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Álgebra Moderna I: Homomorfismo, Monomorfismo, Epimorfismo, Isomorfismo y Automorfismo

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Lo sé, el título parece un trabalenguas. Pero ten paciencia, en realidad no es tan complicado.

A lo largo de este curso hemos estado trabajando con grupos, ahora vamos a pensar en funciones que respetan de alguna manera la estructura de los grupos.

Tomemos por ejemplo el grupo de Klein, $V = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}$ , es un grupo que tiene un neutro $(0, 0)$ y los otros tres elementos comparten que: tienen orden 2, si se suman consigo mismos obtenemos el neutro y si sumamos dos, obtenemos el tercero:

$\begin{aligned} (1, 0) + (1, 0) & = (0, 0) \\ (0, 1) + (0, 1) & = (0, 0) \\ (1, 1) + (1, 1) & = (0, 0) . \end{aligned}$

$\begin{aligned} (1, 0) + (0, 1) & = (1, 1) \\ (0, 1) + (1, 1) & = (1, 0) \\ (1, 1) + (1, 0) & = (0, 1) . \end{aligned}$

Por otro lado, podemos tomar el conjunto $P = {(1), (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}$ . $P$ es un grupo que tiene un neutro $(1)$ y los otros tres elementos comparten que: tienen orden 2, si se componen consigo mismos obtenemos el neutro y si componemos dos, obtenemos el tercero:

$\begin{aligned} (1 2) (3 4) (1 2) (3 4) & = (1) \\ (1 3) (2 4) (1 3) (2 4) & = (1) \\ (1 4) (2 3) (1 4) (2 3) & = (1) . \end{aligned}$

$\begin{aligned} (1 2) (3 4) (1 3) (2 4) & = (1 4) (2 3) \\ (1 3) (2 4) (1 4) (2 3) & = (1 2) (3 4) \\ (1 4) (2 3) (1 2) (3 4) & = (1 3) (2 4) . \end{aligned}$

¿Suena familiar? Bueno, esto es porque a pesar de que son grupos distintos, con elementos y operaciones muy diferentes, estructuralmente son iguales.

Para formalizar esta idea, nos gustaría observar que existe una correspondencia entre los dos grupos. Esta correspondencia es biyectiva y además tiene que respetar la estructura de las operaciones. Entonces sería algo así:

$\begin{aligned} (0, 0) & ⟶ (1) \\ (1, 0) & ⟶ (1 2) (3 4) \\ (0, 1) & ⟶ (1 3) (2 4) \\ (1, 1) & ⟶ (1 4) (2 3) . \end{aligned}$

En este caso decimos que $V$ y $P$ son isomorfos. Lo definiremos formalmente más adelante, por ahora es importante que observes que esta correspondencia mantiene la estructura de las operaciones de los grupos. Así, este es el objetivo de la entrada, definir y trabajar con funciones (no necesariamente biyectivas) que mantengan las operaciones de dos grupos. Estas funciones son llamadas homomorfismos.

¿Qué son todos estos homomorfismos?

Primero, comencemos definiendo lo más general. Una función que mantenga las operaciones entre grupos.

Definición. Sean $(G, *), (\bar{G}, \bar{*})$ grupos. Decimos que la función $φ : G \mapsto \bar{G}$ (ó $φ : (G, *) \mapsto (\bar{G}, \bar{*})$ ) es un homomorfismo de grupos si
$φ (a * b) = φ (a) \bar{*} φ (b) \forall a, b \in G .$

Se puede decir que $φ$ «abre» a la operación.

Definiciones varias.

Ahora, le agregaremos condiciones a $φ$ . Dependiendo de qué condición extra cumpla, el homorfismo tomará otro nombre.

Si el homomorfismo $φ$ es inyectivo se llama monomorfismo.
Si el homomorfismo $φ$ es suprayectivo se llama epimorfismo.
Si el homomorfismo $φ$ es biyectivo se llama isomorfismo.
Un isomorfismo de un grupo en sí mismo se llama automorfismo.

Notación. Si $φ$ es un isomorfismo decimos que $G$ es isomorfo a $\bar{G}$ y lo denotamos como $G ≅ \bar{G}$ .

Puede parecer mucho vocabulario nuevo, así que guarda esta entrada para recordar qué es cada uno.

Ejemplos.

Ejemplo 1.Tomemos $φ : (Z, +) \mapsto (Z_{n}, +)$ con $φ (a) = \bar{a}$ para toda $a \in Z$ . Es decir, $φ$ manda a cada entero a su clase módulo $n$ .

Veamos qué sucede con la suma :
$φ (a + b) = \overset{―}{a + b} = \bar{a} + \bar{b} = φ (a) + φ (b)$ para toda $a, b \in Z$ .

Además, dado $\bar{a} \in Z_{n}, \bar{a} = φ (a)$ . Entonces $φ$ es suprayectiva.
Por lo tanto $φ$ es un epimorfismo.

Ejemplo 2. Sea $n \in N^{+}$ .
Tomamos $φ : (S_{n}, \circ) \mapsto (S_{n + 1}, \circ)$ donde para cada $α \in S_{n}$ se define $φ (α) \in S_{n + 1}$ tal que
$\begin{array}{r} φ (α) (i) = {\begin{cases} α (i) & si i \in {1, \dots, n} \\ n + 1 & si i = n + 1 \end{cases} \end{array}$

Es decir, se mantienen las permutaciones de $S_{n}$ pero se consideran como elementos de $S_{n + 1}$ pensando que dejan fijo a $n + 1$ .

Ahora veamos qué sucede con el producto, sean $α, β \in S_{n}$ :
$\begin{aligned} φ (α) φ (β) (i) & = φ (α) (φ (β) (i)) \\ = {\begin{cases} α (β (i)) & si i \in {1, \dots, n} \\ n + 1 & si i = n + 1 \end{cases} \\ = φ (α β) (i) \end{aligned}$

Además, si $φ (α) = (1)$ entonces $α (i) = i$ para todo $i \in {1, \dots, n}$ . Así $α = (1) .$ Por lo que $φ$ es inyectiva.
En conclusión, $φ$ es un monomorfismo.

Ejemplo 3. Sea $φ : (R, +) \mapsto (R^{+}, \cdot)$ con $φ (x) = e^{x}$ para todo $x \in R$ .
Entonces, para la suma de dos elementos en el dominio $x, y \in R$ tendríamos,
$φ (x + y) = e^{x + y} = e^{x} e^{y} = φ (x) φ (y) .$
Sabemos que $ψ : R^{+} \mapsto R$ con $ψ (y) = \ln (y)$ para toda $y \in R^{+}$ es la inversa de $φ$ , así $φ$ es biyectiva.
Por lo tanto $φ$ es un isomorfismo.

Ejemplo 4. Veamos un ejemplo más abstracto. Sea $G$ un grupo y $g \in G$ . Y, dadas $x, y \in G$ , definimos
$γ_{g} (x y) = g (x y) g^{- 1} = (g x g^{- 1}) (g y g^{- 1}) = γ_{g} (x) γ_{g} (y) .$
Además, para toda $x \in G$ ,
$\begin{array}{r} γ_{g} \circ γ_{g^{- 1}} (x) = γ_{g} (g^{- 1} x g) = g (g^{- 1} x g) g^{- 1} = x \\ γ_{g^{- 1}} \circ γ_{g} (x) = γ_{g^{- 1}} (g x g^{- 1}) = g^{- 1} (g x g^{- 1}) g = x . \end{array}$
Donde, $g^{- 1}$ existe porque $G$ es un grupo. Así, lo anterior nos indica que $γ_{g}$ es un homomorfismo invertible, que además tiene como dominio y codominio a $G$ .

Por lo tanto $γ_{g}$ es un automorfismo.

Propiedades de los homomorfismos

Proposición. El inverso de un isomorfismo es un isomorfismo.

Demostración.

Sean $(G, *), (\bar{G}, \bar{*})$ grupos, $φ : G \mapsto \bar{G}$ es un isomorfismo.
Tomemos $c, d \in \bar{G}$ .

Como $φ$ es suprayectiva, existen $a, b \in G$ tales que $φ (a) = c$ y $φ (b) = d$ .

$\begin{aligned} φ^{- 1} (c \bar{*} d) & = φ^{- 1} (φ (a) \bar{*} φ (b)) \\ = φ^{- 1} (φ (a * b)) & φ es un homomorfismo \\ = φ^{- 1} \circ φ (a * b) \\ = a * b & Composición de inversas \\ = φ^{- 1} (c) * φ^{- 1} (d) & Pues φ (a) = c, φ (b) = d \end{aligned}$

Así, $φ^{- 1}$ es un homomorfismo y como es biyectivo por ser invertible, entonces $φ^{- 1}$ es un isomorfismo.

Proposición. La composición de homomorfismos es un homomorfismo.

Demostración.

Sean $(G, *), (\bar{G}, \bar{*}), (\tilde{G}, \tilde{*})$ grupos. También, sean $φ : G \mapsto \bar{G}$ y $ψ : \bar{G} \mapsto \tilde{G}$ homomorfismos.

Dados $a, b \in G$ ,

$\begin{aligned} ψ \circ φ (a * b) & = ψ (φ (a * b)) \\ = ψ (φ (a) \bar{*} φ (b)) & φ es homomorfismo \\ = ψ (φ (a)) \tilde{*} ψ (φ (b)) & ψ es homomorfismo \\ = ψ \circ φ (a) \tilde{*} ψ \circ φ (b) \end{aligned}$

Por lo tanto $ψ \circ φ$ es un homomorfismo.

Observaciones.

Para todo $G$ grupo, $G ≅ G$ . (Es decir, $G$ es isomorfo a sí mismo).
Si $G, \bar{G}$ son grupos y $G ≅ \bar{G}$ , entonces $\bar{G} ≅ G$ .
Si $G, \bar{G}, \tilde{G}$ son grupos, $G ≅ \bar{G}$ y $\bar{G} ≅ \tilde{G}$ , entonces $G ≅ \tilde{G} .$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Sea $D_{2 n} = ⟨ a, b ⟩$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un $n$ -ágono, con $a$ la rotación de $\frac{2 π}{n}$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$ . Sea $φ : D_{2 n} \to D_{2 n}$ tal que $φ (a^{i} b^{j}) = b^{j}$ . ¿Es $φ$ un homomorfismo?
Sean $X$ y $Y$ dos conjuntos con la misma cardinalidad. ¿Qué relación hay entre $S_{X}$ y $S_{Y}$ ?
Sea $V = {e, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (1 3)} \leq S_{4}$ . Encuentra $H \leq S_{4}$ , $H \neq V$ pero isomorfo a $V$ . ¿Es $H$ normal en $S_{4}$ ?

Más adelante…

Los homomorfismos son una parte importante de las matemáticas, porque respetar las operaciones es una característica sencilla a simple vista, pero lo suficientemente compleja para que las funciones que la cumplan sean muy interesantes. Los homomorfismos nos permiten cambiar de espacios de trabajo sin mucho problema.

Por otro lado, tal vez ya sabes que las matemáticas de este curso (y de la mayoría de los cursos en este blog) están fundamentadas en la Teoría de Conjuntos. Esta teoría nos permite construir a los objetos matemáticos a partir de conjuntos. Como curiosidad, tal vez te interese saber que existe otra teoría llamada Teoría de Categorías, que generaliza lo anterior, y en la que la generalización de un homomorfismo es llamado morfismo.

Aunque estén definidos de manera diferente, los homomorfismos de esta entrada y los morfismos de la Teoría de Categorías son, en intuición, lo mismo. Esto refuerza la idea de que los homomorfismos son en realidad más importantes de lo que parecen.

Pero bueno, regresemos a nuestro curso: en la siguiente entrada continuaremos viendo el comportamiento de los homomorfismos.

Entradas relacionadas

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Cálculo Diferencial e Integral III: Determinantes

Por Alejandro Antonio Estrada Franco

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Introducción

El determinante de una matriz cuadrada es un número asociado a esta. Como veremos, los determinantes nos proporcionarán información de interés para varios problemas que se pueden poner en términos de matrices.

Recuerda que los temas de esta unidad son tratados a manera de repaso, por lo cual no nos detenemos en detallar las demostraciones, ni en extender las exposiciones de las definiciones. Para mayor detalle, te remitimos al curso de Álgebra Lineal I, específicamente comenzando con la entrada Transformaciones multilineales. Aún así, es recomendable que revises estas notas en el curso de Cálculo Diferencial e Integral III, pues sintetizamos los temas de tal manera que recuperamos los conceptos relevantes para el cálculo de varias variables. Así mismo, en ocasiones, abordamos las definiciones y resultados de manera un poco distinta, y es muy instructivo seguir los mismos conceptos abordados con un sabor ligeramente distinto.

Permutaciones

Recordemos que en la entrada anterior definimos para cada $n \in N$ el conjunto $[n] = {1, 2, \dots, n}$ .

Definición. Una permutación del conjunto $[n]$ es una función biyectiva $σ : [n] \to [n]$ . Una forma de escribir a $σ$ de manera más explícita es la siguiente:
$σ = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \\ σ (1) & σ (2) & \dots & σ (n) \end{matrix})$

Podemos pensar también a una permutación como un reacomodo de los números $1, 2, \dots, n$ . Pensado de esta manera, escribimos $σ = σ (1) σ (2) \dots σ (n)$ .

El conjunto de todas las permutaciones del conjunto $[n]$ se denota como $S_{n}$ . Una observación interesante es que $S_{n}$ tiene $n!$ elementos.

Definición. Para $σ \in S_{n}$ , una inversión en $σ$ consiste en un par $(i, k) \in [n] \times [n]$ tal que $i > k$ pero $i$ precede a $k$ en $σ$ cuando se considera $σ$ como una lista. Diremos que $σ$ es permutación par o impar según tenga un número par o impar de inversiones.

Ejemplo. Consideremos $σ = 12354$ permutación en $[5]$ . Tenemos que $(5, 4)$ es una inversión en $σ$ pues $5 > 4$ pero en la permutación $5$ precede a $4$ . Al tener $σ$ una sola inversión, es una permutación impar.

$△$

Definición. El signo de $σ$ , denotado $sign (σ)$ se define como:
$sign (σ) = {\begin{cases} 1 & si σ es par \\ - 1 & si σ es impar. \end{cases}$

Sea $A \in M_{n} (R)$ . Pensemos en un producto de $n$ entradas de $A$ tomadas de tal manera que se eligió una y sólo una de cada fila y columna. Podemos reordenar los números para poner en orden la fila de la que tomamos cada uno, y escribir el producto como
$\begin{matrix} (1) & a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}} . \end{matrix}$

Así, $a_{k j_{k}}$ nos dice que en la fila $k$ tomamos la entrada de la columna $j$ . Como se eligió una y sólo una entrada por columna, tenemos que $j_{1}, \dots, j_{n}$ es una permutación de $[n]$ . Y viceversa, cada permutación $σ = j_{1} \dots j_{n} \in S_{n}$ determina un producto como en $(1)$ . Por ello la matriz $A$ nos entrega $n!$ productos con esta característica.

Determinantes en términos de permutaciones

A partir de las permutaciones podemos definir a los determinantes.

Definición. El determinante de la matriz $A$ , denotado por $det (A)$ , se define como:
$det (A) = \sum_{σ \in S_{n}} (sign (σ) \prod_{i = 1}^{n} a_{i σ (i)})$
donde
$σ = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \\ σ (1) & σ (2) & \dots & σ (n) \end{matrix})$

Ejemplo. Para la matriz $A = (\begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{matrix})$ tomemos en cuenta las permutaciones del conjunto $[3]$ las cuales son: $(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix})$

De acuerdo con la definición de determinante, tenemos:

$\begin{aligned} det (A) = & (1) a_{11} a_{22} a_{33} + (- 1) a_{11} a_{23} a_{32} + (- 1) a_{12} a_{21} a_{33} + \\ (1) a_{12} a_{23} a_{31} + (1) a_{13} a_{22} a_{31} + (- 1) a_{13} a_{21} a_{32} \\ = & 0 \cdot 2 \cdot 1 + (- 1) 0 \cdot 0 \cdot 0 + (- 1) 2 \cdot 1 \cdot 1 + \\ (1) 2 \cdot 0 \cdot 3 + (1) 1 \cdot 2 \cdot 3 + (- 1) 1 \cdot 1 \cdot 0 \\ = & 4. \end{aligned}$

$△$

Propiedades de los determinantes

Veamos algunas de las propiedades que tienen los determinantes. Aprovecharemos para introducir algunas matrices especiales.

Definición. La matriz identidad $I \in M_{n} (R)$ es aquella que cumple que en las entradas de la forma $(i, i)$ son iguales a 1 y el resto de las entradas son iguales a 0.

Definición. Diremos que una matriz $A \in M_{n} (R)$ es una matriz triangular superior si cumple $a_{i j} = 0$ para $i > j$ . La llamaremos triangular inferior si cumple $a_{i j} = 0$ para $i < j$ . Finalmente, diremos que es diagonal si cumple $a_{i j} = 0$ para $i \neq j$ (en otras palabras, si simultáneamente es triangular superior e inferior).

Definición. Sea $A \in M_{m, n} (R)$ . La transpuesta de la matriz $A$ , denotada por $A^{t}$ , es la matriz en $M_{n, m} (R)$ cuyas entradas están definidas como $(a^{t})_{i j} = a_{j i}$ .

El siguiente resultado enuncia algunas propiedades que cumplen los determinantes de la matriz identidad, de matrices transpuestas, y de matrices triangulares superiores, triangulares inferiores y diagonales.

Proposición. Sea $A \in M_{n} (R)$ . Se cumple todo lo siguiente.

$det (A) = det (A^{t})$ .
Si $A$ tiene dos filas iguales $det (A) = 0$ .
Si $A$ tiene dos columnas iguales $det (A) = 0$ .
Si $A$ es triangular superior, triangular inferior, o diagonal, $det (A) = \prod_{i = 1}^{n} a_{i i}$ .
$det (I_{n}) = 1$ .

Demostración.

Notemos que (tarea moral) $sign (σ) = sign (σ^{- 1})$ , así tenemos que
$\begin{aligned} det (A^{t}) & = \sum_{σ \in S_{n}} sign (σ) a_{σ (1) 1} \dots a_{σ (n) n} \\ = \sum_{σ \in S_{n}} sign (σ^{- 1}) a_{1 σ (1)} \dots a_{n σ (n)} \\ = \sum_{σ \in S_{n}} sign (σ) a_{1 σ (1)} \dots a_{n σ (n)} \\ = det (A) . \end{aligned}$
Si tenemos dos filas iguales, en cada producto $a_{1 σ (1)} \dots a_{n σ (n)}$ tenemos dos factores de la misma fila, por tanto para cada producto tenemos otro igual en la suma solo que con signo contrario (signo de la permutación correspondiente); al hacer la suma estos sumandos se anularán por pares resultando en cero.
Mismo argumento que en el inciso anterior.
Si tenemos una matriz triangular, ya sea superior, o inferior $\prod_{i = 1}^{n} a_{i σ (i)} \neq 0$ sólo cuando $σ (i) = i$ ya que en otro caso este producto siempre tendrá algún factor cero.
Es un corolario de la propiedad anterior, pues la matriz identidad es una matriz diagonal con unos en la diagonal.

Otra propiedad muy importante del determinante es que es multiplicativo. A continuación enunciamos el resultado, y referimos al lector a la entrada Propiedades de determinantes para una demostración.

Teorema. Sean $A$ y $B$ matrices en $M_{n} (R)$ . Se tiene que $det (A B) = det (A) det (B) .$

Mas adelante…

En la siguiente entrada revisaremos la teoría de sistemas de ecuaciones lineales. Comenzaremos definiéndolos, y entendiéndolos a partir de las operaciones elementales que definimos en la entrada anterior. Hablaremos un poco de cómo saber cuántas soluciones tiene un sistema de ecuaciones. Así mismo veremos que en ciertos sistemas de ecuaciones lineales, podemos asociar una matriz cuyo determinante proporciona información relevante para su solución.

Un poco más adelante también hablaremos de diagonalizar matrices. A grandes rasgos, esto consiste en encontrar representaciones más sencillas para una matriz, pero que sigan compartiendo muchas propiedades con la matriz original. El determinante jugará de nuevo un papel muy importante en esta tarea.

Tarea moral

Sea $σ \in S_{n}$ . Muestra que su inversa, $σ^{- 1}$ también es una permutación. Después, muestra que
$sign (σ) = sign (σ^{- 1}) .$
Sugerencia: no es difícil hacerlo por inducción sobre el número de inversiones.
Encuentra explícitamente cuántas inversiones tiene la permutación $σ$ en $S_{n}$ dada por $S (j) = n - j + 1$ .
Escribe con más detalle la demostración de que una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante. Puedes pensarlo como sigue. Toma $det (A) = \sum_{σ \in S_{n}} sign (σ) a_{1 σ (1)} \cdot \dots \cdot a_{n σ (n)} .$ Supón que las filas $s$ y $t$ son iguales; para cada factor argumenta por qué $a_{1 σ (1)} \dots a_{s σ (s)} \dots a_{t σ (t)} \dots a_{n σ (n)}$ el factor $a_{1 σ (1)} \dots a_{t σ (t)} \dots a_{s σ (s)} \dots a_{n σ (n)}$ donde permutamos el $t$ -ésimo factor con el $s$ -ésimo también está en la suma, y por qué ambos son de signos contrarios.
Demuestra que el producto de una matriz triangular superior con otra matriz triangular superior también es una matriz triangular superior. Enuncia y demuestra lo análogo para matrices triangulares inferiores, y para matrices diagonales.
Argumenta con más detalle por qué el determinante de una matriz triangular superior es el produto de las entradas en su diagonal. Específicamente, detalla el argumento de las notas que dice que «en otro caso, este producto siempre tendrá algún factor cero».

Entradas relacionadas

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Álgebra Moderna I: Subgrupo Conmutador

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Vamos a ver una aplicación importante del grupo cociente. Sabemos que podemos dividir a los enteros en impares e impares. Esto se representa con $Z_{2} = {\bar{0}, \bar{1}}$ , donde todos los pares quedan identificados por $\bar{0}$ y los impares por $\bar{1}$ . Esto es el objetivo del grupo cociente que definimos en la entrada anterior, identificar elementos en una misma clase lateral.

Ahora, si queremos traducir esto a un grupo general $G$ , necesitamos sacar el cociente módulo un subgrupo $H$ , entonces cada $h \in H$ es un representante de esta clase de equivalencia, de modo que todos los elementos de $H$ se identificarán entre sí, en particular, todos los elementos de $H$ quedarán identificados con el neutro $e$ de $H$ ya que $h H = e H$ .

Por otro lado, recordemos que en general el grupo no es abeliano, es decir no sucede que $a b = b a$ para $a, b \in G$ . Pero si tomamos $H ⊴ G$ de modo que $a b \in H$ y $b a \in H$ , entonces $a b H = b a H$ y las clases representadas por $a b$ y $b a$ serán la misma, por lo que $a H$ y $b H$ conmutarán en el cociente. Si recordamos la relación de equivalencia definida en entradas anteriores podemos obtener las siguientes equivalencias,
$\begin{array}{r} a b H = b a H \Leftrightarrow (a b)^{- 1} b a = b^{- 1} a^{- 1} b a \in H . \end{array}$

Como nos interesa que $G / H$ sea abeliano, necesitamos que la palabra $b^{- 1} a^{- 1} b a \in H$ para toda $a, b \in G$ . Esto nos obliga a que el conjunto ${b^{- 1} a^{- 1} b a | a, b \in G}$ esté contenido en $H$ . En general, este conjunto no es necesariamente un grupo, pero podemos considerar el generado y así, nos interesaría que el generado esté contenido en $H$ :
$⟨ b^{- 1} a^{- 1} b a | a, b \in G ⟩ \subseteq H .$

El objetivo de esta entrada es definir primero al conmutador de $a$ y $b$ . Luego, definir al generado por la colección de todos los conmutadores en el grupo. Todo esto con el objetivo de construir un grupo cociente abeliano, aunque $G$ no lo sea.

Subgrupo conmutador de $G$

Definción. Sea $G$ un grupo, $a, b \in G$ . El conmutador de $a$ y $b$ es $[a, b] = a b a^{- 1} b^{- 1} .$

El subgrupo conmutador de $G$ es $G^{'} = ⟨ [a, b] | a, b \in G ⟩ .$

Observación 1. $G^{'} = {e}$ si y sólo si $G$ es abeliano.

Demostración.

$\begin{aligned} G^{'} = {e} & \Leftrightarrow [a, b] = e \forall a, b \in G \Leftrightarrow a b a^{- 1} b^{- 1} = e \forall a, b \in G \\ \Leftrightarrow a b = b a \forall a, b \in G \Leftrightarrow G es abeliano. \end{aligned}$

Esa observación nos dice intuitivamente que entre más grande sea el conmutador, $G$ está más alejado de ser abeliano.

Observación 2. El inverso de un conmutador es un conmutador.

La demostración queda como tarea moral.

Observación 3. El conmutador es un subgrupo normal de $G$ , es decir, $G^{'} ⊴ G$ .

Demostración.
Para probar que el conmutador es un subgrupo normal, necesitamos ver que $G^{'}$ es cerrado bajo conjugación. Pero como los elementos de $G^{'}$ son palabras donde las letras son conmutadores o sus inversos, y por la observación anterior son palabras donde las letras son conmutadores, entonces basta ver que al conjugar un conmutador obtenemos un elemento en $G^{'}$ , es decir que $g [a, b] g^{- 1} \in G^{'}$ para todos $g, a, b \in G$ .

Sean $a, b, g \in G$ .

$\begin{array}{r} g [a, b] g^{- 1} = g a b a^{- 1} b^{- 1} g^{- 1} . \end{array}$
Para ver que este elemento está en $G^{'}$ debemos ver a $g a b a^{- 1} b^{- 1} g^{- 1}$ como un producto de conmutadores, para eso agregaremos al neutro antes de $b^{- 1} g^{- 1}$ , con el neutro expresado como $g^{- 1} b^{- 1} b g$ . Luego, nos fijamos qué términos dan lugar a conmutadores y obtenemos lo siguiente:
$\begin{aligned} g [a, b] g^{- 1} & = g a b a^{- 1} b^{- 1} g^{- 1} \\ = g a b a^{- 1} (g^{- 1} b^{- 1} b g) b^{- 1} g^{- 1} \\ = (g a) b (g a)^{- 1} b^{- 1} b g b^{- 1} g^{- 1} \\ = [g a, b] | [b, g] \in G^{'} \end{aligned}$

Por lo tanto $G^{'} ⊴ G$ .

Condiciones sobre un subgrupo para que el cociente sea abeliano

Teorema. Sea $G$ un grupo, $H$ un subgrupo de $G$ . Tenemos que

$G^{'} \subseteq H$ si y sólo si, $H ⊴ G$ y $G / H$ es abeliano.

Demostración.
Sea $G$ un grupo $H \leq G$ .

$| \Rightarrow]$ Supongamos que $G^{'} \subseteq H .$

P.D. $H ⊴ G$ .
Sean $h \in H$ , $g \in G$ .
P.D. $g h g^{- 1} \in H$

Sabemos que $g h g^{- 1} h^{- 1} = [g, h] \in G^{'}$ por definición de conmutador, y por hipótesis $G^{'} \subseteq H$ . Así, $g h g^{- 1} h^{- 1} \in H$ .

Luego, nombremos $g h g^{- 1} h^{- 1} = \tilde{h}$ con $\tilde{h} \in H$ . Despejando lo que nos interesa, obtenemos $g h g^{- 1} = \tilde{h} h \in H$ . Con esto probamos que todo conjugado de $H$ sigue viviendo en $H$ .

Por lo tanto $H ⊴ G$ .

P.D. $G / H$ es abeliano.

Sean $a, b \in G$ .

$\begin{aligned} a^{- 1} b^{- 1} a b & = a^{- 1} b^{- 1} (a^{- 1})^{- 1} (b^{- 1})^{- 1} = ⌈ a^{- 1}, b^{- 1} ⌉ \in G^{'} \subseteq H \Rightarrow a^{- 1} b^{- 1} a b \in H \\ \Rightarrow (b a)^{- 1} a b \in H \Rightarrow b a H = a b H \\ \Rightarrow b H a H = a H b H . \end{aligned}$

Como $a H$ y $b H$ son clases arbitrarias en $G / H$ , concluimos que $G / H$ es abeliano.

$[\Leftarrow |$ Supongamos que $H ⊴ G$ y $G / H$ es abeliano.

Tomemos $a, b \in G$ arbritrarios.

Como $G / H$ es abeliano, entonces $a^{- 1} H b^{- 1} H = b^{- 1} H a^{- 1} H$ , es decir $a^{- 1} b^{- 1} H = b^{- 1} a^{- 1} H .$ Entonces $(b^{- 1} a^{- 1})^{- 1} a^{- 1} b^{- 1} \in H$ , pero $(b^{- 1} a^{- 1})^{- 1} a^{- 1} b^{- 1} = a b a^{- 1} b^{- 1} = [a, b]$ , entonces $[a, b] \in H$ para todos $a, b \in G$ .

Así $G^{'} \subseteq H$ .

Ejemplo

Para terminar, veamos un ejemplo sencillo pero importante.

Tomemos $S_{3}$ y $A_{3}$ .

Sabemos que $A_{3} ⊴ S_{3}$ y $S_{3} / A_{3} = {A_{3}, (1 2) A_{3}}$ que es abeliano. De hecho, en la entrada anterior analizamos el caso general, puedes verificar cómo es la operación del grupo cociente con la tabla que dimos y verificar que $S_{3} / A_{3}$ que es abeliano.

Entonces $S_{3}^{'} \subseteq A_{3} = {(1), (1 2 3), (1 3 2)}$ .

Como $S_{3}$ no es abeliano, por la observación que dimos $S_{3}^{'} \neq {(1)}$ . Concluimos que $S_{3}^{'} = A_{3} .$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Prueba que el inverso de un conmutador también es un conmutador.
Sea $D_{2 (4)} = {id, a, a^{2}, a^{3}, b, a b, a^{2} b, a^{3} b}$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un cuadrado, con $a$ la rotación de $\frac{π}{2}$ y $b$ la reflexión con respecto al eje x.
1. Calcula el cociente de $D_{2 (4)}$ módulo $⟨ a^{2} ⟩$ .
2. Encuentra $D_{2 (4)}^{'}$ .
Sea $G$ un grupo, $H$ y $K$ subgrupos normales de $G$ tales que $G / H$ y $G / K$ son abelianos, ¿es entonces $G / H \cap K$ abeliano?

Más adelante…

¡Felicidades! Esta es la última entrada de la unidad 2. Esta unidad se trató de definir nuevas estructuras que nos ayudan para describir mejor a los grupos y subgrupos. Hablamos sobre el orden del grupo y extendimos propiedades de los enteros hacia la generalidad de los grupos, como separar un grupo en clases de equivalencia. La siguiente entrada introduce la tercera unidad de este curso y presenta un tema nuevo: unas funciones que «respetan» o «abren» operaciones.

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Álgebra Moderna I: Grupo Cociente

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

La definición de subgrupos normales fue motivada porque queremos extraer las propiedades de los enteros a grupos más generales. Recordemos que en los enteros se define una relación de equivalencia (módulo $n$ ) de donde obtenemos clases de equivalencia. Estas clases no sólo inducen una partición, si no que conforman un subgrupo de $Z$ . En esta entrada queremos generalizar esta idea y buscamos dar una operación en ciertas clases de equivalencia de modo que éstas formen también un grupo.

Grupo cociente $G$ módulo $N$

Teorema. Sea $G$ un grupo, $N$ un subgrupo normal de $G$ .

El conjunto
$G / N = {a N | a \in G} .$
con la operación $(a N) (b N) = a b N \forall a, b \in G$
es un grupo de orden $[G : N] .$

Definición. Al conjunto $G / N$ de arriba se le conoce como el grupo cociente $G$ módulo $N$ .

Demostración del teorema.

Sea $G$ un grupo, $N$ un subgrupo normal de $G$ .

En ${a N | a \in G}$ consideremos la operación $(a N) (b N) = a b N \forall a, b \in G .$

Primero veamos que está bien definida.
Sean $a, a^{'}, b, b^{'} \in G$ con $a N = a^{'} N$ , $b N = b^{'} N$ .
P.D. $a b N = a^{'} b^{'} N .$

Como $a N = a^{'} N$ , $a^{'} \in a N$ entonces $a^{'} = a n$ con $n \in N$ .

Como $b N = b^{'} N$ , $b^{'} \in b N$ entonces $b^{'} = b \tilde{n}$ con $\tilde{n} \in N$ .

Sustituyendo $a^{'}$ y $b^{'}$ en $a^{'} b^{'}$ tenemos que $a^{'} b^{'} = (a n) (b \tilde{n}) = a (n b) \tilde{n}$ .

Como $N ⊴ G$ , por la conmutatividad parcial, $n b = b \hat{n}$ con $\hat{n} \in N$ .
Entonces $a^{'} b^{'} = a (b \hat{n}) \tilde{n} = a b (\hat{n} \tilde{n}) \in a b N$ .

Por lo tanto $a^{'} b^{'} N = a b N .$

Veamos ahora que con esta operación, $G / N$ es un grupo.

P.D. La operación es asociativa.
Sean $a N, b N, c N \in G / N$ con $a, b, c \in G$ .

$\begin{aligned} a N (b N c N) & = a N (b c N) = a (b c) N & Definición del producto de clases \\ = (a b) c N & Asociatividad en G \\ = (a b N) c N = (a N b N) c N . \end{aligned}$

Por lo tanto la operación en $G / N$ es asociativa.

P.D. El neutro de la operación existe y está en $G / N$ .
Sea $a N \in G / N$ ,
$\begin{aligned} N (a N) = (e N) (a N) = e a N = a N & Neutro en G \\ (a N) N = (a N) (e N) = a e N = a N & Neutro en G \end{aligned}$

Por lo tanto $N$ es neutro en $G / N$ .

P.D. Para cada elemento en $G / N$ existe un inverso bajo la operación y este inverso está en $G / N$ .
Dado $a N \in G / N$ , como $a \in G$ consideremos $a^{- 1} \in G$ su inverso en $G$ .

$\begin{array}{r} (a N) (a^{- 1} N) = a a^{- 1} N = e N = N \\ (a^{- 1} N) (a N) = a^{- 1} a N = e N = N . \end{array}$

Así $a^{- 1} N$ es inverso de $a N$ . Por lo tanto $G / N$ es un grupo.

Finalmente,
$| G / N | = # {a N | a \in G} = [G : N] .$

Notemos que en la demostración de que $G / N$ con el producto es un grupo, usamos solamente las propiedades de que $G$ es grupo.

Primer y segundo ejemplo

Ahora veremos algunos ejemplos de grupo cociente.

El primer ejemplo es justo el que motivó la idea de grupo cociente.
Tomemos $(Z, +)$ y $H = {m | 4 divide a m} = 4 Z ⊴ Z$ . $4 Z$ es normal porque $Z$ es abeliano.
Entonces, vamos describiendo el grupo cociente paso por paso:
$\begin{aligned} Z / 4 Z & = Z / H = {H, 1 + H, 2 + H, 3 + H} \\ = {{4 k | k \in Z}, {4 k + 1 | k \in Z}, {4 k + 2 | k \in Z}, {4 k + 3 | k \in Z}} \\ = {\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}} = Z_{4} . \end{aligned}$ La suma se realiza a partir de la suma de los representantes del siguiente modo: $(a + H) + (b + H) = (a + b) + H,$ es decir $\bar{a} + \bar{b} = \overset{―}{a + b},$ para cualesquiera $a, b \in Z$ .

Ahora, para el segundo ejemplo, consideremos $n \geq 2$ y tomamos $A_{n} ⊴ S_{n}$ . En la entrada anterior vimos por qué $A_{n}$ es un subgrupo normal de $S_{n}$ .
De nuevo, vamos describiendo el grupo cociente.
$\begin{aligned} S_{n} / A_{n} & = {A_{n}, (1 2) A_{n}} \\ = {{α | α es par}, {(1 2) α | α es par}} \\ = {{α | α es par}, {β | β es impar}} . \end{aligned}$

En la tabla se muestra el resultado del producto de los elementos de $S_{n} / A_{n}$ . Podemos observar que $A_{n}$ funge como neutro.

Representación gráfica de la partición de $S_{n}$ en permutaciones pares e impares.

Tabla que muestra el producto de los conjuntos de $S_{n} / A_{n}$ .

Así, estamos partiendo a $S_{n}$ en permutaciones pares (representadas por $(1)$ ) e impares (representadas por $(1 2)$ ). De esta manera, podemos decir que multiplicar dos permutaciones pares o dos impares resulta en una permutación par, pero multiplicar una par con una impar resulta en una permutación impar.

Tercer y cuarto ejemplo

A continuación, para nuestro tercer ejemplo, tomamos $N = {\pm 1} ⊴ Q$ .
Para obtener una nueva clase lateral, escogemos un elemento de los cuaternios que no esté en $N$ . El cociente se vería de la siguiente manera:
$\begin{aligned} Q / N & = {N, i N, j N, k N} \\ = {{\pm 1}, {\pm i}, {\pm j}, {\pm k}} . \end{aligned}$
De nuevo, en las imágenes podemos ver una tabla que expresa el resultado de multiplicar distintas clases y una representación gráfica de las clases que obtenemos en el cociente.
Podemos verificar algunas de las operaciones de la tabla, hacemos el producto de $Q / N$ usando el producto en $Q$ . Recordemos que $- k N = k N$ y $- i N = i N$ , pues $k$ y $- k$ viven en una misma clase, y $- i$ e $i$ también son parte de una misma clase.

$\begin{array}{r} j N i N = j i N = - k N = k N \\ j N k N = k j N = - i N = i N . \end{array}$

Tabla que muestra los resultados de las operaciones de los elementos de $Q / N$ .

Si ahora consideramos $⟨ k ⟩ \leq Q$ , $⟨ k ⟩ = {\pm 1, \pm k}$ .
Entonces $[Q : ⟨ k ⟩] = \frac{| Q |}{| ⟨ k ⟩ |} = \frac{8}{4} = 2$ , y así, $⟨ k ⟩ ⊴ Q$ .
Así $Q / ⟨ k ⟩ = {⟨ k ⟩, i ⟨ k ⟩} .$

Tabla de las operaciones de los elementos de $Q / ⟨ k ⟩$ .

Para nuestro último ejemplo, consideremos $Z \times Z = {(a, b) | a, b \in Z}$ , con la operación $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$ .
Sea $H = {(a, a) | a \in Z}$ .
$\begin{aligned} (a, b) + H = (c, d) + H & \Leftrightarrow - (a, b) + (c, d) \in H \\ \Leftrightarrow (c - a, d - b) \in H \Leftrightarrow c - a = d - b \\ \Leftrightarrow c = d + (a - b) . \end{aligned}$
Recordemos que $- (a, b)$ es el inverso de $(a, b)$ .
Así,
$\begin{aligned} (a, b) + H & = {(d + (a - b), d) | d \in Z} \\ = {(a - b, 0) + (d, d) | d \in Z} . \end{aligned}$
En particular $(a, b) + H = (a - b, 0) + H$ . Las clases laterales se muestran mejor gráficamente en la imagen.
Tomemos los puntos enteros del eje $x$ como representantes de las clases laterales:
$\begin{aligned} Z \times Z / H & = {(a, 0) + H | a \in Z} . \\ ((a, 0) + H) + ((c, 0) + H) & = (a + c, 0) + H . \end{aligned}$

En esta imagen representamos a cada clase lateral $(a, b) + H$ de un color distinto. Claramente son las diagonales discretas en el plano. También se muestra que los representantes de la clase son puntos en la misma diagonal.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Sea $G$ un grupo, $H$ un subgrupo de $G$ tal que el producto de dos clases laterales izquierdas de $H$ en $G$ es de nuevo una clase lateral izquierda de $H$ en $G$ ¿es entonces $H$ normal en $G$ ?
Sea $G$ un grupo, $H$ un subgrupo normal de $G$ de índice finito con $m = [G : H]$ . Dada $a \in G$ ¿qué podemos decir del elemento $a^{m}$ ? ¿Y si $H$ no es normal en $G$ ?
Sea $G$ un grupo finito, $N$ un subgrupo normal de $G$ . Dada $a \in G$ . Analiza cómo es el orden de $a$ en relación al orden de $a N$ .
Considera el grupo aditivo $R^{2}$ y el subgrupo $N = {(x, 0) | x \in R} .$
1. Determina qué deben cumplir $(a, b), (c, d) \in R^{2}$ para que $(a, b) N = (c, d) N$ .
2. Describe al grupo $R^{2} / N$ .
Sea $G$ un grupo, $N$ un subgrupo normal de $G$ de índice finito con $p = [G : N]$ primo. Dada $a \in G$ ¿qué podemos decir de $⟨ a N ⟩$ y de $G / N$ ?
Si quieres profundizar un poco más sobre Grupos cocientes, puedes revisar el video de Mathemaniac sobre el tema. El video está en inglés.

Más adelante…

En pocas palabras, un subgrupo normal induce una partición del grupo y ésta es el grupo cociente. Esta idea surge de lo que ocurre en los enteros. En la siguiente entrada usaremos el grupo cociente para crear, a partir de un grupo no abeliano, otro que sea abeliano.

Entradas relacionadas

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Álgebra Moderna I: Teoremas y Proposiciones relacionadas con subgrupos normales y grupo Alternante.

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En entradas anteriores definimos el índice de $H$ en $G$ con $H$ un subgrupo del grupo $G$ . Además, dimos la definición de subgrupo normal, y demostramos equivalencias usando clases laterales izquierdas y derechas.

Cuando sólo hay dos clases laterales en $G$ , es muy fácil concluir esa equivalencia, es decir, es fácil verificar que toda clase lateral derecha es una clase lateral izquierda y viceversa. Digamos, si $[G : H] = 2$ y tomamos $a, b \in G$ . Por un lado tenemos que se crea una partición $P_{1} = {H, a H}$ de $G$ y por otro lado tenemos $P_{2} = {H, H b}$ . Como ambas particiones tienen $H$ , entonces necesariamente $a H = H b$ . Así, concluimos que $H ⊴ G$ .

Lo anterior lo demostraremos de manera formal en esta entrada.

Representación gráfica de qué sucede cuando $[G : H] = 2$ .

Proposición sobre subgrupos

Proposición. Sean $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$ .

Si $[G : H] = 2$ , entonces $g^{2} \in H$ para toda $g \in G$ .
Si $[G : H] = 2$ , entonces $H$ es normal en $G$ .

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $H \leq G$ con $[G : H] = 2$ .

$1.$ P.D. $g^{2} \in H$ para toda $g \in G$ .

Sea $g \in G$ . Como $[G : H] = 2$ hay dos clases laterales izquierdas, $H$ y $a H$ para alguna $a \in G ∖ H$ , y $G = H \dot{\cup} a H$ , donde $\dot{\cup}$ en este caso es una unión disjunta.

Como $g \in G$ , entonces $g \in H$ ó $g \in a H$ .

Si $g \in H$ , al ser $H$ un subgrupo, $g^{2} \in H$ .
Si $g \in a H$ , $g = a h$ para alguna $h \in H$ .
Por lo tanto $g^{2} = a h a h$ .

Pero también, $g^{2} \in G = H \dot{\cup} a H$ . Por un lado, si $g^{2} \in a H$ , $g^{2} = a \tilde{h}$ con $\tilde{h} \in H$ .
$\begin{aligned} \Rightarrow a \tilde{h} = g^{2} = a h a h \\ \Rightarrow \tilde{h} = h a h & Cancelamos la a que se repite \\ \Rightarrow a = h^{- 1} \tilde{h} h^{- 1} & Despejando a . \end{aligned}$

Pero cada uno de $h, \tilde{h}, h^{- 1} \in H$ . Por lo que $a \in H$ y esto sería una contradicción.
Por lo tanto $g^{2} \in H$ .

$2.$ Como $[G : H] = 2$ hay dos clases laterales izquierdas $H$ y $a H$ con $a \in G ∖ H$ . Hay también dos clases laterales derechas $H$ y $H b$ con $b \in G ∖ H$ y además
$H \dot{\cup} a H = G = H \dot{\cup} H b .$

Si $g \in a H$ , entonces $g \notin H$ , así $g \in G = H \dot{\cup} H b$ pero $g \notin H$ , y entonces $g \in H b$ . Por lo que $a H \subseteq H b$ .

Si $g \in H b$ , entonces $g \notin H$ , así $g \in G = H \dot{\cup} a H$ pero $g \notin H$ , y entonces $g \in a H$ . Por lo que $H b \subseteq a H$ .

Así, $a H = H b$ y toda clase lateral izquierda es una clase lateral derecha.
Por lo tanto, podemos concluir que $H ⊴ G$ .

Ejemplos.

Enunciamos dos ejemplos sencillos:

Ejemplo 1. Como $[S_{n} : A_{n}] = 2$ , entonces $A_{n} ⊴ S_{n}$ .

Ejemplo 2. En $D_{2 n} = ⟨ a, b ⟩$ con $a$ la rotación $\frac{2 π}{n}$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$ .
Sea $H = ⟨ a ⟩$ .
$\begin{array}{r} [D_{2 n} : H] = \frac{| D_{2 n} |}{| H |} = \frac{2 n}{n} = 2. \end{array}$
Por lo tanto $H ⊴ D_{2 n}$ .

Más teoremas de subgrupos

Veamos que el hecho de que un número divida al orden de un grupo, no implica que haya un subgrupo de ese tamaño. Esto se puede ilustrar con un ejemplo.

Teorema. Sea $A_{4}$ el subgrupo alternante de $S_{4}$ .
$A_{4}$ no tiene subgrupos de orden $6$ .

Demostración.
Consideremos el subgrupo $A_{4}$ de $S_{4}$ .

Sabemos que
$| A_{4} | = \frac{| S_{4} |}{2} = \frac{4!}{2} = \frac{24}{2} = 12.$

Así, $6 | | A_{4} |$ .

P.D. $A_{4}$ no tiene subgrupos de orden $6$ .

Supongamos que existe $H \leq A_{4}$ con $| H | = 6$ .

$\begin{aligned} \Rightarrow & [A_{4} : H] = \frac{A_{4}}{H} = \frac{12}{6} = 2 \\ \Rightarrow & H ⊴ A_{4} & Prop. anterior inciso 2. \end{aligned}$

Sea $β = (a b c) \in A_{4}$ un $3 -$ ciclo.
Por el inciso 1 de la proposición anterior $(β^{2})^{2} \in H$ . Luego, $β = β^{4} = (β^{2})^{2} \in H$ . Así, todo $3 - c i c l o$ está en $H$ .

Pero en $S_{4}$ hay exactamente ocho $3 -$ ciclos. Entonces $| H | \geq 8$ y esto es una contradicción pues supusimos que $| H | = 6$ .

Por lo tanto $A_{4}$ no tiene subgrupos de orden 6.

Ahora veamos qué sucede si multiplicamos dos subgrupos. Esta multiplicación es posible y tiene sentido, pero esto no siempre nos da un subgrupo, aquí damos algunos casos en donde esto sí pasa.

Teorema. Sea $G$ un grupo, $H, K$ subgrupos de $G$ .

Si $H ⊴ G$ ó $K ⊴ G$ , entonces $H K \leq G$ .
Si $H ⊴ G$ y $K ⊴ G$ , entonces $H K ⊴ G$ .

Demostración.

Sea $G$ un grupo, $H$ y $K$ subgrupos de $G$ .

$1.$ Supongamos que $H ⊴ G$ .

P.D. $H K \leq G$ .
Por un resultado de una entrada previa, basta ver que $H K = K H$ .

Si $h \in H$ , $k \in K$ , como $H ⊴ G$ , entonces $h k = k \tilde{h}$ con $\tilde{h} \in H$ por la conmutatividad parcial. Por lo tanto $H K \subseteq K H$ .

Además $k h = \bar{h} k$ con $\bar{h} \in H$ , de nuevo, por la conmutatividad parcial ya que $H ⊴ G$ . Por lo tanto $K H \subseteq H K$ .

Así, $H K = K H$ y $H K \leq G$ .

Para $K ⊴ G$ se demuestra que $H K = K H$ de forma análoga.

$2.$ Supongamos que $H ⊴ G$ , $K ⊴ G$ .
Sean $h \in H, k \in K$ y $a \in G$ . Veamos que $a (h k) a^{- 1} \in H K .$

Agregando un neutro,
$a (h k) a^{- 1} = a h (a^{- 1} a) k a^{- 1} = (a h a^{- 1}) (a k a^{- 1}) .$

Pero como $H ⊴ G$ sabemos que $a h a^{- 1} \in H$ , y como $K ⊴ G$ sabemos que $a k a^{- 1} \in K$ , entonces $a (h k) a^{- 1} = (a h a^{- 1}) (a k a^{- 1}) \in H K .$

Por lo tanto $H K ⊴ G$ .

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Sea $G$ un grupo, $H$ un subgrupo de $G$ con $3 = [G : H]$ . ¿Es $H$ normal en $G$ ?
Prueba que en $S_{4}$ hay exactamente ocho $3$ -ciclos.
Demuestra que $A_{5}$ no tiene subgrupos de orden 20: Supón por contradicción que $H$ es un subgrupo de de orden 20.
1. Sea $α \in A_{5}$ un $5$ -ciclo. Prueba que si $α \notin H$ entonces $H, α H$ y $α^{2} H$ son las 3 clases laterales izquierdas de $H$ en $A_{5}$ .
2. Prueba que $α^{3}$ no está en ninguna de esas tres clases laterales.
3. Concluye que $α \in H$ para todo $α$ 5-ciclo, y así $H$ tendría más de 20 elementos.
Sea $G$ un grupo, $H$ y $K$ subgrupos de $G$ . Prueba o da un contraejemplo:
1. Si $H K$ es un subgrupo de $G$ , entonces $H$ es normal en $G$ o $K$ es normal en $G$ .
2. Si $H K$ es un subgrupo normal de $G$ , entonces $H$ es normal en $G$ y $K$ es normal en $G$ .

Más adelante…

Esta entrada es la última antes de comenzar un pequeño tema nuevo: el grupo cociente. Seguiremos viendo cómo se pueden generar particiones de los grupos y definiremos una operación entre los elementos de esta partición.

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