Introducción

Ahora comenzaremos a ver un tema un tanto diferente a los vistos en la entrada anterior. Primero veremos los conceptos de máximo y mínimo de un conjunto, después las definiciones formales para cota superior e inferior, y terminaremos revisando algunos ejemplos donde las aplicaremos.

Máximo y mínimo de un conjunto

Definición: Sean $A\subseteq \mathbb{R}$ no vacíos. Decimos que:

• $A$ tiene elemento máximo $\iff \mathrm{\exists }{a}_0\in A$ tal que $\mathrm{\forall }a\in A$ se cumple que: $a\le a_0$
• $A$ tiene elemento mínimo $\iff \mathrm{\exists }{b}_0\in A$ tal que $\mathrm{\forall }b\in A$ se cumple que: $b_0\le b$

Para darnos una idea más clara de estas definiciones veamos los siguientes ejemplos:

$$C=(0,1]$$

1. No tiene mínimo.
2. Tiene máximo y es 1.

Para probar estas afirmaciones haremos uso de las definiciones anteriores:
Demostración 1 (por contradicción): Supondremos que existe un elemento $c_0\in C$ tal que $\mathrm{\forall }c\in A$ cumple que $c_0\le c$. Por lo que se sigue que: $0<c_0<1$.
Observemos que $\frac{c_0}{2}\in C$ ya que $0<\frac{c_0}{2}<c_0$
$$\Rightarrow c_0\le \frac{c_0}{2}<c_0\Rightarrow \Leftarrow$$
Lo cual es una contradicción.

Demostración 2: Veamos que por la definición del conjunto C tenemos:
$$C=\{c\in \mathbb{R}|0<c\le 1\}$$
Por lo que $1\in C$ y se cumple que $\mathrm{\forall }c\in C,c\le 1$.

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Observación:

• El elemento máximo de un conjunto es único.
• El elemento mínimo de un conjunto es único.

La demostración de estas afirmaciones se quedará como ejercicios de la Tarea moral.

Cota superior e inferior de un conjunto

Definición: Sea $A\subseteq \mathbb{R}$. Decimos que un número $M\in \mathbb{R}$ es:

• Cota superior $\iff \mathrm{\forall }a\in A$ se cumple que: $a\le M$.
• Cota inferior $\iff \mathrm{\forall }a\in A$ se cumple que: $a\ge M$.

Observación: Si hay una cota superior $M\Rightarrow \mathrm{\forall }a\in A$ ocurre que: $$a\le M<M+1<M+2<M+3\dots$$ Es decir, hay una infinidad de cotas superiores de $A$.

Antes de continuar con el ejemplo de esta sección, aclaremos la diferencia entre máximos y cotas superiores de un conjunto, así como la diferencia entre mínimos y cotas inferiores. La distinción principal radica en que el máximo es un elemento específico del conjunto, mientras que una cota superior es simplemente un número que es mayor o igual que todos los elementos del conjunto, pero no necesariamente pertenece al mismo. De manera análoga, la diferencia clave es que el mínimo es un elemento específico dentro del conjunto, mientras que una cota inferior es simplemente un número que es menor o igual que todos los elementos del conjunto, pero no necesariamente pertenece a él.

Ejemplo

Consideremos el conjunto:
$$E=(0,2]$$
Vemos que para todo $x\in E$ ocurre que $-2<0<x$
$$\therefore -2\le x$$
Por lo que podemos concluir que $-2$ es cota inferior de $E$.

Y además tenemos que $\mathrm{\forall }x\in E$ se cumple $x\le 2.$
$\therefore 2$ es cota superior de $E$.

Conjuntos acotados

Definición: Consideremos $A\subseteq \mathbb{R}$. Decimos que:

1. $A$ es acotado superiormente si existe $M$ en $\mathbb{R}$ que es cota superior de $A$. Es decir, si $\mathrm{\exists }M\in \mathbb{R}$ tal que $\mathrm{\forall }a\in A$, $a\le M$.
2. $A$ es acotado inferiormente si existe $m$ en $\mathbb{R}$ que es cota inferior de $A$. Es decir, si $\mathrm{\exists }m\in \mathbb{R}$ tal que $\mathrm{\forall }a\in A$, $m\le a$.
3. $A$ es acotado si existe $m$ y $M$ en $\mathbb{R}$ donde $m$ es cota inferior de $A$ y $M$ es cota superior de $A$. Es decir, si $\mathrm{\exists }m,M\in \mathbb{R}$ tal que $\mathrm{\forall }a\in A$: $m\le a\le M$.
   
   Otra manera de definir qué $A$ es acotado es la siguiente:
4. $A$ es acotado si existe $M$ en $\mathbb{R}$ mayor o igual que el valor absoluto de cualquier elemento $a$ en $A$. Es decir, si $\mathrm{\exists }M\in \mathbb{R}$ tal que $\mathrm{\forall }a\in A$: $|a|\le M$.

Lema: Vamos a demostrar que las definiciones 3 y 4 son equivalentes.

Demostración:
$\Rightarrow )$ Sean $m_0,M_0\in \mathbb{R}$ tal que $m_0\le a\le M_0$. Queremos demostrar que existe $M\in \mathbb{R}$ que cumple con:
$$-M\le a\text{y}a\le M$$
Proponemos a $M=\max\{|m_0|,|M_0|\}.

Por definición de $m_0$ y $M_0$ vemos que se cumple:
$$\begin{array}{rl}a& \ge m_0\ge -|m_0|\ge -M\\ a& \le M_0\le |M_0|\le M.\end{array}$$
Por transitividad obtenemos
$$\begin{array}{rl}a& \ge -M\\ a& \le M.\end{array}$$

Concluimos entonces que:
$$-M\le a\le M$$
$$\therefore |a|\le M.$$

$\Leftarrow )$ Como $|a|\le M$ se sigue que $-M\le a\le M$. Como $-M\le a$ tenemos que $A$ es acotado inferiormente por definición si tomamos $m:=-M$:
$$m\le a$$
Análogamente de $a\le M$ tenemos que $A$ es acotado superiormente por definición concluimos:
$$\therefore m\le a\le M$$

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Lema: Para cualesquiera $A,B\subseteq \mathbb{R}$. Si $A\subseteq B$ y $B$ es acotado entonces $A$ es acotado.

Demostración: Como tenemos que $B$ es acotado existe $M>0$ tal que para todo $b\in B$:
$$|b|\le M$$
CASO 1 $A\ne \mathrm{\varnothing }$: Como $A\subseteq B$ entonces para todo $a\in A$ existe $b\in B$ tal que $a=b$.
$\therefore a\in A,a=b\Rightarrow |a|=|b|\le M$
CASO 2 $A=\mathrm{\varnothing }$: Sabemos que $A=\mathrm{\varnothing }\subseteq B$ por lo que se sigue $A$ es acotado por vacuidad.

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Ejemplo

Si tenemos: $$A=\{\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\setminus \left\{0\right\}\}$$

Observamos que:

• $A$ es acotado superiormente ya que para todo $n\in \mathbb{N}\setminus \left\{0\right\}$:
  $$1\le n\iff \frac{1}{n}\le 1$$
  $\therefore 1$ es cota superior de $A$.
  
• $A$ tiene elemento máximo. Tenemos que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\setminus \left\{0\right\}:\frac{1}{n}\le 1$
  Así para $n=1$ ocurre que $\frac{1}{1}\le 1$.
  $\therefore 1$ es máximo de $A$.
  
• El conjunto de cotas superiores de $A$ está dado por:
  $$[1,\mathrm{\infty }),$$
  que tiene elemento mínimo y es 1. Esto nos indica que existe una mínima cota superior.
  
• $A$ es acotado inferiormente. Vemos que para todo $n\in \mathbb{N},\frac{1}{n}>0$ por lo que $0\notin A$. Concluimos así que $\mathrm{\forall }a\in A,0<\frac{1}{n}$.
  $\therefore 0$ es cota inferior de $A$
  
• El conjunto de cotas inferiores de $A$ esta dado por:
  $$(-\mathrm{\infty },0],$$
  que tiene elemento máximo y es 0. Esto nos indica que existe una máxima cota inferior.
  
• $A$ no tiene elemento mínimo. Si suponemos que existe un elemento $a_0\in A$ tal que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},a_0\le \frac{1}{n}$. Tenemos que $a_0$ sería de la forma
  $a_0=\frac{1}{n_0}>0$
  $\Rightarrow 0<\frac{1}{2n_0}<\frac{1}{n_0}$ con $\frac{1}{2n_0}\in A$.
  De lo anterior vemos que $a_0$ no es mínimo $\Rightarrow \frac{1}{n_0}\le \frac{1}{2n_0}\Rightarrow \Leftarrow$, lo cual nos lleva a una contradicción.
  
  

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Más adelante

Ahora que ya hemos revisado los conceptos de máximo, mínimo y cotas superiores e inferiores de un conjunto en $\mathbb{R}$ tenemos los antecedentes necesarios para comenzar a hablar de supremos e ínfimos.

Tarea moral

• Demuestra que:
  • El elemento máximo de un conjunto es único.
  • El elemento mínimo de un conjunto es único.
• Para el conjunto $D=(-\mathrm{\infty },1)$ demuestra que se cumplen las siguientes afirmaciones:
  • D no tiene elemento mínimo
  • D no tiene elemento máximo
  • D es acotado superiormente
  • D no tiene cotas inferiores

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»