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Variable Compleja I: Teoremas de Weierstrass

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

En la entrada anterior establecimos una versión general del Teorema Integral de Cauchy, la cual nos es de mucha utilidad al resolver problemas relacionados con el cálculo de integrales.

En esta entrada veremos algunos resultados importantes que relacionan a las series de funciones y los conceptos de integral y derivada de las mismas, en particular probaremos bajo qué condiciones es posible integrar y derivar término a término a este tipo de series. Más aún, veremos que toda serie de potencias define a una función analítica en su disco de convergencia.

Proposición 39.1.(Weierstrass sobre integración término a término.)
Sean $D \subset C$ un dominio, $γ$ un contorno en $D$ y ${f_{n} : D \to C}_{n \geq 0}$ una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente a una función $f : D \to C$ en $D$ . Entonces:
$lim_{n \to \infty} \int_{γ} f_{n} (z) d z = \int_{γ} f (z) d z = \int_{γ} lim_{n \to \infty} f_{n} (z) d z .$

En particular:
$\sum_{n = 0}^{\infty} \int_{γ} f_{n} (z) d z = \int_{γ} \sum_{n = 0}^{\infty} f_{n} (z) d z .$

Demostración. Dadas las hipótesis, por la proposición 28.1 tenemos que $f$ es una función continua en $D$ , por lo que $\int_{γ} f (z) d z$ existe.

Por la definición de convergencia uniforme, dado $ε > 0$ existe $N \in N$ tal que si $n \geq N$ , se cumple que:
$| f_{n} (z) - f (z) | < \frac{ε}{1 + ℓ (γ)}, \forall z \in D .$

Entonces, si $n \geq N$ , por las proposiciones 34.2(1) y 34.3(5), tenemos que:
$\begin{aligned} | \int_{γ} f_{n} (z) d z - \int_{γ} f (z) d z | & = | \int_{γ} [f_{n} (z) - f (z)] d z | \\ \leq \int_{γ} | f (z) - f_{n} (z) | | d z | \\ < \frac{ε}{1 + ℓ (γ)} ℓ (γ) \\ < ε . \end{aligned}$

Como $ε > 0$ es arbitrario, entonces:
$lim_{n \to \infty} \int_{γ} f_{n} (z) d z = \int_{γ} f (z) d z = \int_{γ} lim_{n \to \infty} f_{n} (z) d z .$

La última parte se sigue de aplicar la primera parte del resultado a la sucesión de sumas parciales de la serie, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.

Definición 39.1. (Convergencia uniformemente compacta.)
Una sucesión de funciones ${f_{n}}_{n \geq 0}$ definidas en un conjunto abierto $U \subset C$ se dice que converge uniformemente en compactos o que converge compactamente en $U$ si para cada subconjunto compacto $K \subset U$ la sucesión de restricciones ${f_{n} : K \to C}_{n \geq 0}$ converge uniformemente a la restricción $f : K \to C$ .

Lema 39.1.
Sea ${f_{n}}_{n \geq 0}$ una sucesión de funciones definidas en un conjunto abierto $U \subset C$ . La sucesión converge compactamente en $U$ si y solo si converge uniformemente en cada disco cerrado contenido en $U$ .

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Teorema 39.1. (Weierstrass sobre la convergencia analítica.)
Sea ${f_{n}}_{n \geq 0}$ una sucesión de funciones analíticas definidas en un dominio $D \subset C$ y $f : D \to C$ una función. Si $f_{n} \to f$ uniformemente en todo subconjunto compacto de $D$ , entonces $f$ es analítica en $D$ . Más aún, para cada $k \in N$ se cumple que $f_{n}^{(k)} \to f^{(k)}$ uniformemente en cada subconjunto compacto de $D$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $γ$ un contorno cerrado en $D$ . Como cada función $f_{n}$ es analítica en $D$ , en particular es continua en $D$ , proposición 16.1, y dado que $f_{n} \to f$ uniformemente en todo subconjunto compacto de $D$ , por la proposición 28.1 tenemos que $f$ es continua en todo subconjunto compacto de $D$ , entonces de la proposición 10.12 se sigue que $f$ es continua en $D$ .

Por el teorema de la curva de Jordan, teorema 36.1, sabemos que los puntos en $γ$ y su interior forman un conjunto cerrado y acotado $S$ , es decir, compacto, proposición 10.7.

Entonces, por la definición de convergencia uniforme, dado $ε > 0$ existe $N \in N$ tal que si $n \geq N$ , se cumple que:
$| f_{n} (z) - f (z) | < ε, \forall z \in γ .$

Como para todo $n \geq 0$ la función $f_{n}$ es analítica en $D$ , entonces, por la proposición 34.3(5), el teorema de integral de Cauchy y la desigualdad del triángulo, tenemos que:
$\begin{aligned} | \int_{γ} f (z) d z | & = | \int_{γ} [f (z) - f_{n} (z) + f_{n} (z)] d z | \\ \leq | \int_{γ} [f (z) - f_{n} (z)] d z | + | \int_{γ} f_{n} (z) d z | \\ = | \int_{γ} [f (z) - f_{n} (z)] d z | \\ \leq \int_{γ} | f (z) - f_{n} (z) | | d z | \\ < ε \cdot ℓ (γ) . \end{aligned}$

Como $ε > 0$ es arbitrario, entonces:
$| \int_{γ} f (z) d z | = 0 ⟹ \int_{γ} f (z) d z = 0,$ y dado que $γ$ es un contorno cerrado arbitrario en $D$ , el resultado se cumple para todo contorno cerrado $γ$ en $D$ . Entonces, por el teorema de Morera tenemos que $f$ es una función analítica en $D$ .

De acuerdo con el lema 39.1, solo basta con verificar el resultado para discos cerrados contenidos en $D$ . Sean $z_{0} \in D$ fijo, $r > 0$ tal que $\overset{―}{B} (z_{0}, r) \subset D$ y parametrizamos a la frontera del disco cerrado como $γ_{r} = \partial \overset{―}{B} (z_{0}, r)$ , orientada positivamente. Por la definición de convergencia uniforme, dado $ε > 0$ existe $N \in N$ tal que si $n \geq N$ , se cumple que:
$\begin{matrix} (39.1) & | f_{n} (z) - f (z) | < \frac{ε r^{k}}{k! 2^{k + 1}}, \forall z \in \overset{―}{B} (z_{0}, r), \end{matrix}$ donde $r > 0$ y $k \in N^{+}$ .

Para $k \in N^{+}$ fijo, por la fórmula integral de Cauchy para las derivadas de orden superior, proposición, tenemos que:
$\begin{matrix} (39.2) & f^{(k)} (z) = \frac{k!}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{k + 1}} d ζ, \forall z \in B (z_{0}, r) . \end{matrix}$

Análogamente, para cada función $f_{n}$ tenemos que:
$\begin{matrix} (39.3) & f_{n}^{(k)} (z) = \frac{k!}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{k + 1}} d ζ, \forall z \in B (z_{0}, r) . \end{matrix}$

Notemos que para $z \in \overset{―}{B} (z_{0}, r / 2) \subset \overset{―}{B} (z_{0}, r)$ se tiene por la proposición 3.3 que:
$\begin{matrix} (39.4) & \frac{r}{2} \leq | ζ - z_{0} | - | z_{0} - z | \leq | ζ - z | ⟹ \frac{1}{| ζ - z |} \leq \frac{2}{r} . \end{matrix}$

Es claro que:
$ℓ (γ_{r}) = \int_{γ_{r}} | d ζ | = 2 π r .$

Entonces, si $n \geq N$ y $z \in \overset{―}{B} (z_{0}, r / 2)$ , por las proposiciones 34.2(1), 34.3(5) y por (39.1), (39.2), (39.3) y (39.4), se tiene que:
$\begin{aligned} | f_{n}^{(k)} (z) - f^{(k)} (z) | & = | \frac{k!}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{f_{n} (ζ)}{(ζ - z)^{k + 1}} d ζ - \frac{k!}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{k + 1}} d ζ | \\ = \frac{k!}{2 π} | \int_{γ_{r}} \frac{f_{n} (ζ) - f (ζ)}{(ζ - z)^{k + 1}} d ζ | \\ \leq \frac{k!}{2 π} \int_{γ_{r}} | \frac{f_{n} (ζ) - f (ζ)}{(ζ - z)^{k + 1}} | | d ζ | \\ = \frac{k!}{2 π} \int_{γ_{r}} \frac{| f_{n} (ζ) - f (ζ) |}{{| ζ - z |}^{k + 1}} | d ζ | \\ \leq \frac{k!}{2 π} \frac{2^{k + 1}}{r^{k + 1}} \frac{ε r^{k}}{k! 2^{k + 1}} \int_{γ_{r}} | d ζ | \\ = ε, \end{aligned}$ como $z \in \overset{―}{B} (z_{0}, r / 2)$ y $r > 0$ son arbitrarios, entonces $f_{n}^{(k)} \to f^{(k)}$ uniformemente en cualquier disco cerrado contenido en $D$ , por lo que del lema 39.1 se sigue el resultado.

Corolario 39.1.
Sean $z_{0} \in C$ fijo y $f : B (z_{0}, R) \to C$ una función dada por la serie de potencias:
$f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n},$ con radio de convergencia $R > 0$ . Entonces $f$ es analítica en $B (z_{0}, R)$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, por la proposición 29.2 tenemos que la serie de potencias converge uniformemente a $f$ en todo subdisco cerrado $\overset{―}{B} (z_{0}, r)$ , con $r < R$ , por lo que, del teorema 39.1 se sigue que $f$ es analítica en $B (z_{0}, R)$ .

Teorema 39.2. (Weierstrass sobre derivación término a término.)
Sea ${f_{n}}_{n \geq 0}$ una sucesión de funciones analíticas definidas en un dominio $D \subset C$ y sea $f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} f_{n} (z)$ . Si la serie converge uniformemente a $f$ en cada disco cerrado contenido en $D$ , definición 28.6, entonces $f$ es analítica en $D$ y puede derivarse término a término, es decir:
$f^{(k)} (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} f_{n}^{(k)} (z), \forall z \in D,$ para todo $k \in N^{+}$ .

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Observación 39.1.
Notemos que los resultados anteriores no suponen la convergencia uniforme en todo el dominio $D$ , es decir, la convergencia uniforme es únicamente en los subconjuntos compactos de $D$ o equivalentemente, lema 39.1, en los subdiscos cerrados en $D$ .

Ejemplo 39.1.
Sea $D = {z \in C : | z | < 1}$ . Consideremos a la serie:
$f (z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n}, \forall z \in D .$

No es difícil verificar que dicha serie converge puntualmente en $D$ y uniformemente en los discos cerrados $\overset{―}{B} (0, r)$ , para $0 \leq r < 1$ , ejercicio 1. Por lo que converge uniformemente en todos los discos cerrados en $A$ , entonces por los teoremas 39.1 y 39.2 concluimos que $f$ es analítica en $D$ y que su derivada $f^{'} (z) = \sum_{n = 1} z^{n - 1}$ también converge en $D$ . Sin embargo, se tiene convergencia puntual y no uniforme en $D$ .

Ejemplo 39.2. (Derivación término a término.)
Consideremos a la serie geométrica $\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n}$ . De acuerdo con el ejemplo 28.8 sabemos que dicha serie converge uniformemente en todo disco cerrado $\overset{―}{B} (0, r)$ , con $0 < r < 1$ , en tal caso:
$\begin{matrix} (39.5) & \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} = \frac{1}{1 - z} . \end{matrix}$

Es claro que la función $f_{n} (z) = z^{n}$ es entera para todo $n \in N$ , en particular es analítica en $\overset{―}{B} (0, r)$ . Por lo que, podemos utilizar el teorema 39.2 para derivar a la serie geométrica término a término.

Derivando el lado derecho de la igualdad (39.5) tenemos:
$\frac{d}{d z} \frac{1}{1 - z} = \frac{1}{(1 - z)^{2}} .$

Por otra parte, derivando el lado izquierdo de la igualdad (39.5), por el teorema tenemos que:
$\begin{aligned} \frac{d}{d z} (\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n}) & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{d}{d z} z^{n} \\ = 1 + 2 z + 3 z^{2} + 4 z^{3} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) z^{n} . \end{aligned}$

Entonces:
$\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) z^{n} = \frac{1}{(1 - z)^{2}}, si | z | \leq r < 1.$

Notemos que este mismo resultado se obtuvo en el ejemplo 27.13 de la entrada 27, sin embargo, es claro que mediante el teorema de derivación término a término fue más sencillo deducirlo.

Ejemplo 39.3. (Integración término a término.)
Continuemos trabajando con la serie geométrica $\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n}$ . Dado que dicha serie converge uniformemente en todo disco cerrado $\overset{―}{B} (0, r) \subset B (0, 1)$ y para todo $n \in N$ la función $f_{n} (z) = z^{n}$ es entera, entonces podemos considerar a dicha serie para utilizar el la proposición 39.1 para integrar término a término.

Sea $γ$ el segmento de recta que une a $0$ y $ζ$ de modo que $γ \subset B (0, 1)$ , es decir, $γ$ es el segmento de recta $[0, ζ]$ , tal que $| ζ | < 1$ . Entonces:
$\begin{aligned} \int_{[0, ζ]} \frac{1}{1 - z} d z & = \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{[0, ζ]} z^{n} d z \\ = \int_{[0, ζ]} 1 d z + \int_{[0, ζ]} z d z + \int_{[0, ζ]} z^{2} d z + \dots \end{aligned}$

Notemos que el integrando del lado izquierdo de la igualdad, es decir, la función $\frac{1}{1 - z}$ , salvo una constante, corresponde con la derivada de alguna de las ramas de la función multivaluada $\log (1 - z)$ .

Dado que la rama principal $Log (1 - z)$ es analítica en $C ∖ [1, \infty)$ , ejercicio 10 de la entrada 21, entonces en particular es analítica en el disco abierto $B (0, 1)$ , por lo que, al tener la condición $| z | < 1$ , elegimos a dicha rama.

Por otra parte, por el corolario 21.1 sabemos que para la rama principal del logaritmo se cumple que $- Log (w) = Log (w^{- 1})$ si $w$ no está en el corte de rama de dicha función. Para nuestro caso, como $| z | < 1$ , entonces los valores de $z$ que consideramos no están en el corte de rama de la función $Log (1 - z)$ , por lo que se cumple:
$- Log (1 - z) = Log (\frac{1}{1 - z}) .$

Considerando el TFC, proposición 35.1, tenemos que:
$\begin{aligned} \int_{[0, ζ]} \frac{1}{1 - z} d z = \int_{0}^{ζ} \frac{1}{1 - z} d z & = - Log (1 - z) |_{0}^{ζ} \\ = Log (\frac{1}{1 - ζ}) |_{0}^{ζ} \\ = Log (\frac{1}{1 - ζ}) - Log (\frac{1}{1 - 0}) \\ = Log (\frac{1}{1 - ζ}) . \end{aligned}$

Por otra parte, para el lado derecho de la igualdad, por el TFC, proposición 35.1, es claro que:
$\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{[0, ζ]} z^{n} d z & = \int_{[0, ζ]} 1 d z + \int_{[0, ζ]} z d z + \int_{[0, ζ]} z^{2} d z + \dots \\ = \int_{0}^{ζ} 1 d z + \int_{0}^{ζ} z d z + \int_{0}^{ζ} z^{2} d z + \dots \\ = ζ + \frac{ζ^{2}}{2} + \frac{ζ^{3}}{3} + \dots \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{ζ^{n}}{n} . \end{aligned}$

Entonces:
$Log (\frac{1}{1 - z}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n + 1}}{n + 1}, si | z | \leq r < 1.$

Notemos que habíamos llegado al mismo resultado en el ejercicio 5 de la entrada 30, sin embargo, utilizando el teorema de integración término a término el procedimiento fue más sencillo.

Tarea moral

Sea $D = {z \in C : | z | < 1}$ . Considera a la serie:
$f (z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n}, \forall z \in D .$ Muestra que dicha serie converge puntualemente en $D$ y uniformemente en todo disco cerrado $\overset{―}{B} (0, r)$ , para $0 \leq r < 1$ .
Completa la demostración de la proposición 39.1.
Demuestra el lema 39.1.
Prueba el teorema 39.2.
Muestra que si $| z | < 1$ , entonces:
$Log (1 + z) = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{z^{n + 1}}{n + 1} .$ Hint: Considera el contorno $γ$ dado por el segmento de recta $[0, ζ]$ con $| ζ | < 1$ y utiliza la proposición 39.1.
Muestra que la sucesión de funciones ${f_{n}}_{n \geq 1}$ , dada por:
$f_{n} (z) = \frac{z^{n + 1}}{n (n + 1)}, \forall n \in N^{+},$ converge uniformemente en el disco abierto $B (0, 1)$ , pero que la sucesión de derivadas:
$f_{n}^{(2)} (z) = z^{n - 1}, \forall n \in N^{+},$ no converge uniformemente en dicho disco.
$D \subset C$ un dominio, $f : D \to C$ una función y ${f_{n}}_{n \geq 0}$ una sucesión de funciones continuas definidas en $D$ , tales que:
$\int_{γ} f_{n} (z) d z = 0, \forall n \in N,$ para todo contorno cerrado $γ$ en $D$ . Si $f_{n} \to f$ converge uniformemente en $D$ , muestra que $f$ es analítica en $D$ .
Sean $D \subset C$ un dominio, $f : D \to C$ una función y ${f_{n}}_{n \geq 0}$ una sucesión de funciones continuas definidas en $D$ , tales, que $f_{n} \to f$ converge uniformemente en $D$ , entonces:
$\int_{γ} f (z) | d z | = lim_{n \to \infty} \int_{γ} f_{n} (z) | d z |,$ para todo contorno $γ$ en $D$ .

Más adelante…

En esta entrada hemos establecido algunos resultados importantes sobre las series de funciones y los conceptos de convergencia uniforme, integración y diferenciación, en particular vimos bajo qué condiciones posible integrar o derivar término a término este tipo de funciones.

En la siguiente entrada definiremos dos tipos de funciones complejas muy particulares, las funciones conjugadas armónicas y las funciones conformes, las cuales están relacionadas con algunos de los conceptos de esta entrada y que nos serán de utilidad para construir funciones analíticas. Dichas funciones nos permitirán caracterizar aún más la geometría de las funciones complejas.

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Entrada anterior del curso: Teorema integral de Cauchy versión homótopica.
Siguiente entrada del curso: Funciones conjugadas armónicas y funciones conformes.

Ecuaciones Diferenciales I: Teorema de Existencia y Unicidad – Iterantes de Picard y Convergencia

Por Omar González Franco

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Tema optativo

No te preocupes por tus dificultades en matemáticas.
Te puedo asegurar que las mías son aún mayores.
– Albert Einstein

Introducción

En la entrada anterior iniciamos con el desarrollo de una teoría preliminar para demostrar el teorema de existencia y unicidad de Picard – Lindelöf. Hasta ahora hemos visto que un problema de valor inicial, en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, se puede escribir de forma equivalente como una ecuación integral. Aprendimos lo que es una función lipschitziana respecto de la segunda variable, demostramos algunos resultados importantes al respecto y concluimos con la demostración del lema de Gronwall.

Continuando con esta teoría preliminar, en esta entrada definiremos las iterantes de Picard, pero antes de ello es importante hacer un breve recordatorio sobre series y sucesiones de funciones.

También enunciaremos el teorema de Picard – Lindelöf para el caso local y resolveremos un ejercicio en el que apliquemos este resultado.

Recordemos el teorema de Picard – Lindelöf para que lo tengamos presente.

Teorema: Supongamos que se cumplen las siguientes tres hipótesis:

U = [a, b] \times R

, donde

[a, b]

es un intervalo compacto en

R

f : U \to R

es continua en

U

, y

f

es lipschitziana en

U

respecto de la segunda variable.

En esta situación, para cada

(x_{0}, y_{0}) \in U

, el problema de valores iniciales (PVI)

\begin{array}{r} (1) & \frac{d y}{d x} = f (x, y); y (x_{0}) = y_{0} \end{array}

posee una única solución definida en el intervalo

[a, b]

.

Además, las iterantes de Picard

y_{n} : [a, b] \to R

asociadas al PVI (

1

), dadas por

\begin{array}{r} (2) & y_{n} (x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f (t, y_{n - 1} (t)) d t n = 1, 2, 3, \dots y_{0} = y_{0} (x) \end{array}

convergen uniformemente en el intervalo

[a, b]

hacia la solución del PVI.

Bien, comencemos con el repaso de series y sucesiones de funciones.

Series y sucesiones de funciones

En cursos anteriores ya se han estudiado series y sucesiones de funciones. Aquí presentaremos, a manera de repaso, el concepto de convergencia puntual, convergencia uniforme y convergencia absoluta, además del criterio mayorante de Weierstrass.

Recordemos que una sucesión ${f_{n}}$ de funciones de $D$ a $R$ converge en un punto $x \in D$ cuando la sucesión de números reales ${f_{n} (x)}$ es convergente. Cuando esto ocurre en todos los puntos de un conjunto no vacío $I \subset D$ se dice que ${f_{n}}$ converge puntualmente en $I$ . En tal caso podemos definir una función $f : I \to R$ escribiendo

$\begin{matrix} (3) & f (x) = lim_{n \to \infty} f_{n} (x) \end{matrix}$

para todo $x \in I$ , y decimos que $f$ es el límite puntual de ${f_{n}}$ en $I$ .

Por otro lado, se dice que la sucesión ${f_{n} (x)}$ converge uniformemente a la función $f (x)$ en $I$ si

$\begin{matrix} (4) & lim_{n \to \infty} (sup_{x \in I} | f_{n} (x) - f (x) |) = 0 \end{matrix}$

En la práctica las ecuaciones ( $3$ ) y ( $4$ ) nos serán de mucha utilidad, sin embargo es conveniente tener presente las definiciones formales de convergencia puntual y convergencia uniforme para sucesiones de funciones.

Definición: Sea

{f_{n}}

una sucesión de funciones definidas en un conjunto no vacío

D \subset R

f_{n} : D \to R

f

una función

f : I \to R

con

I \subset D

. La sucesión

{f_{n}}

converge puntualmente a

f

I

cuando se verifica lo siguiente:

\begin{matrix} (5) & \forall x \in I, \forall ε > 0 \exists N \in N : n \geq N \Rightarrow | f_{n} (x) - f (x) | < ε \end{matrix}

Definición: Sea

{f_{n}}

una sucesión de funciones definidas en un conjunto no vacío

D \subset R

f_{n} : D \to R

f

una función

f : I \to R

con

I \subset D

. La sucesión

{f_{n}}

converge uniformemente a

f

I

cuando se verifica lo siguiente:

\begin{matrix} (6) & \forall ε > 0 \exists N \in N : n \geq N \Rightarrow | f_{n} (x) - f (x) | < ε, \forall x \in I \end{matrix}

El concepto de convergencia uniforme es un concepto más fuerte que el de convergencia puntual. En el caso de convergencia puntual $N$ puede depender de $ε$ y de $x$ , mientras que en la convergencia uniforme sólo puede depender de $ε$ . Así, toda sucesión que converge uniformemente, converge puntualmente. El enunciado recíproco es falso, realicemos un ejemplo para mostrar esto.

Ejemplo: Mostrar que la sucesión $f_{n} : [0, 1] \to R$ definida por $f_{n} (x) = x^{n}$ converge puntualmente pero no uniformemente.

Solución: Para $x \in [0, 1)$ la sucesión $f_{n} (x) = x^{n}$ converge puntualmente a $f (x) = 0$ ya que

$| f_{n} (x) - f (x) | = | x^{n} - 0 | = | x^{n} | = x^{n}$

$lim_{n \to \infty} x^{n} = 0$

esto para $x \in [0, 1)$ , pero cuando $x = 1$ ocurre que $f_{n} (1) = 1^{n} = 1$ , es decir, converge puntualmente a $f (x) = 1$ y así

$| f_{n} (x) - f (x) | = | x^{n} - 1 | = | 1 - 1 | = 0$

Geométricamente podemos observar que, en efecto, todas las gráficas convergen a $f (x) = 0$ para $x \in [0, 1)$ y sólo cuando $x = 1$ es cuando la sucesión converge a $f (x) = 1$ .

Gráficas de $f_{n} (x) = x^{n}$ para distintas $n$ ´s.

Sin embargo, la sucesión $f_{n} (x) = x^{n}$ no converge uniformemente, es sencillo darse cuenta que no existe $N \in N$ para cumplir con ( $5$ ). Por muy pequeña que tomemos a $ε$ siempre va a haber alguna $n$ para $x \in [0, 1]$ que haga que

$| f_{n} (x) - f (x) | > ε$

Dicho de otra forma,

$lim_{n \to \infty} (sup_{x \in I} | f_{n} (x) - f (x) |) \neq 0$

Será necesario extender el concepto de convergencia uniforme al caso de series de funciones.

Definición: Decimos que la serie de funciones

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)

definida en un intervalo

D

, converge uniformemente en

D

, si la sucesión de funciones

{f_{n} (x)}

converge uniformemente en

D

. Esto es

\begin{matrix} (7) & \forall ε > 0, \exists N \in N : n > N \Rightarrow | \sum_{n = N + 1}^{\infty} f_{n} (x) | < ε \end{matrix}

Un resultado importante que utilizaremos más adelante es el criterio de comparación directa. No lo demostraremos.

Criterio de comparación directa: Sean

a_{n}

b_{n}

sucesiones tal que

0 < a_{n} \leq b_{n}

\forall n \geq n_{0}

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}

converge, entonces

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

converge.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

diverge, entonces

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}

diverge.

En otro caso no existe información de la serie.

Para decir que la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge es común usar la notación

$\begin{matrix} (8) & \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} < \infty \end{matrix}$

Ahora definamos lo que significa que una serie sea absolutamente convergente.

Definición: La serie

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

se dice que es absolutamente convergente si la serie

\sum_{n = 0}^{\infty} | a_{n} |

es convergente.

La convergencia absoluta implica convergencia, pero la afirmación recíproca no es verdadera.

Una propiedad que nos será de mucha utilidad es la siguiente.

$\begin{matrix} (9) & | \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} | \leq \sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | \end{matrix}$

Una herramienta más que nos será útil a la hora de demostrar el teorema de Picard – Lindelöf es el criterio mayorante de Weierstrass o mejor conocido como prueba M de Weierstrass. Este criterio nos permite comprobar la convergencia uniforme de una serie infinita cuyos términos son al mismo tiempo funciones de variable real o compleja.

Criterio mayorante de Weierstrass: Sea

{f_{n}}

una sucesión de funciones de variable real o compleja definidas en un conjunto

D

, y supongamos que para cada

{f_{n}}

existe una constante positiva

M_{n}

tal que:

| f_{n} (x) | \leq M_{n}

para todo

n \geq 1

y toda

x \in D

La serie

\sum_{n = 1}^{\infty} M_{n}

converge.

Entonces la serie

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)

converge uniformemente en

D

Demostración: Por hipótesis sabemos que para cada $x$ en $D$

$\begin{matrix} (10) & | \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x) | \leq \sum_{n = 1}^{\infty} | f_{n} (x) | \leq \sum_{n = 1}^{\infty} M_{n} < \infty \end{matrix}$

es decir, la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} M_{n}$ converge y como $| f_{n} (x) | \leq M_{n}$ y usando el criterio de comparación directa, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} | f_{n} (x) |$ converge, en consecuencia $\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)$ converge absolutamente, esto significa que existe una función $f$ límite puntual de la serie de funciones tal que

$f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)$

o bien,

$\begin{matrix} (11) & | f (x) | = | \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x) | \end{matrix}$

Como queremos demostrar la convergencia uniforme tomemos $N \in N$ , tal que para $n > N$ la serie sea convergente. Vemos que podemos escribir lo siguiente.

$\begin{matrix} (12) & | f (x) - \sum_{n = 1}^{N} f_{n} (x) | = | \sum_{n = N + 1}^{\infty} f_{n} (x) | \end{matrix}$

sabemos que

$\begin{matrix} (13) & | \sum_{n = N + 1}^{\infty} f_{n} (x) | \leq \sum_{n = N + 1}^{\infty} | f_{n} (x) | \end{matrix}$

y por hipótesis

$\begin{matrix} (14) & \sum_{n = N + 1}^{\infty} | f_{n} (x) | \leq \sum_{n = N + 1}^{\infty} M_{n} \end{matrix}$

De los resultados ( $13$ ) y ( $14$ ) obtenemos

$\begin{matrix} (15) & | \sum_{n = N + 1}^{\infty} f_{n} (x) | \leq \sum_{n = N + 1}^{\infty} M_{n} \end{matrix}$

Al ser $\sum_{n = 1}^{\infty} M_{n}$ convergente, el número

$ε = \sum_{n = N + 1}^{\infty} M_{n}$

puede hacerse tan pequeño como se quiera eligiendo $N$ suficiente grande, así

$\begin{matrix} (16) & | \sum_{n = N + 1}^{\infty} f_{n} (x) | < ε \end{matrix}$

Por lo tanto, de acuerdo a ( $7$ ), la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)$ converge uniformemente.

Con esto concluimos nuestro repaso sobre series y sucesiones de funciones. Teniendo presente estos resultados definamos las iterantes de Picard.

Iterantes de Picard

El matemático francés Charles Émile Picard (1856 – 1941) desarrolló un método iterativo para obtener una solución de una ecuación diferencial de primer orden. A este método iterativo se le conoce como iterantes de Picard.

Definición: Para un problema de valor inicial

\frac{d y}{d x} = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0}

en el que se puede asegurar la existencia y unicidad de la solución en un dominio

R = {(x, y) \in R^{2} ∣ | x - x_{0} | \leq a, | y - y_{0} | \leq b, a, b \in R}

es posible construir una solución de forma iterativa de acuerdo a la expresión

\begin{matrix} (17) & y_{n} (x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f (t, y_{n - 1} (t)) d t, n = 1, 2, 3, \dots \end{matrix}

Donde

y_{0} = y_{0} (x)

. A estas iteraciones se les conocen como iterantes de Picard o aproximaciones sucesivas de Picard.

Las iterantes de Picard de manera desglosada tienen la siguiente forma:

$\begin{aligned} y_{0} (x) & = y_{0} \\ y_{1} (x) & = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f (t, y_{0} (t)) d t \\ y_{2} (x) & = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f (t, y_{1} (t)) d t \\ y_{3} (x) & = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f (t, y_{2} (t)) d t \\ ⋮ \\ y_{n} (x) & = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f (t, y_{n - 1} (t)) d t \end{aligned}$

Las iterantes de Picard siempre convergen, en el intervalo adecuado, a la solución del PVI ( $1$ ), esto lo verificaremos al momento de demostrar el teorema de Picard – Lindelöf, pero considerando que es cierto se puede deducir un resultado interesante, para ello consideremos el siguiente teorema.

Teorema: Si la sucesión

{y_{n} (x)}

converge uniformemente a

y (x)

[a, b]

f (x, y)

es una función continua en un conjunto

U

, tal que

\forall n \in N

\forall x \in [a, b], (x, y_{n} (x)) \in U

, entonces

\begin{matrix} (18) & lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f (x, y_{n} (x)) d x = \int_{a}^{b} lim_{n \to \infty} f (x, y_{n} (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x, y (x)) d x \end{matrix}

La demostración de este resultado también será parte de la demostración del teorema de Picard – Lindelöf, así que por el momento consideremos que es cierto y observemos lo siguiente.

Si las iterantes de Picard satisfacen las hipótesis del teorema anterior y suponiendo que $f (x, y)$ es una función continua en $U$ que contiene a los puntos $(x, y_{n} (x))$ , $\forall x \in [a, b]$ , $\forall n \in N,$ entonces se tiene lo siguiente.

$\begin{aligned} y (x) & = lim_{n \to \infty} y_{n + 1} (x) \\ = lim_{n \to \infty} [y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f (t, y_{n} (t)) d t] \\ = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} lim_{n \to \infty} f (t, y_{n} (t)) d t \\ = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f (t, y (t)) d t \end{aligned}$

es decir,

$\begin{matrix} (19) & y (x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f (t, y (t)) d t \end{matrix}$

Este resultado corresponde a la ecuación integral equivalente al problema de valor inicial. Con este método notamos que si las iterantes de Picard convergen a la solución del PVI, entonces $y (x)$ verifica la ecuación integral, tal como lo demostramos en la entrada anterior.

Por otro lado, al definir las iterantes de Picard hemos considerado un conjunto de la forma

$R = {(x, y) \in R^{2} ∣ | x - x_{0} | \leq a, | y - y_{0} | \leq b, a, b \in R}$

La forma de este conjunto evita tener problemas para definir las iterantes. En general un conjunto de la forma $U = δ \times R$ , $δ = [a, b]$ , $a, b \in R$ conocidos como bandas verticales permite, no solamente que estén bien definidas, sino que además todas las iterantes estén definidas en el intervalo $δ$ .

Realicemos un ejemplo en el que apliquemos las iterantes de Picard para obtener la solución particular de un problema de valor inicial.

Ejemplo: Usando las iterantes de Picard, resolver el siguiente problema de valor inicial.

$\frac{d y}{d x} = y; y (0) = 1$

Solución: En este caso tenemos la función, $f : R^{2} \to R$ definida por

$f (x, y (x)) = y (x)$

Es claro que es una función continua en $R^{2}$ . Por tanto, la ecuación integral equivalente al PVI para este caso es

$y (x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f (t, y (t)) d t = 1 + \int_{0}^{x} y (t) d t$

La iterante inicial es la función constante $y_{0} (x) = 1$ . Comencemos a calcular el resto de las iterantes de Picard de acuerdo a la relación iterativa ( $17$ ).

$\begin{aligned} y_{1} (x) & = 1 + \int_{0}^{x} y_{0} (t) d t = 1 + \int_{0}^{x} 1 d t = 1 + x \\ y_{2} (x) & = 1 + \int_{0}^{x} y_{1} (t) d t = 1 + \int_{0}^{x} (1 + t) d t = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} \\ y_{3} (x) & = 1 + \int_{0}^{x} y_{2} (t) d t = 1 + \int_{0}^{x} (1 + t + \frac{t^{2}}{2}) d t = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} \\ ⋮ \end{aligned}$

La afirmación que hacemos es que para $n$ se obtiene

$\begin{matrix} (20) & y_{n} (x) = 1 + \int_{0}^{x} y_{n - 1} (t) d t = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} \end{matrix}$

Ya lo hemos probado para $n = 1$ , supongamos que la afirmación ( $20$ ) es verdadera y probemos para $n + 1$ .

$\begin{aligned} y_{n + 1} (x) & = 1 + \int_{0}^{x} y_{n} (t) d t \\ = 1 + \int_{0}^{x} (1 + \frac{t}{1!} + \frac{t^{2}}{2!} + \dots + \frac{t^{n}}{n!}) d t \\ = 1 + x + \frac{x^{2}}{2 \cdot 1!} + \frac{x^{3}}{3 \cdot 2!} + \dots + \frac{x^{n + 1}}{(n + 1) \cdot n!} \\ = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!} \end{aligned}$

Esto es,

$y_{n + 1} (x) = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!}$

Con esto hemos probado por inducción que las iterantes de Picard corresponden a la serie

$y_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}$

Para obtener la solución al PVI debemos ver a qué converge esta serie, para ello tomemos el limite $n \to \infty$ observando que para cada $x \in R$ existe el límite.

$\begin{array}{r} y (x) = lim_{n \to \infty} y_{n} (x) = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} = e^{x} \end{array}$

Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial

$\frac{d y}{d x} = y; y (0) = 1$

$y (x) = e^{x}$

Sólo para verificar el resultado apliquemos el método de separación de variables para resolver el PVI.

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & = y \\ \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} & = 1 \\ \int \frac{d y}{y} & = \int d x \\ \ln y & = x + c \\ y & = C e^{x} \end{aligned}$

La solución general de la ecuación diferencial $\frac{d y}{d x} = y$ es $y (x) = C e^{x}$ .

Apliquemos la condición inicial $y (0) = 1$ .

$y (0) = C e^{0} = C = 1$

En efecto, la solución al PVI es $y (x) = e^{x}$ , tal como lo obtuvimos con las iterantes de Picard.

Para garantizar que las iterantes de Picard convergen a la solución del PVI se deben satisfacer las condiciones del teorema de existencia y unicidad, pero las hemos pasado por alto ya que el propósito de este ejercicio es ver cómo calcular las iterantes de Picard, sin embargo cabe mencionar que este PVI si las cumple por lo que la solución obtenida si es única. Más adelante veremos un ejemplo en el que si verificaremos que se cumple el teorema de existencia y unicidad.

Con esto concluimos con la teoría preliminar que necesitamos conocer para demostrar el teorema de existencia y unicidad de Picard – Lindelöf. Sin embargo, es necesario hacer algunas aclaraciones.

Anteriormente mencionamos que existe un resultado global y uno local y esto es porque existen dos situaciones. En el teorema de Picard – Lindelöf hemos considerado como hipótesis un conjunto de la forma $U = δ \times R$ con $δ = [a, b]$ , $a, b \in R$ y $f : U \to R$ continua en $U$ , además de que $f$ sea lipschitziana respecto de la segunda variable en $U$ , estas condiciones son suficientes para tener un resultado global en el que siempre tendremos una solución única del problema de valor inicial definida en $δ$ , sin embargo es posible y más común que el conjunto $U$ no sea una banda vertical o siéndolo que $f$ no sea lipschitziana respecto de la segunda variable en $U$ o ambas a la vez. En esta segunda situación, bajo determinadas hipótesis, tendremos un teorema de existencia y unicidad local.

A continuación presentamos el teorema de existencia y unicidad local, este teorema no lo demostraremos pero gran parte de lo que veremos en la demostración del resultado global puede ser adaptado a las condiciones de este teorema.

Teorema de existencia y unicidad local

Es usual encontrarnos con ecuaciones diferenciales donde no se cumplan las tres condiciones del teorema global, sin embargo es posible que se cumplan en un pequeño conjunto $R \subset R^{2}$ que contenga el punto $(x_{0}, y_{0})$ del PVI, de ahí la localidad del teorema. El conjunto compacto y convexo que más se parece a una banda vertical es el producto cartesiano de dos intervalos compactos en $R$ , es decir, un rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas. Un conjunto apropiado sería un rectángulo centrado en el punto $(x_{0}, y_{0})$ .

$\begin{matrix} (21) & R = {(x, y) \in R^{2} ∣ | x - x_{0} | < a, | y - y_{0} | < b, a, b \in R} \end{matrix}$

El teorema de existencia y unicidad local establece lo siguiente.

Teorema: Supongamos que se verifican las siguientes tres hipótesis:

R = {(x, y) \in R ∣ | x - x_{0} | \leq a, | y - y_{0} | \leq b, a, b \in R}

R \subset D

f : D \to R

es continua en

R

f

es lipschitziana en

R

respecto de la segunda variable.

En tal situación, para cada

(x_{0}, y_{0}) \in R

, el problema de valor inicial

\begin{matrix} (22) & \frac{d y}{d x} = f (x, y); y (x_{0}) = y_{0} \end{matrix}

posee una única solución definida en el intervalo

δ = [x_{0} - h, x_{0} + h]

, donde

h = m i n {a, \frac{b}{M}} y M \geq max_{(x, y) \in R} | f (x, y) |

Además, las iterantes de Picard asociadas al PVI convergen uniformemente en el intervalo

δ

hacia la solución del PVI.

En este curso nos enfocamos en el resultado global porque es un resultado general, sin embargo el resultado local nos permite hallar una región cerca del punto $(x_{0}, y_{0})$ donde un problema de valor inicial puede cumplir con las hipótesis del teorema para garantizar la existencia y unicidad de una solución, de esta forma es que, en la práctica, el resultado local puede ser un resultado más útil.

La demostración a detalle de este teorema se puede encontrar en la sección de videos de este mismo curso.

Para concluir esta entrada realicemos un ejemplo de un problema de valor inicial en el que apliquemos el teorema local para garantizar la existencia y unicidad de la solución y resolvamos el PVI aplicando las iterantes de Picard.

Aplicación del teorema de existencia y unicidad

Verificar las hipótesis del teorema local para el siguiente problema de valor inicial.

$\begin{matrix} (23) & \frac{d y}{d x} = 2 x (y - 1); y (0) = 2 \end{matrix}$

Resolver este problema usando las iterantes de Picard.
Hallar el intervalo de solución $δ$ .

Solución: El primer ejercicio consiste en verificar que el PVI satisface las hipótesis del teorema local.

En este caso la función $f$ está dada por

$f (x, y) = 2 x (y - 1)$

la cual está definida en todo $R^{2}$ . Buscamos la solución particular que pasa por el punto $(x_{0}, y_{0}) = (0, 2)$ y como la función es continua en $R^{2}$ , en particular lo es en todo rectángulo de la forma

$\begin{matrix} (24) & R = {(x, y) \in R^{2} ∣ | x | \leq a, | y - 2 | \leq b}, (a > 0, b > 0) \end{matrix}$

Con esto hemos verificado las dos primeras hipótesis del teorema local, veamos ahora si la función es lipschitziana.

Para todo $(x, y_{1}), (x, y_{2})$ puntos de $R$ , se tiene

$\begin{aligned} | f (x, y_{1}) - f (x, y_{2}) | & = | 2 x (y_{1} - 1) - 2 x (y_{2} - 1) | \\ = 2 | x | | y_{1} - y_{2} | \\ = 2 | x | | (y_{1} - 2) + (2 - y_{2}) | \\ \leq 2 | x | (| y_{1} - 2 | + | 2 - y_{2} |) \end{aligned}$

Como $| x | \leq a$ y $| y - 2 | \leq b$ , en particular

$| y_{1} - 2 | + | 2 - y_{2} | \leq b + b = 2 b$

entonces podemos acotar el último resultado de la siguiente manera.

$2 | x | (| y_{1} - 2 | + | 2 - y_{2} |) \leq 2 (a) (2 b) = 4 a b$

Si definimos la constante de Lipschitz $L = 4 a b$ , obtenemos finalmente que

$\begin{matrix} (25) & | f (x, y_{1}) - f (x, y_{2}) | \leq L = 4 a b \end{matrix}$

probando así que $f$ es Lipschitziana en $U$ .

Con esto hemos verificado que se cumplen las hipótesis del teorema local de Picard, por lo tanto podemos concluir que existe una única solución $y = y (x)$ al problema de valor inicial dado. Ahora resolvamos el PVI usando las iterantes de Picard.

Recordemos que las iterantes de Picard $y_{n} (x)$ asociadas al problema de valor inicial son

$y_{0} (x) = y_{0}, y_{n} (x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f (t, y_{n - 1} (t)) d t$

Ya sabemos que $y_{0} = 2$ y $x_{0} = 0$ y recordemos que la función $f$ es $f (x, y) = 2 x (y - 1)$ , así para $n = 1$ , tenemos

$y_{1} (x) = 2 + \int_{0}^{x} f (t, 2) d t = 2 + \int_{0}^{x} 2 t (2 - 1) d t = 2 + x^{2}$

$\Rightarrow y_{1} (x) = 2 + x^{2}$

Para $n = 2$ , tenemos

$y_{2} (x) = 2 + \int_{0}^{x} f (t, 2 + t^{2}) d t = 2 + \int_{0}^{x} 2 t (1 + t^{2}) d t = 2 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2}$

$\Rightarrow y_{2} (x) = 2 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2}$

Para $n = 3$ , se tiene

$y_{3} (x) = 2 + \int_{0}^{x} f (t, 2 + t^{2} + \frac{t^{4}}{2}) d t = 2 + \int_{0}^{x} 2 t (1 + t^{2} + \frac{t^{4}}{2}) d t$

$\Rightarrow y_{3} (x) = 2 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{6}}{3!}$

Uno más, para $n = 4$ , tenemos

$y_{4} (x) = 2 + \int_{0}^{x} f (t, 2 + t^{2} + \frac{t^{4}}{2} + \frac{t^{6}}{3!}) d t = 2 + \int_{0}^{x} 2 t (1 + t^{2} + \frac{t^{4}}{2} + \frac{t^{6}}{3!}) d t$

$\Rightarrow y_{4} (x) = 2 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{6}}{3!} + \frac{x^{8}}{4!}$

Estas iteraciones sugieren la siguiente serie.

$y_{n} (x) = 1 + 1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2!} + \frac{x^{6}}{3!} + \frac{x^{8}}{4!} + \dots + \frac{x^{2 n}}{n!}$

Esta fórmula es cierta para $n = 1, 2, 3, 4$ y si es cierta para $n$ , entonces podemos sustituirla en la formula general de las iterantes de Picard mostrando que es cierta para $n + 1$ .

$\begin{aligned} y_{n + 1} (x) & = 2 + \int_{0}^{x} f (t, y_{n} (t)) d t \\ = 2 + \int_{0}^{x} 2 t (1 + t^{2} + \frac{t^{4}}{2} + \frac{t^{6}}{3!} + \frac{t^{8}}{4!} + \dots + \frac{t^{2 n}}{n!}) d t \\ = 2 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{6}}{3!} + \frac{x^{8}}{4!} + \frac{x^{10}}{5!} + \dots + \frac{x^{2 (n + 1)}}{(n + 1)!} \end{aligned}$

Por lo tanto,

$\begin{matrix} (26) & y_{n} (x) = 1 + \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{2 k}}{k!} \end{matrix}$

Como el PVI cumple con las hipótesis del teorema de existencia y unicidad entonces el límite $n \to \infty$ de las iterantes de Picard será la solución al problema de valor inicial. Apliquemos el límite a la serie ( $26$ ).

$\begin{aligned} y (x) & = lim_{n \to \infty} y_{n} (x) \\ = lim_{n \to \infty} (1 + \sum_{k = 0}^{n} \frac{(x^{2})^{k}}{k!}) \\ = 1 + lim_{n \to \infty} (\sum_{k = 0}^{n} \frac{(x^{2})^{k}}{k!}) \\ = 1 + \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(x^{2})^{k}}{k!} \\ = 1 + e^{x^{2}} \end{aligned}$

Por lo tanto, la solución al PVI ( $23$ ) es

$\begin{matrix} (27) & y (x) = 1 + e^{x^{2}} \end{matrix}$

Inmediatamente se puede verificar que $y (0) = 2$ y que para todo $x \in R$

$\frac{d y}{d x} = 2 x e^{x^{2}} = 2 x (e^{x^{2}}) = 2 x (y - 1)$

lo cual implica que la solución es válida en $δ = (- \infty, \infty)$ .

Sólo para verificar el resultado resolvamos rápidamente este PVI aplicando el método de separación de variables.

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & = 2 x (y - 1) \\ \frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} & = 2 x \\ \int \frac{d y}{y - 1} & = \int 2 x d x \\ \ln (y - 1) & = x^{2} + c \\ y - 1 & = e^{x^{2} + c} \\ y & = 1 + C e^{x^{2}} \end{aligned}$

La solución general a la ecuación diferencial

$\frac{d y}{d x} = 2 x (y - 1)$

$y (x) = 1 + C e^{x^{2}}$

Apliquemos la condición inicial $y (0) = 2$ .

$y (0) = 1 + C e^{0} = 1 + C = 2$

De donde $C = 2 - 1 = 1$ . Con este resultado concluimos que la solución particular es

$y (x) = 1 + e^{x^{2}}$

tal como lo obtuvimos con las iterantes de Picard.

Ya sea el resultado global o el local, este teorema garantiza completamente la existencia y unicidad de la solución particular a un problema de valor inicial para el caso de una ecuación diferencial de primer orden.

En los métodos de resolución presentados a lo largo de esta unidad hemos pasado por alto las condiciones del teorema de Picard – Lindelöf y hemos tratado de justificar nuestros resultados con los teoremas de existencia y unicidad presentados para el caso de una ED de primer orden y para el caso de una ED de primer orden lineal, se hizo esto debido a la complejidad de la demostración del teorema de Picard – Lindelöf, pero ahora ya contamos con todo lo necesario para demostrarlo y así darle una completa justificación a lo que hemos hecho a lo largo de esta primer unidad.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Sea la sucesión de funciones ${f_{n}}$ donde, para cada $n \in N$ , $f_{n} : R \to R$ es la función dada por $f_{n} (x) = \frac{x^{2 n}}{1 + x^{2 n}}$ $\forall x \in R$ . Estudiar la convergencia puntual y uniforme de ${f_{n} (x)}$ .

Sea la sucesión de funciones ${f_{n}}$ donde, para cada $n \in N$ , $f_{n} : R \to R$ es la función dada por $f_{n} (x) = \frac{x}{1 + n x^{2}}$ $\forall x \in R$ . Estudiar la convergencia puntual y uniforme de ${f_{n} (x)}$ .

Resolver el siguiente problema de valor inicial usando las iterantes de Picard. $\frac{d y}{d x} = x + y; y (0) = 2$ Verificar el resultado resolviendo el PVI usando algún método visto anteriormente.

Resolver el siguiente problema de valor inicial usando las iterantes de Picard. $\frac{d y}{d x} = 2 (y + 1); y (0) = 0$ Verificar el resultado resolviendo la ecuación usando algún método visto anteriormente.

Más adelante…

Con esta entrada concluimos con la teoría preliminar necesaria para poder demostrar el resultado global del teorema de existencia y unicidad de Picard – Lindelöf. Hemos hecho un breve repaso sobre convergencia de series y sucesiones de funciones, definimos las iterantes de Picard y presentamos el resultado local del teorema de existencia y unicidad.

Usando lo visto en esta y la anterior entrada concluiremos la primera unidad del curso demostrando el resultado global del teorema de existencia y unicidad de Picard – Lindelöf.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

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