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Álgebra Moderna I: Segundo Teorema de Isomorfía 

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Comencemos introduciendo la idea del Segundo Teorema de Isomorfía. Para ello tomemos $H,K$ dos subgrupos de $G$ tales que $H\unlhd G$. Por favor, apóyate en el diagrama de retícula.

Diagrama de retícula para explicar el Segundo Teorema de Isomorfía.

Observemos el cociente $HK/H$, este es posible porque $H\unlhd HK$ (como se hizo notar en la entrada anterior y esto se indica en el diagrama). Por nuestra experiencia manejando fracciones, podríamos pensar que es posible cancelar la $H$ y obtener que $HK/H \cong K$. Sin embargo, esto no es cierto porque $K$ puede tener elementos en común con $H$. Por ejemplo, si tomamos el caso cuando $H=K$ el isomorfismo $HK/H \cong K$ ya no se cumple.

¡Pero no temais! porque sí existe un isomorfismo para $HK/H$, en esta entrada el Segundo Teorema de Isomorfía nos dice que $$HK/H \cong K/(H\cup K).$$

Cabe notar que en la literatura suelen mezclarse el Segundo y el Tercer Teorema de Isomorfía entre sí. El Primer Teorema de Isomorfía siempre es el que enunciamos en la entrada pasada, pero a veces el Segundo puede ser el Tercero y viceversa. Esto lo aclaramos por si el teorema que tratamos en esta entrada no es el que te esperabas.

Segundo Teorema de Isomorfía

El segundo Teorema de isomorfía también es llamado del Teorema del Diamante por la forma del diagrama de retícula asociado.

Diagrama de retícula del STI.

Teorema. (2do Teorema de Isomorfía)
Sean $G$ un grupo, $H,K$ subgrupos de $G$ con $H\unlhd G$. Entonces $HK\leq G$, $H \unlhd HK$, $H\cap K \unlhd K$ y
\begin{align*}
HK/H \cong K/(H\cap K).
\end{align*}

Demostración.
Sean $G$ un grupo, $H \unlhd G$, $K \leq G$.
Como $H \unlhd G$, entonces $HK \leq G$. Tenemos que $H\leq HK$ y como $H \unlhd G$, entonces $H \unlhd HK$.

En esta demostración queremos usar el Primer Teorema de Isomorfía. Para ello bastaría construir un homomorfismo cuyo núcleo sea $H\cap K$ y cuya imagen sea $HK/H$. Comencemos definiendo dicho homomorfismo:

Sea
\begin{align*}
\varphi: K \to HK/H
\end{align*}
con $\varphi(k) = kH, \forall k\in K$.

P.D. $\varphi$ es un homomorfismo.

Sean $k, \tilde{k} \in K$,
\begin{align*}
\varphi(k\tilde{k}) = k\tilde{k}H = kH\tilde{k}H = \varphi(k)\varphi(\tilde{k}).
\end{align*}
Así, $\varphi$ es un homomorfismo.

Ahora veamos quién es el núcleo de $\varphi$:
\begin{align*}
\text{Núc }\varphi &= \{ k\in K | \varphi(k) = e_{HK/H} \} \\
&= \{k \in K | kH = H\} \\ &= \{k\in K|k\in H\} = H\cap K.
\end{align*}
De este modo, $H\cap K = \text{Núc }\varphi \unlhd K$.

Veamos ahora que $\varphi$ es suprayectiva.
Sea $x\in HK/H$, $x = hk H$ con $h\in H, k \in K$.
\begin{align*}
x = hk H = (kk^{-1})hk H = k(k^{-1}hk) H = kH
\end{align*}
ya que $k^{-1}hk\in H$ pues $H\unlhd G$.

Entonces $x = kH = \varphi(k) \in \text{Im }\varphi$. Por lo que $\varphi$ es suprayectiva y además, $\text{Im }\varphi = HK/H$.

Por el 1er Teorema de Isomorfía,
\begin{align*}
K/\text{Núc }\varphi \cong \text{Im }\varphi
\end{align*}
entonces
\begin{align*}
K/(H\cap K) \cong HK/H.
\end{align*}

$\blacksquare$

Un ejemplo para reforzar del STI

Consideremos $G = GL(2,\c), H = \{zI_2| z \in\c^*\}$ y $K = SL(2,\c)$. Recordemos que $K$ es el grupo lineal especial.

Dado $z \in\c^*$ y $A\in GL(2,\c)$,
\begin{align*}
A(zI_2)A^{-1} = zAI_2A^{-1} = zI_2.
\end{align*}
Así $H \unlhd G$.

Además,
\begin{align*}
H\cap K &= \{zI_2|\det(zI_2) = 1\}\\ &= \left\{ \begin{pmatrix}
z & 0\\0 & z \end{pmatrix} : z^2 = 1\right\}\\
& = \left\{\left( \begin{array}{rr}1 & 0\\0 & 1 \end{array}\right), \left( \begin{array}{rr}
-1 & 0\\0 & -1 \end{array}\right) \right\} = \{I_2, -I_2\}.
\end{align*}

Por el Segundo Teorema de Isomofía,
\begin{align*}
HSL(2,\c)/ H \cong SL(2,\c)/ \{I_2, -I_2\}.
\end{align*}

Diagrama que describe las relaciones entre los grupos del ejemplo.

Analicemos qué pasa con $HSL(2,\mathbb{C})$. Primero $HSL(2,\c) \leq GL(2, \mathbb{C})$, y si $A \in GL(2,\mathbb{C})$.
\begin{align*}
A = \left(\sqrt{\det A} \;I_2 \right) \left(\frac{1}{\sqrt{\det A}}\right)A.
\end{align*}

Como el primer término está en $H$ y el segundo está en $SL(2,\c),$ entonces $A \in H\,SL(2,\c)$.
Así, tenemos que $H\,SL(2,\c) = GL(2,\mathbb{C})$.

Reescribiendo lo que nos dice el Segundo Teorema de Isomorfía obtenemos:
\begin{align*}
GL(2,\mathbb{C})/H \cong SL(2,\mathbb{C})/\{I_2, -I_2\}.
\end{align*}

Diagrama actualizado

Analicemos ahora cómo es $GL(2,\c)/H$. Tomemos $A,B \in GL(2,\mathbb{C})$,
\begin{align*}
AH = BH &\Leftrightarrow A^{-1}B\in H\\ &\Leftrightarrow A^{-1}B = \begin{pmatrix}z & 0 \\ 0 & z\end{pmatrix} \quad \text{con }z\in \c^* \\
&\Leftrightarrow B = A \begin{pmatrix} z & 0 \\ 0 & z \end{pmatrix} = z A \quad \text{con }z\in \c^*
\end{align*}

es decir, en el cociente identificamos a matrices que difieren por un escalar no nulo.

Ahora, analicemos el cociente $SL(2,\c)/\{I_2, -I_2\}$. Tomemos $A,B\in SL(2,\c)$,
\begin{align*}
A\{I_2, -I_2\} = B\{I_2,-I_2\} &\Leftrightarrow A^{-1}B \in \{I_2, -I_2\}\\ &\Leftrightarrow A^{-1}B = \pm I_2 \\
&\Leftrightarrow B = \pm A
\end{align*}
es decir, identificamos a los matrices que difieren a lo mucho por su signo.

Versión intuitiva del ejemplo

Veamos ahora el ejemplo de una manera más intuitiva (con dibujos) para entender por qué esos cocientes son isomorfos.

Lo que hicimos fue tomar el grupo general lineal $GL(2,\c)$ y hacer un cociente respecto a $H$, que consiste en todas las matrices escalares con escalares no nulos. Esto hace que cada matriz $A$ se identifique con cualquier otra de la forma $zA$, con $z$ un escalar no nulo.

Diagrama de lo que sucede en $GL(2,\c).$

En el caso del grupo especial lineal $SL(2,\c)$, hicimos un cociente con $H\cap K$ que consta solamente de la identidad $I_2$ y de su inverso aditivo $-I_2$. De acuerdo con lo que analizamos, las clases de equivalencia tienen 2 elementos. Cada matriz $A$ se identifica con su inverso aditivo $-A$.

Diagrama de lo que sucede en $SL(2,\c).$

Luego, regresando a $GL(2,\c)$, si nos tomamos la matriz dada por $\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A$, ésta está en la misma clase de equivalencia que $A$ ya que es de la forma $zA$ con $z=\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}}$ un escalar no nulo. Pero además, $\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A$ es de determinante igual a 1. Entonces, en la misma clase de equivalencia dos matrices con determinante 1:

\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A, \quad -\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A.
\end{align*}

Diagrama de que $\pm\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A$ están en $GL(2,\c).$

Además, éstas son las únicas dos opciones con determinante 1. Esto sucede porque ya $\text{det}(zA) = z^2 \text{det }A$ debido a las propiedades del determinante. Entonces si queremos que $zA$ sea de determinante uno, obtendríamos:
\begin{align*}
1 = \text{det}(zA) = z^2 \text{det }A &\Leftrightarrow z^2 = \frac{1}{\text{det }A} \\
&\Leftrightarrow z = \pm \frac{1}{\sqrt{\text{det }A}}.
\end{align*}

Entonces, podemos usar alguna de esas dos matrices de determinante uno como representante de la clase de equivalencia de $A$. De la misma manera $I_2, -I_2 \in H$ tienen determinante uno, por lo que podríamos usar alguna de ellas como representante de la clase $H$.

Al trabajar en el contexto de $SL(2,\c)$ consideraríamos sólo las matrices con determinante uno, así que en la clase $H\cap K$ sólo quedarían $I_2$ y $-I_2$. De modo más general, en $GL(2,\c)$ módulo $H$ cada matriz $A$ se identifica con cualquiera de la forma $zA$, y sabemos que sólo $\pm \frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A$ tienen determinante uno, así que al trabajar ahora en $SL(2,\c)$ la clase de cada matriz $A$ en $SL(2,\c)$ consistirá sólo de $\pm \frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A$, y como $\text{det }A=1$, en cada clase tendríamos sólo a la matriz y a su inverso aditivo $\pm A$ .

Diagrama completo.

Esto es lo hay de fondo cuando decimos que los cocientes son isomorfos:

\begin{align*}
GL(2,\mathbb{C})/H \cong SL(2,\mathbb{C})/\{I_2, -I_2\}.
\end{align*}

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $G$ un grupo finito, $H$ y $K$ subgrupos de $G$ con $H$ normal en $G$. ¿Cuál es la cardinalidad de $HK$ en términos de la de $H$ y de la de $K$? ¿Qué sucede si $H$ no es normal?
  2. Sea $G$ un grupo finito, $S$ y $T$ subconjuntos de $G$. ¿Cuál es la cardinalidad de $ST$ en términos de la de $S$ y la de $T$?
  3. Da otra prueba del 2do Teorema de Isomorfía encontrando un homomorfismo adecuado $\varphi: HK \to K/(H\cap K)$.
  4. Sean $G= Q$ el grupo de los cuaternios, $H = \left< i \right>$, $K = \left< k \right>$. Calcula los cocientes $HK/H$ y $K/(H\cap K)$ encontrando explícitamente su orden, el orden de sus elementos y su tabla de multiplicar, y a partir de ello compara ambos cocientes.
  5. Sean $G = \z \times \z \times \z$ con la suma entrada a entrada, $H = \z\times\z\times \{0\}$, $K = \{0\}\times\z\times\z$.
    • Analiza cómo es el cociente $(H+K)/H$ entendido qué se requiere para que $(a,b,c) + H = (d,f,g) + H$.
    • Analiza cómo es el cociente $K/(H\cap K)$ entendiendo qué se requiere para que $(a,b,c)+H\cap K = (d,f,g)+ H\cap K$.
    • Encuentra un homomorfismo $\varphi: \{0\}\times\z\times\z \to \z$ que te permita entender cómo es el cociente $K/(H\cap K)$.

Más adelante…

Ahora ya conocemos al que llamaremos el Segundo Teorema de Isomorfía, a diferencia del PTI, éste no se usa para probar el Tercero, pero igual lo ocupando en las unidades siguientes.

Entradas relacionadas

Álgebra Moderna I: Primer Teorema de Isomorfía y Diagrama de Retícula

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

2 respuestas

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

La estrella de esta entrada es el primero de los cuatro Teoremas de Isomorfía que veremos. Como el nombre indica, estos teoremas relacionan dos conjuntos a través de una isomorfía, pero no sólo eso, además en los conjuntos que se relacionan aparece un cociente de grupos. El primer teorema de isomorfía nos permite entender cómo están relacionados el dominio, el núcleo y la imagen de un homomorfismo de grupos, de forma similar al teorema de la dimensión en Álgebra lineal, que establece la relación entre el dominio, el núcleo y la imagen de una transformación lineal.

El Primer Teorema de Isomorfía se usa en la prueba del resto de los teoremas de isomorfía, así que al final de esta unidad te quedará muy claro cómo se usa y para qué sirve. Normalmente se usa definiendo un homomorfismo clave para que al aplicarlo en el grupo obtengamos los cocientes necesarios.

Si quieres reforzar algunos temas que usaremos mucho a lo largo de estas entradas, puedes revisar los conceptos de Subgrupo Normal, Cociente de grupos, Isomorfísmos y Núcleo e Imagen de un Homomorfismo. Será de mucha ayuda que los tengas presentes.

Por último, junto con los Teoremas de Isomorfía usaremos una ayuda visual llamada Diagrama de Retícula, es importante para describir las relaciones entre los distintos grupos, subgrupos y subgrupos normales que estaremos manejando.

El Teorema que vamos a tratar

Teorema. (Primer Teorema de Isomorfía)
Sean $G,\bar{G}$ grupos, $\varphi: G\to \bar{G}$ un homomorfismo. Entonces
\begin{align*}
G/\text{Núc }\varphi \cong \text{Im }\varphi.
\end{align*}

Demostración.
Sea $G,\bar{G}$ grupos, $\varphi: G\to \bar{G}$ un homomorfismo, $N =\text{Núc }\varphi$.

En la entrada anterior probamos que $N \unlhd G$, de modo que $G/\text{Núc }\varphi$ tiene estructura de grupo.

Para probar que $G/\text{Núc }\varphi$ y $\text{Im }\varphi$ son isomorfos, tenemos que dar un isomorfismo entre ellos. Primero construiremos una función que vaya de $G/N$ a $\text{Im }\varphi$. Sea
\begin{align*}
\psi : G/N &\to \text{Im }\varphi \\
a N &\mapsto \varphi(a) \quad \forall a \in G.
\end{align*}

Definiremos nuestra función $\psi$ como aquella que manda una clase $aN$ de $G/N$ a $\varphi(a)$, pero no queda claro si al tomar otro representante de la clase, digamos $b$, sucederá que $\varphi(a) = \varphi(b)$. Esto tenemos que probarlo.

Tomemos $a,b\in G$ tales que $aN = bN$. Entonces,

\begin{align*}
aN = bN &\Leftrightarrow a^{-1}b\in N \\
&\Leftrightarrow \varphi(a^{-1}b) = e_{\bar{G}}\\
& \Leftrightarrow \varphi(a^{-1}) \varphi(b) = e_{\bar{G}}\\
& \Leftrightarrow (\varphi(a))^{-1}\varphi(b) = e_{\bar{G}} &\text{Propiedades de homomorfismos}\\
& \Leftrightarrow \varphi(b) = \varphi(a).
\end{align*}
En realidad todas las equivalencias anteriores son producto de las propuedades de homomorfismos que ya vimos. Las implicaciones de ida ($\Rightarrow$) nos dicen que $\psi$ está bien definida, como queríamos probar. Pero las implicaciones de regreso ($\Leftarrow$) nos dicen algo más: nuestra $\psi$ es inyectiva.

Por lo tanto $\psi$ está bien definida y es inyectiva.

Ahora nos falta ver que en efecto $\psi$ es un homomorfismo y es suprayectiva.

Para ver que es un homomorfismo consideremos $a,b\in G$, entonces:
\begin{align*}
\psi(aNbN) = \psi(abN) = \varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b) = \psi(aN)\psi(bN).
\end{align*}
Lo anterior sale de la definición de $\psi$ y de que $\varphi$ es un homomorfismo. Así, $\psi$ es un homomorfismo.

Finalmente, si $c \in \text{Im }\varphi$, $c = \varphi(a)$ con $a\in G$. Entonces, por definición:
\begin{align*}
c = \varphi(a) = \psi(aN) \in \text{Im }\psi.
\end{align*}

Así, $\psi$ es suprayectiva.

Por lo tanto tenemos que $\psi$ es un homomorfismo inyectivo y suprayectivo, es decir, $\psi$ es un isomorfismo. En consecuencia, $G/N \cong \text{Im }\varphi$.

$\blacksquare$

Diagrama de retícula

A partir de las siguientes entradas comenzaremos a usar algo llamado diagrama de retícula. Este diagrama es una manera de representar la relación de ser subgrupo. Se escriben todos o algunos subgrupos de un grupo $G$, y se unen dos subgrupos $H$ y $K$ con una arista si $H$ es subgrupo de $K$, de modo que $H$ quede más abajo que $K$. De esta manera, si se consideran todos los sugrupos de $G$ el grupo $G$ aparece hasta arriba y el subrgupo $\{e\}$ hasta abajo del diagrama.

Veamos un ejemplo: Sea $G$ un grupo y $H,K$ subgrupos de $G$. Si consideramos $HK$, sabemos que es subgrupo de $G$, pero además, sabemos que $H\leq HK$ y $K\leq HK$. Por último, consideremos $H\cap K$, que es a su vez un subgrupo de $H$ y $K$.

Todo esto se puede resumir en el siguiente diagrama de retícula:

Diagrama de Retícula.

¿Por qué no unimos $H$ con $G$? Pues porque este diagrama es transitivo, es decir como $H \leq HK \leq G$, está implícito que $H \leq G$. Tampoco unimos un grupo consigo mismo.

Además, si un subgrupo es un subgrupo normal, anotaremos el símbolo $\unlhd$.

Observemos que si $H\unlhd G$, entonces todo elemento en $H$, al ser conjugado con elementos de $G$, sigue siendo un elemento de $H$. En particular, si conjugamos a un elemento de $H$ con un elemento de $HK$ seguimos obteniendo un elemento de $H$. Esto nos dice que $H$ también es normal en $HK$. En el diagrama, la propiedad de ser normal se escribe de la siguiente manera:

Diagrama de Retícula donde se muestra una relación de Subgrupo Normal.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $G$ un grupo cíclico con $G = \left<a\right>$. Considera el homomorfosmo $\varphi: \z \to G$ dado por $\varphi(m) = a^m$ para toda $m\in \z$.
    • Si $a$ es de orden finito con $o(a) = n$ ¿qué concluyes al aplicar el 1er Teorema de Isomorfía? ¿Qué relación existe entre dos grupos cíclicos finitos de orden $n$?
    • Si $a$ es de orden infinito ¿qué concluyes al aplicar en 1er Teorema de Isomorfía? ¿Qué relación existe entre dos grupos cíclicos infinitos?
  2. Puedes revisar los siguientes videos que hablan de homomorfismos:

Más adelante…

Uno de los principales usos del Primer Teorema de Isomorfía es definiendo una $\varphi$ ideal para que el núcleo y la imágen de $\varphi$ sean justo lo que queremos probar. Esto lo veremos en la siguiente entrada, donde lo usamos para probar el Segundo Teorema de Isomorfía.

El diagrama de retícula se volverá fundamental sobretodo cuando veamos el Cuarto Teorema de Isomorfía, porque veremos cómo relacionar muchos subgrupos con grupos cocientes correspondientes.

Entradas relacionadas

Álgebra Moderna I: Núcleo e Imagen de un Homomorfismo

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Estamos trabajando con homomorfismos, que son funciones entre dos grupos que respetan sus operaciones. Entre las propiedades que vimos, está que el neutro del dominio siempre va al neutro del codominio. Es decir, al menos hay un elemento que, bajo el homomorfismo, cae en el neutro del codominio.

Para esta entrada consideraremos a la colección de todos los elementos del dominio que van al neutro del codominio. A este subconjunto, lo llamamos el núcleo de $\varphi$. Por otro lado, podemos tomar todos los elementos del dominio, aplicarles $\varphi$ y tomar el subconjunto que resulta en el codominio, a esto le llamamos la imagen de $\varphi$. Estos dos subconjuntos van a ser importantes en el estudio de los homomorfismos.

La imagen muestra que para $\varphi: G\to \bar{G}$ un homomorfismo, el núcleo $\text{Núc }\varphi \subseteq G$ y la imagen $\text{Im }\varphi \subseteq \bar{G}$.

El núcleo y la imagen de un homomorfismo

Comencemos definiendo formalmente los subconjuntos.

Definición. Sean $G, \bar{G}$ grupos, $\varphi: G \to \bar{G}$ un homomorfismo. Definimos al núcleo de $\varphi$ como
\begin{align*}
\text{Núc } \varphi = \{g\in G | \varphi(g) = e_{\bar{G}}\}.
\end{align*}

Es decir, es el conjunto de todos los elementos de $G$ que, bajo $\varphi$ van a dar al neutro de $\bar{G}$.

Notación. Es común, por el nombre en alemán, denotar al $\text{Núc } \varphi$ como $\text{Ker }\varphi$, es llamado el Kernel de $\varphi$.

Definición. La imagen de $\varphi$ es
\begin{align*}
\text{Im } \varphi = \{\varphi(g) | g \in G\}.
\end{align*}

Notemos que $\text{Núc }\varphi \subseteq G$ y $\text{Im }\varphi \subseteq \bar{G}$.

Ejemplos.

Ejemplo 1. Tomemos el homomorfismo $\varphi: S_n \to \{+1,-1\}$ con $\varphi(\alpha) = sgn\, \alpha$ para toda $\alpha\in S_n$. Veamos quién es el núcleo de $\varphi$:
\begin{align*}
\text{Núc }\varphi &= \{\alpha\in S_n | \varphi(\alpha) = +1\} \\
&= \{\alpha\in S_n | sgn\in\alpha = +1\} = A_n.
\end{align*}
Si tomamos el caso no trivial, con $n>1$,
\begin{align*}
\text{Im }\varphi = \{+1,-1\}.
\end{align*}
Ya que $\varphi((1)) = 1$ y $\varphi((1\,2)) = -1$.

Ejemplo 2. Sea $n \in \z^+$. Consideremos el homomorfismo $\varphi: \z \to \mathbb{C}^*$ con
\begin{align*}
\varphi(m) = \left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^m \quad \forall m\in \z.
\end{align*}
Buscamos describir su núcleo y su imagen.
\begin{align*}
\text{Núc }\varphi &= \{m\in \z| \varphi(m) =1\}\\
&= \{m\in\z | \left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^m = 1\} = n\z.
\end{align*}
La última igualdad se da porque ya sabemos que $e^{2\pi i} = 1$, más aún $e^{\theta i} = 1$ si y sólo si $\theta$ es un múltiplo de $2\pi$, entonces $ \left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^m = 1$ si y sólo si $m$ es un múltiplo de $n$.

Ahora la imagen:
\begin{align*}
\text{Im }\varphi &= \{\varphi(m)| m \in \z\} \\
&= \{\left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^m | m\in \z\} = \left< e^{\frac{2\pi i}{n}}\right>.
\end{align*}

El núcleo y la imagen son subgrupos

Ahora, probaremos que el núcleo y la imagen de un homomorfismo no son sólo subconjuntos del dominio y codominio respectivamente, si no que son subgrupos.

Teorema. Sean $G, \bar{G}$ grupos, $\varphi:G\to\bar{G}$ un homomorfismo.

  1. $\text{Núc }\varphi \unlhd G$.
  2. $\text{Im }\varphi \leq \bar{G}$.
  3. $\varphi$ es un monomorfismo si y sólo si $\text{Núc }\varphi = \{e_G\}$.

Demostración.
Sean $G,\bar{G}$ grupos, $\varphi: G \to \bar{G}$ un homomorfismo.

  1. P.D. $\text{Núc }\varphi \unlhd G$.
    Primero probaremos que $\text{Núc }\varphi \leq G$.

    Como $\varphi$ es un homomorfismo, $\varphi(e_G) = e_{\bar{G}}$. Entonces $e_G \in \text{Núc }\varphi$.

    Si $a,b\in\text{Núc }\varphi$.
    \begin{align*}
    \varphi(ab^{-1}) &= \varphi(a) \varphi(b^{-1}) &\varphi \text{ es un homomorfismo}\\
    &=\varphi(a)(\varphi(b))^{-1} & \text{Proposición de homomorfismo} \\
    &= e_{\bar{G}}e_{\bar{G}}^{-1} = e_{\bar{G}} & a,b \in \text{Núc }\varphi
    \end{align*}
    Entonces $ab^{-1} \in \text{Núc }\varphi$. Por lo tanto $\text{Núc }\varphi \leq G$.

    Además, si $a\in G$ y $n\in\text{Núc }\varphi$:
    \begin{align*}
    \varphi(ana^{-1}) &= \varphi(a)\varphi(n)\varphi(a^{-1}) &\varphi\text{ es un homomorfismo}\\
    &= \varphi(a)\varphi(n)(\varphi(a))^{-1} &\text{Proposición}\\
    & = \varphi(a) e_{\bar{G}}(\varphi(a))^{-1} &n \in \text{Núc }\varphi \\
    &= \varphi(a) (\varphi(a))^{-1} = e_{\bar{G}}
    \end{align*}
    Así, $ana^{-1}\in \text{Núc }\varphi$. Esto nos dice que el núcleo de $\varphi$ es cerrado bajo conjugación. Por lo tanto $\text{Núc } \varphi \unlhd G$.
    $\newline$
  2. P.D. $\text{Im }\varphi \leq \bar{G}$.
    Primero veamos que el neutro de $\bar{G}$ está en $\text{Im }\varphi$. Esto pasa porque
    $$e_{\bar{G}} = \varphi(e_{G}) \in \text{Im }\varphi.$$

    Ahora, si $c,d\in \text{Im }\varphi$, entonces $c = \varphi(a), d = \varphi(b)$ para algunos $a,b\in G$.
    \begin{align*}
    ad^{-1} = \varphi(a)(\varphi(b))^{-1} &= \varphi(a)\varphi(b^{–1}) &\text{Proposición}\\
    &= \varphi(ab^{-1}) \in \text{Im }\varphi &\varphi\text{ es un homomorfismo}
    \end{align*}
    Por lo tanto $\text{Im }\varphi \leq \bar{G}$.
    $\newline$
  3. P.D. $\varphi$ es un monomorfismo si y sólo si $\text{Núc }\varphi = \{e_G\}$.

    $|\Rightarrow]$ Supongamos que $\varphi$ es un monomorfismo (un homomorfismo inyectivo).
    Como $\text{Núc }\varphi \leq G$, entonces $\{e_G\}\subseteq \text{Núc }\varphi$.
    Ahora, si $g\in \text{Núc }\varphi$, por la proposición anterior,
    \begin{align*}
    \varphi(g) = e_{\bar{G}} = \varphi(e_G).
    \end{align*}
    Y como $\varphi$ es inyectiva, $g = e_G$. Por lo tanto, $\text{Núc }\varphi = \{e_G\}$.

    $[\Leftarrow|$ Supongamos que $\text{Núc }\varphi =\{e_G\} $.
    Sean $a,b\in G$ tales que $\varphi(a) = \varphi(b)$. Entonces
    \begin{align*}
    e_{\bar{G}} &= \varphi(b)(\varphi(a))^{-1} \\
    &= \varphi(b)\varphi(a^{-1}) &\text{Proposición}\\
    &= \varphi(ba^{-1}) &\varphi\text{ es un homomorfismo}
    \end{align*}
    Entonces $ba^{-1} \in \text{Núc }\varphi = \{e_G\}$, así $ba^{-1} = e_G$, esto implica que $b = a$.
    Por lo tanto $\varphi$ es un monomorfismo.

$\blacksquare$

Observemos que el inciso 3 del teorema nos da una herramienta para determinar si un homomorfismo es inyectivo o no usando el núcleo.

Proyección Canónica

Ahora, tomando un grupo y un subgrupo normal, definiremos un epimorfismo de un grupo al grupo cociente.

Proposición. Sea $G$ un grupo, $N$ un subgrupo normal de $G$. La función $\pi_:G\to G/N$ con $\pi(a) = aN$ para toda $a\in G$, es un epimorfismo tal que $\text{Núc }\pi = N$.

Esta función se conoce como la proyección canónica.

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $N\unlhd G$, $\pi: G\to G/N$ con $\pi(a) = aN$ para cualquier $a\in G$.

Veamos que $\pi$ es un homomorfismo
Sean $a,b \in G$, entonces
\begin{align*}
\pi(ab) = abN = (aN)(bN) = \pi(a)\pi(b).
\end{align*}

Ahora veamos que es suprayectivo. Esto es debido a que dado $aN\in G/N$, $$aN = \pi(a).$$

Por lo tanto $\pi$ es un epimorfismo.

Finalmente,
\begin{align*}
\text{Núc }\pi = \{a\in G| \pi(a) = e_{G/N}\} = \{a\in G| aN = N\} = N.
\end{align*}

$\blacksquare$

Ahora veamos un corolario que se desprende directamente de lo que acabamos de ver.

Corolario. Todo subgrupo normal es el núcleo de un homomorfismo. De hecho, es el núcleo de un epimorfismo.

Ejemplos

Para terminar veamos unos ejemplos

Ejemplo 1. Tomemos $\varphi:(\r,+) \to (\mathbb{C}^*, \cdot)$ con $\varphi(x) = e^{xi}$ para toda $x\in\r$. Toma 2 min para pensar porqué es un homomorfismo.

Veamos el núcleo y la imágen de $\varphi$:
\begin{align*}
\text{Núc }\varphi &= \{x\in\r | \varphi(x) = 1\} \\
&= \{x\in\r | e^{xi} = 1\} \\
&= \{2\pi n | n \in \z\} = \left< 2\pi\right>.\\\\
\text{Im }\varphi &= \{\varphi(x) | x \in \r\} \\
& =\{e^{xi} | x\in\r\} \\
&= \{z\in \mathbb{C} | |z| = 1\} = \s^1.
\end{align*}
¿Cómo es $\r/\left<2\pi\right>$?
Tomemos $a,b\in \r$.
\begin{align*}
a + \left< 2\pi\right> = b + \left< 2\pi\right> &\Leftrightarrow a-b \in \left< 2\pi\right> \\
&\Leftrightarrow a-b= 2\pi n,\, n\in \z.
\end{align*}
Si lo anterior nos dice que dos números $a,b$ están en la misma clase si y sólo si difieren por un múltiplo de $2\pi$. Si lo pensamos en la recta numérica, nos dice que el $0$ y $2\pi$ quedan indentificados en la misma clase. Intuitivamente podríamos pensar que estamos doblando la recta numérica para obtener una circunferencia donde $0$ y $2\pi$ están en el mismo punto.

Así, $\r/\left< 2\pi\right> = \{a+\left< 2\pi\right> | a\in [0,2\pi)\}$.

Representación gráfica del ejemplo 1.

Ejemplo 2. Consideremos $\varphi: (\r^*,\cdot)\to (\r^*,\cdot)$ con $\varphi(x) = |x|$ para toda $x \in \r^*$ (recuerda que $\r^*=\r\setminus \{0\}$).
\begin{align*}
\text{Núc }\varphi &= \{x\in\r^* | \varphi(x) = 1\} \\
&= \{x\in\r^*| |x| = 1\} = \{+1,-1\}.\\\\
\text{Im }\varphi &= \{\varphi(x) | x \in \r^*\} \\
& =\{|x| | x\in\r^*\} = \r^+. \\
\end{align*}
¿Cómo es $\r^*/\{+1,-1\}$?
Tomemos $a,b\in \r^*$.
\begin{align*}
a\{+1,-1\}= b\{+1,-1\} &\Leftrightarrow a^{-1}b \in \{+1,-1\} \\
&\Leftrightarrow a^{–1}b=\pm 1 \Leftrightarrow b = \pm a.
\end{align*}
Entonces, dos clases laterales van a ser iguales si y sólo si sus representantes difieren a lo más sólo por el signo.

Lo que hicimos fue tomar a los reales sin el cero y estamos identificando a cada número real $a$ con su inverso aditivo. Entonces la imagen de $\varphi$ en realidad es como si dobláramos la recta por el 0 e identificamos a los reales negativos con su correspondiente positivo.

Así, $\r^*/ \{+1,-1\} = \{a \{+1,-1\} | a\in \r^+\}$.

Representación gráfica del ejemplo 2.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $\varphi:GL(2,\r) \to \r^*$ el homomorfismo tal que $\varphi(A) = \text{det }A$. Encuentra el núcleo y la imagen de $\varphi$.
  2. Sean $G,\bar{G}$ grupos y $\varphi: G\to\bar{G}$ un homomorfismo. ¿Es $ \text{Im }\varphi$ normal en $\bar{G}$? Prueba o da un contraejemplo.
  3. Sean $G,\bar{G}$ grupos y $\varphi: G\to \bar{G}$ un homomorfismo. Sean también, $H\leq G, \bar{H}\leq \bar{G}$.
    • ¿Qué puedes decir de $\varphi[H] = \{\varphi(h) | h \in H\}$?¿Y si $H\unlhd G$?
    • ¿Qué puedes decir de $\varphi^{-1}[\bar{H}] = \{g\in G| \varphi(g) \in \bar{H}\}$? ¿Y si $\bar{H}\unlhd\bar{G}$?
  4. En cada inciso calcula $\text{Núc } \varphi, \text{Im }\varphi, G/\text{Núc}$ y analiza cómo se relacionan:
    • $G$ grupo, $\varphi: G \to G$, con $\varphi =\text{id}_G $.
    • $G$ grupo, $\varphi: G \to G$, con $\varphi(g) = e_G$ para toda $g\in G$.
    • $\varphi: (\mathbb{C}^*, \cdot) \to (\r^*, \cdot)$, con $\varphi(z) = |z|$ para toda $z\in\mathbb{C}^*$.
    • $\varphi: \z \times \z \to \z\times\z$, con $\varphi(x,y) = (x,0)$ para toda $(x,y)\in \z\times\z$.

Más adelante…

Ahora que ya tenemos muy claras las definiciones de núcleo e imagen de un homomorfismo, comenzaremos a ver teoremas que relacionan lo que vimos aquí con isomorfismos y grupo cociente.

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Álgebra Moderna I: Propiedades de los Homomorfismos

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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Introducción

En la entrada anterior vimos una introducción a los homomorfismos y algunas propiedades. Ahora sabemos que un homomorfismo es una función $\varphi :G\rightarrow \bar{G}$ entre dos grupos $(G,*)$ y $(\bar{G},\bar{*})$, que respeta las operaciones, es decir, que para todas $a,b\in G$, $\varphi(a*b) = \varphi(a)\bar{*}\varphi(b)$. A partir de ahora simplificaremos la notación y escribiremos simplemente la condición anterior como: para todas $a,b\in G$, $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$ (a menos que haya ambigüedad respecto a qué operación se está usando en cada caso).

En esta entrada, continuaremos dando algunas propiedades de los homomorfismos, en particular veremos cómo se comportan con las potencias de elementos del grupo y, en seguida, cómo se comparan el orden de un elemento y el orden de su imagen bajo un homomorfismo.

Homomorfismos y la potencia

Dado que el homomorfismo respeta el producto, se va a comportar bien con las potencias.

Proposición. Sean $G, \bar{G}$ grupos, $\varphi: G\rightarrow \bar{G}$ un homomorfismo. Entonces,

  1. $\varphi(e_G) = e_{\bar{G}}$.
  2. $\varphi(a^{-1}) = \left( \varphi(a)\right)^{-1}$ para toda $a \in G$.
  3. $\varphi(a^n) = \left( \varphi(a)\right)^n$ para toda $a \in G$ y para toda $n \in \z$.

Demostración.

Sean $G, \bar{G}$ grupos y $\varphi: G \rightarrow \bar{G}$ un homomorfismo.

P.D. $\varphi(e_G) = \varphi e_{\bar{G}}$.

Por un lado tenemos que $\varphi(e_g) e_{\bar{G}} = \varphi(e_G)$ porque $e_{\bar{G}}$ es el neutro de $\bar{G}$. Por otro lado tenemos que $\varphi(e_G) = \varphi(e_G e_G)$ porque $e_{G}$ es el neutro de $G$, y $ \varphi(e_G e_G) = \varphi(e_G) \varphi(e_G)$ porque $\varphi$ es un homomorfismo.

Entonces tenemos

\begin{align*}
&\varphi(e_g) e_{\bar{G}} = \varphi(e_G) = \varphi(e_G) \varphi(e_G). \\
\end{align*}

Cancelamos $\varphi(e_G)$, y obtenemos
\begin{align*}
e_{\bar{G}} = \varphi(e_G).
\end{align*}

Sea $a \in G$.
P.D. $\varphi(a^{-1}) = \left( \varphi(a)\right)^{-1}$.

Por un lado tenemos que $\varphi(a) \left(\varphi(a) \right)^{-1} = e_{\bar{G}}$.

Por el inciso anterior, tenemos que $e_{\bar{G}} = \varphi(e_G) = \varphi(a a^{-1})$ y como $\varphi$ es un homomorfismo, tenemos que $\varphi(a a^{-1}) = \varphi(a)\varphi( a^{-1})$.

Entonces tenemos que $\varphi(a) \left(\varphi(a) \right)^{-1} = \varphi(a)\varphi( a^{-1})$, donde podemos cancelar $\varphi(a)$:

\begin{align*}
&\varphi(a) \left(\varphi(a) \right)^{-1} = \varphi(a)\varphi( a^{-1}) \\
&\Rightarrow \left(\varphi(a) \right)^{-1} = \varphi( a^{-1}).
\end{align*}

Sea $a\in G$.
P.D. $\varphi(a^n) = \left( \varphi(a)\right)^n$ para toda $a \in G$ y $n \in \z$.
Demostraremos primero el resultado para $n\in\n$ por inducción sobre $n$.

Sea $n=0$.

Entonces, por el inciso 1,
\begin{align*}
\varphi(a^0) = \varphi(e_G) = e_{\bar{G}} = (\varphi(a))^0.
\end{align*}

Sea $n\geq 0$.
Para nuestra hipótesis de inducción, supongamos que $\varphi(a^n) = (\varphi(a))^n$.

Por la definición de potencia,
\begin{align*}
\varphi(a^{n+1}) = \varphi(a^n a).
\end{align*}

Luego, como $\varphi$ es un homomorfismo,
\begin{align*}
\varphi(a^n a) &= \varphi(a^n) \varphi(a) \\
&= (\varphi(a))^n \varphi(a) & \text{Por H.I.}\\
&= (\varphi(a))^{n+1} &\text{Por la definición de potencia}
\end{align*}

Por lo tanto $\varphi(a^n) = (\varphi(a))^n$ para toda $n\in \n$.

Finalmente, si $n \in \z^+$.
\begin{align*}
\varphi(a^{-n}) &= \varphi((a^n)^{-1}) \\
&= \varphi((a^n))^{-1} &\text{Por el inciso 2}\\
&= ((\varphi(a))^n)^{-1} &\text{Por lo probado anteriormente}\\
&= (\varphi(a))^{-n}
\end{align*}

Por lo tanto $\varphi(a^m) = (\varphi(a))^m$, para toda $m \in \z$.

$\blacksquare$

Homomorfismos y el orden

Corolario. Sean $G, \bar{G}$ grupos, sea $\varphi: G\to \bar{G}$ un homomorfismo.
Si $a\in G$ es de orden finito, $\varphi(a)$ también lo es y $o(\varphi(a)) \big| o(a)$. Es decir, el orden de $\varphi(a)$ divide al orden de $a$.
Más aún, si $\varphi$ es un isomorfismo, entonces $o(\varphi(a)) = o(a)$.

Demostración.
Sean $G, \bar{G}$ grupos, $\varphi: G \to \bar{G}$ un homomorfismo y sea $a\in G$ de orden finito.

Ahora, usamos las propiedades de $\varphi$ para obtener las siguientes igualdades.

\begin{align*}
\varphi(a)^{o(a)} = \varphi(a^{o(a)}) = \varphi(e_G) = e_{\bar{G}}.
\end{align*}

Esto nos dice que $\varphi(a)$ es de orden finito. Esto no significa que $o(a)$ es el orden de $\varphi(a)$, pero sí se sigue, por las propiedades del orden de un elemento, que $o(\varphi(a))\big| o(a)$.

Ahora, si $\varphi$ es un isomorfismo, $\varphi^{-1}$ también, así que por lo antes probado $o(\varphi^{-1}(b))\big| o(b)$ para todo $b\in\bar{G}$; en particular, para $b=\varphi(a)$ se tiene que $o(\varphi^{–1}(\varphi(a))) \big| o(\varphi(a))$. Entonces,
\begin{align*}
o(a) = o(\varphi^{–1}(\varphi(a))) \big| o(\varphi(a))
\end{align*}

Por lo tanto $o(\varphi(a)) = o(a)$.

$\blacksquare$

Ejemplo.

Por último, veamos un ejemplo para ilustrar las propiedades que acabamos de ver.

Sea $G$ un grupo, $a \in G$ de orden finito.

Dado $g\in G$ sabemos que
\begin{align*}
\gamma_g : G \to G \quad \text{con} \quad \gamma_g(x) = gxg^{-1} \; \forall x\in G
\end{align*}

es un isomorfismo.

Así, $\gamma_g(a)$ es de orden finito y $o(\gamma_g(a)) = o(a)$. Entonces, $gag^{-1}$ es de orden finito y $o(gag^{-1}) = o(a)$.

Así, elementos conjugados tienen el mismo orden.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sean $G$ y $\bar{G}$ grupos y $X\subseteq G$ tal que $G = \left< X\right>.$ Sea $\varphi: X \to \bar{G} $ una función. ¿Qué se requiere para poder extender $\varphi$ a un homomorfismo $\psi: G \to \bar{G}$? En ese caso ¿de cuántas formas se pueden extender?
  2. Describe, si es que existen, todos los homomorfismos:
    • de $\z$ en $\z$
    • de $\z_{12}$ en $\z_5$
    • de $\z$ en $\z_8$
    • de $\z_{12}$ en $\z_{14}$
  3. Determina si los siguientes grupos son isomorfos
    • $Q$ y $D_{2(4)}$
    • $(SO(2,\r), \cdot\,)$ y $(S^1, \cdot\,)$
    • $(\z[x], +)$ y $(\mathbb{Q}^+, \cdot\,)$

Más adelante…

Los resutados mostrados en esta entrada no son más que consecuencias lógicas a lo que establecimos en la entrada anterior. Es importante recalcarlos, pero es claro que si un homomorfismo se comporta bien con el producto, se va a comportar bien con la potencia y por ende, con el orden de un elemento.

En la siguiente entrada, definiremos nuevos conceptos relacionados con los homomorfismos, como el núcleo de un homomorfismo y la proyección canónica.

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Álgebra Moderna I: Homomorfismo, Monomorfismo, Epimorfismo, Isomorfismo y Automorfismo

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Lo sé, el título parece un trabalenguas. Pero ten paciencia, en realidad no es tan complicado.

A lo largo de este curso hemos estado trabajando con grupos, ahora vamos a pensar en funciones que respetan de alguna manera la estructura de los grupos.

Tomemos por ejemplo el grupo de Klein, $V = \{(0,0), (1,0), (0,1),(1,1)\}$, es un grupo que tiene un neutro $(0,0)$ y los otros tres elementos comparten que: tienen orden 2, si se suman consigo mismos obtenemos el neutro y si sumamos dos, obtenemos el tercero:

\begin{align*}
(1,0) + (1,0) &= (0,0)\\
(0,1) + (0,1) &= (0,0)\\
(1,1) + (1,1) &= (0,0).
\end{align*}

\begin{align*}
(1,0) + (0,1) &= (1,1)\\
(0,1) + (1,1) &= (1,0)\\
(1,1) + (1,0) &= (0,1).
\end{align*}

Por otro lado, podemos tomar el conjunto $P = \{(1), (1\, 2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3)\}$. $P$ es un grupo que tiene un neutro $(1)$ y los otros tres elementos comparten que: tienen orden 2, si se componen consigo mismos obtenemos el neutro y si componemos dos, obtenemos el tercero:

\begin{align*}
(1\, 2)(3\,4)(1\,2)(3\,4) &= (1)\\
(1\,3)(2\,4)(1\,3)(2\,4) &= (1)\\
(1\,4)(2\,3)(1\,4)(2\,3) &= (1).
\end{align*}

\begin{align*}
(1\, 2)(3\,4)(1\,3)(2\,4) &= (1\,4)(2\,3)\\
(1\,3)(2\,4)(1\,4)(2\,3) &= (1\, 2)(3\,4)\\
(1\,4)(2\,3)(1\, 2)(3\,4) &= (1\,3)(2\,4).
\end{align*}

¿Suena familiar? Bueno, esto es porque a pesar de que son grupos distintos, con elementos y operaciones muy diferentes, estructuralmente son iguales.

Para formalizar esta idea, nos gustaría observar que existe una correspondencia entre los dos grupos. Esta correspondencia es biyectiva y además tiene que respetar la estructura de las operaciones. Entonces sería algo así:

\begin{align*}
(0,0) &\longrightarrow (1)\\
(1,0) &\longrightarrow (1\, 2)(3\,4)\\
(0,1) &\longrightarrow (1\,3)(2\,4)\\
(1,1) &\longrightarrow (1\,4)(2\,3).
\end{align*}

En este caso decimos que $V$ y $P$ son isomorfos. Lo definiremos formalmente más adelante, por ahora es importante que observes que esta correspondencia mantiene la estructura de las operaciones de los grupos. Así, este es el objetivo de la entrada, definir y trabajar con funciones (no necesariamente biyectivas) que mantengan las operaciones de dos grupos. Estas funciones son llamadas homomorfismos.

¿Qué son todos estos homomorfismos?

Primero, comencemos definiendo lo más general. Una función que mantenga las operaciones entre grupos.

Definición. Sean $(G,*), (\bar{G}, \bar{*})$ grupos. Decimos que la función $\varphi:G \mapsto \bar{G}$ (ó $\varphi: (G,*)\mapsto (\bar{G},\bar{*})$) es un homomorfismo de grupos si
$$\varphi(a*b) = \varphi(a) \bar{*} \varphi(b) \quad \forall a,b\in G.$$

Se puede decir que $\varphi$ «abre» a la operación.

Definiciones varias.

Ahora, le agregaremos condiciones a $\varphi$. Dependiendo de qué condición extra cumpla, el homorfismo tomará otro nombre.

  • Si el homomorfismo $\varphi$ es inyectivo se llama monomorfismo.
  • Si el homomorfismo $\varphi$ es suprayectivo se llama epimorfismo.
  • Si el homomorfismo $\varphi$ es biyectivo se llama isomorfismo.
  • Un isomorfismo de un grupo en sí mismo se llama automorfismo.

Notación. Si $\varphi$ es un isomorfismo decimos que $G$ es isomorfo a $\bar{G}$ y lo denotamos como $G \cong \bar{G}$.

Puede parecer mucho vocabulario nuevo, así que guarda esta entrada para recordar qué es cada uno.

Ejemplos.

Ejemplo 1.Tomemos $\varphi: (\z , +) \mapsto (\z_n,+)$ con $\varphi(a) = \bar{a}$ para toda $a\in \z$. Es decir, $\varphi$ manda a cada entero a su clase módulo $n$.

Veamos qué sucede con la suma :
$\varphi(a+b) = \overline{a+b} = \bar{a} + \bar{b} = \varphi(a) + \varphi(b)$ para toda $a,b \in \z$.

Además, dado $\bar{a} \in \z_n, \bar{a} = \varphi(a)$. Entonces $\varphi$ es suprayectiva.
Por lo tanto $\varphi$ es un epimorfismo.

Ejemplo 2. Sea $n \in \n^+$.
Tomamos $\varphi: (S_n, \circ) \mapsto (S_{n+1}, \circ)$ donde para cada $\alpha \in S_n$ se define $\varphi(\alpha) \in S_{n+1}$ tal que
\begin{align*}
\varphi(\alpha)(i) =
\begin{cases}
\alpha(i) & \text{si } i \in \{1,…,n\} \\
n+1 & \text{si } i = n+1
\end{cases}
\end{align*}

Es decir, se mantienen las permutaciones de $S_n$ pero se consideran como elementos de $S_{n+1}$ pensando que dejan fijo a $ n+1$.

Ahora veamos qué sucede con el producto, sean $\alpha, \beta \in S_n$:
\begin{align*}
\varphi(\alpha)\varphi(\beta) (i) &= \varphi(\alpha)(\varphi(\beta)(i)) \\
& = \begin{cases} \alpha(\beta(i)) & \text{si } i \in \{1, … , n\} \\
n+1 & \text{si } i = n+1
\end{cases} \\
&= \varphi(\alpha\beta)(i)
\end{align*}

Además, si $\varphi(\alpha) = (1)$ entonces $\alpha(i) = i$ para todo $i \in \{1, …, n\}$. Así $\alpha = (1).$ Por lo que $\varphi$ es inyectiva.
En conclusión, $\varphi$ es un monomorfismo.

Ejemplo 3. Sea $\varphi: (\r, +) \mapsto (\r^+, \cdot)$ con $\varphi(x) = e^x$ para todo $x\in\r$.
Entonces, para la suma de dos elementos en el dominio $x,y \in \r$ tendríamos,
$$\varphi(x+y) = e^{x+y} = e^x e^y = \varphi(x) \varphi(y).$$
Sabemos que $\psi: \r^+ \mapsto \r$ con $\psi(y) = \ln(y)$ para toda $y \in \r^+$ es la inversa de $\varphi$, así $\varphi$ es biyectiva.
Por lo tanto $\varphi$ es un isomorfismo.

Ejemplo 4. Veamos un ejemplo más abstracto. Sea $G$ un grupo y $g\in G$. Y, dadas $x,y \in G$, definimos
$\gamma_g(xy) = g(xy) g^{-1} = (gxg^{-1}) (gyg^{-1}) = \gamma_g (x) \gamma_g(y).$
Además, para toda $x \in G$,
\begin{align*}
\gamma_g \circ \gamma_{g^{-1}} (x) = \gamma_g (g^{-1}x g ) = g(g^{-1} x g) g^{-1} = x \\
\gamma_{g^{-1}} \circ \gamma_{g} (x) = \gamma_{g^{-1}} (g x g^{-1} ) = g^{-1}(g x g^{-1}) g = x .
\end{align*}
Donde, $g^{-1}$ existe porque $G$ es un grupo. Así, lo anterior nos indica que $\gamma_g$ es un homomorfismo invertible, que además tiene como dominio y codominio a $G$.

Por lo tanto $\gamma_g$ es un automorfismo.

Propiedades de los homomorfismos

Proposición. El inverso de un isomorfismo es un isomorfismo.

Demostración.

Sean $(G, *), (\bar{G}, \bar{*})$ grupos, $\varphi:G\mapsto \bar{G}$ es un isomorfismo.
Tomemos $c,d \in\bar{G}$.

Como $\varphi$ es suprayectiva, existen $a,b \in G$ tales que $\varphi(a) = c$ y $\varphi(b) = d$.

\begin{align*}
\varphi^{-1} (c \bar{*}d) &= \varphi^{-1} \left( \varphi(a) \bar{*} \varphi(b) \right) \\
&= \varphi^{-1}\left( \varphi(a * b)\right) & \varphi \text{ es un homomorfismo}\\
& = \varphi^{-1} \circ \varphi (a*b)\\
& = a * b & \text{Composición de inversas}\\
& = \varphi^{-1}(c) * \varphi^{-1}(d) & \text{Pues }\varphi(a) = c,\, \varphi(b) = d
\end{align*}

Así, $\varphi^{-1}$ es un homomorfismo y como es biyectivo por ser invertible, entonces $\varphi^{-1}$ es un isomorfismo.

$\blacksquare$

Proposición. La composición de homomorfismos es un homomorfismo.

Demostración.

Sean $(G,*), (\bar{G}, \bar{*}), (\tilde{G}, \tilde{*})$ grupos. También, sean $\varphi: G \mapsto \bar{G}$ y $\psi: \bar{G} \mapsto \tilde{G}$ homomorfismos.

Dados $a,b \in G$,

\begin{align*}
\psi \circ \varphi(a*b) &= \psi (\varphi (a*b)) \\
&= \psi(\varphi(a)\,\bar{*}\, \varphi(b)) &\varphi\text{ es homomorfismo}\\
&= \psi(\varphi(a)) \,\tilde{*}\, \psi(\varphi(b)) & \psi\text{ es homomorfismo} \\
&= \psi\circ\varphi(a)\, \tilde{*} \,\psi\circ\varphi(b)
\end{align*}

Por lo tanto $\psi\circ\varphi$ es un homomorfismo.

$\blacksquare$

Observaciones.

  • Para todo $G$ grupo, $G\cong G$. (Es decir, $G$ es isomorfo a sí mismo).
  • Si $G, \bar{G}$ son grupos y $G \cong \bar{G}$, entonces $\bar{G}\cong G$.
  • Si $G, \bar{G}, \tilde{G}$ son grupos, $G \cong \bar{G}$ y $\bar{G} \cong \tilde{G}$, entonces $G\cong \tilde{G}.$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $D_{2n} = \left<a,b\right>$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un $n$-ágono, con $a$ la rotación de $\displaystyle\frac{2\pi}{n}$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$. Sea $\varphi: D_{2n} \to D_{2n}$ tal que $\varphi(a^ib^j) = b^j$. ¿Es $\varphi$ un homomorfismo?
  2. Sean $X$ y $Y$ dos conjuntos con la misma cardinalidad. ¿Qué relación hay entre $S_X$ y $S_Y$?
  3. Sea $V = \{e, (1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(1\,3)\} \leq S_4$. Encuentra $H\leq S_4$, $H\neq V$ pero isomorfo a $V$. ¿Es $H$ normal en $S_4$?

Más adelante…

Los homomorfismos son una parte importante de las matemáticas, porque respetar las operaciones es una característica sencilla a simple vista, pero lo suficientemente compleja para que las funciones que la cumplan sean muy interesantes. Los homomorfismos nos permiten cambiar de espacios de trabajo sin mucho problema.

Por otro lado, tal vez ya sabes que las matemáticas de este curso (y de la mayoría de los cursos en este blog) están fundamentadas en la Teoría de Conjuntos. Esta teoría nos permite construir a los objetos matemáticos a partir de conjuntos. Como curiosidad, tal vez te interese saber que existe otra teoría llamada Teoría de Categorías, que generaliza lo anterior, y en la que la generalización de un homomorfismo es llamado morfismo.

Aunque estén definidos de manera diferente, los homomorfismos de esta entrada y los morfismos de la Teoría de Categorías son, en intuición, lo mismo. Esto refuerza la idea de que los homomorfismos son en realidad más importantes de lo que parecen.

Pero bueno, regresemos a nuestro curso: en la siguiente entrada continuaremos viendo el comportamiento de los homomorfismos.

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