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Álgebra Superior II: Inmersión de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{Z}$

Por Ana Ofelia Negrete Fernández

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Introducción

Desde la educación básica pensamos al conjunto de los números enteros como aquél que está conformado por los naturales, sus negativos y el cero: $$\mathbb{Z} = \{ \ldots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \} .$$ Sin embargo, para poder fundamentar nuestra construcción, hasta ahora tenemos que el conjunto $\mathbb{Z}$ consiste por definición de ciertas clases de equivalencia de una relación en $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$. ¡Observa que ni siquiera $\mathbb{N}$ es un subconjunto de $\mathbb{Z}$ a partir de esta definición! ¿Cómo le hacemos para que estos dos puntos de vista coincidan?

En esta entrada veremos dos cosas muy importantes que nos permitirán unificar ambas ideas. Lo primero que haremos es ver que, en efecto, podemos pensar que $\mathbb{N}$ «es un subconjunto» de $\mathbb{Z}$. Esto lo ponemos entre comillas pues en realidad lo que demostraremos es que hay una copia de $\mathbb{N}$ dentro de $\mathbb{Z}$, con toda la estructura que tenía $\mathbb{N}$ originalmente: sus operaciones, sus identidades, su orden.

Después de esto, nos enfocaremos en ver que $\mathbb{Z}$ consiste exactamente de esta copia y de sus inversos aditivos. Así, habremos formalizado que $\mathbb{Z}$ consiste exactamente de los naturales, sus inversos aditivos y ningún otro elemento.

Inmersión de los naturales en los enteros

En la entrada anterior hablamos acerca del orden en $\mathbb{Z}$. Para ello hablamos del conjunto de enteros positivos $P$. También definimos las relaciones $<$ y $\leq$. En un sentido bastante formal, los enteros mayores o iguales a cero son exactamente los números naturales. La manera en la que enunciamos este resultado es la siguiente.

Teorema. Existe una función biyectiva $\gamma:\mathbb{N}\to P\cup \{\overline{(0,0)}\}$ que preserva las operaciones de suma, producto, el inverso aditivo, el inverso multiplicativo y el orden. Esta función está dada por $\gamma(n)=\overline{(n,0)}$.

Una vez que demostremos esto, la imagen $\gamma(\mathbb{N})$ será exactamente la «copia» de los naturales que vive en los enteros y que precisamente tiene todas las propiedades algebraicas de los naturales que nos interesaban.

Para hacer la demostración de este teorema, probaremos el resultado poco a poco, a través de varios lemas.

Lema 1. La función $\gamma$ está bien definida y es biyectiva.

Demostración. La función $\gamma$ está bien definida pues las clases del estilo $\overline{(n,0)}$ siempre están en $P\cup \{\overline{(0,0)}\}$: si $n=0$, entonces obtenemos la clase $\overline{(0,0)}$ y si $n\neq 0$, entonces $n>0$, lo cual justifica que $\overline{(n,0)}$ es un entero positivo, es decir, en $P$.

Veamos que la función $\gamma$ es biyectiva. Para ver que es inyectiva tomamos dos naturales $m$ y $n$ tales que $\gamma(m)=\gamma(n)$, es decir, tales que $\overline{(m,0)}=\overline{(n,0)}$. Esto quiere decir que $m+0=n+0$, pero entonces $m=n$. Para ver que es suprayectiva, ya sabemos que tomemos una clase $\overline{(a,b)}$ en $P\cup \{\overline{(0,0)}\}$. Por lo visto en la entrada anterior, esto nos dice que $a\geq b$, pero entonces existe un natural $k$ tal que $a=b+k$, de modo que $a+0=b+k$ y por lo tanto $\overline{(a,b)}=\overline{(k,0)}$. Con esto concluimos que $$\gamma(k)=\overline{(k,0)}=\overline{(a,b)}.$$

$\square$

Observa que, sin embargo, no sucede que $\gamma(\mathbb{N})$ sea todo $\mathbb{Z}$. Es decir, hay enteros diferentes de las clases $\overline{(n,0)}$, por ejemplo, el $\overline{(0,1)}$. Se puede verificar que la imagen de $\gamma$ cubre a los enteros no negativos y sólo a esos.

Regresando al enunciado del teorema, lo que veremos ahora es que $\gamma$ respeta las operaciones de suma y producto, así como sus respectivas identidades.

Lema 2. Para cualesquiera naturales $m$ y $n$ se cumple que $$\gamma(m)+\gamma(n)=\gamma(m+n)$$ y que $$\gamma(m)\gamma(n)=\gamma(mn).$$ Además, $\gamma(0)$ es la identidad aditiva en $\mathbb{Z}$ y $\gamma(1)$ es la identidad multiplicativa en $\mathbb{Z}$.

Demostración. Basta usar la definición de $\gamma$ y de la suma en $\mathbb{Z}$:
\begin{align*}
\gamma (m)+\gamma(n)&=\overline{(m,0)}+\overline{(n,0)}\\
&= \overline{(m+n,0)}\\
&=\gamma{m+n}.
\end{align*}

De modo similar, para el producto usamos la definición de $\gamma$ y la del producto en $\mathbb{Z}$:

\begin{align*}
\gamma (m)\gamma(n)&=\overline{(m,0)}\overline{(n,0)}\\
&= \overline{(mn+0\cdot 0,m\cdot 0 + 0 \cdot n)}\\
&= \overline{(mn,0)}\\
&=\gamma{mn}.
\end{align*}

La parte de las identidades es sencilla de hacer y queda como tarea moral.

$\square$

Ya vimos que $\gamma$ respeta las operaciones. Ahora veamos que también respeta el orden.

Lema 3. Para cualesquiera naturales $m$ y $n$, sucede que $m < n$ si y sólo si $\gamma(m) < \gamma(n)$.

Demostración. Por definición de $\gamma$, tenemos que $\gamma(m)<\gamma(n)$ si y sólo si $\overline{(m,0)}<\overline{(n,0)}$. En la entrada anterior vimos que esto sucede si y sólo si en $\mathbb{N}$ tenemos que $m+0<n+0$. Pero esto es justo $m<n$.

$\square $

Los lemas 1, 2 y 3 conforman la demostración del teorema de esta sección.

Caracterización de los enteros

En vista del teorema de la sección anterior, dentro de $\mathbb{Z}$ hay metida una copia de $\mathbb{N}$. ¿Cuáles son los otros elementos de $\mathbb{Z}$? ¿Hay muchos más enteros que eso? La respuesta es que no. Para acabar de tener a todos los elementos de $\mathbb{Z}$ basta con tomar esta copia de los enteros y considerar a sus inversos aditivos.

Proposición. Para cualquier entero $\overline{(a,b)}$, tenemos que sucede una y exactamente una de las afirmaciones siguientes:

  • $\overline{(a,b)}=\overline{(0,0)}$.
  • $\overline{(a,b)}=\overline{(n,0)}$ para algún natural $n\neq 0$.
  • $\overline{(a,b)}=\overline{(0,n)}$ para algún natural $n\neq 0$.

Demostración. Por el principio de tricotomía en $\mathbb{N}$, sabemos que se cumple una y exactamente una de las afirmaciones siguientes:

  • $a=b$
  • $a>b$
  • $a<b$

Si pasa la primera, entonces $\overline{(a,b)}=\overline{(0,0)}$. Si pasa la segunda, es porque existe un natural $n\neq 0$ tal que $a=b+n$, pero entonces $a+0=b+n$ y así $\overline{(a,b)}=\overline{(n,0)}$. Si pasa la tercera, es porque existe un natural $n,0$ tal que $a+n=b=b+0$, y entonces $\overline{(a,b)}=\overline{(0,n)}$.

De esta manera, se ve que siempre se cumple al menos una de las afirmaciones del enunciado. Ver que se cumple a lo más una es sencillo y queda como tarea moral.

$\square$

Siguiendo la demostración anterior con cuidado, nos damos cuenta que los casos corresponden precisamente al entero cero, a los positivos y a los negativos. La proposición anterior es una manera de ilustrar, en particular, que hay que hay el mismo número de números naturales positivos como números enteros negativos: a cada uno de ellos le podemos asociar (de manera biyectiva), un natural. Otra forma de dar esta biyección es mandar el entero positivo $\overline{(n,0)}$ al entero negativo $\overline{(0,n)}$, que es precisamente su inverso aditivo.

Re-etiquetando a los enteros

Estamos listos para abandonar la notación de parejas y clases de equivalencia. En vista de los resultados anteriores, cualquier entero positivo $\overline{(a,b)}$ es el mismo que un entero de la forma $\overline{(n,0)}$. Y los enteros de esta forma justo conforman una copia de $\mathbb{N}$ con toda la estructura algebraica que nos interesa. Así, ya nunca más tenemos que llamar a $\overline{(a,b)}$ con este nombre: basta simplemente llamarlo $n$.

Si tenemos un entero de la forma $\overline{(a,b)}$ con $a=b$, entonces simplemente lo llamaremos $0$. Y finalmente, si el entero $\overline{(a,b)}$ es negativo, podemos escribirlo de la forma $\overline{(0,n)}$ y en vista de lo anterior simplemente lo llamaremos $-n$. Todo esto funciona bien, porque también sabemos que justo $\overline{(n,0)}$ y $\overline{(0,n)}$ son inversos aditivos entre sí.

Pero, ¿cómo sabremos si al usar el símbolo $1$ nos estamos refiriendo al natural $\{\emptyset\}$ o al entero $\overline{(\{\emptyset\},\emptyset)}$? En realidad ya no es relevante, pues tenemos la total garantía de que los enteros no negativos se comportan exactamente como $\mathbb{N}$.

De esta manera, $$\mathbb{Z} = \{ \ldots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \}$$ y además tenemos la total garantía de que los enteros no negativos se comportan exactamente como los naturales.

Más adelante…

Después de liberar la gran carga que teníamos de usar la notación de parejas y de relaciones de equivalencia, ahora ya podemos usar a los enteros tal y como los conocíamos desde educación básica: como el cero, los enteros que no son cero, y sus negativos. Además, gracias a todo lo que demostramos, ya podemos utilizar las propiedades de la suma, el producto y el orden con la confianza de que están bien fundamentadas.

Lo que sigue es estudiar con más profundidad al conjunto $\mathbb{Z}$. Aunque no haya propiamente «divisiones exactas» en este conjunto, sí podemos preguntarnos qué sucede cuando dividimos un entero por otro, y cuánto queda. Esto lleva a las nociones de divisibilidad y residuos, que a su vez llevan a áreas muy interesantes de las matemáticas como el álgebra moderna y la teoría de números.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Muestra que en efecto no existe ningún natural $m$ tal que $\gamma(m)=\overline{(0,1)}$.
  2. Verifica que $\gamma(0)$ es la identidad aditiva de $\mathbb{Z}$ y $\gamma(1)$ es su identidad multiplicativa.
  3. Explica por qué para un entero $\overline{(a,b)}$ no puede suceder más de una de las siguientes afirmaciones:
    • $\overline{(a,b)}=\overline{(0,0)}$.
    • $\overline{(a,b)}=\overline{(n,0)}$ para algún natural $n\neq 0$.
    • $\overline{(a,b)}=\overline{(0,n)}$ para algún natural $n\neq 0$.
  4. La función $\gamma$ no es una biyección entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$. Pero sí existen biyecciones entre estos dos conjuntos. Construye una y demuestra que en efecto es una biyección.
  5. Da una biyección que muestre que el conjunto de los enteros no negativos pares, $\{0, 2, 4, 6, \ldots\}$ y el conjunto de los enteros no negativos positivos, $\{ 0, 1, 2, 3, \ldots \}$ tienen la misma cardinalidad. ¿Será posible construir la biyección de modo que se preserve la operación de suma? ¿Será posible construirla de modo que se preserve la operación de producto?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: El orden en los enteros

Por Ana Ofelia Negrete Fernández

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Introducción

En las entradas anteriores introdujimos al conjunto de los números enteros, así como sus operaciones de suma y producto. Lo que haremos ahora es ver cómo ordenar a los elementos en $\mathbb{Z}$. Lo haremos de una forma similar a la que hicimos lo de las operaciones: usando las nociones que ya teníamos definidas en $\mathbb{N}$.

Como recordatorio, en $\mathbb{N}$ dijimos que $a<b$ cuando $a\in b$. De esta noción de «menor que» dimos la noción de «menor o igual que», diciendo que $a\leq b$ cuando ya sea que $a<b$ o bien $a=b$. Vimos que esta relación $\leq$ define un orden parcial en $\mathbb{N}$ que además es tricotómico. Quizás los resultados más importantes para trabajar con esta noción de desigualdad fue ponerla en términos de suma de elementos en $\mathbb{N}$:

  • En $\mathbb{N}$ se cumple que $a<b$ si y sólo si existe un natural $k>0$ tal que $a+k=b$.
  • En $\mathbb{N}$ se cumple que $a\leq b$ si y sólo si existe un natural $k$ tal que $a+k=b$.

Con esto en mente, veamos ahora cómo construir un orden en $\mathbb{Z}$. Antes de hacer eso, conviene primero pensar en números positivos, negativos y el cero.

Los positivos, los negativos y el cero en $\mathbb{Z}$

Ya sabemos que la identidad aditiva en $\mathbb{Z}$ es la clase $\overline{(0,0)}$, que también se puede pensar como la clase $\overline{(a,a)}$ para cualquier $a$ en $\mathbb{N}$. Si tenemos cualquier otra clase $\overline{(a,b)}$, por tricotomía del orden en $\mathbb{N}$ nos quedan sólo otras dos opciones: o bien $a<b$, o bien $b<a$. Esto nos ayudará a definir la noción de positividad y negatividad.

Definición. Sea $\overline{(a,b)}$ un entero. Diremos que ${(a,b)}$ es:

  • Cero si $a=b$,
  • Positivo si $a>b$ y
  • Negativo si $a<b$.

Una vez más, por la tricotomía del orden en $\mathbb{N}$, siempre sucede exactamente una de las posibilidades anteriores. Es importante ver que esta definición está bien hecha, es decir, que no depende de la clase de equivalencia que se eligió. Por ejemplo, si $\overline{(a,b)}$ es positivo, sucede que $a>b$. Si tomamos $(c,d)$ tal que $(a,b)\sim (c,d)$, nos gustaría ver que también sucede $c>d$. Esto se debe a que $a+d=b+c$. Si tuviéramos $c\leq d$, entonces nos pasaría que $a+d>b+c$ y tendríamos una contradicción. Así, por tricotomía debe pasar $c>d$. El caso de la negatividad se verifica de manera análoga.

Recuerda que el inverso aditivo de un entero $\overline{(a,b)}$ es el entero $-\overline{(a,b)}=\overline{(b,a)}$. Así, si $\overline{(a,b)}$ es positivo, entonces su inverso aditivo es negativo y viceversa.

Definición. Usaremos la letra $P$ para referirnos al conjunto de todos los enteros positivos. Usaremos $-P$ para referirnos al conjunto de todos los enteros negativos.

¿Cómo se comportan estas definiciones con las operaciones que ya tenemos en $\mathbb{Z}$? Ahora tenemos todo lo necesario para poder formalizar oraciones como «negativo por negativo es positivo», o «positivo más positivo es positivo.

Proposición. En $\mathbb{Z}$ se cumple todo lo siguiente:

  • Si $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ están en $P$, entonces su suma está en $P$ y su producto también.
  • Si $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ están en $-P$, entonces su suma está en $-P$ y su producto está en $P$.

Demostración. Todas estas afirmaciones se traducen a proposiciones que debemos demostrar en $\mathbb{N}$. En el caso de la primera, debemos ver que si $a>b$ y $c>d$, entonces $a+c>b+d$ y que $ac+bd>ad+bc$. Lo primero es sencillo, pues sale de la compatibilidad de $>$ con la suma de $\mathbb{N}$. Demostremos entonces que $ac+bd>ad+bc$.

Como $a>b$, existe un natural $k>0$ tal que $a=b+k$. Como $c>d$, existe un natural $l>0$ tal que $c=d+l$. Haciendo estas substituciones de $a$ y $c$ en $ac+bd>ad+bc$, obtenemos la siguiente cadena de desigualdades que son equivalentes a lo que debemos demostrar:

\begin{align*}
ac+bd&>ad+bc\\
(b+k)(d+l)+bd&>(b+k)d+b(d+l)\\
bd+bl+kd+kl+bd&>bd+kd+bd+bl.
\end{align*}

La última de estas desigualdades se cumple pues a la izquierda tenemos todos los sumandos que del lado derecho, y además el sumando $kl$ que como $k>0$ y $l>0$, entonces cumple $kl>0$.

Las demostraciones para cuando los elementos son negativos quedan como tarea moral.

$\square$

Al conjunto de enteros positivos también se le conoce en ocasiones como $\mathbb{Z}^+$, y al de enteros positivos también se le conoce como $\mathbb{Z}^-$.

El orden en $\mathbb{Z}$

Estamos listos para definir el orden en $\mathbb{Z}$. Aprovecharemos que ya podemos restar para poner la definición de orden en términos de esta operación.

Definición. Para $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ elementos en $\mathbb{Z}$ diremos que $\overline{(c,d)}<\overline{(a,b)}$ si $\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}$ es un entero positivo.

En realidad la expresión $\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}$ es simplemente $\overline{(a+c,b+d)}$, así que otra forma de escribir la condición de la definición es simplemente pedir que $a+c>b+d$. Como siempre sucede que o bien $a+c>b+d$, o que $a+c<b+d$, o que $a+c=b+d$ (y sólo una de ellas), entonces de manera inmediata obtenemos la tricotomía en $\mathbb{Z}$.

Proposición. Para $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ elementos en $\mathbb{Z}$ siempre sucede exactamente alguna de las siguientes:

  • $\overline{(a,b)}<\overline{(c,d)}$
  • $\overline{(c,d)}<\overline{(a,b)}$
  • $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}$

Como en el caso de los naturales, a partir de la definición de «menor estricto» es sencillo obtener la noción de «menor o igual».

Definición. Para $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ elementos en $\mathbb{Z}$ diremos que $\overline{(c,d)}\leq \overline{(a,b)}$ si o bien $\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}$ es un entero positivo, o bien $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}$.

Lo anterior es equivalente a pedir que $a+c\geq b+d$.

Proposición. La relación $\leq$ es un orden parcial en $\mathbb{Z}$.

Demostración. Es inmediato que esta relación $\leq$ es reflexiva, pues $\overline{(a,b)}\leq \overline{(a,b)}$ se obtiene de manera inmediata de la segunda parte de la definición.

Para ver que es antisimétrica, si tuviéramos $\overline{(c,d)}\leq \overline{(a,b)}$ y $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$, entonces tendríamos las desigualdades $a+c\geq b+d$ y $b+d\geq a+c$, que por la antisimetría en $\mathbb{N}$ implican que $a+c=b+d$, que justo es $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}$.

Finalmente, para ver que $\leq$ es una relación transitiva, comenzamos con enteros $\overline{(a,b)}, \overline{(c,d)}, \overline{(e,f)}$ tales que $\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(c,d)}\leq \overline{(a,b)}$.

De la primer desigualdad obtenemos $c+f\geq e+d$ y de la segunda obtenemos que $a+d\geq b+c$. Sumando ambas desigualdades, obtenemos que $c+f+a+d\geq b+c+e+d$. De aquí podemos deducir que $a+f\geq b+e$. Esto precisamente nos dice que $\overline{(e,f)}\leq \overline{(a,b)}$, como queríamos.

$\square$

Las dos proposiciones anteriores se pueden resumir en el siguiente enunciado.

Teorema. La relación $\leq$ es un orden total en $\mathbb{Z}$.

Compatibilidad del orden con las operaciones en $\mathbb{Z}$

Lo último que nos queda por mencionar es cómo se comporta la relación $\leq$ en $\mathbb{Z}$ con sus operaciones de suma y producto. A continuación mencionamos algunas de las propiedades que se cumplen, aunque hay varias cosas más que se pueden demostrar.

Proposición. En $\mathbb{Z}$ se cumple lo siguiente:

  • Si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}\leq \overline{(g,h)}$, entonces $$\overline{(a,b)}+\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}+\overline{(g,h)}.$$
  • Si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ es positivo, entonces $$\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}\overline{(e,f)}.$$
  • Si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ es negativo, entonces $$\overline{(c,d)}\overline{(e,f)}\leq \overline{(a,b)}\overline{(e,f)}$$

Demostración.

  • Las hipótesis se pueden escribir como $a+d\leq b+c$ y $e+h\leq f+g$. Sumando ambas y asociando de un modo que nos convenga, obtenemos que $(a+e)+(d+h)\leq (b+f)+(c+g)$. Esto lo que nos dice es que $\overline{(a+e,b+f)}\leq $\overline{(c+g,d+h)}$, que es precisamente lo que queríamos demostrar.
  • Por la hipótesis, tenemos que $\overline{(c,d)}-\overline{(a,b)}$ es positivo y que $\overline{(e,f)}$ también. Por lo que ya vimos antes, el producto de estos dos enteros debe ser entonces positivo. Por distributividad, este producto es $\overline{(c,d)}\overline{(e,f)}-\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}$. Así, $\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}\overline{(e,f)},$ como queríamos.
  • Por la hipótesis, tenemos que $\overline{(c,d)}-\overline{(a,b)}$ es positivo y que $\overline{(e,f)}$ es negativo. Entonces $\overline{(f,e)}=-\overline{(e,f)}$ es positivo. Por lo que ya vimos antes, el producto de estos dos enteros debe ser entonces positivo. Por distributividad, este producto es $\overline{(c,d)}\overline{(f,e)}-\overline{(a,b)}\overline{(f,e)}$. Esta expresión se puede escribir de manera alternativa como $\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}-\overline{(c,d)}\overline{(e,f)}$. Como es positiva, obtenemos justo lo que queríamos.

$\square$

En los ejercicios de la tarea moral explorarás más propiedades de la relación $\leq$ y cómo interactúa con las operaciones en $\mathbb{Z}$.

Más adelante…

Ya tenemos todo lo que necesitamos en los enteros: su definición, sus operaciones y su noción de orden. Sin embargo, aún tenemos una gran dificultad: es muy difícil escribirlos. Cada que queremos referirnos a un entero, debemos usar la clase de equivalencia de una pareja de naturales. Nos gustaría que los enteros fueran algo mucho más intuitivo: los naturales y sus negativos. Lo que haremos en la siguiente entrada es ver cómo formalizar esta idea para que podamos, finalmente, abandonar la notación de parejas de naturales y relaciones de equivalencia. Esto será bastante útil para después entrar en muchas otras propiedades que nos interesan de los enteros como la noción de divisibilidad y otras propiedades aritméticas.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Completa las demostraciones de las nociones de positivo, negativo y orden en $\mathbb{Z}$ están bien definidas.
  2. Demuestra que la suma de dos enteros negativos es un entero negativo y que su producto es un entero positivo. Haz una demostración que funcione en general, pero luego verifícalo «a mano» para los enteros $\overline{(3,7)}$ y $\overline{(9,11)}$.
  3. En la entrada dimos la definición formal de $<$ y de $\leq$ en $\mathbb{Z}$, pero aún no hemos definido ni usado los símbolos $>$ y $\geq$ en $\mathbb{Z}$. Formaliza una definición para ellos. Demuestra que $\geq$ también es un orden total en $\mathbb{Z}$.
  4. Demuestra que en $\mathbb{Z}$, si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ es negativo, entonces $$\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\geq \overline{(c,d)}\overline{(e,f)}.$$
  5. Determina si la siguiente propiedad del producto y el orden en $\mathbb{Z}$ siempre es verdadera, o bien si hay ocasiones en las que falla: «Si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}\leq \overline{(g,h)}$, entonces $$\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}\overline{(g,h)}.»

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: El producto en los enteros

Por Ana Ofelia Negrete Fernández

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Introducción

En la entrada anterior hablamos de cómo se construye el conjunto $\mathbb{Z}$ de los números enteros y cómo definir una operación de suma en él. Vimos que esta operación de suma tenía cuatro propiedades clave: asociatividad, conmutatividad, existencia de un neutro y de inversos. A partir de ello definimos también la operación de resta. En esta entrada continuaremos con la construcción de las operaciones en $\mathbb{Z}$. Ahora definiremos el producto de números enteros.

Intuición del producto de enteros y su definición formal

La definición de la suma de los enteros resultó ser muy sencilla. Si tenemos enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ entonces para hacer la suma simplemente «sumamos entrada a entrada» para obtener $\overline{(a+c,b+d)}$. Uno podría pensar que para hacer el producto de enteros esto debe ser igual de fácil, definiendo al producto simplemente como $\overline{(ac,bd)}$. Sin embargo, esta definición no funciona, pues no tiene muchas de las propiedades valiosas que debería tener una operación de producto.

Antes de dar la definición, recordemos nuestra intuición de qué quería decir cada pareja $(a,b)$. En la entrada anterior, a cada pareja la asociábamos con la ecuación $a=x+b$. La relación de equivalencia que dimos consistía en asociar a las parejas cuyas ecuaciones daban la misma solución. De manera informal, podemos pensar entonces a la pareja $(a,b)$ como si fuera $a-b$. Pero ojo: esto sólo es intuición, pues $a$ y $b$ son elementos de $\mathbb{N}$ y ahí no hay operación de resta.

De cualquier forma, esta intuición es valiosa, pues nos sugiere cuál debería de ser la definición de producto. De manera intuitiva, queremos que suceda $(a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd=(ac+bd)-(ad+bc)$, y aquí cada término entre paréntesis sí es un natural válido: $ac+bd$ y $ad+bc$, así que el resultado correspondería a la pareja $(ac+bd,ad+bc)$. Es muy interesante que esta intuición informal en verdad da una buena definición de producto.

Definición. El producto en $\mathbb{Z}$ es la función $\star:\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ tal que para enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$, se tiene que $$\overline{(a,b)} \star \overline{(c,d)}=\overline{(ac+bd),(ad+bc)}.$$

Como en el caso de la suma, estamos usando un símbolo especial para el producto en $\mathbb{Z}$, de modo que podamos distinguirlo del producto en $\mathbb{N}$. Así como en el caso de la suma, sólo haremos la distinción explícita en este momento. Usualmente nos referiremos al producto de enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ como $\overline{(a,b)}\cdot \overline{(c,d)}$, o simplemente como $\overline{(a,b)}\, \overline{(c,d)}$. Esto será claro por el contexto.

El producto en $\mathbb{Z}$ está bien definido

Nuestra definición de producto en $\mathbb{Z}$ es un poco extraña, así que debemos dedicar algo de trabajo a verificar que en realidad es el producto tal y como siempre lo habíamos conocido. La primer cosa que debemos hacer es ver que el producto en $\mathbb{Z}$ está bien definido, es decir, que el resultado es el mismo independientemente de los representantes que se elijan para realizar la multiplicación.

Proposición. El producto en $\mathbb{Z}$ está bien definido.

Demostración. Comencemos con parejas $(a,b)\sim (e,f)$ y $(c,d)\sim (g,h)$. Como $(a,b) \sim (e,f)$, entonces $$ a + f = b + e.$$ También, $(c,d) \sim (g,h)$, implica que $$c + h = d + g.$$

Usando la definición de producto de dos enteros, se tiene por un lado que
$$\overline{(a,b)}\,\overline{(c,d)} = \overline{(ac + bd, ad + bc)}.$$

Por otro lado, tenemos

$$\overline{(e,f)}\,\overline{(g,h)} = \overline{(eg + fh, eh + fg )}.$$

Así, debemos demostrar que $\overline{(ac + bd, ad + bc)} = \overline{(eg + fh, eh + fg )}$. Poniendo en términos de la relación de equivalencia, se deberá cumplir que $$ (ac + bd) + (eh + fg) = (ad + bc) + (eg + fh).$$

Multiplicando las primeras igualdades que encontramos, tenemos lo siguiente:
\begin{align*}
(a + f) (c+h) &= (b+e)(d +g) \\
ac + ah + fc + fh &= bd + bg + ed + eg.
\end{align*}

Sumemos $bd + fh$ en ambos lados de la ecuación y usemos nuevamente las hipótesis para obtener las siguientes igualdades:

\begin{align*}
(bd + fh) + ac + ah + fc + fh &= (bd + fh) + bd + bg + ed + eg \\
(ac + bd) + h(a + f) + f(c + h) &= b(d + g) + d(b +e) + (eg + fh) \\
(ac + bd) + h (b + e) + f (d + g) &= b(c + h) + d(a + f) + (eg + fh) \\
(ac + bd + eh + fg) + hb + df &= (bc + ad + eg + fh) + hb + df \\
ac + bd + eh + fg &= ad + bc + eg + fh.
\end{align*}

Esto es justo lo que queríamos mostrar.

$\square$

En la demostración anterior estamos usando las propiedades de las operaciones en $\mathbb{N}$ ya prácticamente sin enunciarlas. A estas alturas ya podemos hacer eso, pues hemos trabajado bastante con ellas. Sin embargo, es importante que de vez en cuando te preguntes por qué se vale cada una de las igualdades.

Propiedades del producto en $\mathbb{Z}$

Ya que hemos definido el producto en los enteros, es importante verificar que hay algunas propiedades que se cumplen. Esto nos permitirá más adelante trabajar sin problema con el producto de enteros, como se ha hecho desde la educación básica.

Proposición. Se satisfacen las siguientes propiedades para la operación de producto en $\mathbb{Z}$.

  • Asociatividad. Para enteros $\overline{(a,b)}$, $\overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ se satisface que $$(\overline{(a,b)}\,\overline{(c,d)})\overline{(e,f)}=\overline{(a,b)}(\overline{(c,d)}\,\overline{(e,f)}).$$
  • Conmutatividad. Para enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ se satisface que $$\overline{(a,b)}\,\overline{(c,d)}=\overline{(c,d)}\,\overline{(a,b)}.$$
  • Neutro. Existe un elemento neutro, es decir, existe un entero $\overline{(m,n)}$ tal que para cualquier entero $\overline{(a,b)}$ se cumple que $$\overline{(a,b)}\,\overline{(m,n)}=\overline{(a,b)}.$$
  • Los únicos elementos que tienen inverso multiplicativo son $\overline{(1,0)}$ y $\overline{(0,1)}$.

Demostración. Las demostraciones de la asociatividad y la conmutatividad quedan como tarea moral. La sugerencia es desarrollar ambos lados de las igualdades usando la definición de producto, y luego utilizar propiedades del producto y la suma en $\mathbb{N}$.

El elemento que sirve como neutro para el producto es el $\overline{(1,0)}$. En efecto, usando la definición tenemos que: $$\overline{(a,b)}\,\overline{(1,0)}=\overline{(a\cdot 1+b\cdot 0, a\cdot 0 + b\cdot 1)}=\overline{(a,b)}.$$

Es sencillo ver que los elementos indicados sí tienen inverso. El inverso de $\overline{(1,0)}$ es él mismo y el inverso de $\overline{(0,1)}$ también es él mismo. En efecto:

\begin{align*}
\overline{(1,0)}\,\overline{(1,0)}&=\overline{(1\cdot 1+0\cdot 0,1\cdot 0+0\cdot 1)}=\overline{(1,0)}\\
\overline{(0,1)}\,\overline{(0,1)}&=\overline{(0\cdot 0+1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)}=\overline{(1,0)}.
\end{align*}

Para ver que estos son los únicos elementos que tienen inversos, supongamos que algún otro entero $\overline{(a,b)}$ tiene inverso multiplicativo $\overline{(c,d)}$. Esto querría decir que $\overline{(ac+bd,ad+bc)}=\overline{(1,0)}$, que en términos de la relación de equivalencia se traduce a $$ac+bd=ad+bc+1.$$

Si $a=b$, la igualdad no se puede dar pues tendríamos $ac+ad=ad+ac+1$, que es imposible. Por tricotomía en $\mathbb{N}$, tenemos entonces que $a>b$ o $a<b$. Resolveremos el caso $a>b$ y el caso $a<b$ quedará como tarea moral.

Si $a=b+1$, entonces la igualdad queda como $(b+1)c+bd=(b+1)d+bc+1$, que se simplifica a $c=d+1$. Esto nos da la solución $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}=\overline{(1,0)}$.

En otro caso, tenemos $a\geq b+2$ y por lo tanto podemos escribir $a=b+1+k$ con $k\geq 1$. La igualdad queda entonces como $$(b+1+k)c+bd=(b+1+k)d+bc+1.$$ Desarrollando y simplificando tenemos que $$c+kc=d+kd+1.$$ Si $d\geq c$, el lado derecho claramente es más grande, así que no hay solución. De este modo, $d<c$ y por lo tanto podemos escribir $c=d+l$ con $l\geq 1$. Usando esta igualdad en $c+kc=d+kd+1$, llegamos a la igualdad $$d+l+kd+kl=d+kd+1,$$ que se simplifica a $$l(k+1)=1.$$ Pero como $k\geq 1$, entonces $k+1\geq 2$ y como además $l\geq 1$, tenemos $l(k+1)\geq 2$, así que en este caso no tenemos soluciones.

$\square$

Las propiedades anteriores se pueden enunciar únicamente en términos de la operación de producto. Además de estas propiedades, hay otra que nos dice cómo el producto interactúa con la operación suma en $\mathbb{Z}$.

Proposición. Se cumple la ley distributiva para la suma y el producto, es decir, para enteros $\overline{(a,b)}$, $\overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ se cumple que $$\overline{(a,b)}(\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)})=\overline{(a,b)}\,\overline{(c,d)}+\overline{(a,b)}\,\overline{(e,f)}.$$

Demostración. Realizando la operación correspondiente al lado izquierdo tenemos:

\begin{align*}
\overline{(a,b)}(\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)})&=\overline{(a,b)}\,\overline{(c+e,d+f)}\\
&=\overline{(a(c+e)+b(d+f),a(d+f)+b(c+e))}\\
&=\overline{(ac+ae+bd+bf,ad+af+bc+be)}.
\end{align*}

Observa cómo aquí se está usando la propiedad distributiva, pero en $\mathbb{N}$.

Realizando la operación correspondiente al lado derecho tenemos:

\begin{align*}
\overline{(a,b)}\,\overline{(c,d)}+\overline{(a,b)}\,\overline{(e,f)}&=\overline{(ac+bd,ad+bc)}+\overline{(ae+bf,af+be)}\\
&=\overline{(ac+bd+ae+bf,ad+bd+af+be)}.
\end{align*}

Usando la conmutatividad de la suma en $\mathbb{N}$, obtenemos que esta expresión es igual a la del lado izquierdo, como queríamos.

$\square$

Divisores de cero y cancelación

Hasta donde hemos platicado, los enteros tienen suma, resta y producto. Sin embargo, en los enteros todavía no tenemos una operación de división. Esto causa un par de dificultades. Una de estas es que cuando queremos resolver ecuaciones del estilo $a=bx$ con $a$ y $b$ enteros y $x$ un entero por determinar, no podemos simplemente «pasar la $b$ dividiendo» y obtener $x=a/b$. Otra dificultad es que cuando tenemos una igualdad del estilo $ab=ac$ tampoco podemos simplemente «dividir entre $a$».

La primer dificultad la estudiaremos más a detalle cuando entremos a teoría de números qué es lo que sí se puede hacer en $\mathbb{Z}$. Para la segunda, resulta que de cualquier forma podemos concluir casi siempre que $b=c$.

Antes de demostrar esto, veamos un resultado intermedio auxiliar. La siguiente proposición a veces se enuncia como que $\mathbb{Z}$ no tiene divisores de cero, o bien como que si el producto de dos enteros es cero, entonces alguno de ellos debe de ser cero.

Proposición. Si $\overline{(a,b)}$, $\overline{(c,d)}$ pertenecen a $\mathbb{Z}$ y $\overline{(a,b)}\,\overline{(c,d)}=\overline{(0,0)}$, entonces $\overline{(a,b)}=\overline{(0,0)}$ o $\overline{(c,d)}=\overline{(0,0)}$.

Demostración. Para que el producto $$\overline{(a,b)}\,\overline{(c,d)}=\overline{(ac+bd,ad+bc)}$$ sea igual al entero $\overline{(0,0)}$, debe suceder que $$ac+bd+0=ad+bc+0,$$ es decir, que $ac+bd=ad+bc$. A partir de esto, debemos de demostrar que o bien $a=b$, o bien que $c=d$. Supongamos que $a\neq b$ (en otro caso, ya tenemos lo buscado). Por tricotomía, debe pasar $a>b$ ó $a<b$.

Si $a>b$, entonces existe un entero $k>1$ tal que $a=b+k$, de modo que tenemos las siguientes igualdades:

\begin{align*}
ac+bd&=ad+bc\\
(b+k)c+bd&=(b+k)d+bc\\
bc+kc+bd&=bd+kd+bc\\
kc&=kd.
\end{align*}

Como $k>=1$, podemos usar la cancelación del producto en $\mathbb{N}$ para obtener $c=d$, como queríamos. Falta el caso $a<b$, pero es análogo al anterior. Los detalles quedan como tarea moral.

$\square$

Ahora sí podemos demostrar que en $\mathbb{Z}$ se vale cancelar factores distintos de cero.

Proposición. Sean $\overline{(a,b)}$, $\overline{(c,d)}$, $\overline{(e,f)}$ elementos en $\mathbb{Z}$. Supongamos que $\overline{(a,b)}\neq \overline{(0,0)}$ y que $$\overline{(a,b)}\,\overline{(c,d)}=\overline{(a,b)}\,\overline{(e,f)}.$$

Entonces $\overline{(c,d)}=\overline{(e,f)}$.

Demostración. Tenemos las siguientes igualdades:

\begin{align*}
\overline{(a,b)}\,\overline{(c,d)}&=\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\\
\overline{(a,b)}\,\overline{(c,d)}-\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}&=0\\
\overline{(a,b)}(\overline{(c,d)}-\overline{(e,f)})&=0.\\
\end{align*}

Para pasar de la primera a la segunda, estamos restando de ambos lados, lo cual es válido en $\mathbb{Z}$. De la segunda igualdad a la tercera se está usando la ley distributiva para la resta (ver Tarea moral). A partir de aquí podemos usar la proposición anterior. Como $\overline{(a,b)}$ no es cero, entonces $\overline{(c,d)}-\overline{(e,f)}=0$. De aquí se obtiene $\overline{(c,d)}=\overline{(e,f)}$, que es lo que queríamos mostrar.

$\square$

Más adelante…

Ya tenemos las operaciones para los números enteros. Aún nos falta introducir un concepto muy importante: el de orden. Esto lo haremos en la siguiente entrada. Además, veremos que la noción de orden en $\mathbb{Z}$ es compatible con sus operaciones.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Realiza por definición el producto de los enteros $\overline{(8,3)}$ y $\overline{(3,5)}$. ¿Lo que obtienes tiene sentido con el hecho de que $5\cdot (-2)=-10$?
  2. Demuestra que el producto en $\mathbb{Z}$ es asociativo y conmutativo.
  3. Para terminar la demostración de que $\mathbb{Z}$ no tiene divisores de cero, muestra que si se tienen naturales $a,b,c,d$ tales que $ac+bd=ad+bc$ y $a<b$, entonces $c=d$. Recuerda que debes trabajar todo en $\mathbb{N}$, en donde no se pueden restar elementos.
  4. Termina la demostración de que en $\mathbb{Z}$ los únicos elementos con inversos multiplicativos son $\overline{(1,0)}$ y $\overline{(0,1)}$. Tendrás que llegar a que en el caso faltante la única solución es $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}=\overline{(0,1)}$.
  5. Enuncia y demuestra una ley distributiva para la resta.
  6. Si definiéramos al producto de dos enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ como el entero $\overline{(ac,bd)}$, ¿cuáles de las propiedades que hemos discutido en esta entrada fallarían?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: Construcción de los enteros y su suma

Por Ana Ofelia Negrete Fernández

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Introducción

Ya que se construyeron los números naturales, podríamos intentar usarlos para plantear ecuaciones con ellos y ver si se pueden resolver. Un tipo de ecuaciones muy sencillas son las de la forma $a=b+x$, en donde $a$ y $b$ son valores dados y lo que se espera es encontrar el valor de $x$. En los números naturales no hemos definido la resta, así que no es tan sencillo resolver esta ecuación como simplemente decir que la solución es $a-b$.

Lo que sí hicimos en entradas anteriores es ver que la ecuación $a=b+x$ con $a$ y $b$ en $\mathbb{N}$ tiene una solución $x$ en $\mathbb{N}$ si y sólo si $a\geq b$. Cuando $a<b$, no existe solución. Por ejemplo, no existe ninguna $x \in \mathbb{N}$ tal que $3 = 7 + x$.

Pensando esto de manera más intuitiva, $\mathbb{N}$ está conformado por el cero y demás números estrictamente positivos, pero en ocasiones eso no basta para realizar algunas cuentas. Consideremos el siguiente problema:

Una rana está en una posición inicial $0$ y salta dos unidades hacia la derecha. A continuación salta $3$ unidades hacia la izquierda. Luego vuelve a saltar $2$ unidades hacia la derecha y seguido de esto vuelve a saltar $3$ unidades a la izquierda. Una última vez, la rana salta $2$ unidades a la derecha seguidas de $3$ unidades a la izquierda. ¿En qué posición se encuentra la rana ahora?

La cuenta intuitiva, usando los números que conocemos desde educación básica, nos dice que la rana queda en la posición $-3$. Sin embargo, este es un número negativo, y dentro de nuestra construcción de $\mathbb{N}$ nunca hemos hablado de estos números.

La necesidad de que existan soluciones para las ecuaciones sencillas que mencionamos arriba y de que existan números para hacer cuentas como las de la rana es motivación suficiente para querer construir el conjunto de números enteros, denotado $\mathbb{Z}$. Lo que buscamos es que toda ecuación de la forma $a=b+x$ tenga una solución. Es decir, querremos que el conjunto de entero satisfaga que «para cualesquiera $a,b\in \mathbb{Z}$ existe $x\in \mathbb{Z}$ tal que $a= b+x$».

En esta entrada y las siguientes, describiremos la construcción de $\mathbb{Z}$, de sus operaciones y de su orden. Para hacer esto de la manera más formal posible, aprovecharemos la construcción que ya hemos hecho de $\mathbb{N}$.

A grandes rasgos, debemos de pasar por los siguientes pasos.

  1. Definiremos una relación en $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$, en donde dos parejas $(a,b)$ y $(c,d)$ de enteros estarán relacionadas si $a+d=b+c$.
  2. Veremos que esto es una relación de equivalencia. Un número entero será una clase de equivalencia de esta relación, es decir, en símbolos será un conjunto de la siguiente forma: \[ \overline{(a,b)}:= \left\{ (c,d) \in \mathbb{N}\times\mathbb{N} : \left(a + d = b +c \right) \right\}, \] en donde $a$ y $b$ son números naturales.
  3. El conjunto de los números enteros será la colección de todas las clases de equivalencia arriba mencionadas, en símbolos: \[ \mathbb{Z} := \left\{ \overline{(a,b)} : (a,b) \in \mathbb{N}\times\mathbb{N} \right\}.\]
  4. A este conjunto le daremos operaciones de suma, producto y un orden. Enunciaremos y demostraremos varias de sus propiedades.

Ya que hagamos todo esto, podremos pasar a una siguiente etapa de esta unidad, en donde daremos una introducción a la teoría de números, que es un área de las matemáticas que se dedica a estudiar propiedades aritméticas de $\mathbb{Z}$.

¿Qué es un número entero?

Comencemos tomando una pareja ordenada $(a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ con $a\geq b$. Para esta pareja, la ecuación

\begin{equation}
a = b + x
\end{equation}

tiene una solución en $\mathbb{N}$. Sin embargo, existen más parejas que tienen la misma solución, es decir, parejas $(c,d)$ tales que las ecuaciones $a=b+x$ y $c=d+x$ tienen la misma solución $x \in \mathbb{N}$. Por ejemplo, si tomamos $a = 7$, $b = 3$ la ecuación correspondiente es $$7=3+x,$$ cuya solución es $x=4$. Si tomamos $c = 15$ y $d = 11$, entonces la ecuación es $$15=11+x,$$ cuya solución también es $x=4$.

En realidad, muchas más parejas de naturales pueden encontrarse tales que la solución $x$ sea la misma en las ecuaciones representadas por su pareja ordenada asociada. En el ejemplo anterior, otras parejas con la misma solución serían $(5, 1)$, $(31, 27)$, $(100, 96)$, etc. Lo que buscamos al construir a los números enteros es «agrupar» a las parejas con la misma solución $x$. Sin embargo, para que más adelante podamos también «considerar a los negativos», tendremos que cambiar un poco el enfoque.

La siguiente proposición nos permite describir quiénes son todas las parejas $(c,d) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ que tienen la misma solución.

Proposición. Sean $(a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ y $(c,d) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ con $a\geq b$ y $c\geq d$. Se tiene que las ecuaciones $a=b+x$ y $c=d+x$ tienen la misma solución $x$ si y sólo si $a+d = b+c$.

Demostración. $\Longrightarrow )$ Comencemos suponiendo que las ecuaciones $a=b+x$ y $c=d+x$ tienen una misma solución $x$. Esto en símbolos quiere decir que

\begin{align*} a &= b+x \\ d + x &= c \end{align*}

Sumando ambas ecuaciones, obtenemos lo siguiente (aquí ya estamos usando las propiedades conmutativa y asociativa de la suma):

$$a + d + x = b + c + x.$$

En entradas anteriores ya demostramos que se cumple la ley de la cancelación en $\mathbb{N}$. Cancelando $x$ de ambos lados de la igualdad anterior, obtenemos $$a+d=b+c,$$ que era lo que queríamos.

$\Longleftarrow )$ Ahora comencemos con parejas $(a,b)$ y $(c,d)$ tales que $a+d=b+c$. Sea $k \in \mathbb{N}$ una solución de la ecuación $a = b + x$. Es decir, $a = b + k$. Sumando $d$ de ambos lados y usando la hipótesis, tenemos lo siguiente

\begin{align*} b + d + k &= a + d\\
&= b+c.
\end{align*}

Usando la ley de la cancelación en el término $b$, obtenemos que $d+k=c$, es decir, que $k$ también es solución de la ecuación $c=d+x$.

$\square$

La proposición anterior motiva entonces la siguiente definición para todas las parejas $(a,b)$, no sólo para aquellas con $a\geq b$.

Definición. Sean $(a,b)$ y $(c,d)$ parejas de números naturales. Diremos que $(a,b)\sim(c,d)$ si y sólo si $a + d = b + c$.

Probemos una propiedad fundamental de $\sim$.

Proposición. La relación $\sim$ en $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ es una relación de equivalencia.

Demostración. Debemos demostrar que $\sim$ es reflexiva, simétrica y transitiva.

  1. Reflexividad. Veamos que para toda $(a,b)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ se cumple que $(a,b)\sim (a,b)$. Por la conmutatividad de la suma en $\mathbb{N}$, $a + b = b + a$. Así, $(a,b) \sim (a,b)$.
  2. Simetría. Veamos que para cualesquiera $(a,b),(c,d) \in \mathbb{N}\times\mathbb{N}$, si $(a,b)\sim (c,d)$, entonces $(a,b) \sim (c,d)$. Sean $(a,b)$ y $(c,d)$. Si $(a,b)=(c,d)$, entonces $a+d = b+c$. Nuevamente por la conmutatividad de la suma en $\mathbb{N}$, se desprende que $c + b = d + a$. Esto es precisamente la definición de $(c,d)\sim(a,b)$.
  3. Transitividad. Veamos que para cualesquiera $(a,b), (c,d),(e,f) \in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ tales que $(a,b)\sim (c,d)$ y $(c,d)\sim (e,f)$, se obtiene que $(a,b)\sim (e,f)$. Sean $(a,b)$, $(c,d)$ y $(e,f)$ tales que $(a,b)\sim (c,d)$ y $(c,d)\sim (e,f)$. Esto quiere decir que $a+d=b+c$ y que $c+f=d+e$. Sumando ambas ecuaciones, se obtiene $$a+f+c+d=b+e+c+d.$$ Usando la ley de cancelación en $c+d$ obtenemos la ecuación $$a+f=b+e,$$ la cual precisamente corresponde a la relación $(a,b)\sim (e,f)$.

$\square$

Con sólo estas dos proposiciones ya debería quedar más claro de dónde sale la noción formal de número entero, que es la siguiente.

Definición. Un número entero es una clase de equivalencia de $\sim$, es decir, es un conjunto de la siguiente forma:

\begin{equation}
\overline{(a,b)} := \left\{(c,d)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N} : a+d = b+c \right\}.
\end{equation}

Ejemplo. ¿Quién es el número entero $\overline{(0,0)}$? Es el conjunto de parejas $(c,d)$ para las cuales $0+d=c+0$, es decir, aquellas en donde $c=d$. De esta forma, $$\overline{(a,b)}=\{(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),\ldots\}.$$

¿Cuándo dos números enteros son iguales? Para esto, debe suceder como conjuntos que $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}$. Como $\sim$ es reflexiva, se tiene que $(a,b)\in \overline{(a,b)}$. Así, $(a,b)$ debe estar en $\overline{(c,d)}$ para que pueda darse la igualdad de conjuntos. Es decir, se necesita que $(a,b)\sim (c,d)$. Es fácil convencerse de que esto es una condición necesaria y suficiente.

El conjunto de los números enteros

En la definición de número entero podemos ir cambiando la pareja $(a,b)$ para ir obteniendo distintos conjuntos. Como $\sim$ es una relación de equivalencia en $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$, al variar sobre todas las posibles parejas, estos conjuntos del estilo $\overline{(a,b)}$ forman una partición de $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$. Si quieres recordar por qué, puedes ver las entradas correspondientes en el curso de Álgebra Superior I. El conjunto de todas las clases de equivalencia será nuestro conjunto de números naturales.

Definición. Para $(a,b) \in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$, el conjunto de los números enteros será la colección de todas las clases de equivalencia arriba mencionadas. En símbolos, definimos lo siguiente:

\begin{equation}
\mathbb{Z} := \left\{ \overline{(a,b)} : (a,b)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N} \right\}.
\end{equation}

De ahora en adelante, abreviaremos la notación de clase de equivalencia por $\overline{(a,b)}$ (sin la tilde), para facilitar escribir las demostraciones. Otra notación usada comúnmente en la literatura es $[(a,b)]$, sin la tilde.

La suma de los números enteros

Hasta ahora los elementos del conjunto $\mathbb{Z}$ son clases de equivalencia y esto está algo alejado de nuestra noción de números. Definamos operaciones en $\mathbb{Z}$ para que de nuevo los pensemos como un sistema numérico. Comenzamos definiendo la suma de enteros como sigue.

Definición. La suma en los enteros es la función $ \widehat+ : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} $ tal que $$\overline{(a,b)} \enspace \widehat+ \overline{(c,d)} = \overline{(a+c,b+d)}.$$

De manera intuitiva, lo que esta suma refleja es que si tenemos dos ecuaciones $a = b + x$ y $c = d + y$, y las sumamos, entonces se obtiene la ecuación:

$$ a + c = (b + d) + (x + y),$$ la cual correspondería a la clase de equivalencia $\overline{(a+c,b+d)}$.

En la definición utilizamos símbolos distintos para la suma. El símbolo $+$ se refiere al símbolo de suma en $\mathbb{N}$ al cual estamos muy bien acostumbrados. El símbolo $\widehat +$ se refiere al símbolo en $\mathbb{Z}$ que estamos definiendo y que será la suma en $\mathbb{Z}$, para la cual aún tenemos que probar que se cumplan las propiedades que queremos. De ahora en adelante simplemente estaremos usando el símbolo $+$ para ambas, así que es muy importante que en cada momento te preguntes si se refiere al símbolo en $\mathbb{N}$ o en $\mathbb{Z}$, lo cual será claro por el contexto.

Un problema que podríamos tener con la definición de suma es que no estuviera bien definida. Es decir, que si tomamos diferentes representantes de la clase de equivalencia, al hacer la suma obtengamos un resultado diferente. A continuación mostramos que esto en realidad no es un problema.

Proposición. La suma en los enteros está bien definida. Es decir, si $(a,b)\sim (a’,b’)$ y $(c,d)\sim (c’,d’)$, entonces $(a+d,b+c)\sim(a’+d’,b’+c’)$.

Demostración. Las hipótesis corresponden a que $a+b’=b+a’$ y a que $c+d’=d+c’$, que escribiremos como $d+c’=c+d’$. Sumando la primera igualdad con la tercera, reordenando y agrupando términos, obtenemos que $$(a+d)+(b’+c’)=(b+c)+(a’+d’),$$

lo que significa que, como se quería, $(a+d , b+c) \sim (a’+d’, b’+c’).$ Es decir, $\overline{(a+d , b+c)} = \overline{(a’+d’ , b’+c’)}$, de modo que el resultado final de la suma no depende de los representantes que elegimos para hacerla.

$\square$

Propiedades de la suma en $\mathbb{Z}$

Como estamos definiendo una nueva operación de suma, hay que revisar de nuevo que tenga las propiedades que se necesitan para poder trabajar con ella de la manera usual. En esta sección hacemos esto.

Proposición. Se satisfacen las siguientes propiedades para la operación de suma en $\mathbb{Z}$.

  • Asociatividad. Para enteros $\overline{(a,b)}$, $\overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ se satisface que $$(\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)})+\overline{(e,f)}=\overline{(a,b)}+(\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)}).$$
  • Conmutatividad. Para enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ se satisface que $$\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}=\overline{(c,d)}+\overline{(a,b)}.$$
  • Neutro. Existe un elemento neutro, es decir, existe un entero $\overline{(m,n)}$ tal que para cualquier entero $\overline{(a,b)}$ se cumple que $$\overline{(a,b)}+\overline{(m,n)}=\overline{(a,b)}.$$
  • Inversos. Para cualquier entero $\overline{(a,b)}$ existe un entero $\overline{(c,d)}$ tal que la suma $\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}$ es el neutro de la propiedad anterior.

Demostración. La asociatividad se sigue de la siguiente cadena de igualdades.

\begin{align*}
(\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)})+\overline{(e,f)}&=\overline{(a+c,b+d)}+\overline{(e,f)}\\
&=\overline{((a+c)+e,(b+d)+f)}\\
&=\overline{(a+(c+e),b+(d+f))}\\
&=\overline{(a,b)}+\overline{(c+d,d+f)}\\
&=\overline{(a,b)}+(\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)}).
\end{align*}

En la primera, segunda, penúltima y última igualdades estamos usando la definición de suma en $\mathbb{Z}$. En la tercer igualdad estamos usando la asociatividad de la suma en $\mathbb{N}$.

Para demostrar la conmutatividad de la suma en $\mathbb{Z}$ usamos la conmutatividad de la suma en $\mathbb{N}$ en la segunda igualdad de la siguiente cadena:

\begin{align*}
\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}&=\overline{(a+c,b+d)}\\
&=\overline{(c+a,d+b)}\\
&=\overline{(c,d)}+\overline{(a,b)}.
\end{align*}

El elemento neutro de la suma en $\mathbb{Z}$ es el entero $\overline{(0,0)}$ pues, en efecto, si tomamos cualquier entero $\overline{(a,b)}$, tenemos que $$\overline{(a,b)}+\overline{(0,0)}=\overline{(a+0,b+0)}=\overline{(a,b)}.$$

Aquí estamos usando que en los naturales el $0$ es neutro para la suma.

Finalmente, dado cualquier entero $\overline{(a,b)}$, notamos que su inverso aditivo sería el entero $\overline{(b,a)}$. En efecto, su suma sería $$\overline{(a,b)}+\overline{(b,a)}=\overline{(a+b,a+b)}=\overline{(0,0)}.$$

La primer igualdad está usando la conmutatividad de la suma en $\mathbb{N}$ y la última el hecho de que $(a+b,a+b)\sim (0,0)$.

$\square$

Como los inversos aditivos se usan frecuentemente, usamos un símbolo especial para ellos: el símbolo de menos. Usamos también este símbolo en la definición de la función resta.

Definición. Para un entero $\overline{(a,b)}$ definimos $-\overline{(a,b)}:=\overline{(b,a)}$.

Para restar enteros, simplemente a un entero le sumamos el inverso del otro.

Definición. La resta de dos enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ es el entero

\begin{align*}
\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}:&=\overline{(a,b)}+(-\overline{(c,d)})\\
&=\overline{(a,b)}+\overline{(d,c)}\\
&=\overline{(a+d,b+c)}.
\end{align*}

Cerrando el círculo

Finalizamos esta entrada observando que en $\mathbb{Z}$ ahora sí cualquier ecuación de la forma $r = w + s$ tiene una solución $w$ sin importar los valores de $r$ y $s$.

Proposición. Para cualesquiera enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ se tiene que existe un entero $\overline{(x,y)}$ tal que $$\overline{(a,b)}=\overline{(x,y)}+\overline{(c,d)}.$$

Demostración. La solución es el entero $\overline{(x,y)}=\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}$. En efecto, usando las propiedades de la suma en $\mathbb{Z}$ y la definición de resta, tenemos que:

\begin{align*}
\overline{(x,y)}+\overline{(c,d)}&=(\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)})+\overline{(c,d)}\\
&=\overline{(a,b)}+(-\overline{(c,d)}+\overline{(c,d)})\\
&=\overline{(a,b)}+\overline{(0,0)}\\
&=\overline{(a,b)}.
\end{align*}

Más adelante…

En esta entrada definimos a los enteros, al conjunto de números enteros y a la operación de suma. Vimos también que la suma tiene buenas propiedades. La estructura algebraica de $\mathbb{Z}$ es todavía más rica. Dentro de $\mathbb{Z}$ también se puede definir un producto y una relación de orden. Haremos esto en las siguientes entradas, enunciaremos las propiedades que tienen y las demostraremos.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Repasa por qué las clases de equivalencia inducidas por una relación de equivalencia sobre un conjunto $X$ forman una partición del conjunto $X$.
  2. Encuentra la solución a la siguiente ecuación en los enteros $$\overline{(5,3)}=\overline{(x,y)}+\overline{(1,8)}.$$ Tu respuesta debe ser un número entero, es decir, un conjunto de parejas de naturales. ¿Cuáles son esas parejas?
  3. Para cualesquiera enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$, muestra que la solución $\overline{(x,y)}$ a la ecuación $$\overline{(a,b)}=\overline{(x,y)}+\overline{(c,d)}$$ es única. Concluye que tanto el neutro aditivo de $\mathbb{Z}$, como los inversos aditivos en $\mathbb{Z}$ son únicos.
  4. Demuestra que para cualquier entero $\overline{(a,b)}$ se tiene que $-(-\overline{(a,b)})=\overline{(a,b)}$.
  5. Demuestra que para enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ se tiene que $$-(\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)})=(-\overline{(a,b)})+(-\overline{(c,d)}).$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»