Uno de los aspectos importantes de esta unidad es la teoría de la división armónica, la cual se relaciona con la teoría de los polos y polares, para ello veremos unos teoremas respecto a las relaciones armónicas ejemplificando esto.
Relaciones Armónicas
Teorema. Sean dos puntos conjugados $A$ y $B$ respecto a una circunferencia $C(O,r)$, donde $A$ está dentro y $B$ está fuera, entonces $A$ y $B$ son armónicos respecto a los puntos de intersección en donde la recta que une a $A$ y $B$ se determina con la circunferencia $C$.
Demostración. Dada una circunferencia $C(O,r)$ y dos puntos $A$ dentro de $C$ y $B$ fuera de $C$. La recta $AB$ corta a $C$ en dos puntos $P$ y $Q$, sea $a$ la polar de $A$ y $b$ la polar de $B$, por lo cual $b$ pasa por $A$ y $a$ pasa por $B$.
Ahora se tienen los inversos de $A$ y $B$ que son $A’$ y $B’$ correspondientemente, se tiene que $a$ es perpendicular a $OA’$ por $A’$ y $b$ es perpendicular a $OB’$ por $B’$, de esta forma el cuadrilátero $B’BA’A$ es cíclico y su circunferencia es perpendicular a $C(O,r)$, y se sigue que $AB$ es diámetro de $C(O,r)$. Por lo tanto, $A$ y $B$ son armónicos respecto a $P$ y $Q$.
$\square$
Teorema. Sea $C(O,r)$ una circunferencia dada, dos líneas conjugadas se intersecan fuera de $C$, están separadas armónicamente por las tangentes de sus puntos de intersección.
Demostración. Sean $p$ y $q$ las dos rectas conjugadas, tal que $p$ corta a $C(O,r)$ y $q$ no corta a $C(O,r)$. El punto de intersección de $p$ y $q$ es $S$ fuera de $C(O,r)$.
Sea $P$ el punto de $p$ donde $P$ pertenece a $q$, la polar de $S$ es $s$ que pasa por $C$ donde $C$ es la intersección de $p$ y $s$, entonces la polar de $C$ pasa por $S$. También la polar de $P$ es $p$ que pasa por $C$ entonces la polar de $C$ pasa por $P$, entonces su polar es $q$ y también la polar de $C$ pasa por $D$, por lo cual la polar de $D$ pasa por $C$.
Por lo cual $C$ y $D$ son conjugados respecto a $C(O,r)$, entonces $C$ y $D$ son conjugados respecto a $A$ y $B$. Por lo tanto, $p$ y $q$ son armónicos respecto a $SA$ y $SB$.
$\square$
Teorema. Sea $C(O,r)$ una circunferencia, $p$ una recta y sean $A,B,C,D$ cuatro puntos armónicos sobre la recta, $p$, si $a,b,c,d$ son las polares respecto a $C(O,r)$ de $A,B,C,D$ entonces $a,b,c,d$ son líneas armónicas, entonces el haz $P{a,b,c,d}$ es armónico.
Demostración. Se tienen $A,B,C,D$ puntos armónicos dados, con sus respectivas polares $a,b,c,d$ las cuales pasan por un punto $S$, el cual es el polo de la recta en la cual están los puntos. Ahora cada polar es perpendicular a la recta que une su polo con el centro de la circunferencia $C(O,r)$, y además el ángulo entre dos líneas cualesquiera del haz $O(ABCD)$ es igual al ángulo entre las rectas correspondientes del haz $a,b,c,d$. Por lo cual el haz $P{a,b,c,d}$ es armónico.
$\square$
Más adelante…
Se abordará el tema de dualidad desde un punto de vista teórico, y también se analizará los triángulos autopolares.
Es momento de interactuar entre dos espacios métricos, $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$, cada uno con su respectivo conjunto de puntos y métrica definida en ellos. Podemos relacionar puntos del espacio métrico $X$ con puntos en el espacio métrico $Y$. Será natural preguntarse qué ocurre con las distancias en el nuevo espacio métrico, en comparación con el de origen. Considera la siguiente:
Definición de imagen de un conjunto. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos. Si $A \subset X$ y $f: X \to Y$, es una función, entonces $f \,$ define un conjunto en $Y$ dado por $f(A):=\{f(x)|x\in A\}$, que llamaremos la imagen de $A$ bajo $f \,$ y es la colección de elementos que se le asignan a cada elemento de $A$.
Función $f: A \subset X \to Y$
Ahora preguntamos: ¿bajo qué circunstancias una función envía puntos de $A \subset X$ a puntos en $Y$ que se aproximan a algún punto $L \in Y$?
Si $x_0$ es un punto de acumulación en $A$, por definición, todas sus bolas abiertas tienen elementos en $A$ distintos de $x_0$. Podemos así, identificar puntos cercanos a $x_0$, según la distancia $d_X$, que bajo la función $f$ sean enviados a puntos en $Y$ que estén cerca de un punto $L$, según la distancia $d_Y$. Como los puntos cerca de $L$ en $(Y,d_Y)$ son los que están en la bola de radio $\varepsilon$ con centro en $L,$ se busca conseguir que los puntos cerca de $x_0$ caigan justamente en $B_Y(L,\varepsilon)$. (El subíndice $Y$ en $B_Y$ nos recuerda en qué espacio métrico es considerada la bola abierta. Recuerda que pueden ser diferentes, según la métrica a la que se refiera).
Un elemento de la bola abierta con centro en $x_0$ «cae dentro» de la bola abierta con centro en «L.»
De manera formal tenemos la siguiente:
Definición límite de una función: Sea $f: X \to Y$ una función entre espacios métricos y $x_0$ un punto de acumulación de $A$. Decimos que el límite de $f$, cuando $x$ tiende al punto $x_0$ es $L \in Y$, si ocurre que para todo $\varepsilon >0$ existe $\delta > 0$ tal que para todo $x\neq x_0, \text{ si } d(x,x_0)< \delta$ entonces $d(f(x),L)<\varepsilon$. Se denota como: $$\underset{x \to x_0}{lim} \,f(x) \,=L$$ Se dice entonces que $f(x) \to L$ cuando $x \to x_0$.
Esta definición se puede expresar en términos de bolas abiertas como sigue: $\, \underset{x \to x_0}{lim} \,f(x) \,=L \,$ si para todo $\varepsilon >0$ existe $\delta > 0$ tal que $f(B_X(x_0,\delta) \setminus \{x_0\}) \subset B_Y(L,\varepsilon)$.
Veamos un resultado que nos permite concluir límites a partir de sucesiones.
Proposición: Considera $A \subset X$ y $x_0 \in A$ un punto de acumulación en $A$. Entonces $$\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) \,=L$$ si y solo si para toda sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $A \setminus \{x_0\}$ tal que $x_n \to x_0$ ocurre que $$\underset{n \to \infty}{lim} \, f(x_n) \,=L$$. Demostración: Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión en $A \setminus \{x_0\}$ que converge a $x_0$ y sea $\varepsilon >0$. Como $\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) \,=L$ entonces existe $\delta>0$ tal que para todo $x\neq x_0, \text{ si } d(x,x_0)< \delta \,$ entonces $\, d(f(x),L)<\varepsilon$.
Si $(x_n) \to x_0$ en $X$ entonces $(f(x_n)) \to L$ en $Y$
Como $(x_n) \to x_0$, entonces existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $\forall \, n\geq N, \, d(x_n,x_0)< \delta$, así $\forall \, n \geq N, \, d(f(x_n),L) < \varepsilon$ por lo tanto $f(x_n) \to L\, $ en $\, Y$.
Ahora supón que el recíproco no es cierto. Entonces existe $\varepsilon_0 >0$ tal que $\forall \, \delta>0$ existe $x_0 \neq x_0 \,$ con $\, d_X(x_0,x_0)<\delta$ pero $\, d_Y(f(x_0),L)> \varepsilon$.
De modo que para cada bola abierta con centro en $x_0$ y radio $\frac{1}{n}$ con $n \in \mathbb{N}$ podemos elegir un punto $x_n \in (B_X(x_0,\frac{1}{n}) \setminus \{x_0\})$ pero $\, d_Y(f(x_n),L)> \varepsilon_0$.
Hay un punto en $B_X(x_0,1)$ que $f$ envía fuera de $B_Y(L,\varepsilon_0)$
La sucesión $x_n \to x_0$ pero la sucesión $(f(x_n))_{n \in \mathbb{N}} \,$ al quedarse siempre fuera de la bola abierta $B_Y(L,\varepsilon_0)$ no converge a $L$, lo cual es una contradicción.
Hay un punto en $B_X(x_0,1/2)$ que $f$ envía fuera de $B_Y(L,\varepsilon_0)$
Por lo tanto $\, \underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) \,=L$.
Hay un punto en $B_X(x_0,1/n)$ que $f$ envía fuera de $B_Y(L,\varepsilon_0)$
Las siguientes proposiciones son propiedades de límites de funciones en los espacios métricos mencionados:
Proposición: Sean $f:A \to \mathbb{C}$ y $g:A \to \mathbb{C}$. Si $x_0$ es un punto de acumulación en $A$ y $\underset{x \to x_0}{lim}\, f(x) \,=L_1 \,$ y $\, \underset{x \to x_0}{lim}\, g(x) \,=L_2$, se tiene que:
a) $\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) \pm g(x) \,=L_1 \pm L_2$ b) $\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x)g(x) \,=L_1 L_2$ c) $\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) / g(x) \,=L_1 / L_2$ cuando $L_2 \neq 0$
La demostración se deja como ejercicio.
Proposición: Sean $f,g: A \subset X \to \mathbb{R}^n\, $ Si se definen $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ y $(f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)$ entonces si $x_0$ es un punto de acumulación en $A$ y $\underset{x \to x_0}{lim}\, f(x) \,=L_1 \,$ y $\, \underset{x \to x_0}{lim} \,g(x) \,=L_2$, se tiene que:
Veremos el caso para cuando la función sí está definida en $x_0 \in A \subset X$ y más aún, la función tiene como límite al punto $f(x_0)$. Hablaremos así de funciones continuas en un punto $x_0$ y observaremos el efecto que estas funciones producen en subconjuntos abiertos y cerrados de un espacio métrico.
En esta entrada vamos a ver una forma de definir distancias (sí, de nuevo) pero ahora no directamente entre los elementos de un conjunto, sino entre los subconjuntos de un espacio métrico. Entonces, los subconjuntos pasarán a ser vistos como elementos de un nuevo espacio con cierta métrica. Al final haremos sucesiones de conjuntos. Descubriremos bajo qué condiciones estas sucesiones de conjuntos convergen. Será emocionante descubrir que dos conjuntos están cerca uno de otro, cuando son muy parecidos entre sí (en forma y tamaño). Esta entrada está basada en el contenido del libro «A course in Metric Geometry», escrito por Dmitri Burago, Yuri Burago y Sergei Ivanov (páginas 252 y 253). Omitiremos las demostraciones de las proposiciones, pues no son parte de los objetivos del curso. El lector puede consultarlas en el libro mencionado si así lo desea.
Distancia entre dos puntos y entre dos conjuntos de un espacio métrico
Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Visualiza un conjunto $A \subset X$ y un punto arbitrario $x \in A$.
$x$ está en $A$
Sea $\varepsilon >0$. Este valor define a $B(x,\varepsilon)$.
$x$ está en la bola de radio $\varepsilon$
Visualiza la unión de todas las bolas de radio $\varepsilon$. Definimos el conjunto $U_\varepsilon(A) =: \underset{x\in A}{\cup}B(x,\varepsilon)$. Nota que este conjunto contiene al conjunto $A$.
Todas las bolas de radio $\varepsilon$ con centro en un punto de $A$
El conjunto $U_\varepsilon(A)$ es la unión de todas las bolas
Asímismo, todos los elementos de $U_\varepsilon(A)$ distan en menos que $\varepsilon$ a algún elemento de $A$, pues están en una de las bolas de radio $\varepsilon$.
Un punto $y$ en $U_\varepsilon(A)$ tiene distancia menor que $\varepsilon$ a un punto en $A$
Pensemos ahora en los conjuntos definidos de esta forma en $A$ pero buscando que también contengan a un conjunto $B \subset X$
Se puede dar el caso en que aunque $U_\varepsilon(A)$ contiene a $A,$ no contiene al conjunto $B.$
$U_\varepsilon(A)$ no cubre a $B$ completamente
Identificando valores para $\varepsilon >0$ suficientemente grandes, se logra la contención deseada:
$U_{\varepsilon’}(A)$ también contiene a $B$
Podemos identificar al ínfimo de los $\varepsilon$´s $>0$ y encontrar así un conjunto $U_{\varepsilon´´}(A)$ más ajustado pero que sigue conteniendo a ambos conjuntos.
$U_{\varepsilon´´}(A)$ es el conjunto más pequeño que cubre lo deseado
Análogamente, vamos a identificar los conjuntos $U_\varepsilon(B)$ que también contienen a $A$.
Se puede dar el caso en que aunque $U_\varepsilon(B)$ contiene a $B,$ no contiene al conjunto $A.$
$U_\varepsilon(B)$ no cubre a $A$ completamente
Identificando valores para $\varepsilon >0$ suficientemente grandes, se logra la contención deseada:
$U_{\varepsilon’}(B)$ también contiene a $A$
Podemos identificar al ínfimo de los $\varepsilon$´s $>0$ y encontrar así un conjunto $U_{\varepsilon´´}(B)$ más ajustado pero que sigue conteniendo a ambos conjuntos.
$U_{\varepsilon´´}(B)$ es el conjunto más pequeño que cubre lo deseado
Si seleccionamos al ínfimo de los $\varepsilon$’s tales que ambos conjuntos quedan contenidos de la forma $A \subset U_\varepsilon(B)$ y $B \subset U_\varepsilon(A)$. Podemos definir la distancia de Hausdorff entre $A$ y $B$ como ese ínfimo. Formalmente: $$d_H(A,B) =: inf \{\varepsilon>0: A \subset U_\varepsilon(B) \,y\, B \subset U_\varepsilon(A) \}$$
$A \subset U_\varepsilon(B)$ y $B \subset U_\varepsilon(A)$
Sean $A\subset X$ y $B\subset X$ y $\varepsilon >0$. Si definimos $\text{dist}(a,B) =: \underset{b \in B}{inf} \, d(a,b)$ para cada $a \in A$ y análogamente $\text{dist}(b,A) =: \underset{a \in A}{inf} \, d(a,b)$ para $b \in B$ entonces las siguientes son propiedades de la distancia de Hausdorff.
Las líneas señalan las distancias «más grandes» que hay de algún punto de $A$ al conjunto $B$ y de un punto de $B$ al conjunto $A$. Se garantiza que el máximo define el radio de las bolas que hace que los dos conjuntos $U_{\varepsilon}(A)$ y $U_{\varepsilon}(B)$ contengan tanto a $A$ como a $B$.
b) $d_H(A,B) \leq \varepsilon$ si y solo si para todo $a \in A,$ $\text{dist}(a,B) \leq \varepsilon$ y para todo $b \in B, \, \text{dist}(b,A) \leq \varepsilon.$ Esto puede no ocurrir si cambiamos «$\leq$» por «$<$».
Anteriormente hemos hablado de la definición de una función acotada (Espacios de funciones) y de una sucesión acotada (Convergencia), veamos esta definición de un modo más general:
Definición conjunto acotado. Sea $A \subset X$ decimos que $A$ es un conjunto acotado en $X$ si existe un punto $x_0 \in X$ y $M >0$ tal que para toda $x \in A$ se cumple que $d(x,x_0)<M$. Nota que esto es equivalente a decir que $A \subset B(x_0,M)$.
Proposición: Si $(X,d)$ es un espacio métrico, entonces $d_H$ define una métrica en el conjunto de conjuntos cerrados y acotados $\mathcal{M}(X):=\{F \subset X: F \text{ es cerrado y acotado}\}$. (En el libro de Burago la métrica puede tomar el valor infinito, en ese sentido $d_H$ también sería una métrica en el conjunto de los subconjuntos cerrados de $X$, incluyendo los no acotados).
Eso significa que $A,B \in \mathcal{M}(X)$ cumplen:
1) $d_H(A,B)=0$ si y solo si los conjuntos son iguales. En este caso tendremos que para todo $\varepsilon>0$ $A \subset U_\varepsilon(B)$ y $B \subset U_\varepsilon(A)$. Además $U_\varepsilon(B)=U_\varepsilon(A).$
$d_H = 0$ entre conjuntos iguales
2) La propiedad de simetría en espacios métricos dice que $d_H(A,B) = d_H(B,A)$
La distancia $d_H$ es simétrica
3) Se cumple la desigualdad del triángulo entre conjuntos: $$d_H(A,B) \leq d_H(A,C) + d_H(C,B)$$. Para fines ilustrativos de esta propiedad recordemos que: $d_H(A,B) = max\{\underset{a \in A}{sup} \, \text{dist}(a,B),\underset{b \in B}{sup} \, \text{dist}(b,A)\}.$ $d_H(A,C) = max\{\underset{a \in A}{sup} \, \text{dist}(a,C),\underset{c \in C}{sup} \, \text{dist}(c,A)\}.$ $d_H(B,C) = max\{\underset{b \in B}{sup} \, \text{dist}(b,C),\underset{c \in C}{sup} \, \text{dist}(c,B)\}.$ La imagen siguiente representa esas distancias.
Desigualdad del triángulo a partir de máximos
A continuación, visualizaremos ejemplos de sucesiones en el espacio métrico de Hausdorff. Entonces los elementos de las sucesiones serán conjuntos cerrados y acotados. Si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es una sucesión de conjuntos de un espacio métrico y $A_n \to A$ en la métrica de Hausdorff, entonces $d_H(A_n,A) \to 0$ en $\mathbb{R}.$ Eso significa que los conjuntos indicados por la sucesión no solo se van a acercar (en posición, si podemos pensarlo así) al conjunto $A$, sino que se van a ver como éste (pues cuando $d_H =0$ los conjuntos son iguales).
La sucesión presentada muestra estrellas de la misma forma y tamaño pero distinta posición en $\mathbb{R}^2$ cada vez más grandes pero proporcionales entre sí. Para cada $n \in \mathbb{N}$ la estrella $A_n$ tiene su centro en el punto $(\frac{1}{n},0)$. Entonces la sucesión $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ converge a la estrella con centro en $(0,0)$.
La sucesión de huellas de perrito muestra manchas cada vez más pequeñas que convergen a las manchas verdes.
Tenemos una sucesión de conos $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ definida como sigue: para cada $n \in \mathbb{N}$ el cono $A_n$ tiene su centro en $(0,\frac{-3}{n},0)$, altura $\frac{2}{n}$ y radio $1$. Entonces los conos ven disminuída su altura hasta llegar a $0$ mientras que el centro se desplaza al origen. Finalmente convergen al círculo unitario en el plano horizontal.
Formalmente, tenemos los siguientes:
Ejemplos de sucesiones de conjuntos en espacios euclidianos que convergen a un conjunto $A$ en el espacio de Hausdorff.
Para cada $n \in \mathbb{N}$ considera en el espacio euclidiano $\mathbb{R}^2$ el conjunto $A_n =: \overline{B}(0,1+\frac{1}{n})$. Entonces $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ es una sucesión en el espacio de Hausdorff que converge al conjunto $A=:\overline{B}(0,1)$.
Basta con demostrar que $d_{H}(A_n,A) = max\{\underset{a \in A_n}{sup} \, \text{dist}(a,A),\underset{b \in A}{sup} \, \text{dist}(b,A_n)\} \to 0$ en $\mathbb{R}$. Es sencillo probar que para cada $n \in \mathbb{N}, \,d_{H}(A_n,A) = \frac{1}{n} \to 0 \in \mathbb{R}$ por lo tanto $A_n \to A$.
Presentamos una sucesión de prismas ubicadas en el espacio euclidiano $\mathbb{R}^3$ como muestra la imagen.
Los prismas convergen a la cara del fondo
Prisma $A_k$
Sea $A$ el triángulo que es una cara del prisma y está en el plano $X_2, X_3$. Nota que para cada $k \in \mathbb{N}$, $d_{H}(A_k,A) = max\{\underset{a \in A_k}{sup} \, \text{dist}(a,A),\underset{b \in B}{sup} \, \text{dist}(b,A_k)\}= \frac{1}{k}$
Entonces $d_{H}(A_n,A) = \frac{1}{n} \to 0 \in \mathbb{R}$ por lo tanto $A_n \to A$.
La demostración de las siguientes dos sucesiones se dejará como ejercicio.
Tenemos una sucesión de polígonos regulares en $\mathbb{R}^2$ $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ donde, para cada natural $n$, $ A_n$ es el polígono regular de $\, n \,$ lados con centro en $(0,0)$ y circunscrito en el círculo con centro en $(0,0)$ y radio $1$. Demuestra que $A_n \to \overline{B}(0,1)$ en el espacio de Hausdorff.
Los polígonos convergen al círculo unitario
Como sugerencia, puedes demostrar que la medida del apotema vista como $\, cos \alpha \,$ tiende a $1$ en $\mathbb{R}$.
La siguiente sucesión muestra cilindros en $\mathbb{R}^3$.
Los cilindros convergen al segmento del centro
Para cada $n \in \mathbb{N}$ considera $A_n$ como el cilindro que tiene de base al círculo con centro en el origen, radio $\frac{1}{n}$ y altura $2$. Demuestra que la sucesión $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ converge al segmento $\{(0,0,x_3): x_3 \in [0,2]\}$.
Ahora presentaremos algunas condiciones que garantizan la convergencia en sucesiones de conjuntos. En la última se menciona la noción de compacidad, concepto del que se hablará en entradas próximas. Por el momento podemos imaginar el resultado en espacios euclidianos, donde los compactos son los conjuntos cerrados y acotados.
Proposición: Sea $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión en $\mathcal{M}(X)$ tal que $A_n \to A$ en $\mathcal{M}(X)$. Entonces:
a) $A$ es el conjunto de límites de todas las sucesiones convergentes $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $X$ tales que para toda $n \in \mathbb{N}, \, a_n \in A_n$.
Los puntos de convergencia están en el conjunto de convergencia
b) El conjunto al que converge la sucesión está dado por: $A = \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} (\overline{\underset{m \geq n}{\cup} A_m})$.
Esto significa que en cada iteración, vamos a considerar la cerradura de la unión de todos los conjuntos, exceptuando los de las primeras posiciones (según la iteración en la que vayamos). Esto define nuevos conjuntos, cuya intersección es el conjunto al que la sucesión converge.
La intersección de todos los conjuntos de este estilo es el conjunto al que la sucesión converge:
Proposición: Sea $(X,d)$ un espacio métrico compacto y $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de subespacios compactos en él, entonces: a) Si $A_{n+1} \subset A_n$, entonces $A_n \to \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap}A_n$ en $\mathcal{M}(X)$.
Entonces cuando una sucesión es tal que cada término está contenido en el anterior, la sucesión converge a la intersección de todos los conjuntos.
Sucesión de cilindros
b) Si para todo $n \in \mathbb{N}, \, A_n \subset A_{n+1}$, entonces $A_n \to \overline{\underset{n \in \mathbb{N}}{\cup}A_n}$ en $\mathcal{M}(X)$.
Entonces cuando una sucesión es tal que cada término contiene al anterior, la sucesión converge a la cerradura de la unión de todos los conjuntos.
En el dibujo la sucesión $(A_n)_n \in \mathbb{N}$ tiene como conjunto $A_n = \overline{B}(0,2-\frac{1}{n})$ para cada $n \in \mathbb{N}$. Es sencillo demostrar que $A_n \to \overline{B}(0,2)$ en $\mathbb{R}^2.$
Más adelante…
Ya que hemos estudiado algunas propiedades en un espacio métrico, comenzaremos a relacionar un espacio con otros a través de funciones. Veremos bajo qué circunstancias es posible hablar de “cercanía” en puntos del contradominio cuando se parte de puntos cercanos en el espacio métrico del dominio.
Tarea moral
Describe las características de las sucesión definida como: $A_1=[0,1]$ $A_2=[0,1] \setminus (\frac{1}{3},\frac{2}{3})=[0,\frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3},1],$ $A_3=[0,\frac{1}{3}] \setminus (\frac{1}{9},\frac{2}{9}) \cup [\frac{2}{3},1]\setminus (\frac{7}{9},\frac{8}{9})=[0,\frac{1}{9}] \cup [\frac{2}{9},\frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3},\frac{7}{9}] \cup[\frac{8}{9},1]$ Y así, recursivamente, se va quitando la tercera parte central, de cada intervalo que quedaba. La intersección de estos conjuntos es conocido como el conjunto de Cantor. ¿Bajo qué resultados mencionados en esta entrada podemos concluir la convergencia de la sucesión?
El copo de nieve de Koch es la curva a la que converge una sucesión definida como sigue: $A_1$ es un triángulo equilátero. $A_2$ sustituye la tercera parte central de cada lado por dos aristas de la misma medida. $A_3$ Hace lo mismo. Se repite el proceso recursivamente ¿Qué puedes decir del área encerrada por las curvas a medida que la sucesión aumenta? ¿Hay condiciones suficientes para concluir la convergencia de estos conjuntos?
Demuestra la convergencia en el espacio de Hausdorff de la sucesión de polígonos circunscritos descrita anteriormente.
Demuestra la convergencia en el espacio de Hausdorff de la sucesión de cilindros expresada anteriormente.
Ante el modelado de situaciones, resulta útil identificar qué tan lejos está un objeto de convertirse en otro. Si se identifica una secuencia o patrón entre una situación y la siguiente, posiblemente se pueda comprobar que, tras varios cambios, nos aproximaremos a algún resultado específico. El Análisis Matemático ofrece herramientas que formalizan este estudio. En la sección que a continuación presentamos trabajaremos más con la noción de cercanía a través de distancias que van tendiendo a cero. Esta vez lo haremos con una sucesión que toma elementos del espacio métrico. Se verá bajo qué condiciones estos puntos se acercan cada vez más a cierto punto en el espacio métrico. Comencemos con la siguiente:
Definición sucesión: Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Decimos que una función $x: \mathbb{N} \to X$ es una sucesión en $X$.
Podemos pensar entonces que una sucesión elige, para cada número natural $n$, un elemento $x_n$ del conjunto $X$. Vamos a denotar una sucesión como $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}.$
Representación de una sucesión en $(X,d)$
¿Bajo qué condiciones podemos decir que la sucesión se aproxima cada vez más a cierto punto $x$ en $(X,d)$? Para que esto ocurra se espera que, siempre que se fije una distancia $\varepsilon >0$ como referencia, se pueda asegurar que los últimos elementos de la sucesión, tengan una distancia al punto $x$ menor que $\varepsilon$, es decir, que exista un número natural $N \,$ de modo que todos los puntos asignados por la sucesión a partir de la posición $N$, estén “dentro” de la bola de radio $\varepsilon$ con centro en $x$, el punto de convergencia. De manera formal, tenemos la:
Definición sucesión convergente: Vamos a decir que una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es convergente en $(X,d)$ si existe $x \in X$ tal que para todo $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N$ ocurre que $d(x_n,x)<\varepsilon$.
Los últimos puntos de la sucesión están dentro de la bola de radio $\varepsilon$ con centro en $x$.
Si es así, diremos que $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge a $x$ y se indicará en la notación como: $$x_n \to x$$ o como: $$\underset{n \to \infty}{lim} \, x_n =x$$ Nota: $x_n \to x \text{ en } X \iff d(x_n,x) \to 0 \text{ en } \mathbb{R}$. Si la sucesión no es convergente decimos que es divergente.
Ahora veamos que una sucesión no puede converger a dos puntos diferentes:
Proposición: Si $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es una sucesión convergente en $X$ entonces el límite $\underset{n \to \infty}{lim} \, x_n$ es único. Demostración: Supongamos que $x_n \to x_a \,$ y $\, x_n \to x_b \,$ en $X$. Sea $\varepsilon>0$. Siguiendo la definición de convergencia se tiene que para todo $\frac{\varepsilon}{2} >0$ existen números naturales $N_a\, $ y $\, N_b\, $ tales que para todo $n\geq N_a, \, d(x_n,x_a)< \frac{\varepsilon}{2}$ y para todo $n\geq N_b, \, d(x_n,x_b)< \frac{\varepsilon}{2}$. Si elegimos $N = max\{N_a,N_b\}$ las dos condiciones anteriores se satisfacen. Entonces, para toda $n\geq N$, $0 \leq d(x_a,x_b) \leq d(x_a,x_n)+d(x_n,x_b) \leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}= \varepsilon$ Nota entonces que $\forall \, \varepsilon >0,$ la distancia entre $x_a$ y $x_b$ queda acotada por $0 \leq d(x_a,x_b) \leq \varepsilon.$ En conclusión, $d(x_a,x_b)=0$, por lo tanto los puntos de convergencia son iguales.
Es importante mencionar que la convergencia de una sucesión depende tanto de la métrica como del conjunto a considerar. Una sucesión puede ser convergente en un espacio métrico pero no serlo en otro. Por ejemplo, la sucesión que a cada natural $n$ le asigna el número $\frac{1}{n}$ cumple que $(\frac{1}{n}) \to 0$ en $\mathbb{R}$ con la métrica euclideana, pero en el subespacio euclideano $(0,1]$ no es convergente, pues $0$ no está en el subespacio.
Definición subsucesión de $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Una subsucesión $(x_{k(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ es una composición de la sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ con una función estrictamente creciente, $k:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$. Esto significa que una subsucesión tomará elementos en $X$ de la sucesión, en el mismo orden en que aparecen, aunque es posible que vaya descartando algunos.
Los puntos en verde señalan un ejemplo de subsucesión.
Hay una relación entre el límite de una sucesión y los de sus subsucesiones:
Proposición: Una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge a $x$ en $X$ si y solo si toda subsucesión $(x_{k(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ converge a $x$ en $X$.
Tanto los últimos puntos de la sucesión como los de la subsucesión se aproximan al punto de convergencia.
Demostración: Sea $(x_{k(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ una subsucesión de $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Como $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge entonces existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N, \, d(x_n,x) < \varepsilon$. Ya que $k: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ es estrictamente creciente, tenemos que para todo $j \geq N, \, k(j) \geq k(N) \geq N$. Así, $d(x_k(j),x)< \varepsilon$, lo cual demuestra que $(x_{k(n)}) \to x$. El regreso es trivial, pues es posible definir una subsucesión como la sucesión misma.
Definición: Diremos que una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $X$ es acotada si existe $M \in \mathbb{R}$ y $x \in X$ tales que $\forall \, n \in \mathbb{N}$ ocurre que $d(x,x_n) \leq M$. Esto significa que una sucesión es acotada si todos los puntos $x_n,$ con $n \in \mathbb{N}$ están en una bola abierta con centro en algún punto $x$ del espacio métrico.
Representación de una sucesión acotada.
¿Es posible concluir que una sucesión es convergente si sabemos que es una sucesión acotada? Al final se te propondrá dar un ejemplo de una sucesión acotada que no sea convergente. En contraparte, tenemos la siguiente:
Proposición: Toda sucesión convergente es acotada. Demostración: Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión que converge a $x$ en $X$. Buscamos «encerrar» todos los puntos de la sucesión en una bola abierta. Si suponemos $\varepsilon = 1$, existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N, \, d(x_n,x)<1$. Hasta aquí ya logramos «encerrar» todos los puntos de la sucesión a partir de $x_N$.
A partir de $x_N$, los puntos de la sucesión están en una bola abierta.
Para encerrar los elementos que van antes en la sucesión, considera las distancias entre $x$ y cada uno de esos puntos como $d_i = d(x_i,x), \, i=1,…,N-1$.
Si hacemos $M = máx\{d_i,1\}, \, i=1,…,N-1$, se consigue que para todo $n \in \mathbb{N}, \, d(x_n,x)<M$ con lo cual se demuestra que la sucesión es acotada.
Todos los puntos de la sucesión están en una bola abierta.
Los últimos resultados que expondremos en esta entrada son muy importantes, en el sentido en que suele acudirse a ellos para otras demostraciones. Te sugerimos tenerlos presentes.
Proposición: Si $x_n \to x$ en $X$ entonces $x$ es un punto de contacto del conjunto $\{x_n \,|n \in \mathbb{N}\}$. Según la definición, basta con demostrar que toda bola abierta de radio $\varepsilon >0$ con centro en $x$ interseca al conjunto $\{x_n\}$. La demostración se deja como ejercicio.
Toda bola abierta con centro en el punto de convergencia tiene elementos de la sucesión.
Proposición: Sea $A \subset X$ y $x \in X$. Entonces $x \in \overline{A}$ si y solo si existe una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $A$ tal que $x_n \to x$ en $X$.
Demostración: El regreso se concluye a partir de la proposición anterior. Si $x \in \overline{A}$ entonces todas las bolas abiertas con centro en $x$ intersecan al conjunto $A$. Así, para cada $n \in \mathbb{N}$, podemos elegir un punto $x_n \in B(x, \frac{1}{n}) \cap A$. Como $d(x,x_n)< \frac{1}{n} \to 0$ en $\mathbb{R}$, se concluye que $x_n \to x$ en $X$.
Todo punto de contacto de un conjunto tiene una sucesión en el conjunto, convergente.
Más adelante…
Tendremos un acercamiento a un espacio métrico cuyos elementos son los subconjuntos cerrados de otro espacio métrico. Al definir la distancia entre estos subconjuntos cerrados veremos que, si una sucesión de ellos converge, entonces lo hace en un subconjunto cerrado. Ya que eso significa que la distancia tiende a cero, y la distancia entre dos elementos es cero cuando son iguales, podemos esperar que los subconjuntos de la sucesión se parecerán cada vez más, al subconjunto al cual convergen.
Tarea moral
Prueba que si $(x_n) \to x$ en $X$ entonces $x$ es un punto de contacto del conjunto $\{x_n \,|n \in \mathbb{N}\}$.
Demuestra que una sucesión constante converge.
¿Puede una sucesión ser convergente en el espacio discreto? ¿Bajo qué condiciones?
Da un ejemplo de una sucesión en $\mathbb{Q}$ que converge en $\mathbb{R}$ pero no en $\mathbb{Q}$.
Sea $A \subset X$. Demuestra que $x$ es un punto interior de $A$ si y solo si para toda $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ que converge a $x$ en $X$, existe $N>0$ tal que $\forall \, n \geq N, x_n \in A$.
Demuestra que $x \in X$ es un punto frontera de $A \subset X$ si y solo si existen sucesiones $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $A$ y $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $X\setminus A$ que convergen a $x$.
Demuestra que si la imagen de una sucesión es finita entonces la sucesión es convergente.
Da un ejemplo de una sucesión acotada que no sea convergente.
Hasta ahora hemos conocido operaciones involucran a dos objetos a la vez, entre los que pueden estar escalares, vectores, o matrices. En esta entrada, exploraremos una operación que se aplica a una matriz a la vez: la transposición de matrices. Esta operación preserva el contenido de la matriz, pero modifica sus dimensiones y el orden de sus entradas de una manera particular. Además, exploraremos algunas matrices que cumplen propiedades especiales bajo esta operación.
Definición de transposición de matrices
Una forma intuitiva de comprender en concepto de transposición de una matriz es como aquella operación que refleja a una matriz por su diagonal. Por ejemplo, consideremos la matriz \[ A= \begin{pmatrix} \fbox{7} & \sqrt{2} \\ -\tfrac{1}{2} & \fbox{3} \end{pmatrix} \] en la cual hemos destacado los elementos de su diagonal. Su matriz transpuesta, la cual denotaremos como $A^T$, será \[ A^T = \begin{pmatrix} \fbox{7} & -\tfrac{1}{2} \\ \sqrt{2} & \fbox{3} \end{pmatrix}. \]
En el caso de una matriz que no sea cuadrada, la transposición también intercambia el número de filas y el de columnas. Por ejemplo, \[ B= \begin{pmatrix} \fbox{3} & 4 & \pi \\ 0 & \fbox{-1} & 6 \end{pmatrix} \] es una matriz de $2 \times 3$, mientras que su matriz transpuesta \[ B^T= \begin{pmatrix} \fbox{3} & 0 \\ 4 & \fbox{-1} \\ \pi & 6 \end{pmatrix} \] es de tamaño $3 \times 2$.
Para dar una definición formal de la propiedad de transposición, consideremos a la matriz $A$ de tamaño $m \times n$. Diremos que la matriz traspuesta de $A$ es la matriz $A^T$ de tamaño $n \times m$, donde la entrada de $A^T$ en la posición $(i,j)$ es \[ (A^T)_{ij} = a_{ji}, \] para todo $1 \le i \le n$ y $1 \le j \le m$.
Por ejemplo, para el caso de \[ C = \begin{pmatrix} \fbox{$c_{11}$} & c_{12} \\ c_{21} & \fbox{$c_{22}$} \\ c_{31} & c_{32} \end{pmatrix}, \] su matriz traspuesta es \[ C^T = \begin{pmatrix} (C^T)_{11} & (C^T)_{12} & (C^T)_{13} \\ (C^T)_{21} & (C^T)_{22} & (C^T)_{23} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \fbox{$c_{11}$} & c_{21} & c_{31} \\ c_{12} & \fbox{$c_{22}$} & c_{32} \end{pmatrix}, \] mientras que la matriz transpuesta de \[ D = \begin{pmatrix} \fbox{$d_{11}$} & d_{12} & d_{13} \\ d_{21} & \fbox{$d_{22}$} & d_{23} \\ d_{31} & d_{32} & \fbox{$d_{33}$} \end{pmatrix} \] es \[ D^T = \begin{pmatrix} (D^T)_{11} & (D^T)_{12} & (D^T)_{13} \\ (D^T)_{21} & (D^T)_{22} & (D^T)_{23} \\ (D^T)_{31} & (D^T)_{32} & (D^T)_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \fbox{$d_{11}$} & d_{21} & d_{31} \\ d_{12} & \fbox{$d_{22}$} & d_{32} \\ d_{13} & d_{23} & \fbox{$d_{33}$} \end{pmatrix}. \]
Como puedes observar, empleando la definición de matriz traspuesta, se sigue cumpliendo que la transposición se puede ver como la operación de reflejar una matriz con respecto a su diagonal.
Propiedades de transposición de matrices
A continuación, demostraremos algunas propiedades que cumplen las matrices \[ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \] (Las demostraciones para cualesquiera otros tamaños de matrices se desarrollan de manera análoga).
Finalmente, supongamos que $C = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ es invertible. Entonces se cumple que $ad – bc \ne 0$, y $C$ tiene como inversa a \[ C^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{d}{ad – bc} & \tfrac{-b}{ad – bc} \\ \tfrac{-c}{ad – bc} & \tfrac{a}{ad – bc} \end{pmatrix}, \] Por lo tanto, \[ (C^{-1})^T = \begin{pmatrix} \tfrac{d}{ad – bc} & \tfrac{-c}{ad – bc} \\ \tfrac{-b}{ad – bc} & \tfrac{a}{ad – bc} \end{pmatrix}. \]
Por su parte, observemos que $C^T = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ cumple que $ad – cb = ad – bc \ne 0$, con lo cual garantizamos que es también invertible —la transpuesta de una matriz invertible es también invertible—. Más aún, veamos que \begin{align*} (C^T)^{-1}&= \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} \\[5pt] &= \begin{pmatrix} \tfrac{d}{ad – bc} & \tfrac{-c}{ad – bc} \\ \tfrac{-b}{ad – bc} & \tfrac{a}{ad – bc} \end{pmatrix}. \end{align*} Por lo tanto, $(C^{-1})^T = (C^T)^{-1}$ —la inversa de una matriz traspuesta corresponde a la traspuesta de la inversa de la orginal—.
Matrices simétricas y antisimétricas
Ahora que conocemos la definición de matriz transpuesta y algunas de sus propiedades, observemos que existen matrices que se comportan de manera especial bajo esta operación.
A una matriz $A$ que cumple que $A^T = A$ se le denomina matriz simétrica. Otros ejemplos de matrices simétricas son \[ \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad \begin{pmatrix} -8 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & -\pi \end{pmatrix}. \] Una observación importante es que las matrices simétricas únicamente pueden ser cuadradas.
Por otra parte, veamos que la matriz \[ B= \begin{pmatrix} 0 & 5 & 5 \\ -5 & 0 & 5 \\ -5 & -5 & 0 \end{pmatrix} \] tiene como transpuesta a \[ B^T = \begin{pmatrix} 0 & -5 & -5 \\ 5 & 0 & -5 \\ 5 & 5 & 0 \end{pmatrix} = -B. \]
A una matriz $A$ que cumple que $A^T = -A$ se le denomina matriz antisimétrica. Otros ejemplos de matrices antisimétricas son \[ \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & -3 & 0 \end{pmatrix}. \] Al igual que sucede con las matrices simétricas, las matrices antisimétricas sólo pueden ser cuadradas.
Otra propiedad importante de las matrices antisimétricas es que todos los elementos de su diagonal tienen valor 0. ¿Puedes probar por qué sucede esto?
Más adelante…
Con las operaciones entre vectores y matrices que hemos visto hasta ahora podemos obtener varios resultados aplicables a distintas áreas de las matemáticas. En la siguiente entrada abordaremos un tema que, a primera vista, parece no relacionarse mucho con los conceptos que hemos aprendido hasta ahora, pero que, en realidad, resulta ser uno de los temas con mayor aplicación de los conceptos de vectores y matrices: los sistemas de ecuaciones lineales.
Tarea moral
Sea $A$ una matriz de $2\times 2$ con entradas reales. Muestra $AA^T$ siempre es una matriz simétrica y que las entradas en la diagonal de $AA^T$ siempre son números mayores o iguales a cero.
Prueba que los elementos de la diagonal de una matriz antisimétrica tienen valor 0.
Muestra que si una matriz es simétrica e invertible, entonces su inversa también es simétrica. ¿Es cierto lo mismo para las antisimétricas?
¿Existe alguna matriz que sea al mismo tiempo simétrica y antisimétrica?
Prueba que cualquier matriz $A$ se puede escribir como $A = B+C$, con $B$ simétrica y $C$ antisimétrica.
$A_1$ es un triángulo equilátero.
$A_2$ sustituye la tercera parte central de cada lado por dos aristas de la misma medida.
$A_3$ Hace lo mismo. Se repite el proceso recursivamente
