Introducción

En esta nueva entrada veremos el concepto de relación, para lo cual es necesario tener fresco el concepto de producto cartesiano. Así mismo, definiremos nuevos conjuntos a partir de una relación, como lo son el dominio, la imagen de una relación, la imagen de un conjunto bajo una relación y el concepto de relación inversa. Concluiremos esta entrada definiendo a la imagen inversa de un conjunto bajo una relación.

Relación

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Una relación $R$ de $A$ en $B$ es un subconjunto de $A\times B$. A $A$ le llamamos el dominio de la relación y a $B$ el codominio.

Si $A=B$ diremos que $R$ es una relación en $A$.

Ejemplo 1.

Sea $A=\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}$ y $B=\{\mathrm{\varnothing },\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}$ y definimos $R$ como:

$R=\{(\mathrm{\varnothing },\mathrm{\varnothing }),(\mathrm{\varnothing },\{\{\mathrm{\varnothing }\}\})\}$.

Dado que $A\times B=\{(\mathrm{\varnothing },\mathrm{\varnothing }),(\mathrm{\varnothing },\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}),(\{\mathrm{\varnothing }\},\mathrm{\varnothing }),(\{\mathrm{\varnothing }\},\{\{\mathrm{\varnothing }\}\})\}$ y $R\subseteq A\times B$ decimos que $R$ es una relación de $A$ en $B$.

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Ejemplo 2.

Sea $A=\{1,2\}$ y $B=\{1,2,3\}$. Definimos $S=\{(1,1),(1,2),(1,3)\}$. Tenemos que $S$ es una relación de $A$ en $B$. En efecto, esto sucede pues $S=\{(1,1),(1,2),(1,3)\}\subseteq A\times B$, ya que $A\times B=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)\}$.

Podemos representar a $S$ mediante el siguiente diagrama. Del lado izquierdo hemos puesto al dominio $A$. Del lado derecho al codominio $B$. Para cada pareja $(a,b)$ de la relación, hemos puesto una flecha de $a$ a $b$.

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Definición. Si $(x,y)\in R$ con $R$ relación, decimos que $x$ está relacionado con $y$ mediante $R$ (o simplemente que $x$ está relacionado con $y$ si por el contexto es claro quién es $y$) y lo denotaremos como $xRy$.

Si retomamos el Ejemplo 1 podemos decir que $\mathrm{\varnothing }R\mathrm{\varnothing }$ y $\mathrm{\varnothing }R\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}$.

A partir del Ejemplo 2 podemos decir que $1S1$, $1S2$ y $1S3$.

Relaciones relevantes

A continuación hablaremos de algunos ejemplos de relaciones que nos serán de utilidad más adelante.

1. Relación vacía.
   Si $R=\mathrm{\varnothing }$, entonces $R$ será llamada la relación vacía. Esto tiene sentido pues $\mathrm{\varnothing }\subseteq A\times B$ para cualesquiera $A$ y $B$ conjuntos.
2. Relación identidad.
   Sea $A$ un conjunto cualquiera. Definimos la relación identidad en $A$ como:
   $$I{d}_A=\{(a,a):a\in A\}.$$
   Notamos que $I{d}_A\subseteq A\times A$ pues para cualquier $(x,y)\in I{d}_A$ se tiene que $x=y$ con $x,y\in A$, lo que significa que $(x,y)\in A\times A$.
3. Relación de pertenencia.
   Sea $A$ un conjunto. Definimos a la relación de pertenencia en $A$ como el siguiente conjunto:
   $${\in }_A=\{(a,b):a\in A,b\in A,a\in b\}.$$
4. Relación de contención.
   Sea $A$ un conjunto. Definimos a la relación de contención en $A$ como el siguiente conjunto:
   $${\subseteq }_A=\{(a,b):a\in A,b\in A,a\subseteq b\}.$$

Dominio de una relación

Ya que hemos definido el concepto de relación de $A$ en $B$, a continuación definiremos al dominio de una relación.

Definición. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Definimos el dominio de la relación como:

$\text{dom}(R)=\{x\in A:\mathrm{\exists }y\in B((x,y)\in R)\}$.

Ejemplo.

Sean $A=B=\{1,2\}$. Definimos $R=\{(1,2),(1,1),(2,2)\}\subseteq A\times B$. Tenemos que $\text{dom}(R)=\{1,2\}$ pues para $1\in A$ existe, digamos, $1\in B$ tal que $(1,1)\in R$ y para $2\in A$ existe $2\in B$ tal que $(2,2)\in R$.

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Imagen de una relación

A continuación vamos a definir lo análogo al dominio activo, pero para el codominio. Le daremos un nombre al subconjunto de elementos del codominio que sí participan en la relación.

Definición. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Definimos la imagen de $R$ como el conjunto

$\text{im}(R)=\{y\in B:\mathrm{\exists }x\in A((x,y)\in R)\}$.

Ejemplo.

Sean $A=B=\{1,2\}$. Definimos $R=\{(1,2),(2,2)\}\subseteq A\times B$.

Tenemos que $\text{im}(R)=\{2\}$ pues para $2\in B$ existe, digamos $2\in A$ tal que $(2,2)\in R$. Sin embargo, $1\notin \text{im}(R)$ pues $R$ no tiene ninguna pareja de la forma $(x,1)$ con $x\in A$.

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Imagen de un conjunto bajo una relación

A veces queremos preguntarnos por los elementos del codominio que participan en la relación, pero sólamente con ciertos elementos del dominio. La siguiente definición establece esto.

Definición. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Sea $C\subseteq A$. Definimos a la imagen de $C$ bajo $R$ como el el conjunto

$R[C]=\{y\in B:\mathrm{\exists }x\in C(xRy)\}$.

Ejemplo.

Sean $A=\{1,2\}$ y $B=\{1,2,3,4\}$ conjuntos. Sea $R=\{(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(2,4)\}$, la cual es una relación de $A$ en $B$. Tomemos $C=\{1\}\subseteq A$. Tenemos que

$R[C]=\{y\in \{1,2,3,4\}:\mathrm{\exists }x\in \{1\}(xRy)\}=\{1,3\}$.

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Relación inversa

Para cerrar esta entrada, introduciremos un concepto más: el de relación inversa.

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Definimos la relación inversa de $R$ como la relación $R^{-1}$ de $B$ en $A$ definida como sigue:

$R^{-1}=\{(b,a):(a,b)\in R\}$.

Notemos que la relación inversa intercambia el orden de las entradas de las parejas ordenadas que son elementos de la relación $R$.

Ejemplo.

Sea $A=\{\mathrm{\varnothing }\}$ y $B=\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}$ y definimos $R$ como:

$R=\{(\mathrm{\varnothing },\mathrm{\varnothing }),(\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\})\}.$

Tenemos que

$R^{-1}=\{(\mathrm{\varnothing },\mathrm{\varnothing }),(\{\mathrm{\varnothing }\},\mathrm{\varnothing })\}.$

En efecto, como $(\mathrm{\varnothing },\mathrm{\varnothing })\in R$ tendremos que $(\mathrm{\varnothing },\mathrm{\varnothing })\in R^{-1}$ y como $(\{\mathrm{\varnothing }\},\mathrm{\varnothing })\in R$ tendremos que $(\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\})\in R^{-1}$.

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Proposición. Sea $R$ una relación. Se cumple que $(R^{-1}{)}^{-1}=R$.

Demostración.

Tenemos que

$$\begin{array}{rl}(R^{-1}{)}^{-1}& =\{(x,y):(y,x)\in R^{-1}\}\\ & =\{(x,y):(x,y)\in R\}\\ & =R.\end{array}$$

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Imagen inversa de un conjunto bajo una relación

Definición. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Sea $C\subseteq B$. Definimos a la imagen inversa de $C$ bajo $R$ como el el conjunto

$R^{-1}[C]=\{x\in A:\mathrm{\exists }y\in C(xRy)\}$.

Ejemplo.

Sean $A=\{1,2\}$ y $B=\{1,2,3,4\}$ conjuntos. Si $R=\{(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(2,4)\}$ es una relación de $A$ en $B$, entonces $R^{-1}=\{(1,1),(1,2),(2,2),(3,1),(4,2)\}$. Tomemos $C=\{1\}\subseteq B$. Tenemos que

$R^{-1}[C]=\{x\in \{1,2\}:\mathrm{\exists }y\in \{1\}(xRy)\}=\{1,2\}$.

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Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitira reforzar los conceptos de relación, dominio activo e imagen.

1. Si $R$ es la relación vacía, encuentra el dominio y la imagen de $R$.
2. Para $R$ es la relación identidad de $A$, encuentra el dominio y la imagen de $R$.
3. Sea $R=\{(1,2),(3,4)\}$ una relación de $A=\{1,2,3\}$ en $B=\{1,2,3,4\}$. Encuentra el dominio y la imagen de $R$. Además, escribe al conjunto $R^{-1}$.
4. Si $R$ es la relación identidad de $A$, describe quién es $R^{-1}$.

Más adelante…

En la siguiente entrada continuaremos con el tema de relaciones. Esta vez trataremos el tema de composición de relaciones. Definiremos a la composición de relaciones como una relación que se construye a partir de al menos dos relaciones cuyos dominios y codominios tienen ciertas propiedades en común.

Entradas relacionadas

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  Álgebra Superior I: Relaciones en conjuntos: dominio, codominio y composición
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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»