Introducción
En una entrada anterior ya construimos el anillo de polinomios con coeficientes reales. Para hacer esto, tomamos las sucesiones que consisten casi de puros ceros, después les definimos las operaciones de suma y producto. Ahora practicaremos estos nuevos conceptos, resolviendo algunos problemas de operaciones con polinomios.
Problema de suma de polinomios
Comenzamos con un ejemplo de suma de polinomios del libro de Álgebra Superior de Bravo, Rincón y Rincón.
Ejercicio 399. Haz la suma de los siguientes polinomios:
\begin{align*}
p(x)&=(-85,0,-37,-35, 97, 50, \overline{0})\\
q(x)&=(56,49,0,57,\overline{0}).
\end{align*}
En el video se hace la suma de dos formas distintas. Primero, se hace la suma directamente de la definición, es decir, sumando los polinomios entrada a entrada como sucesiones. Después, se hace la suma en la notación de $x$ y potencias, que tal vez conozcas mejor.
Es importante entender que la notación de sucesiones sirve para establecer los fundamentos de los polinomios, pero no es práctica para hacer operaciones con polinomios concretas. Dependiendo del tipo de problema que se quiere resolver, a veces hay que usar una notación u otra.
Problemas de producto de polinomios
A continuación se resuelven dos ejercicios de producto de polinomios.
Ejercicio. Multiplicar los polinomios $(2,0,3,\overline{0})$ y $(0,1,\overline{0})$.
En el vídeo se hace la multiplicación usando directamente la definición, paso a paso. Sin embargo, los pasos para realizar la multiplicación se pueden realizar en una tabla, como la que usamos en entradas anteriores. Después del vídeo ponemos la tabla correspondiente a la multiplicación.
Para hacer la multiplicación con una tabla, ponemos a las entradas del primer polinomio en la primer fila de una tabla, y a las del segundo polinomio en la primer columna de la tabla. Luego, hacemos las multiplicaciones «en cada casilla» como sigue:
| $2$ | $0$ | $3$ | |
| $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $2$ | $0$ | $3$ |
De aquí, se puede leer el producto «por diagonales». La primer diagonal es $0$, la segunda $2+0=2$, la tercera $0+0=0$ y la cuarta $3$. Concluimos que el polinomio es $$(0,2,0,3,\overline{0}).$$
Veamos un ejemplo más, usando la notación de $x$ y sus potencias.
Ejercicio. Encuentra el producto de polinomios $(1+3x)(1-2x+3x^2)$.
Problema de división de polinomios
Finalmente, hacemos un ejemplo de división de polinomios. La técnica que se hace en el vídeo es la de «dividir con casita», que es una forma visual de representar el algoritmo de la división para polinomios. Hablaremos un poco más adelante de este algoritmo, y de por qué siempre nos da un residuo cero o de grado menor.
Cuando se hace la «división con casita», hay que recordar dejar los espacios correspondientes a los términos que tengan coeficiente $0$.
Ejercicio. Divide el polinomio $x^5+x^3+3x$ entre el polinomio $x^2-x+1$.
Más adelante…
Aunque esta entrada la dedicamos para que pudieras practicar tus habilidades operando polinomios, te recomendamos seguir practicando, ya que estas operaciones serán la base de la teoría. A partir de aquí veremos los teoremas importantes sobre los polinomios.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Realiza la suma $(-10,0,3,-4,1,\overline{0})+(14,0,0,0,-5,0,3,\overline{0})$.
- Realiza el producto $(-1,1,\overline{0})(1,1,1,1,\overline{0})$.
- Realiza el producto $(x^3+4x^2-3)(2x^2+x-3)$.
- Realiza la división $(x^5+3x^4+x^3+5x^2-5x+1)/(x^2+3x-1)$.
- Realiza la división $(x^4+2x^3+2x^2+11x)/(x^2+3)$.
Entradas relacionadas
- Ir a Álgebra Superior II.
- Entrada anterior del curso: El anillo de polinomios con coeficientes reales.
- Siguiente entrada del curso: Inmersión de R en R[x], grado y evaluación de polinomios.
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»