(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
Consideremos $\alpha \in S_7$ como $\alpha = (1\,3\,2)(6\,4)$, esta permutación fija a $5$ y a $7$. Entonces también podemos escribirla como $\alpha = (1\,3\,2)(6\,4)(5)(7)$. Notamos que una de las cosas en las que difieren es que en la segunda descomposición estamos agregando uno ciclos, pero también $\alpha = (1 \, 3 \, 2) (7) (6 \, 4)(5)$ es otra forma diferente de expresar a la permutación escribiendo a los uno ciclos. En esta entrada nos planteamos la posibilidad de escribir a $\alpha$ como un producto de ciclos distintos incluyendo a todos los uno ciclos y analizamos en qué difieren todas las distintas maneras de hacerlo.
Antes de empezar, podrías intentar escribir todas las maneras posibles de describir a $\alpha$ escribiendo a los uno ciclos. ¿Notas algo en común entre todas? Al final de esta entrada, tendremos la respuesta más clara.
Definición de una factorización completa
Para empezar, necesitamos definir un nuevo concepto.
Definición. Sea $\alpha \in S_n$. Una factorización completa de $\alpha$ es una descomposición de $\alpha$ en ciclos disjuntos con un $1-$ciclo por cada elemento fijado por $\alpha$.
Entonces $\alpha = (1 \; 3)\,(4 \; 5 \; 7)$ es una factorización de $\alpha$ en ciclos distintos pero no es una factorización completa de $\alpha$. Por otro lado $\alpha = (1 \; 3)\,(4 \; 5 \; 7)\,(2) \,(6) \,(8)$ sí es una factorización completa de $\alpha$.
Esa es una factorización completa de $\beta \in S_8$, pero no en $S_{10}$, en $S_{10}$ una factorización completa de de $\beta$ sería \begin{align*} \beta = (2 \; 4 \; 6 \; 8) \, (1 \; 3 \; 5)\,(7)\, (9) \, (10). \end{align*}
No es UNA factorización completa, es LA factorización completa
Recortemos la pregunta de la introducción ¿qué tienen en común todas las formas de describir a $\alpha$ como un producto de ciclos distintos en el que se incluyen todos los uno ciclos? He aquí la respuesta.
Teorema. Una factorización completa es única salvo por el orden de los factores.
Demostración.
Supongamos por reducción al absurdo que existe $\alpha\in S_n$ con dos factorizaciones completas distintas, no sólo por el orden de sus factores. Dado que en una factorización completa los $1-$ciclos corresponden a los elementos que quedan fijos, éstos coinciden en ambas factorizaciones. Igualando ambas factorizaciones y cancelando los $1-$ciclos y el resto de los factores comunes de ambas factorizaciones obtenemos $$\beta_1 \cdots \beta_r = \delta_1 \cdots \delta_s,$$ con $r,s \in \n^+.$ Notemos que $\alpha=\beta_1 \cdots \beta_r= \delta_1 \cdots \delta_s$.
Por la hipótesis de reducción al absurdo, alguno de los factores de la primera expresión de $\alpha$ no aparece como factor en la segunda expresión de $\alpha$ o viceversa. Sin pérdida de generalidad supongamos que $\beta_1\notin \{ \gamma_1, \dots , \gamma_s\}.$
Sea $i\in\{1,\dots , n\}$ un elemento movido por $\beta_1$, entonces, de acuerdo a lo que hemos estudiado, $\beta_1$ es de la forma $$\beta_1= (i \; \beta_1(i) \; \cdots \;\beta_1 ^{t-1}( i)),$$ con $t$ el menor natural positivo tal que $\beta_1 ^{t}( i)=i$. Dado que $\beta_1 ,\dots , \beta_r $ son disjuntos, $\alpha$ mueve a $i$, y como $\delta_1, \dots , \delta_s$ también son disjuntos, exactamente un factor $\delta_1, \dots , \delta_s$ mueve a $i$. Sin pérdida de generalidad supongamos que $\delta_1$ mueve a $i$, entonces $\delta_1$ es de la forma $$\delta_1= (i \;\delta_1(i) \; \cdots \;\delta_1 ^{k-1}( i)),$$ con $k$ el menor natural positivo tal que $\delta_1 ^{k}( i)=i$.
Pero, debido a que $\beta_1 ,\dots , \beta_r $ son disjuntos, conmutan, y entonces $$\alpha ^j (i)=(\beta_1 \cdots \beta_t)^j(i)=\beta_1^j \cdots \beta_t^j(i)=\beta_1^j (i)$$ para toda $j\in\mathbb{N}^+$. Análogamente $\alpha ^j (i)=\delta_1^j (i)$ para toda $j\in\mathbb{N}^+$. Concluimos con ello que $\beta_1 ^j (i)=\delta_1^j (i)$ para toda $j\in\mathbb{N}^+$ y en consecuencia $t=k$ y $\beta_1=\delta_1$, contradiciendo la elección de $\beta_1$.
Así, toda factorización completa es única salvo por el orden de los factores.
Entonces ya sabemos que existe una factorización única para cada permutación. La usaremos para definir el concepto de estructura cíclica en la siguiente entrada.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
Repasemos un poco el último ejemplo de la entrada anterior. En $S_5$ teníamos la composición $(1 \; 2 \; 3 \; 4)(2 \; 4 \; 5)$ y fijándonos en qué ocurre con cada elemento, concluimos que esta composición es igual a $(1 \; 2)(3 \; 4 \; 5)$. Entonces obtuvimos dos composiciones distintas para escribir a esa permutación. En el dibujo, es más claro que en la primera los dos ciclos se están entrelazando entonces es más difícil entender qué es lo que hace la permutación. Pero cuando vemos la representación de $(1 \; 2)(3 \; 4 \; 5)$ es más fácil entender qué es lo que está haciendo nuestra permutación. Así, es más conveniente trabajar con la segunda notación.
A simple vista podemos observar que $(1 \; 2 \; 3 \; 4)$ y $(2 \; 4 \; 5)$ comparten el 2, pero $(1 \; 2)$ y $(3 \; 4 \; 5)$ no comparten ningún elemento. En este caso, se dice que $(1 \; 2)$ y $(3 \; 4 \; 5)$ son ciclos disjuntos. Más aún, ¿será que cualquier permutación se puede descomponer en ciclos disjuntos? la respuesta es que sí, esto lo demostraremos también en esta entrada.
Definición de permutaciones disjuntas
Antes de definir lo que significa que dos permutaciones sean disjuntas, nos gustaría recordar la última observación de la entrada anterior. Observación. Si $n \geq 3$, entonces $S_n$ no es abeliano. Esto nos sirve para establecer que, en general, trabajaremos con grupos no abelianos.
Ahora sí definamos lo que son permutaciones disjuntas. Definición. Sean $\alpha, \beta \in S_n$. Decimos que $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas o ajenas si sop$\,\alpha \,\cap $ sop$\,\beta = \emptyset$, es decir, dado $i\in \{1,2,\dots, n\}$ se tiene que
\begin{align*} \alpha(i) \neq i &\Rightarrow \beta(i) = i .\\ \end{align*}
En consecuencia también ocurre que si $\beta(i) \neq i$, entonces $\alpha(i) = i.$
Observación. Si $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas, pueden fijar a un mismo elemento pero no mover a un mismo elemento.
En particular, si tenemos dos ciclos de longitud mayor a uno, podemos obtener la siguiente equivalencia. Observación. Sean $\alpha = (i_1 \dots i_r)$ y $\beta = (j_1 \dots j_t)$ con $r,t > 1$. Entonces $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas si y sólo si $\{i_1, \dots, i_r\} \cap \{j_1, \dots, j_t\} = \emptyset$.
Ejemplos.
$(1 \; 2 \; 3 \; 4)$ y $(2 \; 4 \; 5)$ no son disjuntas.
$(1 \; 2)$ y $(3 \; 4 \; 5)$ sí son disjuntas.
Las permutaciones disjuntas conmutan
Lema. Sean $\alpha, \beta \in S_n$. Si $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas, entonces conmutan.
Caso 1. Cuando $\alpha(i) = i$, $\beta(i) = i$. Ambas fijan al mismo elemento, esto es posible en permutaciones disjuntas. Entonces, al componer, no importará que permutación se aplique primero. \begin{align*} \alpha\beta(i) = \alpha(i) = i = \beta(i) = \beta\alpha(i). \end{align*}
Caso 2. Cuando $\alpha(i) = i$, $\beta(i) \neq i$. Si componemos, obtenemos $\beta\alpha(i) = \beta(i)$. Como $\beta$ es inyectiva y $\beta(i) \neq i$, entonces $\beta(\beta(i)) \neq \beta(i)$. Así $\beta$ mueve a $\beta(i)$ y como $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas $\alpha$ fija a $\beta(i)$. Entonces \begin{align*} \alpha\beta(i) = \alpha(\beta(i)) = \beta(i). \end{align*} Por lo tanto $\beta\alpha(i) = \alpha\beta(i)$.
Caso 3. Cuando $\alpha(i) \neq i$, $\beta(i) = i$. Este es análogo al caso 2.
El caso $\alpha(i) \neq i$, $\beta(i) \neq i$ no se da pues $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas. Por lo tanto $\alpha\beta = \beta\alpha$.
$\blacksquare$
Toda permutación se puede descomponer en ciclos disjuntos
Comencemos como un ejemplo. Consideremos a la permutación $\alpha \in S_9$
El 1 va al 3 y el 3 regresa al 1, entonces tenemos una transposición $(1 \; 3)$.
Luego, observemos que el 2 va al 4, el 4 al 7 y el 7 al 4. Así tenemos un $3-$ciclo, $(2 \; 4 \; 7)$.
De los números que no han aparecido hasta ahora, podemos tomar el 5, este va al 8, el 8 al 9 y el 9 regresa al 5. Entonces tenemos otro $3-$ciclo $(5 \; 8 \; 9)$.
Por último, el 6 queda fijo.
Esto se puede dibujar de la siguiente manera:
Representación gráfica de $\alpha$.
Pero también se puede escribir algebraicamente como:
Ahora veremos que cualquier permutación se puede descomponer en un producto de ciclos disjuntos.
Analicemos primero cómo se construyen los ciclos a partir de un número en su soporte.
Observación 1. Sean $t\in\mathbb{N}^+$, $\sigma\in S_n$ un $t$-ciclo e $i\in \text{sop } \sigma$. Entonces $$\sigma=(i\; \sigma(i) \;\sigma^2(i)\dots \sigma^{t-1}(i))$$ con $t=\text{mín}\{j\in \mathbb{N}^+| \sigma^{j}(i)=i\}.$
Demostración.
Sean $t\in\mathbb{N}^+$, $\sigma\in S_n$ un $t$-ciclo e $i\in \text{sop } \sigma$. Sabemos que $\sigma$ es de la forma $$\sigma=(i_0\; i_1 \cdots i_{t-1})$$ con $i_0, i_1, \dots , i_{t-1}$ distintos. Como $i\in \text{sop } \sigma=\{i_0, i_1, \dots , i_{t-1}\}$ podemos suponer sin pérdida de generalidad que $i=i_0$ por lo que $\sigma=(i\; i_1 \cdots i_{t-1})$. Entonces
\begin{align*}\sigma(i)&=i_1, \\\sigma^2(i)&=\sigma(\sigma(i))=\sigma(i_1)=i_2\end{align*} y en general $\sigma^j(i)=i_{j}$ para toda $1\leq j<t$ por lo que $$\sigma=(i\; \sigma(i) \;\sigma^2(i)\cdots \sigma^{t-1}(i))$$ con $i,\sigma(i) ,\sigma^2(i),\dots , \sigma^{t-1}(i)$ distintos. En particular $\sigma(i) ,\sigma^2(i),\dots , \sigma^{t-1}(i)$ son distintos de $i$ y además $\sigma^t(i)=\sigma(\sigma^{t-1}(i))=\sigma(i_{t-1})=i$ por lo que $t=\text{mín}\{j\in \mathbb{N}^+| \sigma^{j}(i)=i\}.$
Veamos ahora qué ocurre si la permutación no es necesariamente un ciclo. Probemos que cada número movido por la permutación da lugar a un ciclo.
Lema 1. Sea $\alpha\in S_n$, $i\in\{1,\dots , n\}$. Para cada $i\in\text{sop }\alpha$ existe $j\in\mathbb{N}^+$ tal que $\alpha ^{j}(i)=i$, más aún, si $t_i=\text{mín}\{j\in\mathbb{N}^+\mid \alpha ^{j}(i)=i\}$ se tiene que $i , \alpha(i), \alpha^2(i), \dots ,\alpha^{t_i-1}(i)$ son distintos.
Sabemos que esta lista tiene elementos repetidos ya que consiste de números en el conjunto finito $\{1,2,\dots,n\}$. Existen entonces $r,s\in\mathbb{N}$ distintos tales que $\alpha^r(i) = \alpha^s(i)$, sin pérdida de generalidad $s < r,$ por lo cual $ \alpha^{r-s}(i) = i$ con $ r-s\in\mathbb{N}^+$ como se quería demostrar.
Así, el conjunto $\{j\in\mathbb{N}^+\mid \alpha ^{j}(i)=i\}$ es no vacío, y por el principio del buen orden tiene un elemento mínimo, digamos $t_i$. Veamos ahora que $i , \alpha(i), \alpha^2(i), \dots ,\alpha^{t_i-1}(i)$ son distintos. Supongamos que $\alpha^q(i) = \alpha^l(i)$ para algunos $0\leq q\leq l < t_i$, entonces $\alpha^{l-q}(i) = i$ con $ 0\leq l-q<t_i$ y por la elección de $t_i$ esto implica que $l-q=0$, es decir que $q=l$. Por lo tanto $i , \alpha(i), \alpha^2(i), \dots ,\alpha^{t_i-1}(i)$ son distintos.
$\blacksquare$
Gracias al lema anterior podemos considerar el ciclo $(i\; \alpha (i)\cdots \alpha ^{t_i-1}(i))$:
Definición. Sea $\alpha\in S_n$, $i\in\text{sop }\alpha$ . El ciclo definido por $\alpha$ y por $i$ es
$$\sigma_{\alpha,i}=(i\; \alpha (i)\cdots \alpha ^{t_i-1}(i))\text{ con }t_i=\text{mín}\{j\in\mathbb{N}^+\mid \alpha ^{j}(i)=i\}.$$
Notemos que si $i\in\text{sop }\alpha$, entonces $$\sigma_{\alpha,i}=(i\; \alpha (i)\cdots \alpha ^{t_i-1}(i))= (\alpha (i)\cdots \alpha ^{t_i-1}(i)\;i)= (\alpha^2 (i)\cdots \alpha ^{t_i-1}(i)\;i\;\alpha(i))= \dots, \text{ etc.},$$ por lo que toda $k\in \{i, \alpha (i),\dots , \alpha ^{t_i-1}(i)\}$ define el mismo ciclo que $i$, es decir:
Observación 2. Si $i\in\text{sop }\alpha$, entonces para toda $k\in \{i, \alpha (i),\dots , \alpha ^{t_i-1}(i)\}$ se tiene que $\sigma_{\alpha,k}=\sigma_{\alpha,i}$ y $t_k=t_i.$
En consecuencia tenemos el siguiente resultado:
Lema 2. Sea $\alpha\in S_n$, $i,j\in\text{sop }\alpha$, y consideremos $\sigma_{\alpha,i},\sigma_{\alpha,j}$ como en la definición anterior. Si $\sigma_{\alpha,i}\neq \sigma_{\alpha,j},$ entonces $\sigma_{\alpha,i}$ y $\sigma_{\alpha,j}$ son disjuntos.
Demostración.
Sea $\alpha \in S_n$, $i,j\in\text{sop }\alpha$, $\sigma_{\alpha,i}\neq \sigma_{\alpha,j},$ como en la definición anterior. Probemos el lema por contrapuesta. Supongamos que $\sigma_{\alpha,i}$ y $ \sigma_{\alpha,j},$ no son disjuntos. Existe entonces $k$ movido por ambos ciclos, es decir $k\in\{i, \alpha (i),\cdots \alpha ^{t_i-1}(i)\}\cap\{j, \alpha (j),\cdots ,\alpha ^{t_j-1}(j)\}.$ Por la observación previa tenemos que $\sigma_{\alpha,k}=\sigma_{\alpha,i}$ y $\sigma_{\alpha,k}=\sigma_{\alpha,j}$, de donde concluimos que $\sigma_{\alpha,i}=\sigma_{\alpha,j}$.
$\blacksquare$
Ahora veremos que al considerar todos los ciclos distintos del tipo $\gamma_i$ y componerlos, obtenemos una descomposición de la permutación inicial en ciclos disjuntos:
Teorema. Toda permutación en $S_n$ es un ciclo o un producto de ciclos disjuntos
Demostración.
Sea $\alpha\in S_n$. Consideremos todos los ciclos $\sigma_{\alpha,i}$ con $j\in\text{sop }\alpha$ y eliminemos los ciclos repetidos, llamemos $\gamma_1,\gamma_2,\dots ,\gamma_r$ a los ciclos restantes. Afirmamos que $\alpha=\gamma_1\gamma_2\cdots \gamma_r$ es una descomposición de $\alpha$ en ciclos disjuntos. Por construcción $\gamma_1\gamma_2\cdots \gamma_r$ es un producto de ciclos, y por el lema 2, dado que $\gamma_1,\gamma_2,\dots ,\gamma_r$ son distintos, entonces son también disjuntos. Así, basta convencerse de que $\alpha=\gamma_1\gamma_2\cdots \gamma_r$ para terminar la demostración.
Sea $i\in\{1,2,\dots ,n\}$. Si $i\in\text{sop }\alpha$ tenemos que $\sigma_{\alpha,i}\in\{\sigma_{\alpha,j}\mid j\in\text{sop }\alpha\}=\{\gamma_1,\gamma_2,\dots ,\gamma_r\}$ y entonces $\sigma_{\alpha,i}=\gamma_j$ para alguna $1\leq j\leq r$. Así, $\gamma_j=\sigma_{\alpha,i}=(i\; \alpha (i)\cdots \alpha ^{t_i-1}(i))$ y $$\gamma_1\gamma_2\cdots \gamma_r(i)=\gamma_j(i)=\alpha(i)$$ (donde la primera igualdad se debe a que $\gamma_1,\gamma_2,\dots ,\gamma_r$ son disjuntos). Si $i\notin\text{sop }\alpha$ tenemos que $i\notin\text{sop }\gamma_j$ para toda $j\in\{1,\dots ,r\}$ , por lo que $\gamma_1\gamma_2\cdots \gamma_r(i)=i=\alpha(i)$. Por lo tanto $\alpha=\gamma_1\gamma_2\cdots \gamma_r$ .
Entonces, nombremos $\gamma_1$ a ese $4-$ciclo, $\gamma_1 = (1 \; 4 \; 9 \; 2)$.
Ahora, tomemos un elemento que no esté en $\gamma_1$, digamos $3$. De nuevo, aplicamos $\alpha$ varias veces para descubrir el ciclo al que pertenece. \begin{align*} 3, \alpha(3) = 7, \alpha^2(3)=3. \end{align*}
Tenemos así una transposición $\gamma_2=(3\; 7).$
Volvemos a tomar un número que no haya aparecido hasta ahora, digamos $5$. Aplicando $\alpha$ varias veces, podemos descubrir el ciclo, \begin{align*} 5, \alpha(5) = 6, \alpha^2(5) = 8, \alpha^3(5) = 5, \end{align*}
Demuestra la observación: Si $n \geq 3$, entonces $S_n$ no es abeliano.
Encuentra dos permutaciones disjuntas $\alpha$ y $\beta$. Encuentra $\beta\alpha$ y $\alpha\beta$ ¿qué observas al comparar $\beta\alpha$? Intenta con otro ejemplo de dos permutaciones disjuntas $\alpha$ y $\beta$ y analiza lo que ocurre.
Sean $\alpha$ y $\beta$ dos permutaciones que conmutan ¿podemos concluir entonces $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas?
Considera el siguiente elemento de $S_{11}$ \begin{align*} \alpha = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11\\ 5 & 8 & 2 & 6 & 4 & 1 & 3 & 7 & 9 & 11 & 10 \end{pmatrix}. \end{align*} Encuentra una factorización en ciclos disjuntos de $\alpha$, y de $\alpha^{-1}$.
Más adelante…
Ya conocemos qué son las permutaciones disjuntas y que cualquier permutación se puede ver como multiplicación de ciclos disjuntos. También, puede que hayas notado que comenzamos a escribir los $1-$ciclos de los elementos que se quedan fijos en las permutaciones. Esto nos encamina al tema principal de la siguiente entrada, la factorización completa, que no es más que la descomposición de una permutación en ciclos disjuntos incluyendo los $1-$ciclos.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
La Unidad 2 empieza con algunas definiciones nuevas. Veremos un ejemplo específico de grupo, primero definiremos qué es una permutación y luego, el conjunto de todas las permutaciones, al que llamaremos grupo simétrico junto con la composición. Este grupo es importante porque más adelante descubriremos que los grupos se pueden visualizar como subgrupos de grupos de permutaciones.
Primeras definiciones
Definición. Una permutación de un conjunto $X$ es una función biyectiva de $X$ en $X$.
Notación. Denotaremos por $S_X$ al conjunto
\begin{align*} S_X = \{\sigma: X \to X | \sigma \text{ es biyectiva}\}. \end{align*}
Si $X = \{1,…,n\}$, $S_X$ se denota por $S_n$. Si tomamos $\alpha, \beta \in S_X$ la composición de $\alpha$ seguida de $\beta$ se denota por $\beta\alpha$.
Observación 1. $S_X$ con la composición es un grupo, se llama el Grupo Simétrico.
La matriz es una manera de representar una permutación, la fila de arriba son todos los elementos de $X= \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ y la fila de abajo está formada por las imágenes bajo $\alpha$ de cada elemento de la fila de arriba. Es decir, la matriz de $\alpha$ se puede leer como: «$\alpha$ manda al $1$ al $8$», «el $ 2 $ lo manda al $3$», etc. Entonces tenemos que, $\alpha$ mueve a $1,2,3,4,5,7,8$ y fija al $6,9,10$. Así
Definición. Sea $\alpha \in S_n$, $r\in\z$, $r>1$. Decimos que $\alpha$ es un ciclo de longitud $r$ o un $r$-ciclo si existen $i_1, \dots, i_r \in \{1, \dots, n\}$ distintos tales que $\text{sop }\alpha = \{i_1, \dots, i_r\}$ y
\begin{align*} \alpha(i_t) = \begin{cases} i_{t+1} & \text{si } t \in \{1, \dots, r-1\} \\ i_1 & \text{si } t = r \end{cases} \end{align*}
Figura para ilustrar la definición de un ciclo.
Diremos que la permutación $\text{id}\in S_n$ es un ciclo de longitud $1$ o un $1$-ciclo. Los ciclos de longitud dos se llaman transposiciones.
Las transposiciones son muy importantes porque, como veremos más adelante, nos permitirán describir a las demás permutaciones.
Notación.
Un $r$-ciclo $\alpha$, tal que cada $i_j$ va a $i_{j+1}$ para cada $j \in \{1,…,r-1\}$ y $i_r$ regresa a $i_1$ se denota como $\alpha = (i_1\; i_2 \; \dots \; i_r)$.
Además, denotamos como $r = \text{long } \alpha$ a la longitud de $\alpha$.
En este caso, $\alpha$ es un $5-$ciclo y $\text{long }\alpha = 5$. Observemos que el ciclo se puede comenzar a escribir con cualquier elemento de su soporte, siempre y cuando se cumpla la regla de correspondencia establecida.
2. Ahora, consideremos $\beta \in S_8$ como
Representación de $\beta$.
\begin{align*} \beta =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 5 & 4 & 3 & 6 & 7 & 8\end{pmatrix}, \end{align*} entonces podemos decir que $\beta = (3 \; 5)$, porque a los otros elementos los deja fijos.
Si componemos $\beta$ con el $\alpha$ del ejemplo anterior obtenemos:
Para verificar qué ésta es efectivamente la composición de $\beta$ seguida de $\alpha$, tenemos que observar a dónde manda a cada elemento:
Comenzamos con el $2$ (esto es arbitrario, se puede comenzar con el número que sea), observamos que $\beta$ lo deja fijo, entonces nos fijamos a dónde lo manda $\alpha$, en este caso, el $2$ es mandado al $4$. Así, $\alpha\beta$ manda al $2$ en el $4$.
Repetimos el proceso con el $4$, $\beta$ lo deja fijo y $\alpha$ lo manda al $5$. Así, $\alpha\beta$ manda al $4$ en el $5$.
Ahora con el $5$, $\beta$ manda al $5$ en $3$, entonces ahora vemos a dónde manda $\alpha$ al $3$, en este caso lo deja fijo. Así, $\alpha\beta$ manda al $5$ en el $3$.
Entonces ahora tenemos que observar a dónde es mandado el $3$ después de la composición. Primero, $\beta$ manda el $3$ al $5$ y $\alpha$ manda el $5$ al $8$, por lo tanto $\alpha\beta$ manda el $3$ al $8$.
Así continuamos con todos los elementos que aparezcan en la composición hasta terminar.
Ahora, veamos qué sucede con $\beta\alpha$. El proceso es análogo: \begin{align*} \beta\alpha &= (3 \; 5) (2 \; 4 \; 5 \; 8 \; 6) = (3 \; 5 \; 8 \; 6 \; 2 \; 4). \end{align*} Por lo tanto $\alpha\beta \neq \beta\alpha$.
3. En $S_5$. Podemos considerar la siguiente permutación: $(1 \; 2 \; 3 \; 4)(2 \; 4 \; 5)$. A esta permutación la podemos simplificar usando el mismo procedimiento que en el ejemplo 2.
Observamos a dónde lleva cada uno de sus elementos:
Comencemos con el 2, la primera parte de la permutación, lleva el 2 al 4 y, la segunda parte lleva el 4 al 1.
Ahora veamos a dónde va el 1. La primera parte lo deja fijo y la segunda lo lleva al 2. Entonces obtenemos una permutación $(1\;2)$. Pero todavía falta ver el resto de elementos.
Ahora, veamos qué sucede con el 3. La primera parte lo deja fijo y la segunda lo manda al 4.
La primera parte de nuestra permutación manda el 4 al 5 y, el 5 se queda fijo.
Por último, el 5 es mandado al 2 por la primera parte de la permutación y, la segunda parte manda al 2 en el 3. Por lo tanto, el 5 regresa al 3. Esto se puede escribir como:
Este ejemplo nos permite intuir que en ocasiones las permutaciones se pueden simplificar.
Observación. Si $n \geq 3$, entonces $S_n$ no es abeliano.
Tarea moral
Demostrar la observación 1: $S_X$ con la composición es un grupo, se llama el Grupo Simétrico.
Sea $X$ un conjunto infinito, $H$ la colección de permutaciones de $S_X$ que mueven sólo un número finito de elementos y $K$ la colección de permutaciones que mueven a lo más $50$ elementos. ¿Son $H$ y $K$ subgrupos de $S_X$?
Sea $a \in S_n, $ con $n > 2$. Si $\alpha$ conmuta con toda permutación de $S_n$ ¿puedes decir quién debe ser $\alpha$?
Más adelante…
Por el momento continuaremos hablando de las permutaciones. El último ejemplo visto nos da la noción de permutaciones disjuntas, este tema es el que profundizaremos en la siguiente entrada, pero por el momento ¿puedes imaginarte de qué se trata?
En la entrada anterior tomamos un grupo $G$ y un subconjunto $X \subseteq G$ y, logramos encontrar al menor subgrupo de $G$ que contiene a $X$. Este conjunto resultó ser la intersección de todos los subgrupos contenidos en $G$ que, a su vez, contienen a $X$. Recordemos que se llama el subgrupo de $G$ generado por $X$ y se denota
\begin{align*} \left< X\right> = \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H. \end{align*}
Sin embargo, esto no nos dice mucho sobre los elementos de $X$. Ilustremos un poco lo que tenemos. Tomemos un grupo $G$, un subconjunto $X \subseteq G$ y al generado $ \left<X\right> \subset G$. Entonces, si tomamos $x_1,x_2,x_3 \in X$, sabemos que todas las potencias de esos elementos están en el generado de $X$. Es decir, para todas $q,r,s \in \z$, $x_1^q, x_2^r, x_3^s \in \left<X\right>$. Más aún, las diferentes multiplicaciones de esos elementos también están en $\left<X\right>$, por ejemplo, si consideramos $x_1^1, x_3^{-2}, x_2^{3}$ y $x_1^{-4}$, el elemento
está en $\left<X\right>$, por ser una multiplicación de elementos del subgrupo. Entonces, en el generado de $X$ estarán todos los elementos de $X$, las potencias de esos elementos y todas las multiplicaciones entre dichas potencias.
Al elemento \eqref{palabra} la llamamos una palabra en $X$ y es lo que estudiaremos en esta entrada. Además, las palabras nos permiten dar descripción del subgrupo generado. Esta idea es análoga a la que se estudia en álgebra lineal cuando se describe al subespacio generado por un conjunto como una colección de combinaciones lineales de vectores. Sin embargo, en el caso de subgrupos, esta descripción no es igual a la de álgebra lineal porque hay que recordar que un grupo en general no es abeliano. Esto influye en qué tanto se pueda simplificar una palabra.
Nuestra primera aproximación a las palabras
Definición. Sea $G$ un grupo, $X$ un subconjunto de $G$. Una palabra en $X$ es, o bien el neutro $e$, o bien un elemento de la forma
Notación. Denotamos por $W_X$ al conjunto de todas las palabras en $X$.
Ejemplos
Ejemplo 1. Sea $G = D_{2(4)}$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un cuadrado centrado en el origen. Sea $a$ la rotación de $\pi/2$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$. $ba^3 b a^{-1} b^{-4} a$ es una palabra en $\{a, b\}$.
En este caso, la palabra sí se puede simplificar como: \begin{align*} b a^3 b a^{-1}b^{-4} a &= ba^3ba^{-1} e a \\ & = b a^3 b a^{-1} a \\ & = ba^3 b \end{align*}
Para la primera igualdad, recordemos que $b$ es la rotación por $\pi/2$, entonces al aplicar esa rotación $4$ veces, el cuadrado recupera su estado inicial, así por eso $ b^{4} = e$ y de forma análoga como $b^{-1}$ es la rotación por $-\pi/2$ se tiene que $b^{4} = e$.
Notación. Usaremos la notación $D_{2(4)}$ para denotar las simetrías del cuadrado (que tiene 4 vértices), este grupo diédrico tiene 8 elementos. Otros autores pueden escribir simplemente $D_8$, pero esto se puede confundir con el grupo de las simetrías de un octágono. De forma más general el grupo diédrico de un polígono de $n$ lados es el grupo de simetrías de un polígono regular de $n$ lados centrado en el origen, con la operación de composición. Lo denotatemos por $D_{2n}$ y tendrá $2n$ elementos.
Ejemplo 2. Consideremos el conjunto $ \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$. Este conjunto es llamado el grupo de los cuaterniones o cuaternios y se suele denotar por $Q$ o $Q_8$ porque tiene 8 elementos.
Las operaciones en el conjunto se definen como: \begin{align*} 1 a &= a 1 = a &\forall a \in Q \\ (-1) a &= a (-1) = -a & \forall a \in Q \end{align*}
Además, las multiplicaciones no son conmutativas y están definidas así: $\begin{align*} ij &= k, \quad &jk = i, \quad &ki =j, \\ ji &= -k, \quad &kj = -i, \quad &ik=-j, \\ i^2 &= j^2 = k^2 = -1. \end{align*}$
Una palabra en $\{j\}$ es $j^5j^{-2} j^{3} j^{-4}$, resolviendo las potencias podemos concluir que esta palabra es igual a $-1$ (verificarlo quedará como ejercicio). Podemos ahora considerar el conjunto de todas las palabras formadas con el elemento $j$, es decir el conjunto de palabras en $\{j\}$. Se puede ver que: \begin{align*} W_{\{j\}} = \{j,-1,-j, +1\}. \end{align*}
También podemos considerar el conjunto de palabras formadas con los elementos $j$ y $k$, es decir el conjunto de palabras en $\{j,k\}$. En este caso se tiene que: \begin{align*} W_{\{j,k\}} = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \}=Q. \end{align*}
Palabras y el subgrupo generado por $X$
Lema. Sea $G$ un grupo y $X$ un subconjunto de $G$. $W_X$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $X$.
Demostración. Caso 1, cuando $X = \emptyset$. En este caso, $W_X = \{e\} \leq G$ y $X = \emptyset \subset \{e\} = W_X$.
Caso 2, cuando $X \neq \emptyset$. P.D. $W_X \leq G$. Por definición $e \in W_X$. Sean $a, b \in W_X$, entonces
En ambos casos $W_X$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $X$.
$\blacksquare$
Teorema. Sea $G$ un grupo, $X$ un subconjunto de $G$. Entonces
$\left< X \right> = W_X$.
Demostración. $\subseteq)$ Por el lema anterior, $W_X \in \{H \leq G : X \subseteq H\}$. Entonces, por nuestra definición del subgrupo generado, \begin{align*} \left< X \right> = \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H \subseteq W_X. \end{align*}
Como cada $x_i \in X$, con $i \in \{1,..,n\}$, y $X \subseteq \left< X \right>$, entonces $x_i\in\left< X \right>$ para toda $i \in \{1, \dots ,n\}$. Como el generado es un subgrupo de $G$, obtenemos que $x_i^{\alpha_i} \in \left< X \right>$ para toda $i \in \{1,\dots,n\}$. Usando nuevamente que el generado es un subgrupo de $G$ tenemos que $a = x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n} \in \left<X\right>$.
Por lo tanto, $\left< X \right> = W_X$.
$\blacksquare$
¿Quién es el orden de un producto?
Ya hemos hablado del orden de un elemento. Si tenemos un grupo $G$ y $a, b \in G$ y sabemos quién es $o(a)$ y $o(b)$, ¿podemos saber cómo es $o(ab)$? En algunos casos podemos respuesta a esta pregunta dando una explicación más precisa de cómo es el orden de un producto en términos del orden de sus factores. El siguiente resultado aparece en el libro de Avella, Mendoza, Sáenz y Souto mencionado en la bibliografía, Teorema 3.3.12:
Teorema. Sea $G$ un grupo y $a, b \in G$. Si $a$ y $b$ son de orden finito, sus ordenes son primos relativos y $ab = ba$, entonces
Demostración. Sea $G$ un grupo, $a,b \in G$ de orden finito con $n = o(a)$, $m = o(b)$. Supongamos que $(n;m) = 1$ y $ab = ba$.
P.D. $o(ab) = nm$. Entonces
\begin{align*} (ab)^{nm} & = a^{nm} b^{nm} & \text{ porque } ab = ba \\ & = (a^n)^m(b^m)^n & \text{ propiedades de los exponentes}\\ & = e^m e^n \\ & = e \end{align*}
Ya teniendo que $(ab)^{nm} = e$, tenemos que ver que $nm$ es el menor exponente positivo tal que al elevar $ab$ a ese exponente nos da el neutro, o bien ver que divide a cualquier otro $k$ tal que $(ab)^k = e$. Procedamos de acuerdo a la segunda opción.
Sea $k\in\z$ tal que $(ab)^k = e$, y como $ab=ba$ esto implica que $a^k b^k = e$. Despejando, obtenemos $a^k = b^{-k}$.
Así $(a^k)^m = (b^{-k})^m = (b^m)^{-k} = e^{-k} = e$ (porque $o(b) = m$), es decir $a^{km} = e$. Dado que $o(a) = n$, entonces $n|km$ y como $(n;m) = 1$ entonces $n|k$.
Si consideramos ahora $(a^k)^n = (b^{-k})^n$ y seguimos un argumento análogo obtenemos que $m|k$.
Como $n|k$ y $m|k$ y $(n;m) = 1$, entonces $nm|k$. Por lo tanto $o(ab) = nm$.
P.D. $\left< a,b \right> = \left< ab \right>$. Como toda palabra en $\{ab\}$ es una palabra en $\{a, b\}$ entonces \begin{align*} \left< ab \right> \subseteq \left< a, b \right>. \end{align*}
Por otro lado, como $ab = ba$, toda palabra en $\{a,b\}$ se reduce a una de la forma $a^{i}b^{j}$ con $i, j \in \z$, y como $o(a) = n$, $o(b) = m$, la expresión $a^{i}b^{j}$ se puede reducir aún más a una expresión de la forma $a^{i}b^{i}$ con $0 \leq i < n$ y $0 \leq j < m$.
Entonces $\left< a, b \right> = \{a^{i}b^{j}: 0 \leq i < n, 0 \leq j < m\}$. Luego, $|\left<a, b\right>| \leq nm$. Pero $\left< ab \right> \subseteq \left<a,b\right>$, entonces $|\left< ab \right>| \leq |\left< a,b \right>|$. Así,
Por lo tanto $\left<ab\right> = \left< a, b \right>$.
$\blacksquare$
Tarea moral
En el grupo de los cuaternios definido anteriormente, verifica que $j^5j^{-2}j^3j^{-4} = -1$.
Considera $Q$, el grupo de cuaternios. Reduce la siguiente palabra a uno de los elementos $\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k$, $$\begin{align*} j^7k(-i)jki^2jk^{-6} \end{align*}$$
Sea $D_{2n} = \{\text{ id }, a, \dots, a^{n-1}, ab, \dots, a^{n-1}b\}$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un polígono regular de $n$ lados, con $a$ la rotación de $\displaystyle \frac{2\pi}{n}$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$.
Identifica geométricamente quiénes son $\text{ id }, a, \dots, a^{n-1}, ab, \dots, a^{n-1}b$.
Determina quién es el elemento $bab$ y, de modo más general, quién es el elemento $ba^{i}b$ para toda $i\in\z$.
Determina quién es el elemento $ba^i$ para toda $i\in\z$.
Considera el grupo simétrico $S_5$, $\alpha$ la permutación que manda $1$ en $2$, $2$ en $3$ y $3$ en $1$, fija a $4$ y a $5$, y $\beta$ la permutación que intercambia $4$ y $5$.
Encuentra $\beta \alpha$ y $\alpha \beta$.
Encuentra el orden de $\alpha$, $\beta$, $\alpha\beta$ y $\beta\alpha$.
Por último, te invitamos a que veas este video que habla sobre las aplicaciones tecnológicas del grupo de los cuaternios. El video está en inglés, pero tiene subtítulos en español.
Más adelante…
¡Felicidades por acabar la Unidad 1! Ya entiendes las bases de este curso, trata de recordarlas porque las estaremos usando implícitamente. En la siguiente unidad estaremos viendo Permutaciones y Grupo Cociente, para no adelantar mucho, sólo diremos que ambas estructuras son grupos muy importantes en el álgebra y nuestros objetos de estudio en la siguiente unidad.
Ya vimos qué es un grupo cíclico. Ahora nos preguntamos si, teniendo $G$ un grupo cíclico y tomando cualquier subgrupo $H \subseteq G$ ¿será cierto que $H$ también es cíclico?
Ilustremos esto con un ejemplo. Consideremos $\z$ con la suma, en este caso $\z = \left<1\right>$,
es decir $\left<2\right>$ y $\left<3\right>$ respectivamente. Pero también podemos observar que tanto $2$ como $3$ son la mínima potencia de $1$ que aparece en sus respectivos generados. Es decir, aunque el $1$ no esté en un subgrupo cíclico de $\z$, el subgrupo será generado por la mínima potencia de $1$ que sí sea elemento del subgrupo. En esta entrada, comenzaremos probando este resultado.
En la segunda parte de esta entrada regresaremos a la problemática inicial planteada en la entrada Orden de un elemento y grupo cíclico. Si tenemos un subconjunto $X \subseteq G$, con $G$ un grupo, ¿cuál es el mínimo subgrupo $H$ de $G$ tal que $H$ contenga a $X$?
Podemos estar de acuerdo en que es posible que $X$ esté contenido en más de un subgrupo, podemos considerar la familia de subgrupos de $G$ que contienen a $X$. A estos subgrupos los denotaremos como $H_i$ con $i \in I$. Como $X\subseteq H_i$ para toda $i$, sabemos que $\displaystyle X \subseteq \bigcap_{i \in I}H_i$ y éste resultará ser el menor subgrupo de $G$ que contiene a $X$. Esto será lo que desarrollaremos en la segunda parte de la entrada.
Los subgrupos de un grupo cíclico, son cíclicos.
Teorema. Todo subgrupo de un grupo cíclico, es cíclico.
Demostración. Sea $G$ un grupo cíclico, $H \leq G$. Como $G$ es cíclico, entonces $G = \left< a \right>$ para algún $a \in G$.
Para ver que $H$ es cíclico tenemos que proponer un generador de $H$, este generador tiene que ser una potencia de $a$, porque $H \subseteq G$ y $G$ es cíclico. Por lo que dijimos en la introducción, elegiremos la potencia de $a$ con el menor exponente positivo, que esté en $H$. Pero, para ello, tenemos que asegurarnos primero que en $H$ existen potencias de $a$ con exponentes positivos. Así, consideraremos dos casos.
Si $H = \{e\} = \left< e \right>$ que es cíclico.
Si $H \neq \{e\}$, sea $h \in H\setminus\{e\}$. Entonces como $H \leq G$, $h \in G = \left<a\right>$. Así $h = a^k$ para algún $k \in \z$ y como $h \neq e$ entonces $k \neq 0$.
Tenemos que $h^{-1} = a^{-k} \in H$ pues $H$ es subgrupo.
Así $a^k$, $a^{-k} \in H$ (con $k \in \z \setminus\{0\}$), entonces no importa si $k$ es positivo o negativo, siempre habrá un elemento en $H$ que se obtiene elevando $a$ a un entero positivo, es decir,
$\supseteq]$ Por la elección de $m$, $a^m \in H$ y como $H$ es un subgrupo entonces $\left< a^m \right> \subseteq H$.
$\subseteq]$ Sea $h \in H$. Como $H \leq G = \left<a\right>$, entonces $h = a^k$ para algún $k \in \z$.
Por el algoritmo de la división existen $q,r \in \z$ tales que $k = mq+r$ con $0 \leq r < m$. Entonces $h = a^k = a^{mq+r} = (a^m)^q a^r$. Esto implica que
$(a^m)^{-q}h = a^r.$
Pero $a^m \in H$, $h \in H$ y $H$ es subgrupo, entonces $a^r = (a^m)^{-q}h \in H$ con $0 \leq r < m$. Para no contradecir la elección de $m$ concluimos que $r=0$.
Así $h = a^{mq} = (a^m)^q \in \left< a^m \right>$. Por lo tanto $H = \left< a^m \right>$ y $H$ es cíclico.
$\blacksquare$
El menor subgrupo que contiene a cualquier subconjunto $X$
Teorema. La intersección de una familia no vacía de subgrupos de un grupo $G$ es un subgrupo de $G$.
Cuando decimos familia no vacía nos referimos a que haya al menos un grupo en la familia, con el fin de que haya al menos un grupo a intersecar. Ésta es una condición que se pide para que a nivel conjuntista no haya problemas con la intersección.
Demostración. Sea $G$ un grupo y $\{H_i | i \in I\}$ una familia de subgrupos de $G$. P.D. $\displaystyle \bigcap_{i \in I} H_i \leq G$.
Como $H_i \leq G$ para toda $i \in I$, entonces $e \in H_i$ para toda $i \in I$ y así $\displaystyle e \in \bigcap_{i \in I} H_i$.
Sea $\displaystyle a, b \in \bigcap_{i \in I}$. Tenemos que $a,b \in H_i$ para toda $i \in I$. Como $H_i \leq G$ para toda $i \in I$, entonces $ab^{-1} \in H_i$ para toda $i \in I$ y así $a b^{-1} \in \displaystyle \bigcap_{i \in I}H_i$.
Por lo tanto $\displaystyle \bigcap_{i \in I} H_i \leq G$.
$\blacksquare$
Corolario. Sea $G$ un grupo y $X$ un subconjunto de $G$. Existe un subgrupo de $G$ que contiene a $X$ y que estará contenido en cualquier subgrupo de $G$ que contenga a $X$.
Demostración. Sea $G$ un grupo y $X$ subconjunto de $G$. $G$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $X$ y entonces la familia $\{H \leq G | X \subseteq H\}$ es no vacía. Entonces sí existen subgrupos de $G$ que contienen a $X$.
Consideremos $\displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H$. Por el teorema anterior esta intersección es un subgrupo de $G$ y por construcción $X \subseteq \displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H$.
Ahora, si $\hat{H}$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $X$, entonces $\hat{H} \in \{H \leq G | X \subseteq H \}$, y al ser uno de los intersecandos, obtenemos
$\displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H \subseteq \hat{H}$.
Así, $\displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $X$ y que está contenido en cualquier subgrupo de $G$ que contenga a $X$
$\blacksquare$
El subgrupo de $G$ generado por $X$
Para concluir esta entrada, daremos una definición que resume lo visto.
Definición. Sea $G$ un grupo y $X$ un subgrupo de $G$. El conjunto
\begin{align*} \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H \end{align*}
es el subgrupo de $G$ generado por $X$ y se denota por $\left< X \right>$.
Decimos que $X$ genera a $G$ si $\left< X \right> = G$.
Observación. Sea $G$ un grupo y sea $a \in G$. Entonces
\begin{align*} \left< \{a\} \right> = \left< a \right>. \end{align*}
Demostración. Se quedará como tarea moral.
Notación. Para $a_1,\dots, a_n \in G$, el subgrupo $\left< \{a_1,\dots, a_n\}\right>$ se denota por $\left< a_1, \dots, a_n \right>$.
Tarea moral
Sea $G$ un grupo tal que todos sus subgrupos propios son cíclicos, entonces $G$ es cíclico. Demuestra este enunciado o encuentra un contraejemplo.
Considera a los enteros con la suma. Describe a los subgrupos:
$\left<\{10, 15\}\right>$ (se denota por $\left<10,15\right>$).
$\left<\{9, 20\}\right>$ (se denota por $\left<9,20\right>$).
Demuestra la última observación: Sea $G$ un grupo y sea $a \in G$. Entonces $\left< \{a\} \right> = \left< a \right>$. Sugerencia: Usa la doble contención y el teorema anterior.
Más adelante…
Ya estudiamos a los elementos de la forma $a^k$ con $a \in G$, $k \in \z$ y $G$ un grupo. En la siguiente entrada combinaremos varios elementos de esa forma. Estudiaremos qué son y algunas propiedades de las llamadas palabras. Además, la siguiente entrada es la última de esta unidad, ¡sigue avanzando! ya casi acabas.
