ac)(b^{1}d^{1})\tag{por el primer punto}\\
    &= ((ac)b^{1})d^{1}\tag{por M3}\\
    &=(a(cb^{1}))d^{1}\tag{por M3}\\
    &=(a(b^{1}c))d^{1}\tag{por M2}\\
    &=((ab^{1})c)d^{1}\tag{por M3}\\
    &=(ab^{1})(cd^{1})\tag{por M3}\\
    &=\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}
    \end{align*}
    $$\therefore \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$
  5. Tarea moral
  6. Sean $b,d \neq 0$. Supongamos que $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$.
    $P.d.$ $ad = bc$
    Ya que $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$, por definición tenemos $ab^{-1}=cd^{-1}$.
    Multiplicando por $b$ se sigue que:
    \begin{align*}
    (ab^{-1})b &=(cd^{-1})b\\
    a(b^{-1}b) &=c(d^{-1}b)\tag{por M3}\\
    a(1) &=c(bd^{-1})\tag{por M5 y M2}\\
    a &=(cb)d^{-1}\tag{por M4 y M3}\\
    \end{align*}

    Ahora multiplicaremos la igualdad anterior por $d$:
    \begin{align*}
    ad &=((cb)d^{-1})d\\
    ad &=(cb)(d^{-1}d)\tag{por M3}\\
    ad &=(cb)(1)\tag{por M5}\\
    ad &=cb\tag{por M4}\\
    ad &=bc\tag{por M2}\\
    \end{align*}

$\square$

Tarea moral

Prueba los puntos 3 y 4 de la sección «Algunos productos notables».

  • Diferencia de cubos: $x^{3} – y^{3}=(x-y)(x^{2} +xy+ y^{2})$
  • Suma de cubos: $x^{3} + y^{3}=(x-y)(x^{2} -xy+ y^{2})$
    Hint: Utiliza el punto anterior y prueba que $y^{3}=-(-y)^{3}$.

Prueba los puntos 3 y 5 de la sección anterior.

  • Para $b,d \neq 0$. $$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} =\frac{ad+bc}{bd}$$
  • Para $b,c,d \neq 0$. $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{ad}{bc}$$

Más adelante

Durante las últimas dos entradas vimos las propiedades relacionadas con la suma y la multiplicación de los números reales. Sin embargo, no son las únicas propiedades que este conjunto de números cumple. En la siguiente entrada comenzaremos a ver las propiedades de orden de los números reales y algunas de sus consecuencias.

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