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Álgebra Moderna I: Factorización Completa

Introducción

Consideremos $\alpha \in S_7$ como $\alpha = (1\,3\,2)(6\,4)$, esta permutación fija a $5$ y a $7$. Entonces también podemos escribirla como $\alpha = (1\,3\,2)(6\,4)(5)(7)$. Notamos que una de las cosas en las que difieren es que en la segunda descomposición estamos agregando uno ciclos, pero también $\alpha = (1 \, 3 \, 2) (7) (6 \, 4)(5)$ es otra forma diferente de expresar a la permutación escribiendo a los uno ciclos. En esta entrada nos planteamos la posibilidad de escribir a $\alpha$ como un producto de ciclos distintos incluyendo a todos los uno ciclos y analizamos en qué difieren todas las distintas maneras de hacerlo.

Antes de empezar, podrías intentar escribir todas las maneras posibles de describir a $\alpha$ escribiendo a los uno ciclos. ¿Notas algo en común entre todas? Al final de esta entrada, tendremos la respuesta más clara.

Definición de una factorización completa

Para empezar, necesitamos definir un nuevo concepto.

Definición. Sea $\alpha \in S_n$. Una factorización completa de $\alpha$ es una descomposición de $\alpha$ en ciclos disjuntos con un $1-$ciclo por cada elemento fijado por $\alpha$.

Ejemplos.

  1. Sea $\alpha \in S_8$ como
    \begin{align*}
    \alpha = \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
    3 & 2 & 1 & 5 & 7 & 6 & 4 & 8
    \end{pmatrix}
    \end{align*}

    Entonces $\alpha = (1 \; 3)\,(4 \; 5 \; 7)$ es una factorización de $\alpha$ en ciclos distintos pero no es una factorización completa de $\alpha$. Por otro lado $\alpha = (1 \; 3)\,(4 \; 5 \; 7)\,(2) \,(6) \,(8)$ sí es una factorización completa de $\alpha$.
  2. Sea $\beta$ dada por \begin{align*}
    \beta = (2 \; 4 \; 6 \; 8) \, (1 \; 3 \; 5)\,(7).
    \end{align*}

    Esa es una factorización completa de $\beta \in S_8$, pero no en $S_{10}$, en $S_{10}$ una factorización completa de de $\beta$ sería
    \begin{align*}
    \beta = (2 \; 4 \; 6 \; 8) \, (1 \; 3 \; 5)\,(7)\, (9) \, (10).
    \end{align*}

Una herramienta misteriosa que nos ayudará más tarde

El siguiente resultado es un lema técnico que nos ayudará a resolver el problema planteado al inicio de esta entrada. De manera informal el lema nos dice que si tenemos una factorización de una permutación en factores distintos, el factor que mueve a un elemento de su soporte, moverá a ese elemento de la misma forma que la permutación misma. También nos dice que si dos ciclos y cada una de sus potencias mueven a un elemento de su soporte de la misma forma, entonces los ciclos son iguales.

Lema.

  1. Sea $\alpha \in S_n$, $\alpha = \beta_1 \cdots \beta_t$ una factorización en permutaciones disjuntas e $i \in \{1,\dots,n\}$. Si $\beta_1(i) \neq i$ entonces $\alpha^k(i) = \beta_1^k(i)$ para toda $k \in \z$.
  2. Sean $\beta,\gamma \in S_n$ ciclos. Si existe $i \in \{1, \dots, n\}$ tal que $\beta(i) \neq i \neq \gamma (i)$ y $\beta^k(i) = \gamma^k(i)$ para toda $k \geq 1$, entonces $\beta = \gamma$.

Demostración.

  1. Sea $\alpha = \beta_1 \cdots \beta_t \in S_n$ una factorización en permutaciones disjuntas. Sea $i \in \{1, \dots,n\}$ tal que $\beta_1(i) \neq i$.
    Entonces, $\alpha^k = (\beta_1(\beta_2 \cdots \beta_t))^k = \beta_1^k(\beta_2 \cdots\beta_t)^k$ para toda $k \in \z$ ya que como $\beta_1$ y $(\beta_2 \cdots\beta_t)$ son disjuntas, conmutan.
    Además, como $\beta_1(i)\neq i$, el hecho de que $\beta_1, \dots, \beta_t$ sean disjuntas implica que $\beta_2(i)=\dots \beta_t(i)=i$, entonces $\beta_2 \cdots \beta_t(i) = i$. Así $\alpha^k(i) = \beta_1^k (\beta_2\cdots \beta_t)^k(i) = \beta_1^k(i)$ para toda $k \in \z$.
  2. Sean $\beta, \gamma \in S_n$ ciclos, $i \in \{1, \dots, n\}$ tal que $\beta$ y $\gamma$ mueven a $i$ y $\beta^k(i) = \gamma^k(i)$ para todo $k \geq 1$.
    P.D. $\beta = \gamma$
    Como $\beta$ y $\gamma$ son ciclos que mueven a $i$, entonces los podemos escribir como $\beta = (i \; i_1 \; \cdots \; i_r)$ y $\gamma = (i \; j \; \cdots \; j_l)$.
    Si observamos cómo mueven a los elementos, tenemos que
    \begin{align*}
    \beta^k(i) = i_k, \; k\in \{1, \dots, r\}, \; \beta^{r+1}(i) = i \\
    \gamma^k(i) = j_k, \; k \in \{1, \dots, l\}, \; \beta^{l+1}(i) = i
    \end{align*}
    Supongamos que $r \neq l$, sin pérdida de generalidad, $r < l$.
    \begin{align*}
    i &= \beta^{r+1}(i) \\
    & = \gamma^{r+1}(i) & \text{porque }\beta^k(i) = \gamma^k(i) \;\; \forall k \geq 1 \\
    & = j_{r+1} \neq i & r+1 \leq l
    \end{align*}
    Esto es una contradicción.
    Así, $r = l$ y $i_k = \beta^k(i) = \gamma^k(i) = j_k$ para toda $k \in \{1,\dots,r\}$.
    Por lo tanto $\beta = \gamma$.

$\square$

No es UNA factorización completa, es LA factorización completa

Recortemos la pregunta de la introducción ¿qué tienen en común todas las formas de describir a $\alpha$ como un producto de ciclos distintos en el que se incluyen todos los uno ciclos? He aquí la respuesta.

Teorema. Una factorización completa es única salvo por el orden de los factores.

Demostración.

Dado que en una factorización completa los $1-$ciclos corresponden a los elementos que quedan fijos, basta probar que los ciclos de longitud mayor a $1$ que aparecen en toda factorización completa coinciden.

Haremos inducción sobre $k = \#$sop $\alpha$.

Caso base. Cuando $k = 0$, entonces $\alpha =$ id y por lo tanto no tiene ciclos de longitud mayor a 1.

Sea $k > 0$.
Hipótesis de Inducción. Supongamos que si $\beta \in S_n$ con $\#$sop $\beta < k$, cualesquiera dos factorizaciones completas de $\beta$ tienen exactamente los mismos ciclos de longitud mayor a 1.

Sean $\alpha = \beta_1 \cdots \beta_t = \gamma_1 \cdots \gamma_s$, con $t,s \in \n^+$ dos factorizaciones de $\alpha$ obtenidas de omitir los $1-$ciclos en dos factorizaciones completas de $\alpha$.

Como $k>0$, existe $i \in \{1,\dots,n\}$ tal que $\alpha(i) \neq i$ y entonces también deben existir algún $\beta_j$ y algún $\gamma_l$ que muevan a $i$. Sin pérdida de generalidad supongamos que $\beta_1(i) \neq i \neq \gamma_1(i)$.

Entonces, por el inciso 1 del lema anterior,
\begin{align*}
\beta_i^k(i) = \alpha^k(i) = \gamma_1(i)^k \qquad \forall k \in \z
\end{align*}

y, por el inciso 2 del mismo lema,
\begin{align*}
\beta_1 = \gamma_1 .
\end{align*}

Así, cancelando $\beta_1$ tenemos que

\begin{align*}
\beta_2 \cdots \beta_t = \gamma_2 \cdots \gamma_s.
\end{align*}

Pero $\beta_2 \cdots \beta_t = \gamma_{2} \cdots \gamma_s$ son dos factorizaciones de una permutación que mueve menos de $k$ elementos con ciclos disjuntos de longitud mayor a $1$.

Por la hipótesis de inducción, $t = s$ y $\beta_2, \dots, \beta_t$son los mismos que $\gamma_2, \dots, \gamma_t$ salvo por el orden.

Por lo tanto, $\beta_1,\dots,\beta_t$ son los mismos que $\gamma_1,\dots,\gamma_s$ salvo por el orden.

$\square$

Tarea moral

  1. Considera el siguiente elemento de $S_9$
    \begin{align*}
    \alpha = \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
    9 & 8 & 1 & 4 & 3 & 7 & 6 & 2 & 5
    \end{pmatrix}
    \end{align*}
    Encuentra la factorización completa de $\alpha$.
  2. Sea $\alpha \in S_n$ y $\alpha = \beta_1 \dots \beta_t$ una factorización completa de $\alpha$. Analiza qué ocurre con $\displaystyle \sum_{i= 1}^t \text{long } \beta_i$.
  3. Considera el ejercicio 3 de la entrada de permutaciones:
    Sean $\alpha, \beta \in S_{10}$,
    \begin{align*}
    \alpha = \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
    10 & 4 & 3 & 2 & 9 & 7 & 5 & 1 & 6 & 8
    \end{pmatrix} \\ \\
    \beta = \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
    10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1
    \end{pmatrix}
    \end{align*}
    Encuentra las factorizaciones completas de $\alpha, \beta, \alpha\beta, \beta\alpha$ y $\beta^{-1}$.

Más adelante…

Entonces ya sabemos que existe una factorización única para cada permutación. La usaremos para definir el concepto de estructura cíclica en la siguiente entrada.

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Álgebra Moderna I: Permutaciones y Grupo Simétrico

Introducción

La Unidad 2 empieza con algunas definiciones nuevas. Veremos un ejemplo específico de grupo, primero definiremos qué es una permutación y luego, el conjunto de todas las permutaciones, al que llamaremos grupo simétrico junto con la composición. Este grupo es importante porque más adelante descubriremos que los grupos se pueden visualizar como subgrupos de grupos de permutaciones.

Primeras definiciones

Definición. Una permutación de un conjunto $X$ es una función biyectiva de $X$ en $X$.

Notación. Denotaremos por $S_X$ al conjunto

\begin{align*}
S_X = \{\sigma: X \to X | \sigma \text{ es biyectiva}\}
\end{align*}

Si $X = \{1,…,n\}$, $S_X$ se denota por $S_n$. Si tomamos $\alpha, \beta \in S_X$ la composición de $\alpha$ seguida de $\beta$ se denota por $\beta\alpha$.

Observación 1. $S_X$ con la composición es un grupo, se llama el Grupo Simétrico.

Observación 2. $|S_n| = n!$

Definición. Sea $\alpha \in S_n$, $i \in \{1,2,…,n\}$.

Decimos que $\alpha$ mueve a $i$ si $\alpha(i) \neq i$, y que $\alpha$ fija a $i$ si $\alpha(i) = i$. El soporte de $\alpha$ es

\begin{align*}
\text{sop }\alpha = \{i \in \{1,\dots, n\}: \alpha(i) \neq i\}.
\end{align*}

Ejemplo

Sea $\alpha \in S_{10}$, definida como

\begin{align*}
\alpha = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
8 & 3 & 1 & 7 & 2 & 6 & 4 & 5 & 9 & 10 \end{pmatrix}
\end{align*}

La matriz es una manera de representar una permutación, la fila de arriba son todos los elementos de $X= \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ y la fila de abajo está formada por las imágenes bajo $\alpha$ de cada elemento de la fila de arriba. Es decir, la matriz de $\alpha$ se puede leer como: «$\alpha$ manda al $1$ al $8$», «el $ 2 $ lo manda al $3$», etc. Entonces tenemos que, $\alpha$ mueve a $1,2,3,4,5,7,8$ y fija al $6,9,10$. Así

\begin{align*}
\text{sop } \alpha = \{1,2, 3, 4, 5, 7, 8\}.
\end{align*}

Definición de ciclo

Definición. Sea $\alpha \in S_n$, $r\in\z$, $r>1$. Decimos que $\alpha$ es un ciclo de longitud $r$ o un $r$-ciclo si existen $i_1, \dots, i_r \in \{1, \dots, n\}$ distintos tales que $\text{sop }\alpha = \{i_1, \dots, i_r\}$ y

\begin{align*}
\alpha(i_t) = \begin{cases}
i_{t+1} & \text{si } t \in \{1, \dots, r-1\} \\
i_1 & \text{si } t = r
\end{cases}
\end{align*}

Figura para ilustrar la definición de un ciclo.

Diremos que la permutación $\text{id}\in S_n$ es un ciclo de longitud $1$ o un $1$-ciclo. Los ciclos de longitud dos se llaman transposiciones.

Las transposiciones son muy importantes porque, como veremos más adelante, nos permitirán describir a las demás permutaciones.

Notación.

  • Un $r$-ciclo $\alpha$, tal que cada $i_j$ va a $i_{j+1}$ para cada $j \in \{1,…,r-1\}$ y $i_r$ regresa a $i_1$ se denota como $\alpha = (i_1\; i_2 \; \dots \; i_r)$.
  • Además, denotamos como $r = \text{long } \alpha$ a la longitud de $\alpha$.

Ejemplos

  1. $\alpha \in S_8$ con $\alpha = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 4 & 3 & 5 & 8 & 2 & 7 & 6 \end{pmatrix}$.

\begin{align*}
\alpha &= (2 \; 4 \; 5 \; 8 \; 6) = (4 \; 5 \; 8 \; 6 \; 2) \\
& = (5 \; 8 \; 6 \; 2 \; 4) = (8 \; 6 \; 2 \; 4 \; 5) \\
& = (6 \; 2 \; 4 \; 5 \; 8)
\end{align*}

Representación de $\alpha$.

En este caso, $\alpha$ es un $5-$ciclo y $\text{long }\alpha = 5$.
Observemos que el ciclo se puede comenzar a escribir con cualquier elemento de su soporte, siempre y cuando se cumpla la regla de correspondencia establecida.

2. Ahora, consideremos $\beta \in S_8$ como

Representación de $\beta$.

\begin{align*}
\beta =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 5 & 4 & 3 & 6 & 7 & 8\end{pmatrix}
\end{align*}
entonces podemos decir que $\beta = (3 \; 5)$, porque a los otros elementos los deja fijos.

Si componemos $\beta$ con el $\alpha$ del ejemplo anterior obtenemos:

\begin{align*}
\alpha\beta &= (2 \; 4 \; 5 \; 8 \; 6) (3 \; 5) = (2 \; 4 \; 5 \; 3 \; 8 \; 6).
\end{align*}

Para verificar qué ésta es efectivamente la composición de $\beta$ seguida de $\alpha$, tenemos que observar a dónde manda a cada elemento:

  • Comenzamos con el $2$ (esto es arbitrario, se puede comenzar con el número que sea), observamos que $\beta$ lo deja fijo, entonces nos fijamos a dónde lo manda $\alpha$, en este caso, el $2$ es mandado al $4$. Así, $\alpha\beta$ manda al $2$ en el $4$.
  • Repetimos el proceso con el $4$, $\beta$ lo deja fijo y $\alpha$ lo manda al $5$. Así, $\alpha\beta$ manda al $4$ en el $5$.
  • Ahora con el $5$, $\beta$ manda al $5$ en $3$, entonces ahora vemos a dónde manda $\alpha$ al $3$, en este caso lo deja fijo. Así, $\alpha\beta$ manda al $5$ en el $3$.
  • Entonces ahora tenemos que observar a dónde es mandado el $3$ después de la composición. Primero, $\beta$ manda el $3$ al $5$ y $\alpha$ manda el $5$ al $8$, por lo tanto $\alpha\beta$ manda el $3$ al $8$.
  • Así continuamos con todos los elementos que aparezcan en la composición hasta terminar.

    Ahora, veamos qué sucede con $\beta\alpha$. El proceso es análogo:
    \begin{align*}
    \beta\alpha &= (3 \; 5) (2 \; 4 \; 5 \; 8 \; 6) = (3 \; 5 \; 8 \; 6 \; 2 \; 4)
    \end{align*}
    Por lo tanto $\alpha\beta \neq \beta\alpha$.

3. En $S_5$. Podemos considerar la siguiente permutación: $(1 \; 2 \; 3 \; 4)(2 \; 4 \; 5)$. A esta permutación la podemos simplificar usando el mismo procedimiento que en el ejemplo 2.

Observamos a dónde lleva cada uno de sus elementos:

  • Comencemos con el 2, la primera parte de la permutación, lleva el 2 al 4 y, la segunda parte lleva el 4 al 1.
  • Ahora veamos a dónde va el 1. La primera parte lo deja fijo y la segunda lo lleva al 2. Entonces obtenemos una permutación $(1\;2)$. Pero todavía falta ver el resto de elementos.
  • Ahora, veamos qué sucede con el 3. La primera parte lo deja fijo y la segunda lo manda al 4.
  • La primera parte de nuestra permutación manda el 4 al 5 y, el 5 se queda fijo.
  • Por último, el 5 es mandado al 2 por la primera parte de la permutación y, la segunda parte manda al 2 en el 3. Por lo tanto, el 5 regresa al 3. Esto se puede escribir como:

\begin{align*}
(1 \; 2 \; 3 \; 4)(2 \; 4 \; 5) = (1 \; 2) (3 \; 4 \; 5)
\end{align*}

Es decir:

Representación de $(1 \; 2 \; 3 \; 4)(2 \; 4 \; 5) = (1 \; 2) (3 \; 4 \; 5)$.

Este ejemplo nos permite intuir que en ocasiones las permutaciones se pueden simplificar.

Observación. Si $n \geq 3$, entonces $S_n$ no es abeliano.

Tarea moral

  1. Demostrar la observación 1: $S_X$ con la composición es un grupo, se llama el Grupo Simétrico.
  2. Sea $X$ un conjunto infinito, $H$ la colección de permutaciones de $S_X$ que mueven sólo un número finito de elementos y $K$ la colección de permutaciones que mueven a lo más $50$ elementos. ¿Son $H$ y $K$ subgrupos de $S_X$?
  3. Considera los siguientes elementos de $S_{10}$
    \begin{align*} \alpha &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
    10 & 4 & 3 & 2 & 9 & 7 & 5 & 1 & 6 & 8 \end{pmatrix} \\\\
    \beta &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
    10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{align*}
    Encuentra $\alpha \beta, \beta \alpha, \alpha^{-1}$ y $\beta^{-1}$.
  4. Sea $a \in S_n, $ con $n > 2$. Si $\alpha$ conmuta con toda permutación de $S_n$ ¿puedes decir quién debe ser $\alpha$?

Más adelante…

Por el momento continuaremos hablando de las permutaciones. El último ejemplo visto nos da la noción de permutaciones disjuntas, este tema es el que profundizaremos en la siguiente entrada, pero por el momento ¿puedes imaginarte de qué se trata?

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