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Álgebra Lineal I: Teorema de reducción gaussiana

Por Julio Sampietro

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Introducción

Llegamos a uno de los resultados más importantes del álgebra lineal: el teorema de reducción gaussiana. Como mencionamos en una entrada previa, el teorema nos proporcionará un algoritmo que nos permitirá resolver muchos problemas prácticos: resolver sistemas lineales, invertir matrices, así como temas que veremos más adelante, como determinar la independencia lineal de vectores.

El teorema nos dice que cualquier matriz puede llevarse a una en forma escalonada reducida con solo una cantidad finita de operaciones elementales. La prueba además nos dice cómo hacerlo de una manera más o menos sencilla. Aparte de la demostración, damos una receta un poco más coloquial de cómo trabajar con el algoritmo y finalmente damos un ejemplo, muy importante para aclarar el procedimiento.

Sugerencia antes de empezar

El algoritmo que veremos es uno de esos resultados que es fácil de seguir para una matriz en concreto, pero que requiere de un buen grado de abstracción para entender cómo se demuestra en general. Una fuerte recomendación es que mientras estés leyendo la demostración del siguiente teorema, tengas en mente alguna matriz muy específica, y que vayas realizando los pasos sobre ella. Puedes usar, por ejemplo, a la matriz $$A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & -1 & 0 \\ 0& -3 & 5 & -2 \end{pmatrix}.$$

El teorema de reducción gaussiana

Teorema. Cualquier matriz $A\in M_{m,n}(F)$ puede llevarse a una en forma escalonada reducida realizando una cantidad finita de operaciones elementales en sus filas.

Demostración: Daremos una demostración algorítmica. Sea $A\in M_{m,n}(F)$ cualquier matriz. Para auxiliarnos en el algoritmo, vamos a tener registro todo el tiempo de las siguientes dos variables:

  • $X$ es la columna que «nos toca revisar».
  • $Y$ es la cantidad de «filas no triviales» que hemos encontrado.

La variable $X$ empieza siendo $1$ y la variable $Y$ empieza siendo $0$.

Haremos los siguientes pasos:

Paso 1. Revisaremos la columna $X$ a partir de la fila $Y+1$ (osea, al inicio $Y=0$, así que revisamos toda la columna). Si todas estas entradas son iguales a $0$, entonces le sumamos $1$ a $X$ (avanzamos hacia la derecha) y si $X<n$, volvemos a hacer este Paso 1. Si $X=n$, vamos al paso 7.

Paso 2. En otro caso, existe alguna entrada distinta de cero en la columna $X$, a partir de la fila $Y+1$. Tomemos la primera de estas entradas. Supongamos que sucede en la fila $i$, es decir, que es la entrada $a_{iX}$. Al número en esta entrada $a_{iX}$ le llamamos $x$.

Paso 3. Hacemos un intercambio entre la fila $i$ y la fila $Y+1$. Puede pasar que $i=Y+1$, en cuyo caso no estamos haciendo nada. Independientemente del caso, ahora el número en la entrada $(X,Y+1)$ es $x\neq 0$.

Paso 4. Tomamos la fila $Y+1$ y la multiplicamos por el escalar $1/x$. Esto hace que ahora sea la primer entrada en su fila distinta de cero, y además que sea igual a $1$.

Paso 5. De ser necesario, hacemos transvecciones para hacer el resto de las entradas de la columna $X$ iguales a $0$. Esto lo podemos hacer pues, si por ejemplo la entrada $a_{iX}\neq 0$, entonces la transvección que a la $i$-ésima fila le resta $a_{iX}$ veces la $(Y+1)$-ésima fila hace que la entrada $(i,X)$ se anule.

Paso 6. Le sumamos $1$ a $Y$ (para registrar que encontramos una nueva fila no trivial) y le sumamos $1$ a $X$ (para avanzar a la columna de la derecha). Si $X<n$, vamos al Paso 1. Si $X=n$, vamos al Paso 7.

Paso 7. Reportamos la matriz obtenida como $A_{red}$, la forma escalonada reducida de $A$.

Mostremos que en efecto obtenemos una matriz escalonada reducida. El Paso 3 garantiza que las únicas filas cero están hasta abajo. El Paso 4 garantiza que todos los pivotes son iguales a 1. El ir recorriendo las columnas de izquierda a derecha garantiza que los pivotes quedan «escalonados», es decir de abajo hacia arriba quedan de izquierda a derecha. El Paso 5 garantiza que cada pivote es la única entrada no cero de su columna.

$\square$

El procedimiento descrito en el teorema se llama reducción gaussiana.

Como vimos en la entrada anterior realizar una operación elemental es sinónimo de multiplicar por una matriz elemental. Como el teorema nos dice que podemos obtener una matriz en forma escalonada reducida realizando una cantidad finita de operaciones elementales, se sigue que podemos obtener una matriz en forma escalonada reducida multiplicando por la izquierda por un número finito de matrices elementales. Al asociar todas estas matrices elementales en un único producto, obtenemos la demostración del siguiente corolario.

Corolario. Para cualquier matriz $A\in M_{m,n}(F)$ podemos encontrar una matriz $B\in M_{m}(F)$ que es un producto finito de matrices elementales y que satisface qu $A_{red}=BA$.

Un tutorial de reducción gaussiana más relajado

Si bien el teorema nos da la manera formal de hacer el algoritmo, el proceso es en realidad bastante intuitivo una vez que se entiende. Para esto explicamos en unos cuantos pasos en términos más sencillos como hacer la reducción:

  1. Buscamos la primer columna de la matriz que no tenga puros ceros.
  2. Una vez encontrada, buscamos la primer entrada (de arriba hacia abajo) que no sea cero.
  3. Pasamos el renglón con esa entrada hasta arriba haciendo un cambio de renglones.
  4. Multiplicamos por el inverso de esa entrada a todo el renglón, para quedarnos así con un $1$ hasta arriba.
  5. Sustraemos múltiplos del primer renglón a todos los otros renglones para que todo lo que esté abajo del $1$ sea cero.
  6. Buscamos la siguiente columna tal que no sea cero abajo del primer renglón.
  7. Repetimos los pasos anteriores, solo que en lugar de pasar nuestro renglón «hasta arriba» solo lo colocamos en el segundo lugar, y así sucesivamente.

Un ejemplo de reducción gaussiana

La mejor manera de entender el algoritmo de reducción gaussiana es con un ejemplo. Usemos el algoritmo para reducir la matriz

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 &4\\ -1 & 0 &1 & 2 &3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 &1\\ 3 & 1 &-1 & 0 & 2\end{pmatrix}\in M_{4,5}(\mathbb{R}).
\end{align*}

Aplicando los pasos en orden: Primero identificamos la primer columna que no sea idénticamente cero, y vemos que la primera columna no tiene puros ceros. La primer entrada que no es cero está en el segundo renglón. Así cambiamos el primer y segundo renglón de lugar para subir esa entrada y obtener

\begin{align*}
A_1=\begin{pmatrix} -1 & 0 &1 & 2 &3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 &4\\ 0 & 1 & 1 & 1 &1\\ 3 & 1 &-1 & 0 & 2\end{pmatrix}.
\end{align*}

Ahora que la primer entrada del primer renglón es distinta de cero, multiplicamos el primer renglón por $\frac{1}{-1}=-1$ y obtenemos

\begin{align*}
A_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 &-1 & -2 &-3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 &4\\ 0 & 1 & 1 & 1 &1\\ 3 & 1 &-1 & 0 & 2\end{pmatrix}.
\end{align*}

Ahora queremos quitar el $3$ del último renglón. Para esto, multiplicamos por $-3$ el primer renglón y lo sumamos al último y nos queda

\begin{align*}
A_3&=\begin{pmatrix} 1 & 0 &-1 & -2 &-3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 &4\\ 0 & 1 & 1 & 1 &1\\ 3-3 & 1-3\cdot 0 &-1-3\cdot (-1) & 0-3\cdot (-2) & 2-3\cdot (-3)\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1 & 0 &-1 & -2 &-3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 &4\\ 0 & 1 & 1 & 1 &1\\ 0 & 1&2 & 6 & 11\end{pmatrix}.
\end{align*}

Ya tenemos entonces nuestra primera columna en forma escalonada reducida, pasemos a la segunda. Ya tenemos un $1$ en la segunda entrada de la segunda columna, por lo que no hace falta hacer un cambio de renglón o multiplicar por un inverso. Basta entonces con cancelar las otras entradas de la columna, para eso sustraemos el segundo renglón del tercero y cuarto, para obtener

\begin{align*}
A_4&= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 &4 \\ 0-0 & 1-1 & 1-2 & 1-3 & 1-4\\ 0 -0 & 1-1& 2-2 & 6-3 & 11-4\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 &-1 & -2 &-3\\ 0 & 1 & 2 & 3 &4 \\ 0 & 0 & -1 & -2 & -3\\ 0 & 0 & 0 &3 & 7\end{pmatrix}.
\end{align*}

Seguimos entonces con la tercera columna, y observamos que la entrada $(3,3)$ es $-1$, entonces la transformamos en un $1$ multiplicando el tercer renglón por $\frac{1}{-1}=-1$.

\begin{align*}
A_5=\begin{pmatrix}
1 & 0 &-1 & -2 &-3\\ 0 & 1 & 2 & 3 &4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 &3 & 7\end{pmatrix}.
\end{align*}

Ahora tenemos que cancelar las entradas de la tercer columna, para eso sumamos $-2$ veces el tercer renglón al segundo y una vez el tercer renglón al primero:

\begin{align*}
A_6&=\begin{pmatrix}
1+0 & 0+0 &-1+1 & -2+2 &-3+3\\ 0-2\cdot 0 & 1-2\cdot 0 & 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot2 &4-2\cdot3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 &3 & 7\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 &0 & 0 &0\\ 0 & 1 & 0 & -1 &-2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 &3 & 7\end{pmatrix}.
\end{align*}

Ahora pasamos a la siguiente columna. En la entrada $(4,4)$ tenemos un $3$, pero queremos un $1$, entonces multiplicamos el último renglón por $\frac{1}{3}$:

\begin{align*}
A_7= \begin{pmatrix}
1 & 0 &0 & 0 &0\\ 0 & 1 & 0 & -1 &-2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 &1 & \frac{7}{3}\end{pmatrix}.\end{align*}

Finalmente, cancelamos las entradas restantes de los otros renglones sustrayendo dos veces el último renglón del penúltimo y sumándolo una vez al segundo para obtener

\begin{align*}
A_8=\begin{pmatrix}1 & 0 &0 &0 &0 \\ 0 & 1& 0 & 0 & \frac{1}{3}\\ 0 & 0 &1 & 0 &-\frac{5}{3}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{7}{3} \end{pmatrix}.
\end{align*}

Y así termina nuestro algoritmo, y nuestra matriz está en forma escalonada reducida. Las dos cosas más importantes de $A_8$ son que

  • Está en forma escalonada reducida y
  • es equivalente a $A$, es decir, el sistema de ecuaciones $AX=0$ y el sistema de ecuaciones $A_8 X =0$ tienen exactamente las mismas soluciones.

De hecho, todas las matrices $A,A_1, A_2, \ldots, A_8$ son equivalentes entre sí, pues difieren únicamente en operaciones elementales. Esta propiedad es muy importante, y precisamente es la que nos permite aplicar el algoritmo de reducción gaussiana a la resolución de sistemas lineales.

Una aplicación a un sistema de ecuaciones

Usemos el ejemplo anterior para resolver un sistema de ecuaciones:

Problema. Resolver en los reales el sistema lineal homogéneo $AX=0$ donde $A$ es la matriz ejemplo de la sección anterior.

Solución: Los sistemas $AX=0$ y $A_{red}X=0$ son equivalentes, por lo que basta resolver $A_{red}X=0$ con $A_{red}$ la matriz en forma escalonada reducida que encontramos (es decir, $A_8$). Este sistema queda planteado por las siguientes ecuaciones lineales:

\begin{align*}
\begin{cases}
x_1=0\\
x_2+\frac{x_5}{3}=0\\
x_{3}-\frac{5}{3}x_5=0\\
x_4+\frac{7}{3}x_5=0.
\end{cases}.
\end{align*}

Ya hemos resuelto sistemas de este estilo. Aquí $x_5$ es la variable libre y $x_1,x_2,x_3,x_4$ son variables pivote. Fijando $x_5$ igual a cualquier número real $t$, obtenemos que las soluciones son de la forma

\begin{align*}
\left(0, -\frac{1}{3}t, \frac{5}{3} t, – \frac{7}{3}t, t\right), \hspace{2mm} t\in \mathbb{R}.
\end{align*}

$\triangle$

Más adelante…

El algoritmo de reducción gaussiana es crucial para muchos de los problemas que nos encontramos en álgebra lineal. Por ahora, las aplicaciones principales que veremos es cómo nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma $AX=b$ y cómo nos permite encontrar inversas de matrices. Sin embargo, más adelante usaremos reducción gaussiana para determinar la dimensión de espacios vectoriales, conjuntos generados, para determinar si ciertos vectores son linealmente independientes, para determinar el rango de una matriz y varias otras cosas más.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Aplica el algoritmo de reducción gaussiana a la matriz $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 4 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 6 \end{pmatrix}.$$ Para su sistema lineal asociado, encuentra todas las variables pivote y libres y resuélvelo por completo.
  • Aplica el algoritmo de reducción gaussiana a la matriz $$\begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 0 & 2 \\ -1 & 5 \\ 2 & 3 \\ 5 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}.$$
  • Considera las matrices $A_1$, $A_4$ y $A_8$ de la sección con el ejemplo del algoritmo de reducción gaussiana. Toma una solución no trivial de $A_8X=0$ y verifica manualmente que también es solución de los sistemas lineales $A_1X=0$ y de $A_4X=0$.
  • Encuentra la matriz $B$, producto de matrices elementales tal que $BA=A_{red}$ con $A$ la matriz que usamos en el ejemplo. Para ello, tendrás que multiplicar todas las matrices correspondientes a las operaciones elementales que usamos.
  • Explica qué es lo que garantiza que el algoritmo de reducción gaussiana en efecto hace una cantidad finita de operaciones elementales.
  • Aplica el algoritmo de reducción gaussiana a la matriz $$A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$ Si haces los pasos correctamente, llegarás a una matriz del estilo $$A_{red}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & a & b \\ 0 & 1 & c & d \end{pmatrix}.$$ Toma el bloque $B$ de $2\times 2$ de la izquierda de $A$, es decir $B=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$. Toma el bloque $C$ de $2\times 2$ de la derecha de $A_{red}$, es decir, $C=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}.$ ¿Qué matriz obtienes al hacer el producto $BC$? ¿Y el producto $CB$? ¿Por qué crees que pasa esto?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Forma escalonada reducida

Por Julio Sampietro

10 respuestas

Introducción

En esta entrada tratamos la forma escalonada reducida de una matriz, que es básicamente una forma «bonita» de expresar una matriz que nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales. Luego nos adentramos en la parte de operaciones elementales, que es el primer paso para desarrollar un algoritmo (que luego veremos es la reducción gaussiana) que nos permite llevar a cualquier matriz a su forma escalonada reducida.

En otras palabras, en esta entrada vemos cómo resolver un caso fácil de un sistema de ecuaciones. Más adelante veremos que en realidad cualquier caso puede llevarse al caso fácil con un algoritmo relativamente fácil.

¿Qué es la forma escalonada reducida?

Sea una matriz $A$ con entradas en un campo $F$. Si $R$ es un renglón de $A$, diremos que $R$ es una fila cero si todas sus entradas son cero. Si $R$ no es una fila cero, el término principal de $R$ o bien el pivote de $R$ es la primera entrada distinta de cero de la fila. Diremos que $A$ está en forma escalonada reducida si $A$ tiene las siguientes propiedades:

  1. Todas las filas cero de $A$ están hasta abajo de $A$ (es decir, no puede seguirse una fila distinta de cero después de una cero).
  2. El término principal de una fila no-cero está estrictamente a la derecha del término principal de la fila de encima.
  3. En cualquier fila distinta de cero, el término principal es $1$ y es el único elemento distinto de cero en su columna.

Ejemplo. La matriz $I_n$ está en forma escalonada reducida, así como la matriz cero $O_n$. La matriz

\begin{align*}
A= \begin{pmatrix} 1 &-1 & 0 &2\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*}

está en forma escalonada reducida. El término principal de la primer fila es $1$ y está en la primer columna. El término principal de la segunda fila también es $1$, y se encuentra más a la derecha que el término principal de la fila anterior. Además, es la única entrada distinta de cero en su columna.

Sin embargo, la matriz ligeramente distinta

\begin{align*}
B= \begin{pmatrix} 1 &-1 & 5 &2\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*}

no está en forma escalonada reducida ya que el término principal del segundo renglón no es la única entrada distinta de cero en su columna.

$\triangle$

¿Cómo la forma escalonada reducida nos permite resolver sistemas de ecuaciones?

¿Cual es la importancia de la forma escalonada con respecto al problema de resolver sistemas de ecuaciones? Veremos que cualquier matriz se puede poner (de manera algorítmica) en forma escalonada reducida y que esta forma es única. También veremos que si $A_{red}$ es la forma escalonada reducida de una matriz, entonces los sistemas $AX=0$ y $A_{red}X=0$ son equivalentes. Además, veremos que resolver el sistema $A_{red} X=0$ es muy fácil de resolver precisamente por estar en forma escalonada reducida.

Ejemplo. Resolvamos el sistema $AX=0$ donde $A$ es la matriz que dimos anteriormente, que está en forma escalonada reducida. El sistema asociado es

\begin{align*}
\begin{cases}
x_1 -x_2+2x_4&=0\\
x_3-x_4&=0
\end{cases}.
\end{align*}

De la segunda igualdad podemos expresar $x_3=x_4$ y de la primera $x_1=x_2-2x_4$. Así, podemos escoger $x_2$ y $x_4$ «libremente» y obtener $x_3$ y $x_1$ con estas ecuaciones (tenemos, de cierta manera, dos «parámetros libres»), por lo que nuestras soluciones se ven de la forma

\begin{align*}
(a-2b, a, b,b )
\end{align*}

con $a,b\in F$.

$\triangle$

En general si $A$ es una matriz en forma escalonada reducida, veamos cómo resolver el sistema $AX=0$. Las únicas ecuaciones importantes son las que resultan de renglones distintos de cero (pues las otras solo son $0=0$) y al estar en forma escalonada reducida, todos los renglones cero están hasta el final. Supongamos que el $i$-ésimo renglón de $A$ es distinto de cero y su término principal está en la $j$-ésima columna, así el término principal es $a_{ij}=1$. La $i$-ésima ecuación del sistema lineal entonces es de la forma

\begin{align*}
x_j +\sum_{k=j+1}^{n} a_{ik} x_k =0.
\end{align*}

Llamamos a $x_j$ la variable pivote del renglón $L_i$. Así, a cada renglón distinto de cero le podemos asociar una única variable pivote. Todas las demás variables del sistema son llamadas variables libres. Uno resuelve el sistema empezando desde abajo, expresando sucesivamente las variables pivote en términos de las variables libres. Esto nos da la solución general del sistema, en términos de las variables libres, que pueden tomar cualquier valor en $F$.

Si $y_1, \dots, y_s$ son las variables libres, entonces las soluciones del sistema son de la forma

\begin{align*}
X= \begin{pmatrix}
b_{11} y_1 + b_{12} y_2 + \dots+ b_{1s} y_s\\
b_{21} y_1+ b_{22} y_2 +\dots+b_{2s} y_s\\
\vdots\\
b_{n1} y_1 +b_{n2} y_2+ \dots + b_{ns} y_s\end{pmatrix}
\end{align*}

para algunos escalares $b_{ij}$. Esto también se puede escribir como

\begin{align*}
X= y_1 \begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ \vdots \\ b_{n1}\end{pmatrix}+\dots + y_s \begin{pmatrix} b_{1s} \\ b_{2s}\\ \vdots \\ b_{ns} \end{pmatrix} .
\end{align*}

Llamamos a

\begin{align*}
Y_1= \begin{pmatrix} b_{11}\\ b_{21}\\ \vdots \\ b_{n1}\end{pmatrix}, \dots, Y_s= \begin{pmatrix} b_{1s} \\ b_{2s} \\ \vdots \\ b_{ns}\end{pmatrix}
\end{align*}

las soluciones fundamentales del sistema $AX=0$. La motivación para su nombre es fácil de entender: $Y_1, \dots, Y_s$ son soluciones del sistema $AX=0$ que ‘generan’ todas las otras soluciones, en el sentido que todas las soluciones del sistema $AX=0$ se obtienen a través de todas las combinaciones lineales de $Y_1, \dots, Y_s$ (correspondiendo a todos los valores posibles de $y_1, \dots, y_s$).

Un ejemplo para aterrizar los conceptos

Sea $A$ la matriz en forma escalonada reducida dada como sigue

\begin{align*}
A= \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 &-1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1& 0 & 0 &-1\\ 0 & 0 &0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\end{align*}

y consideremos el sistema homogéneo asociado $AX=0$. Este se puede escribir como

\begin{align*}
\begin{cases}
x_1+x_2-x_5+2x_7&=0\\
x_3+3x_5+x_7&=0\\
x_4-x_7&=0\\
x_6&=0
\end{cases}.
\end{align*}

Las variables pivote son $x_1, x_3, x_4$ y $x_6$, ya que los términos principales aparecen en las columnas $1,3,4$ y $6$. Eso nos deja a $x_2, x_5$ y $x_7$ como variables libres.

Para resolver el sistema, empezamos con la última ecuación y vamos «subiendo», expresando en cada paso las variables pivote en términos de las variables libres. La última ecuación nos da $x_6=0$. Después, obtenemos $x_4=x_7$, posteriormente $x_3=-3x_5-x_7$ y $x_1= -x_2+x_5-2x_7$. Nunca nos va a pasar que tengamos que expresar a una variable pivote en términos de otra variable pivote, por la condición de que cada pivote es la única entrada no cero en su columna.

Para expresar las soluciones en términos vectoriales, hacemos lo siguiente.

\begin{align*}
X&=\begin{pmatrix}
-x_2+x_5 -2x_7\\
x_2\\
-3x_5-x_7\\
x_7\\
x_5\\
0 \\
x_7
\end{pmatrix}\\ &= x_2\cdot \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +x_5\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+x_7 \cdot \begin{pmatrix} -2\\ 0 \\ -1\\ 1 \\ 0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}.
\end{align*}

Los tres vectores columna que aparecen del lado derecho de la igualdad son entonces las soluciones fundamentales del sistema $AX=0$. Todas las soluciones están entonces dadas por la expresión de la derecha, donde $x_2, x_5$ y $x_7$ pueden tomar cualquier valor en $F$.

Una moraleja sobre el número de soluciones

El número de soluciones fundamentales del sistema $AX=0$ es igual al número total de variables menos el número de variables pivote. Deducimos que el sistema $AX=0$ tiene como única solución a $X=0$ si no hay variables libres. Esto es lo mismo que decir que el número de variables pivote es igual al número de columnas de $A$.

Combinando las observaciones anteriores con el principio de superposición obtenemos el siguiente y muy importante resultado.

Teorema.

  1. Un sistema lineal homogéneo que tiene más variables que ecuaciones tiene soluciones no triviales. Si el campo de coeficientes es infinito (como por ejemplo $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$), entonces el sistema tiene infinitas soluciones.
  2. Un sistema lineal consistente $AX=b$ que tiene más variables que ecuaciones tiene al menos dos soluciones, y si el campo es infinito, tiene infinitas soluciones.

¿Cómo llevar una matriz a su forma escalonada reducida? Operaciones elementales

Ahora regresamos al problema de transformar una matriz dada en una matriz con forma escalonada reducida. Para resolver este problema introducimos tres tipos de operaciones que pueden aplicarse a las filas de una matriz. Veremos que gracias a estas operaciones, uno puede transformar cualquier matriz en una en forma escalonada reducida.

Estas operaciones surgen de las manipulaciones cuando resolvemos sistemas lineales: las operaciones más naturales que hacemos cuando resolvemos un sistema de ecuaciones lineales son:

  1. multiplicar una ecuación por un escalar distinto de cero;
  2. añadir una ecuación (o mejor aún, un múltiplo de una ecuación) a otra ecuación diferente;
  3. intercambiar dos ecuaciones.

Observamos que estas operaciones son reversibles: si por ejemplo, multiplicamos una ecuación por un escalar $a\neq 0$, podemos multiplicar la misma ecuación por $\frac{1}{a}$ para recuperar la ecuación original. Queda claro que realizando una cantidad finita de estas operaciones en un sistema obtenemos un sistema con el mismo conjunto de soluciones que el sistema original (en nuestra terminología más barroca, un sistema nuevo equivalente al original). Estas operaciones en el sistema pueden verse como operaciones directamente en la matriz. Más precisamente:

Definición. Una operación elemental en las filas de una matriz $A$ en $M_{m,n}(F)$ es una operación de uno de los siguientes tipos:

  1. cambio de filas: intercambiar dos renglones de la matriz $A$,
  2. reescalar una fila: multiplicar una fila de la matriz $A$ por un escalar $c$ en $F$ distinto de cero,
  3. transvección: reemplazar una fila $L$ por $L+cL’$ para algún escalar $c$ en $F$ y otra fila $L’$ de $A$ diferente a $L$.

La discusión previa muestra que si $A$ es una matriz y $B$ se obtiene a partir de $A$ al aplicar una sucesión finita de operaciones elementales entonces $A\sim B$ (recordamos que esa notación solo nos dice que los sistemas $AX=0$ y $BX=0$ son equivalentes).

Correspondiendo a estas operaciones definimos las matrices elementales:

Definición. Una matriz $A\in M_n(F)$ es una matriz elemental si se obtiene de $I_n$ al realizar una operación elemental.

Ejemplo 1. La matriz

\begin{align*}
B= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\end{align*}

es una matriz elemental, pues se obtiene al intercambiar el primer y segundo renglón de $I_3$.

Observamos que las matrices elementales son cuadradas. Tenemos entonces tres tipos de matrices elementales:

  1. Matrices de transposición: aquellas que resultan de intercambiar dos renglones de $I_n$.
  2. Matrices de dilatación: aquellas obtenidas de $I_n$ multiplicando uno de sus renglones por un escalar distinto de cero.
  3. Matrices de transvección: son las que obtenemos de $I_n$ al añadir el múltiplo de un renglón a otro renglón.

Una sencilla, pero crucial observación es la siguiente:

Proposición. Sea $A\in M_{m,n}(F)$ una matriz. Realizar una operación elemental en $A$ es equivalente a multiplicar a $A$ por la izquierda por la matriz elemental en $M_{m}(F)$ correspondiente a la operación.

Demostración: Si $E$ es una matriz de $m\times m$ y $A\in M_{m,n}(F)$, entonces la $i$-ésima fila de $EA$ es $e_{i1} L_1+ e_{i2} L_2+\dots + e_{im} L_m$ donde $L_1, \dots, L_m$ son las filas de $A$ y $e_{ij}$ es la $(i,j)-$ésima entrada de $E$. El resultado se sigue de las definiciones y haciendo caso por caso, de acuerdo al tipo de operación elemental que se trate.

Por ejemplo, si la operación es un intercambio de filas, entonces $E$ es una matriz de transposición en donde, digamos, se intercambiaron la fila $k$ y la fila $l$. Por lo que mencionamos arriba, las filas $L_i$ con $i\neq k$ y $i\neq l$ permanecen intactas, pues $e_{ij}=1$ si $i=j$ y $0$ en otro caso, de modo que la $i$-ésima fila de $EA$ es simplemente $L_i$. Para la fila $k$ de $EA$, tenemos que $e_{kl}=1$ y si $i\neq k$, entonces $e_{ki}=0$. De esta forma, tendríamos que dicha fila es $L_l$. El análisis de la $l$-ésima fila de $EA$ es análogo.

Los detalles de la demostración anterior, así como las demostraciones para operaciones de reescalamiento y transvección, quedan como tarea moral.

$\square$

Ejemplo 2. Consideremos la matriz $A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}$. Vamos a efectuar la transvección que suma $2$ veces la primer fila a la última.

Si la aplicamos a la matriz $A$ nos queda $$A’=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -4 & 9 & 0 \end{pmatrix}.$$

Para obtener la matriz elemental correspondiente a la transvección, tenemos que aplicársela a la identidad $I_3$. Tras hacer esto nos queda $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 &1 \end{pmatrix}.$$

Y en efecto, como afirma la proposición, tenemos que esta matriz que obtuvimos sirve para «aplicar» la transvección pues puedes verificar que si la multiplicamos por la izquierda, tenemos que:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -4 & 9 & 0 \end{pmatrix}.$$

$\triangle$

Más adelante…

En la entrada de reducción gaussiana terminaremos de probar que toda matriz puede llevarse mediante operaciones elementales a una matriz en forma escalonada reducida. Más aún, obtendremos un algoritmo sencillo que siempre nos permitirá hacerlo. En el transcurso de este algoritmo siempre tendremos matrices equivalentes entre sí, de modo que esta será una herramienta fundamental para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • En el ejemplo concreto que hicimos, verifica que en efecto las soluciones fundamentales que obtuvimos son solución al sistema. Verifica también que la suma de las tres también es una solución al sistema. Luego, elige los valores que tú quieras para $x_2,x_5,x_7$ y verifica que esa también es una solución
  • ¿Será cierto que la transpuesta de una matriz en forma escalonada reducida también está en forma escalonada reducida? ¿Será cierto que la suma de dos matrices en forma escalonada reducida también es de esta forma?
  • Termina los detalles de la demostración de la última proposición.
  • Demuestra que toda matriz elemental es invertible, y que su inversa también es una matriz elemental.
  • ¿Es cierto que la transpuesta de una matriz elemental es una matriz elemental?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Sistemas de ecuaciones lineales y sistemas homogéneos asociados

Por Julio Sampietro

2 respuestas

Introducción

En esta sección damos un primer acercamiento al concepto de sistemas de ecuaciones lineales. Este es un concepto de fundamental importancia en muchas áreas de las matemáticas, como las ecuaciones diferenciales o incluso la geometría algebraica.

Los sistemas de ecuaciones lineales nos son familiares. Desde la educación secundaria se aprende a resolver ecuaciones «de $2\times 2$», y más adelante «de $3\times 3$». Estos sistemas también aparecen en cursos de la licenciatura, como geometría analítica. Sin embargo, es en un curso de álgebra lineal que se estudian con toda generalidad. Las herramientas de esta área de las matemáticas permiten determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución y, en caso de que sí, ver cómo se ven todas las soluciones.

Como veremos a continuación, un sistema de ecuaciones lineales se puede ver en términos de matrices. Esta conexión es fundamental. La información acerca de una matriz nos permite obtener información acerca del sistema de ecuaciones lineales asociado. A la vez, la información sobre un espacio o matriz se puede determinar a partir de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Sistemas de ecuaciones lineales

Una ecuación lineal en variables $x_1, \dots, x_n$ es una ecuación de la forma

\begin{align*}
a_1 x_1 + \dots +a_n x_n =b,
\end{align*}

donde $a_1, \dots, a_n, b\in F$ son escalares dados y $n$ es un entero positivo. Las incógnitas $x_1,\dots, x_n$ suponen ser elementos de $F$.

Un sistema de ecuaciones lineales en las variables $x_1, \dots, x_n$ es una familia de ecuaciones lineales, usualmente escrito como

\begin{align*}
\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12} x_2+\dots +a_{1n} x_n = b_1\\
a_{21} x_1 +a_{22} x_2 + \dots + a_{2n} x_n = b_2\\
\quad \vdots\\
a_{m1} x_1+a_{m2} x_2+\dots + a_{mn}x_n = b_m
\end{cases}.
\end{align*}

Aquí de nuevo los $a_{ij}$ y los $b_i$ son escalares dados. Resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en describir todos los posibles valores que pueden tener $x_1,\ldots,x_n$ de modo que todas las ecuaciones anteriores se satisfagan simultáneamente.

La notación que usamos no es mera coincidencia y nos permite describir de manera mucho más concisa el sistema: Si $X$ es un vector columna con entradas $x_1, \dots, x_n$, $A$ es la matriz en $M_{m,n}(F)$ con entradas $[a_{ij}]$ y $b$ es un vector columna en $F^m$ con entradas $b_1, \dots, b_m$ entonces el sistema se reescribe como

\begin{align*}
AX=b.
\end{align*}

Puedes verificar esto usando la definición de $A$ como transformación lineal y comparando los vectores en ambos lados de la igualdad entrada a entrada. Resolver el sistema se traduce entonces a responder cómo son todos los vectores $X$ en $F^n$ que satisfacen la igualdad anterior.

Ejemplo. A continuación tenemos un sistema de ecuaciones en tres variables (o incógnitas) $x_1$, $x_2$ y $x_3$:

\begin{align*}
\begin{cases}
3x_1-2x_2+7x_3&=5\\
4x_1+3x_3&=7\\
2x_1+x_2-7x_3&=-1\\
-x_1+3x_2&=8
\end{cases}.
\end{align*}

Si tomamos al vector $b=\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ -1 \\8 \end{pmatrix}$ en $\mathbb{R}^4$, al vector de incógnitas $X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$ y a la matriz $$A=\begin{pmatrix} 3 & -2 & 7\\ 4 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -7 \\ -1 & 3 & 0\end{pmatrix},$$ entonces el sistema de ecuaciones lineales consiste exactamente en determinar aquellos vectores $X$ en $\mathbb{R}^3$ tales que $$AX=b.$$

$\triangle$

También podríamos describir nuestro sistema en términos solo de vectores. Recordando un resultado visto en la entrada de producto de matrices, si $C_1, \dots, C_n$ son las columnas de $A$, vistos como vectores columna en $F^{m}$, el sistema es equivalente a

\begin{align*}
x_1 C_1+x_2 C_2 +\dots +x_n C_n=b.
\end{align*}

Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos

Hay un tipo de sistemas de ecuaciones lineales muy especiales: aquellos en los que $b=0$. Son tan importantes, que tienen un nombre especial.

Definición.

  1. El sistema de ecuaciones lineales $AX=b$ se dice homogéneo si $b=0$ (es decir si $b_1= b_2=\dots= b_m=0$).
  2. Dado un sistema $AX=b$, el sistema lineal homogéneo asociado es el sistema $AX=0$.

Así, un sistema es homogéneo si es de la forma $AX=0$ para alguna matriz $A$.

Ejemplo. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\begin{align*}
\begin{cases}
2x+3y-z&=-1\\
5x+8z&=0\\
-x+y&=1.
\end{cases}
\end{align*}

Este es un sistema de ecuaciones que en representación matricial se ve así:

\begin{align*}
\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 5 & 0 & 8 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}.
\end{align*}

Como el vector en el lado derecho de la igualdad no es el vector cero, entonces este no es un sistema homogéneo. Sin embargo, tiene asociado el siguiente sistema lineal homogéneo:

\begin{align*}
\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 5 & 0 & 8 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}.
\end{align*}

$\triangle$

Para la resolución de sistemas lineales en general, el sistema homogéneo asociado juega un papel crucial gracias al siguiente resultado, que nos dice esencialmente que para resolver un sistema $AX=b$ basta con encontrar un vector solución $X_0$ y resolver el sistema homogéneo asociado.

Proposición. (Principio de superposición) Sea $A\in M_{m,n}(F)$ y $b\in F^{m}$. Sea $\mathcal{S}\subset F^{n}$ el conjunto de soluciones del sistema homogéneo asociado $AX=0$. Si el sistema $AX=b$ tiene una solución $X_0$, entonces el conjunto de soluciones del sistema $AX=b$ no es más que

\begin{align*}
X_0+\mathcal{S}= \lbrace X_0 +s\mid s\in \mathcal{S} \rbrace.
\end{align*}

Demostración: Por hipótesis, $AX_0=b$. Ahora al sustituir, $AX=b$ si y sólo si $AX=A X_0$, o bien $A(X-X_0)=0$. Es decir, un vector $X$ es solución de $AX=b$ si y sólo si $X-X_0$ es solución de $AY=0$, de otra manera, si y sólo si $X-X_0\in \mathcal{S}$. Pero esto último es equivalente a decir que existe $s\in \mathcal{S}$ tal que $X-X_0=s$, luego $X= X_0 +s\in X_0 +\mathcal{S}$. Esto prueba el resultado.

$\square$

Consistencia de sistemas lineales

Definición. Un sistema lineal es dicho consistente si tiene al menos una solución. Se le llama inconsistente si no es consistente (es decir, si no existe una solución).

Presentamos una última definición para esta entrada.

Definición.

  1. Dos sistemas lineales se dicen equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones
  2. Sean $A$ y $B$ dos matrices del mismo tamaño. Si los sistemas $AX=0$ y $BX=0$ son equivalentes, escribiremos $A\sim B$.

Ejemplo. Un ejemplo clásico de un sistema inconsistente es

\begin{align*}
\begin{cases}
x_1=0\\
x_1=1
\end{cases}
\end{align*}

o bien

\begin{align*}
\begin{cases}
x_1 -2x_2=1\\
2 x_2-x_1=0
\end{cases}.
\end{align*}

$\triangle$

Observación. Observamos que todo sistema homogéneo siempre es consistente, ya que el vector cero (cuyas coordenadas son todas cero) satisface el sistema. A esta solución la conocemos como solución trivial. Se sigue de la proposición que un sistema consistente $AX=b$ tiene una única solución si y sólo si el sistema homogéneo asociado tiene como única solución la solución trival.

Más adelante

El principio de superposición dice que para entender las soluciones de los sistemas lineales de la forma $AX=b$, basta con entender a los homogéneos, es decir, los de la forma $AX=0$.

Nuestro siguiente paso será ver cómo podemos entender las soluciones de los sistemas lineales homogéneos. Para ello, tenemos que hablar de los sistemas que corresponden a matrices en forma escalonada reducida. La ventaja de estos sistemas es que sus soluciones son muy fáciles de entender, y para cualquier sistema de ecuaciones $AX=0$, hay uno de la forma $A_{red}X=0$, con $A_{red}$ una matriz escalonada reducida, y equivalente a $A$.

Más adelante, ya que tengamos a nuestra disposición herramientas de determinantes, hablaremos de otra forma en la que se pueden resolver sistemas de ecuaciones lineales usando la regla de Cramer.

Tarea moral

  • Muestra que el sistema \begin{align*}
    \begin{cases}
    x_1 -2x_2=1\\
    2 x_2-x_1=0
    \end{cases}.
    \end{align*}
    es inconsistente. Para ello, puedes proceder por contradicción, suponiendo que existe una solución.
  • Rescribe el primer ejemplo de sistemas de ecuaciones lineales en términos de vectores.
  • Sea $b$ un vector en $F^n$ y $I_n$ la matriz identidad en $M_n(F)$. ¿Cómo se ve de manera explícita el sistema de ecuaciones $(2I_n)X=b$? ¿Cuáles son todas sus soluciones?
  • Sean $A,B$ matrices de tamaño $n\times n$ tales que el sistema $ABX=0$ solo tiene como solución la solución trivial. Demuestre que el sistema $BX=0$ también tiene como única solución a la solución trivial.
  • Sea $A\in M_2(\mathbb{C})$ y considere el sistema homogéneo $AX=0$. Demuestre que son equivalentes:
    1. El sistema tiene una única solución, la solución trivial.
    2. $A$ es invertible.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Matrices de bloques

Por Julio Sampietro

2 respuestas

Introducción

En esta entrada definimos el concepto de submatriz y estudiamos las llamadas matrices de bloques que esencialmente son matrices grandes obtenidas por matrices más pequeñas (esto tendrá sentido después de algunos ejemplos). Las matrices de bloque aparecen frecuentemente en muchas áreas y permiten realizar cálculos que podrían ser bastante complicados de otra manera.

Dentro de este curso, nos encontraremos con las matrices de bloque cuando hablemos de solución de ecuaciones lineales y de encontrar inversas de matrices usando el método de reducción gaussiana.

Definición de matrices de bloques

Definición. Una submatriz de una matriz $A\in M_{m,n}(F)$ es una matriz que se obtiene al quitar filas y/o columnas de $A$.

Notamos que $A$ es submatriz de si misma. Una matriz puede partirse en submatrices marcando líneas verticales u horizontales en la matriz. Llamamos a una matriz de este estilo una matriz de bloques y a las submatrices marcadas las llamamos bloques.

Unos ejemplos de matrices de bloques:

\begin{align*}
\left( \begin{array}{c|cc}
1 & 2 & 3\\
0& 5 & 6\\
0 & 0&9
\end{array}\right)
,\hspace{2mm} \left( \begin{array}{c|cc} 1 & 0 & 1 \\ \hline 2 & 5 & -3\end{array}\right),\\ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\ \hline 5 & 16 & 2 & 0\\ 17 & 19 & -5 & 3\\ 117 & 0 & 0 & 11\end{array}\right). \end{align*}

Como mencionamos en la introducción, podemos ver a una matriz de bloques como una ‘matriz de matrices’: una matriz de bloques en $M_{m,n}(F)$ típica se ve como

\begin{align*}
\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1k}\\
A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2k}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
A_{l1} & A_{l2} & \dots & A_{lk}
\end{pmatrix},
\end{align*}

en donde cada submatriz $A_{ij}$ es una matriz de tamaño $m_i\times n_j$ para algunos enteros positivos $m_1,\dots, m_l$ y $n_1,\dots, n_k$ tales que $m_1+\dots +m_l=m$ y $n_1+\dots+n_k=n$. La matriz tiene entonces $l$ filas de bloques y $k$ columnas de bloques.

Si $l=k$, llamamos a los bloques $A_{11}, \dots, A_{kk}$ los bloques diagonales y decimos que $A$ es diagonal por bloques si todos los bloques aparte de los diagonales son la matriz cero del tamaño correspondiente. Es decir, una matriz diagonal por bloques es de la forma

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix} A_{11} & 0 &\dots & 0\\
0 & A_{21} & \dots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\
0 & 0 &\dots & A_{kk}.
\end{pmatrix}
\end{align*}

Observa que sólo estamos pidiendo que $k=l$, es decir, que haya la misma cantidad de filas de bloques y de columnas de bloques. Sin embargo, no es necesario que la matriz $A$ sea cuadrada para que sea diagonal por bloques.

Por más que la definición en abstracto pueda ocultar su sentido práctico, uno siempre reconoce una matriz diagonal por bloques cuando la ve.

Ejemplo. La matriz

\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1& -1 & 0 & 0\\
0& 2 & 0 & 0\\
0&0 & 3 &0\\
0 & 0 & 15 & -2
\end{pmatrix}
\end{align*}

es diagonal por bloques, y los resaltamos con las líneas de división

\begin{align*}
\left( \begin{array}{cc|cc}
1& -1 & 0 & 0\\
0& 2 & 0 & 0\\ \hline
0&0 & 3 &0\\
0 & 0 & 15 & -2
\end{array}\right).\end{align*}

La matriz
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 0\\
8 & 3 & 0 & 0\\
0& 3 & 0 &0\\
0&0 & 0 & -2\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}

también es diagonal por bloques, aunque los bloques no necesariamente sean cuadrados. Resaltamos la lineas divisorias a continuación:

\begin{align*}
\left( \begin{array}{cc|cc}
2& -1 & 0 & 0\\
8 & 3 & 0 & 0\\
2 & 3 & 0 & 0\\ \hline
0 & 0 & 0 &-2\\ 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right).\end{align*}

Los bloques diagonales son \begin{align*}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 8 & 3 \\2 & 3 \end{pmatrix}\end{align*} y \begin{align*}\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{align*}

$\triangle$

Operaciones con matrices de bloques

Al ser ‘matrices de matrices’, las matrices de bloques se comportan adecuadamente con las operaciones de suma y producto de matrices que conocemos. Enunciamos esto con más detalle en la siguiente proposición que no demostraremos. Las demostraciones son directas pero tediosas.

Proposición.

  • Si
    \begin{align*}
    A= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1k}\\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{l1} & A_{l2} & \dots & A_{lk} \end{pmatrix}\end{align*} y \begin{align*} B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1k}\\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ B_{l1} & B_{l2} & \dots & B_{lk} \end{pmatrix} \end{align*}
    son matrices de bloques con $A_{ij}$ y $B_{ij}$ del mismo tamaño para cada $i,j$ (es decir, la partición es igual) entonces
    \begin{align*}
    A+B=\begin{pmatrix} A_{11} +B_{11} & A_{12}+B_{12} & \dots & A_{1k}+B_{1k}\\ A_{21} +B_{21}& A_{22}+B_{22} & \dots & A_{2k}+B_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{l1}+B_{l1} & A_{l2}+B_{l2} & \dots & A_{lk}+B_{lk} \end{pmatrix}
    \end{align*}
  • Si
    \begin{align*}
    A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1k}\\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{l1} & A_{l2} & \dots & A_{lk} \end{pmatrix}\end{align*} y \begin{align*} B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1r}\\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2r}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ B_{k1} & B_{k2} & \dots & B_{kr} \end{pmatrix} \end{align*}
    son de tamaño $m\times n$ y $n\times p$ respectivamente tal que $A_{ij}$ es de tamaño $m_i \times n_j$y $B_{ij}$ de tamaño $n_i\times p_j$, entonces
    \begin{align*}
    AB=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & \dots & C_{1r}\\ C_{21} & C_{22} & \dots & C_{2r}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ C_{l1} & C_{l2} & \dots & C_{lr} \end{pmatrix}
    \end{align*}
    donde
    \begin{align*}
    C_{ij}=\sum_{u=1}^{k} A_{iu} B_{uj}.
    \end{align*}

Más adelante…

En unas cuantas entradas hablaremos del algoritmo de reducción gaussiana y lo usaremos para resolver sistemas de ecuaciones y encontrar inversas de matrices. Nos encontraremos con matrices de bloque muy específicas, por ejemplo, las que resultan de «pegarle» un vector columna a una matriz, por ejemplo

\begin{align*}
\left( \begin{array}{cccc|c}
-3& -1 & 3 & -11 & 0\\
8 & 3 & 0 & 2 & -1\\
1 & -5 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right).\end{align*}

y las que resultan de «pegarle» la matriz identidad a una matriz cuadrada, por ejemplo

\begin{align*}
\left( \begin{array}{ccc|ccc}
-3& -1 & 3 & 1 & 0 & 0\\
8 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0\\
1 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right).\end{align*}

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • ¿Cómo se portan las matrices de bloques respecto a la transposición?
  • Escribe todas las formas en las que puedes dividir a la matriz $I_3$ para que quede como una matriz de bloques. Aquí hay algunas: \begin{align*}\left(\begin{array}{c|cc} 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \left(\begin{array}{c|c|c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right). \end{align*}
  • Demuestra que toda matriz diagonal puede verse como una matriz diagonal por bloques. Muestra que no toda matriz diagonal por bloques es una matriz diagonal.
  • Escribe todas las formas en las que puedes dividir a la matriz $I_4$ para que quede como una matriz diagonal por bloques.
  • ¿Cómo es la inversa de una matriz diagonal por bloques?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Problemas de producto de matrices y matrices invertibles

Por Julio Sampietro

18 respuestas

Introducción

Esta sección consta de puros problemas para practicar los conceptos vistos en entradas previas. Las entradas anteriores correspondientes son la de producto de matrices y la de matrices invertibles.

Problemas resueltos

Problema. Encuentra todas las matrices $B\in M_3(\mathbb{C})$ que conmutan con la matriz

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 &2
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Solución. Sea

\begin{align*}
B=\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\in M_3(\mathbb{C}).
\end{align*}

Calculamos usando la regla del producto:

\begin{align*}
AB=\begin{pmatrix}
a & b & c\\ 0 & 0 & 0\\ 2 g & 2h & 2i \end{pmatrix}
\end{align*}

y

\begin{align*}
BA= \begin{pmatrix} a & 0 & 2c\\ d & 0 & 2f\\ g & 0 & 2i\end{pmatrix}.
\end{align*}

Igualando ambas matrices obtenemos que $A$ y $B$ conmutan si y sólo si se satisfacen las condiciones

\begin{align*}
\begin{cases}
b=d=f=h=0\\
2c=c\\
2g=g\end{cases}.
\end{align*}

Las últimas dos condiciones son equivalentes a que $c=g=0$. Cualquier matriz que conmuta con $A$ satisface estas condiciones y conversamente (por nuestro cálculo) si satisface estas ecuaciones conmuta con $A$. Esto nos deja como parámetros libres a $a,e,i$, es decir $B$ puede ser cualquier matriz diagonal.

$\triangle$

Problema. Considerando las matrices

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0& 4 &-1\\ 9& 6 & 0 \end{pmatrix}, \hspace{2mm} B= \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 0 & -2 \\ 1 &0 \end{pmatrix},
\end{align*}

¿cuáles de los productos $A^2, AB, BA, B^2$ tienen sentido? Calcula los que si lo tienen.

Solución. Recordamos que los productos tienen sentido si el número de columnas de la matriz de la izquierda sea el mismo que el número de filas de la matriz de la derecha. Entonces no podemos realizar los productos $BA$ o $B^2$ pues esta condición no se cumple (por ejemplo, $B$ tiene $3$ columnas, $A$ tiene $2$ filas, y estos números difieren). Calculamos entonces usando la regla del producto:

\begin{align*}
A^2 = \begin{pmatrix}
10 & 11 & 0\\
-9 & 10 & -4\\
9 & 33 & 3\end{pmatrix}, \hspace{2mm} AB= \begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & -8\\ -9 &-3\end{pmatrix}.
\end{align*}

$\triangle$

Problema. Considera la matriz \begin{align*}
A=\begin{pmatrix} 1 & 1& 0 \\ 0 & 1 &1\\ 0 &0 & 1 \end{pmatrix}
\end{align*}

  • Demuestra que $A$ satisface que $(A-I_3)^3=O_3$
  • Calcula $A^{n}$ para cualquier entero positivo $n$.

Solución.

  • Hacemos el cálculo directamente:
    \begin{align*}
    (A-I_3)^3&= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\0 & 0 &1\\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix}^{2} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 &0 &0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix}\\&=O_3. \end{align*}
  • Para este tipo de problemas, una estrategia que funciona es hacer casos pequeños para hacer una conjetura, y luego demostrarla por inducción. Probando para algunos valores de $n$ conjeturamos que
    \begin{align*}
    A^{n}=\begin{pmatrix} 1 & n & \frac{n(n-1)}{2}\\ 0 & 1 & n\\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix}.
    \end{align*}
    Lo demostramos por inducción sobre $n$, dando por cierto el caso base con $n=1$.
    Hagamos ahora el paso inductivo. Para esto usamos que $1+\dots + (n-1)= \frac{n(n-1)}{2}$.
    Nuestra hipótesis de inducción nos dice entonces que para cierto $n$ se tiene que $A^{n}=\begin{pmatrix} 1 & n & 1+\dots +(n-1) \\ 0 & 1 & n\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$. Usando que $A^{n+1}=A^{n}\cdot A$ con nuestra hipótesis de inducción se sigue:
    \begin{align*}
    A^{n+1}= A^{n}\cdot A&= \begin{pmatrix} 1 & n & 1+\dots +(n-1)\\ 0 & 1 &n\\ 0 & 0 &1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 1 & 1+n & 1+\dots + (n-1)+n\\ 0 & 1 & n+1\\ 0 & 0 &1\end{pmatrix}.\end{align*}
    Luego el resultado es cierto para $n+1$ y así queda demostrado el resultado.

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El siguiente problema combina temas de números complejos y de matrices invertibles. Para que lo entiendas a profundidad, es útil recordar la teoría de raíces $n$-ésimas de la unidad. Puedes revisar esta entrada del blog. El ejemplo puede parecer un poco artificial. Sin embargo, las matrices que se definen en él tienen muchas aplicaciones, por ejemplo, en procesamiento de señales.

Problema. Sea $n>1$ un natural y sea

\begin{align*}
\zeta= e^{\frac{2\pi i}{n}}= \cos \left( \frac{2\pi}{n}\right)+i\sin \left( \frac{2\pi}{n}\right).
\end{align*}

Este número puede parecer muy feo, pero es simplemente la raíz $n$-ésima de la unidad de menor argumento.

Definimos la matriz de Fourier de orden $n$, denotada por $\mathcal{F}_n$ como la matriz tal que su $(j,k)-$ésima entrada es $\zeta^{(j-1)(k-1)}$ para $1\leq j,k\leq n$.

  • a) Sea $\overline{\mathcal{F}_n}$ la matriz cuya $(j,k)-$ésima entrada es el conjugado complejo de la $(j,k)-$ésima entrada de $\mathcal{F}_n$. Demuestra que
    \begin{align*}
    \mathcal{F}_n\cdot \overline{\mathcal{F}_n} = \overline{\mathcal{F}_n}\cdot \mathcal{F}_n= nI_n.
    \end{align*}
  • b) Deduce que $\mathcal{F}_n$ es invertible y calcule su inversa.

Solución.

  • a) Sean $1\leq j,k\leq n$. Usando la regla del producto, podemos encontrar la entrada $(j,k)$ como sigue:
    \begin{align*}
    \left( \mathcal{F}_n \cdot \overline{\mathcal{F}_n} \right)_{jk} &= \sum_{l=1}^{n} \left(\mathcal{F}_n\right)_{jl} \cdot \left(\overline{\mathcal{F}_n}\right)_{lk}\\
    &= \sum_{l=1}^{n} \zeta^{(j-1)(l-1)} \cdot \overline{\zeta^{(l-1)(k-1)}}\\
    &= \sum_{l=1}^{n} \zeta^{(j-1)(l-1)-(l-1)(k-1)},
    \end{align*}
    la última igualdad se debe a que $\overline{\zeta}= \zeta^{-1}$. Así
    \begin{align*}
    \left( \mathcal{F}_n \cdot \overline{\mathcal{F}_n}\right)_{jk}=\sum_{l=1}^{n}\zeta^{(l-1)(j-k)}=\sum_{l=0}^{n-1}\left( \zeta^{j-k}\right)^{l}.
    \end{align*}
    Y la suma de la derecha es la suma de una sucesión geométrica con razón $\zeta^{j-k}$. Si $j=k$, entonces $\zeta^{j-k}=1$, así que la suma es igual a $n$ ya que cada termino es $1$ y lo sumamos $n$ veces. Si $j\neq k$ entonces $\zeta^{j-k}\neq 1$ y usamos la fórmula para una suma geométrica:
    \begin{align*}
    \sum_{l=0}^{n-1} \left( \zeta^{j-k}\right)^{l}= \frac{1-\left(\zeta^{j-k}\right)^{n}}{1-\zeta^{j-k}}=\frac{1-(\zeta^{n})^{j-k}}{1-\zeta^{j-k}}=0.\end{align*}
    Usamos en la última igualdad que $\zeta^{n}=1$. Se sigue que $\left( \mathcal{F}_n \cdot \overline{\mathcal{F}_n}\right)_{jk}$ es $n$ si $j=k$ y $0$ de otra manera, es decir
    \begin{align*}
    \mathcal{F}_n\cdot\overline{\mathcal{F}_n}=n\cdot I_n.
    \end{align*}
    La igualdad simétrica $\overline{\mathcal{F}_n}\cdot \mathcal{F}_n=n \cdot I_n$ se prueba de la misma manera y omitimos los detalles.
  • b) Por el inciso anterior, sugerimos $\frac{1}{n} \overline{\mathcal{F}_n}$, y esta satisface

    \begin{align*}
    \mathcal{F}_n \cdot \frac{1}{n} \overline{\mathcal{F}_n} = \frac{1}{n} \cdot n I_n= I_n
    \end{align*}
    y la otra igualdad se verifica de la misma manera. Por lo tanto, $\mathcal{F}_n$ es invertible y su inversa es $\frac{1}{n} \overline{\mathcal{F}_n}$.

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Problema. Sean $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ matrices tales que

\begin{align*}
A+B=I_n \hspace{5mm} A^2+B^2=O_n
\end{align*}

Demuestra que $A$ y $B$ son invertibles y que satisfacen

\begin{align*}
(A^{-1}+B^{-1})^{n}=2^{n} I_n
\end{align*}

Solución. Observamos que las propiedades dadas nos permiten calcular

\begin{align*}
A(I_n+B-A)&= (I_n-B) (I_n+B-A)\\&=I_n+B-A-B-B^2+BA\\
&= I_n -A-B^2+BA \\&=I_n+(B-I_n)A-B^2\\ &=I_n-A^2-B^2\\&= I_n.
\end{align*}

Es decir $A^{-1}=I_n+B-A$ (falta demostrar que con esta propuesta, también se cumple $A^{-1}A=I_n$, omitimos los cálculos). Similarmente $B^{-1}= I_n+A-B$ y por tanto $A^{-1}+B^{-1}= 2\cdot I_n$ y de esta igualdad se sigue la segunda parte del problema, pues

\begin{align*}
\left(A^{-1}+B^{-1}\right)^{n}= \left( 2\cdot I_n\right)^{n}=2^{n} \cdot I_n.\end{align*}

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»