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Seminario de Resolución de Problemas: Vectores en geometría

Introducción

Anteriormente, comenzamos esta serie de entradas de geometría platicando de algunas técnicas euclideanas o sintéticas que se pueden usar para resolver problemas en el plano. Después, tomamos herramientas de la geometría analítica, las cuales nos permiten poner problemas en términos de coordenadas y ecuaciones. Lo que haremos ahora es ver varios ejemplos del uso de vectores en geometría.

A diferencia de la geometría analítica, cuando hablamos de soluciones por vectores estamos hablando de aquellas que aprovechan la estructura de espacio vectorial en \mathbb{R}^2. En otras palabras, usamos argumentos en los cuales pensamos a los puntos del plano como vectores, los cuales tienen una dirección y una magnitud. Los vectores tienen operaciones de suma y de producto por un escalar. Además, tienen producto punto, norma y transformaciones dadas por matrices. Apenas tocaremos la superficie del tipo de teoría que se puede usar. Un buen curso de álgebra lineal te puede dar más herramientas para resolver problemas geométricos.

Interpretar puntos como vectores

Pongamos un origen O en el plano. A cada punto P le corresponden ciertas coordenadas dadas por parejas de reales (x,y), que identificaremos con P. Al origen le corresponden las coordenadas (0,0). Si tenemos otro punto Q=(w,z), entonces su suma es el vector P+Q=(x+w,y+z). Si tomamos un real r, el vector rP es el vector de coordenadas (rx,ry).

Suma de vectores
Suma de vectores

La suma P+Q se puede encontrar mediante la ley del paralelogramo: los puntos O,P,P+Q,Q hacen un paralelogramo en ese orden cíclico. La resta Q-P está definida por Q+(-1)P, y la llamamos el vector PQ. Geométricamente coincide con el vector que va «de P a Q«. Observa que el orden es importante y que OP=P.

Resta de vectores
Resta de vectores

Proposición (de la razón). Si tenemos dos puntos P y Q distintos y m,n son reales, entonces podemos encontrar al único punto R en la recta por P y Q tal que

    \[\frac{PR}{RQ}=\frac{m}{n}\]

así:

    \[R=\frac{n}{m+n}P + \frac{m}{m+n} Q.\]

Punto en una recta con cierta razón
Punto en una recta con cierta razón

Veamos dos problemas en los que se usan estas ideas de vectores en geometría, en particular, la proposición de la razón.

Problema. En el triángulo ABC se toman puntos D,E,F sobre los segmentos BC,CA,AB tales que \frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}=\frac{1}{4}. Muestra que ABC y DEF tienen el mismo gravicentro.

Sugerencia pre-solución. Encuentra una fórmula en términos vectoriales para el gravicentro de un triángulo ABC.

Solución. Tomemos un triángulo PQR y pensemos a sus vértices como vectores. Afirmamos que su gravicentro X es el punto correspondiente a \frac{P+Q+R}{3} Demostraremos esto.

El gravicentro está a un tercio del punto medio hacia el vértice correspondiente
Razón del gravicentro en la mediana

Primero haremos un argumento de geometría sintética. El gravicentro es por definición el punto de intersección de las medianas de un triángulo. Si L es el punto medio de QR y M es el punto medio de RP, entonces X es el punto de intersección de PL y QM. Tenemos que

    \[\frac{RL}{LQ}=1=\frac{RM}{MP},\]

así que por el teorema de Tales se tiene que la recta por L y M es paralela al lado PQ, y \frac{LM}{PQ}=\frac{1}{2}. Esto muestra que los triángulos XLM y XPQ son semejantes en razón 1 a 2. Por lo tanto, \frac{LX}{XP}=\frac{1}{2}.

Ahora hagamos el argumento vectorial, pensando a los puntos como vectores. El punto L está a la mitad de QR, así que por la proposición de la razón,

    \[L=\frac{Q+R}{2}.\]

El punto X cumple \frac{LX}{XP}=\frac{1}{2}, así que de nuevo por la proposición de la razón.

    \begin{align*}X&=\frac{2L+P}{2+1}\\&=\frac{Q+R+P}{3}\\&=\frac{P+Q+R}{3}.\end{align*}

Esto es el resultado auxiliar que queríamos mostrar. Regresemos al problema.

De acuerdo al resultado auxiliar, el gravicentro de ABC es

    \[G:=\frac{A+B+C}{3}.\]

Usando una vez más la proposición de la razón, los puntos D, E y F los podemos calcular como sigue:

    \begin{align*}D&=\frac{4B+C}{4+1}=\frac{4B+C}{5}\\E&=\frac{4C+A}{4+1}=\frac{4C+A}{5}\\F&=\frac{4A+B}{4+1}=\frac{4A+B}{5}.\end{align*}

De esta forma, el gravicentro G' de DEF lo podemos encontrar como sigue:

    \begin{align*}G'&=\frac{D+E+F}{3}\\&=\frac{\frac{4B+C}{5}+\frac{4C+A}{5}+\frac{4A+B}{5}}{3}\\&=\frac{A+B+C}{3}\\&=G.\end{align*}

Esto termina la solución del problema.

\square

Problema. En el paralelogramo ABCD el punto F es el punto medio de CD. Muestra que el segmento AF corta a la diagonal BD en un punto E tal que \frac{DE}{DB}=\frac{1}{3}.

Sugerencia pre-solución. Hay varias formas de hacer las cuentas en este problema, pero el uso de una notación adecuada te hará simplificar muchas operaciones.

Solución. Pensemos a los puntos de la figura como vectores. Coloquemos al punto A en el origen. El punto C está dado por B+D, de modo que

    \[F:=\frac{C+D}{2}=\frac{B+2D}{2}.\]

Vectores en geometría: problema de paralelogramo
Figura auxiliar para problema de paralelogramo

Para encontrar al punto E, notemos que está en las rectas AF y BD. De esta forma, deben existir reales r y s tales que

    \[E=rF\]

y

    \[E=sB+(1-s)D.\]

Expresando F en términos de B y D en la primer ecuación, tenemos que

    \[E=\frac{rB+2rD}{2}=\frac{rB}{2}+rD.\]

De ambas expresiones para E, concluimos que

    \begin{align*}s=\frac{r}{2}\\1-s=r.\end{align*}

Este sistema de ecuaciones tiene solución r=\frac{2}{3}, s=\frac{1}{3}, y por lo tanto E=\frac{B+2D}{3}. De aquí se obtiene \frac{DE}{EB}=\frac{1}{2}, o bien \frac{DE}{DB}=\frac{DE}{DE+EB}=\frac{1}{3}, como queríamos mostrar.

\square

Producto punto, norma y ángulos

Para dos vectores P=(x,y) y Q=(w,z) definimos su producto punto como la cantidad P\cdot Q = xw+yz. El productos puntos es:

  • Conmutativo: P\cdot Q = Q\cdot P
  • Abre sumas: P\cdot (Q+R)=P\cdot Q + P\cdot R
  • Saca escalares: (rP)\cdot Q = r(P\cdot Q).

La norma de P se define como \norm{P}=\sqrt{P\cdot P}, y coincide con la distancia de P al origen. La norma de PQ es entonces \norm{PQ}=\sqrt{(Q-P)\cdot (Q-P)} y coincide con la distancia de P a Q.

El ángulo entre dos vectores PQ y RS se define como el ángulo cuyo coseno es

    \[\frac{PQ \cdot RS}{\norm{PQ}\norm{RS}},\]

y coincide precisamente con el ángulo (orientado) geométrico entre las rectas PQ y RS. De esta forma, las rectas PQ y RS son perpendiculares si y sólo si el producto punto PQ\cdot RS es cero.

Problema. Sea ABC un triángulo con sus vértices pensados como vectores. Sean H y O su ortocentro y circuncentro respectivamente. Supongamos que el circuncentro O está en el origen. Muestra que H=A+B+C.

Sugerencia pre-solución. Trabaja hacia atrás. Define al punto A+B+C y ve que las rectas que unen a los vértices con este punto en efecto son alturas. Para calcular los ángulos, usa el producto punto y sus propiedades.

Solución. Como el circuncentro equidista de A. B y C, tenemos que

    \[\norm{A}=\norm{B}=\norm{C}.\]

Tomemos el punto H'=A+B+C.

Vectores en geometría para encontrar el ortocentro
Ortocentro con vectores

Calculemos el ángulo entre las rectas BC y AH', haciendo su producto punto:

(1)   \begin{align*}BC\cdot AH' &= (C-B)\cdot (H'-A)\\&=(C-B)\cdot(C+B)\\&=C\cdot C + C\cdot B - B\cdot C - B\cdot B\\&=\norm{C}^2 - \norm{B}^2\\&=0.\end{align**}

Observa que estamos usando la linealidad y conmutatividad del producto punto. Al final usamos que A y C tienen la misma norma.

Esto muestra que la recta AH' es la altura al lado BC. De manera análoga, BH' y CH' son las alturas a los lados CA y AB respectivamente. Por lo tanto, H' es el ortocentro, así que H=A+B+C.

\square

Cualquier triángulo ABC en el plano se puede trasladar para que su circuncentro O quede en el origen. El ortocentro estará en H=A+B+C y el gravicentro, como vimos antes, en G=\frac{A+B+C}{3}, que es un múltiplo escalar de H. Por lo tanto, O, H y G están alineados. Acabamos de demostrar con vectores en geometría un clásico resultado euclideano.

Teorema (recta de Euler). En cualquier triángulo ABC, el circuncentro O, el gravicentro G y el ortocentro H están alineados. Además,

    \[\frac{OG}{GH}=\frac{1}{2}.\]

Teorema de la recta de Euler
Teorema de la recta de Euler

Si el circuncentro no está en el origen, ahora podemos usar el teorema de la recta de Euler y la proposición de la razón para concluir que G=\frac{2O+H}{3}. Usando que G=\frac{A+B+C}{3}, obtenemos el siguiente corolario

Corolario. Sea ABC un triángulo en el plano, H su ortocentro y O su circuncentro. Entonces al pensar a los puntos como vectores tenemos que

    \[A+B+C=2O+H.\]

Más problemas

Puedes encontrar más problemas del uso de vectores en geometría en la sección 8.3 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Álgebra Lineal I: Ángulos, norma, distancia y desigualdad de Minkowski

Introducción

Estamos listos para hablar de varias nociones geométricas como ángulo, norma, distancia y de la desigualdad de Minkowski. Antes de hacer eso, hagamos un breve repaso de qué hemos hecho en estas últimas entradas.

Primero, hablamos de formas bilineales y de su formas cuadráticas asociadas. Segundo, vimos cómo a través de la identidad de polarización podemos asignar una única forma bilineal simétrica a una forma cuadrática. Finalmente, en la última entrada nos enfocamos en las formas bilineales simétricas que cumplían cierta condición de positividad.

En esa misma entrada definimos producto interior, que simplemente es una forma bilineal simétrica y positiva definida. También definimos la norma de un vector en un espacio con producto interior \langle \cdot, \cdot \rangle, que era

    \[\Vert x \Vert = \sqrt{\langle x, x \rangle}.\]

Finalmente, en la entrada anterior probamos la siguiente versión general de la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

Teorema (desigualdad de Cauchy-Schwarz). Sea b:V\times V\to \mathbb{R} una forma bilineal simétrica y q su forma cuadrática asociada.

  • Si b es positiva, entonces para todo x y y en V tenemos que

        \[b(x,y)^2\leq q(x)q(y).\]

    Si x y y son linealmente dependientes, se da la igualdad.
  • Además, si b es positiva definida y x y y son linealmente independientes, entonces la desigualdad es estricta.

Ángulos

Fijemos V un espacio vectorial sobre los reales con producto interior. En la entrada anterior vimos que la desigualdad de Cauchy-Schwarz implica que para cualesquiera vectores x y y en V tenemos que

    \[|\langle x, y \rangle| \leq \Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert.\]

Si x y y son vectores distintos de cero, podemos reescribir la desigualdad anterior como

    \[-1\leq \frac{\langle x, y \rangle}{\Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert}\leq 1.\]

Esto justifica la siguiente definición.

Definición. Sean x y y vectores no nulos. Definimos al ángulo entre x y y como el único ángulo \theta en el intervalo [0,\pi] tal que

    \[\cos \theta = \frac{\langle x, y \rangle}{\Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert}.\]

Observa que \theta=\frac{\pi}{2} si y sólo si \frac{\langle x, y \rangle}{\Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert}=0. Esto ocurre si y sólo si \langle x, y \rangle. Este caso es particularmente importante, y por ello recibe una definición especial.

Definición. Decimos que x y y son ortogonales si \langle x, y \rangle=0.

Para empezar, veamos un ejemplo sencillo de ortogonalidad.

Ejemplo. Tomemos \mathbb{R}^5 con el producto interior canónico, es decir, el producto punto. Los vectores u=(1,0,-4,0,5) y v=(0,3,0,-2,0) tienen producto punto

    \[\langle u, v \rangle}=1\cdot 0 + 0\cdot 3 + (-4)\cdot 0 + 0 \cdot (-2) + 5 \cdot 0=0,\]

así que son ortogonales.

\square

Ahora, veamos un ejemplo un poco más elaborado, del cálculo de un ángulo en un espacio vectorial de funciones.

Ejemplo. Anteriormente vimos que \mathcal{C}[0,1] tiene un producto interior

    \[\langle f, g \rangle=\int_0^1 f(x)g(x)\, dx.\]

Calculemos el ángulo entre f(x)=x^2 y g(x)=x^3 con este producto interior. Primero, calculamos \Vert f \Vert y \Vert g \Vert como sigue

    \begin{align*}\Vert f \Vert^2 &= \int_0^1 x^4 \,dx = \frac{1}{5}\\\Vert g \Vert^2 &= \int_0^1 x^6 \,dx = \frac{1}{7},\end{align*}

de donde \Vert f \Vert = \frac{1}{\sqrt{5}} y \Vert g \Vert = \frac{1}{\sqrt{7}}.

Luego, calculamos

    \begin{align*}\langle f,g \rangle &=\int_0^1 f(x)g(x) \, dx\\&=\int_0^1 x^5 \, dx\\&=\frac{1}{6}.\end{align*}

Como esperaríamos por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos la siguiente desigualdad:

    \begin{align*}\langle f,g \rangle &= \frac{1}{6}\leq \frac{1}{\sqrt{35}}=\Vert f \Vert \Vert g \Vert.\end{align*}

El ángulo entre f y g es entonces

    \begin{align*}\theta &= \arccos\left(\frac{\langle f, g \rangle}{\Vert f \Vert \cdot \Vert g \Vert}\right)\\&=\arccos\left(\frac{1/6}{1/\sqrt{35}}\right)\\&=\arccos\left(\frac{\sqrt{35}}{6}\right).\end{align*}

\square

Desigualdad de Minkowski

Hay una forma un poco distinta de escribir la desigualdad de Cauchy-Schwarz. La enunciamos a continuación.

Teorema (desigualdad de Minkowski). Sean u y v vectores de un espacio vectorial V con una forma cuadrática positiva q. Entonces

    \[\sqrt{q(x)}+\sqrt{q(y)}\geq \sqrt{q(x+y)}.\]

Demostración. Sea b la forma polar de q. Recordemos que

    \[q(x+y)=q(x)+2b(x,y)+q(y).\]

Como q es forma cuadrática positiva, la desigualdad que queremos mostrar es equivalente a la siguiente desigualdad obtenida de elevar ambos lados al cuadrado:

    \begin{align*}q(x)+2\sqrt{q(x)q(y)}+q(y)&\geq q(x+y)\\&=q(x)+2b(x,y)+q(y).\end{align*}

Cancelando q(x)+q(y) de ambos lados y dividiendo entre 2, obtenemos la desigualdad equivalente

    \begin{align*}\sqrt{q(x)q(y)}\geq b(x,y).\end{align*}

Si b(x,y)<0, esta desigualdad es claramente cierta. Si b(x,y)\geq 0, esta desigualdad es equivalente a la obtenida de elevarla al cuadrado, es decir,

    \[q(x)q(y)\geq b(x,y)^2,\]

que es precisamente la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

\square

De producto interior a norma

Estamos listos para mostrar algunas propiedades importantes de la noción de norma que definimos para espacios vectoriales reales con producto interior.

Proposición. Sea V un espacio vectorial sobre \mathbb{R} con producto interior con norma asociada \Vert \cdot \Vert. Se cumple que

  1. \Vert v \Vert \geq 0 para todo v en V, con igualdad si y sólo si v=0.
  2. \Vert cv \Vert =|c|\Vert v \Vert para todo v en V y real c.
  3. (Desigualdad del triángulo) \Vert v \Vert + \Vert w \Vert \geq \Vert v+w \Vert para todo par de vectores v y w en V.

Demostración. Sea b el producto interior de V. El punto 1 se sigue de que b es positiva definida. El punto 2 se sigue de que b es bilineal, pues b(cv,cv)=c^2b(v,v), de modo que

    \[\Vert cv \Vert = \sqrt{c^2} \Vert v \Vert =|c| \Vert v \Vert.\]

El punto 3 es la desigualdad de Minkowski.

\square

En general, si tenemos un espacio vectorial V sobre los reales y una función \Vert \cdot \Vert:V \to \mathbb{R} que satisface los puntos 1 a 3 de la proposición anterior, decimos que \Vert \cdot \Vert es una norma para V. Hay algunas normas que no se pueden obtener a través de un producto interior.

Ejemplo. Consideremos V=M_n(\mathbb{R}). El producto de Frobenius de las matrices A y B está dado por

    \[\langle A,B\rangle = \text{tr}(^tA B).\]

Se puede mostrar que el producto de Frobenius es un producto interior. La norma de Frobenius es la norma inducida por este producto, es decir,

    \[\Vert A \Vert = \sqrt{\text{tr}(^tAA)}.\]

Por la desigualdad de Minkowski, tenemos que para cualesquiera dos matrices A y B tenemos que

    \[\sqrt{\text{tr}(^t(A+B)(A+B))}\leq \sqrt{\text{tr}(^tAA)} + \sqrt{\text{tr}(^tBB)}.\]

En particular, si tomamos a la identidad I, tenemos que su norma de Frobenius es \sqrt{n}. Esto muestra la siguiente desigualdad, válida para cualquier matriz A en M_n(\mathbb{R}):

    \[\sqrt{\text{tr}((^tA+I)(A+I))}\leq \sqrt{\text{tr}(^tAA)}+ \sqrt{n}.\]

\square

De norma a distancia

Podemos pensar a la norma de un vector v como qué tan lejos está del vector 0. También nos gustaría poder hablar de qué tan lejos están cualesquiera dos vectores de un espacio vectorial con producto interior. Por esta razón, introducimos la siguiente definición.

Definición. Sea V un espacio vectorial sobre \mathbb{R} con producto interior de norma \Vert \cdot \Vert. La distancia asociada a este producto interior es la función d:V\times V\to \mathbb{R} tal que d(x,y)=\Vert x-y\Vert. A d(x,y) le llamamos la distancia entre x y y.

El siguiente resultado se sigue de las propiedades de la norma de un producto interior. Su demostración queda como tarea moral.

Proposición. Si V es un espacio vectorial sobre \mathbb{R} con producto interior de distancia d, entonces:

  1. d(x,y)\geq 0 para todos x y y en V y es igual a 0 si y sólo si x=y.
  2. d(x,y)=d(y,x) para todos x y y en V.
  3. d(x,z)+d(z,y)\geq d(x,y) para todos x, y y z en V.

En general, si tenemos cualquier conjunto X (no hace falta que sea un espacio vectorial), a una función d que satisface los puntos 1 a 3 de la proposición anterior se le conoce como una métrica para X. Cualquier norma en un espacio vectorial V (no sólo las de producto interior) induce una métrica en V. Sin embargo, hay métricas de espacios vectoriales que no vienen de una norma.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Toma \mathbb{R}^4 con el producto interior canónico (producto punto). Determina la norma de (3,4,0,1). Encuentra el ángulo entre los vectores (1,0,2,5) y (4,5,0,-3).
  • Muestra que el producto de Frobenius es un producto interior en M_n(\mathbb{R}).
  • Demuestra la proposición de propiedades de la distancia

Considera V=\mathbb{R}_3[x] el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales y grado a lo más 3. Definimos

    \[\langle p,q \rangle = \sum_{j=1}^5 p(j)q(j).\]

  • Muestra que \langle \cdot, \cdot \rangle así definido es un producto interior.
  • Encuentra el ángulo entre los polinomios 1+x^2 y 2x-3x^3.
  • Para cada entero positivo n, determina la norma del polinomio 1+nx^3.
  • Determina la distancia entre los polinomios 1 y 1+x+x^2+x^3.