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Geometría Moderna I: Medianas y centroide

Introducción

En la entrada puntos nobles del triangulo, vimos que las medianas de un triangulo concurren en un punto, al que llamamos centroide, y que este punto tiene la propiedad de trisecar a las medianas. En esta entrada estudiaremos algunas propiedades más de las medinas y el centroide.

Medianas como los lados de un triángulo

Teorema 1. Si con las medianas de un triángulo dado construimos otro triangulo, entonces cada mediana del triángulo construido es igual a tres cuartos uno de los lados del triángulo dado.

Demostración. Sean $\triangle ABC$ y $AA´$, $BB’$ y $CC’$ las medianas del triángulo.

Construimos $D \in C’B’$ tal que $C’B’ = B’D$, como $C´B´$ es un segmento medio de $\triangle ABC$ entonces $C’B’ \parallel BC$ y $2C’B’ = BC$.

Lo anterior implica que $\square B’BA’D$ es un paralelogramo y por lo tanto $BB’ = A’D$.

Figura 1

Como las diagonales de $\square AC’CD$ se cortan en su punto medio entonces $\square AC’CD$ es un paralelogramo, por lo tanto, $CC’ = AD$, entonces los lados de $\triangle AA’D$ son las medianas de $\triangle ABC$, por criterio LLL, cualquier otro triangulo con los mismos lados será congruente con $\triangle AA’D$.

Sea $E = AA’ \cap C’B’$, como $A’C’$ es un segmento medio de $\triangle ABC$ entonces $\square AC’A’B’$ es un paralelogramo, por lo tanto, $E$ es el punto medio de $AA’$ y de $C’B’$.

Por lo anterior tenemos que $DE$ es mediana de $\triangle ADA’$ y que $DE = \dfrac{3}{4}$, pues por construcción $C’B’ = B’D$.

Dado que $C’D = BC$ $\Rightarrow DE = \dfrac{3}{4}BC$.

Con una construcción similar podemos ver que las otras medianas de $\triangle ADA’$ son iguales a $\dfrac{3}{4}AC$ y $\dfrac{3}{4}AB$.

Observación. Notemos que si seguimos este proceso de construir triángulos con las medianas del triángulo anterior obtenemos dos grupos de triángulos semejantes, un grupo conformado por el primer, el tercer, el quinto triángulo etc. En el otro grupo estarían el segundo, el cuarto triángulo … ambos con razón de semejanza $\dfrac{3}{4}$.

$\blacksquare$

Corolario 1. El área de un triángulo construido con las medianas de un triángulo dado, es igual a tres cuartos el área del triángulo dado.

Demostración. El área de $\triangle ADA’$ (figura 1) es igual a la suma de las áreas de $\triangle EDA$ y $\triangle EDA’$ que tienen la misma base $ED$ y la suma de sus alturas es igual a la altura de $\triangle ABC$ y por el teorema 1, $DE = \dfrac{3}{4}BC$.

Por lo tanto,
$(\triangle ADA’) = (\triangle EDA) + (\triangle EDA’) = \dfrac{ED \times h_1}{2} + \dfrac{ED \times h_2}{2}$
$= \dfrac{3}{4}\dfrac{BC(h_1 + h_2)}{2} = \dfrac{3}{4}(\triangle ABC)$.

$\blacksquare$

Construcciones

Problema 1. Construir un triángulo dadas las longitudes de sus medianas $m_a$, $m_b$ y $m_c$.

Por el teorema 1, sabemos que las medianas del triángulo cuyos lados son $m_a$, $m_b$ y $m_c$, están en proporción $\dfrac{3}{4}$ a los lados del triángulo buscado.

Para encontrar las medianas del triángulo con lados $m_a$, $m_b$ y $m_c$, podemos construir este triangulo y luego sus medianas o podemos calcular sus longitudes con el teorema de Apolonio.

Después, multiplicamos cada valor obtenido por $\dfrac{4}{3}$ y así obtendremos los lados del triangulo requerido.

$\blacksquare$

Problema 2. Dados una circunferencia y un punto dentro de esta, es posible inscribir en la circunferencia una infinidad de triángulos que tienen como centroide el punto dado.

Demostración. Sean $\Gamma(O)$ y $G$ la circunferencia y el punto dado, tomamos $A \in \Gamma(O)$, sobre la recta $AG$ construimos $A’$ tal que $GA’ = \dfrac{AG}{2}$.

Si $A’$ cae dentro de $\Gamma(O)$ por $A’$ trazamos una perpendicular a $OA’$ que interseca a $\Gamma(O)$ en $B$ en $C$, como $\triangle BOC$ es isósceles y $OA’$ es la altura por $O$, entonces $A’$ es el punto medio de $BC$.

Figura 2

En $\triangle ABC$ se cumple que $AA’$ es mediana y $G$ triseca a $AA’$, como el centroide de un triángulo es el único que tienen esa propiedad, entonces $G$ es el centroide de $\triangle ABC$.

Notemos que $A$ y $A’$ están en homotecia con centro en $G$ y razón $\dfrac{-1}{2}$, como $A$ describe una circunferencia, $A’$ describe una circunferencia.

Entonces hay dos posibilidades, que la homotecia de $\Gamma(O)$ este totalmente contenida dentro de ella, con lo que con cualquier punto $A$ de $\Gamma(O)$ será posible hacer la construcción previa, o la homotecia de $\Gamma(O)$ este parcialmente contenida dentro de $\Gamma(O)$ y solo con un arco de $\Gamma(O)$ será posible hacer la construcción.

Finalmente, notemos que no es posible que la homotecia de $\Gamma$ se encuentre completamente fuera de esta pues $G$ es un punto interior de $\Gamma$.

$\blacksquare$

Una propiedad del centroide

Lema. Sea $P$ un punto dentro de un triángulo $\triangle ABC$, entonces las áreas $(\triangle APB) = (\triangle APC)$ si y solo si $P$ se encuentra en la mediana $AA’$.

Demostración. Supongamos que $(\triangle APB) = (\triangle APC)$. Como $\triangle APB$ y $\triangle APC$ tienen la misma base $AP$ entonces sus alturas son iguales es decir la distancia de $B$ a $AP$ es igual a la distancia de $C$ a $AP$.

Figura 3

Ahora consideremos $A’ = AP \cap BC$, los triángulos $\triangle A’PB$ y $\triangle A’CP$ tienen la misma base $PA’$, por lo anterior sus alturas por B y C respectivamente también son iguales y así sus áreas son iguales $(\triangle A’PB) = (\triangle A’CP)$.

Por otro lado, para ambos triángulos, $\triangle A’PB$ y $\triangle A’CP$, la altura trazada por $P$ es la misma, esto implica que las respectivas bases son iguales, es decir $BA’ = A’C$.

Por lo tanto, $P$ está en la mediana trazada por $A$.

Recíprocamente supongamos que $P$ es un punto en la mediana $AA’$, como los pares de triángulos $\triangle BA’A$, $\triangle A’CA$ y $\triangle BA’P$, $\triangle A’CP$ tienen la misma altura desde $A$ y $P$ respectivamente, entonces
$(\triangle BA’A) = (\triangle A’CA)$ y $(\triangle BA’P) = (\triangle A’CP)$,

Por lo tanto,
$(\triangle BA’A) – (\triangle BA’P) = (\triangle A’CA) – (\triangle A’CP)$
$\Rightarrow (\triangle APB) = (\triangle APC)$.

$\blacksquare$

Teorema 2. Sea $G$ un punto dentro de un triángulo $\triangle ABC$, entonces $(\triangle AGB) = (\triangle AGC) = (\triangle BGC)$ si y solo si $G$ es el centroide de $\triangle ABC$.

Demostración. Supongamos que $(\triangle AGB) = (\triangle AGC) = (\triangle BGC)$, por el teorema anterior esto ocurre si y solo si $G$ está en la intersección de las medianas, si y solo si $G$ es el centroide de $\triangle ABC$.

$\blacksquare$

Proposición 1. Sean $\triangle ABC$ con $BC = a$, $AC = b$ y $AB = c$. Sean $G$ el centroide y $P$, $Q$, $R$ los pies de las perpendiculares desde $G$ a los lados $AB$, $BC$ y $AC$ respectivamente, entonces
$(\triangle PQR) = \dfrac{4}{9}(\triangle ABC)^3(\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{a^2b^2c^2})$.

Figura 4

Demostración. Por el teorema 3, $\triangle AGB$, $\triangle AGC$ y $\triangle BGC$ tienen la misma área, entonces
$(\triangle BGC) = \dfrac{BC \times GQ}{2}$
$\Rightarrow GQ = \dfrac{2(\triangle BGC)}{a} = \dfrac{2(\triangle ABC)}{3a}$.

De manera análoga tenemos que
$GP = \dfrac{2(\triangle ABC)}{3c}$ y $GR = \dfrac{2(\triangle ABC)}{3b}$.

Notemos que en $\square PBQG$, $\angle P + \angle Q = \pi$, en consecuencia tenemos que
$\angle G + \angle B = \pi$
$\Rightarrow \sin \angle PGQ = \sin \angle B$

Recordemos que podemos calcular el área de $\triangle ABC$ con la formula $\dfrac{ac \sin \angle B}{2}$.

Ahora calculamos
$(\triangle PGQ) = \dfrac{GP \times GQ \sin \angle B}{2}$

$= \dfrac{4(\triangle ABC)^2}{9ac} \dfrac{(\triangle ABC)}{ac}$

$= \dfrac{4(\triangle ABC)^3}{9a^2c^2}$.

De lo anterior se sigue que
$(\triangle PQR) = (\triangle PGQ) + (\triangle QGR) + (\triangle RGP)$

$= \dfrac{4(\triangle ABC)^3}{9a^2c^2} + \dfrac{4(\triangle ABC)^3}{9a^2b^2} + \dfrac{4(\triangle ABC)^3}{9b^2c^2}$

$= \dfrac{4}{9}(\triangle ABC)^3(\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{a^2b^2c^2})$.

$\blacksquare$

Distancia entre el centroide y el circuncentro

Teorema 3. Sean $\triangle ABC$, $G$ su centroide y $P$ un punto en el plano, entonces tenemos la siguiente igualdad
$PA^2 + PB^2 + PC^2 = GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2$.

Demostración. Consideremos $A’$ y $M$ puntos medios de $BC$ y $AG$ respectivamente, con el teorema de Apolonio podemos calcular las medianas de los triángulos $\triangle BPC$, $\triangle A’PM$ y $\triangle GPA$ y tomemos en cuenta que $GA = MA’$.

Figura 5

Por lo tanto,
$PB^2 + PC^2 = 2PA’^2 + \dfrac{BC^2}{2}$,
$PG^2 + PA^2 = 2PM^2 + \dfrac{GA^2}{2}$,
$PA’^2 + PM^2 = 2PG^2 + \dfrac{MA’^2}{2} = 2PG^2 + \dfrac{GA^2}{2}$.

Sumando las tres expresiones y recordando que $GA = 2GA’$, obtenemos
$PA^2 + PB^2 + PC^2 = (PA’^2 + PM^2) + PG^2 + GA^2 + \dfrac{BC^2}{2}$
$= 2PG^2 + \dfrac{GA^2}{2} + PG^2 + GA^2 + \dfrac{BC^2}{2}$
$= 3PG^2 + GA^2 + 2GA’^2 + \dfrac{BC^2}{2}$.

Ahora aplicamos el teorema de Apolonio a $\triangle BGC$ y obtenemos
$GB^2 + GC^2 = 2GA’^2 + \dfrac{BC^2}{2}$.

Por lo tanto,
$PA^2 + PB^2 + PC^2 = 3PG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2$.

$\blacksquare$

Proposición 2. La suma de los cuadrados de las distancias del centroide de un triángulo a sus vértices es igual a un tercio la suma de los cuadrados de los lados del triángulo.

Demostración. Sea $\triangle ABC$ con $a = BC$, $b = AC$ y $c = AB$, con la formula para las medianas obtenemos:
$GA^2 = \dfrac{4}{9}AA’^2 = \dfrac{4}{9} (\dfrac{b^2 + c^2}{2} – \dfrac{a^2}{4})$,
$GB^2 = \dfrac{4}{9}BB’^2 = \dfrac{4}{9} (\dfrac{a^2 + c^2}{2} – \dfrac{b^2}{4})$,
$GC^2 = \dfrac{4}{9}CC’^2 = \dfrac{4}{9} (\dfrac{a^2 + b^2}{2} – \dfrac{c^2}{4})$.

Por lo tanto,
$GA^2 + GB^2 + GC^2 = \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3}$.

$\blacksquare$

Corolario 2. La distancia entre el centroide $G$ y el circuncentro $O$ de un triángulo $\triangle ABC$ con circunradio $R$ se puede expresar de la siguiente forma:

$OG^2 = R^2 – (\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{9})$.

Demostración. Por el teorema 3 y la proposición 2 tenemos lo siguiente
$3R^2 = OA^2 + OB^2 + OC^2 = 3OG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2$
$= 3OG^2 + \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3}$.

Despejando $OG^2$ obtenemos el resultado
$OG^2 = R^2 – (\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{9})$.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. Construye un triángulo dados dos vértices y el centroide.
  2. Prueba que en un triángulo la recta que une el punto medio de una de sus medianas con uno de los vértices del triángulo triseca el lado opuesto al vértice considerado.
  3. Muestra que las medianas de un triángulo dividen al triangulo en seis triángulos que tienen la misma área.
  4. Demuestra que en un triangulo,
    $i)$ entre cualesquiera dos de sus medianas la menor de ellas biseca al lado mas grande,
    $ii)$ si dos de sus medianas son iguales entonces el triangulo es isósceles.
  5. Sean $\triangle ABC$ y $AA’$, $BB’$, $CC’$ sus medianas, muestra que $\frac{3}{4}(AB^2 + BC^2 + AC^2) = AA’^2 +BB’^2 + CC’^2$.
  6. Sea $\triangle ABC$ con medianas $AA’$, $BB’$ y $CC’$, sean $m = AA’ + BB’ + CC’$ y $s = AB + BC + CA$, muestra que $\frac{3}{2}s > m > \frac{3}{4}s$.

Más adelante…

En la siguiente entrada estudiaremos algunas propiedades de un triangulo especial asociado a un triangulo dado, aquel que tiene como vértices los puntos medios del triangulo dado. Esto nos permitirá mostrar que el ortocentro, el centroide y el circuncentro de un triángulo siempre son colineales.

Entradas relacionadas

Fuentes

  • Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 65-71.
  • Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 80-84.
  • Posamentier, A. y Salkind, C; Challenging Problems in Geometry. New York: Dover, 1996, pp 14.

Geometría Moderna I: Puntos notables del triángulo

Introducción

En esta entrada estudiamos la concurrencia de rectas importantes en el triangulo, a saber, las medianas, mediatrices, bisectrices y alturas. Mencionamos también consecuencias inmediatas de los puntos de concurrencia.

Centroide

Teorema 1. Las medianas de todo triángulo concurren en un punto que las triseca.

Demostración. Sean $\triangle ABC$, $B’$ y $C’$ los puntos medios de $AC$ y $AB$ respectivamente, por el teorema del segmento medio sabemos que $C’B’ = \dfrac{BC}{2}$ y $C’B’ \parallel BC$.

Figura 1

Sea $G$ la intersección de las medianas $BB’$ y $CC’$, en $\triangle GBC$ consideremos $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $GB$ y $GC$ respectivamente, entonces
$MN = \dfrac{BC}{2}$ y $MN \parallel BC$.

Por transitividad $C’B’ = MN$ y $C’B’ \parallel MN$, esto implica que $\square C’MNB’$ es un paralelogramo y por lo tanto sus diagonales se bisecan, es decir,
$C’G = GN$ y $MG = GB’$.

Por construcción, $MG = BM$ y $GN = NC$
$\Rightarrow GB’= \dfrac{BB’}{3}$ y $C’G = \dfrac{CC’}{3}$,
esto es, la medianas $BB’$ y $CC’$ se trisecan

Si repetimos el mismo procedimiento pero ahora con las medianas $AA’$ y $BB’$ encontraremos un punto $G’$ en donde las medianas se trisecaran, $G’B’= \dfrac{BB’}{3}$ y $G’A’ = \dfrac{AA’}{3}$.

Como $GB’= \dfrac{BB’}{3} = G’B’$, concluimos que $G’ = G$.

Por lo tanto, las medianas de un triángulo concurren en un punto que las triseca.

$\blacksquare$

Definición 1. Decimos que el punto en que concurren las medianas de un triángulo es el gravicentro, baricentro o centroide del triángulo y lo denotamos con la letra $G$ mayúscula.

Figura 2

Circuncentro

Teorema 2. Las mediatrices de los lados de todo triángulo son concurrentes.

Demostración. Sea $\triangle ABC$, consideremos las mediatrices $l_c$ y $l_b$ de $AB$ y $AC$ respectivamente y $O = l_b \cap l_c$.

Figura 3

En la entrada desigualdad del triángulo y lugar geométrico mostramos que un punto está en la mediatriz de un segmento si y solo si equidista a los puntos extremos del segmento.

Ya que $O \in l_c$ y $O \in l_b$, entonces $OA = OB$ y $OA = OC$
$\Rightarrow OB = OC$.

Por el resultado mencionado anteriormente $OB = OC$ implica que $O \in l_a$, la mediatriz de $BC$.

Por lo tanto, las mediatrices de un triángulo son concurrentes.

$\blacksquare$

Corolario. Tres puntos distintos y no colineales se encuentran en una única circunferencia.

Demostración. Sea $\triangle ABC$, por el teorema anterior las mediatrices de los segmentos determinados por los vértices del triángulo concurren en un punto $O$ cuya distancia a cada uno de los vértices es la misma $R = OA = OB = OC$.

Por definición de circunferencia, $A$, $B$ y $C$ pertenecen a la circunferencia con centro en $O$ y radio $R$, $A$, $B$, $C \in (O, R) = \Gamma$.

Ahora supongamos que existe $\Gamma’ = (O’, R’)$ tal que $A$, $B$, $C \in \Gamma’$, entonces, por definición, $O’A = O’B = O’C = R’$.

Esto implica que $O’ \in l_a$, $O’ \in l_b$ y $O’ \in l_c$, las mediatices de $BC$, $AC$ y $AB$ respectivamente,
$\Rightarrow O \in l_a \cap l_b \cap l_c$.

Como ya probamos que las mediatrices son concurrentes entonces $O’ = O$ y $R’ = R$, así que $\Gamma$ es única.

$\blacksquare$

Definición 2. Al punto de concurrencia de las mediatrices de los lados de un triángulo le llamamos circuncentro y lo denotamos como $O$.

A la distancia constante de $O$ a los vértices del triángulo le llamamos circunradio denotado con la letra $R$ mayúscula.

A la circunferencia única $(O, R)$ determinada por los vértices del triángulo se le conoce como circuncírculo.

Figura 4

Incentro

Teorema 3. Las bisectrices interiores de todo triángulo son concurrentes.

Demostración. Sean $l_B$ y $l_C$ las bisectrices de los ángulos interiores en $\angle B$ y $\angle C$ respectivamente e $I = l_{B} \cap l_{C}$.

Figura 5

En la entrada desigualdad del triángulo y lugar geométrico mostramos que un punto está en la bisectriz de un ángulo si y solo si equidista a los lados que forman el ángulo. Recordemos que la distancia de un punto a una recta es la longitud del punto al pie de la perpendicular a la recta trazada desde el punto.

Denotamos la distancia de un punto $P$ a una recta $l$ como $(P, l)$.

Como $I \in l_{b}$ e $I \in l_{c}$, entonces $(I, AB) = (I, BC)$ y $(I, BC) = (I, AC)$,
$\Rightarrow (I, AB) = (I, AC)$.

Por el resultado citado anteriormente, $(I, AB) = (I, AC)$ implica que $I \in l_A$, la bisectriz interior de $\angle A$.

Por tanto, las bisectrices interiores de un triángulo son concurrentes.

$\blacksquare$

Si consideramos los pies de las perpendiculares a los lados del triángulo trazados desde el punto en que concurren las bisectrices, encontramos tres puntos distintos que equidistan a un punto fijo y por el corolario anterior estos determinan una única circunferencia, esto motiva la siguiente definición.

Definición 3. Al punto de concurrencia de las bisectrices interiores de un triángulo se le conoce como incentro del triángulo y lo denotamos con la letra $I$ mayúscula.

A la distancia de $I$ a los lados del triángulo le llamamos inradio y lo denotamos como $r = (I, AB) = (I, BC) = (I, AC)$.

La circunferencia con centro en $I$ y radio $r$, $(I, r)$, se llama incírculo.

Figura 6

Excentros

Teorema 4. En todo triángulo las bisectrices exteriores de dos ángulos y la bisectriz interior del tercer ángulo son concurrentes.

Demostración. Sea $\triangle ABC$, $l_A$ y $l_C$ las bisectrices exteriores de $\angle A$ y $\angle C$ respectivamente e $I_b = l_A \cap l_C$.

Figura 7

De manera análoga al caso de las bisectrices internas tenemos que
como $I_b \in l_A$ e $I_b \in l_C$, entonces $(I_b, AB) = (I_b, AC)$ y $(I_b, AC) = (I_b, BC)$,
$\Rightarrow (I_b, AB) = (I_b, BC)$.

Como $I_b$ está en la región acotada por el ángulo $\angle CBA$ entonces $I \in l_B$, la bisectriz interior de $\angle B$.

Por lo tanto, la bisectriz interna de $\angle B$ y las bisectrices externas de $A$ y $C$ son concurrentes.

De manera análoga probamos que las bisectrices externas de $\angle A$ y $\angle B$ concurren con la bisectriz interna de $\angle C$, y las bisectrices externas de $\angle B$ y $\angle C$ concurren con la bisectriz interna de $\angle A$.

$\blacksquare$

Similarmente a como lo hicimos con el incentro, notamos que, para cada uno de estos tres puntos de concurrencia, existen tres puntos distintos, uno en cada lado del triángulo que equidistan a un punto fijo y por lo tanto determinan una única circunferencia.

Definición 4. A los puntos en que concurren dos bisectrices externas y una bisectriz interna de un triángulo les llamamos excentros del triángulo y los denotamos como $I_a$, $I_b$ e $I_c$ de acuerdo a si se encuentran en la bisectriz interna de $\angle A$, $\angle B$ o $\angle C$ respectivamente y decimos que son opuestos a dichos vértices.

Las distancias de $I_a$, $I_b$ e $I_c$ a los lados del triángulo son los exradios y se les denota como $r_a$, $r_b$ y $r_c$ respectivamente.

A las circunferencias $(I_a, r_a)$, $(I_b, r_b)$ y $(I_c, r_c)$ se les conoce como excírculos del triángulo.

Figura 8

Ortocentro

Teorema 5. Las alturas de todo triángulo son concurrentes.

Demostración. Sea $\triangle ABC$, tracemos en cada vértice la paralela al lado opuesto.

Sean $A’$ la intersección de la paralela a $AB$ trazada en $C$ con la paralela a $AC$ trazada en $B$, de manera análoga definimos $B’$ y $C’$.

Figura 9

Por construcción, $\square ABCB’$ es un paralelogramo por lo que $AB’ = BC$, también $\square C’BCA$ es paralelogramo así que $C’A = BC$,
$\Rightarrow AB’ = BC = C’A \Rightarrow A$ es el punto medio de $C’B’$.

De manera similar podemos ver que $B$ es el punto medio de $C’A’$ y $C$ es el punto medio de $A’B’$.

En consecuencia, las alturas del triángulo $\triangle ABC$ son las mediatrices del triángulo $\triangle C’A’B’$ y ya probamos que las mediatrices de los lados de todo triangulo son concurrentes, por lo tanto, las alturas de $\triangle ABC$ son concurrentes.

$\blacksquare$

Definición 5. Al punto en común en que las tres alturas de un triángulo se intersecan le llamamos ortocentro y lo denotamos con la letra $H$ mayúscula.

Figura 10

Tarea moral

  1. ¿Qué puntos notables vistos en esta entrada, caen siempre dentro del triangulo y cuales siempre fuera?
  2. Muestra que una recta paralela a un lado de un triangulo a través del centroide divide el área del triangulo en dos partes tal que la razón de esta áreas es $\dfrac{4}{5}$.
  3. Considera un triangulo rectángulo $\triangle ABC$ con $\angle B = \dfrac{\pi}{2}$, sean $CC’$ la mediana por $C$ y $D$ el pie de la perpendicular a $CC’$ trazada desde $B$ (figura 11), calcula la distancia de $D$ al centroide $G$ del triangulo en términos de los catetos.
Figura 11
  1. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo interior de $\dfrac{\pi}{3}$, calcula la distancia del vértice donde se intersecan los catetos al incentro $I$ del triángulo en términos de la hipotenusa.
  2. Sea $\triangle ABC$ un triángulo tal que la mediana $AD$ es perpendicular a la mediana $BE$, encuentra $AB$ si $BC = a$ y $AC = b$.

Más adelante…

En la siguiente entrada demostraremos algunos teoremas que nos permitirán calcular la magnitud de ángulos relativos a una circunferencia.

Entradas relacionadas

Fuentes

  • Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 29-34.
  • Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 65-94.
  • Geometría interactiva

Geometría Analítica I: Rectas en forma baricéntrica

Introducción

En esta entrada daremos una descripción alternativa de rectas: la forma baricéntrica. Esta manera de pensar nos ayuda a construir de manera muy rápida una recta que pase por dos puntos dados, o bien el segmento que une a dos puntos. Además, a través de ella podemos entender a las rectas desde un punto de vista más físico

Rectas en forma baricéntrica

En la forma paramétrica de una recta por $P$ con dirección $Q$, tenemos que $P$ y $Q$ juegan papeles diferentes. En la forma que exploraremos ahora, se tendrá que juegan papeles iguales. De manera intuitiva, la forma que definiremos a continuación nos ayuda a construir fácilmente rectas que pasen por dos puntos dados.

Definición. Sean $P$ y $Q$ dos puntos distintos en $\mathbb{R}^2$. La recta en forma baricéntrica por $P$ y $Q$ es el conjunto

$ l := \{ rP+sQ : r,s \in \mathbb{R} \text{ y } r+s=1 \}.$

Ahora tenemos dos parámetros $r$ y $s$ que nos ayudan a ubicar un punto en la recta en cualquiera de las dos direcciones. Puedes pensar que la restricción $r+s=1$ es la que hace que nos quedemos en la recta. Además, podemos pensar a $r$ y $s$ como “pesos” que nos dicen qué tan cerca estamos de $P$ y de $Q$. Intuitivamente si $s > r$ , entonces el punto $X$ de la recta se encuentra más cerca del punto $Q$ y viceversa, si $r > s$, entonces el punto $X$ de la recta está más cercano a $P$. Esto es sólo intuitivo pues aún no tenemos una definición formal de distancia, pero más adelante retomaremos esto para formalizarlo.

Utiliza el siguiente interactivo para variar los valores de la coordenada baricéntrica $s$ de la recta (recuerda que r=1-s) y ubicar el punto $X$ en la recta que depende de estos valores.

Interpretación física

Ya que definimos las coordenadas baricéntricas, hablemos un poco de la interpretación física de esta con la cuál la idea de “peso” que le asignamos a estas coordenadas toma más sentido. Pensemos a la recta como una barra rígida sobre la cual está distribuida una masa unitaria (esto es que la masa en total es 1). El punto de equilibrio estará dado por las coordenadas baricéntricas correspondientes a las masas.

Ahora que estamos hablando de masas, resulta que podemos asociarle una fuerza a cada una para comprender mejor esta interpretación física. Retomando lo de hace unos párrafos, si $s> r$, entonces la fuerza asociada a $s$ será mayor a la asociada a $r$ ($F_s > F_r$) y si tenemos una de nuestras coordenadas baricéntricas negativas, podemos pensar entonces en una fuerza que va en sentido contrario a la positiva. Si pensamos en la fuerza gravitacional, un signo menos en nuestras coordenadas se podría visualizar como algo jalando hacia arriba.

Apoyate del interactivo anterior para comprender mejor esta idea y analiza el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Sea $s=0.3$ y $r=0.7$, nota que el punto está más cercano de $P$.

Relación entre rectas paramétricas y rectas baricéntricas

En nuestro modelo ya definimos dos “tipos” de rectas: las rectas paramétricas y las rectas baricéntricas. Sería muy mala noticia que hayamos definido objetos geométricos diferentes, es decir, que hubiera algún objeto geométrico que sí fuera recta paramétrica pero que no fuera recta baricéntrica. O viceversa. Afortunadamente esto no es así. Todas las rectas paramétricas se pueden expresar de manera baricéntrica y todas las rectas baricéntricas se pueden expresar de manera paramétrica.

Demostrar esto formalmente nos lleva a argumentos de teoría de conjuntos. Veamos un ejemplo.

Proposición. Toda recta en forma paramétrica se puede expresar en forma baricéntrica.

Demostración. Tomemos la recta con forma paramétrica por $P$ y dirección $Q$:

$$\ell=\{P+rQ:r\in\mathbb{R}\}.$$

Tenemos que encontrar una manera de expresarla en forma baricéntrica. Recordemos que la intuición de la forma baricéntrica es que pasa por dos puntos que le demos, así que nos conviene proponer dos puntos en $\ell$. Uno de ellos es $P$ (con $r=0$) y otro es $P+Q$ (con $r=1$). Ya tenemos entonces nuestra línea baricéntrica candidata:

$$m=\{rP+s(P+Q): r,s \in \mathbb{R} \text{ y } r+s=1\}.$$

Debemos demostrar que $\ell=m$. Esta es una afirmación de igualdad de dos conjuntos, así que hay que hacer una doble contención.

Un punto en $\ell$ es de la forma $P+rQ$, que se puede reescribir como $(1-r)P+r(P+Q)$. Aquí tanto $1-r$ como $r$ son reales y suman $1$, así que este punto está en $m$. Esto muestra que $l\subseteq m$.

Ahora tomemos un punto en $m$. Es de la forma $rP+s(P+Q)$ en donde $r,s$ son reales de suma $1$. De esta manera, $s=1-r$, de modo que podemos reescribir:

$$ rP+s(P+Q) =rP+(1-r)(P+Q)=P+(1-r)Q.$$

Esto es justo una de las expresiones que está en $\ell$. Concluimos que $m\subseteq \ell$ y por lo tanto que $\ell=m$.

$\square$

Una demostración similar muestra que toda recta en forma baricéntrica se puede expresar en forma paramétrica.

Segmentos y rayos

Hay algunas cosas que es más cómodo trabajar usando una forma de las rectas u otra. Por ejemplo, la definición de segmentos es muy fácil de dar pensando en forma baricéntrica.

Definición. El segmento entre dos puntos $P$ y $Q$ del plano es el conjunto:

$$ \overline{PQ} := \{ rP+sQ : r\geq 0, s\geq 0 \text{ y } r+s=1 \}.$$

La definición es prácticamente igual a la de recta en forma baricéntrica, pero limitando los valores de $r$ y $s$ a números no negativos.

Por otro lado, la definición de rayo es más fácil darla pensando en forma paramétrica.

Definición. El rayo desde un punto $P$ en dirección $Q$ es el conjunto:

$$ \overrightarrow{PQ}:=\{P+rQ: r\geq 0\}.$$

En este caso tenemos prácticamente la definición de recta en forma paramétrica, pero limitando el parámetro $r$ a números no negativos.

Postulados 1 y 3 de Euclides

Si recuerdas, en entradas anteriores se habló de que con esta “nueva” construcción de la geometría (la forma analítica), los postulados de Euclides podían ser demostrados. Ha llegado el momento en el que demostraremos una proposición que fusiona a los postulados 1 y 3.

Proposición. Para cualesquiera dos puntos $P$ y $Q$, se puede trazar el segmento de recta que los une y este segmento se puede prolongar indefinidamente a una recta.

Demostración. Ya dimos una definición de segmento. Notemos que en esta definición tenemos que sus extremos se dan precisamente con $r=0, s=1$, que corresponde al punto $Q$ y con $r=1,s=0$, que corresponde al punto $P$. Además, dicho segmento se queda contenido en la recta baricéntrica por $P$ y $Q$, pues en ella se permiten $r$ y $s$ arbitrarios de suma $1$, mientras que en el segmento sólo se permiten los no negativos.

De esta manera, la recta baricéntrica por $P$ y $Q$ es justo la prolongación del segmento que buscamos. Se prolonga indefinidamente al tomar valores de $r>1$ y valores de $r<0$ tan lejanos como queramos (y la $s$ correspondiente para que sume $1$). Al igual que en el caso paramétrico, se puede mostrar que todos estos puntos son distintos para valores distintos de $r$.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • A partir de la forma baricéntrica de una recta, muestra cómo proponer su forma paramétrica $l= \{ Q+r(P-Q): r \in \mathbb{R} \}$. Haz una demostración por doble contención de que esas rectas son iguales.
  • Coinsidera la siguiente recta en forma paramétrica: $L= \{ (5,3)+r(-7,2) : r \in \mathbb{R} \}$. Da una forma baricéntrica para $L$.
  • Para asegurarte que entendiste la interpretación física, realiza los siguientes ejercicios:
    • Imagina que tienes una barra rígida de 2 metros de longitud sobre la cuál tienes colgadas dos masas (una en cada extremo), una de 40 kg y otra de 10 gk. ¿cuáles son las coordenadas baricéntricas del punto de apoyo o de quilibrio de esta barra?
    • Si ahora sabes que el punto de apoyo se encuentra en uno de los extremos de la barra rígida y quieres levantar los 40 kg con la fuerza de otra masa de 10 kg, ¿dónde debes colocar la masa para que esto sea posible? Realiza un dibujo.
  • Dado dos puntos $X$ y $Y$ se define su punto medio como el punto $\frac{X+Y}{2}$. Considera los puntos $A=(-2,9)$, $B=(7,-1)$ y $C=(3,5)$. Encuentra el punto medio $L$ de $B$ y $C$. Encuentra el punto medio $M$ de $C$ y $A$. Encuentra el punto medio $N$ de $A$ y $B$. Da expresiones paramétricas y baricéntricas para las rectas $AL$, $BM$ y $CN$.
  • Para los puntos del problema anterior encuentra ecuaciones para todos los segmentos y rayos que puedas definir.

Más adelante…

Hasta ahora hemos avanzado lo suficiente para hablar en entradas próximas de algo que se asomaba desde los postulados de Euclides, la intersección de rectas y las rectas paralelas.

Modificar el problema

HeuristicasOtra técnica de resolucion de problemas es proponer un problema que ayude, pero que no necesariamente sea equivalente. Esto puede ser a través de problemas más particulares o de problemas más difíciles.

En esta serie de videos veremos esta técnica en acción en cuatro problemas.

Ir a los videos…