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Álgebra Moderna I: Orden de un grupo

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

Introducción

Ya vimos qué es el orden de un elemento y el grupo cíclico generado por ese elemento. En esta entrada veremos a qué se le denomina el orden de un grupo, que en realidad es un concepto que ya conoces.

Primero repasemos cómo es el conjunto generado por $a$ , éste se puede describir así:

${\dots, a^{- 2}, a^{- 1}, e, a^{1}, a^{2}, \dots}$ .

En esa sucesión de potencias de $a$ , si el elemento $a$ tiene orden finito, eventualmente encontraremos $a^{o (a)}$ . Por la entrada anterior sabemos que $o (a)$ es el mínimo entero positivo tal que $a^{o (a)} = e$ . Entonces, $a^{o (a) + 1} = e a = a$ . Esto nos puede indicar que en algún momento la sucesión se volverá a repetir. Entonces el rango que no tiene repeticiones sería el siguiente:

$e, a, a^{2}, \dots, a^{o (a) - 1}$ .

A continuación formalizaremos esta idea, definiremos el orden de un grupo y relacionaremos el orden de un elemento con el orden del grupo generado por éste.

Definición de orden de un grupo

Definición: Sea $G$ un grupo. El orden de $G$ es la cardinalidad del conjunto $G$ y se denota por $| G |$ .

Teorema: Sean $G$ un grupo y $a \in G$ un elemento de orden finito. Entonces

$| ⟨ a ⟩ | = o (a)$ .

Demostración.
Sea $G$ un grupo y $a \in G$ de orden finito.

Considera que $e$ es el neutro en $G$ . Primero veamos que

$\begin{array}{r} ⟨ a ⟩ = {e, a, a^{2}, \dots, a^{o (a) - 1}} \end{array}$ .

$\subseteq]$
Sea $x \in ⟨ a ⟩$ , entonces existe algún $k \in Z$ tal que $x = a^{k}$ .
Por el algoritmo de la división existen $q, r \in Z$ tales que

$k = o (a) q + r$ con $0 \leq r < o (a)$ .

Entonces, sustituyendo el valor de $k$ ,

$x = a^{k} = a^{o (a) q + r}$ .

Si seguimos realizando operaciones con los exponentes, obtenemos:

$\begin{aligned} a^{o (a) q + r} & = (a^{o (a)})^{q} a^{r} \\ = e^{q} a^{r} & por la definición de orden \\ = e a^{r} & ya que e es el neutro \\ = a^{r} & ya que e es el neutro \end{aligned}$

es decir, $x = a^{r}$ para algún $r \in Z$ , con $0 \leq r < o (a)$ . Entonces

$x \in {e, a, a^{2}, \dots, a^{o (a) - 1}}$ .

Hemos demostrado así la primera contención.

$\supseteq]$

Esta contención es más sencilla porque claramente

${e, a, a^{2}, \dots, a^{o (a) - 1}} \subseteq {\dots, a^{- 2}, a^{- 1}, e, a, a^{2}, \dots}$ .

Y como $⟨ a ⟩ = {a^{k} ∣ k \in Z} = {\dots, a^{- 2}, a^{- 1}, e, a, a^{2}, \dots}$ , se cumple la segunda contención y con ella la igualdad de conjuntos.

Todavía nos falta un detalle. Hasta ahora sabemos que

$\begin{array}{r} ⟨ a ⟩ = {e, a, a^{2}, \dots, a^{o (a) - 1}} \end{array}$

pero nada nos asegura que $| {e, a, a^{2}, \dots, a^{o (a) - 1}} | = o (a)$ , es decir que tenga tantos elementos como el orden de $a$ . Esto lo probaremos viendo que no existen elementos repetidos.

Supongamos que $a^{i} = a^{j}$ para $i, j \in {0, 1, \dots, o (a) - 1}$ , supongamos sin pérdida de generalidad que $i \leq j$ .

Multiplicando ambos lados por $(a^{i})^{- 1}$ obtenemos,

$\begin{aligned} a^{i} (a^{i})^{- 1} & = a^{j} (a^{i})^{- 1} \\ e & = a^{j - i} . \end{aligned}$

Entonces, $e = a^{j - i}$ , pero, por la elección de $i$ y de $j$ sabemos que $0 \leq j - i < o (a)$ . Entonces, debido a la definición de $o (a)$ esto sólo es posible si $j - i = 0$ , es decir $j = i$ .

Así $⟨ a ⟩ = {e, a, a^{2}, \dots, a^{o (a) - 1}}$ tiene $o (a)$ elementos. Por lo tanto

$| ⟨ a ⟩ | = o (a)$ .

Un pequeño ejemplo

Ejemplo.
Recordemos que de acuerdo a lo que se definió en un ejemplo de la entrada anterior tenemos que $U (Z_{7})$ consiste de todas las clases módulo 7 que tienen inverso multiplicativo, es decir $U (Z_{7}) = {\bar{n} \in Z_{7} ∣ (n, 7) = 1}$ . Tenemos que $U (Z_{7}) = {\bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}, \bar{5}, \bar{6}}$ . Sabemos que este conjunto es un grupo con la multiplicación. Observemos que en los enteros módulo 7 no todas las clases tienen inverso multiplicativo, sólo aquellas representadas por primos relativos con 7, por eso $\bar{0}$ no está en nuestro conjunto $U (Z_{7})$ .

Podemos hacer algunas operaciones:

$(\bar{4})^{2} = \overset{―}{4^{2}} = \overset{―}{16} = \bar{2}$ , en este caso $(\bar{4})^{2}$ no es el neutro, entonces intentemos lo siguiente:
$(\bar{4})^{3} = (\bar{4})^{2} \bar{4} = \bar{2} \bar{4} = \bar{8} = \bar{1}$ , así $o (\bar{4}) = 3$ .

Por lo tanto, $⟨ \bar{4} ⟩ = {\bar{1}, \bar{4}, (\bar{4})^{2}} = {\bar{1}, \bar{4}, \bar{2}}$ , así $| ⟨ \bar{4} ⟩ | = 3$ .

Consecuencias

Hasta ahora hemos visto que la cantidad de elementos que hay en el generado por $a$ , es decir $⟨ a ⟩$ , está definido por el orden de $a$ , denotado por $(o (a))$ . En consecuencia tenemos el siguiente corolario.

Corolario. Sea $G$ un grupo y $a \in G$ . Tenemos que $a$ es de orden finito si y sólo si $⟨ a ⟩$ es un conjunto finito.

Demostración.
Sea $G$ un grupo y $a \in G$ .

$| \Rightarrow)$ Si $a$ es de orden finito, por el primer teorema que probamos en esta entrada,

$| ⟨ a ⟩ | = o (a) \in Z^{+}$

$∴$ $| ⟨ a ⟩ |$ es finito.

$| \Leftarrow)$ Si $⟨ a ⟩$ es un conjunto finito, entonces
${\dots, a^{- 1}, e, a^{1}, a^{2}, \dots}$ tiene repeticiones.

Sean $i, j \in Z$ con $i \neq j$ tales que $a^{i} = a^{j}$ .
Sin pérdida de generalidad supongamos que $i < j$ . Multiplicando por $(a^{i})^{- 1}$ en ambos lados,

$\begin{aligned} a^{i} (a^{i})^{- 1} & = a^{j} (a^{i})^{- 1} \\ e & = a^{j - i} \end{aligned}$

con $j - i \in Z^{+}$ . Por lo tanto $a$ es de orden finito.

Corolario. Todo elemento de un grupo finito es de orden finito.

Demostración.
Sea $G$ un grupo finito y $a \in G$ .

Como $⟨ a ⟩ \subseteq G$ y $G$ es finito, entonces $⟨ a ⟩$ también es finito por el corolario anterior $a$ es de orden finito.

Tarea moral

Considera $G = ⟨ a ⟩$ un grupo cíclico infinito:
1. Encuentra el subgrupo de $G$ con la menor cantidad de elementos posible, que tenga como elemento a $a^{4}$ .
2. Encuentra el subgrupo de $G$ con la menor cantidad de elementos posible, que tenga como elementos a $a^{4}$ y a $a^{6}$ .
3. Encuentra el subgrupo de $G$ con la menor cantidad de elementos posible, que tenga como elementos a $a^{4}$ y a $a^{9}$ .
4. ¿Son cíclicos? Si lo son, encuentra un generador.
Sea $G$ un grupo finito. Sea $S$ el subgrupo de elementos $g$ tales que $g^{5} = e$ , donde $e$ es el elemento neutro de $G$ . Prueba que el orden de $S$ es impar.
Hint: si $G$ es un grupo, $a \in G$ y existe $p \in Z$ primo tal que $a^{p} = e$ , entonces $o (a) = p$ .
¿Es posible que exista un grupo infinito tal que cada elemento sea de orden finito? De ser cierto, da un ejemplo. En caso contrario prueba que. no existe tal grupo.

Más adelante…

En las siguientes entradas estudiaremos más resultados y consecuencias que se derivan de todas las definiciones que hemos dado.

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Álgebra Moderna I: Orden de un elemento y Grupo cíclico

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la entrada anterior aprendimos qué es un subgrupo, sus características y hablamos de los subgrupos finitos. Pero en general, si tenemos un conjunto $G$ y escogemos un subconjunto $X$ de $G$ , $X$ no tendría por qué ser un subgrupo. A partir de esta entrada comenzaremos a estudiar qué necesitamos agregarle a $X$ para que se vuelva un subgrupo.

Particularmente, ahora hablaremos sobre el orden de un elemento y de cómo este orden puede inducir ciertos grupos y subgrupos. Por ejemplo, definiremos qué es un subconjunto generado por $a$ , con $a \in G$ .

El orden de un elemento

Definición. (Orden de un elemento)
Sea $G$ un grupo, $a \in G$ . Si $a^{k} = e$ para algún $k \in Z^{+}$ decimos que $a$ es de orden finito y en ese caso definimos el orden de $a$ como

$o (a) = mín {k \in Z^{+} | a^{k} = e}$ .

En caso contrario decimos que $a$ es de orden infinito.

Ejemplos.

$Γ_{8} = {ξ^{k} | 0 \leq k < 8}$ con $ξ = e^{\frac{π i}{4}}$ . Entonces $o (ξ^{2}) = 4$ .
Consideremos el conjunto $V = {(0, 0), (1, 0), (0, 1) (1, 1)}$ con la suma entrada a entrada módulo $2$ . Éste se conoce como el grupo de Klein. Tenemos que
- $o ((1, 0)) = 2$ ya que $(1, 0) \neq (0, 0)$ pero $2 (1, 0) = (1, 0) + (1, 0) = (0, 0)$ .
- $o ((0, 0)) = 1$ , $o ((1, 0)) = o ((0, 1)) = o ((1, 1)) = 2$ .
Consideremos $Z$ , $o (0) = 1$ y para toda $a \in Z ∖ {0}$ , $a$ es de orden infinito.

Lema. Sea $G$ un grupo, $a \in G$ de orden finito. Si $a^{k} = e$ para alguna $k \in Z$ , entonces $o (a)$ divide a $k$ .

Demostración.
Sea $a \in G$ de orden finito. Supongamos que $a^{k} = e$ para algún $k \in Z$ .

P.D. $o (a) | k$
Por el algoritmo de la división en $Z$ existen $q, r \in Z$ tales que

$\begin{aligned} k & = o (a) q + r & con 0 \leq r < o (a) \end{aligned}$

Entonces

$\begin{aligned} e & = a^{k} \\ = a^{o (a) q + r} \\ = (a^{o (a)})^{q} a^{r} \\ = e^{q} a^{r} \\ = e a^{r} \\ = a^{r} \end{aligned}$

Así $e = a^{r}$ , con $0 \leq r < o (a)$ . Pero $o (a)$ es el mínimo entero positivo tal que al colocarlo como exponente en $a$ da $e$ , entonces $r = 0$ . Por lo tanto $o (a) | k$ .

Lema. Sea $G$ un grupo, $a \in G$ de orden finito. Sea $n \in Z^{+}$ . Si se cumple que

$a^{n} = e$
$a^{k} = e$ con $k \in Z$ implica que $n | k$

entonces $n = o (a)$ .

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $a \in G$ de orden finito. Sea $n \in Z^{+}$ tal que cumple los incisos 1 y 2.

P.D. $n = o (a)$
Como se cumple el inciso 1, $a^{n} = e$ . Entonces

$n \in {k \in Z^{+} | a^{k} = e}$ .

Veamos que $n$ es el elemento mínimo.
Sea $k \in Z^{+}$ tal que $a^{k} = e$ . Por el inciso 2, se tiene que $n | k$ , entonces $| n | \leq | k |$ pero $n, k \in Z^{+}$ entonces $n \leq k$ .

Por lo tanto $n = mín {k \in Z^{+} | a^{k} = e} = o (a)$ .

El subgrupo cíclico

Proposición. Sea $G$ un grupo y $a \in G$ . El conjunto ${a^{n} | n \in Z}$ es un subgrupo de $G$ .

Notación. A partir de ahora, al conjunto anterior lo denotaremos como $⟨ a ⟩ = {a^{n} | n \in Z}$

Demostración de la proposición.
Sean $G$ un grupo y $a \in G$ .

P.D. $⟨ a ⟩ \leq G$
$e = a^{0} \in ⟨ a ⟩$
Sean $x, y \in ⟨ a ⟩$ , entonces $x = a^{n}$ , $y = b^{m}$ con $n, m \in Z$ .
Tenemos que $x y^{- 1} = a^{n} (a^{m})^{- 1} = a^{n} a^{- m} = a^{n - m} \in ⟨ a ⟩$ .
Por lo tanto $⟨ a ⟩ \leq G$ .

Definición. Sean $G$ un grupo y $a \in G$ ,

$⟨ a ⟩ = {a^{n} | n \in Z}$

se llama el subgrupo cíclico de $G$ generado por $a$ . Decidimos que $G$ es un grupo cíclico si $G = ⟨ a ⟩$ para alguna $a \in G$ y en ese caso decimos que $a$ es un generador de $G$ .

Ejemplo.

$G = {ξ^{k} | 0 \leq k < 8}$ con $ξ = e^{\frac{π i}{4}}$ .
$G$ es un grupo cíclico, pues $G = ⟨ ξ ⟩$ y $ξ$ es un generador de $G$ .
El conjugado de $ξ$ , $\bar{ξ}$ , es otro generador de $G$ .
${1, i, - 1, - i} = ⟨ ξ^{2} ⟩$ es el subgrupo cíclico de $G$ generado por $i$ .
$Z = ⟨ 1 ⟩$ es un grupo cíclico, $1$ y $- 1$ son generadores de $Z$ .
Sea $V = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}$ el grupo de Klein definido al inicio de esta entrada. Tenemos que $⟨ (1, 0) ⟩ = {(1, 0), (0, 0)}$ es un subgrupo cíclico de $V$ generado por $(1, 0)$ . Se puede verificar que los elementos de $V$ generan subgrupos de uno o dos elementos. Por lo tanto $V$ no es cíclico.
Sea $m \in Z^{+}$ . El conjunto de unidades de $Z_{m}$ se define como las clases módulo $m$ que tienen inverso multiplicativo, o bien ${\overset{―}{n} \in Z_{m} | (n; m) = 1}$ y se denota por $U (Z_{m})$ . Se puede probar que éste es un grupo con el producto. Consideremos ahora el grupo $U (Z_{10}) = {\overset{―}{n} \in Z_{10} | (n; 10) = 1}$ .
Tenemos que $U (Z_{10}) = {\overset{―}{1}, \overset{―}{3}, \overset{―}{7}, \overset{―}{9}}$ .
Como ${\overset{―}{3}}^{2} = \overset{―}{9}$ , ${\overset{―}{3}}^{3} = \overset{―}{27} = \overset{―}{7}$ ,
${\overset{―}{3}}^{4} =$ ${\overset{―}{3}}^{3} \overset{―}{3} =$ $\overset{―}{7} \overset{―}{3} =$ $\overset{―}{21} =$ $\overset{―}{1}$ , entonces $U (Z_{10}) = ⟨ \overset{―}{3} ⟩$ y $U (Z_{10})$ es cíclico.

Tarea moral

Sea $G = G L (2, Q)$ (recuerda las definiciones en los ejemplos importantes de matrices). Considera las matrices
$A = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ , $B = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix})$
Muestra que $A$ y $B$ tienen orden finito pero $A B$ no.
Prueba que las siguientes 4 matrices forman un grupo multiplicativo y encuentra el orden de cada elemento.
$(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$
Prueba o da un contraejemplo: Si $a^{k} = e$ , entonces $k$ es el orden de $a$ .
Considera el grupo diédrico formado por las simetrías de un hexágono. Sea $R$ la rotación de $\frac{2 π}{3}$ .
- Determina el orden de $R$ .
- Encientra otros cincos valores $k$ enteros tales que $R^{k} = i d$ y analiza si existe alguna relación entre $o (a)$ y estos valores de $k$ .

Más adelante…

Ahora ya conocemos el subgrupo generado por $a$ . En las siguientes entradas profundizaremos en las características de éste, definiremos el orden de un grupo y la relación que podemos encontrar entre ambos.

Entradas relacionadas

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Álgebra Moderna I: Subgrupos

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Ya vimos la definición de un grupo. Es un conjunto con una operación binaria que se comporta «bien», es decir, que es asociativa, tiene un neutro y tal que todo elemento tiene un inverso.

Ahora nos interesa trabajar con una subcolección de $G$ , llamémosla $H$ . Estudiaremos qué se necesita para que $H$ sea un grupo en sí mismo. La idea es trabajar con la misma operación de $G$ , pero ahora usando sólo los elementos de $H$ . Para que la operación $*$ siga siendo binaria en $H$ , necesitamos que $*$ sea cerrada en $H$ . Además, necesitamos que el neutro de $G$ , $e_{G}$ , sea elemento de $H$ . Porque si $e_{G}$ deja fijos a todos los elementos de $G$ , en particular deja fijos a todos los elementos de $H$ . Y la tercera condición es la de los inversos, para todo elemento en $H$ , su inverso también debe estar en $H$ . La asociatividad, se «hereda» al restringir la operación $*$ a $H$ . De esta manera, nos podremos olvidar de $G$ y concentrarnos en $H$ .

En esta entrada veremos la definición formal de subgrupos y algunos ejemplos para que quede más clara la definición y la utilidad de definir un grupo dentro de otro.

Definiendo a los subgrupos

Comencemos con la definición formal de subgrupos.

Definición. (Subgrupo)
Sea $G$ un grupo, $H$ subconjunto de $G$ . Decimos que $H$ es un subgrupo de $G$ si cumple lo siguiente:

El neutro $e_{G}$ de $G$ está en $H$ , es decir, $e_{G} \in H$ .
$H$ es cerrado con la operación, es decir si $a, b \in H$ , entonces, $a b \in H$ .
Todo elemento de $H$ tiene su inverso en $H$ . Es decir, si $a \in H$ , entonces $a^{- 1} \in H$ .

Notación. $H \leq G$ denotará que $H$ es subgrupo de $G$ .

Ejemplos.

Si $G$ es un grupo, ${e}$ y $G$ son subgrupos de $G$ . Puede haber muchos más, pero al menos esos dos seguro son subgrupos.
Sea $X$ un conjunto, $S_{X} = {f : X \to X | f es biyectiva en G}$ es un grupo con la composición.
Dado $x_{0} \in X$ consideramos todos los elementos de $S_{X}$ que dejan fijo a $x_{0}$
${f \in S_{X} | f (x_{0}) = x_{0}}$ . Este es un subgrupo de $S_{X}$ .
Consideremos $(Z, +)$ y su subconjunto ${n \in Z | n es múltiplo de 2} \leq Z$ .
Podemos generalizarlo, dado $m \in Z$ consideremos el conjunto de todos los múltiplos de $m$ . Este conjunto se denota como $m Z := {n \in Z | n es múltiplo de m} \leq Z$ y se tiene que $m Z \leq Z$ .

Caracterizaciones de los subgrupos

Observación 1. Dado $G$ un grupo y $H$ un subconjunto de $G$ , $H$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si

$H \neq \emptyset$ .
Si $a, b \in H$ , entonces $a b^{- 1} \in H$ .

Demostración. La demostración quedará como ejercicio.

Observación 2. Dado $G$ un grupo, $H$ un subconjunto de $G$ , $H$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si $H$ es un grupo con la operación restringida a $H$ .

Demostración.

$| \Rightarrow)$ Supongamos que $H \leq G$ .

Por el inciso 2 de la definición de subgrupo, la operación es cerrada en $H$ , entonces es una operación binaria en $H$ .

Por el inciso 1 de la definición, $e_{G} \in H$ , y sabemos que $e_{G} * a = a * e_{G}$ para toda $a \in G$ . En particular $e_{G} * a = a * e_{G}$ para toda $a \in H$ . Así $e_{G}$ es neutro en $H$ .

Sea $a \in H$ , por el inciso 3 de la definición de subgrupo, $a^{- 1} \in H$ , es decir el inverso de $a$ en $G$ está en $H$ , entonces existe $a^{- 1} \in H$ tal que $a a^{- 1} = a^{- 1} a = e_{G} = e_{H}$ , y así $a^{- 1}$ es el inverso de $a$ en $H$ .

Por lo tanto, $H$ es un grupo con la operación restringida.

$\Leftarrow |)$ Supongamos que $H$ es un grupo con la operación restrigida. Entonces, $H$ tiene un neutro $e_{H} \in H$ .

Aquí hay que hacer una observación. En principio no sabemos que el neutro de $G$ y el neutro de $H$ son el mismo, porque $e_{H}$ es un neutro restringido a $H$ y puede no serlo fuera del subconjunto. Además, que sean distintos no rompe la unicidad del neutro ya que $e_{H}$ es el neutro en $H,$ no en $G$ así que no estamos hablando de dos neutros distintos en $G;$ y si $e_{G}$ es el neutro en $G,$ pero $e_{G} \notin H,$ de nuevo no se rompe la unicidad pues sólo hay un neutro en $H$ . Así, lo primero que tenemos que demostrar, es que $e_{H} = e_{G}$ . Las siguientes operaciones las realizaremos en $G$ , porque no podemos asegurar que $e_{G}$ es un elemento de $H$ .

$\begin{aligned} e_{H} e_{G} & = e_{H} & e_{G} es neutro en G \\ = e_{H} e_{H} & e_{H} es neutro en H \end{aligned}$

Entonces $e_{H} e_{G} = e_{H} e_{H}$ y por la cancelación en $G$ , $e_{G} = e_{H}$ . Así $e_{G} \in H$ .

Sean $a, b \in H$ . Como $H$ es un grupo con la operación restringida, esta operación es una operación binaria en $H$ y por tanto cerrada. Así $a b \in H$ .

Sea $a \in H$ , como $H$ es un grupo con la operación restringida, $a$ tiene un inverso en $H$ , digamos $\hat{a} \in H$ , tal que $a \hat{a} = \hat{a} a = e_{H}$ .

Sea $a^{- 1}$ el inverso de $a$ en $G$ , entonces $a a^{- 1} = a^{- 1} a = e_{G}$ . Como $e_{H} = e_{G}$

$\begin{aligned} a \hat{a} & = a a^{- 1} \\ \hat{a} & = a^{- 1} & por la ley de cancelación en G \end{aligned}$

Así $a^{- 1} \in H$ .

Por lo tanto $H \leq G$ .

Caracterización de subgrupos finitos

Ya teniendo la definición de subgrupo, podemos considerar sólo subconjuntos finitos de un grupo $G$ . En este caso basta pedir sólo dos condiciones al subconjunto para que sea un subgrupo: que sea no vacío y que sea cerrado bajo la operación.

Proposición. Sea $G$ un grupo, $H$ un subconjunto finito de $G$ , no vacío. $H$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si $a b \in H \forall a, b \in H$ .

Demostración. Sea $G$ un grupo. Consideremos $H$ un subconjunto finito no vacío de $G$ .

$| \Rightarrow)$ Supongamos que $H \leq G$ , entonces se cumple la definición de subgrupo. En particular se cumple el inciso 2, es decir, el producto en $H$ es cerrado.

$\Leftarrow |)$ Supongamos que el producto en $H$ es cerrado.
Como $H \neq \emptyset$ consideremos $h \in H$ .

Como el producto de $H$ es cerrado, tenemos que $h^{n} \in H$ para toda $n \in Z^{+}$ . Entonces los elementos de la lista: $h, h^{2}, h^{3}, \dots$ están en $H$ , y como $H$ es finito debe haber repeticiones.

Sean $l, m \in Z^{+}$ con $l < m$ tales que $h^{l} = h^{m}$ . Como $h^{l} \in G$ consideremos su inverso $h^{- l} \in G$ . Multiplicando por $h^{- l}$ tenemos que

$h^{m} h^{- l} = h^{l} h^{- l} = e_{G}$

Por las leyes de los exponentes

$h^{m - l} = e_{G}$ con $m - l \in Z^{+}$

Recordemos que $h^{n} \in H$ para toda $n \in Z^{+}$ , entonces $e_{G} \in H$ .
Además, $h h^{m - l - 1} = e_{G}$ . Entonces tenemos dos casos.
Si $m - l - 1 = 0$ , entonces $h = e_{G} \in H$ y $h$ es su propio inverso.
Si $m - l - 1 \in Z^{+}$ , entonces $h^{m - l - 1} \in H$ , y como $h h^{m - l - 1} = e_{G}$ , entonces $h^{m - l - 1}$ es el inverso de $H$ .

Así $H$ es cerrado bajo inversos y por lo tanto $H$ es un subgrupo de $G$ .

Tarea moral

Demuestra que el ejemplo 2 de la definición de subgrupo efectivamente es un subrupo de $S_{X}$ .
Para que un subconjunto $H$ de un grupo $G$ sea un subgrupo ¿es necesario pedir que $H$ tenga al neutro o se puede deducir de la condición de cerradura bajo producto y de la cerradura de los inversos?
Demuestra la observación 1.
Prueba o da un contraejemplo: un subconjunto $H$ de un grupo $G$ es un subgrupo si y sólo si $H$ es no vacío y para cualesquiera dos elementos $a, b \in H$ se tiene que $a b \in H$ .
De acuerdo las definiciones en los ejemplos importantes de matrices, prueba que
- $S L (2, R) \leq G L (2, R)$
- $G L (2, Q) \leq G L (2, R)$
Investiga lo que es el diagrama reticular o diagrama de Hasse de los subgrupos de un grupo.

Más adelante…

En la siguiente entrada seguiremos profundizando en los subgrupos. Especialmente analizaremos cuántas veces podemos multiplicar un elemento por sí mismo sin que se repita el resultado. En el caso en que se trate de un subgrupo finito el hecho de que existan repeticiones en las potencias de un elemento se puede justificar con los argumentos que se dieron en la prueba de la última proposición que vimos.

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Álgebra Moderna I: Propiedades de grupos y Definición débil de grupo

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Cuando se estudian campos vectoriales u otras estructuras algebraicas primero se definen ciertas propiedades básicas y después, otras propiedades importantes que se desprenden de las primeras. Ahora, vamos a ver propiedades de los grupos. Dentro de los grupos mencionamos la existencia de un neutro, asociatividad e inverso. Pero de ahí se desprenden otras propiedades que vamos a usar como la cancelación, la unicidad de los neutros, etc.

Propiedades de grupos

Propiedades. Sea $(G, *)$ un grupo, entonces

Para cualesquiera $x, a, b \in G$ , se tiene que $x * a = x * b \Rightarrow a = b,$ también se vale cancelar por la derecha, $a * x = b * x \Rightarrow a = b .$ Estas propiedades son conocidas como las leyes de cancelación.
El neutro en $(G, *)$ es único.
Cada $a \in G$ tiene un único inverso y se denota por $a^{- 1}$ .
Para toda $a \in G$ , $(a^{- 1})^{- 1} = a$ .

Demostración. 1. Sean $x, a, b \in G$ .
Supongamos que $x * b = x * b$ . Sea $\tilde{x} \in G$ inverso de $x$ . Tenemos que

$\begin{array}{r} \Rightarrow \\ \Rightarrow \\ \Rightarrow \end{array}$

$\begin{aligned} \tilde{x} * (x * a) = & \tilde{x} * (x * b) \\ (\tilde{x} * x) * a = & (\tilde{x} * x) * b & por la asociatividad \\ e * a = & e * b & por ser \tilde{x} el inverso de x \\ a = & b & por ser e el neutro \end{aligned}$

La cancelación por la derecha es análoga y se deja como ejercicio.

2. Sean $e, e^{'} \in G$ neutros

$\begin{aligned} e = & e * e^{'} & por ser e^{'} un neutro \\ = & e^{'} & por ser e un neutro \end{aligned}$

$∴ e = e^{'}$

3. Sea $a \in G$ . Supongamos que $\hat{a}, \tilde{a} \in G$ son inversos de a, entonces:

$\begin{aligned} \hat{a} = & e * \hat{a} & por ser e el neutro \\ = & (\tilde{a} * a) * \hat{a} & por ser \tilde{a} un inverso de a \\ = & \tilde{a} * (a * \hat{a}) & por la asociatividad \\ = & \tilde{a} * e & por ser \hat{a} un inverso de a \\ = & \tilde{a} & por ser e el neutro \end{aligned}$

$∴ \hat{a} = \tilde{a}$

4. Sea $a \in G$ .
Como $(a^{- 1})^{- 1}$ es el inverso de $a^{- 1}$ tenemos que

$a^{- 1} * (a^{- 1})^{- 1} = e$

Como $a^{- 1}$ es el inverso de $a$ tenemos que

$a^{- 1} * a = e$

Así $a^{- 1} * (a^{- 1})^{- 1} = a^{- 1} * a$ , entonces por la propiedad 1 podemos cancelar el elemento $a^{- 1}$ por la izquierda y concluir que $(a^{- 1})^{- 1} = a$ .

Definición débil de grupo

Teorema. Sea $G$ un conjunto, $*$ una operación binaria en $G$ . Supongamos que

$*$ es asociativa,
existe $e \in G$ tal que $e * a = a$ para toda $a \in G$ y
$\forall a \in G$ existe $\tilde{a} \in G$ tal que $\tilde{a} * a = e$ ,

entonces $(G, *)$ es un grupo. A partir de ahora, a las propiedades $2$ y $3$ de la definición débil de grupo las denotaremos como $2^{'}$ y $3^{'}$ respectivamente para dejar que los números $2$ y $3$ denoten las propiedades de la definición de grupo.

Demostración. Supongamos que $(G, *)$ cumple $1, 2^{'}$ y $3^{'}$ .
Sea $a \in G$ , por $3^{'}$ , existe $\tilde{a} \in G$ tal que $\tilde{a} * a = e$ .
Tenemos que $\tilde{a}$ es un inverso izquierdo de $a$ . Veamos primero que $\tilde{a}$ es también un inverso derecho de $a$ , es decir que $a * \tilde{a} = e$ .

$\begin{aligned} \tilde{a} * (a * \tilde{a}) = & (\tilde{a} * a) * \tilde{a} & por la asociatividad \\ = & e * \tilde{a} & por la propiedad 3^{'} \\ = & \tilde{a} & por la propiedad 2^{'} \end{aligned}$

$\Rightarrow \tilde{a} * (a * \tilde{a}) = \tilde{a}$ .

Por $3^{'}$ existe $b \in G$ tal que $b * \tilde{a} = e$ . Multiplicando $\tilde{a} * (a * \tilde{a}) = \tilde{a}$ a la izquierda por $b$ tenemos que

$\begin{array}{r} \Rightarrow \\ \Rightarrow \\ \Rightarrow \end{array}$

$\begin{aligned} b * (\tilde{a} * (a * \tilde{a})) = & b * \tilde{a} \\ (b * \tilde{a}) * (a * \tilde{a}) = & b * \tilde{a} & por la asociatividad \\ e * (a * \tilde{a}) = & e & ya que b es un inverso izquierdo de \tilde{a} \\ a * \tilde{a} = & e & ya que e es un neutro izquierdo. \end{aligned}$

Así, $\tilde{a}$ es también un inverso derecho de $a$ .

Por $2^{'}$ , $e * a = a$ para toda $a \in G$ , es decir $e$ es un neutro izquierdo. Veamos ahora que $e$ también es un neutro derecho probando que $a * e = a$ para toda $a \in G$ .

Sea $a \in G$ , por $3^{'}$ existe $\tilde{a} \in G$ tal que $\tilde{a} * a = e$ , y por lo que acabamos de probar $a * \tilde{a} = e$ . Usando estas igualdades y la propiedad asociativa tenemos que

$a * e = a * (\tilde{a} * a) = (a * \tilde{a}) * a = e * a$

y como $e$ es un neutro por la izquierda, $e * a = a$ . Así $a * e = a$ .

Por lo tanto $(G, *)$ es un grupo.

Tarea moral

Usando la Definición débil de grupo, determina cuáles de estos conjuntos son un grupo.
- $G = R ∖ {- 1}$ , $a * b := a + b + a b$ .
- $G = R^{*}$ , $a * b = | a | b$ .
- $G = {r \in Q | r = \frac{p}{q} con (p, q) = 1 y q impar}$ , $a * b = a + b$ (la adición usual).
- Sea $X$ un conjunto. Considera $G = P (X)$ el conjunto potencia de $X$ con la operación binaria $A △ B = (A \cup B) ∖ (A \cap B)$ para todo $A, B \in P (X)$ .
Muestra que $G = R^{*}$ con la operación $a * b = | a | b$ , tiene un neutro izquierdo $e$ y para cada elemento $a$ existe $\tilde{a}$ tal que $a * \tilde{a} = e$ ¿qué puedes concluir con respecto a la definición débil de un grupo?
Para el conjunto $S := {★, ▾, ⧫, ♣}$ , considera las operaciones que creaste en la tarea moral de una entrada anterior.
- Si definiste una operación tal que $(S, *)$ es un grupo, comprueba las propiedades vistas en esta entrada y verifica la definición débil.
- Si no, observa si alguna de las propiedades analizadas se cumplen con tu operación.
Si quieres conocer el grupo de transformaciones lee la sección 3.1.1 del libro Introducción analítica a la geometría de Javier Bracho (página 112 a la 115).
Si quieres conocer el grupo diédrico puedes ver el video Dihedral Group de Socratica. El video está en inglés. De todas maneras, después usaremos el grupo diédrico, así que lo definiremos más adelante.

Más adelante…

En la siguiente entrada generalizaremos la propiedad de la asociatividad porque hasta ahora sólo la manejamos con tres elementos. Además, seguiremos formalizando conceptos que ya conocemos intuitivamente: definiremos qué es una potencia, escribiremos las leyes de los exponentes y las demostraremos.

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Álgebra Moderna I: Asociatividad Generalizada y Leyes de los Exponentes

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Una de las condiciones que pedimos para que un conjunto con una operación sea un grupo, es la asociatividad, la vimos en el caso de tres factores:

$\begin{aligned} a * b * c & = (a * b) * c \\ = a * (b * c) . \end{aligned}$

Intuitivamente sabemos que esto se vale para más factores. Por ejemplo, con cuatro factores podemos escribir las distintas maneras de asociar a los factores, algunas de las cuales se muestran a continuación:

$\begin{aligned} a * b * c * d & = (a * (b * c)) * d \\ = ((a * b) * c) * d \\ = (a * b) * (c * d) . \end{aligned}$

Para más factores es un problema escribir todas las asociaciones posibles y justificar que el resultado de la operación no cambia sin importar la forma de asociar los factores. Para resolverlo, intuitivamente usaríamos inducción sobre el número de factores. Sin embargo, la inducción usual no nos ayuda ya que la forma de asociar no siempre consiste de algún factor que sea a su vez el producto de $n$ factores. Por ejemplo si queremos comparar el producto $a_{1} * (a_{2} * \dots * a_{n}) * a_{n + 1}$ con la expresión $(a_{1} * (a_{2} * \dots * a_{n - 1})) * (a_{n} * a_{n + 1})$ , en la primera expresión el segundo factor es el producto de $n$ factores pero en la segunda expresión no. Así, necesitamos usar la inducción modificada en la demostración.

Teorema de la Asociatividad Generalizada

Teorema. (Asociatividad Generalizada)
Sea $(G, *)$ en un grupo, $n \in N$ con $3 \leq n$ y $a_{1}, \dots, a_{n} \in G$ . Cualesquiera dos maneras de multiplicar estos elementos en dicho orden proporciona el mismo resultado (sin importar cómo se elijan factores adyacentes).

Demostración. Por inducción modificada.
Caso base $n = 3$ . Se cumple por la asociatividad de $*$ .
Sea $n \in N$ con $3 < n$ .
Hipótesis de Inducción (H.I.): Supongamos que para menos de $n$ factores, el resultado se cumple.

Consideremos $a_{1} * a_{2} * \dots * a_{n}$ . Al elegir dos elementos adyacentes y multiplicarlos se tiene un factor menos. Así con cada producto que se realice, el número de factores decrece en uno. Eventualmente quedarán sólo dos factores.

Sean

$\begin{aligned} X & = (a_{1} * \dots * a_{i}) * (a_{i + 1} * \dots * a_{n}) \\ Y & = (a_{1} * \dots * a_{j}) * (a_{j + 1} * \dots * a_{n}) . \end{aligned}$

con $i, j \in {1, \dots, n}$ . Supongamos que $X$ y $Y$ son elementos de $G$ obtenidos por dos personas multiplicando las $a$ ’s (cada quien con sus propias elecciones). Sin pérdida de generalidad supongamos que $i < j$ .

Por H.I. podemos asociar de la forma que queramos el segundo factor de $X$ y el primer factor de $Y$ :

$\begin{aligned} X & = (a_{1} * \dots * a_{i}) * [(a_{i + 1} * \dots * a_{j}) * (a_{j + 1} * \dots * a_{n})] \\ Y & = [(a_{1} * \dots * a_{i}) * (a_{i + 1} * \dots * a_{j})] * (a_{j + 1} * \dots * a_{n}) . \end{aligned}$

Denotaremos por

$\begin{aligned} A & = a_{1} * \dots * a_{i} \\ B & = a_{i + 1} * \dots * a_{j} \\ C & = a_{j + 1} * \dots * a_{n} . \end{aligned}$

Por la H.I. $A, B$ y $C$ están bien definidos. Por lo que no tenemos que especificar cómo se asocian esos productos.

entonces,

$\begin{array}{r} X = A * [B * C] \\ Y = [A * B] * C \end{array}$

con $A, B, C \in G$ . Por el paso base (cuando $n = 3$ ) obtenemos que $X = Y$ .

Notación. A partir de aquí simplificaremos la notación y escribiremos $a b$ en vez de $a * b$ . Cuando el grupo es abeliano, escribiremos en ocasiones $a + b$ en vez de $a * b$ . Si no hay confusión, pondremos $G$ en lugar de $(G, *)$ .

Consecuencias del Teorema

Corolario. Sea $G$ un grupo, $a, b \in G$ . Entonces

$(a b)^{- 1} = b^{- 1} a^{- 1}$ .

Demostración. Sean $a, b \in G$ . Como el inverso de un elemento es único, y $(a b)^{- 1}$ es el inverso de $a b$ , resta demostrar que $b^{- 1} a^{- 1}$ también es el inverso de $a b$ . Por lo tanto, debemos demostrar que $(a b) (b^{- 1} a^{- 1}) = e$ . Entonces,

$\begin{aligned} (a b) (b^{- 1} a^{- 1}) & = a (b b^{- 1}) a^{- 1} & por la asociatividad generalizada \\ = a e a^{- 1} \\ = (a e) a^{- 1} \\ = a a^{- 1} \\ = e . \end{aligned}$

Así $(a b)^{- 1} = b^{- 1} a^{- 1}$ .

Definición de potencia

Ahora, daremos una definición que nos servirá para simplificar la notación en futuras entradas.

Definición. Sea $G$ un grupo y $a \in G$ . Entonces

$a^{0} = e$ .
$a^{n + 1} = a a^{n} para toda n \in N$ .
$a^{- n} = (a^{- 1})^{n} para toda n \in N$ .

Observación 1. Sea $G$ un grupo $a \in G$ y $n \in N$ . Entonces

$a^{n} = \underset{n veces}{\underset{⏟}{a a \dots a}}$ ,

$a^{- n} = \underset{n veces}{\underset{⏟}{a^{- 1} a^{- 1} \dots a^{- 1}}}$ .

Observación 2. Sea $G$ un grupo, $a \in G$ y $n \in N$ . Entonces $a^{- n} = (a^{n})^{- 1}$ .

Leyes de los Exponentes

Proposición. (Leyes de los Exponentes)
Sea $G$ un grupo, $a, b \in G$ y $m, n \in Z$ :

Si $a b = b a$ , entonces $(a b)^{n} = a^{n} b^{n}$ . Si $a$ y $b$ no conmutan, esto no necesariamente se cumple.
$a^{n} a^{m} = a^{n + m}$ .
$(a^{n})^{m} = a^{n m}$ .

Notación. Cuando la operación binaria esté denotada con $+$ la potencia $a^{n}$ se escribe como $n a,$ mientras que las leyes de los exponentes se escriben de la siguiente manera:

$n (a + b) = n a + n b$ .
$n a + m a = (n + m) a$ .
$m (n a) = (m n) a$ .

Tarea moral

Demuestra las observaciones 1 y 2. (Sugerencia: Usa inducción para demostrar la observación 1).
Busca un ejemplo de grupo en el que existan $a, b \in G$ y $n \in Z$ de modo que $(a b)^{n} \neq a^{n} b^{n}$ .
Demuestra las leyes de los exponenetes para grupos.

Más adelante…

En la siguiente entrada nos fijaremos en un tipo de grupo especial: un grupo dentro de otro grupo. Es decir, comenzaremos a definir los subgrupos y a dar ejemplos de ellos.
Más adelante veremos que la notación de exponentes nos servirá, no sólo para expresar inversos sino para definir el orden de un elemento.

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