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Geometría Moderna II: Relaciones Armónicas

Por Armando Arzola Pérez

3.2 Relaciones Armónicas

Introducción

Uno de los aspectos importantes de esta unidad es la teoría de la división armónica, la cual se relaciona con la teoría de los polos y polares, para ello veremos unos teoremas respecto a las relaciones armónicas ejemplificando esto.

Teorema

Sean dos puntos conjugados $A$ y $B$ respecto a una circunferencia $C(O,r)$, donde $A$ está dentro y $B$ está fuera, entonces $A$ y $B$ son armónicos respecto a los puntos de intersección en donde la recta que une a $A$ y $B$ se determina con la circunferencia $C$.

Demostración

Dada una circunferencia $C(O,r)$ y dos puntos $A$ dentro de $C$ y $B$ fuera de $C$. La recta $AB$ corta a $C$ en dos puntos $P$ y $Q$, sea $a$ la polar de $A$ y $b$ la polar de $B$, por lo cual $b$ pasa por $A$ y $a$ pasa por $B$.

Ahora se tienen los inversos de $A$ y $B$ que son $A’$ y $B’$ correspondientemente, se tiene que $a$ es perpendicular a $OA’$ por $A’$ y $b$ es perpendicular a $OB’$ por $B’$, de esta forma el cuadrilátero $B’BA’A$ es cíclico y su circunferencia es perpendicular a $C(O,r)$, y se sigue que $AB$ es diámetro de $C(O,r)$. Por lo tanto, $A$ y $B$ son armónicos respecto a $P$ y $Q$. $_\blacksquare$

Relaciones Armónicas Teo1

Teorema

Sea $C(O,r)$ una circunferencia dada, dos líneas conjugadas se intersecan fuera de $C$, están separadas armónicamente por las tangentes de sus puntos de intersección.

Demostración

Sean $p$ y $q$ las dos rectas conjugadas, tal que $p$ corta a $C(O,r)$ y $q$ no corta a $C(O,r)$. El punto de intersección de $p$ y $q$ es $S$ fuera de $C(O,r)$.

Sea $P$ el punto de $p$ donde $P$ pertenece a $q$, la polar de $S$ es $s$ que pasa por $C$ donde $C$ es la intersección de $p$ y $s$, entonces la polar de $C$ pasa por $S$. También la polar de $P$ es $p$ que pasa por $C$ entonces la polar de $C$ pasa por $P$, entonces su polar es $q$ y también la polar de $C$ pasa por $D$, por lo cual la polar de $D$ pasa por $C$.

Por lo cual $C$ y $D$ son conjugados respecto a $C(O,r)$, entonces $C$ y $D$ son conjugados respecto a $A$ y $B$. Por lo tanto, $p$ y $q$ son armónicos respecto a $SA$ y $SB$. $_\blacksquare$

Relaciones Armónicas Teo2

Teorema

Sea $C(O,r)$ una circunferencia, $p$ una recta y sean $A,B,C,D$ cuatro puntos armonicos sobre la recta, $p$, si $a,b,c,d$ son las polares respecto a $C(O,r)$ de $A,B,C,D$ entonces $a,b,c,d$ son líneas armónicas, entonces el haz $P{a,b,c,d}$ es armónico.

Demostración

Se tienen $A,B,C,D$ puntos armónicos dados, con sus respectivas polares $a,b,c,d$ las cuales pasan por un punto $S$, el cual es el polo de la recta en la cual están los puntos. Ahora cada polar es perpendicular a la recta que une su polo con el centro de la circunferencia $C(O,r)$, y además el ángulo entre dos líneas cualesquiera del haz $O(ABCD)$ es igual al ángulo entre las rectas correspondientes del haz $a,b,c,d$. Por lo cual el haz $P{a,b,c,d}$ es armónico. $_\blacksquare$

Relaciones Armónicas Teo3

Más adelante…

Se abordará el tema de dualidad desde un punto de vista teórico, y también se analizará los triángulos autopolares.

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