Introducción
Como hemos visto en entradas anteriores, la noción de límite es fundamental en cálculo y ayuda a definir funciones continuas y funciones diferenciables. Un tipo de límite que aparece frecuentemente en problemas de cálculo involucra el cociente de dos expresiones cuyo límite no está determinado. La regla de L’Hôpital ayuda a trabajar con límites de este estilo.
Estamos familiarizados con esta regla debido a cursos de cálculo. De hecho, este resultado es una consecuencia directa del teorema del valor medio.
Como mencionamos arriba, esta regla resulta de utilidad para determinar límites indeterminados de la forma
Por ejemplo, supongamos que queremos determinar
Entonces, si
tenemos que
Tenemos algo similar si
Aplicar la regla de L’Hôpital múltiples veces
En ocasiones es necesario aplicar la regla de L’Hôpital más de una vez.
Problema. Determinar el
Sugerencia pre-solución. Intenta aplicar la regla de L’Hôpital de manera directa y verifica que tienes que aplicarla nuevamente.
Solución. Tenemos que al sustituir
El numerados y denominador son diferenciables, así que aplicando la regla de L’Hôpital, el límite original es equivalente al siguiente límite
en donde de nuevo, al evaluar en
Como volvemos a tener una indeterminación, volvemos a aplicar la regla. Sin embargo, antes de derivar, resulta conveniente modificar el límite aplicando la identidad trigonométrica
Así,
Aplicando la regla de L´Hôpital una vez más, tenemos que:
Aplicar la regla de L’Hôpital con exponentes
Otro tipo de limites que son de interés son aquellos cuyas indeterminaciones son
Para resolver limites de funciones exponenciales, hay que hacer uso de las propiedades del logaritmo, para encontrar encontrar un problema equivalente.
Por ejemplo, supongamos que queremos resolver el siguiente problema.
Problema. Determinar el siguiente límite
Sugerencia pre-solución. Aplica logaritmo a la expresión para encontrar una que puedas estudiar usando la regla de L’Hôpital.
Solución. Al evaluar
Con lo que tendríamos la siguiente expresión para
Así, usando la continuidad de la función exponencial, tenemos que
De modo que nuestro problema se ha convertido en determinar el siguiente límite
Notemos que el numerador y denominador evaluados en
La última igualdad se debe entender como que «tenemos una determinación de la forma
Por lo tanto tenemos que
Así,
Dos ejemplos más
Problema. Determina el siguiente límite
Solución. Tenemos que el límite nos resulta en la indeterminación
Así que resulta conveniente considerar
Con lo que tendríamos que
Así que podemos reescribir a
Entonces, por la continuidad de la función exponencial, tenemos que
Ahora para calcular el límite
Como nos resulta en una indeterminación de la forma
Por lo tanto
En la siguiente solución ya no seremos tan explícitos con cada uno de los argumentos, sin embargo, hay que tener cuidado con que al usar la regla de L’Hôpital se satisfagan todas las hipótesis que se necesitan, y que los cambios de variable que hagamos se puedan hacer por continuidad.
Problema. Determina el siguiente límite
Solución. Tenemos que este límite llega a una indeterminación, así que nos conviene expresar a la función como
Así,
Entonces,
por lo que nos enfocamos en encontrar el límite en el exponente. Fijándonos en el
lo cual es equivalente al límite mediante el cambio de variable
Además. tenemos que
que tiene una indeterminación de la forma
Por lo tanto
Más problemas
Hay más ejemplos de problemas relacionados con la aplicación de la regla de L’Hôpital en la Sección 6.7 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.