(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
Consideremos como , esta permutación fija a y a . Entonces también podemos escribirla como . Notamos que una de las cosas en las que difieren es que en la segunda descomposición estamos agregando uno ciclos, pero también es otra forma diferente de expresar a la permutación escribiendo a los uno ciclos. En esta entrada nos planteamos la posibilidad de escribir a como un producto de ciclos distintos incluyendo a todos los uno ciclos y analizamos en qué difieren todas las distintas maneras de hacerlo.
Antes de empezar, podrías intentar escribir todas las maneras posibles de describir a escribiendo a los uno ciclos. ¿Notas algo en común entre todas? Al final de esta entrada, tendremos la respuesta más clara.
Definición de una factorización completa
Para empezar, necesitamos definir un nuevo concepto.
Definición. Sea . Una factorización completa de es una descomposición de en ciclos disjuntos con un ciclo por cada elemento fijado por .
Ejemplos.
Sea como
Entonces es una factorización de en ciclos distintos pero no es una factorización completa de . Por otro lado sí es una factorización completa de .
Sea dada por
Esa es una factorización completa de , pero no en , en una factorización completa de de sería
No es UNA factorización completa, es LA factorización completa
Recordemos la pregunta de la introducción ¿qué tienen en común todas las formas de describir a como un producto de ciclos distintos en el que se incluyen todos los uno ciclos? He aquí la respuesta.
Teorema. Una factorización completa es única salvo por el orden de los factores.
Demostración.
Supongamos por reducción al absurdo que existe con dos factorizaciones completas distintas, no sólo por el orden de sus factores. Dado que en una factorización completa los ciclos corresponden a los elementos que quedan fijos, éstos coinciden en ambas factorizaciones. Igualando ambas factorizaciones y cancelando los ciclos y el resto de los factores comunes de ambas factorizaciones obtenemos con Notemos que .
Por la hipótesis de reducción al absurdo, alguno de los factores de la primera expresión de no aparece como factor en la segunda expresión de o viceversa. Sin pérdida de generalidad supongamos que
Sea un elemento movido por , entonces, de acuerdo a lo que hemos estudiado, es de la forma con el menor natural positivo tal que . Dado que son disjuntos, mueve a , y como también son disjuntos, exactamente un factor mueve a . Sin pérdida de generalidad supongamos que mueve a , entonces es de la forma con el menor natural positivo tal que .
Pero, debido a que son disjuntos, conmutan, y entonces para toda . Análogamente para toda . Concluimos con ello que para toda y en consecuencia y , contradiciendo la elección de .
Así, toda factorización completa es única salvo por el orden de los factores.
Tarea moral
Considera el siguiente elemento de Encuentra la factorización completa de .
Sea y una factorización completa de . Analiza qué ocurre con .
Considera el ejercicio 3 de la entrada de permutaciones: Sean , Encuentra las factorizaciones completas de y .
Más adelante…
Entonces ya sabemos que existe una factorización única para cada permutación. La usaremos para definir el concepto de estructura cíclica en la siguiente entrada.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
Repasemos un poco el último ejemplo de la entrada anterior. En teníamos la composición y fijándonos en qué ocurre con cada elemento, concluimos que esta composición es igual a . Entonces obtuvimos dos composiciones distintas para escribir a esa permutación. En el dibujo, es más claro que en la primera los dos ciclos se están entrelazando entonces es más difícil entender qué es lo que hace la permutación. Pero cuando vemos la representación de es más fácil entender qué es lo que está haciendo nuestra permutación. Así, es más conveniente trabajar con la segunda notación.
La representación de
A simple vista podemos observar que y comparten el 2, pero y no comparten ningún elemento. En este caso, se dice que y son ciclos disjuntos. Más aún, ¿será que cualquier permutación se puede descomponer en ciclos disjuntos? la respuesta es que sí, esto lo demostraremos también en esta entrada.
Definición de permutaciones disjuntas
Antes de definir lo que significa que dos permutaciones sean disjuntas, nos gustaría recordar la última observación de la entrada anterior. Observación. Si , entonces no es abeliano. Esto nos sirve para establecer que, en general, trabajaremos con grupos no abelianos.
Ahora sí definamos lo que son permutaciones disjuntas. Definición. Sean . Decimos que y son disjuntas o ajenas si sop sop, es decir, dado se tiene que
En consecuencia también ocurre que si , entonces
Observación. Si y son disjuntas, pueden fijar a un mismo elemento pero no mover a un mismo elemento.
En particular, si tenemos dos ciclos de longitud mayor a uno, podemos obtener la siguiente equivalencia. Observación. Sean y con . Entonces y son disjuntas si y sólo si .
Ejemplos.
y no son disjuntas.
y sí son disjuntas.
Las permutaciones disjuntas conmutan
Lema. Sean . Si y son disjuntas, entonces conmutan.
P.D.. Sea .
Caso 1. Cuando , . Ambas fijan al mismo elemento, esto es posible en permutaciones disjuntas. Entonces, al componer, no importará que permutación se aplique primero.
Caso 2. Cuando , . Si componemos, obtenemos . Como es inyectiva y , entonces . Así mueve a y como y son disjuntas fija a . Entonces Por lo tanto .
Caso 3. Cuando , . Este es análogo al caso 2.
El caso , no se da pues y son disjuntas. Por lo tanto .
Toda permutación se puede descomponer en ciclos disjuntos
Comencemos como un ejemplo. Consideremos a la permutación
El 1 va al 3 y el 3 regresa al 1, entonces tenemos una transposición .
Luego, observemos que el 2 va al 4, el 4 al 7 y el 7 al 4. Así tenemos un ciclo, .
De los números que no han aparecido hasta ahora, podemos tomar el 5, este va al 8, el 8 al 9 y el 9 regresa al 5. Entonces tenemos otro ciclo .
Por último, el 6 queda fijo.
Esto se puede dibujar de la siguiente manera:
Representación gráfica de .
Pero también se puede escribir algebraicamente como:
Ahora veremos que cualquier permutación se puede descomponer en un producto de ciclos disjuntos.
Analicemos primero cómo se construyen los ciclos a partir de un número en su soporte.
Observación 1. Sean , un -ciclo e . Entonces con í
Demostración.
Sean , un -ciclo e . Sabemos que es de la forma con distintos. Como podemos suponer sin pérdida de generalidad que por lo que . Entonces
y en general para toda por lo que con distintos. En particular son distintos de y además por lo que í
Veamos ahora qué ocurre si la permutación no es necesariamente un ciclo. Probemos que cada número movido por la permutación da lugar a un ciclo.
Lema 1. Sea , . Para cada existe tal que , más aún, si í se tiene que son distintos.
Demostración. Sea , . Consideremos
Sabemos que esta lista tiene elementos repetidos ya que consiste de números en el conjunto finito . Existen entonces distintos tales que , sin pérdida de generalidad por lo cual con como se quería demostrar.
Así, el conjunto es no vacío, y por el principio del buen orden tiene un elemento mínimo, digamos . Veamos ahora que son distintos. Supongamos que para algunos , entonces con y por la elección de esto implica que , es decir que . Por lo tanto son distintos.
Gracias al lema anterior podemos considerar el ciclo :
Definición. Sea , . El ciclo definido por y por es
í
Notemos que si , entonces por lo que toda define el mismo ciclo que , es decir:
Observación 2. Si , entonces para toda se tiene que y
En consecuencia tenemos el siguiente resultado:
Lema 2. Sea , , y consideremos como en la definición anterior. Si entonces y son disjuntos.
Demostración.
Sea , , como en la definición anterior. Probemos el lema por contrapuesta. Supongamos que y no son disjuntos. Existe entonces movido por ambos ciclos, es decir Por la observación previa tenemos que y , de donde concluimos que .
Ahora veremos que al considerar todos los ciclos distintos del tipo y componerlos, obtenemos una descomposición de la permutación inicial en ciclos disjuntos:
Teorema. Toda permutación en es un ciclo o un producto de ciclos disjuntos
Demostración.
Sea . Consideremos todos los ciclos con y eliminemos los ciclos repetidos, llamemos a los ciclos restantes. Afirmamos que es una descomposición de en ciclos disjuntos. Por construcción es un producto de ciclos, y por el lema 2, dado que son distintos, entonces son también disjuntos. Así, basta convencerse de que para terminar la demostración.
Sea . Si tenemos que y entonces para alguna . Así, y (donde la primera igualdad se debe a que son disjuntos). Si tenemos que para toda , por lo que . Por lo tanto .
Ejemplo. Sea como sigue
Veamos qué sucede con el sop . Le aplicamos varias veces para formar el primer ciclo.
Entonces, nombremos a ese ciclo, .
Ahora, tomemos un elemento que no esté en el soporte de , digamos . De nuevo, aplicamos varias veces para descubrir el ciclo al que pertenece.
Tenemos así una transposición
Volvemos a tomar un número que no haya aparecido hasta ahora, digamos el . Aplicando varias veces, podemos descubrir el ciclo,
obteniendo el ciclo .
Así, nuestra permutación quedaría como
Tarea moral
Demuestra la observación: Si , entonces no es abeliano.
Encuentra dos permutaciones disjuntas y . Encuentra y ¿qué observas al comparar ? Intenta con otro ejemplo de dos permutaciones disjuntas y y analiza lo que ocurre.
Sean y dos permutaciones que conmutan ¿podemos concluir entonces y son disjuntas?
Considera el siguiente elemento de Encuentra una factorización en ciclos disjuntos de , y de .
Más adelante…
Ya conocemos qué son las permutaciones disjuntas y que cualquier permutación se puede ver como multiplicación de ciclos disjuntos. También, puede que hayas notado que comenzamos a escribir los ciclos de los elementos que se quedan fijos en las permutaciones. Esto nos encamina al tema principal de la siguiente entrada, la factorización completa, que no es más que la descomposición de una permutación en ciclos disjuntos incluyendo los ciclos.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
La Unidad 2 empieza con algunas definiciones nuevas. Veremos un ejemplo específico de grupo, primero definiremos qué es una permutación y luego, el conjunto de todas las permutaciones, al que llamaremos grupo simétrico junto con la composición. Este grupo es importante porque más adelante descubriremos que los grupos se pueden visualizar como subgrupos de grupos de permutaciones.
Primeras definiciones
Definición. Una permutación de un conjunto es una función biyectiva de en .
Notación. Denotaremos por al conjunto
Si , se denota por . Si tomamos la composición de seguida de se denota por .
Observación 1. con la composición es un grupo, se llama el Grupo Simétrico.
Observación 2.
Definición. Sea , .
Decimos que mueve a si , y que fija a si . El soporte de es
Ejemplo
Sea , definida como
La matriz es una manera de representar una permutación, la fila de arriba son todos los elementos de y la fila de abajo está formada por las imágenes bajo de cada elemento de la fila de arriba. Es decir, la matriz de se puede leer como: « manda al al », «el lo manda al », etc. Entonces tenemos que, mueve a y fija al . Así
Definición de ciclo
Definición. Sea , , . Decimos que es un ciclo de longitud o un -ciclo si existen distintos tales que y
Figura para ilustrar la definición de un ciclo.
Diremos que la permutación es un ciclo de longitud o un -ciclo. Los ciclos de longitud dos se llaman transposiciones.
Las transposiciones son muy importantes porque, como veremos más adelante, nos permitirán describir a las demás permutaciones.
Notación.
Un -ciclo , tal que cada va a para cada y regresa a se denota como .
Además, denotamos como a la longitud de .
Ejemplos
con .
Representación de .
En este caso, es un ciclo y . Observemos que el ciclo se puede comenzar a escribir con cualquier elemento de su soporte, siempre y cuando se cumpla la regla de correspondencia establecida.
2. Ahora, consideremos como
Representación de .
entonces podemos decir que , porque a los otros elementos los deja fijos.
Si componemos con el del ejemplo anterior obtenemos:
Para verificar qué ésta es efectivamente la composición de seguida de , tenemos que observar a dónde manda a cada elemento:
Comenzamos con el (esto es arbitrario, se puede comenzar con el número que sea), observamos que lo deja fijo, entonces nos fijamos a dónde lo manda , en este caso, el es mandado al . Así, manda al en el .
Repetimos el proceso con el , lo deja fijo y lo manda al . Así, manda al en el .
Ahora con el , manda al en , entonces ahora vemos a dónde manda al , en este caso lo deja fijo. Así, manda al en el .
Entonces ahora tenemos que observar a dónde es mandado el después de la composición. Primero, manda el al y manda el al , por lo tanto manda el al .
Así continuamos con todos los elementos que aparezcan en la composición hasta terminar.
Ahora, veamos qué sucede con . El proceso es análogo: Por lo tanto .
3. En . Podemos considerar la siguiente permutación: . A esta permutación la podemos simplificar usando el mismo procedimiento que en el ejemplo 2.
Observamos a dónde lleva cada uno de sus elementos:
Comencemos con el 2, la primera parte de la permutación, lleva el 2 al 4 y, la segunda parte lleva el 4 al 1.
Ahora veamos a dónde va el 1. La primera parte lo deja fijo y la segunda lo lleva al 2. Entonces obtenemos una permutación . Pero todavía falta ver el resto de elementos.
Ahora, veamos qué sucede con el 3. La primera parte lo deja fijo y la segunda lo manda al 4.
La primera parte de nuestra permutación manda el 4 al 5 y, el 5 se queda fijo.
Por último, el 5 es mandado al 2 por la primera parte de la permutación y, la segunda parte manda al 2 en el 3. Por lo tanto, el 5 regresa al 3. Esto se puede escribir como:
Es decir:
Representación de .
Este ejemplo nos permite intuir que en ocasiones las permutaciones se pueden simplificar.
Observación. Si , entonces no es abeliano.
Tarea moral
Demostrar la observación 1: con la composición es un grupo, se llama el Grupo Simétrico.
Sea un conjunto infinito, la colección de permutaciones de que mueven sólo un número finito de elementos y la colección de permutaciones que mueven a lo más elementos. ¿Son y subgrupos de ?
Considera los siguientes elementos de Encuentra y .
Sea con . Si conmuta con toda permutación de ¿puedes decir quién debe ser ?
Más adelante…
Por el momento continuaremos hablando de las permutaciones. El último ejemplo visto nos da la noción de permutaciones disjuntas, este tema es el que profundizaremos en la siguiente entrada, pero por el momento ¿puedes imaginarte de qué se trata?
En la entrada anterior tomamos un grupo y un subconjunto y, logramos encontrar al menor subgrupo de que contiene a . Este conjunto resultó ser la intersección de todos los subgrupos contenidos en que, a su vez, contienen a . Recordemos que se llama el subgrupo de generado por y se denota
Sin embargo, esto no nos dice mucho sobre los elementos de . Ilustremos un poco lo que tenemos. Tomemos un grupo , un subconjunto y al generado . Entonces, si tomamos , sabemos que todas las potencias de esos elementos están en el generado de . Es decir, para todas , . Más aún, las diferentes multiplicaciones de esos elementos también están en , por ejemplo, si consideramos y , el elemento
está en , por ser una multiplicación de elementos del subgrupo. Entonces, en el generado de estarán todos los elementos de , las potencias de esos elementos y todas las multiplicaciones entre dichas potencias.
Al elemento la llamamos una palabra en y es lo que estudiaremos en esta entrada. Además, las palabras nos permiten dar descripción del subgrupo generado. Esta idea es análoga a la que se estudia en álgebra lineal cuando se describe al subespacio generado por un conjunto como una colección de combinaciones lineales de vectores. Sin embargo, en el caso de subgrupos, esta descripción no es igual a la de álgebra lineal porque hay que recordar que un grupo en general no es abeliano. Esto influye en qué tanto se pueda simplificar una palabra.
Nuestra primera aproximación a las palabras
Definición. Sea un grupo, un subconjunto de . Una palabra en es, o bien el neutro , o bien un elemento de la forma
con , .
Notación. Denotamos por al conjunto de todas las palabras en .
Ejemplos
Ejemplo 1. Sea el grupo diédrico formado por las simetrías de un cuadrado centrado en el origen. Sea la rotación de y la reflexión con respecto al eje . es una palabra en .
En este caso, la palabra sí se puede simplificar como:
Para la primera igualdad, recordemos que es la rotación por , entonces al aplicar esa rotación veces, el cuadrado recupera su estado inicial, así por eso y de forma análoga como es la rotación por se tiene que .
Notación. Usaremos la notación para denotar las simetrías del cuadrado (que tiene 4 vértices), este grupo diédrico tiene 8 elementos. Otros autores pueden escribir simplemente , pero esto se puede confundir con el grupo de las simetrías de un octágono. De forma más general el grupo diédrico de un polígono de lados es el grupo de simetrías de un polígono regular de lados centrado en el origen, con la operación de composición. Lo denotatemos por y tendrá elementos.
Ejemplo 2. Consideremos el conjunto . Este conjunto es llamado el grupo de los cuaterniones o cuaternios y se suele denotar por o porque tiene 8 elementos.
Las operaciones en el conjunto se definen como:
Además, las multiplicaciones no son conmutativas y están definidas así:
Una palabra en es , resolviendo las potencias podemos concluir que esta palabra es igual a (verificarlo quedará como ejercicio). Podemos ahora considerar el conjunto de todas las palabras formadas con el elemento , es decir el conjunto de palabras en . Se puede ver que:
También podemos considerar el conjunto de palabras formadas con los elementos y , es decir el conjunto de palabras en . En este caso se tiene que:
Palabras y el subgrupo generado por
Lema. Sea un grupo y un subconjunto de . es un subgrupo de que contiene a .
Demostración. Caso 1, cuando . En este caso, y .
Caso 2, cuando . P.D.. Por definición . Sean , entonces
Entonces, podemos tomar y verificar quién es
Por lo tanto .
P.D.. Sea ,
Por lo tanto .
En ambos casos es un subgrupo de que contiene a .
Teorema. Sea un grupo, un subconjunto de . Entonces
.
Demostración. Por el lema anterior, . Entonces, por nuestra definición del subgrupo generado,
Sea , entonces con, , y .
Como cada , con , y , entonces para toda . Como el generado es un subgrupo de , obtenemos que para toda . Usando nuevamente que el generado es un subgrupo de tenemos que .
Por lo tanto, .
¿Cuál es el orden de un producto?
Ya hemos hablado del orden de un elemento. Si tenemos un grupo y y sabemos quién es y , ¿podemos saber cómo es ? En algunos casos podemos respuesta a esta pregunta dando una explicación más precisa de cómo es el orden de un producto en términos del orden de sus factores. El siguiente resultado aparece en el libro Grupos I de Avella, Mendoza, Sáenz y Souto mencionado en la bibliografía, Teorema 3.3.12:
Teorema. Sea un grupo y . Si y son de orden finito, sus ordenes son primos relativos y , entonces
Demostración. Sea un grupo, de orden finito con , . Supongamos que y .
P.D.. Entonces
Ya teniendo que , tenemos que ver que es el menor exponente positivo tal que al elevar a ese exponente nos da el neutro, o bien ver que divide a cualquier otro tal que . Procedamos de acuerdo a la segunda opción.
Sea tal que , y como esto implica que . Despejando, obtenemos .
Así (porque ), es decir . Dado que , entonces y como entonces .
Si consideramos ahora y seguimos un argumento análogo obtenemos que .
Como y y , entonces . Por lo tanto .
P.D.. Como toda palabra en es una palabra en entonces
Por otro lado, como , toda palabra en se reduce a una de la forma con , y como , , la expresión se puede reducir aún más a una expresión de la forma con y .
Entonces . Luego, . Pero , entonces . Así,
Por lo tanto .
Tarea moral
En el grupo de los cuaternios definido anteriormente, verifica que .
Considera , el grupo de cuaternios. Reduce la siguiente palabra a uno de los elementos ,
Sea el grupo diédrico formado por las simetrías de un polígono regular de lados, con la rotación de y la reflexión con respecto al eje .
Identifica geométricamente quiénes son .
Determina quién es el elemento y, de modo más general, quién es el elemento para toda .
Determina quién es el elemento para toda .
Considera el grupo simétrico , la permutación que manda en , en y en , fija a y a , y la permutación que intercambia y .
Encuentra y .
Encuentra el orden de , , y .
Por último, te invitamos a que veas este video que habla sobre las aplicaciones tecnológicas del grupo de los cuaternios. El video está en inglés, pero tiene subtítulos en español.
Más adelante…
¡Felicidades por acabar la Unidad 1! Ya entiendes las bases de este curso, trata de recordarlas porque las estaremos usando implícitamente. En la siguiente unidad estaremos viendo Permutaciones y Grupo Cociente, para no adelantar mucho, sólo diremos que ambas estructuras son grupos muy importantes en el álgebra y nuestros objetos de estudio en la siguiente unidad.
Ya vimos qué es un grupo cíclico. Ahora nos preguntamos si, teniendo un grupo cíclico y tomando cualquier subgrupo ¿será cierto que también es cíclico?
Ilustremos esto con un ejemplo. Consideremos con la suma, en este caso ,
.
Entre posibles subgrupos podemos encontrar:
es decir y respectivamente. Pero también podemos observar que tanto como son la mínima potencia de que aparece en sus respectivos generados. Es decir, aunque el no esté en un subgrupo cíclico de , el subgrupo será generado por la mínima potencia de que sí sea elemento del subgrupo. En esta entrada, comenzaremos probando este resultado.
En la segunda parte de esta entrada regresaremos a la problemática inicial planteada en la entrada Orden de un elemento y grupo cíclico. Si tenemos un subconjunto , con un grupo, ¿cuál es el mínimo subgrupo de tal que contenga a ?
Podemos estar de acuerdo en que es posible que esté contenido en más de un subgrupo, podemos considerar la familia de subgrupos de que contienen a . A estos subgrupos los denotaremos como con . Como para toda , sabemos que y éste resultará ser el menor subgrupo de que contiene a . Esto será lo que desarrollaremos en la segunda parte de la entrada.
Los subgrupos de un grupo cíclico, son cíclicos.
Teorema. Todo subgrupo de un grupo cíclico, es cíclico.
Demostración. Sea un grupo cíclico, . Como es cíclico, entonces para algún .
Para ver que es cíclico tenemos que proponer un generador de , este generador tiene que ser una potencia de , porque y es cíclico. Por lo que dijimos en la introducción, elegiremos la potencia de con el menor exponente positivo, que esté en . Pero, para ello, tenemos que asegurarnos primero que en existen potencias de con exponentes positivos. Así, consideraremos dos casos.
Si que es cíclico.
Si , sea . Entonces como , . Así para algún y como entonces .
Tenemos que pues es subgrupo.
Así , (con ), entonces no importa si es positivo o negativo, siempre habrá un elemento en que se obtiene elevando a un entero positivo, es decir,
.
Sea í. P.D.
Por la elección de , y como es un subgrupo entonces .
Sea . Como , entonces para algún .
Por el algoritmo de la división existen tales que con . Entonces . Esto implica que
Pero , y es subgrupo, entonces con . Para no contradecir la elección de concluimos que .
Así . Por lo tanto y es cíclico.
El menor subgrupo que contiene a cualquier subconjunto
Teorema. La intersección de una familia no vacía de subgrupos de un grupo es un subgrupo de .
Cuando decimos familia no vacía nos referimos a que haya al menos un grupo en la familia, con el fin de que haya al menos un grupo a intersecar. Ésta es una condición que se pide para que a nivel conjuntista no haya problemas con la intersección.
Demostración. Sea un grupo y una familia de subgrupos de . P.D..
Como para toda , entonces para toda y así .
Sea . Tenemos que para toda . Como para toda , entonces para toda y así .
Por lo tanto .
Corolario. Sea un grupo y un subconjunto de . Existe un subgrupo de que contiene a y que estará contenido en cualquier subgrupo de que contenga a .
Demostración. Sea un grupo y subconjunto de . es un subgrupo de que contiene a y entonces la familia es no vacía. Entonces sí existen subgrupos de que contienen a .
Consideremos . Por el teorema anterior esta intersección es un subgrupo de y por construcción .
Ahora, si es un subgrupo de que contiene a , entonces , y al ser uno de los intersecandos, obtenemos
.
Así, es un subgrupo de que contiene a y que está contenido en cualquier subgrupo de que contenga a
El subgrupo de generado por
Para concluir esta entrada, daremos una definición que resume lo visto.
Definición. Sea un grupo y un subgrupo de . El conjunto
es el subgrupo de generado por y se denota por .
Decimos que genera a si .
Observación. Sea un grupo y sea . Entonces
Demostración. Se quedará como tarea moral.
Notación. Para , el subgrupo se denota por .
Tarea moral
Sea un grupo tal que todos sus subgrupos propios son cíclicos, entonces es cíclico. Demuestra este enunciado o encuentra un contraejemplo.
Considera a los enteros con la suma. Describe a los subgrupos:
(se denota por ).
(se denota por ).
Demuestra la última observación: Sea un grupo y sea . Entonces . Sugerencia: Usa la doble contención y el teorema anterior.
Más adelante…
Ya estudiamos a los elementos de la forma con , y un grupo. En la siguiente entrada combinaremos varios elementos de esa forma. Estudiaremos qué son y algunas propiedades de las llamadas palabras. Además, la siguiente entrada es la última de esta unidad, ¡sigue avanzando! ya casi acabas.