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Variable Compleja I: Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones suficientes para la diferenciabilidad compleja.

Por Pedro Rivera Herrera

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Introducción

En las entradas anteriores hemos definido y trabajado con los conceptos de diferenciabilidad y analicidad de una función compleja, en particular hemos visto que dichos conceptos no son equivalentes, desde que la analicidad de una función compleja en un punto $z_0$ implica la diferenciabilidad de la función en todo un $\varepsilon$-vecindario de $z_0$.

Como hemos visto a lo largo de la unidad 2, toda función compleja está totalmente definida a través de un par de funciones reales de dos variables, a las cuales hemos llamado su parte real e imaginaria. Más aún, hemos caracterizado algunos conceptos matemáticos importantes como el de límite y continuidad a través de dichas funciones, por lo que resulta natural cuestionarnos acerca de si es posible caracterizar la diferenciabilidad de una función compleja mediante estás funciones reales.

La entrada anterior deducimos las ecuaciones de Cauchy-Riemann y vimos que para una función compleja $f(z)=u(x,y) + iv(x,y)$ analítica en un conjunto abierto $U\subset\mathbb{C}$ las funciones $u$ y $v$, correspondientes con su parte real e imaginaria, deben satisfacer dichas ecuaciones. Sin embargo, vimos que dichas ecuaciones son solamente una condición necesaria, pero no suficiente, que las funciones $u$ y $v$ deben satisfacer. En esta entrada veremos que además de las ecuaciones de C-R, es necesario imponer unas condiciones extras sobre las funciones $u$ y $v$ para garantizar que una función compleja es analítica.

Recordemos la definición de diferenciabilidad de una función real de dos variables, vista en nuestros cursos de Cálculo.

Definición 18.1. (Diferenciabilidad de funciones reales de dos variables.)
Sea $U\subset\mathbb{R}^2$ un conjunto abierto. Una función real de dos variables $u:U \to \mathbb{R}$, es diferenciable en $(x_0,y_0) \in U$ si existen $A,B\in\mathbb{R}$ constantes tales que: \begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} \frac{u(x,y) – u(x_0, y_0) – A(x-x_0) – B(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}} = 0, \end{equation*} en tal caso $A = \dfrac{\partial u}{\partial x}(x_0, y_0)$ y $B = \dfrac{\partial u}{\partial y}(x_0, y_0)$.

Observación 18.1.
De acuerdo con la definición 18.1, tenemos que una función real de dos variables $u$, definida sobre un abierto $U\subset \mathbb{R}^2$, es diferenciable en $(x_0,y_0)\in U$ si puede escribirse de la forma: \begin{equation*} u(x,y) = u(x_0,y_0) + A(x-x_0) + B(y-y_0) + \varepsilon(x,y)\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}, \end{equation*} donde $A = \dfrac{\partial u}{\partial x}(x_0, y_0)$ y $B = \dfrac{\partial u}{\partial y}(x_0, y_0)$ son constantes reales y $\lim\limits_{(x,y) \to (x_0,y_0)}\varepsilon(x,y) = 0$.

Consideremos el siguiente resultado.

Proposición 18.1.
Sean $U\subset\mathbb{C}$ un conjunto abierto y $f:U\to\mathbb{C}$ una función. Entonces, $f$ es analítica en $z_0\in U$ si y solo si $f$ se puede escribir de la forma: \begin{equation*} f(z) = f(z_0) + c(z-z_0) + \varepsilon(z)(z-z_0), \tag{18.2} \end{equation*} donde $c\in\mathbb{C}$ es una constante, $\varepsilon: U \to \mathbb{C}$ es continua en $z_0$ y $\lim\limits_{z \to z_0} \varepsilon(z) = 0$. En tal caso se tiene que $f'(z_0) = c$.

Demostración. Dadas las hipótesis, tenemos lo siguiente.

$\Rightarrow)$
Supongamos que $f'(z_0)$ existe, entonces definimos la función: \begin{equation*} \varepsilon(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{f(z)- f(z_0)}{z – z_0} – f'(z_0) & \text{si} & z\neq z_0, \\ 0 & \text{si} & z = z_0. \end{array} \right. \end{equation*} Es claro que dicha función satisface que $\lim_{z \to z_0} \varepsilon(z) = 0$ y además es una función continua en $z_0$.

$(\Leftarrow$
Supongamos que $f(z)$ se puede escribir como (18.2) con $c\in\mathbb{C}$ constante, entonces para $z\neq z_0$, tenemos que: \begin{equation*} \frac{f(z) – f(z_0)}{z – z_0} = c + \varepsilon(z), \end{equation*} por lo que, tomando límites en la igualdad anterior: \begin{equation*} \lim_{z\to z_0} \frac{f(z) – f(z_0)}{z – z_0} = \lim_{z\to z_0} \left(c + \varepsilon(z)\right) = c, \end{equation*} de donde $f'(z_0) = c$.

$\blacksquare$

La proposición anterior establece que la diferenciabilidad de una función compleja $f(z)$ en $z_0$ es equivalente a que dicha función se puede aproximar en $z_0$ por la función lineal $f(z_0) + c(z-z_0)$, con $c\in\mathbb{C}$ constante, en el sentido que cuando $z$ está cerca de $z_0$ la diferencia entre $f(z)$ y $f(z_0) + c(z-z_0)$ es pequeña comparada con $|\,z-z_0\,|$.

Procedemos ahora a responder nuestra pregunta sobre cuáles son las condiciones suficientes que se deben imponer sobre las funciones $u$ y $v$, correspondientes con la parte real e imaginaria de una función compleja, además de las ecuaciones de C-R, para garantizar la analicidad de una función compleja.

Teorema 18.1.
Una función compleja $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ es analítica en un conjunto abierto $U\subset\mathbb{C}$ si las cuatro derivadas parciales $u_x, v_x, u_y$ y $v_y$ existen y son continuas en todo punto de $U$ (es decir $u$ y $v$ son funciones de clase $C^1$) y satisfacen las ecuaciones de C-R en todo punto de $U$. En tal caso, para todo $z_0=x_0+iy_0\in U$ se tiene que: \begin{equation*} f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) + i \frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0) – i \frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0). \tag{18.3} \end{equation*}

Demostración. Dadas las hipótesis, tomemos a $z_0 = x_0 + iy_0 \in U$ fijo, entonces existe $r>0$ tal que $B(z_0, r) \subset U$. Sea $z \in B(z_0, r)$ y supongamos que $z \neq z_0$, entonces tenemos que el segmento de recta que une a $z_0$ con $z$, es decir $[z_0, z]$, está totalmente contenido en $B(z_0, r)$ (¿por qué?). Sin perdida de generalidad supongamos que $x>x_0$ y $y>y_0$ (los casos restantes son completamente análogos), figura 74, por lo que: \begin{equation*} u(x,y) – u(x_0, y_0) = u(x,y) – u(x_0, y) + u(x_0, y) – u(x_0, y_0). \end{equation*}

Figura 74: Segmento de recta $[z_0, z]$ contenido en el disco abierto con centro en $z_0$ y radio $r>0$. Caso $x>x_0$ y $y>y_0$.

Definimos $h = x – x_0 > 0$ y $k = y – y_0 > 0$. Sean $g_1 : [0,h] \to \mathbb{R}$ y $g_2 : [0,k] \to \mathbb{R}$ dadas por: \begin{equation*} g_1(t) = u(x_0 + t,y) \quad \text{y} \quad g_2(t) = u(x_0,y_0 + t). \end{equation*}

Tenemos que: \begin{align*} g_1′(t) & = \lim_{h\to 0} \frac{g_1(t+h)-g_1(t)}{h}\\ & = \lim_{h\to 0} \frac{u(x_0 + t + h,y)-u(x_0 + t,y)}{h}\\ & = \frac{\partial u}{\partial x}(x_0 + t,y), \end{align*} \begin{align*} g_2′(t) & = \lim_{k\to 0} \frac{g_2(t+k)-g_2(t)}{k}\\ & = \lim_{k\to 0} \frac{u(x_0,y_0 + t + k)-u(x_0,y_0 + t)}{k}\\ & = \frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0+t). \end{align*}

Como $u_x$ y $u_y$ existen en $U$, entonces para $y$ fijo tenemos que $g_1$ es una función diferenciable en $[0,h]$ y para $x_0$ fijo tenemos que $g_2$ también es una función diferenciable en $[0,k]$, por lo que $g_1$ y $g_2$ son funciones continuas en $[0,h]$ y $[0,k]$ respectivamente.

Por el teorema del valor medio para funciones reales, tenemos que existen $c_1\in(0,h)$ y $c_2\in(0,k)$ tales que: \begin{align*} g_1(h) – g_1(0) = g_1′(c_1) (h – 0),\\ g_2(h) – g_2(0) = g_2′(c_2) (k – 0), \end{align*} o equivalentemente que existen $\alpha_1, \beta_1 \in (0,1)$, tales que: \begin{align*} g_1(h) – g_1(0) = h \, g_1′(h\alpha_1),\\ g_2(h) – g_2(0) = k \, g_2′(k\beta_1), \end{align*} es decir: \begin{align*} u(x, y) – u(x_0, y) & = u(x_0 + h, y_0 + k) – u(x_0, y_0 + k)\\ & = h \, u_x(x_0 +\alpha_1 h, y_0 + k), \end{align*} \begin{align*} u(x_0, y) – u(x_0, y_0) & = u(x_0, y_0 + k) – u(x_0, y_0)\\ & = k \, u_y(x_0, y_0 + \beta_1 k). \end{align*} Por lo que: \begin{equation*} u(x,y) – u(x_0, y_0) = h \, u_x(x_0 +\alpha_1 h, y_0 + k) + k \, u_y(x_0, y_0 + \beta_1 k). \end{equation*}

De manera análoga concluimos que existen $\alpha_2, \beta_2 \in (0,1)$ tales que: \begin{align*} v(x_0 + h, y_0 + k) – v(x_0, y_0 + k) = h \, v_x(x_0 +\alpha_2 h, y_0 + k),\\ v(x_0, y_0 + k) – v(x_0, y_0) = k \, v_y(x_0, y_0 + \beta_2 k), \end{align*} donde $h = x – x_0 > 0$ y $k = y – y_0 > 0$.

Por lo que: \begin{equation*} v(x,y) – v(x_0, y_0) = h \, v_x(x_0 +\alpha_2 h, y_0 + k) + k \, v_y(x_0, y_0 + \beta_2 k). \end{equation*} Entonces, para $z\neq z_0$ tenemos que: \begin{align*} \frac{f(z) – f(z_0)}{z-z_0} & = \frac{u(x,y) + iv(x,y) – \left[ u(x_0,y_0) + iv(x_0,y_0)\right]}{(x – x_0) + i (y-y_0)}\\ & = \frac{u(x,y) – u(x_0,y_0)}{h + i k} + i \left[ \frac{v(x,y) – v(x_0,y_0)}{h + i k}\right]\\ & = \frac{h \, u_x(x_0 +\alpha_1 h, y_0 + k) + k \, u_y(x_0, y_0 + \beta_1 k)}{h + i k}\\ & \quad + i \left[ \frac{h \, v_x(x_0 +\alpha_2 h, y_0 + k) + k \, v_y(x_0, y_0 + \beta_2 k)}{h + i k}\right]\\ & = \frac{h}{h+ik}\left[u_x(x_0 +\alpha_1 h, y_0 + k) + i v_x(x_0 +\alpha_2 h, y_0 + k)\right]\\ & \quad + \frac{k}{h+ik} \left[u_y(x_0, y_0 + \beta_1 k) + i v_y(x_0, y_0 + \beta_2 k)\right], \end{align*} donde $h = x – x_0 > 0$, $k = y – y_0 > 0$ y $\alpha_i, \beta_i \in (0,1)$ para $i=1,2$. Además la igualdad anterior se cumple aún si $x = x_0$ o $y = y_0$.

Dado que $u_x, u_y, v_x$ y $v_y$ son continuas en $U$, entonces tenemos que: \begin{align*} \lim_{(h,k) \to (0,0)} u_x(x_0 +\alpha_1 h, y_0 + k) = u_x(x_0, y_0),\\ \lim_{(h,k) \to (0,0)} v_x(x_0 +\alpha_2 h, y_0 + k) = v_x(x_0, y_0),\\ \lim_{(h,k) \to (0,0)} u_y(x_0, y_0 + \beta_1 k) = u_y(x_0, y_0),\\ \lim_{(h,k) \to (0,0)} v_y(x_0, y_0 + \beta_2 k) = v_y(x_0, y_0). \end{align*} Por lo que: \begin{align*} \frac{f(z) – f(z_0)}{z-z_0} & = \frac{h}{h+ik}\left[u_x(x_0, y_0) + i v_x(x_0, y_0) + \varepsilon_1 \right]\\ & \quad + \frac{k}{h+ik} \left[u_y(x_0, y_0) + i v_y(x_0, y_0) + \varepsilon_2 \right], \end{align*} donde $\varepsilon_1, \varepsilon_2 \to 0$ si $(h,k) \to (0,0)$ o equivalentemente si $z \to z_0$.

Como se cumplen las ecuaciones de C-R, tenemos que: \begin{align*} u_x(x_0, y_0) = A = v_y(x_0, y_0),\\ u_y(x_0, y_0) = B = – v_x(x_0, y_0), \end{align*} para algunos $A$ y $B$ números reales.

Entonces: \begin{align*} \frac{f(z) – f(z_0)}{z-z_0} & = \frac{h}{h+ik}\left(A – i B\right) + \frac{k}{h+ik} \left(B + i A\right) + \frac{h \varepsilon_1 + k \varepsilon_2}{h+ik}\\ & = \frac{A\left(h + i k\right)}{h+ik} -i \frac{B\left(h + ik\right)}{h+ik} + \frac{h \varepsilon_1 + k \varepsilon_2}{h+ik}\\ & = A -iB + \frac{h \varepsilon_1 + k \varepsilon_2}{h+ik}\\ & = u_x(x_0, y_0) +iv_x(x_0,y_0) + \frac{h \varepsilon_1 + k \varepsilon_2}{h+ik}, \end{align*} donde $\varepsilon_1, \varepsilon_2 \to 0$ si $z \to z_0$.

Dado que para todo $z\in\mathbb{C}$ se cumple que $|\,\operatorname{Re}(z)\,| \leq |\,z\,|$ e $|\,\operatorname{Im}(z)\,| \leq |\,z\,|$, entonces: \begin{align*} 0<|\,h\,| \leq |\,h+ik\,| \quad \Longrightarrow \frac{|\,h\,|}{|\,h+ik\,|} \leq 1,\\ 0<|\,k\,| \leq |\,h+ik\,| \quad \Longrightarrow \frac{|\,k\,|}{|\,h+ik\,|} \leq 1. \end{align*} Por lo que: \begin{align*} \left| \, \frac{h \varepsilon_1 + k \varepsilon_2}{h+ik} \, \right| & \leq \left|\, \frac{h \varepsilon_1}{h+ik} \,\right| + \left|\, \frac{k \varepsilon_2}{h+ik} \,\right|\\ & = \frac{\left|\, h \,\right|}{\left|\, h+ik\,\right|} \left|\,\varepsilon_1 \,\right| + \frac{\left|\, k \,\right|}{\left|\,h+ik\,\right|} \left|\,\varepsilon_2 \,\right|\\ & \leq \left|\,\varepsilon_1 \,\right| + \left|\,\varepsilon_2 \,\right|, \end{align*} tomando límites en la desigualdad anterior concluimos que: \begin{equation*} \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{h \varepsilon_1 + k \varepsilon_2}{h+ik} = \lim_{z \to z_0} \frac{(x-x_0) \varepsilon_1 + (y-y_0) \varepsilon_2}{(x-x_0)+i(y-y_0)} = 0. \end{equation*} Por tanto, tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) – f(z_0)}{z-z_0} & =\lim_{z \to z_0} \left( u_x(x_0, y_0) +iv_x(x_0,y_0) + \frac{(x-x_0) \varepsilon_1 + (y-y_0) \varepsilon_2}{(x-x_0)+i(y-y_0)} \right)\\ & =\lim_{z \to z_0} u_x(x_0, y_0) + \lim_{z \to z_0} iv_x(x_0,y_0) + \lim_{z \to z_0} \frac{(x-x_0) \varepsilon_1 + (y-y_0) \varepsilon_2}{(x-x_0)+i(y-y_0)}\\ & = u_x(x_0, y_0) +iv_x(x_0,y_0). \end{align*}

Entonces $f$ es analítica en $z_0 =x_0+iy_0 \in U$ y su derivada está dada por (18.3).

Dado que $z_0 = x_0 + iy_0\in U$ era arbitrario, entonces el resultado se cumple para todo punto en $U$.

$\blacksquare$

El resultado anterior es un primer recíproco parcial del teorema 17.1 de la entrada anterior, en el cual vimos que las ecuaciones de C-R son solo una condición necesaria, pero no suficiente, para la analicidad de una función compleja.

Observación 18.2.
Es importante recordar que los conceptos de diferenciabilidad y analicidad de una función no son intercambiables, por lo que puede suceder que una función sea diferenciable en un punto, pero no analítica en dicho punto. Considerando el resultado anterior podemos determinar a través de las ecuaciones de C-R dónde una función sí puede ser al menos diferenciable.

Ejemplo 18.1.
Sea $z=x+iy \in \mathbb{C}$. Consideremos a la función $f(z)=x^2+y^2+2ixy$. Veamos que $f$ no es analítica en ningún punto, pero es diferenciable en todo el eje real. Más aún, veamos que en dicho conjunto de puntos se tiene que $f'(z) = 2x$.

Solución. Considerando a la función $f$ tenemos que: \begin{equation*} u(x,y) = x^2 + y^2 \quad \quad \text{y} \quad \quad v(x,y) = 2xy. \end{equation*} Claramente ambas funciones están definidas sobre todo $\mathbb{C}$, por lo que $f$ está definida en $\mathbb{C}$.

Tenemos que: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 2y,\\ \frac{\partial v}{\partial x} = 2y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2x. \end{align*} Es claro que las derivadas parciales existen y son continuas para todo $z = x+iy \in \mathbb{C}$.

Notemos que $u_x = v_y$, pero $u_y \neq -v_x$. Sin embargo: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial y} = – \frac{\partial v}{\partial x} \quad & \Longleftrightarrow \quad y = 0\\ & \Longleftrightarrow \quad z = \operatorname{Re}(z) = x. \end{align*}

Por lo que, por el teorema 18.1, concluimos que $f$ únicamente es diferenciable para todo $z$ en el eje real y su derivada en dicho conjunto de puntos es: \begin{equation*} f'(z) = f'(x) = \frac{\partial u}{\partial x}(x,0) + i \frac{\partial v}{\partial x}(x,0) = 2x. \end{equation*}

Dado que para todo $z_0=x_0+i0$ en el eje real y para todo $\delta>0$, existe $z_\delta=x_0 + i\frac{\delta}{2} \in B(z_0, \delta)$ un punto en donde $f$ no es diferenciable, entonces no existe un disco abierto alrededor de $z_0$ en el cual $f$ sea diferenciable y por tanto no es analítica en ningún punto sobre el eje real y en general en ningún punto en $\mathbb{C}$.

Ejemplo 18.2.
Sea $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $f(z)=x^2 – y^3 + i(x-y)$. Mostremos que $f$ no es analítica en $\mathbb{C}$ y determinemos el conjunto de puntos donde es diferenciable y hallemos su derivada en dicho conjunto.

Solución. De acuerdo con la definición de $f$ tenemos que: \begin{equation*} u(x,y) = x^2 – y^3 \quad \quad \text{y} \quad \quad v(x,y) = x-y. \end{equation*}

Tanto $u$ como $v$ son funciones reales diferenciables en todo punto en $\mathbb{R}^2$ y: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -3y^2,\\ \frac{\partial v}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -1, \end{align*} las cuales existen y son continuas para todo punto en $\mathbb{R}^2$.

Es claro que $u_x \neq v_y$ y $u_y \neq -v_x$. Procedemos a determinar en qué puntos de $\mathbb{C}$ se satisfacen las igualdades: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad & \Longleftrightarrow \quad 2x = -1\\ & \Longleftrightarrow \quad x = -\frac{1}{2}. \end{align*} \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial y} = – \frac{\partial v}{\partial x} \quad & \Longleftrightarrow \quad -3y^2 = -1\\ & \Longleftrightarrow \quad y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}. \end{align*}

Sea $S = \left\{-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{3} \right\}$.

Entonces, por el teorema 18.1, concluimos que $f$ únicamente es diferenciable para $z_0 \in S$ y su derivada en dicho conjunto de puntos es: \begin{align*} f’\left(z_0\right) & = \frac{\partial u}{\partial x}\left(-\frac{1}{2},\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\right) + i \frac{\partial v}{\partial x}\left(-\frac{1}{2},\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\right)\\ & = -1 + i. \end{align*}

Notemos que para todo $z_0\in S$ y para todo $\delta>0$, existe $z_\delta=z_0 + \frac{\delta}{2} \in B(z_0, \delta)$ un punto en donde $f$ no es diferenciable, entonces no existe un disco abierto alrededor de $z_0$ en el cual $f$ sea diferenciable y por tanto no es analítica en ningún punto en $S$ y en general en ningún punto en $\mathbb{C}$.

Definición 18.2. (Dominio de analicidad.)
Un conjunto $U \subset \mathbb{C}$ es llamado un dominio de analicidad de una función compleja $f$ si $U$ es el mayor conjunto abierto en el cual $f$ es analítica.

Ejemplo 18.3
Para las funciones $f(z) = 1/z$ y $g(z) = \overline{z}$ tenemos que sus dominios de analicidad son los conjuntos $U = \mathbb{C} \setminus \{0\}$ y $G = \emptyset$ respectivamente.

Considerando la proposición 18.1 y la observación 18.1, planteamos el siguiente resultado en el cual establecemos cuales son las condiciones necesarias y suficientes que deben satisfacer las funciones reales $u$ y $v$, correspondientes con la parte real e imaginaria de una función compleja, para garantizar la analicidad de dicha función en un conjunto abierto $U\subset\mathbb{C}$.

Teorema 18.2.
Una función compleja $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ es una función analítica en un conjunto abierto $U\subset\mathbb{C}$ si y solo si las funciones reales de dos variables $u$ y $v$ son diferenciables en $U$ y satisfacen las ecuaciones de C-R en todo punto de $U$. En tal caso, para todo $z_0=x_0+iy_0\in U$ se tiene que: \begin{equation*} f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) + i \frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0) – i \frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0). \tag{18.3.} \end{equation*}

Demostración. Sea $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ una función compleja definida sobre un conjunto abierto $U\subset \mathbb{C}$ y sea $z = x+iy\in U$.

$\Rightarrow)$
Supongamos que $f$ es analítica en $U$ y sea $z_0 = x_0 +i y_0 \in U$ fijo. De acuerdo con la proposición 18.1, como la función $f$ es analítica en $z_0 \in U$, entonces puede escribirse como en (18.2), es decir de la forma: \begin{equation*} f(z) – f(z_0) = c(z-z_0) + \varepsilon(z)(z-z_0), \end{equation*} donde $c = f'(z_0) \in \mathbb{C}$ es constante y $\lim\limits_{z \to z_0} \varepsilon(z) = 0$.

Sea $c = f'(z_0) = A+iB\in\mathbb{C}$ para algunos $A$ y $B$ números reales. Entonces podemos reescribir esta última igualdad como: \begin{equation*} u(x,y) + iv(x,y) – \left[u(x_0,y_0) + iv(x_0,y_0)\right] = (A+iB)\left[(x-x_0) + i(y-y_0)\right] + \varepsilon(x+iy) \left[ (x-x_0) + i(y-y_0)\right]. \end{equation*} Separando en la parte real e imaginaria de la igualdad anterior obtenemos: \begin{align*} u(x,y) – u(x_0,y_0) = A(x-x_0) – B(y-y_0) + \operatorname{Re}\left( \varepsilon(x+iy) \left[ (x-x_0) + i(y-y_0)\right] \right),\\ v(x,y) – v(x_0,y_0) = B(x-x_0) + A(y-y_0) + \operatorname{Im}\left( \varepsilon(x+iy) \left[ (x-x_0) + i(y-y_0)\right] \right). \end{align*} Tenemos que: \begin{align*} \operatorname{Re}\left( \varepsilon(x+iy) \left[ (x-x_0) + i(y-y_0)\right] \right) & = \bigg(\operatorname{Re}\bigg[ \varepsilon(x+iy) \left[ (x-x_0) + i(y-y_0)\right] \bigg]\bigg) \frac{\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}}{\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}}\\ & = \bigg(\operatorname{Re}\bigg[\frac{\varepsilon(x+iy) \left[ (x-x_0) + i(y-y_0)\right]}{\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}} \bigg]\bigg) \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}\\ & =:\varepsilon_1(x,y) \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}, \end{align*} y de manera análoga obtenemos que: \begin{equation*} \operatorname{Im}\left( \varepsilon(x+iy) \left[ (x-x_0) + i(y-y_0)\right] \right) =: \varepsilon_2(x,y) \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}. \end{equation*} Por tanto: \begin{align*} u(x,y) – u(x_0,y_0) = A(x-x_0) – B(y-y_0) + \varepsilon_1(x,y) \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2},\\ v(x,y) – v(x_0,y_0) = B(x-x_0) + A(y-y_0) + \varepsilon_2(x,y) \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}. \tag{18.4} \end{align*} Notemos que: \begin{equation*} |\, \varepsilon_1(x,y)\,| \leq |\, \varepsilon(z)\,| \quad \text{y} \quad |\, \varepsilon_2(x,y)\,| \leq |\, \varepsilon(z)\,|. \end{equation*} Dado que $\lim\limits_{z \to z_0} \varepsilon(z) = 0$, entonces tomando límites en estas dos desigualdades concluimos que: \begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \varepsilon_1(x,y) = 0 \quad \text{y} \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \varepsilon_2(x,y) = 0. \tag{18.5} \end{equation*} Por lo tanto, considerando (18.4) y (18.5), se sigue de la observación 18.1 que $u$ y $v$ son funciones diferenciables en $(x_0,y_0)\in U$ y se cumple que: \begin{align*} \frac{\partial u}{ \partial x}(x_0,y_0) = A =\frac{\partial v}{ \partial y}(x_0,y_0),\\ \frac{\partial v}{ \partial x}(x_0,y_0) = B = -\frac{\partial u}{ \partial y}(x_0,y_0), \end{align*} es decir que se satisfacen las ecuaciones de C-R en $z_0 = x_0 + iy_0 \in U$. Dado que dicho punto era arbitrario entonces el resultado es válido para todo punto en $U$.

$(\Leftarrow$
Supongamos ahora que las funciones reales de dos variables $u$ y $v$ son diferenciables en un punto $(x_0, y_0) \in U$ y satisfacen las ecuaciones de C-R en dicho punto, entonces: \begin{align*} \frac{\partial u}{ \partial x}(x_0,y_0) = A =\frac{\partial v}{ \partial y}(x_0,y_0),\\ \frac{\partial v}{ \partial x}(x_0,y_0) = B = -\frac{\partial u}{ \partial y}(x_0,y_0) \end{align*} para algunos $A$ y $B$ números reales.

Por la observación 18.1 y considerando las igualdades anteriores tenemos que $u$ y $v$ se pueden escribir de la forma: \begin{align*} u(x,y) – u(x_0,y_0) = A(x-x_0) – B(y-y_0) + \varepsilon_1(x,y) \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2},\\ v(x,y) – v(x_0,y_0) = B(x-x_0) + A(y-y_0) + \varepsilon_2(x,y) \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}, \end{align*} donde $\varepsilon_1(x,y) \to 0$ y $\varepsilon_2(x,y) \to 0$ si $(x,y) \to (x_0,y_0)$.

Considerando a la función $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$, tenemos que: \begin{align*} f(z) – f(z_0) & = u(x,y) + iv(x,y) – \left[u(x_0,y_0) + iv(x_0,y_0)\right]\\ & = u(x,y) – u(x_0,y_0) + i\left[ v(x,y) – v(x_0,y_0)\right]\\ & = A(x-x_0) – B(y-y_0) + \varepsilon_1(x,y) \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}\\ & \quad \quad + i \left[ B(x-x_0) + A(y-y_0) + \varepsilon_2(x,y) \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}\right]\\ & = (A+iB)\left[(x-x_0)+i(y-y_0)\right] + \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} \left[ \varepsilon_1(x,y) + i\varepsilon_2(x,y) \right]. \end{align*} Tomando: \begin{equation*} \varepsilon(x+iy) : = \frac{\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}}{(x-x_0) +i (y-y_0)}\left[ \varepsilon_1(x,y) + i\varepsilon_2(x,y) \right], \end{equation*} entonces: \begin{align*} f(z) – f(z_0) & = (A+iB)\left[(x-x_0)+i(y-y_0)\right] + \varepsilon(x+iy) \left[(x-x_0) +i (y-y_0)\right]\\ & = (A+iB)\left(z – z_0\right) + \varepsilon(z) \left( z- z_0\right). \tag{18.6} \end{align*} Claramente: \begin{equation*} |\, \varepsilon(z)\,| \leq |\, \varepsilon_1(x,y)\,| + |\, \varepsilon_2(x,y)\,|. \end{equation*} Como $\varepsilon_1(x,y) \to 0$ y $\varepsilon_2(x,y) \to 0$ si $(x,y) \to (x_0,y_0)$, entonces tomando límites en esta última desigualdad concluimos que: \begin{equation*} \lim\limits_{z \to z_0} \varepsilon(z) = 0. \tag{18.7} \end{equation*} Por lo tanto, considerando (18.6) y (18.7), se sigue de la proposición 18.1 que $f$ es analítica en $z_0 \in U$.

Más aún, tenemos que: \begin{equation*} f'(z_0) = A+iB = \frac{\partial u}{ \partial x}(x_0,y_0) + i \frac{\partial v}{ \partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial v}{ \partial y}(x_0,y_0) – i \frac{\partial u}{ \partial y}(x_0,y_0), \end{equation*} por lo que se cumple (18.3).

Dado que $z_0 = x_0 + iy_0\in U$ era arbitrario, entonces el resultado se cumple para todo punto en $U$.

$\blacksquare$

Observación 18.3.
Recordemos que hemos construido a $\mathbb{C}$ a través de $\mathbb{R}^2$, por lo que si pensamos a una función compleja $f$ como una función de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$ podemos preguntarnos acerca de la relación entre la diferenciabilidad compleja y la diferenciabilidad real de $f$.

Definición 18.3. (Diferenciabilidad de una función vectorial de dos variables.)
Sean $U\subset\mathbb{R}^2$ un conjunto abierto, $z_0 =(x_0,y_0) \in U$ y $f: U\to\mathbb{R}^2$ una función. Decimos que $f$ es diferenciable en $z_0$ (en el sentido real) si y solo si existe una transformación lineal $D_{f(z_0)} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ tal que: \begin{equation*}\lim_{z \to z_0}\frac{\|f(z)-f(z_0)-D_{f(z_0)}\left(z-z_0\right)\|}{\left\| z-z_0 \right\|} = 0, \tag{18.8} \end{equation*} donde $\|\cdot\|$ denota la norma usual en $\mathbb{R}^2$.

Por nuestros cursos de Cálculo sabemos que si una función vectorial de dos variables $f:U\to\mathbb{R}^2$, dada por $f(x,y) = (f_1(x,y),f_2(x,y))$, es diferenciable en un punto $z_0\in U\subset\mathbb{R}^2$, es decir existe el límite (18.8), entonces existen todas las derivadas parciales (de primer orden) en el punto $z_0$, de las funciones componentes de $f$ y al considerar la base canónica de $\mathbb{R}^2$, la matriz de $2\times2$ que representa a la transformación lineal $D_{f(z_0)}$ está formada por dichas derivadas parciales y recibe el nombre de la matriz Jacobiana, es decir: \begin{equation*} J_{f}(z_0) = \left(\begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial x}(z_0) & \frac{\partial f_1}{\partial y}(z_0)\\ \\ \frac{\partial f_2}{\partial x}(z_0) & \frac{\partial f_2}{\partial y}(z_0) \end{matrix} \right). \tag{18.9} \end{equation*} Más aún, se prueba que $f$ es diferenciable en $U$ si y solo si $f_i: U \to \mathbb{R}$, con $i=1,2$, son funciones diferenciables en $U$.

De acuerdo con lo anterior podemos hacer algunas observaciones importantes. Notemos que la norma usal en $\mathbb{R}^2$ coincide con el módulo complejo en $\mathbb{C}$. Además, para una función compleja $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$, al considerarla como una función de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$, se tiene que las funciones componentes de $f$ son: \begin{equation*} f_1(x,y) = u(x,y), \quad f_2(x,y) = v(x,y). \tag{18.10} \end{equation*}

Considerando a un número complejo $\lambda = a+ib$ fijo y $z=x+iy\in\mathbb{C}$, tenemos que su producto es: \begin{equation*} \lambda z = (a+ib)(x+iy) = (ax -by) + i(ay + bx). \end{equation*}

Por lo que, a través del producto de dos números complejos es posible definir una trasnformación lineal de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$, como sigue. Sean $\lambda=(a,b)\in\mathbb{R}^2$ constante y $z=(x,y)\in\mathbb{R}^2$, entonces: \begin{equation*} M_{\lambda} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \quad M_{\lambda}(z) = \begin{pmatrix} ax-by\\ ay+bx \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}, \tag{18.11} \end{equation*} de donde es claro que la matriz $A = \begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix}$ representa, en la base canónica de $\mathbb{R}^2$, a la transformación $M_\lambda$ correspondiente con la multiplicación de dos números complejos.

Procedamos ahora a analizar la definición de diferenciabilidad compleja dada en la entrada 16. De acuerdo con la definición 16.1, sabemos que para $U\subset\mathbb{C}$ un conjunto abierto y $f:U \to \mathbb{C}$ una función, decimos que $f$ es diferenciable en $z_0\in U$ si existe el límite: \begin{equation*} \lim_{z\to z_0} \frac{f(z) – f(z_0)}{z-z_0}, \end{equation*} lo cual es equivalente a que exista un número complejo $\lambda = a+ib\in\mathbb{C}$ tal que: \begin{align*} \lim_{z\to z_0} \frac{f(z) – f(z_0)}{z-z_0} = \lambda \quad & \Longleftrightarrow \quad \lim_{z\to z_0} \frac{f(z) – f(z_0) – \lambda(z-z_0)}{z-z_0} = 0\\ & \Longleftrightarrow \quad \lim_{z\to z_0} \frac{| \, f(z) – f(z_0) – \lambda(z-z_0)\,|}{|\,z-z_0\,|} = 0, \tag{18.12} \end{align*} en cuyo caso $\lambda = f'(z_0)$.

De acuerdo con todo lo anterior, tenemos que la existencia de los límites dados en (18.8) y (18.12), así como el cumplimiento de las ecuaciones de C-R, nos deja ver que hay una estrecha relación entre las definiciones de diferenciabilidad real, para una función vectorial de dos variables, y de diferenciabilidad compleja.

Sean $U\subset\mathbb{C}$ un conjunto abierto y $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ una función definida en $U$ y consideremos que $z=x+iy=(x,y)\in U$.

Si $f$ es una función analítica en $z_0\in U$, entonces existe $\lambda=a+ib\in\mathbb{C}$ tal que se cumple (18.12). Notemos que: \begin{align*} \lambda(z-z_0) &= (a+ib)\left[(x-x_0)+i(y-y_0)\right]\\ & = \left[a(x-x_0) – b(y-y_0)\right] + i \left[b(x-x_0) + a(y-y_0)\right], \end{align*} por lo que, considerando la transformación lineal dada por (18.11), tenemos que: \begin{equation*} M_\lambda(z-z_0) = \left(a(x-x_0) – b(y-y_0), b(x-x_0) + a(y-y_0)\right), \end{equation*} entonces: \begin{align*} 0 & = \lim_{z\to z_0} \frac{| \, f(z) – f(z_0) – \lambda(z-z_0)\,|}{|\,z-z_0\,|}\\ & = \lim_{z \to z_0} \frac{\left\| f(z) – f(z_0) – M_\lambda(z-z_0) \right\|}{\left\| z-z_0 \right\|}, \end{align*} por lo que $f$ es diferenciable, en el sentido real como función de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$. Más aún, la matriz $A$ que representa a la transformación lineal $M_\lambda$, en la base canónica de $\mathbb{R}^2$, debe ser igual a la matriz Jacobiana de $f$ en $z_0$, entonces considerando (18.10) tenemos que: \begin{equation*} \begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix} = \left(\begin{matrix} u_x(z_0) & u_y(z_0)\\ \\ v_x(z_0) & v_y(z_0) \end{matrix} \right), \end{equation*} de donde se siguen las ecuaciones de C-R y se cumple que $\lambda = f'(z_0) = u_x(z_0) + iv_x(z_0) = v_y(z_0) – i u_x(z_0)$.

Si suponemos ahora que $f$, como función de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$, es diferenciable en el sentido real y que se satisfacen las ecuaciones de C-R, entonces tenemos que se cumple (18.8).

Considerando a la matriz Jacobiana que representa a la transformación lineal $D_{f(z_0)}$, dada en (18.8), como se cumplen las ecuaciones de C-R, tenemos que dicha matriz es de la forma: \begin{equation*} \left(\begin{matrix} u_x(z_0) & -u_y(z_0)\\ \\ u_y(z_0) & u_x(z_0) \end{matrix} \right) = \begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix}, \end{equation*} para algunos $a,b\in\mathbb{R}$.

Dado que la transformación lineal $D_{f(z_0)}$ es única y la matriz que la representa es igual a la de la transformación dada en (18.11), entonces debe suceder que $D_{f(z_0)} = M_\lambda$, para $\lambda = a+ib\in\mathbb{C}$, es decir que se trata de la multiplicación por el número complejo $\lambda$, entonces: \begin{align*} 0 & = \lim_{z \to z_0} \frac{\| f(z) – f(z_0) – D_{f(z_0)}(z-z_0)\|}{\left\| z-z_0 \right\|}\\ & = \lim_{z\to z_0} \frac{| \, f(z) – f(z_0) – \lambda(z-z_0)\,|}{|\,z-z_0\,|}\ \end{align*}

Con lo anterior hemos probado el siguiente resultado.

Teorema 18.3.
Sean $U\subset\mathbb{C}$ un conjunto abierto y $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ una función compleja definida en $U$. Las siguientes condiciones son equivalentes:

  1. $f$ es diferenciable en $z_0\in U$, en el sentido complejo.
  2. $f$ es diferenciable en $z_0=(x_0,y_0) \in U$, en el sentido real, pensada como una función de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$, y se satisfacen las ecuaciones de C-R en $z_0$.

$\blacksquare$

Ejemplo 18.4.
Sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$ y sea $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una función compleja dada por $f(z)=x^2-y^2+i2xy$. Veamos que $f$ es analítica en $\mathbb{C}$.

Solución. Si consideramos a $f$ como una función de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$ tenemos que $f(x,y) = (x^2 – y^2, 2xy)$, de donde se sigue que sus funciones componentes son: \begin{equation*} f_1(x,y)=u(x,y) = x^2-y^2, \quad f_2(x,y)=v(x,y) = 2xy. \end{equation*}

Dado que: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -2y,\\ \frac{\partial v}{\partial x} = 2y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2x, \end{align*} existen y son continuas para todo $z=(x,y)\in\mathbb{R}^2$, entonces $f$ es una función diferenciable, en el sentido real, en $\mathbb{R}^2$.

Es claro que $u_x = v_y$ y $u_y = – v_x$ para todo $z=(x,y)\in\mathbb{R}^2$, por lo que de acuerdo con el teorema 18.3, concluimos que $f$ es diferenciable en todo $\mathbb{C}$ y por tanto analítica en todo punto.

Por último, tenemos que la matriz Jacobiana de dicha función compleja es: \begin{equation*} J_f = \begin{pmatrix} u_x & u_y\\ v_x & v_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_x & -v_x\\ v_x & u_x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & -2y\\ 2y & 2x \end{pmatrix}, \end{equation*} para todo $z=x+iy\in\mathbb{C}$.

Entonces, para $z_0=x_0+iy_0\in\mathbb{C}$ se tiene que: \begin{equation*} f'(z_0) = u_x(x_0,y_0) + i v_x(x_0,y_0) = 2x_0 + i2y_0 = 2z_0, \end{equation*} lo cual era de esperarse ya que $f(z) = z^2 = x^2 – y^2 + i2xy$.

Observación 18.4.
Es importante notar que el resultado anterior es solo una reformulación del teorema 18.3, desde que la diferenciabilidad, en el sentido real, de una función $f:U\subset\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ es equivalente a la diferenciabilidad de sus funciones componentes. Sin embargo, la importancia de este resultado radica en que ahora que conocemos la matriz Jacobiana de una función analítica, pensada como una función de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$, es claro, por el ejercicio 3 de la entrada 12, que dicha matriz corresponde con la derivada compleja de una función analítica en cualquier punto. Además veremos que a través de esta representación matricial de la derivada es posible establecer algunos resultados de las funciones analíticas que veremos en la siguiente entrada.

Por otra parte, estos últimos resultados nos dejan ver que la diferenciabilidad compleja es más fuerte que la diferenciabilidad real, lo cual resulta sorprendente, pues a diferencia de algunos conceptos como el límite y la continuidad para los cuales vimos que podemos caracterizarlos a través de dos funciones reales, correspondientes con la parte real e imaginaria de la función, en el caso de la diferenciabilidad es claro que no bastará la diferenciabilidad en el sentido real de dichas funciones o de la diferenciabilidad en el sentido real de la función vectorial conformada por dichas funciones reales. Esto resulta de suma importancia pues nos permite diferenciar a las funciones complejas de las funciones vectoriales de dos variables, desde que la diferenciabilidad de las primeras implica la diferenciabilidad de las segundas, pero el recíproco no es cierto ya que se deben cumplir también las ecuaciones de C-R, que como probamos antes resultan ser una condición necesaria para la diferenciabilidad compleja y por ende para la analicidad de una función compleja.

Para convencernos de esto último, basta con considerar a la función $f(z)=\overline{z} = x-iy$. Es claro que está función no es diferenciable en el sentido complejo desde que las ecuaciones de C-R no se satisfacen en ningún punto en $\mathbb{C}$ y por tanto tampoco es analítica. Sin embargo, si la consideramos como una función de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$ es claro que dicha función sí es diferenciable en el sentido real.

Tanto el teorema 18.1 como el teorema 18.2 nos dejan ver que además de las ecuaciones de C-R, es necesario imponer una serie de hipótesis extras sobre las funciones reales $u$ y $v$, que caracterizan a una función compleja $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$, para garantizar la analicidad de dicha función. Cerraremos esta entrada con un notable resultado que nos muestra que la condición de continuidad de las derivadas parciales en el teorema 18.1 resulta superfluo. No daremos una prueba de este, pero puede consultarse en algún texto como Complex Analysis in One Variable de Raghavan Narasimhan e Yves Nievergelt.

Teorema 18.4. (Teorema de Looman-Menchoff.)
Sean $U\subset$ un conjunto abierto y $f(z)=u(x,y) = iv(x,y)$ una función definida en $U$. Si las funciones reales $u$ y $v$ son continuas en $U$ (es decir que $f$ es continua en $U$), las cuatro derivadas parciales $u_x$, $u_y$, $v_x$ y $v_y$ existen en $U$ y se satisfacen las ecuaciones de C-R en $U$, entonces $f$ es analítica en $U$.

Tarea moral

  1. Muestra que las siguientes funciones son diferenciables solo en los conjuntos dados y determina su derivada.
    a) $f(z) = x – iy^2$ en $S=\{z\in\mathbb{C} : \operatorname{Im}(z) = -1/2\}$.
    b) $f(z) = x^2 + iy^2$ en $S=\{z\in\mathbb{C} : \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Im}(z)\}$.
    c) $f(z) = yx + iy^2$ en $S=\{z\in\mathbb{C} : \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Im}(z) = 0 \}$.
    d) $f(z) = x^3+i(1-y)^3$ en $S=\{z\in\mathbb{C} : \operatorname{Re}(z) = 0 \,\, \text{y} \,\, \operatorname{Im}(z) = 1\}$.
  2. Para cada una de las siguientes funciones complejas determina el conjunto donde $f$ es diferenciable y el dominio de analicidad de $f$. Donde exista, determina su derivada.
    a) $f(z) = (x^3 + 3xy^2 – 3x) + i(y^3 + 3x^2y – 3y)$.
    b) $f(z) = 6\overline{z}^2 – 2\overline{z} – 4i|\,z\,|^2$.
    c) $f(z) = (3x^2 + 2x – 3y^2 -1) + i(6xy + 2y)$.
    d) $f(z) = \dfrac{2z^2 + 6}{z(z^2 + 4)}$.
  3. Determina el dominio de analicidad de las siguientes funciones.
    a) $f(z) = 4x^2+5x-4y^2+9+i(8xy+5y-1)$.
    b) $f(z) = 5r\operatorname{cos}(\theta) + r^4\operatorname{cos}(4 \theta) + i(5r\operatorname{sen}(\theta) + r^4 \operatorname{sen}(4 \theta))$.
    c) $f(z) = \dfrac{x^3+xy^2+x}{x^2+y^2} + i \dfrac{y^3+x^2y-y}{x^2+y^2}$.
    d) $f(z) = \dfrac{\operatorname{cos}(\theta)}{r} – i \dfrac{\operatorname{sen}(\theta)}{r}$.
    e) $f(z) = \dfrac{x-1}{(x-1)^2+y^2} – i \dfrac{y}{(x-1)^2+y^2}$.
  4. ¿Cuál debe ser el valor de las constantes reales $a,b,c$ y $d$ para que las siguientes funciones sean analíticas?
    a) $f(z) = 3x-y+5+i(ax+by-3)$.
    b) $f(z) = x^2 + axy+by^2+i(cx^2+dxy+y^2)$.
  5. Supón que $f$ es una función analítica en un conjunto abierto $U\subset\mathbb{C}$. Prueba que el determinante de su matriz Jacobiana es igual a $|f'(z)|^2$ para todo $z\in U$.
  6. Sean $f(z) = z^3$, $z_1 = 1$ y $z_2 = i$. Prueba que no existe un punto $z_0$ en el segmento de recta que une a $z_1$ y $z_2$, es decir $[z_1,z_2]$, tal que: \begin{equation*} f(z_2) – f(z_1) = f'(z_0) (z_2 – z_1). \end{equation*} Concluye que el teorema del valor medio para funciones reales no se extiende para funciones complejas.
  7. Sea $f$ una función analítica en un conjunto abierto $U\subset\mathbb{C}$. Prueba que la función $g(z)=\overline{f(\overline{z})}$ es analítica en el conjunto $U^*=\{\overline{z} : z\in U\}$.

Más adelante…

En esta entrada vimos bajo que condiciones es posible garantizar la analicidad de una función compleja $f(z)=u(x,y) + i v(x,y)$ sobre un conjunto abierto $U\subset\mathbb{C}$. Para ello recurrimos nuevamente a analizar las funciones reales $u$ y $v$, concluyendo que, además de las ecuaciones de C-R, es necesario imponer algunas condiciones extras sobre dichas funciones.

El objetivo de esta entrada fue dar algunos recíprocos parciales para el Teorema 17.1 de la entrada anterior. Es interesante notar que es posible relajar algunas condiciones sobre las funciones $u$ y $v$ para garantizar la analicidad de una función compleja, como es el caso del teorema de Looman-Menchoff.

La siguiente entrada abordaremos algunos resultados interesantes que son consecuencia directa de las ecuaciones de Cauchy-Riemann y que nos permitirán caracterizar aún más a las funciones complejas a través de su parte real e imaginaria, extendiendo algunos resultados obtenidos en nuestros cursos de Cálculo.

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Introducción

En la entrada anterior hablamos un poco de lo que es la Programación Lineal, de su historia y de cuáles son los tipos de problemas que estudia. Dijimos que un problema de programación lineal es aquel en el que se busca optimizar una función lineal bajo ciertas restricciones lineales. En estas entradas y las siguientes veremos algunos ejemplos conocidos de problemas de programación lineal. Comenzaremos hablando del problema de la dieta.

El problema de la dieta fue uno de los primeros problemas sobre optimización. George Joseph Stigler fue quien lo planteo a finales de la década de los años 30. El problema de régimen alimenticio óptimo para tratar de satisfacer la necesidad del ejército americano por hallar la manera más económica de alimentar a sus tropas, asegurándose de satisfacer al mismo tiempo unos determinados requerimientos nutricionales.

Análisis e interpretación

En este tipo de problemas, nos van a dar una cierta cantidad de alimentos diferentes, digamos $m$ alimentos, y cada alimento va a contener una cantidad finita de nutrientes de interés, digamos $n$ nutrientes. Entonces la cantidad de nutrientes j que va a tener el alimento i por unidad va a quedar representado por una constante dada, digamos $a_{i,j}$.

——Nutriente 1Nutriente 2$\ldots$Nutriente $n-1$Nutriente $n$Costo del alimento
Alimento 1$a_{1,1}$$a_{1,2}$$\ldots$$a_{1,n-1}$$a_{1,n}$$c_1$
Alimento 2$a_{2,1}$$a_{2,2}$$\ldots$$a_{2,n-1}$$a_{2,n}$$c_2$
$\vdots$$\vdots$$\vdots$$\ddots$$\vdots$$\vdots$$\vdots$
Alimento m-1$a_{m-1,1}$$a_{m-1,2}$$\ldots$$a_{m-1,n-1}$$a_{m-1,n}$$c_{m-1}$
Alimento m$a_{m,1}$$a_{m,2}$$\ldots$$a_{m,n-1}$$a_{m,n}$$c_m$
Nutrientes
requeridos		$b_1$$b_2$$\ldots$$b_{n-1}$$b_n$——

Cada individuo (ya sea persona u otro ser vivo) tiene el mismo requerimiento mínimo de cada uno de estos nutrientes, digamos $b_j, \quad \forall \ j \in {1, \ldots, n}$.

Sea $x_i$ = el número de unidades del alimento i que vamos a asignar a cada individuo

Entonces vamos a tener la restricción de que cada individuo tiene que recibir los nutrientes requeridos por los alimentos que le son dados. Esto se representa de la siguiente manera:

(Alimento 1: cantidad de nutriente j)(Unidades de alimento 1) + (Alimento 2: cantidad de nutriente j)(Unidades de alimento 2) + $\ldots$ + (Alimento m: cantidad de nutriente j) (Unidades de alimento m)$\geq$ Nutriente j requerido

Usando la notación de la tabla y las variables que creamos, se escribiría:

$a_{1,j}x_1 + a_{2,j}x_2 + \ldots + a_{m,j}x_m \geq b_j$ para cualquiera de los n nutrientes.

Cada alimento va a tener un coste dado por unidad, digamos $c_i$.

Como se mencionó, se busca la manera más económica de alcanzar los nutrimentos requeridos de los alimentos asignados a cada individuo, entonces, el problema busca minimizar el costo de los alimentos que elijamos. Esto se traduce como:

Minimizar z = (Costo alimento 1)(Unidades de alimento 1) + (Costo de alimento 2)(Unidades de alimento 2) + $\ldots$ + (Costo de alimento m)(Unidades de alimento m)

Usando la notación de la tabla y las variables que creamos, se escribiría:

$Min \quad z = c_1x_1 + c_2x_2 + \ldots + c_mx_m$

Como la cantidad de alimentos que vamos a asignar es a lo menos cero, nuestras variables $x_i$ van a ser mayores o iguales a cero.

Entonces, en términos generales, el problema quedaría de esta forma:

\begin{align*}
Min \quad z = c_1&x_1 + c_2x_2 + \ldots + c_mx_m\\
sujeto \quad a \quad &(s. a)\\
&a_{1,1}x_1 + a_{2,1}x_2 + \ldots + a_{m,1}x_m \geq b_1\\
&a_{1,2}x_1 + a_{2,2}x_2 + \ldots + a_{m,2}x_m \geq b_2\\
\vdots\\
&a_{1,n}x_1 + a_{2,n}x_2 + \ldots + a_{m,n}x_m \geq b_n\\
&x_i \geq 0\\
\end{align*}

Ejemplo del problema de la dieta

Consideremos el siguiente problema:

Un estudiante de la facultad de ciencias asiste a clases los 5 días de la semana. En su hora de comida tiene 3 opciones preferidas: Ir al comedor, comprar una torta o comprar unos tacos de canasta. Cada opción tiene un aporte nutritivo distinto que está representado en la siguiente tabla, así como el costo por merienda de cada opción

Costo por merienda
en pesos		Contenido nutritivo por unidad de alimento
N1N2
Comedor$351410
Torta$28107
Tacos de
canasta		$2064
Necesidades de nutrición
a la semana		4535

El estudiante busca cumplir sus necesidades nutricionales semanales y aparte gastar lo menos posible ya que la beca no da para tanto tristemente. Plantea como un problema de programación lineal.

Veamos cómo podemos plantear el problema anterior como un problema de programación lineal usando el análisis que hicimos anteriormente.

Sea $x_1$ las meriendas en el comedor por semana, $x_2$ las meriendas con torta por semana y $x_3$ las meriendas con tacos de canasta. En la tabla nos indican los costos de estas por lo que ya tenemos nuestra función objetivo a minimizar:

$Min \quad z = 35x_1 + 28x_2 + 20x_3$

Luego, tenemos que considerar las restricciones de los nutrientes que son requeridos. Solo tenemos dos nutrientes a considerar entonces tenemos las siguientes restricciones:

(Merienda 1: cantidad de nutriente 1)(Meriendas 1 por semana) +
(Merienda 2: cantidad de nutriente 1)(Meriendas 2 por semana) +
(Merienda 3: cantidad de nutriente 1)(Meriendas 3 por semana) $\geq$
Nutriente 1 requerido

(Merienda 1: cantidad de nutriente 2)(Meriendas 1 por semana) +
(Merienda 2: cantidad de nutriente 2)(Meriendas 2 por semana) +
(Merienda 3: cantidad de nutriente 2)(Meriendas 3 por semana) $\geq$
Nutriente 2 requerido

Escrito en la notación general descrita:

\begin{align*}
&a_{1,1}x_1 + a_{2,1}x_2 + a_{3,1}x_3 \geq b_1\\
&a_{1,2}x_1 + a_{2,2}x_2 + a_{3,2}x_3 \geq b_2\\
\end{align*}

Y usando los valores de el problema, tenemos:

\begin{align*}
&14x_1 + 10x_2 + 6x_3 \geq 45\\
&10x_1 + 7x_2 + 4x_3 \geq 35\\
\end{align*}

Y por último solo cabe mencionar que las meriendas del alimento que vamos a considerar es un número mayor o igual a cero. Por lo que el planteamiento del problema quedaría de la siguiente manera:

\begin{align*}
Min \quad z = 35&x_1 + 28x_2 + 20x_3\\
s.a&\\
14&x_1 + 10x_2 + 6x_3 \geq 45\\
10&x_1 + 7x_2 + 4x_3 \geq 35\\
&x_1, x_2, x_3 \geq 0\\
\end{align*}

Más adelante…

El problema de la dieta es el primer ejemplo de problema de programación lineal que nos encontramos. En las siguientes entradas veremos otros ejemplos más, como el problema de la mochila, el del transporte y otros.

Hasta ahora sólo hemos hablado de qué tipo de problemas queremos resolver, pero no hemos dicho nada con respecto al cómo los resolveremos. Veremos eso un poco más adelante.

Tarea

  • ¡Oh no! La inflación llegó y el precio de las meriendas mencionadas subió un $10\%$. Realiza nuevamente la formulación del problema de la dieta del ejemplo bajo este supuesto.
  • Formula como un PPL el siguiente ejemplo:
    «Se tienen disponibles 4 tipos de inversión cuyos costos son \$12,000, \$20,000, \$16,000, \$15,000 respectivamente. La inversión 1 tiene un valor presente neto de \$14,000, la 2 de \$25,000, la 3 de \$20,000 y la 4 de \$18,000. Se cuenta con un presupuesto de \$50,000. El objetivo es determinar la combinación de inversiones que aporte el valor presente neto máximo.»
  • Imagina que tenemos un problema más sencillo. Sólo se pueden elegir entre tortas y tacos. Cuestan \$30 las tortas y \$20 los tacos. La torta da 12 unidades de N1 y 8 de N2. Los tacos dan 9 unidades de N1 y 6 de N2. Imagina que se deben consumir 50 unidades de N1 y 35 unidades de N2. Se quiere encontrar la dieta más económica. Plantea este problema como un problema de programación lineal.
  • Intenta resolver el problema de programación lineal del inciso anterior con las herramientas con las que cuentes hasta ahora de Cálculo, Álgebra Lineal, etc. ¿Cuál sería el plan de meriendas semanal más económico?
  • ¿Por qué en el problema de la dieta no tiene sentido preguntarse por la dieta menos económica? Intenta argumentarlo desde el punto de vista práctico, como desde el punto de vista matemático.

Respuestas

$\bullet$ \begin{align*}
Min \quad z = 38.5&x_1 + 30.8x_2 + 22x_3\\
s.a&\\
14&x_1 + 10x_2 + 6x_3 \geq 45\\
10&x_1 + 7x_2 + 4x_3 \geq 35\\
&x_1, x_2, x_3 \geq 0\\
\end{align*}

$\bullet$ Nuestra variable de decisión es la siguiente:

$x_i$ = Se hace el tipo de inversión $i$ con $i \in \{1, 2, 3, 4\}$, $x_i \in \{0, 1\}$

Observemos que si se hace el tipo de inversión $i$, las ganancias son: valor presente neto – costo de la inversión. Como eventualmente lo que se busca es maximizar las ganancias, nuestra función objetivo sería la siguiente:

$$Max \quad z = 2000x_1 + 5000x_2 + 4000x_3 + 3000x_4$$

La única restricción es el presupuesto con el que se cuenta para realizar las inversiones. Entonces, la restricción será:

$$12,000x_1 + 20,000x_2 + 16,000x_3 + 15,000x_4 \leq 50,000$$

Y como las variables solo toman valor 0 o 1, también se satisface la no negatividad.

Entonces, el problema quedaría planteado de la siguiente forma:

\begin{align*}
Max \quad z = &2000x_1 + 5000x_2 + 4000x_3 + 3000x_4\\
&s.a\\
&12,000x_1 + 20,000x_2 + 16,000x_3 + 15,000x_4 \leq 50,000\\
&x_1 \in {0, 1}, i \in {1, 2, 3, 4}\\
\end{align*}

$bullet$ El cambio es muy simple, solo hay que cambiar las variables de decisión a $x_1$ las meriendas con torta por semana y $x_2$ las meriendas con tacos de canasta por semana. Entonces, con los cambios aplicados:

\begin{align*}
Min \quad z = 30&x_1 + 20x_2\\
s.a&\\
12&x_1 + 9x_2 \geq 50\\
8&x_1 + 6x_2 \geq 35\\
&x_1, x_2 \geq 0\\
\end{align*}

$bullet$ Una idea sería considerar solamente todos los valores posibles a elegir en la semana, revisar que cumplan con las necesidades de nutrición y calcular el gasto que conllevaría cada plan. Vamos a representar esos resultados en la siguiente tabla:

Combinación alimentariaN1 $\geq$ 50N2 \geq 35Costo del plan
5 días torta6045150
4 días torta,
1 día taco		5642140
3 días torta,
2 días tacos		5239
2 días torta,
3 días tacos		4836
1 día torta,
4 días tacos		4433110
5 días tacos4030100

Las filas que tienen una casilla roja no cumplen la necesidad nutricional de su respectiva columna.

Entonces, nuestra solución va a ser el plan de alimentación que tenga el menor costo y que tenga las dos casillas de necesidades nutricionales en verde. Esta solución es la de combinar 3 días con merienda de torta y dos días con merienda de tacos de canasta.

$\bullet$ Podría tal vez argumentarse es que la finalidad de resolver este tipo de problema es economizar los gastos de el o los individuos, entonces al tomar planes de dieta más caros, estamos haciendo lo opuesto a lo propuesto por la función objetivo.

Texto de la cabecera

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Investigación de Operaciones: Introducción a la programación lineal

Por Aldo Romero

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Introducción

En esta entrada comenzaremos a abordar el primer tema de este curso de Investigación de Operaciones: el de la programación lineal. Hablaremos un poco de por qué es importante estudiar esta disciplina. Luego, explicaremos un poco en qué consiste. Finalmente, veremos el tipo de problemas que podremos responder una vez que hayamos desarrollado más teoría.

¿Por qué estudiar programación lineal?

El desarrollo de la programación lineal ha sido clasificado como uno de los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX. En la actualidad es una herramienta de uso cotidiano que permite efectuar de manera óptima muchas de las operaciones que realizan individuos, gobiernos, compañías y negocios. Esto ha su vez ha permitido el uso eficiente de los recursos y ahorros prácticamente incalculables.

Además de las ventajas que trae usar la programación lineal, también es notable la facilidad con la que hoy en día se aplican sus métodos. El tipo de matemáticas sobre las cuales está construida la programación lineal es en general teoría bien conocida: resultados básicos de álgebra lineal, teoremas importantes de cálculo, teoría de gráficas y redes. Esto se complementa con que en la actualidad es sencillo llevar esta teoría a la práctica, pues existen varios lenguajes de programación para uso científico que cuentan con bibliotecas dedicadas a la programación lineal.

¿Qué es la programación lineal?

La programación lineal es una rama de la programación matemática que estudia problemas de optimización en los cuales se desea maximizar (o minimizar) una función lineal restringida mediante ecuaciones o desigualdades lineales. En este contexto no hablamos de la palabra «programación» en el sentido usual de crear código para diseñar programas en una computadora. Más bien, nos referimos a «programación» más como en el sentido de «la programación de cierto canal de televisión» o bien como en la frase «programé una cita con mi dentista», es decir, como una manera de tomar decisiones para repartir un recurso (el tiempo de aire en el caso de la televisión y el tiempo del doctor y del paciente en el ejemplo del dentista).

Existe una gran variedad de problemas, en diversos campos, que pueden ser formulados o aproximados como modelos lineales. Una de las ventajas de resolver problemas por métodos de programación lineal es que existen técnicas eficientes, sencillas y bien estudiadas para resolverlos. Además, se tiene la comodidad de que una vez que se haya resuelto un problema, es sencillo hacer una variación de los parámetros originales para tener una buena intuición de la nueva respuesta sin tener que volver a hacer un procedimiento largo (a esto se le llama análisis de postoptimalidad).

Aunque una de sus aplicaciones más frecuentes es la asignación de recursos, la programación lineal tiene muchas otras posibilidades. En realidad, cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general de un problema de programación lineal, puede ser estudiado mediante las herramientas de la teoría.

Formato general de un problema de programación lineal

A un problema de programación lineal y su modelo lo llamaremos programa lineal. Abreviaremos problema de programación lineal como PPL y programa lineal como PL.

Estos problemas tienen que cumplir con las siguientes condiciones:

  • El criterio para seleccionar el mejor valor de las variables desconocidas involucradas en el problema, llamadas variables de decisión, puede describirse como función lineal de éstas. A esta función se le da el nombre de función objetivo.
  • Las reglas de operación que gobiernan el proceso (que definen las alternativas de solución) pueden expresarse mediante un conjunto de ecuaciones o desigualdades lineales a las cuales se les da el nombre de restricciones del problema.

El planteamiento matemático inicial del problema de programación lineal fue desarrollado por George Bernard Dantzig en 1947 junto con el método de solución simplex. El formato general del un modelo de esta clase es:

\begin{align*}
\text{Maximizar (o Minimizar)}&\\
z = c_1x_1+c_2x_2&+\ldots+c_nx_n\\
\text{s.a (sujeto a)}\\
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n \quad &\leq b_1 \quad \text{(o bien $\geq$ o $=$)}\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n \quad &\leq b_2 \quad \text{(o bien $\geq$ o $=$)}\\
&\vdots\\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n \quad &\leq b_m \quad \text{(o bien $\geq$ o $=$)}\\
x_i & \geq 0, i = 1,\ldots,n.
\end{align*}

Este problema de programación lineal PPL puede escribirse en forma matricial:

\begin{align*}
\text{Max. (o Min.)}&\\
z &= c\\
\text{s.a}\\
Ax \quad &\leq b
\quad \text{(o bien $\geq$ o $=$)}\\
x &\geq 0.
\end{align*}

En esta expresión $c$ es un vector renglón en $\mathbb{R}^n$, llamado vector de costos o de coeficientes en la función objetivo. El vector $x$ es un vector columna (formado por las variables de decisión $x_1,\ldots,x_n$) en $\mathbb{R}^n$. La matriz $A$ es de $m$ renglones y $n$ columnas, llamada la matriz de restricciones. Y finalmente $b$ es un vector columna en $\mathbb{R}^n$, llamado el vector de recursos o lado derecho.

Más adelante…

En esta entrada hablamos un poco de qué es la programación lineal y qué es un PPL, pero nos hemos quedado en términos un poco abstractos. La mejor forma de entender qué es un problema lineal es mediante la presentación de ejemplos. En las siguientes entradas formularemos algunos ejemplos comunes, motivados en aplicaciones prácticas. Hablaremos del problema de la dieta, el problema de la mochila, el problema del transporte, y otros.

Tarea

  1. Ve el siguiente video de acerca de George Dantzig. ¿Que te pareció la anécdota de su tiempo de estudiante?
  1. Aún no hemos visto ejemplos de Problemas de Programación Lineal (PPL) pero, ¿crees que es siguiente ejemplo pueda formularse como uno? «Encontrar la ruta más corta entre una ciudad y otra teniendo varias rutas posibles que se cruzan entre sí.»
  2. Investiga un poco más de la historia de la programación lineal. ¿Qué gran evento en el mundo ayudó a que la teoría se desarrollara aceleradamente?

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Álgebra Superior II: Divisibilidad en los enteros

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

2 respuestas

Introducción

En la entrada anterior hablamos del algoritmo de la división. Dados dos números enteros $a$ y $b$, con $b\neq 0$, nos permite poner de manera única a $a$ de la forma $a=qb+r$, en donde $q$ y $r$ son enteros, y además $0\leq r < |b|$. En otras palabras, nos permite poner a un número como «copias de otro», más un residuo «chiquito». En esta entrada hablaremos de la divisibilidad en los enteros.

La divisibilidad se da cuando pasa una situación especial en el algoritmo de la división: cuando el residuo obtenido es igual a cero. Es decir, cuando podemos escribir $a=qb$. Cuando esto sucede, diremos que $b$ divide a $a$, o bien que $a$ es múltiplo de $b$. En esta entrada daremos una definición formal que contemple este caso y estudiaremos varias de sus propiedades.

Definición de divisibilidad

La noción fundamental que estudiaremos en esta entrada es la de divisibilidad. La definición crucial es la siguiente.

Definición. Sean $m$ y $n$ enteros. Diremos que $m$ divide a $n$ si existe un entero $k$ tal que $n=km$. En notación, escribiremos $m|n$. También diremos que $n$ es un múltiplo de $m$, o bien que $n$ es divisible entre $m$.

Ejemplo. El número $35$ es divisible entre $5$ pues podemos encontrar un entero $k$ tal que $35=k\cdot 5$. Concretamente, podemos escribir $35=7\cdot 5$. Así mismo, este número también es divisible entre $-7$ pues podemos encontrar un entero $k$ tal que $35=k\cdot (-7)$, en concreto, podemos escribir $35=(-5)(-7)$.

Por otro lado, el $35$ no es múltiplo de $8$. ¿Cómo sabemos esto? Al hacer el algoritmo de la división obtenemos que $35=4\cdot 8 + 3$. Como esta es la única forma de escribir a $35$ como un múltiplo de $8$ más un residuo entre $0$ y $7$, entonces es imposible escribirlo como un múltiplo de $8$ más residuo $0$. En otras palabras, no es múltiplo de $8$.

$\triangle$

Propiedades básicas de divisibilidad

La siguiente proposición habla de algunas de las propiedades básicas de la divisibilidad. Las enunciaremos y daremos sus demostraciones para poner en práctica nuestra definición de divisibilidad.

Proposición. La noción de divisibilidad cumple las siguientes propiedades.

  • Los enteros $1$ y $-1$ dividen a cualquier otro entero.
  • El entero $0$ es divisible por cualquier entero.
  • Es reflexiva, es decir para cualquier entero $n$ se tiene que $n|n$.
  • Es transitiva, es decir si $l,m,n$ son enteros tales que $l|m$ y $m|n$, entonces $l|n$.

Demostración. A continuación demostramos la demostración, inciso por inciso.

  • Recordemos que si $n$ es un entero, entonces $n=n\cdot 1$. Esto nos dice que $1$ divide a $n$. Además, por las propiedades de las operaciones en los números enteros tenemos lo siguiente:
    \begin{align*}
    n&=n\cdot 1\\
    &=n\cdot ((-1)\cdot (-1))\\
    &=(n\cdot (-1))\cdot (-1)\\
    &=(-n)\cdot (-1).
    \end{align*}
    Aquí estamos usando que $(-1)(-1)=1$, la asociatividad del producto en los números enteros y que $(-1)n=-n$. En resumen, obtenemos que $n=(-n)(-1)$, lo cual nos dice que $-1|n$.
  • Aquí notamos que para cualquier entero $n$ tenemos que $0=0\cdot n$. Así, $n|0$.
  • Anteriormente usamos que $n=n\cdot 1$ para concluir $1|n$. Así mismo, al usar $n=1\cdot n$ obtenemos que $n|n$.
  • Veamos la transitividad. Supongamos que $l,m,n$ son enteros tales que $l|m$ y $m|n$. Por definición de divisibilidad podemos encontrar enteros $q$ y $r$ tales que $m=ql$ y $n=rm$. Substituyendo el valor de $m$ de la primera igualdad en la segunda y usando asociatividad obtenemos que: $$n=rm=r(ql)=(rq)l.$$ Esto precisamente nos dice que $l|n$.

$\square$

Divisibilidad y operaciones en los enteros

La divisibilidad se comporta bien con las operaciones en los números enteros. En la siguiente proposición encontramos algunas de las propiedades que vuelven esto un poco más preciso.

Proposición. La noción de divisibilidad cumple las siguientes propiedades.

  • Para enteros $l,m,n$, si $l|m$ y $l|n$, entonces $l|m+n$.
  • Para enteros $l,m,n$, si $l|m$, entonces $l|mn$.
  • Para enteros $l$, $a$, $b$, $c$, $d$ se cumple que si $l|m$ y $l|n$, entonces $l|am+bn$.

Demostración. Daremos la demostración inciso por inciso:

  • Como $l|m$ y $l|n$, por definición existen enteros $r$ y $s$ tales que $m=rl$ y $n=sl$. Al hacer la suma y usar la distributividad del producto sobre la suma obtenemos que $$m+n=rl+sl=(r+s)l.$$ Esto por definición está diciendo que $l$ divide a $m+n$.
  • Aquí podemos utilizar una propiedad anterior. Tenemos que $mn=nm$, por lo cual $mn$ es divisible entre $m$. Es decir, tenemos $l|m$ y $m|mn$. Así, por la transitividad de la divisibilidad, que ya probamos anteriormente, tenemos que $l|mn$.
  • Este inciso es consecuencia de los dos anteriores y, de hecho, ya no tenemos que usar la definición. Por el segundo inciso, como $l|m$, entonces $l|am$. Así mismo, como $l|n$, entonces $l|bn$. Finalmente, por el primer inciso, como $l|am$ y $l|bn$, entonces $l|am+bn$.

$\square$

Observa que si ponemos $a=1$ y $b=-1$ en la última propiedad obtenemos el siguiente corolario: si $l|m$ y $l|n$, entonces $l|m-n$.

Divisibilidad y orden en los enteros

Hay una tercera clase de propiedades que cumple la noción de divisibilidad: aquellas relacionadas con el orden en los enteros. Veamos esto.

Proposición. La noción de divisibilidad cumple las siguientes propiedades.

  • Si $m$ y $n$ son enteros distintos de cero tales que $m|n$, entonces $|m|\leq |n|$.
  • Si $m$ y $n$ son enteros positivos tales que $m|n$, entonces $m\leq n$.
  • Si $m$ y $n$ son enteros tales que $m|n$ y $n|m$, entonces $|m|=|n|$.

Demostración. Demostraremos la primera afirmación a detalle, pues a partir de ella salen las otras dos de manera prácticamente inmediata.

Tomemos dos enteros $m$ y $n$ tales que $m|n$. Por definición de divisibilidad, tenemos que existe un entero $k$ tal que $n=km$. Al tomar valor absoluto de esta expresión, obtenemos que $|n|=|km|$. Por propiedades del valor absoluto, tenemos que $|km|=|k||m|$. Como $n$ es distinto de cero, entonces $k$ también es distinto de cero, así que $|k|\geq 1$. De esta manera, tenemos la siguiente cadena de igualdades y desigualdades: $$|n|=|km|=|k||m|\geq 1\cdot |m| = |m|.$$

Esto es lo que queríamos demostrar.

Para el segundo inciso, como $m$ y $n$ son positivos, entonces entran en el caso del primer inciso. Además, por ser positivos tenemos $|m|=m$ y $|n|=n$. De este modo, por el primer inciso tenemos $m\leq n$.

En el tercer inciso primero tenemos que descartar algunos casos. Si $m=0$, entonces la divisibilidad $0|n$ nos dice que $n=k\cdot 0$ para alguna $k$ entera, pero entonces $n=0$ también, y entonces se cumple $|m|=0=|n|$. El caso $n=0$ es análogo. Ya descartados estos casos, podemos suponer que $m$ y $n$ son distintos de cero. Por el primer inciso tendríamos entonces $|m|\leq |n|$ y $|m|\geq |n|$. Así, $|m|=|n|$, como queríamos.

$\square$

Un ejemplo que usa varias propiedades de divisibilidad

¿Por qué es bueno recordar y saber cuándo usar propiedades de la divisibilidad? Porque nos permite simplificar ciertos problemas y resolverlos más fácilmente. Veamos un ejemplo.

Problema. Encuentra todos los divisores del número $12$.

Solución. Supongamos que $d$ es un divisor de $12$. Tenemos entonces que $|d|\leq |12|=12$, así, $d$ es un número entre $-12$ y $12$. Fuera de este rango no pueden existir divisores de $12$.

Por reflexividad tenemos que $12|12$. Por la propiedad de $1$ y $-1$ tenemos que $1|12$ y $-1|12$. Es fácil ver $12=2\cdot 6$ y $12=3\cdot 4$, así que $2$, $3$, $4$ y $6$ son todos ellos divisores de $12$. Los negativos de estos números también serán divisores entonces pues, por ejemplo, como $12=3\cdot 4$, también tenemos $12=(-3)(-4)$.

De este modo, hasta ahora hemos visto que $-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12$ son todos ellos divisores de $12$.

El $5$ claramente no es, pues al hacer el algoritmo de la división obtenemos $12=2\cdot 5 +2$, con residuo $2$. Entonces el $-5$ tampoco puede ser divisor.

Podríamos hacer lo mismo con $7,8,9,10,11$. Pero una forma fácil de ver que ninguno de ellos va a funcionar es que si intentáramos escribir $12=7k$, por ejemplo, se tiene que $k$ no puede ser $1$ (pues $12\neq 7$) y si ponemos $k\geq 2$ entonces el producto es al menos $14$, que ya se pasa de $12$. Así, ni estos números, ni $-7,-8,-9,-10,-11$ son divisores de $12$.

$\triangle$

Más adelante…

La noción de divisibilidad da pie a varios otros conceptos en la teoría de números enteros. Dentro de algunas entradas hablaremos de dos conceptos importantes: el de máximo común divisor y mínimo común múltiplo en los enteros. Sin embargo, antes de hacer esto tomaremos una pequeña desviación para hablar de un concepto un poco abstracto pero bastante útil: los ideales.

Tarea moral

  1. Encuentra todos los divisores del número $24$ (tanto los positivos, como los negativos) y verifica que en efecto cumplen con la definición dada en esta entrada.
  2. Encuentra contraejemplos para las siguientes afirmaciones:
    1. Si $l$, $m$ y $n$ son enteros tales que $l|m$ y $n|m$, entonces $l+n|m$.
    2. Si $l,m,n$ son enteros tales que $l|mn$, entonces o bien $l|m$ o bien $l|n$.
  3. Demuestra las siguientes dos propiedades de la noción de divisibilidad:
    1. Si $m$ y $n$ son enteros positivos tales que $m|n$ y $n|m$, entonces $m=n$.
    2. Si $m$ es divisor de $n$ con $n=km$, entonces $k$ también es divisor de $n$.
  4. Sean $m$ y $n$ enteros. Demuestra que $m$ divide a $n$ si y sólo si $m^2$ divide a $n^2$.
  5. Sea $n$ un entero positivo, $m$ un entero, $a_1,\ldots,a_n$ enteros y $b_1,\ldots,b_n$ enteros. Demuestra que si $m|b_i$ para todo $i=1,\ldots,n$, entonces $m| \sum_{i=1}^n a_ib_i$.

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Variable Compleja I: Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones necesarias para la diferenciabilidad compleja.

Por Pedro Rivera Herrera

2 respuestas

Introducción

Hasta ahora hemos visto que toda función compleja $f(z)$ diferenciable es continua, más aún sabemos que toda función compleja continua es de la forma: \begin{equation*} f(z) = u(x,y) + i v(x,y), \end{equation*} donde $u(x,y)$ y $v(x,y)$ son funciones reales continuas de variables $x,y$, por lo que resulta natural preguntarnos acerca de qué condiciones deben cumplir dichas funciones para que una función compleja $f(z)$ sea analítica. La respuesta a esta pregunta esta dada por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, a las cuales nos referiremos simplemente como las ecuaciones de C-R. Dichas ecuaciones aparecieron por primera vez en 1821 en los primeros trabajos del matemático fránces Augustin Louis Cauchy sobre integrales de funciones complejas. Su relación con la existencia de la derivada compleja apareció hasta 1851 en la tesis doctoral del matemático alemán Bernhard Riemann.

Como veremos a lo largo de las siguientes entradas, las ecuaciones de C-R resultan ser un pilar en la teoría de las funciones complejas, por lo que nuestro objetivo será deducirlas y obtener una serie de resultados que nos permitan caracterizar a las funciones analíticas mediante dichas ecuaciones.

Recordemos las siguientes definiciones vistas en nuestros cursos de cálculo.

Definición 17.1. (Derivada parcial.)
Supongamos que $u: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ es una función real de variables reales, $x,y$, definida en un conjunto abierto no vacío $U\subset \mathbb{R}^2$. Si consideramos a la variable $y$ como constante, entonces podemos pensar a $u$ como una función únicamente de $x$ y derivar con respecto a $x$. Entonces: \begin{equation*} \frac{\partial u }{\partial x}(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h, y) – u(x,y)}{h}. \end{equation*}

En caso de existir dicho límite lo llamaremos la derivada parcial de $u$ con respecto a $x$ y es denotada como $\frac{\partial u }{\partial x}$ o $u_x$. Dicha derivada resulta ser una función evaluada en el punto $(x,y)$, lo cual se suele omitir por simplicidad en la notación.

Análogamente, fijando a $x$ y considerando a $u(x,y)$ como una función de $y$, tenemos al derivar con respecto a $y$ la derivada parcial de $u$ con respecto a $y$, es decir: \begin{equation*} \frac{\partial u }{\partial y}(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x, y+h) – u(x,y)}{h}. \end{equation*}

Definición 17.2. (Funciones clase $C^k$.)
Si $U\subset\mathbb{R}^2$ es un conjunto abierto y $u:U\to\mathbb{R}$ es una función, entonces $u$ es llamada de clase $C^1$ o continuamente diferenciable en $U$ si $\partial u/\partial x$ y $\partial u/\partial y$ existen y son continuas en $U$. Lo anterior se denota de forma abreviada como $u\in C^1(U)$.

De forma general si $k\in\mathbb{N}$, entonces una función real $u$ definida en $U\subset\mathbb{R}^2$, es llamada de clase $C^k$ o $k$-veces continuamente diferenciable si todas las derivadas parciales hasta el orden $k$ existen y son continuas en $U$. En dicho caso escribimos $u\in C^k(U)$. En particular, diremos que una función $u$ es clase $C^0$ si simplemente es una función continua.

Entonces, para $U\subset \mathbb{C}$ abierto, una función $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$ definida en $U$, es llamada de clase $C^k$ si $u$ y $v$ son de clase $C^k$.

Observación 17.1.
A partir de ahora usaremos la notación $U$ para denotar conjuntos abiertos en $\mathbb{C}$ y $D$ para denotar dominios o regiones en $\mathbb{C}$, estos conceptos se abordaron en la Unidad 1: Introducción y preliminares.

De acuerdo con la observación 16.2 sabemos que si una función $f:U\to\mathbb{C}$ es diferenciable en un punto $z_0\in U$, entonces el límite: \begin{equation*} f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) – f(z_0)}{z-z_0} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(z_0 + h) – f(z_0)}{h}, \end{equation*} existe y es único sin importar como $h$ se aproxime a $0$ en el plano complejo. Sin embargo es importante notar que al igual que en el caso de funciones reales, podemos considerar a dos direcciones privilegiadas cuando $h \to 0$, figura 73, las cuales son:

  1. a lo largo de un eje paralelo al eje real, es decir cuando $h\in \mathbb{R}$,
  2. a lo largo de un eje paralelo al eje imaginario, es decir cuando $h=ki\in\mathbb{C}$, con $k\in\mathbb{R}$, es un número complejo puro.
Figura 73: Gráfica de las dos direcciones privilegiadas por las que $z$ se aproxima a $z_0$ al calcular $f'(z_0)$.

Veamos entonces qué sucede al calcular el límite que define a $f'(z)$ si consideramos las direcciones privilegiadas descritas previamente. Supongamos que $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ es una función diferenciable en un punto $z_0=x_0+iy_0\in U$, con $U \subset \mathbb{C}$ abierto.

Si $h$ es real, entonces: \begin{align*} f'(z_0) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0+h) – f(z_0)}{h}\\ & = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{u(x_0+h,y_0) – u(x_0,y_0)}{h} + i \frac{v(x_0+h,y_0) – v(x_0,y_0)}{h}\right]\\ & = \lim_{h \to 0} \frac{u(x_0+h,y_0) – u(x_0,y_0)}{h} + i \lim_{h \to 0} \frac{v(x_0+h,y_0) – v(x_0,y_0)}{h}\\ & = \frac{\partial u}{ \partial x}(x_0,y_0) + i \frac{\partial v}{ \partial x}(x_0,y_0)\\ & =: \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) = f_x(z_0). \tag{17.1} \end{align*}

Si $h$ es un número imaginario puro, es decir $h=ik$, con $k$ real, entonces $h\to 0$ si y solo si $k\to 0$, por lo que: \begin{align*} f'(z_0) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0+h) – f(z_0)}{h}\\ & = \lim_{k \to 0} \left[ \frac{u(x_0,y_0+k) – u(x_0,y_0)}{ik} + i \frac{v(x_0,y_0+k) – v(x_0,y_0)}{ik}\right]\\ & = \frac{1}{i}\lim_{k \to 0} \frac{u(x_0,y_0+k) – u(x_0,y_0)}{k} + \lim_{k \to 0} \frac{v(x_0,y_0+k) – v(x_0,y_0)}{k}\\ & = -i \frac{\partial u}{ \partial y}(x_0,y_0) + \frac{\partial v}{ \partial y}(x_0,y_0)\\ & =: -i\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) = -i f_y(z_0). \tag{17.2} \end{align*}

De ambos casos es claro que la existencia de las cuatro derivadas parciales: \begin{equation*} \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial u}{\partial y}, \quad \frac{\partial v}{\partial x}, \quad \frac{\partial v}{\partial y} \end{equation*} en el punto $(x_0,y_0)$, está garantizada por la existencia del límite que define a la derivada compleja en el punto $z_0 = x_0 +iy_0 \in U$.

Observación 17.1.
Hemos introducido en las últimas igualdades de las ecuaciones (17.1) y (17.2) una notación usual en algunos textos para referirnos a la derivada de una función compleja en términos de las derivadas parciales de las funciones $u$ y $v$, es importante no confundirnos con dicha notación la cual se usará de manera indistinta en el curso.

Dado que $f'(z_0)$ existe sin importar la dirección en que $h$ se aproxime a $0$, entonces los dos límites dados en (17.1) y (17.2) deben ser iguales, es decir: \begin{equation*} f'(z_0) = \frac{\partial u}{ \partial x}(x_0,y_0) + i \frac{\partial v}{ \partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial v}{ \partial y}(x_0,y_0) -i \frac{\partial u}{ \partial y}(x_0,y_0), \tag{17.3} \end{equation*} o equivalentemente: \begin{equation*} f'(z_0) = f_x(z_0) = -i f_y(z_0). \tag{17.4} \end{equation*}

Igualando las partes reales e imaginarias de estos dos números complejos tenemos que: \begin{equation*} \frac{\partial u}{ \partial x} (x_0, y_0)= \frac{\partial v}{ \partial y}(x_0, y_0), \quad \text{y} \quad \frac{\partial u}{ \partial y}(x_0, y_0) = – \frac{\partial v}{ \partial x}(x_0, y_0). \tag{17.5} \end{equation*}

Al par de ecuaciones diferenciales parciales dado en (17.5) se les conoce como las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Con lo anterior hemos probado el siguiente resultado.

Teorema 17.1. (Ecuaciones de Cauchy-Riemann.)
Sean $U\subset \mathbb{C}$ un conjunto abierto y $f:U\to \mathbb{C}$ una función. Si $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ es analítica en un punto $z_0=x_0 +iy_0\in U$, entonces existen las derivadas parciales: \begin{equation*} \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial u}{\partial y}, \quad \frac{\partial v}{\partial x}, \quad \frac{\partial v}{\partial y} \end{equation*} en $(x_0,y_0)$ y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann (17.5) en dicho punto. En tal caso se tiene que: \begin{equation*} f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) + i \frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0) – i \frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0). \end{equation*}

$\blacksquare$

Corolario 17.1.
Si $f(z)=u(x,y) + iv(x,y)$ es una función analítica en un conjunto abierto $U\subset\mathbb{C}$, entonces las ecuaciones de C-R se satisfacen en todo punto de $U$.

$\blacksquare$

De acuerdo con el corolario 16.1 de la entrada anterior, sabemos que todo polinomio complejo es una función entera, es decir, analítica en todo $\mathbb{C}$, por lo que de acuerdo con el corolario 17.1 se deben cumplir las ecuaciones de C-R para todo $z=x+iy\in\mathbb{C}$.

Ejemplo 17.1
Consideremos al polinomio complejo $f(z) = 2z^2 + 3z$, para $z=x+iy\in\mathbb{C}$, veamos que se satisfacen las ecuaciones de C-R en $\mathbb{C}$ y obtengamos la derivada de $f$.

Solución. Tenemos que: \begin{equation*} f(z) = 2(x^2 – y^2) + 3x + i(4xy + 3y), \end{equation*} de donde $u(x,y) = 2(x^2 – y^2) + 3x$ y $v(x,y) = 4xy + 3y$.

Entonces para todo $z=x+iy\in\mathbb{C}$ se satisfacen las ecuaciones de C-R: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} = 4x + 3 = \frac{\partial v}{\partial y},\\ \frac{\partial u}{\partial y} = -4y = – \frac{\partial v}{\partial x}. \end{align*}

Por otra parte, de acuerdo con el teorema 1 tenemos que la derivada de $f$ es: \begin{equation*} f'(z) = 4x+3 + i4y = 4(x+iy) + 3 = 4z + 3. \end{equation*}

Observación 17.3.
El teorema 17.1 establece que una condición necesaria para que una función $f(z)=u(x,y)+i v(x,y)$ sea analítica en un punto $z_0\in U \subset\mathbb{C}$ es que las ecuaciones de C-R se satisfagan en dicho punto.

La importancia del teorema 17.1 y del corolario 17.1 radica en que tenemos ahora un criterio para determinar cuando una función no es analítica por medio de las ecuaciones de C-R. Para mostrar esto consideremos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 17.2.
De acuerdo con el ejemplo 16.3 de la entrada anterior, sabemos que las funciones $f(z) = \overline{z}$ y $g(z) = \operatorname{Re}(z)$ no son analíticas en ningún punto de $\mathbb{C}$. Utilizando la contrapuesta del corolario 17.1 procedemos a verificar nuestro resultado.

Solución. Es claro que ambas funciones están definidas en todo $\mathbb{C}$. Sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$.

a) Para $f(z) = \overline{z} = x – iy$ tenemos que $u(x,y) = x$ y $v(x,y) = -y$, por lo que: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} = 1 \quad \text{y} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 0,\\ \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \quad \text{y} \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -1. \end{align*} Es claro que $\partial u/\partial x \neq \partial v/\partial y$ para todo $z = x+iy \in \mathbb{C}$, por lo que $f$ no es analítica en ningún punto.

b) Por otra parte, para $g(z) = \operatorname{Re}(z) = x$ tenemos que $u(x,y) = x$ y $v(x,y) = 0$, por lo que: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} = 1 \quad \text{y} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 0,\\ \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \quad \text{y} \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 0. \end{align*} Tenemos que $\partial u/\partial x \neq \partial v/\partial y$ y $\partial u/\partial y \neq -\partial v/\partial x$ para todo $z = x+iy \in \mathbb{C}$, por lo que $f$ no es analítica en ningún punto.

Ejemplo 17.3.
Sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$. Veamos que la función compleja $f(z) = 2x^2 +y +i(y^2-x)$ no es analítica en ningún punto.

Solución. Notemos que $u(x,y) = 2x^2 + y$ y $v(x,y) = y^2 – x$, entonces: \begin{equation*} \frac{\partial u}{\partial x} = 4x \quad \text{y} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 1, \end{equation*} \begin{equation*} \frac{\partial v}{\partial x} = -1 \quad \text{y} \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2y. \end{equation*}

Es claro que $\partial u/\partial y = -\partial v/\partial x$ para todo $z=x+iy \in \mathbb{C}$, mientras que la igualdad $\partial u/\partial x = \partial v/\partial y$ se satisface solamente en la recta $y=2x$. Sin embargo, para todo punto $z=x+iy$ sobre dicha recta, no existe un disco abierto alrededor de $z$ en el cual $f$ sea diferenciable, por lo que $f$ no es analítica en ningún punto.

Es importante notar que aunque se satisfagan las ecuaciones de C-R en un punto $z_0= x_0+iy_0\in D$, esto no es suficiente para garantizar la existencia de $f'(z_0)$ en $D$, desde que existen muchas otras direcciones por las que $z$ se aproxima a $z_0$ al calcular el límite que define a $f'(z_0)$. Consideremos el siguiente ejemplo para verificar lo anterior.

Ejemplo 17.4.
Sea $z=x+iy$. Veamos que la función: \begin{equation*} f(z)= \left\{\begin{array}{lcc} \dfrac{x^3(1+i) – y^3(1-i)}{x^2+y^2}& \text{si} & z\neq 0, \\ 0 & \text{si} & z = 0, \end{array} \right. \end{equation*} es continua en $z=0$ y que en dicho punto se satisfacen las ecuaciones de C-R, pero $f'(0)$ no existe.

Solución. Sea $f(z)=u(z)+iv(z)$, entonces para $z\neq 0$ tenemos que: \begin{equation*} u(x,y) = \frac{x^3 – y^3}{x^2+y^2}, \quad v(x,y) = \frac{x^3 + y^3}{x^2+y^2}, \end{equation*} con $x\neq 0$ y $y\neq 0$.

Primeramente verifiquemos que $f(z)$ es continua en todo $\mathbb{C}$. Es claro que si $z\neq 0$, entonces las funciones racionales $u(x,y)$ y $v(x,y)$ están bien definidas y son continuas, por lo que en dicho caso $f(z)$ es continua. Probemos ahora que $f(z)$ es continua en $z=0$. Utilizando coordenadas polares tenemos que: \begin{equation*} u(r,\theta) = r\left(\operatorname{cos}^3(\theta) – \operatorname{sen}^3(\theta)\right), \quad v(r,\theta) = r\left(\operatorname{cos}^3(\theta) + \operatorname{sen}^3(\theta)\right). \end{equation*}

Notemos que si $z\to 0$, entonces $r \to 0$, para cualquier argumento $\theta$, por lo que: \begin{equation*} \lim_{r \to 0} u(r,\theta) = \lim_{r \to 0} v(r,\theta) = 0, \end{equation*} entonces: \begin{equation*} \lim_{z \to 0} f(z) = 0 = f(0), \end{equation*} por lo que $f(z)$ es continua en $z=0$ y por tanto es continua en todo $\mathbb{C}$.

Veamos ahora que en $z=0$ las ecuaciones de C-R se satisfacen. Si $z=0$, entonces: \begin{align*} f(0) = 0 \quad & \Longleftrightarrow \quad u(0,0) + iv(0,0) = 0\\ & \Longleftrightarrow \quad u(0,0) = v(0,0) = 0. \end{align*} Por definición tenemos que: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} (0,0) & = \lim_{h\to 0}\frac{u(h,0) – u(0,0)}{h}\\ & = \lim_{h\to 0}\frac{h – 0}{h}\\ & = 1. \end{align*} \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial y} (0,0) & = \lim_{h\to 0}\frac{u(0,h) – u(0,0)}{h}\\ & = \lim_{h\to 0}\frac{-h – 0}{h}\\ & = -1. \end{align*} Mientras que: \begin{align*} \frac{\partial v}{\partial x} (0,0) & = \lim_{h\to 0}\frac{v(h,0) – v(0,0)}{h}\\ & = \lim_{h\to 0}\frac{h – 0}{h}\\ & = 1. \end{align*} \begin{align*} \frac{\partial v}{\partial y} (0,0) & = \lim_{h\to 0}\frac{v(0,h) – v(0,0)}{h}\\ & = \lim_{h\to 0}\frac{h – 0}{h}\\ & = 1. \end{align*} Entonces, en el origen tenemos que: \begin{equation*} \frac{\partial u}{ \partial x} = \frac{\partial v}{ \partial y}, \quad \frac{\partial v}{ \partial x} = -\frac{\partial u}{ \partial y}, \end{equation*} por lo que en $z=0$ se satisfacen las ecuaciones de C-R. Sin embargo, $f(z)$ no es diferenciable en dicho punto.

Para $z=x+iy$ tenemos que: \begin{align*} f'(0) & = \lim_{z \to 0} \frac{f(z) – f(0)}{z}\\ & = \lim_{z \to 0} \frac{f(z) – 0}{z}\\ & = \lim\limits_{\begin{subarray}{l} x \to 0\\ y \to 0 \end{subarray}} \frac{(x^3 – y^3) + i (x^3 + y^3)}{(x^2+y^2)(x+iy)}. \end{align*} Notemos que si $z$ se aproxima $0$ a lo largo de la recta $y=x$, entonces: \begin{align*} f'(0) & = \lim_{z \to 0} \frac{f(z) – f(0)}{z}\\ & = \lim_{x \to 0} \frac{2ix^3}{2x^3(1+i)}\\ & = \frac{i}{1+i}. \end{align*} Por otra parte, si $z$ se aproxima $0$ a lo largo del eje real $x$, es decir si $y=0$, entonces: \begin{align*} f'(0) & = \lim_{z \to 0} \frac{f(z) – f(0)}{z}\\ & = \lim_{x \to 0} \frac{x^3(1+i)}{x^3}\\ & = 1+i. \end{align*} Dado que estos límites son distintos, entonces $f'(0)$ no existe y por tanto $f(z)$ no es diferenciable en $z=0$.

De acuerdo con la proposición 16.1 de la entrada anterior, sabemos que una consencuencia de la analicidad de una función $f$ en un punto $z_0 \in U\subset\mathbb{C}$, es la continuidad de la función $f$ en dicho punto. Sin embargo, el ejemplo 17.4 muestra que el recíproco de dicha proposición no es cierto, pues la función $f(z)$ de dicho ejemplo es continua en $z_0 = 0$, pero no es analítica en dicho punto.

Observación 17.4.
De nuestros cursos de geometría sabemos que al trabajar con coordenadas polares es posible establecer una transformación biunívoca entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas mediante la transformación: \begin{align*} T: (0,\infty) \times (-\pi,\pi] \to \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\},\\ T(r,\theta)=(r\operatorname{cos}(\theta), r\operatorname{sen}(\theta)). \end{align*} Por ejemplo, para el conjunto de puntos: \begin{equation*} U^* = \left\{(r,\theta) : 1\leq r \leq 2 \, \, \text{y} \,\, 0\leq \theta \leq \pi/2\right\}, \end{equation*} se tiene que $T(U^*) = U$, con: \begin{equation*} U = \left\{(x,y) : 1/2 \leq x \leq 1 \, \, \text{y} \,\, \sqrt{1-x^2} \leq y \leq \sqrt{3} x \right\}\cup \left\{(x,y) : 1 \leq x \leq 2 \, \, \text{y} \,\, 0 \leq y \leq \sqrt{4-x^2}\right\}. \end{equation*}

De acuerdo con la observación 12.5, al considerar a $z\in\mathbb{C}$, $z\neq 0$, en su forma polar, es posible expresar a una función compleja $f(z)$ en términos de su parte real e imaginaria, las cuales son funciones reales de las variables $r$ y $\theta$, por lo que considerando la transformación anterior, resulta sencillo verificar el siguiente resultado.

Proposición 17.1. (Forma polar de las ecuaciones de C-R.)
Sean $U\subset\mathbb{C}\setminus{0}$ un conjunto abierto y $f\in\mathcal{F}(U)$ una función. Si la función $f(z)=u(x,y) + iv(x,y)$ es analítica en $U$, entonces considerando la transformación dada por $x=r\operatorname{cos}(\theta)$, $y=r\operatorname{sen}(\theta)$, para $(r,\theta)\in U^*$ y $U^* \subset (0,\infty)\times(-\pi, \pi]$, se tiene que las ecuaciones de Cauchy-Riemann en su forma polar están dadas por: \begin{equation*} \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta} \quad \text{y} \quad \frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta}, \tag{17.6} \end{equation*} las cuales existen para cada punto de $U$.

Más aún, en consecuencia con el teorema 1, se tiene que para $z_0 = r_0 \operatorname{cis}(\theta_0) \in U$, un punto donde $f$ es analítica, se cumple que: \begin{align*} f'(z_0) & = \operatorname{cis}(-\theta) \left[ \frac{\partial u}{\partial r} (r_0, \theta_0)+ i \frac{\partial v}{\partial r}(r_0, \theta_0)\right]\\ & = \left[\operatorname{cos}(\theta) – i \operatorname{sen}(\theta) \right]\left[ u_r(r_0, \theta_0)+ i v_r(r_0, \theta_0)\right]. \end{align*}

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Ejemplo 17.5.
Consideremos a la función $f(z) = \dfrac{1}{z^2}$. De acuerdo con el corolario 16.1 sabemos que dicha función es analítica en $\mathbb{C}\setminus\{0\}$, por lo que considerando a $z\neq 0$ en coordenadas polares podemos verificar que se cumplen las ecuaciones de C-R en su forma polar para todo $(r,\theta) \in (0,\infty) \times (-\pi,\pi]$ o equivalentemente, por la observación 17.4, para todo $z \in \mathbb{C}\setminus\{0\}$.

Solución.
Sea $z=r\operatorname{cis}(\theta) \neq 0$, con $r = |\,z\,|$ y $\theta = \operatorname{Arg} z$. Por la fórmula de De Moivre tenemos que: \begin{align*} f(z) = \frac{1}{z^2} & = \frac{1}{\left[r\operatorname{cis}(\theta)\right]^2}\\ & = \frac{1}{r^2\left[\operatorname{cos}(2\theta) + \operatorname{sen}(2\theta)\right]}\\ & = \frac{\operatorname{cos}(2\theta) – i \operatorname{sen}(2\theta)}{r^2}\\ & = \frac{\operatorname{cos}(2\theta)}{r^2} – i \frac{\operatorname{sen}(2\theta)}{r^2}. \end{align*} Entonces: \begin{align*} u(r,\theta) = \frac{\operatorname{cos}(2\theta)}{r^2},\\ v(r,\theta) = – \frac{\operatorname{sen}(2\theta)}{r^2}. \end{align*} Tenemos que para todo $(r,\theta)\in(0,\infty)\times (-\pi,\pi]$ se cumple que: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial r} = – \frac{2\operatorname{cos}(\theta)}{r^3} = \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta},\\ \frac{\partial v}{\partial r} = \frac{2\operatorname{sen}(\theta)}{r^3} = -\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta}. \end{align*} Por lo tanto, para todo $z=r\operatorname{cis}(\theta) \in \mathbb{C}\setminus\{0\}$ se satisfacen las ecuaciones de C-R.

Es claro que utilizando las reglas de derivación vistas en la entrada anterior es posible obtener la derivada de $f$ para todo $z\neq 0$, sin embargo utilizando la proposición 17.1 tenemos que: \begin{align*} f'(z) & = \operatorname{cis}(-\theta) \left[ \frac{\partial u}{\partial r}+ i \frac{\partial v}{\partial r}\right]\\ & = \left[\operatorname{cos}(\theta) – i \operatorname{sen}(\theta) \right]\left[ – \frac{2\operatorname{cos}(\theta)}{r^3} + i \frac{2\operatorname{sen}(\theta)}{r^3}\right]\\ & = – \frac{2}{r^3} \left[ \left( \operatorname{cos}^3(\theta) -3\operatorname{sen}^2(\theta) \operatorname{cos}(\theta)\right) – i \left( 3\operatorname{cos}^2(\theta) \operatorname{sen}(\theta) – \operatorname{sen}^3(\theta) \right)\right]\\ & = – \frac{2}{r^3} \left[ \operatorname{cos}(-3\theta) + i \operatorname{sen}(-3\theta)\right]\\ & = – \frac{2}{r^3 \operatorname{cis}(3\theta)}\\ & = – \frac{2}{\left( r \operatorname{cis}(\theta)\right)^3} = – \frac{2}{z^3}. \end{align*}

Ejemplo 17.6.
De acuerdo con el ejemplo 16.5 sabemos que $f_0$, es decir la rama principal de la función multivaluada $F(z)=\sqrt{z}$, es analítica en el dominio $D=\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$. Veamos que se cumplen las ecuaciones de C-R en $D$.

Solución. Sea $z\in D$. Escribiendo $z = r\operatorname{cis}(\theta)$, con $r=|\,z\,|$ y $\theta =\operatorname{Arg}(z)$, entonces: \begin{align*} f_0(z) & = \sqrt{r}\operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right)\\ & = \sqrt{r}\operatorname{cos}\left(\frac{\theta}{2}\right) + i \sqrt{r}\operatorname{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)\\ & = u(r,\theta) + iv(r,\theta). \end{align*}

Es claro que para todo $(r,\theta)\in(0,\infty)\times (-\pi,\pi)$ se cumple que: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\operatorname{cos}\left(\frac{\theta}{2}\right)}{2\sqrt{r}} = \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta},\\ \frac{\partial v}{\partial r} = \frac{\operatorname{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta}. \end{align*}

Por lo que para todo $z = r\operatorname{cis}(\theta)\in D$ se cumplen las ecuaciones de C-R.

Tarea moral

  1. Demuestra la proposición 17.1.
    Hint: Observa que $u(x,y) = u(r\operatorname{cos}(\theta), r\operatorname{sen}(\theta))$ y $v(x,y) = v(r\operatorname{cos}(\theta), r\operatorname{sen}(\theta))$. Dado que la función $f$ es analítica en el abierto $U$, por el corolario 1 se satisfacen las ecuaciones de C-R en $U$, por lo que utilizando la regla de la cadena para funciones reales de dos variables se tiene que: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r}, \quad \frac{\partial u}{\partial \theta} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta},\\ \frac{\partial v}{\partial r} = \frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial v}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r}, \quad \frac{\partial v}{\partial \theta} = \frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial v}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta}. \tag{17.7} \end{align*}
  2. De las ecuaciones dadas en (17.7), resuelve para $u_x$, $u_y$, $v_x$ y $v_y$ y concluye que: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial r} \operatorname{cos}(\theta) – \frac{\partial u}{\partial \theta} \frac{\operatorname{sen(\theta)}}{r}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial r} \operatorname{sen}(\theta) + \frac{\partial u}{\partial \theta}\frac{\operatorname{cos(\theta)}}{r},\\ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial r} \operatorname{cos}(\theta) – \frac{\partial v}{\partial \theta} \frac{\operatorname{sen(\theta)}}{r}, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial r} \operatorname{sen}(\theta) + \frac{\partial v}{\partial \theta}\frac{\operatorname{cos(\theta)}}{r}. \end{align*} Suponiendo que el teorema 1 se cumple para la forma polar de las ecuaciones de C-R, utiliza las ecuaciones anteriores para verificar que las ecuaciones de C-R se verifican ahora para las funciones reales $u(x,y)$ y $v(x,y)$. Con esto se verifica que las ecuaciones dadas en (17.6) en efecto son la forma polar de las ecuaciones de C-R.
  3. Prueba que las siguientes funciónes no son analíticas en su dominio.
    a) $f(z) = |\,z\,|^2$, pero es diferenciable en $z=0$.
    b) $f(z) = y + ix$, para $z=x+iy\in\mathbb{C}$.
    c) $f(z) = \overline{z}^2$ para $z=x+iy\in\mathbb{C}$.
    d) $f(z) = 4z – 6 \overline{z} + 3$ para $z=x+iy\in\mathbb{C}$.
  4. Supón que $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ es una función analítica en un conjunto abierto $U\subset\mathbb{C}$. Sean $h(z) = \overline{f(z)}$ y $g(z) = v(x,y) + iu(x,y)$ dos funciones complejas definidas en el mismo conjunto $U$, entonces ¿son $h$ y $g$ funciones analíticas en $U$?
  5. Sean $U\subset\mathbb{C}$ un conjunto abierto y $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ una función analítica en un $U$. Prueba que:
    a) $f'(z) = u_x(z) – i u_y(z) = v_y(z) + i v_x(z)$.
    b) $|\,f'(z)\,|^2 = u_x^2 + u_y^2 = v_x^2 + v_y^2$, para todo $z=x+iy\in U$.
  6. Considera la siguiente función: \begin{equation*} f(z)= \left\{\begin{array}{lcc} \dfrac{z^5}{|\,z\,|^4}& \text{si} & z\neq 0, \\ 0 & \text{si} & z = 0. \end{array} \right. \end{equation*} Muestra que en $z=0$ la función $f$ satisface las ecuaciones de C-R, pero $f'(0)$ no existe.

Más adelante…

En esta entrada hemos deducido las ecuaciones de Cauchy-Riemann y probamos que para una función compleja $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ dichas ecuaciones resultan ser un conjunto de condiciones necesarias que deben satisfacer la parte real y la parte imaginaria, $u$ y $v$ respectivamente, en un punto donde $f(z)$ es analítica. Sin embargo, vimos mediante algunos ejemplos que dichas ecuaciones no son una condición suficiente para garantizar la analicidad de una función en un conjunto abierto $U\subset\mathbb{C}$.

Lo anterior nos motiva a preguntarnos bajo qué condiciones, además de las ecuaciones de C-R, las funciones reales $u$ y $v$ nos permiten garantizar que una función compleja $f(z)$ sea analítica en $U$, lo cual responderemos en la siguiente entrada.

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