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Geometría Moderna I: Punto simediano

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Introducción

El punto simediano es el punto en el que concurren las simedianas de un triángulo, es otro punto notable del triángulo, en esta entrada veremos algunas de sus propiedades.

Punto simediano

Teorema 1. Las tres simedianas de un triángulo son concurrentes, al punto de concurrencia se le conoce como punto simediano o punto de Lemoine a menudo denotado con la letra $K$ .

Demostración. En la entrada teorema de Menelao mostramos que un triángulo $△ A B C$ y su triangulo tangencial $△ K_{a} K_{b} K_{c}$ , están en perspectiva desde una recta, conocida como eje de Lemoine.

Por el teorema de Desargues, $△ A B C$ y $△ K_{a} K_{b} K_{c}$ están en perspectiva desde un punto, es decir, $A K_{a}$ , $B K_{b}$ y $C K_{c}$ concurren en un punto $K$ .

Por el teorema 2 de la entrada anterior, dos exsimedianas (los lados del triángulo tangencial $△ K_{a} K_{b} K_{c}$ ) y una simediana, que pasan por vértices distintos de $△ A B C$ concurren en un punto exsimediano, es decir, $A K_{a}$ , $B K_{b}$ , $C K_{c}$ son las simedianas de $△ A B C$ .

Observación. Como el eje de Lemoine de $△ A B C$ es el eje de Gergonne de $△ K_{a} K_{b} K_{c}$ , entonces el punto de Lemoine de $△ A B C$ es el punto de Gergonne de $△ K_{a} K_{b} K_{c}$ , su triángulo tangencial.

Corolario 1. Sea $S = A K \cap B C$ entonces $A K S K_{a}$ es una hilera armónica de puntos.

Demostración. Por el corolario de la entrada anterior $B (A K_{b} C K_{a})$ es un haz armónico de rectas y como $A D$ es transversal entonces sus intersecciones con el haz forman una hilera armónica.

Triángulo pedal del punto simediano

Definición. Dados un triángulo $△ A B C$ y un punto $P$ , el triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A B C$ , es aquel cuyos vértices son las proyecciones de $P$ en los lados de $△ A B C$ . Por ejemplo, el triángulo órtico es el triángulo pedal del ortocentro.

Teorema 2, de Lemoine. El punto simediano es el único punto del plano que es el centroide de su propio triángulo pedal.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $K$ su punto simediano, considera $X$ , $Y$ y $Z$ las proyecciones de $K$ en $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente, sea $X^{'} \in K X$ tal que $Y X^{'} ∥ K Z$ .

Entonces $△ A B C \sim △ Y X^{'} K$ , pues sus respectivos lados son perpendiculares, esto es
$\frac{A B}{A C} = \frac{Y X^{'}}{Y K}$ .

Pero $\frac{A B}{A C} = \frac{K Z}{K Y}$ pues $K$ esta en la $A$ -simediana, por lo tanto $K Z = Y X^{'}$ .

En consecuencia, $X^{'} Z K Y$ es un paralelogramo y por lo tanto $K X^{'}$ biseca a $Y Z$ .

Como resultado tenemos que $X K$ es mediana de $△ X Y Z$ .

De manera análoga vemos que $Y K$ , $Z K$ son medianas de $△ X Y Z$ , por lo tanto, $K$ es el centroide de su triangulo pedal.

Recíprocamente, supongamos que $K$ es el centroide de su triángulo pedal $△ X Y Z$ respecto a $△ A B C$ , con $X \in B C$ , $Y \in C A$ , $Z \in A B$ , sea $M$ el punto medio de $Y Z$ , extendemos $K M$ hasta un punto $X^{'}$ tal que $K M = M X^{'}$ .

Como $Y Z$ y $K X^{'}$ se bisecan entonces $X^{'} Z K Y$ es un paralelogramo, entonces $Y X^{'} = K Z$ y $Y X^{'} ∥ K Z$ .

Ya que los lados de $△ Y X^{'} K$ son perpendiculares a los lados de $△ A B C$ , entonces son semejantes, esto es
$\frac{A B}{A C} = \frac{Y X^{'}}{Y K} = \frac{K Z}{K Y}$ .

Por lo tanto, $K$ está en la $A$ -simediana, igualmente vemos que $K$ pertenece a las $B$ y $C$ -simedianas.

En consecuencia, $K$ es el punto simediano de $△ A B C$ .

Conjugado isotómico del punto simediano

Teorema 3. Las rectas que unen el punto medio del lado de un triángulo con el punto medio de la altura perpendicular a ese lado concurren en el punto simediano del triángulo.

Demostración. Sean $△ A B C$ , $K$ el punto simediano, $K_{b}$ el punto exsimediano opuesto al vértice $B$ , $S = B K_{b} \cap C A$ .

Por el corolario 1, $B K S K_{b}$ es una hilera armónica, por lo tanto, $B^{'} (B K S K_{b})$ es un haz armónico, donde $B^{'}$ es el punto medio de $C A$ .

Considera $O$ el circuncentro de $△ A B C$ y $H_{b}$ el pie de la altura por $B$ , notemos que $O$ , $B^{'}$ y $K_{b}$ son colineales, por lo tanto, $B^{'} K_{b}$ es perpendicular a $C A$ y así $B H_{b} ∥ B^{'} K_{b}$ .

Como $B H_{b}$ es paralela a una de las rectas del haz armónico, entonces las otras tres rectas del haz dividen a $B H_{b}$ en dos segmentos iguales, es decir $B^{'} K$ biseca a $B H_{b}$ .

Igualmente vemos que $A^{'} K$ y $C^{'} K$ bisecan a $A H_{a}$ y $C H_{c}$ respectivamente, y de esto concluimos la concurrencia de las rectas mencionadas.

Proposición 1. El ortocentro de un triángulo y el punto simediano de su triángulo anticomplementario son conjugados isotómicos respecto del triángulo original.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ su triángulo anticomplementario.

Como $A B$ y $A C$ son segmentos medios de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , entonces $A B A^{'} C$ es un paralelogramo, por lo tanto, $△ A B C$ y $△ A^{'} C B$ son congruentes, además $A A^{'}$ y $B C$ se intersecan en su punto medio $N$ .

Sean $H_{a}$ , $M_{a}$ los pies de las alturas desde $A$ y $A^{'}$ respectivamente en $B C$ , como $△ A B C ≅ △ A^{'} C B$ , entonces $A H_{a} = M_{a} A^{'}$ .

Por criterio de congruencia ALA, $△ A H_{a} N ≅ △ A^{'} M_{a} N$ , por lo que $H_{a} N = N M_{a}$ , es decir, el punto medio de $H_{a}$ y $M_{a}$ coincide con el punto medio de $B C$ ,

Por lo tanto, $H_{a}$ y $M_{a}$ son puntos isotómicos respecto de $△ A B C$ .

Sea $F$ el pie de la altura por $A^{'}$ en $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , como $A H_{a} M_{a} F$ es un rectángulo entonces $M_{a} A^{'} = A H_{a} = F M_{a}$ , y así $M_{a}$ es el punto medio de la altura $A^{'} F$ .

Por lo tanto, el segmento $A M_{a}$ une los puntos medios de un lado y una altura de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

De manera análoga vemos que los pies de las alturas en $△ A B C$ , $H_{b}$ , $H_{c}$ son isotómicos a los puntos medios de las alturas en $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , $M_{b}$ , $M_{c}$ , respectivamente.

Como las alturas de $△ A B C$ concurren en el ortocentro $H$ y, por el teorema 3, los segmentos $A M_{a}$ , $B M_{b}$ , $C M_{c}$ concurren en el punto simediano $S^{'}$ de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , entonces estos puntos son conjugados isotómicos respecto de $△ A B C$ .

Construcción de un triángulo dado su punto simediano

Problema. Construye un triángulo dados dos vértices $B$ , $C$ , y su punto simediano $K$ .

Solución. Supongamos que $△ A B C$ es el triángulo requerido y consideremos $G$ y $A^{'}$ el centroide y el punto medio de $B C$ respectivamente.

Sean $B^{'}$ , $C^{'} \in B C$ , tales que $B^{'} A ∥ B G$ y $A C^{'} ∥ G C$ .

Por el teorema de Tales tenemos
$\frac{1}{2} = \frac{A^{'} G}{G A} = \frac{A^{'} B}{B B^{'}} = \frac{A^{'} C}{C C^{'}}$ .

Por lo tanto, $B B^{'} = C C^{'} = 2 A^{'} B = B C$ , así que $B^{'}$ y $C^{'}$ pueden ser construidos teniendo $B$ y $C$ .

Por otro lado, como $B^{'} A ∥ B G$ y $A C^{'} ∥ G C$ y tomando en cuenta que $K$ esta en las reflexiones de $B G$ y $C G$ respecto de las bisectrices de $∠ B$ y $∠ C$ respectivamente, tenemos lo siguiente:

$∠ B^{'} A B = ∠ G B A = ∠ K B C$ y $∠ C A C^{'} = ∠ A C G = ∠ K C B$ .

Y estos ángulos son conocidos.

Entonces $B^{'} B$ y $C C^{'}$ subtienden ángulos conocidos en $A$ , por lo que podemos trazar los arcos de circunferencia que son el lugar geométrico de los puntos que subtienden estos ángulos.

Así que de la intersección de estos dos arcos resultara en el vértice faltante.

Notemos que los arcos pueden tener dos intersecciones, ser tangentes o no intersecarse, por lo tanto, existen dos, una o cero soluciones.

Distancia del punto simediano a los lados del triángulo

Proposición 2. El punto simediano de un triángulo es el único punto dentro del triángulo cuyas distancias a los lados del triángulo son proporcionales a los respectivos lados.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $K$ su punto simediano, considera $X$ , $Y$ y $Z$ las proyecciones de $K$ en $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente, denotemos $B C = a$ , $C A = b$ , $A B = c$ .

Dado que $K$ está en las tres simedianas del triángulo, por el teorema 4 de la entrada anterior, las razones de sus distancias a los lados del triángulo son proporcionales a estos:

$\begin{matrix} (1) & \frac{K Z}{K Y} = \frac{c}{b}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (2) & \frac{K Y}{K X} = \frac{b}{a}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (3) & \frac{K X}{K Z} = \frac{a}{c} . \end{matrix}$

Por $(1)$ , $(2)$ y $(3)$
$\frac{K X}{a} = \frac{K Y}{b} = \frac{K Z}{c} = q$ .

Por lo tanto,
$K Z = \frac{c K Y}{b} = c q$ ,
$K Y = \frac{b K X}{a} = b q$ ,
$K X = \frac{a K Z}{c} = a q$ .

La unicidad se da por que solo los puntos en las simedianas cumplen esa propiedad y solo $K$ se encuentra en las tres simedianas.

Corolario. 2 $K X = a \frac{2 (A B C)}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

Demostración. Calculamos el área de $△ A B C$ en función de áreas menores (figura 6).

$(△ A B C) = (△ K B C) + (△ K C A) + (△ K A B)$
$= \frac{1}{2} (a K X + b K Y + c K Z)$
$= \frac{q}{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ .

Por lo tanto, $K X = a q = a \frac{2 (A B C)}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

Teorema 4. La suma de los cuadrados de las distancias de un punto a los lados de un triángulo dado, es mínima si el punto es el punto simediano del triángulo.

Demostración. Sean $a$ , $b$ , $c$ , $x$ , $y$ , $z$ seis números reales entonces la siguiente igualdad es cierta:

$(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = (a x + b y + c z)^{2} + (a y - b x)^{2} + (a z - c x)^{2} + (b z - c y)^{2}$ .

Para comprobarlo solo hace falta realizar los productos.

Podemos pensar estas cantidades como los lados de un triángulo $△ A B C$ , $B C = a$ , $C A = b$ , $A B = c$ , y $x$ , $y$ , $z$ , las distancias de un punto $K$ , a los lados de $△ A B C$ .

Notemos $a x + b y + c z$ representa al menos dos veces el área del triángulo $△ A B C$ , $2 (△ A B C)$ , que junto con $(a^{2} + b^{2} + c^{2})$ son constantes.

Como las cantidades $(a y - b x)^{2}$ , $(a z - c x)^{2}$ , $(b z - c y)^{2}$ son mayores o iguales a cero, entonces el mínimo se alcanza si se satisfacen las siguientes igualdades:
$\begin{matrix} (4) & (a y - b x)^{2} = (a z - c x)^{2} = (b z - c y)^{2} = 0, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (5) & a x + b y + c z = 2 (△ A B C) . \end{matrix}$

Por otra parte, por las ecuaciones $(1)$ , $(2)$ y $(3)$ sabemos que el punto simediano cumple $(4)$ y por el corolario 2 cumple $(5)$ , también podemos calcular directamente,

$K X^{2} + K Y^{2} + K Z^{2} = \frac{(2 (△ A B C))^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

Por lo tanto, si $K$ es el punto simediano de $△ A B C$ , se alcanza el mínimo.

Más adelante…

En la próxima entrada veremos otra propiedad del punto simediano, o punto de Lemoine, que amerita su propia entrada, se trata de un conjunto de circunferencias asociadas a este punto.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Si $K$ es el punto simediano de $△ A B C$ , sea $X$ la proyección de $K$ en $B C$ , muestra que la reflexión de $X$ respecto de $K$ esta en la mediana que pasa por $A$ .
Encuentra el punto simediano de un triángulo rectángulo.
Sobre los lados de un triángulo $△ A B C$ construye cuadrados externamente, muestra que los lados (de los cuadrados) opuestos a los lados de $△ A B C$ se intersecan formando un triángulo homotético a $△ A B C$ , con centro de homotecia el punto simediano de $△ A B C$ .
Si las simedianas de $△ A B C$ intersecan a su circuncírculo en $D$ , $E$ y $F$ muestra que $△ A B C$ y $△ D E F$ tienen el mismo punto simediano.
$i)$ Muestra que las distancias a los lados de un triángulo desde sus puntos exsimedianos son proporcionales a las longitudes de los lados del triángulo,
$i i)$ calcula dichas distancias.
Prueba que de entre todos los triángulos inscritos en un triángulo dado, el triángulo pedal del punto simediano, es el que tiene la propiedad de que la suma de los cuadrados de sus lados es mínima.

Entradas relacionadas

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Otros cursos.

Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 252-257.
Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 129-145.
Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 215-218.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Simediana

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

La simediana es un tipo especial de ceviana relacionada con la mediana de un triángulo, veremos algunas caracterizaciones y propiedades.

Simediana, primera caracterización

Definición 1. Una simediana de un triángulo es la reflexión de una mediana respecto de la bisectriz interna que pasa por el mismo vértice. Un triángulo tiene tres simedianas.

Notación. Denotaremos a la intersección de una simediana con el lado opuesto como $S$ .

Teorema 1. Una ceviana de un triángulo divide internamente al lado opuesto en la razón de los cuadrados de los lados adyacentes si y solo si es simediana.

Demostración. Sean $A A^{'}$ la mediana y $A S$ la simediana en un triángulo $△ A B C$ .

Sea $H$ el pie de la altura por $A$ , calculamos las áreas de los triángulos $△ B A S$ , $△ B A A^{'}$ , $△ S A C$ y $△ A^{'} A C$ .

$\begin{matrix} (6) & (△ B A S) = \frac{B S \times A H}{2} = \frac{B A \times A S \sin ∠ B A S}{2}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (7) & (△ B A A^{'}) = \frac{B A^{'} \times A H}{2} = \frac{B A \times A A^{'} \sin ∠ B A A^{'}}{2}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (8) & (△ S A C) = \frac{S C \times A H}{2} = \frac{S A \times A C \sin ∠ S A C}{2}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (9) & (△ A^{'} A C) = \frac{A^{'} C \times A H}{2} = \frac{A A^{'} \times A C \sin ∠ A^{'} A C}{2} . \end{matrix}$

Sea $L$ la intersección de la bisectriz de $A$ con $B C$ , entonces
$\begin{matrix} (10) & ∠ B A S = ∠ B A L - ∠ S A L = ∠ L A C - ∠ L A A^{'} = ∠ A^{'} A C, \end{matrix}$
$∠ B A A^{'} = ∠ B A L + ∠ L A A^{'} = ∠ L A C + ∠ S A L = ∠ S A C .$

Haciendo el cociente de $(1)$ con $(4)$ y de $(2)$ con $(3)$ obtenemos
$\frac{B S}{A^{'} C} = \frac{B A \times A S}{A A^{'} \times A C}$ ,
$\frac{B A^{'}}{S C} = \frac{B A \times A A^{'}}{S A \times A C}$ .

Multiplicando estas dos ecuaciones obtenemos el resultado esperado
$\frac{B S}{S C} = \frac{B A^{2}}{A C^{2}}$ .

El reciproco también es cierto, pues el punto $S$ que divide a $B C$ en la razón $\frac{B A^{2}}{A C^{2}}$ , es único.

Exsimediana

Definición 2. Las tangentes al circuncírculo de un triángulo por sus vértices se conocen como simedianas externas o exsimedianas.

Corolario. La simediana y la exsimediana que pasan por el mismo vértice de un triángulo son conjugadas armónicas respecto de los lados del triángulo que forman dicho vértice.

Demostración. En la entrada teorema de Menelao mostramos que la exsimediana de un triángulo divide externamente al lado opuesto en la razón de los cuadrados de los lados que pasan por el mismo vértice.

El resultado se sigue del hecho de que el conjugado armónico es único y el teorema 1.

Teorema 2. Una simediana y las exsimedianas que pasan por vértices distintos son concurrentes, al punto de concurrencia se le conoce como punto exsimediano.

Demostración. En $△ A B C$ , $A P$ y $C P$ son tangentes al circuncírculo $Γ$ de $△ A B C$ en $A$ y en $C$ respectivamente y se cortan en $P$ (figura 2).

Sea $D = B P \cap Γ$ , $D \neq B$ , por la proposición 5 de la entrada anterior, $A B C D$ es un cuadrilátero armónico.

Entonces, por el teorema 2 de la entrada anterior, el Haz $B (B C D A)$ es armónico, es decir, la tangente a $Γ$ en $B$ , y $B D$ son conjugadas armónicas respecto de $B A$ y $B C$ .

Como el conjugado armónico es único, $B P$ es simediana de $△ A B C$ , por el corolario anterior.

Antiparalelas (1)

Teorema 3. La $B$ -simediana de un triángulo $△ A B C$ es el lugar geométrico de los puntos que bisecan a las antiparalelas de $A C$ respecto a $A B$ y $B C$ .

Demostración. Sean $D \in A B$ y $E \in B C$ tales que $A C$ y $D E$ son antiparalelas respecto a $A B$ y $B C$ , entonces $A D E C$ es cíclico.

Por lo tanto, $∠ A C E$ y $∠ E D A$ son suplementarios, en consecuencia, $∠ A C B = ∠ A C E = ∠ B D E$ .

Sea $T B$ tangente al circuncírculo de $△ A B C$ en $B$ , entonces $∠ A B T = ∠ A C B$ pues abarcan el mismo arco, por lo tanto, la $B$ -exsimediana y $D E$ son paralelas.

Sea $B S$ una ceviana de $△ A B C$ , entonces por la proposición 2 de la entrada anterior $B S$ biseca a $D E$ si y solo si el haz $B (T C S A)$ es armónico.

En consecuencia, como el conjugado armónico de $B T$ respecto de $B C$ y $B A$ es la $B$ -simediana, $B S$ biseca a $D E$ si y solo si $B S$ es simediana de $△ A B C$ .

Antiparalelas (2)

Proposición. 1 Si dos antiparalelas a dos de los lados de un triángulo tienen la misma longitud, entonces estas se intersecan en la simediana relativa al tercer lado, el reciproco también es cierto.

Demostración. Sean $△ A B C$ , $E$ , $G \in B C$ , $F \in A B$ y $H \in C A$ , tales que $E F$ , $A C$ son antiparalelas respecto a $A B$ y $B C$ ; $A B$ , $G H$ son antiparalelas respecto a $B C$ y $C A$ , y $E F = G H$ .

Como $A F E C$ y $A B G H$ son cíclicos, entonces, $∠ F E B = ∠ B A C = ∠ C G H$ , por lo tanto $P G = P E$ .

Sea $P = E F \cap G H$ , dado que $F E = G H$ entonces $F P = H P$ .

Si $S = A P \cap B C$ , considera $I \in A B$ , $J \in C A$ , tales que $I S ∥ F E$ y $J S ∥ G H$ , entonces $△ A S I \sim △ A P F$ y $△ A S J \sim △ A P H$ .

Por lo tanto, $\frac{S I}{P F} = \frac{A S}{A P} = \frac{S J}{P H}$ , como $P F = P H$ entonces $S I = S J$ .

Por otro lado $△ S B I \sim △ A B C \sim △ S J C$ , esto es
$\frac{S B}{S I} = \frac{A B}{A C}$ y $\frac{S J}{S C} = \frac{A B}{A C}$ .

Como resultado de multiplicar estas dos ecuaciones obtenemos
$\frac{B S}{S C} = \frac{A B^{2}}{A C^{2}}$ .

Por el teorema 1, esto implica que $A S$ es la $A$ -simediana de $△ A B C$ .

Notemos que el reciproco también es cierto, esto es, si dos antiparalelas a dos de los lados de un triángulo se intersecan en la simediana relativa al tercer lado, entonces estas tienen la misma longitud.

Esto lo podemos ver tomando la prueba anterior en sentido contrario.

Otra caracterización importante

Teorema 4. Una simediana es el lugar geométrico de los puntos (dentro de los ángulos internos del triángulo o sus ángulos opuestos por el vértice) tales que la razón de sus distancias a los lados adyacentes a la simediana, es igual a la razón entre esos lados.

Demostración. Sean $△ A B C$ , $A^{'}$ el punto medio de $B C$ y $P \in A A^{'}$ , considera las proyecciones $P_{c}$ , $P_{b}$ de $P$ en $A B$ y $A C$ respectivamente y $A_{c}^{'}$ , $A_{b}^{'}$ , las correspondientes de $A^{'}$ .

Como $△ A P P_{c} \sim △ A A^{'} A_{c}^{'}$ y $△ A P P_{b} \sim △ A A^{'} A_{b}^{'}$ entonces
$\frac{P P_{c}}{A^{'} A_{c}^{'}} = \frac{A P}{A A^{'}} = \frac{P P_{b}}{A^{'} A_{b}^{'}}$ .

Tomando en cuenta que los triángulos $△ A B A^{'}$ y $△ A A^{'} C$ tienen la misma altura desde $A$ , tenemos lo siguiente:
$\frac{A C}{A B} = \frac{P P_{c}}{P P_{b}} = \frac{A^{'} A_{c}^{'}}{A^{'} A_{b}^{'}}$
$\Leftrightarrow A C \times A^{'} A_{b}^{'} = A B \times A^{'} A_{c}^{'}$
$\Leftrightarrow (△ A A^{'} C) = (△ A A^{'} B)$
$\Leftrightarrow A^{'} C = B A^{'}$ .

Por lo tanto, la mediana de un triángulo es el lugar geométrico de los puntos tales que la razón de sus distancias a los lados adyacentes a la mediana es el inverso de la razón entre dichos lados.

Denotamos la distancia de un punto $P$ a una recta $l$ como $d (P, l)$ .

Para $P \in A A^{'}$ considera $P^{'} \in A S$ su reflexión respecto de la bisectriz de $∠ B A C$ , entonces

$\frac{d (P^{'}, A B)}{d (P^{'}, A C)} = \frac{d (P, A C)}{d (P^{'}, A B)} = \frac{A B}{A C}$ .

Proposición 2. La recta que une las proyecciones de un punto en la simediana (mediana) de un triángulo, sobre los lados adyacentes, es perpendicular a la mediana (simediana) que pasa por el mismo vértice.

Demostración. En un triángulo $△ A B C$ sean $A A^{'}$ la mediana y $A S$ la simediana, considera $P \in A S$ y $D$ , $E$ , las proyecciones de $P$ en $C A$ y $A B$ respectivamente.

Como $∠ P E A + ∠ A D P = π$ entonces $A E P D$ es cíclico, así que $∠ E A P = ∠ E D P$ , por la ecuación $(5)$ , $∠ E A P = ∠ A^{'} A D$ .

Sean $F = P D \cap A A^{'}$ y $G = D E \cap A A^{'}$ , en los triángulos $△ A D F$ y $△ D G F$ , $∠ F A D = ∠ G D F$ y $∠ D F G$ es un ángulo común, por lo tanto son semejantes.

Como $P D ⊥ A C$ entonces $D E ⊥ A A^{'}$ .

El caso para la mediana es análogo.

Más adelante…

Así como las medianas de un triángulo son concurrentes, las simedianas también son concurrentes, pero dicho punto tiene propiedades importantes por si mismo, y de eso hablaremos en la próxima entrada.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Muestra que las segundas intersecciones de una mediana y su correspondiente simediana con el circuncírculo del triángulo, determinan una recta paralela al lado del triángulo relativo a la mediana considerada.
Sea $△ A B C$ un triángulo acutángulo, $D$ y $A^{'}$ las proyecciones de $A$ y $O$ , el circuncírculo de $△ A B C$ , en $B C$ respectivamente, sean $E = B O \cap A D$ , $F = C O \cap A D$ y considera $P$ el segundo punto en común entre los circuncírculos de $△ A B E$ y $△ A F C$ , demuestra que $A P$ es la $A$ -simediana de $△ A B C$ .
Sea $P$ un punto dentro de un triángulo isósceles $△ A B C$ con $A B = A C$ , tal que $∠ P B C = ∠ A C P$ , si $A^{'}$ es el punto medio de $B C$ , muestra que $∠ B P A^{'}$ y $∠ C P A$ son suplementarios.
Sean $△ A B C$ , $D \in A B$ y $E \in C A$ tal que $D E ∥ B C$ , considera $P = B E \cap C D$ , los circuncírculos de $△ B D P$ y $△ C E P$ se intersecan en $P$ y $Q$ , muestra que $∠ B A Q = ∠ P A C$ .
La $A$ -simediana $A S$ y la $A$ -meidnana $A A^{'}$ de un triángulo $△ A B C$ intersecan otra vez a su circuncírculo en $S^{'}$ y $L$ respectivamente, prueba que la rectas de Simson de $S^{'}$ y $L$ son perpendiculares a $A A^{'}$ y a $A S$ respectivamente.
Muestra que las exsimedianas de un triángulo tienen la misma propiedad que se señala en el teorema 4 respecto a las simedianas, pero esta vez para los puntos dentro de los ángulos externos del triángulo.

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Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 247-252.
Lozanovski, S., A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry. Version 1.4. 2020, pp 86-92.
Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 129-145.
Shively, L., Introducción a la Geómetra Moderna. México: Ed. Continental, 1961, pp 66-70.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

El blog de Leo

Aprendiendo, creando y compartiendo matemáticas

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Geometría Moderna I: Punto simediano

Introducción

Punto simediano

Triángulo pedal del punto simediano

Conjugado isotómico del punto simediano

Construcción de un triángulo dado su punto simediano

Distancia del punto simediano a los lados del triángulo

Más adelante…

Tarea moral

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Geometría Moderna I: Simediana

Introducción

Simediana, primera caracterización

Exsimediana

Antiparalelas (1)

Antiparalelas (2)

Otra caracterización importante

Más adelante…

Tarea moral

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