Introducción
Comenzaremos a revisar un conjunto de propiedades muy particular que nos permitirán ordenar a los números reales. De acuerdo a este orden podremos decir para un par de números reales, quién es mayor o menor que otro. Así a la lista de propiedades vista previamente le agregaremos las siguientes.
Noción de orden en $\r$
O1.-Existe un subconjunto $P\subseteq \r$ tal que para todo $a\in\r$ ocurre una y sólo una de las siguientes afirmaciones:
- $a=0$,
- $a\in P$,
- $-a\in P \text{.}$
O2.-Si $a,b \in P$ entonces $a+b \in P$.
O3.-Si $a,b \in P$ entonces $a\cdot b \in P$.
Los elementos de $P$ son llamados números reales positivos.
Definición: Decimos que:
- $a>b \quad$ si $\quad a-b \in P$.
- $a<b \quad$ si $\quad b>a$.
- $a\geq b \quad$ si $\quad a-b \in P \quad$ o $\quad a=b$.
- $a\leq b \quad$ si $\quad b-a \in P\quad$ o $\quad a=b$.
Tricotomía
Proposición (Tricotomía): Para cualesquiera $a,b \in \r$, tenemos que cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:
- $a=b$
- $a>b$
- $b>a$
Demostración:
Sean $a,b\in\r$. Como por la cerradura de la suma S1 tenemos que: $$a+(-b)= a-b\in\r$$
Por O1 se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:
- $a-b=0$,
- $a-b\in P$,
- $-(a-b)\in P$.
Aplicando las definiciones anteriores nos quedaría:
- $a-b=0 \Rightarrow a=b$,
- $a-b\in P \Rightarrow a>b$,
- $-(a-b)\in P\Rightarrow b-a\in P \Rightarrow b>a \text{.}$
$\square$
Leyes de los signos
Definición: Diremos que $a$ es positivo si $a\in P$ y que es negativo si $-a\in P$.
Proposición (Leyes de los signos): Sean $a,b\in\r$. Se cumplen las siguientes afirmaciones:
- Si $a,b >0$ entonces $a\cdot b >0$.
- Si $a,b < 0$ entonces $a\cdot b >0$.
- Si $a>0$, $b<0$ entonces $a\cdot b < 0$.
- Si $a<0$, $b>0$ entonces $a\cdot b < 0$.
Demostración:
- Consideremos $a>0$ y $b>0$. Así tenemos que $a\in P$ y $b\in P$ entonces por O3 $a\cdot b \in P$.
$$\therefore \quad a\cdot b > 0$$ - Ahora tomemos $a< 0$ y $b<0$. Por lo que $-a\in P$ y $-b\in P$ entonces por O3 $(-a)\cdot( -b) \in P$.
$$\therefore \quad a\cdot b > 0$$
$\square$
Algunos resultados importantes
Proposición: Sean $a,b,c,d \in \r$. Tenemos que se cumplen los siguientes resultados:
- Si $a>b$ entonces $a+c>b+c$.
- Si $a<b$ y $c<0$ entonces $ac>bc$.
- Si $a<b$ y $c>0$ entonces $ac<bc$.
- Si $a<b$ y $c<d$ entonces $a+c<b+d$.
- Si $a<b$ y $c>d$ entonces $a-c<b-d$.
- Si $a<b$ entonces $-b<-a$.
Demostración:
Demostraremos los puntos 1,3,4 y 5, mientras que dejaremos como ejercicios al lector los puntos 2 y 6.
- Como $a>b$ esto significa que $a-b \in P$.
Así se sigue que:
\begin{align*}
a-b &= a +0 -b\\
&= a + (c -c)-b\\
&= (a +c) – (c+b) \quad\text{.}\\
\end{align*}
De lo anterior concluimos que $(a +c) – (c+b) \in P$, es decir, $a +c > c+b$. - Tarea moral.
- Por hipótesis tenemos que $a<b$ y $c>0$ por lo que ocurre: $b-a \in P$ y $c \in P$.
Por O3 afirmamos que $c (b-a) \in P$. Observemos que: $c (b-a) = cb – ca = bc – ac$.
$$\therefore \quad bc – ac \in P\text{.}$$
$$\therefore \quad bc>ac \text{.}$$ - Ya que $a<b$ y $c<d$ se sigue que $b-a \in P$ y $d-c \in P$. Así por O2 tenemos:
$$(b-a)+(d-c) \in P\text{.}$$
Notemos que:
\begin{align*}
(b-a)+(d-c) &= b-a+d-c\\
&= b+d -a-c\\
&= (b+d) – (a+c)\quad\text{.}\\
\end{align*}
$$\therefore \quad (b+d) – (a+c) \in P\quad\text{.}$$
$$\therefore \quad b+d > a+c\quad\text{.}$$ - Tenemos que $a<b$ y $c>d$ $\Rightarrow b-a \in P$ y $c-d \in P$.
Por O2 se sigue que $(b-a) + (c-d) \in P$. Y como tenemos lo siguiente:
\begin{align*}
(b-a) + (c-d)&= b-a + c-d\\
&= (b-d) + (-a +c)\\
&= (b-d) – (a-c)\quad\text{.}\\
\end{align*}
Así concluimos que: $(b-d) – (a-c)\in P$.
$$ \therefore b-d > a-c\quad\text{.}$$ - Tarea moral.
$\square$
Transitividad
Proposición (Transitividad): Para $a,b \in \r$ se cumplen las siguientes propiedades:
- Si $a>b$ y $b>c \Rightarrow a>c$.
- Si $a< b$ y $b<c \Rightarrow a<c$.
Demostración:
- Cómo $a>b$ y $b>c$ sabemos que $a-b \in P$ y $b-c \in P$.
Entonces tenemos por O2 $(a-b)+(b-c)\in P$. Y como:
$$(a-b)+(b-c) = a+(-b+b)-c = a-c \quad\text{.}$$
Así $a-c \in P$ y por lo tanto $a>c$. - Ya que $b>a$ y $c>b$. Aplicando el punto anterior se sigue que:
$$c> a \Rightarrow a < c \quad\text{.}$$
$\square$
El cuadrado de un número real
Proposición: Para todo $a\in \r$ se cumple lo siguiente:
$$a^{2} \geq 0 \text{.}$$
Demostración: Tomemos $a\in \r$. Por la propiedad O1 debemos considerar los siguientes tres casos.
- Caso $a =0$:
Como $a=0$, al multiplicar por $a$ en ambos lados de la igualdad tenemos:
\begin{align*}
&\Rightarrow a\cdot a = 0\cdot a\\
&\Rightarrow a\cdot a = 0\cdot 0\\
&\Rightarrow a^{2} = 0 \quad \text{.}\\
\end{align*}
Concluimos así $a^{2} \geq 0$. - Caso $a>0$
Así $a\in P$ y por O3 tenemos que $a \cdot a \in P$. Por lo que $a^{2} \in P$, es decir, $a^{2}> 0$. Se concluye $a^{2} \geq 0$. - Caso $a< 0$
Ahora tenemos que $-a\in P$ y por O3 que $-a \cdot -a \in P$. Así $a^{2}= (-a)(-a) \in P$, por lo que $a^{2} \geq 0$.
De los casos anteriores probamos que $a^{2} \geq 0$ para todo $a\in \r$
$\square$
Más adelante
Ya que hemos definido las propiedades de orden y varios de sus resultados más importantes. En la siguiente entrada comenzaremos por definir a los intervalos en los reales y a resolver desigualdades apoyándonos en todo lo visto en esta entrada.
Tarea moral
Demuestra los puntos 3 y 4 de las Leyes de los signos.
- Si $a>0$, $b<0$ entonces $a\cdot b < 0$.
- Sugerencia: Prueba $a\cdot (-b)$ es inverso aditivo de $ab$, es decir, $ab + a\cdot (-b) =0$
- Si $a<0$, $b>0$ entonces $a\cdot b < 0$.
- Sugerencia: Aplica o prueba el resultado $(-a)(b)=-(ab)$.
Prueba los puntos 2 y 6 de la sección Algunos resultados importantes:
- Si $a<b$ y $c<0$ entonces $ac>bc$.
- Si $a<b$ entonces $-b<-a$.
Muestre que para $a,b \in \r$ se cumplen las siguientes propiedades:
- Si $a>1$ entonces $a^{2} > a$.
- Si $0<a<1$ entonces $a^{2} < a$.
- Consideremos $0<a<b$, demostrar que se cumple la siguiente desigualdad:
$$a< \sqrt{ab}< \frac{a+b}{2} <b$$
Entradas relacionadas
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»