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Matemáticas Financieras: Interés compuesto

Por Erick de la Rosa

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Introducción

Siguiendo una estructura análoga a la anterior, procederemos a desarrollar la ecuación que describe la característica central del modelo de interés compuesto: la capacidad de generar intereses adicionales. Además, sentaremos las bases para abordar la aplicación de tasas de interés y establecer relaciones entre ellas, con el propósito de calcular tasas equivalentes.

El interés compuesto representa la segunda modalidad de pago de intereses. Su rasgo distintivo es la generación de nuevos intereses a medida que transcurre el tiempo o cada período específico. Estos intereses recién generados se suman al capital original, que luego comienza a generar intereses por sí mismo, repitiendo este proceso según lo establecido. Similar al modelo de interés simple, los intervalos de tiempo pueden ser mensuales, anuales, trimestrales, semanales, entre otros.

Interés compuesto

El modelo de interés compuesto es ampliamente empleado en contratos comerciales y operaciones financieras en todo el mundo, e incluso está respaldado por la legislación vigente en nuestro país, como lo establece la Ley Federal de Protección al Consumidor.

Para comenzar con su construcción, se propone el siguiente ejemplo:

A una persona les prestan \$100, con una tasa de interés efectiva mensual del 10%, dicho monto al término del primer mes estaría generando \$10 por concepto de interés más los \$100 pesos originales. La parte interesante comienza a ocurrir a partir del segundo mes, en el que los intereses que ya se habían generado durante el primer mes comienzan a generar nuevos intereses invertidos a la misma tasa, esto es:

Monto del periodo anterior $=\$110$

Intereses del segundo periodo $=(\$110)(0.10)=\$11$

Lo que nos da un monto total al final del segundo periodo de \$121. Es importante hacer mención que el $1 que aparece en nuestro último resultado, representa los intereses generados por los nuevos intereses. En la siguiente gráfica se representa con detalle este proceso.

Fig. 1.4 Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 24

Ahora bien, se va a construir el modelo general de Interés compuesto:

Fig. 1.5 Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag, 25

El primer periodo comienza con un capital $K$, con una tasa de interés $i$, de tal manera que al final del primer periodo tenemos el capital inicial más los intereses generados durante ése periodo, y nos quedaría una expresión como la siguiente: $M=K+Ki$.

Por consiguiente, el monto del segundo periodo queda como el capital inicial más los intereses obtenidos en el 1er y 2do periodo.

Es importante recalcar que los intereses se calculan multiplicando el capital por la tasa de interés. Si los intereses generados en el 1er periodo fueron $Ki$, entonces los intereses generados en el segundo periodo se calcularon a partir de la expresión $Kii$. De esta forma, el monto obtenido al final del segundo periodo se representa con la expresión: $M=K+Ki+Ki+Kii$, la cual se reduce a la expresión señalada en la figura 1.5> $M=K(1+i)^2$.

Generalizando la fórmula queda lo siguiente: $M=K(1+i)^t$. En ésta expresión la variable $t$, es la que va a estar representando el número de periodos, el cual va a estar ligados siempre con el «apellido» de la tasa de interés, este es mensual, semanal, diario, etc. como ya en algunos párrafos anteriores se ha hecho mención.

Las reglas para aplicar correctamente este modelo son semejantes a la del modelo de interés simple, con algunas variantes, pero para no dejar ambigüedad alguna se enuncian a continuación:

  • El valor de las variables $K$ y $M$ se escriben en unidades monetarias, siendo la primera que representa el capital inicial ($K$), mientras que la segunda representa el monto ($M$).
  • $i$ es la tasa de interés efectiva por periodo, expresada en %, y al realizar cálculos usada al tanto por uno, es decir ya dividida entre 100.
  • La periodicidad de la tasa determina la unidad de tiempo con la que se va a utilizar la variable $t$, esto es, en años, meses, bimestres, durante el lapso de tiempo acordado que dure la operación.

Siguiendo una lógica similar al modelo de interés simple, en el caso del modelo de interés compuesto, tenemos la capacidad de expresar cualquier variable en función de las otras tres. Es decir, podemos despejar y expresar cualquier variable en términos de las demás.

Por lo anterior podemos establecer que, partiendo del modelo de interés compuesto, $K$ se puede calcular a partir de la siguiente expresión:

$$K=M\frac{1}{(1+i)^t}=M(1+i)^{-t}.$$

Para obtener $i$, se divide entre $K$ la ecuación de interés compuesto, luego se eleva a la potencia $\frac{1}{t}$ y por último se le resta uno, con lo que se llega a:

$$i=\frac{(M)}{(K)}^{\frac{1}{t}}-1.$$

Finalmente, para expresar $t$ es necesario usar algunas propiedades de los logaritmos, como se observa a continuación:

$$t=\frac{\log M-\log K}{\log(1+i)}.$$

Es fundamental destacar una diferencia significativa en comparación con el modelo de interés simple, que, como ya hemos visto, exhibe un comportamiento lineal. Por otro lado, el modelo de interés compuesto muestra un comportamiento geométrico, como se puede apreciar en el siguiente gráfico:

Figura 1.6 Comportamiento del Modelo de Interés Compuesto, Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, Pag. 27

En la figura 1.6, se muestra un ejemplo de cómo se comporta el modelo de interés compuesto, bajo una inversión de un capital de \$1700 invertido durante 3 años, a una tasa mensual del $12\%$.

Relación interés simple con el interés compuesto

Su principal relación radica en como se calcula el crecimiento del dinero a través del tiempo, ya que ambos sirven para determinar cuanto se gana o se debe de pagar, pero se obtienen resultados distintos, mientras el interés simple los intereses solo se calculan sobre el monto inicial, es decir los intereses no se reinvierten; lo que genera un crecimiento lineal. Mientras que el interés compuesto se calculan intereses sobre intereses, en otras palabras los intereses se calculan no solo sobre el monto inicial, sino también sobre los intereses que se van generando mes con mes, los intereses se reinvierten, lo que genere un crecimiento con un comportamiento exponencial.

Cabe señalar que si el tiempo que dura la transacción es corto, el comportamiento de ambos es muy similar, pero a largo plazo es cuando la diferencia queda mas marcada ya que se genera mas dinero con el modelo de interés compuesto.

Elaboración propia. Comparativa gráfica de como se comporta el modelo de interés simple con respecto al modelo de interés compuesto

Ejercicios resueltos

Ejercicio. ¿Cuál es el monto que se genera, con un capital inicial de \$2500 y lo queremos invertir con las siguientes tasas de interés, durante los periodos que se indican:

  1. A una tasa del 6.5% anual, durante tres años y 6 meses.
  2. 2.4% mensual, luego de haber transcurrido dos años y 8 meses.
  3. 5.8% semestral, después de un periodo de 10 meses.
  4. 0.04% diario, después de un año con 23 días.

Solución

  1. El monto inicial ($K$), que se va a utilizar es el mismo, el cual es de \$2500, y de igual forma, en todos los casos queremos saber el monto ($M$). Una vez aclarado ese punto, el modelo que vamos a estar usando es el de interés compuesto dado por: $M=K(1+i)^t$.
    Se sabe que la tasa es una tasa efectiva anual del 6.5%, motivo por el cual la variable $t$ será expresada en años, así mismo, el tiempo que se tiene considerado que dure la operación, es de 3 años con 6 meses. Ahora bien, sustituyendo cada uno de los valores en nuestra ecuación de interés compuesto:
    \begin{align*}
    M&=2500(1+0.065)^{3\frac{1}{2}}\\
    &=2500(1+0.065)^{3.5}\\
    &=3116.47
    \end{align*}.
    Es importante señalar, que el número 3 corresponde a los años completos que dura el acuerdo, mientras que el $\frac{1}{2}$, es por los 6 meses que hacen falta, el cual expresado en años sería un medio. De manera tal que $t=3\frac{1}{2}=3.5$.
  2. Se tiene una tasa efectiva mensual ($i$) de 2.4%, lo cual implica que el tiempo ($t$) que asciende a 2 años 4 meses debe ser expresado en meses, entonces aplicando el modelo:
    $$M=2500(1+0.024)^{28}=4856.67$$
  3. Análogamente, si la tasa es del 5.8% semestral, el tiempo debe ser expresado en semestres, motivo por el cual $t= 1 semestre + \frac{4}{6} semestre=1+\frac{4}{6}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}=1.67$, y aplicando el modelo se obtiene:
    \begin{align*}
    M&=2500(1+0.058)^{1\frac{4}{6}}\\
    &=2500(1+0.058)^{1.67}\\
    &=2746.31
    \end{align*}
  4. De forma parecida a los incisos anteriores, la tasa efectiva diaria 0.04% ($i$), esto causa que se mida en días la variable $t$, y se va a considerar que en un año se tiene 365 días, lo cual implica:
    $t=365 +23 días=386 días$,
    luego entonces nos da el siguiente resultado al aplicar el modelo de interés compuesto
    $$M=2500(1+0.0004)^{365+23}=2500(1+0.0004)^{386}$$

Ejercicio. Calcula la tasa de interés anual, que se necesita calcular para los siguientes incisos:

  1. Monto inicial de \$1 500, durante un año genera un monto de \$1 800.
  2. Monto inicial de \$27 500, que durante un lapso de un año y cinco meses genera \$30500.
  3. Monto inicial de \$22 000, durante un lapso de 7 semestres con 5 meses, genera un monto total de \$25 000.

Solución

A partir del modelo de interés compuesto, con el que se ha estado trabajando, se sabe que contamos con el valor de las variables $K$, $M$ y $t$. Por lo anterior, se va a hacer uso de la siguiente expresión que anteriormente ya se había deducido:
$$i=\frac{(M)}{(K)}^{\frac{1}{t}}-1$$

  1. Sustituyendo cada uno de los valores de la expresión anterior, se tiene:
    $i=(\frac{1800}{1500})^1-1=0.2$
    lo cual implica que la tasa de interés es $i=20\%$
  2. Análogamente al ejercicio anterior, se tiene:
    \begin{align*}
    i&=\left(\frac{30500}{27500}\right)^{1+\frac{5}{12}}-1\\
    &=\left(\frac{30500}{27500}\right)^{\frac{17}{12}}-1\\
    &=\left(\frac{30500}{27500}\right)^{1.416}-1\\
    &=0.15
    \end{align*}
    Por lo tanto, el valor de la tasa de interés es: $i=15\%$
  3. En este caso se debe observar que un año tiene 2 semestres, por lo que la cantidad de 7 semestres, tiene 3.5 años. Luego se debe agregar a éste resultado 5 meses que es el equivalente a \frac{5}{12}. Por lo anterior ahora sí sustituimos los valores de cada una de las variables, lo cual nos da:
    \begin{align*}
    i&=\left(\frac{25000}{22000}\right)^{\frac{7}{2}+\frac{5}{12}}-1\\
    &=\left(\frac{25000}{22000}\right)^{\frac{47}{12}}-1\\
    &=0.64
    \end{align*}
    Por lo tanto, el valor de la tasa de interés es: $i=64 \%$

Ejercicio. Dado un capital inicial de \$1200 pesos, un monto total de \$3500, con una tasa efectiva trimestral de 3.77%, calcular $t$.

Solución

La ecuación que se aplicará para este caso es la siguiente:
$$t=\frac{\log M-\log K}{\log(1+i)}$$
Sustituyendo cada una de las variables que se conocen, nos queda:
\begin{align*}
t&=\frac{\log 3500-\log 1200}{\log(1+0.0377)}\\
&=\frac{0.464886}{0.016071}\\
&=28.92554
\end{align*}

Es importante señalar que el resultado está dado en trimestres, puesto que la tasa con la que se están realizando los cálculos es efectiva trimestral. Por otra parte cada año tiene 4 trimestres, entonces cuando el resultado excede a 4, entonces la cifra expresada en años, se obtiene del resultado de $t=28.92554$ el cual, se divide entre 4, entonces se tiene $\frac{28.92554}{4}=7.231385$ de donde se obtienen los 7 años.
Ahora como no se suele expresar 0.231385 meses, lo que se va a hacer es multiplicar por 12(porque el año tiene 12 meses), esto es: $(0.231385)(12)=2.77662$ que es de dónde se obtienen los 2 meses.
Por último para saber los días, multiplicamos la cifra de (77662)(30) por que un mes tiene 30 días, hacemos uso de la cifra de $(0.77662)(30)=23.2986$, resultado a partir del cual se obtiene el dato de los 23 días.
Por lo tanto, el resultado obtenido se interpreta como 7 años, 2 meses y 23 días.

Ejercicio. El banco ABC lanzo un programa especial de ahorro, mediante el cual está ofreciendo un rendimiento del 8% efectivo anual en los primeros 6 meses de inversión, posteriormente menciona que se dejan sus recursos otros 6 meses les otorgara el 10% de rendimiento, y por último ofrece una tasa del 12% para el resto del tiempo que el cliente mantenga depositado su dinero en el banco. ¿Cuánto dinero acumulara dicho cliente, si el día de hoy depositó $10,000 y planea dejarlo en el banco por un tiempo de un año y ocho meses?

Solución

Es un caso en el que las tasas de interés cambian durante los 2 primeros semestres, y al final se mantiene constante a partir del 3er semestre. En tal caso el tiempo total que permanecerá invertido el dinero será por 1 año y 8 meses. Lo cual implica lo siguiente:

Monto al final del primer semestre queda determinado por

$M=10000(1+0.08)^{\frac{1}{2}}$

El monto que se tiene en el segundo semestre es:

$M=[10000(1+0.08)^{\frac{1}{2}}](1+0.10)^{\frac{1}{2}}$

Por último, el monto obtenido al termino del año con 8 meses

$M=[[10000(1+0.08)^{\frac{1}{2}}](1+0.10)^{\frac{1}{2}}](1+0.12)^{\frac{8}{12}}$

$M= 11,754.93$

Más adelante…

En este tema, se abordó el modelo de Interés compuesto, mediante el cual se observa el fenómeno mediante el cual, una cantidad de dinero invertida, prestada o depositada en alguna institución bancaria, nos genera intereses con el paso del tiempo, y no sólo eso, sino que, en el caso particular del interés compuesto, los intereses generan más intereses. Éste proceso que se acaba de estudiar de forma implícita es conocido también como acumulación. Con éste modelo nos da una herramienta muy importante para poder tomar mejores decisiones respecto al uso de los recursos que se tienen de manera personal, comercial, social, etc. porque nos sirve para saber cuánto se puede llegar a ahorrar en el caso de querer adquirir un bien o servicio, o unas vacaciones, o comprar un vehículo. En otro caso, cuánto se va a tener que pagar por un cierto préstamo, o incluso cuánto se requiere tener para llevar a cabo un proyecto que requiere cierto financiamiento (es un tipo de préstamo que permite tener recursos, por ejemplo, inversionistas) para conocer cuánto es lo que se va a deber en el futuro.

En el siguiente capítulo, se abordará el proceso inverso que acabamos de estudiar, esto es, describir la metodología que nos permita conocer el valor que al día de hoy tiene una obligación futura, fenómeno que dentro de las Matemáticas Financieras se le conoce como Valor Presente.

$\mathbb{R}^{n}$ como espacio Topológico

Por Ruben Hurtado

1 respuesta

Introducción.

La Topología es un área de las matemáticas que se interesa por conceptos como proximidad, continuidad, conexidad, compacidad, y muchos otros mas. Para abordarlos, es necesario establecer un cierto tipo de conjuntos (que en Topología se les conoce como los conjuntos abiertos).
$\fbox{Bola abierta}$
La bola abierta con centro en $\bar{x}_0$ y radio $r>0$, es el conjunto:
$$B(\bar{x}_0,r)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^n~|~\|\bar{x}-\bar{x}_0\|<r\}$$
$\fbox{Bola Cerrada}$
La bola cerrada con centro $\bar{x}_0$ y radio $r\geq
0$ es el conjunto:
$$\bar{B}(\bar{x}_0,r)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^n~|~\|\bar{x}-\bar{x}_0\|\leq r\}$$
$\fbox{Esfera}$
La esfera con centro $\bar{x}_0$ y radio $r\geq 0$ es el conjunto:
$$S(\bar{x}_0,r)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^n~|~\|\bar{x}-\bar{x}_0\|=r\}$$
Observemos que para la bola abierta $r>0$ estrictamente, mientras que la bola cerrada y la esfera pueden tener radio cero. En este último caso ambas se reducen a un punto:

\[
\bar{B}(\bar{x}_0,0)={\bar{x}_0}
\]

\[
S(\bar{x}_0,0)={\bar{x}_0}~~ \blacksquare
\]
Los conjuntos $B(\overline{x}_0,r)$, $\bar{B}(\overline{x}_0,r)$ y $S(\bar{x}_0,r)$ son subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ y su aspecto geométrico depende de la métrica con la cual se midan las distancias.
Ejemplo. \begin{align*} \overline{B}_2(0,1)&=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^2\ |\ \|\bar{x}\|_2\leq1\} \\ &=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^2|\sqrt{x^2+y^2}\ \leq1\} \\ &=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ x^2+y^2\leq1\} \end{align*}
Geométricamente

La periferia de este disco es el circulo que tiene por ecuación
$x^2+y^2=1$, que corresponde a la esfera $S_2(0,1)=\{\bar{x}\in \mathbb{R}^2\ |\
\|\bar{x}\|_2=1\}$.$~ \blacksquare$

Ejemplo. Sea ahora la bola cerrada
\begin{align*} \bar{B}_2(0,1)&=\{\overline{x}\in\mathbb{R}^{2}~|~\|\bar{x}\|\leq1\} \\ &=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ |x|+|y|\leq1\} \end{align*}
Geométricamente

Para $S_1(0,1)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^2\ |\ |\bar{x}|=1\}$

Para $\overline{B}_{\infty}(0,1)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^2\ |\ \|\bar{x}\|_{\infty}\leq1\}$ = $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ \max\{|x|,|y|\}\leq1\}$

tenemos entonces que

Las figuras anteriores muestran la situación geométrica, entre las bolas cerradas $\overline{B}_{1}(\overline{0},1),~\overline{B}_{2}(\overline{0},1),~\overline{B}_{\infty}(\overline{0},1)$ en forma explicita se escriben:
\[
\max\{|x_1|,\cdots,|x_n|\}\leq
\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}\ \leq
|x_1|+\cdots+|x_n|
\]
Las contenciones tanto para las bolas abiertas, como para las bolas
cerradas se siguen de las desigualdades

\[
\|\bar{x}-x_0\|_{\infty}\leq \|\bar{x}-\bar{x}_0\|_2\leq
\|\bar{x}-x_0\|_1
\]
Pues por ejemplo si $\bar{x}\in B_2(\bar{x}0,r)$ entonces $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|_2<r$ luego $\|\bar{x}-\overline{x}_0\|_{\infty}<r$

$\therefore~~~\|\bar{x}-\bar{x}_0\|_{\infty}<r$ es decir $\overline{x}\subset
B_{\infty}(x_0,r)$ $\therefore$ $B_2(\bar{x}0,r)\subset B_{\infty}(\bar{x}_0,r)$

Si $\overline{x}\in B_1(\bar{x}_0,r)$ entonces $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|_1<r$ luego $\|x-\bar{x}_0\|_2\leq \|\bar{x}-\bar{x}_0\|_1<r$ $\therefore$
$\|\overline{x}-\bar{x}_0\|_2<r$ $\therefore$ $\overline{x}\in B_2(x_0,r)$ $\therefore$ $B_1(\bar{x}_0,r)\subset B_2(x_0,r)$
Para las esferas no hay alguna relación similar, lo que se puede deducir de las desigualdades anteriores son las relaciones siguientes:
\[S_1(\bar{x}_0,r)\subset \overline{B}_{2}(\bar{x}_0,r)\subset\overline{B}_{\infty}(\bar{x}_0,r)\] \[S_2(\bar{x}_0,r)\subset B_{\infty}(\bar{x}0,r)\hspace{1.7cm}\] \[S_{\infty}(\bar{x}0,r)\subset \overline{B}_{\infty}(\bar{x}_0,r)\hspace{1.8cm}
\]

Conjuntos Abiertos y Conjuntos Cerrados


Un concepto importante en la topología de $\mathbb{R}^{n}$ es el de conjunto abierto. Junto con el de conjunto cerrado.
Conjunto abierto y conjunto cerrado dos conceptos duales, en un sentido que trataremos de explicar. Por ahora solamente veremos la definición de cada uno de ellos y alguna de sus propiedades más importantes.
Definición. Un conjunto $V\subset\mathbb{R}^n$ se dice que es $\textbf{abierto}$ si para cada $\bar{x}\in V$ existe una bola abierta $B(\bar{x},r)$ contenida en $V$. Es decir si para cada $\bar{x}\in V$ existe $r>0$ tal que $B(\bar{x},r)\subset V$.


Ejemplo. El espacio $\mathbb{R}^n$ es un conjunto abierto, pues dado cualquier $\bar{x}\in \mathbb{R}^n$, toda bola abierta $B(\bar{x},r)$ esta contenida en $\mathbb{R}^n$.$~~\blacksquare$


Ejemplo .Mostraremos que el $\emptyset$ es abierto.
Suponemos que el $\emptyset$ no es abierto $\therefore$ $\exists$ $x\in
\emptyset$ para el cual no es posible hallar una bola abierta $B(\bar{x},r)$ contenida en $\emptyset$. Pero esto no es posible ya que el $\emptyset$ no tiene elementos.
Entonces debemos suponer que el $\emptyset$ no es abierto ${\large\textbf{!}}$ $~~~\therefore~~~\emptyset$ es abierto.$~~\blacksquare$


Proposición. Toda bola abierta en $\mathbb{R}^n$ es un conjunto abierto.
Demostración. Sea $\bar{x}_0\in\mathbb{R}^n$ y $r>0$. Mostraremos que $B(\bar{x}_0,r)$ es un conjunto abierto. Debemos probar que para cada $\bar{x}\in B(\bar{x}_0,r)$, existe una bola abierta $B(\bar{x},r)$ contenida a su vez en la bola abierta $B(\bar{x}_0,r)$. Sea pues $\bar{x}\in B(\bar{x}_0,r)$ y consideremos $R=r-\|\bar{x}-\bar{x}_0\|$. Como $\bar{x}\in B(\bar{x}_0,r)$ se tiene entonces que $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|<r$ $\therefore$ $R>0$. Mostraremos que la bola abierta $B(\bar{x},R)$ esta contenida en $B(\bar{x}_0,r)$.


esto prueba que $\bar{y}\in B(\bar{x}_0,r)$.$~~\blacksquare$


Ejemplo.Mostraremos que en $\mathbb{R}^2$, el semiplano superior
$$V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2~|~y>0\}$$
es un conjunto abierto respecto a la norma $\|\overline{x}\|_1$
Solución.

Sea $\overline{v}_{0}=(x_{0},y_{0})\in V$. Se tiene entonces que $y_{0}>0$ consideremos $r=y_{0}$ y consideremos la bola $B_{1}(\bar{v}_0,y_0)$ y sea $\bar{v}=(x,y)\in
B_1(\bar{v}_0,y_0)$ se tiene que $\|\bar{v}-\overline{v}_0\|_1<y_0$, es
decir, $|x-x_0|+|y-y_0|<y_0$. Debemos probar que $y>0$.
(1) $y$ no puede ser cero pues si $y=0$
$|x-x_0|+|y-y_0|<y_0$ $\Rightarrow$ $|x-x_0|+|y_0|<y_0$ ${\large\textbf{!}}$ (Falso)
es decir no puede ocurrir que $|x-x_0|+|y_0|$ sea menor que $y_{0}$.
(2) $y$ no puede ser negativa pues
$|x-x_0|+|y-y_0|=|x-x_0|+\underset{*}{\underbrace{|y|+y_0}}>y_0$ ${\large\textbf{!}}$ (Falso)
* $y<y_0$ $\Rightarrow$ $|y-y_0|=-y+y_0=|y|+|y_0|$ $\therefore$ $y$ tiene que ser $y>0$ $\therefore$ $B_1(\bar{v}_0,y_0)$ esta en el semiplano superior.$~~ \blacksquare$
Definición. Un conjunto $F\subset\mathbb{R}^n$ se dice que es $\textbf{cerrado}$ si su complemento $F^c=\mathbb{R}^n-F$ es un conjunto abierto.


Ejemplo. Los conjuntos $\mathbb{R}^n$ y $\emptyset$ son cerrados. En efecto $\mathbb{R}^n$ es cerrado pues su complemento $\emptyset$ es abierto. Similarmente $\emptyset$ es cerrado pues su complemento $\mathbb{R}^n$ es abierto.$~\blacksquare$


Ejemplo. Un conjunto con un solo punto ${\bar{0}}$ es cerrado ya que $\mathbb{R}^n-{\bar{0}}$ es abierto.$~~\blacksquare$


Proposición. Toda bola cerrada en $\mathbb{R}^n$ es un conjunto cerrado.
Demostración. Sea $\bar{x}_0\in \mathbb{R}^n$ y $r\geq0$. Probaremos que la bola cerrada $\bar{B}(x_0,r)$ es un conjunto cerrado, es decir, que su complemento $\mathbb{R}^n-\bar{B}(x_0,r)$ es un conjunto abierto. Sea pues $\bar{x}\in\mathbb{R}^n-\bar{B}(x_0,r)$. Mostraremos que existe una bola abierta $B(\bar{x},R)$ contenida en $\mathbb{R}^n-\bar{B}(x_0,r)$. Como $\bar{x}$ no está en la bola cerrada $\bar{B}(x_0,r)$, se tiene entonces que $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|>r$. Definamos $R=\|\bar{x}-\bar{x}_0\|-r>0$, esto equivale a $r=\|\bar{x}-\bar{x}_0\|-R$. Veamos que $B(\bar{x},R)\subset\mathbb{R}^n-\bar{B}(x_0,r)$

luego $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|<R+\|\bar{y}-\bar{x}_0\|$ $\therefore$ $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|-R<\|\bar{y}-\bar{x}_0\|$, es decir, $r<\|\bar{y}-\bar{x}_0\|$. Esto significa que $\bar{y}\not\in \bar{B}(\bar{x}_0,r)$, es decir, $\bar{y}\in\mathbb{R}^n-\bar{B}(\bar{x}_0,R)$.$~~\blacksquare$


Ejemplo. Muestre que el conjunto $$V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x\leq y\}$$
es un conjunto cerrado.
Solución. Sea $V^{c}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x>y\}$. mostraremos que $V^{c}$ es un conjunto abierto

Sea $\overline{v}_{0}=(x_{0},y_{0})\in V^{c}$ entonces $x_{0}>y_{0}$. Definimos $r=x_{0}-y_{0}>0$ ahora consideramos $B(\overline{v}_{0},r)$ vamos probar que $B(\overline{v}_{0},r)\subset V^{c}$ Sea $\overline{v}_{1}=(x,y)\in B(\overline{v}_{0},r)$ con la norma $\|\overline{x}\|_{1}$ se tiene $$\|\overline{v}_{1}-\overline{v}_{0}\|_{1}<r~\Rightarrow~|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<r~\Rightarrow~|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<x_{0}-y_{0}$$ por lo tanto $$x-y=x-x_{0}+y_{0}-y+x_{0}-y_{0}=x_{0}-y_{0}+x-x_{0}+y_{0}-y\geq x_{0}-y_{0}-\left(|x-x_{0}|+|y-y_{0}|\right)>0$$ la última desigualdad se obtiene de la propiedad $-|x-x_{0}|\leq x-x_{0}\leq |x-x_{0}|$. De esta manera $x-y>0~\Rightarrow~x>y$ y en consecuencia $v_{1}\in V^{c}$ por lo que $V^{c}$ es un conjunto abierto y por lo tanto V es un conjunto cerrado.$~\blacksquare$
Ejemplo. Sea $V={(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x+y>0}$. Demuestre que V es un conjunto abierto

Solución. Sea $\bar{v}_{0}=(x_{0},y_{0})\in V$ entonces $x_{0}+y_{0}>0$. Definimos $r=x_{0}+y_{0}>0$ ahora consideramos $B(\bar{v},r)$ vamos probar que $B(\bar{v},r)\subset V$
Sea $\bar{v}_{1}=(x,y)\in B(\bar{v},r)$ con la norma $\|.\|_{1}$ se tiene $$\|\bar{v}-\bar{v}_{0}\|_{1}=|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<r$$
por lo tanto
$$x+y=x-x_{0}-y_{0}+y+x_{0}+y_{0}=x_{0}+y_{0}+x-x_{0}-y_{0}+y\geq x_{0}-y_{0}-\left(|x-x_{0}|+|y-y_{0}|\right)>0$$

de esta manera $x+y>0$ y en consecuencia $\bar{v}_{1}\in V$ por lo que V es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$


Ejemplo Sea $V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~y>x^{2}\}$. Demuestre que V es un conjunto abierto

Solución. Sea $\bar{v}_{0}=(x_{0},y_{0})\in V$ entonces $y_{0}>x^{2}{0}$. Definimos $r=y_{0}+x^{2}{0}>0$ y ahora consideramos $B(\bar{v},r)=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=\epsilon^{2}$

vamos probar que $B(\bar{v},r)\subset V$.
Sea $\bar{v}_{1}=(x,y)\in B(\bar{v},r)$ cada punto en $B(\bar{v},r)$ cumple $$|x-x_{0}|<\epsilon~~~|y-y_{0}|<\epsilon$$ y usando la identidad algebraica $$x_{0}^{2}=x^{2}-2(x-x_{0})x_{0}-(x-x_{0})^{2}$$
tenemos que
$$y>y_{0}-\epsilon=x_{0}^{2}+y_{0}-x_{0}^{2}-\epsilon=x^{2}-2(x-x_{0})x_{0}-(x-x_{0})^{2}+y_{0}-x_{0}^{2}-\epsilon>x^{2}-2\epsilon x_{0}-\epsilon^{2}+y_{0}-x_{0}^{2}-\epsilon$$
Por lo tanto
$$y>x^{2}-2\epsilon x_{0}-\epsilon^{2}+y_{0}-x_{0}^{2}-\epsilon>x^{2}se~cumple~para~\epsilon=\min\left\{1,\frac{y-x_{0}^{2}}{2|x_{0}|+2}\right\}$$
de esta manera $y>x^{2}$ y en consecuencia $\bar{v}_{1}\in V$ por lo que V es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$


Ejemplo. Sea $V=\{x\in\mathbb{R}~|~f(x)>0\}$. Demuestre que V es un conjunto abierto

Solución. Sea $y\in V$ entonces $f(y)>0$. Definimos $\epsilon=f(y)$ y como f es continua
$$si~~0<|x-y|<\delta~\Rightarrow~|f(x)-f(y)|<\epsilon=f(y)~\Rightarrow~-f(y)<f(x)-f(y)<f(y)~\Rightarrow~0<f(x)$$
por lo tanto
$$\forall~x\in B(x,\delta)~se~tiene~f(x)>0$$de esta manera $B(y,\delta)\subset V$ por lo que V es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$

Ejemplo. Sea $V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~a<x<b~,~c<y<d\}$. Demuestre que V es un conjunto abierto.

Solución. Sea $X=(x_{1},y_{1})\in V$ entonces $a<x_{1}<b$ y $c<y_{1}<d$. Definimos $\epsilon=\min\{x_{1}-a,b-x_{1},y_{1}-c,d-y_{1}\}$ por tanto si $(x,y)\in B(X,\epsilon)$

debe ocurrir
$$a<x_{1}-\epsilon<x<x_{1}+\epsilon<b~~y~~c<y_{1}-\epsilon<y<y_{1}+\epsilon<d$$
por lo tanto
$$(x,y)\in V~\therefore~B(X,\epsilon)\subset V$$y en consecuencia V es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$


Más adelante

Una vez clasificados los puntos de $\mathbb{R}{n}$ veremos en la siguiente entrada una caracterización topológica de conjuntos de $\mathbb{R}{n}$ con sus respectivas propiedades.

Tarea Moral

1.- Prueba que si $ \overline{x} = (x_1,…,x_n) \in \mathbb{R} ^{n}$, entonces $|x_i| \leq \left\| \overline{x} \right\|$, $|x_i| \leq \left\| \overline{x} \right\| _{1}$ y $|x_i| \leq \left\| \overline{x} \right\| _{\infty}$.

2.-Demuestra que dados $a_1,…,a_n, b_1,…, b_n \in\mathbb{R}$ tales que $a_i \leq b_i$ para $i=1,..,n$, el rectángulo $[a_1,b_1] \times \cdot \cdot \cdot, [a_n,b_n]$ es un conjunto cerrado.

3.- Demuestra que $(a_1,b_1) \times \cdot \cdot \cdot, (a_n,b_n)$ es un conjunto abierto.

4.- Si $A= ([0,1] \times [0,1]) \cap (\mathbb{Q} \times \mathbb{Q})= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | x,y \in \mathbb{Q} y 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 \}$

5.- Para el conjunto $A=\{(m,0) \in \mathbb{R}^2 | m \in \mathbb{Z} \}$ indica quien es:

a) int(A)

b) Fr(A)

c) ext(A)

d) ¿A es abierto o cerrado?










El Espacio Métrico $\mathbb{R}^{n}$

Por Ruben Hurtado

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Introducción

El concepto de $\| \: \|$ (norma) nos da una noción de medida de un vector, la cual, generaliza la idea geométrica de distancia en la geometría euclidiana. También ayudará a tener una noción de distancia entre dos vectores en $\mathbb{R}$ o más generalmente en $\mathbb{R}^n$, es lo que nos permite hablar de limite o de convergencia.
Consideremos la noción común de distancia entre dos puntos en $\mathbb{R}^3$.
Si $\bar{x}=(x_1,x_2,x_3),~~~\bar{y}=(y_1,y_2,y_3)$
$$\|\bar{x}-\bar{y}\|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}$$
Esta distancia la denominamos métrica euclidiana y la generalizamos
en $\mathbb{R}^n$ en la siguiente definición.
Definición. Sean $\bar{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ y $\bar{y}=(y_1,\ldots,y_n)$ elementos cualesquiera de $\mathbb{R}^n$ definimos la distancia euclidiana entre ellos como $$d(\bar{x},\bar{y})=\|\bar{x}-\bar{y}\|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\ldots+(x_n-y_n)^2}$$
La función $d:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow\mathbb{R}$ se denomina distancia o métrica euclidiana.

Proposición. Para cualesquiera vectores $\bar{x},\,\bar{y},\,\bar{z}\,\in\,\mathbb{R}^n$ se tiene:
(a) $d(\bar{x},\bar{y})\geq 0$
(b) $d(\bar{x},\bar{y})=d(\bar{y},\bar{x})$
(c) $d(\bar{x},\bar{y})\leq d(\bar{x},\bar{z})+d(\bar{z},\bar{y})$
(d) $d(\bar{x},\bar{y})=0~~ \Rightarrow ~~ \bar{x}=\bar{y}$
Demostración.
(a) Como $d(x,y)=\|\bar{x}-\bar{y}\|\geq
0$ entonces $d(\bar{x},\bar{y})\geq 0$
tambien si $d(x,y)=0 \quad \Rightarrow \quad \|\bar{x}-\bar{y}\|=0 \quad \Rightarrow \quad \bar{x}=\bar{y}$
(b) $d(\bar{x},\bar{y})=\|\bar{x}-\bar{y}\|=\|\bar{y}-\bar{x}\|=d(\bar{y},\bar{x})$
(c) $d(\bar{x},\bar{y})=\|\bar{x}-\bar{y}\|=
\|\bar{x}-\bar{z}+\bar{z}-\bar{y}\|\leq \|\bar{x}-\bar{z}\|+\|\bar{z}-\bar{y}\| =
d(\bar{x},\bar{z})+d(\bar{z},\bar{y}).~~\blacksquare$
Proposición. La función $$d_{1}(x,y)=|x_{1}-y_{1}|+\cdots+|x_{n}-y_{n}|$$ donde $\bar{x}=(x_{1},\cdots,x_{n})$ y $\bar{y}=(y_{1},\cdots,y_{n})$ $\in \mathbb{R}^{n}$, es una métrica para el espacio euclideano $\mathbb{R}^{n}$.
Demostración. Las propiedades (a), (b) son inmediatas y para la propiedad (c) tenemos
$$|x_{i}-y_{i}|\leq|x_{i}|+|y_{i}|~~~\forall~i=1,…,n$$
sumando ambos lados de estas desigualdades para $i=1,…,n$ obtenemos
\begin{align*}d_{1}(x,z)&=\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-z_{i}|\\&=\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}+y_{i}-z_{i}|\\&\leq\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|+|y_{i}-z_{i}|\\&=\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|+\sum_{i=1}^{n}|y_{i}-z_{i}|\\&= d_{1}(x,y)+d_{1}(y,z)\end{align*}
y en consecuencia $d_{1}$ es una métrica.$~~ \blacksquare$
Ejemplo. En $\mathbb{R}^{n}$ son métricas
\begin{align*}d_{p}(\bar{x},\bar{y})&=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}},~~~(p\geq 1)\\d_{\infty}(\bar{x},\bar{y})&=\max_{1\leq i\leq n}~|x_{i}-y_{i}|.~~ \blacksquare \end{align*}

Más adelante

En la siguiente entrada estudiaremos como las nociones topológicas heredadas en $\mathbb{R}^n$ nos ayudan a entender las características de proximidad y continuidad.

Tarea moral

1.- Sea $(V, \left\| \cdot \right\|)$ un espacio normado, Prueba que la función $d(v,w)= \left\| v-w \right\|$ es una métrica en $V$.

2.- Describe los conjuntos $\overline{B}= { x\in \mathbb{R}^2 : \left\| x \right\|_p \leq 1 } $ para $p=1,2, \infty $. Haz un dibujo de cada uno de ellos.

3.- Sea $V$ un espacio vectorial distinto de ${0}$. Prueba que no existe ninguna norma en $V$ que induzca la métrica discreta, es decir, no existe ninguna norma en $V$ tal que $\left\| v-w\right\| =\begin{cases}o,siv=w\\ 1 si, v\neq w\end{cases}$

4.- Prueba que si $x_1,…, x_n \in \mathbb{R}^n$ entonces $\left\| x_1 + … + x_n \right\| \leq \left\| x_1 \right\| + … + \left\| x_n \right\|$

5.- Sean $\overline{x}, \overline{y}\in \mathbb{R}^{n}$. Prueba que:

$\left\| \overline{x}+\overline{y}\right\|=\left\|x\right\|+\left\|y\right\|$ si y sólo si existe $\lambda \in \mathbb{R}$ con $\lambda > 0$, tal que $\overline{x}=\lambda \overline{y}$.

Nota 34. Multiplicación de matrices, identidad, inversas y transpuesta.

Por Julio César Soria Ramírez

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta entrada definiremos el producto de matrices que se realiza para dos matrices $A$ y $B$ tales que el número de columnas de $A$ es igual al número de filas de $B$. Veremos que la forma de multiplicar matrices es más elaborada que la suma de matrices, pero esto se debe a que el producto así definido resulta muy útil para trabajar con matrices, en particular para representar sistemas de ecuaciones de forma matricial. Veremos qué ocurre al analizar el concepto de neutro multiplicativo y de inversos multiplicativos que conocemos para el conjunto de número reales, pero ahora en el caso de las matrices, tratando de adaptar las nociones conocidas a este nuevo contexto. Finalmente definiremos la transpuesta de una matriz $A$, que se obtiene intercambiando sus filas por columnas.

En la presente nota usaremos las propiedades del producto punto de elementos en $\mathbb R^n$ para las pruebas, puedes consultarlas en el siguiente enlace: Propiedades del producto punto.

Definición

Sean $n,m$ y $r$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R),\,\, B\in \mathscr M_{n\times r}(\mathbb R)$.

El producto de $A$ con $B$ es la matriz $AB\in \mathscr M_{m\times r}(\mathbb R)$ tal que:

$(AB)_{ij}=a_{i1}b_{1j}+\cdots+a_{in}b_{nj}.$

Notación:

$ren_i A=(a_{i1},\dotsc,a_{in})$

$col_j B=(b_{1j},\dotsc,b_{nj}).$

Con esta notación $(AB)_{ij}=ren_i A\cdot col_j B,$ es decir, la entrada $ij$ de $AB$ es el producto punto del renglón $i$ de $A$ con la columna $j$ de $B$.

Ejemplos

$1.$ $A=\begin{equation*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}$, $ B=\begin{equation*} \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\6 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}$.

$AB=\begin{equation*} \begin{pmatrix} (2)(4)+(-1)(5)+3(6)\\(0)(4)+(1)(5)+(4)(6) \\ \end{pmatrix} \end{equation*}=$ $\begin{equation*} \begin{pmatrix} 21 \\ 29 \\ \end{pmatrix} \end{equation*} $

$3.$ $A=\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 3\\ \end{pmatrix} \end{equation*}$, $ B=\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}$.

$AB=\begin{equation*}\begin{pmatrix} (1)(1)+(4)(2) & (1)(0)+(4)(3) \\ (1)(1)+(3)(2) & (1)(0)+(3)(3) \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 9 & 12 \\ 7 & 9 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}.$

Proposición

Sean $n,m,r$ y $s$ naturales positivos, $A, \overline{A} \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$, $B, \overline{B} \in \mathscr M_{n\times r}(\mathbb R)$, $C \in \mathscr M_{r\times s}(\mathbb R)$ y $\lambda \in \mathbb R.$

$a)$ $A(BC)=(AB)C.$

$b)$ $(A+\overline{A})B=AB+\overline{A}B.$

$c)$ $A(B+\overline{B})=AB+A\overline{B}.$

$d)$ $\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B).$

Demostración

Se harán las demostraciones de $b)$ y $d)$, las dos restantes quedan de tarea moral.

Sean $n,m,r$ y $s$ naturales positivos, $A, \overline{A} \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$, $B, \overline{B} \in \mathscr M_{n\times r}(\mathbb R)$, $C \in \mathscr M_{r\times s}(\mathbb R)$ y $\lambda \in \mathbb R.$

Demostración de $b)$

Por demostrar que $(A+\overline{A})B=AB+\overline{A}B.$

Observa que tanto $(A+\overline{A})B$ como $AB+\overline{A}B$ pertenecen a $\mathscr M_{m\times r}(\mathbb R).$

Sean $i\in \set{1,\dotsc,m}, j\in \set{1,\dotsc,r}.$

ExpresiónExplicación
$((A+\overline{A})B)_{ij}=$Partimos de un elemento arbitrario $ij$
de la matriz $(A+\overline{A})B.$
$=ren_i (A+\overline{A})\cdot col_j B$Por definición de producto de matrices.
$=(ren_i A+ren_i \overline{A})\cdot col_j B$Por definición de suma de matrices.
$=ren_i A\cdot col_j B+ren_i \overline{A}\cdot col_j B$Por las propiedades del producto punto.
$=(AB)_{ij}+(\overline{A} B)_{ij}$Por definición de producto de matrices.
$=(AB+\overline{A} B)_{ij}$Por definición de suma de matrices.

Así, $((A+\overline{A})B)_{ij}=(AB+\overline{A}B)_{ij}$.

Concluimos que $(A+\overline{A})B$ y $AB+\overline{A}B$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $(A+\overline{A})B=AB+\overline{A}B.$

Demostración de $b)$

Por demostrar que $\lambda (AB)=A(\lambda B).$

Tanto $\lambda (AB)$ como $A(\lambda B)$ pertenecen a $\mathscr M_{m\times r}(\mathbb R)$.

Sean $i\in \set{1,\dotsc,m}, j\in \set{1,\dotsc,r}.$

ExpresiónExplicación
$(\lambda (AB))_{ij}=$Partimos de un elemento arbitrario $ij$
de la matriz $\lambda (AB)$
$=\lambda (AB)_{ij}$Por la definición de producto por escalar.
$=\lambda (ren_i A\cdot col_j B)$Por la definición de producto de matrices.
$=ren_i A\cdot (\lambda col_j B)$Por las propiedades del producto punto.
$=ren_i A\cdot col_j (\lambda B)$Por la definición de producto por escalar.
$=(A(\lambda B))_{ij}$Por la definición de producto de matrices.

Así, $(\lambda (AB))_{ij}=(A(\lambda B))_{ij}$.

Concluimos que $\lambda (AB)$ y $A(\lambda B)$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $\lambda (AB)=A(\lambda B)$.

Definición

Sea $n$ un natural positivo. La matriz identidad de tamaño $n\times n$ es:

$I_n=\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}$

es decir, la matriz $n\times n$ con unos en la diagonal y ceros fuera de la diagonal.

Proposición.

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$

$1.$ $A\,I_n=A.$

$2.$ $I_mA=A.$

La demostración se deja como tarea moral.

Definición

Sean $n$ un natural positivo, $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$. Decimos que $A$ es una matriz invertible si existe $B\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ tal que:

$AB=BA=I_n.$

En este caso decimos que $B$ es una inversa de $A.$

Observación

Si $A$ es invertible su inversa es única.

Demostración

Sean $n$ un natural positivo, $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ invertible, $B,\,C\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ inversas de $A$. Entonces $AB=BA=I_n=AC=CA$. Así, tenemos que $AB=AC$, y multiplicando por la izquierda por $B$ a ambos lados de la igualdad tenemos que $B(AB)=B(AC)$. En virtud de la asociatividad de la multiplicación de matrices obtenemos que $(BA)B=(BA)C$, y como $BA=I_n$ se tiene que $I_nB=I_nC$. Así, $B=C$ y por lo tanto la inversa es única.

Notación: Si $A$ es invertible denotaremos por $A^{-1}$ a la matriz inversa de $A$.

Definición

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. La transpuesta de $A$ es la matriz $A^t\in \mathscr M_{n\times m}(\mathbb R)$ tal que:

$(A^t)_{ij}=A_{ji}$

Ejemplos

$1.$ $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & \pi &\frac{1}{4} \\ 0 & 2 & -1 & 8\\ \end{array}\right) \end{equation*}$, $ A^t =\begin{equation*} \left(\begin{array}{cr} 1 &0 \\ 3 &2 \\ \pi & -1 \\ \frac{1}{4} & 8 \\ \end{array}\right)\end{equation*}$.

$2.$ $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{r} 0.7 \\ -1\\ 10 \\ \end{array}\right) \end{equation*}$, $ A^t =\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0.7 &-1 & 10 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}$.

$3.$ $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 2 & -3 \\ 3 &1 \\ \end{array}\right) \end{equation*}$, $ A^t =\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 2 &3 \\ -3 &1 \\ \end{array}\right) \end{equation*}.$

Proposición

Sean $n,m$ y $r$ naturales positivos, $A, B\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$, $C\in \mathscr M_{n\times r}(\mathbb R)$ y $\lambda \in \mathbb R$.

$a)$ $(A^t)^t=A.$

$b)$ $ (A+B)^t=A^t+B^t.$

$c)$ $(\lambda A)^t=\lambda(A^t).$

$d)$ $(AC)^t=C^tA^t.$

Demostración

Se hará la demostración de $a)$, $b)$ y $d)$, el inciso $c)$ queda como tarea moral.

Sean $n,m$ y $r$ naturales positivos, $A, B\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$, $C\in \mathscr M_{n\times r}(\mathbb R)$ y $\lambda \in \mathbb R$.

Demostración de $a)$

Observemos que $(A^t)^t,\,A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$.

Sean $i\in \set{1,\dotsc,m}, j\in \set{1,\dotsc,n}.$

ExpresiónExplicación
$((A^t)^t)_{ij}=$Partimos de un elemento arbitrario $ij$
de la matriz $(A^t)^t.$
$=(A^t)_{ji}$Por la definición de transpuesta.
$=A_{ij}$Por la definición de transpuesta.

Así, $((A^t)^t)_{ij}=A_{ij}$.

Concluimos que $(A^t)^t$ y $A$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $(A^t)^t=A.$

Demostración de $b)$

Observemos que $(A+B)^t,\,A^t+B^t \in \mathscr M_{n\times m}(\mathbb R)$.

Sean $i\in \set{1,\dotsc,n}, j\in \set{1,\dotsc,m}.$

ExpresiónExplicación
$((A+B)^t))_{ij}=$Partimos de un elemento arbitrario $ij$
de la matriz $(A+B)^t.$
$=(A+B)_{ji}$Por la definición de transpuesta.
$=A_{ji}+B_{ji}$Por la definición de la suma de matrices.
$=(A^t)_{ij}+(B^t)_{ij}$Por la definición de transpuesta.
$=(A^t+B^t)_{ij}$Por la definición de la suma de matrices.

Así, $((A+B)^t)_{ij}=(A^t+B^t)_{ij}$.

Concluimos que $(A+B)^t$ y $A^t+B^t$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $(A+B)^t=A^t+B^t.$

Demostración de $d).$

Notemos que $(AC)^t,\,C^tA^t \in \mathscr M_{r\times m}(\mathbb R).$

Sean $i\in \set{1,\dotsc,r}, j\in \set{1,\dotsc,m}.$

ExpresiónExplicación
$((AC)^t)_{ij}=$Partimos de un elemento arbitrario $ij$
de la matriz $(AC)^t).$
$=(AC)_{ji}$Por la definición de transpuesta.
$=ren_j A\cdot col_i C$Por la definición del producto de matrices.
$=col_j A^t\cdot ren_j C^t$Por la definición de transpuesta.
$=ren_i C^t\cdot col_jA^t$Por la conmutatividad del producto punto.
$=(C^tA^t)_{ij}$Por la definición del producto de matrices.

Así, $((AC)^t)_{ij}=(C^tA^t)_{ij}$.

Concluimos que $(AC)^t$ y $C^tA^t$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $(AC)^t=C^tA^t.$

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Considera las siguientes matrices:

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 3 & 0 \\ -1 & 2\\ 1 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$, $B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 4 & -1 \\ 0 & 2 \end{array}\right) \end{equation*}$, $C=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & 5 \end{array}\right) \end{equation*}$, $D=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrR} 1 & 5 & 2 \\ -1 & 0 & 1\\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right) \end{equation*}$, $E=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 6 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 2\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right) \end{equation*}.$

Calcula, si es posible: $DA-A$, $-7E$, $A(BC)$, $(4B)C+2B.$

$2.$ Una matriz cuadrada $A$ es diagonal si todos los elementos que están fuera de la diagonal principal son cero ($A_{ij}=0$ si $i\neq j$). ¿Qué ocurre al multiplicar dos matrices diagonales?

$3.$ Sean $n$ un natural positivo, $A \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$. Dado $t$ un natural positivo definimos $A^t$ como el producto de $A$ consigo misma $t$ veces. Demuestra o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:

$i)$ $(AB)^2=A^2B^2$

$ii)$ $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$

$4.$ La traza de una matriz cuadrada $A$ es la suma de los elementos de su diagonal y se denota por $tr(A)$. Calcula la traza de las matrices cuadradas del ejercicio $1.$

$5.$ Sean $n$ un natural positivo, $A,B \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ invertibles. ¿Puedes construir una matriz inversa para $AB$ usando $A^{-1}$ y $B^{-1}$?.

$6.$ Sea $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array}\right) \end{equation*}\in\mathscr M_{2\times 2}(\mathbb R)$. Demuestra que si $ad-bc\neq 0$, entonces $A=\frac{1}{ad-bc}\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} d & -b \\- c & a \end{array}\right) \end{equation*}$ es la matriz inversa de $A$.

Más adelante

En la siguiente nota veremos las operaciones elementales por renglones para matrices, definiremos una equivalencia por renglones en las matrices y notaremos que las operaciones elementales por matrices pueden expresarse como multiplicaciones por matrices adecuadas.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 33. Matrices.

Enlace a la nota siguiente. Nota 35. Operaciones elementales, matrices equivalentes y matrices elementales.

Nota 35. Operaciones elementales, matrices equivalentes y matrices elementales.

Por Julio César Soria Ramírez

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta entrada estudiaremos la operaciones elementales por renglones, que son transformaciones que se pueden aplicar a las filas de una matriz con el objetivo de simplificarla, lo que ayuda por ejemplo a resolver sistemas de ecuaciones lineales. Estas operaciones incluyen intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un número distinto de cero y sumar un múltiplo de una fila a otra fila.

Usando las operaciones elementales por renglones estableceremos una relación de equivalencia entre matrices del mismo tamaño. Las matrices equivalentes tienen propiedades algebraicas y geométricas similares. Veremos también cómo codificar la aplicación de las operaciones elementales mediante productos adecuados de matrices, para lo cual definiremos las matrices elementales. que se obtienen de una matriz identidad aplicando una sola operación elemental.

Operaciones elementales de renglones

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R),$ $\lambda \in\mathbb{R}$ con $\lambda\neq 0$, $r,s\in\{1,\dots , m\}$. Las operaciones elementales por renglones que podemos realizar en $A$ son de tres tipos:

$1.$ Intercambiar dos renglones $r$ y $s$.

$2.$ Multiplicar el renglón $r$ por el escalar $\lambda \in \mathbb R,\,\,\lambda\neq 0.$

$3.$ Sumar al renglón $r$, $\lambda$ veces el renglón $s$, con $\lambda \in \mathbb R.$

Notación

Denotaremos por $e$ a la operación elemental y por $e(A)$ a la matriz que se obtiene de $A$ al aplicar la operación $e$.

Observación

Cada operación elemental tiene una operación elemental inversa del mismo tipo.

Ejemplos

$1.$ Considera la matriz:

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right) \end{equation*}$.

Sea $e$ la operación elemental de sumar al primer renglón $3$ veces el segundo.

$e(A)= \begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 13 & 17 & 21\\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right) \end{equation*}.$

$2.$ Considera la matriz:

$B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} -1 & 0\\ 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} \right) \end{equation*}$.

Sea $e$ la operación elemental que intercambia los renglones $1$ y $3.$

$e(B)=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 3 & 5\\ 2 & 4 \\ -1 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}$.

$3.$ Considera la matriz:

$C=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 3 & -6 & 12 & 9\\ 1 & 3 & -2 & 4 \end{array} \right) \end{equation*}$.

Sea $e$ la operación elemental que multiplica al primer renglón por $\frac{1}{3}.$

$e(C)=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 4 & 3\\ 1 & 3 & -2 & 4 \end{array} \right) \end{equation*}$.

Definición

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A,B\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Decimos que $B$ es equivalente por renglones a $A$ si $B$ se obtiene de $A$ mediante una sucesión finita de operaciones elementales.

Notación

$A\sim B$ denota que $B$ es equivalente a $A.$

Para ser más precisos, si $B$ se obtiene de $A$ intercambiando los renglones $r$ y $s$, lo denotaremos por ${\Large{A}} \begin{array}{c} \phantom{nnn}\\ \sim\\ \small{R_r\leftrightarrow R_s} \end{array} \Large{B},$ si $B$ se obtiene de $A$ multiplicando el renglón $r$ por el escalar $\lambda$, lo denotaremos por ${\Large{A}} \begin{array}{c} \phantom{nnn}\\ \sim\\ \small{\lambda R_r} \end{array} \Large{B},$ y si $B$ se obtiene de $A$ sumando al renglón $r$, $\lambda$ veces el renglón $s$, lo denotaremos por ${\Large{A}} \begin{array}{c} \phantom{nnn}\\ \sim\\ \small{R_r\rightarrow R_r+\lambda R_s} \end{array} \Large{B}$.

Definición

Sean $n$ un natural positivo, $E\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$. Decimos que $E$ es una matriz elemental si se obtiene de la matriz identidad $I_n$ aplicando una sola operación elemental.

Ejemplos

$1.$ Las siguientes matrices son equivalentes

$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \phantom{nnn}\\ \sim\\ \small{R_1\leftrightarrow R_2} \end{array} \left(\begin{array}{rr} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}$.

La matriz $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}$ es una matriz elemental, pues se obtiene de la identidad aplicando una sola operación elemental.

Considera la matriz $\begin{equation*} A=\left(\begin{array}{rr} a & b\\ c & d \end{array} \right) \end{equation*}$.

Si intercambiamos sus renglones obtenemos la matriz equivalente $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} c & d\\ a & b \end{array} \right) \end{equation*}$.

Observa que ésta se obtiene multiplicando la matriz elemental $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}$ por la matriz $A$:

$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right) \left(\begin{array}{rr} a & b\\ c & d \end{array} \right) =\left(\begin{array}{rr} c & d\\ a & b \end{array} \right) \end{equation*}$.

$2.$ Las siguientes matrices son equivalentes

$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \phantom{nnn}\\ \sim\\ \small{5 R_2} \end{array} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 5 \end{array} \right) \end{equation*}$.

La matriz $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 5 \end{array} \right) \end{equation*}$ es una matriz elemental, pues se obtiene de la identidad aplicando una sola operación elemental.

Considera la matriz $\begin{equation*} A= \left(\begin{array}{rr} a & b\\ c & d \end{array} \right) \end{equation*}$.

Si multiplicamos el segundo renglón por $5$ obtenemos la matriz equivalente $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} a & b\\ 5c & 5d \end{array} \right) \end{equation*}$.

Observa que ésta se obtiene multiplicando la matriz elemental $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 5 \end{array} \right) \end{equation*}$ por la matriz $A$:

$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 5 \end{array} \right) \left(\begin{array}{rr} a & b\\ c & d \end{array} \right) = \left(\begin{array}{rr} a & b\\ 5c & 5d \end{array} \right) \end{equation*}$.

$3.$ Las siguientes matrices son equivalentes

$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \phantom{nnn}\\ \sim\\ \small{R_2 \rightarrow R_2+(-2)R_1} \end{array} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ -2 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}$.

La matriz $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ -2 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}$ es una matriz elemental, pues se obtiene de la identidad aplicando una sola operación elemental.

Considera la matriz $\begin{equation*} A= \left(\begin{array}{rr} a & b\\ c & d \end{array} \right) .\end{equation*}$

Si sumamos al segundo renglón $-2$ veces el primero obtenemos la matriz equivalente $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} a & b\\ -2a+c & -2b+d \end{array} \right) \end{equation*}$.

Observa que ésta se obtiene multiplicando la matriz elemental $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ -2 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}$ por la matriz $A$:

$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ -2 & 1 \end{array} \right) \left(\begin{array}{rr} a & b\\ c & d \end{array} \right) =\left(\begin{array}{rr} a & b\\ -2a+c & -2b+d \end{array} \right) \end{equation*}$.

Observación 1

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $e$ una operación elemental, consideremos la matriz elemental $e(I_m)$ que se obtiene de $I_m$ aplicando $e$. Entonces:

$e(I_m)A=e(A)$.

La demostración se deja al lector.

Observación 2

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A,B\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ tales que $A\sim B.$ Entonces existen $t$ un natural positivo y $E_1,\dotsc,E_t$ matrices elementales tales que:

$B=E_t\cdots E_2 E_1 A$.

Ejemplo

Matrices
equivalentes		Operación
elemental
$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 5\\ 2 & -1 & -7\\ -5 & 6 & 26 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$$e_1: R_2\rightarrow R_2+(-2)R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 5\\ 0 & -7 & -17\\ -5 & 6 & 26 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$$e_2: R_3\rightarrow R_3+5R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 5\\ 0 & -7 & -17\\ 0 & 21 & 51 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$$e_3: R_3\rightarrow R_3+3R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 5\\ 0 & -7 & -17\\ 0 & 0 & 0 \phantom{.}\end{array} \right) \end{equation*}\sim$$e_4: (-\frac{1}{7})R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 5\\ 0 & 1 & \frac{17}{7}\\ 0 & 0 & 0 \phantom{.}\end{array} \right) \end{equation*}\sim$$e_5: R_1\rightarrow R_1+(-3)R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -\frac{16}{7}\\ 0 & 1 & \frac{17}{7}\\ 0 & 0 & 0 \phantom{.}\end{array} \right) \end{equation*}=B$

Por la observación 2 tenemos que:

$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -\frac{16}{7}\\ 0 & 1 & \frac{17}{7}\\ 0 & 0 & 0\phantom{.} \end{array} \right) \end{equation*}=$ $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & -3 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}$ $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & -\frac{1}{7} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}$ $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}$ $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 5 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}$ $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}$ $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 5\\ 2 & -1 & -7\\ -5 & 6 & 26 \end{array} \right) \end{equation*}.$

De esta forma, si $E_t=e_t(I_3)$ para cada $t\in\{1,2,3,4,5\}$:

$B=E_5 E_4 E_3 E_2 E_1 A$.

Tarea Moral

$1.$ Para cada operación elemental describe cuál es su operación inversa, analiza si es una operación elemental y en su caso de qué tipo es.

$2.$ Escribe un ejemplo de una matriz elemental de tamaño $2\times 2$, una de tamaño $3\times 3$ y una de tamaño $4\times 4.$

$3.$ Sea $E$ una matriz elemental:

$i)$ ¿Es $E$ invertible?

$ii)$ En caso que lo sea ¿Cuál será su inversa?

$4.$ Sean $n$ un natural positivo, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $e$ una operación elemental de matrices. Demuestra que $e(I_m)A=e(A).$

$5.$ Sea $n$ un natural positivo, $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$. Si $A\sim I_n$:

$i)$ ¿Cómo queda expresada $A$ en términos de $I_n$ y de matrices elementales?

$ii)$ ¿Cómo queda expresada $I_n$ en términos de $A$ y de matrices elementales?

Más adelante

En la siguiente nota daremos la definición de una matriz escalonada reducida por renglones y veremos que cualquier matriz $A$ es equivalente a una de estas matrices escalonadas reducida por renglones.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 34. Multiplicación de matrices, identidad, inversas y transpuesta.

Enlace a la nota siguiente. Nota 36. Matriz escalonada reducida por renglones.