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Cálculo Diferencial e Integral I: Raíz cuadrada y desigualdades

Por Karen González Cárdenas

Introducción

Ahora veremos el concepto de raíz cuadrada, su definición formal, resultados útiles y ejercicios de desigualdades donde se vea involucrada.

Definición de raíz cuadrada de un número real

Definición (Raíz cuadrada): Sea $x, y \in R$ tal que $x, y \geq 0$ . Definiremos a la raíz cuadrada de $x$ como sigue:
$\sqrt{x} = y \Leftrightarrow x = y^{2} .$

Para dejar más clara la definición observemos el siguientes ejemplo:

Si $x = 9$ tenemos que para $\sqrt{9}$ :
$\sqrt{(3)^{2}} = 3$

Observaciones

Para toda $x \in R$ con $x > 0$ . Observamos que la raíz cuadra de $x$ cumple con las siguientes desigualdades, es decir, $- \sqrt{x} \leq 0, \sqrt{x} \geq 0.$
Para $y \in R$ tenemos que $\sqrt{y^{2}} = | y | .$
$| y^{2} | = y^{2};$
$| y^{2} | = | y |^{2} .$

Demostración de 1: Consideramos $x = y^{2}$ donde $y^{2} \geq 0$ . Así al sustituir y aplicar la raíz cuadrada se sigue que:
$\sqrt{y^{2}} = {\begin{cases} y & si y \geq 0 \\ - y & si y < 0 . \end{cases}$

Demostración de 2: Vemos que esto se sigue de la observación anterior ya que
$| y | = {\begin{cases} y & si y \geq 0 \\ - y & si y < 0 . \end{cases}$
$∴ \sqrt{y^{2}} = | y | .$

Algunos resultados importantes

Teorema: Para $x, y \in R$ donde $x \geq 0$ y $y \geq 0$ .
$x \leq y \Leftrightarrow x^{2} \leq y^{2}$

Demostración:
$\Rightarrow$ ): Como tenemos por hipótesis $x \leq y$ vemos que al multiplicar por $x$ obtendríamos
$x \leq y \Rightarrow x^{2} \leq x y$
Y si multiplicamos por $y$ :
$x \leq y \Rightarrow x y \leq y^{2}$
Así por transitividad:
$\Rightarrow x^{2} \leq y^{2}$
$\Leftarrow$ ): Ahora tenemos como hipótesis que $x^{2} \leq y^{2}$ . Y esto es equivalente a decir
$0 \leq y^{2} - x^{2} \Leftrightarrow (y + x) (y - x) \geq 0$

Por lo que debemos considerar los casos en que:
a) $y + x \geq 0$ y $y - x \geq 0$
De la segunda desigualdad concluimos $y \geq x$ .

O el caso b) $y + x \leq 0$ y $y - x \leq 0$
Vemos que este caso no tiene sentido.
$∴ y \geq x$

Corolario: Para $x \geq 0$ , $y \geq 0$ .
$x \leq y \Leftrightarrow \sqrt{x} \leq \sqrt{y}$
Demostración:
Tomemos $a = \sqrt{x}$ y $b = \sqrt{y}$ .
$\Rightarrow$ ):
Entonces $a^{2} = (\sqrt{x})^{2}$ y $b^{2} = (\sqrt{y})^{2} \Rightarrow a^{2} = x$ y $b^{2} = y$
Y como por hipótesis $x \leq y$
$\begin{aligned} \Rightarrow a^{2} \leq b^{2} \\ \Rightarrow a \leq b \\ \Rightarrow \sqrt{x} \leq \sqrt{y} \end{aligned}$
$\Leftarrow$ ):
Ahora como por hipótesis $\sqrt{x} \leq \sqrt{y}$
$\begin{aligned} \Rightarrow a \leq b \\ \Rightarrow a^{2} \leq b^{2} \\ \Rightarrow x \leq y \end{aligned}$

Corolario: Para cualesquiera $x, y \in R$ donde $y \geq 0$ .
$| x |^{2} \leq y \Leftrightarrow | x | \leq \sqrt{y}$
Demostración:
Aplicando el corolario anterior tenemos las siguientes equivalencias
$\begin{aligned} | x |^{2} \leq y & \Leftrightarrow \sqrt{| x |^{2}} \leq \sqrt{y} \\ \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{y} \\ \Leftrightarrow | x | \leq \sqrt{y} \end{aligned}$

A continuación resolveremos ejercicios de desigualdades donde se encontraran involucrados la raíz cuadrada y el valor absoluto.

Ejercicio 1

Encuentra los valores $x$ que cumplan la desigualdad:

$2 x^{2} < | x - 1 |$

Por el valor absoluto presente sabemos que debemos tomar casos, por lo que tenemos:

CASO 1: $x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$

Sustituyendo nos queda:
$\begin{aligned} 2 x^{2} < | x - 1 | & \Leftrightarrow 2 x^{2} < x - 1 \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} - x + 1 < 0 \end{aligned}$
Aplicando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:
$\begin{aligned} x & = \frac{1 \pm \sqrt{(- 1)^{2} - 4 (2) (1)}}{2 (2)} \\ = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{4} \\ = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{4} . \end{aligned}$
Pero como $\sqrt{- 7}$ no tiene solución en $R$ , tenemos que la solución de este caso es:
$[1, \infty) \cap \emptyset = \emptyset .$

CASO 2: $x - 1 \leq 0 \Leftrightarrow x \leq 1$
Por lo que tendríamos:
$\begin{aligned} 2 x^{2} < | x - 1 | & \Leftrightarrow 2 x^{2} < - (x - 1) \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} + x - 1 < 0 \end{aligned}$

Y por la fórmula general se sigue:
$\begin{aligned} x & = \frac{- 1 \pm \sqrt{(1)^{2} - 4 (2) (- 1)}}{2 (2)} \\ = \frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{4} \\ = \frac{- 1 \pm 3}{4} . \end{aligned}$
$∴ x_{1} = \frac{1}{2}, x_{2} = - 1$
Sustituyendo lo anterior tenemos que:
$2 x^{2} + x - 1 < 0 \Rightarrow (x - \frac{1}{2}) (x + 1) < 0$

Dado lo anterior notamos que para que el producto satisfaga la desigualdad hay que considerar el siguiente par de casos:
CASO 2.1: $x - \frac{1}{2} > 0$ y $x + 1 < 0$
De donde $x > \frac{1}{2}$ y $x < - 1$ . Al considerar la intersección vemos que ocurre:
$(\frac{1}{2}, \infty) \cap (- \infty, - 1) = \emptyset$

CASO 2.2: $x - \frac{1}{2} < 0$ y $x + 1 > 0$
Ahora tendríamos que $x < \frac{1}{2}$ y $x > - 1$ . Y la solución sería:
$(- 1, \frac{1}{2})$

Concluimos así que la solución del CASO 2 esta dada por:
$[\emptyset \cup (- 1, \frac{1}{2})] \cap (- \infty, 1) = (- 1, \frac{1}{2})$

Finalmente la solución total es:
$(- 1, \frac{1}{2}) \cup \emptyset = (- 1, \frac{1}{2})$

Ejercicio 2

$x^{2} - 4 x - 1 > 0$

Buscando la solución de la ecuación $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ :
$\begin{aligned} x & = \frac{- (- 4) \pm \sqrt{(- 4)^{2} - 4 (1) (- 1)}}{2 (1)} \\ = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} \\ = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} \\ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2} \\ = 2 \pm 2 \sqrt{5} \end{aligned}$
$∴ x_{1} = 2 + \sqrt{5}, x_{2} = 2 - \sqrt{5}$

Entonces la desigualdad que queremos resolver sería:
$(x - (2 + \sqrt{5})) (x - (2 - \sqrt{5})) > 0$

Para que el producto cumpla con la condición de ser mayor que cero debemos considerar los casos:
CASO 1: $x - 2 - \sqrt{5} > 0$ y $x - 2 + \sqrt{5} > 0$
$\Rightarrow x > 2 + \sqrt{5}$ y $x > 2 - \sqrt{5}$
$\Rightarrow x > 2 + \sqrt{5}$

CASO 2: $x - 2 - \sqrt{5} < 0$ y $x - 2 + \sqrt{5} < 0$
$\Rightarrow x < 2 + \sqrt{5}$ y $x < 2 - \sqrt{5}$
$\Rightarrow x < 2 - \sqrt{5}$

De los casos anteriores obtenemos que nuestro conjunto solución es:
$(- \infty, 2 - \sqrt{5}) \cup (2 + \sqrt{5}, \infty)$

Ahora que ya hemos revisado estos ejercicios, te invitamos a poner en práctica los procedimientos vistos con los siguientes ejercicios.

Más adelante

En la siguiente entrada veremos las cotas de un conjunto en $R$ . Definiremos formalmente los conceptos de cota superior e inferior y veremos algunos ejemplos donde los aplicaremos. Estos serán de suma importancia para comenzar a hablar de ínfimos y supremos posteriormente.

Tarea moral

Prueba que:

$| y^{2} | = y^{2}$
$| y^{2} | = | y |^{2}$

Obtén todos los valores de $x$ que satisfagan las siguientes desigualdades:

$- 5 x^{2} + 2 x + | x | - 1 \leq 3$
$x^{2} - 4 x - 1 < 0$
$- 7 x^{2} + 2 x + | x | < - 4$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Valor absoluto y desigualdades

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

En esta entrada nos dedicaremos a resolver desigualdades que involucran el valor absoluto. Para ello retomaremos la definición del valor absoluto de un número real y utilizaremos algunos resultados que probaremos a continuación.

Un par de resultados importantes

Lema: Para todo $a \in R$ . $a \leq | a |$ y $- a \leq | a |$ .

Demostración: Procederemos a revisar los siguientes dos casos.
CASO 1: Si $a \geq 0$ .
Por un lado tenemos por la definición de valor absoluto $| a | = a$ .
$∴ | a | \geq a .$
Y por otro que $a \geq 0 \geq - a$ , así por transitividad se concluye que:
$| a | \geq - a .$

CASO 2: Si $a \leq 0$ .
Así se sigue por definición que $| a | = - a$ entonces tenemos que $| a | \geq - a$ .
Y análogamente al caso anterior: $- a \geq 0 \geq a \Rightarrow | a | \geq a$ .

Teorema: Consideremos $a, x \in R$ con $a \geq 0$ .

$\begin{aligned} | x | \leq a & \Leftrightarrow - a \leq x y x \leq a \\ \Leftrightarrow x \in [- a, a] . \end{aligned}$
$\begin{aligned} | x | \geq a & \Leftrightarrow - a \geq x o x \geq a \\ \Leftrightarrow x \in (- \infty, - a] \cup [a, \infty) . \end{aligned}$

NOTA.- « $\Leftrightarrow$ » se lee como «si y sólo si». Y recordemos que $\Rightarrow$ significa «entonces».
Demostración:
1. $\Rightarrow$ : Por hipótesis tenemos que $| x | \leq a$ , aplicando el lema anterior:
$x \leq | x | y - x \leq | x |$
Por transitividad: $x \leq a y - x \leq a$
$∴ x \leq a y x \leq - a$

Lo anterior nos indica lo siguiente: $x \in (- \infty, a]$ y $x \in [- a, \infty)$ . Así al tomar la intersección de estos intervalos, obtenemos:
$(- \infty, a] \cap [- a, \infty) = [- a, a]$

$\Leftarrow$ : Ahora consideremos $x \in [- a, a]$ , así tenemos que:
$x \in [- a, a] = (- \infty, a] \cap [- a, \infty)$
Aplicando la respectiva definición de intervalo e intersección:
$x \leq a y x \leq - a$
Y por el lema:
$x \leq | x | y - x \leq | x |$

$∴ | x | \leq a$

2. El punto 2 se quedará de ejercicio para la Tarea moral.

Ahora continuaremos con ejercicios de desigualdades, en ellos deberemos encontrar todos los valores que las satisfagan.

Ejercicio 1

$| x - 3 | = 8$
Recordemos que debido a la definición de valor absoluto, siempre deberemos considerar casos.
Para resolver este ejercicio deberemos considerar los siguientes:
CASO 1: $x - 3 \geq 0$
Por lo que $| x - 3 | = x - 3$ y sustituyendo tenemos:
$\begin{aligned} x - 3 = 8 & \Leftrightarrow x = 8 + 3 \\ \Leftrightarrow x = 11. \end{aligned}$
CASO 2: $x - 3 < 0$
Así $| x - 3 | = - x + 3$ , por lo que se sigue:
$\begin{aligned} - x + 3 = 8 & \Leftrightarrow - x = 8 - 3 \\ \Leftrightarrow - x = 5 \\ \Leftrightarrow x = - 5. \end{aligned}$

De los casos anteriores obtenemos que los valores de $x$ que satisfacen la igualdad son
$x = 11$ o $x = - 5$

Ejercicio 2

$| 3 x - 3 | \leq 2 x + 1$
Para este ejercicio aplicando el teorema tendríamos:
$- 2 x - 1 \leq 3 x - 3$ y $3 x - 3 \leq 2 x + 1$ .
Comenzaremos desarrollando la primera desigualdad:
$\begin{aligned} - 2 x - 1 \leq 3 x - 3 & \Leftrightarrow - 2 x - 3 x \leq - 3 + 1 \\ \Leftrightarrow - 5 x \leq - 2 \\ \Leftrightarrow 5 x \geq 2 \\ \Leftrightarrow x \geq \frac{2}{5} . \end{aligned}$
$∴ x \in [\frac{2}{5}, \infty)$
Y de la segunda obtenemos:
$\begin{aligned} 3 x - 3 \leq 2 x + 1 & \Leftrightarrow 3 x - 2 x \leq 1 + 3 \\ \Leftrightarrow x \leq 4. \end{aligned}$
$∴ x \in (- \infty, 4]$

Por lo que al tomar la intersección de ambos intervalos nos queda que los valores que satisfacen la desigualdad son:
$x \in (- \infty, 4] \cap [\frac{2}{5}, \infty) = [\frac{2}{5}, 4]$

$∴ x \in [\frac{2}{5}, 4]$

Ejercicio 3

$| 2 x + 1 | - | 3 x + 2 | < 1$
Debido a que tenemos dos valores absolutos, para resolver este ejercicio necesitaremos considerar los siguientes casos:

$2 x + 1 \geq 0$ y $3 x + 2 \geq 0$
$2 x + 1 \leq 0$ y $3 x + 2 \leq 0$
$2 x + 1 \geq 0$ y $3 x + 2 \leq 0$
$2 x + 1 \leq 0$ y $3 x + 2 \geq 0$

Nuestra solución final será la unión de todas las soluciones obtenidas en los casos anteriores.

CASO 1: $2 x + 1 \geq 0$ y $3 x + 2 \geq 0$

Desarrollando las desigualdades:
$\begin{aligned} 2 x + 1 \geq 0 & y 3 x + 2 \geq 0 \\ \Leftrightarrow 2 x \geq - 1 & y 3 x \geq - 2 \\ \Leftrightarrow x \geq - \frac{1}{2} & y x \geq - \frac{2}{3} \end{aligned}$

$\Leftrightarrow x \geq - \frac{1}{2}$

Aplicando el valor absoluto obtenemos:
$\begin{aligned} | 2 x + 1 | - | 3 x + 2 | < 1 & \Leftrightarrow 2 x + 1 - (3 x + 2) < 1 \\ \Leftrightarrow 2 x + 1 - 3 x - 2 - 1 < 0 \\ \Leftrightarrow - x - 2 < 0 \\ \Leftrightarrow x + 2 > 0 \\ \Leftrightarrow x > - 2 \end{aligned}$
Por lo que al tomar la siguiente intersección tenemos que la solución de este caso es:
$[- \frac{1}{2}, \infty) \cap (- 2, \infty) = [- \frac{1}{2}, \infty)$

CASO 2: $2 x + 1 \leq 0$ y $3 x + 2 \leq 0$
Tendríamos que:
$\begin{aligned} 2 x + 1 \leq 0 & y 3 x + 2 \leq 0 \\ \Leftrightarrow 2 x \leq - 1 & y 3 x \leq - 2 \\ \Leftrightarrow x \leq - \frac{1}{2} & y x \leq - \frac{2}{3} \end{aligned}$

$\Leftrightarrow x \leq - \frac{2}{3}$
Al sustituir tenemos:
$\begin{aligned} | 2 x + 1 | - | 3 x + 2 | < 1 & \Rightarrow - (2 x + 1) - (- (3 x + 2)) < 1 \\ \Rightarrow - 2 x - 1 + 3 x + 2 - 1 < 0 \\ \Rightarrow x < 0 \end{aligned}$

Así tenemos la solución:
$(- \infty, 0) \cap (- \infty, - \frac{2}{3}] = (- \infty, - \frac{2}{3}]$

CASO 3: $2 x + 1 \geq 0$ y $3 x + 2 \leq 0$
Ahora se sigue que:
$\begin{aligned} 2 x + 1 \geq 0 & y 3 x + 2 \leq 0 \\ \Leftrightarrow 2 x \geq - 1 & y 3 x \leq - 2 \\ \Leftrightarrow x \geq - \frac{1}{2} & y x \leq - \frac{2}{3} \end{aligned}$
Así observamos:
$(- \infty, - \frac{2}{3}] \cap [- \frac{1}{2}, \infty) = \emptyset$

CASO 4: $2 x + 1 \leq 0$ y $3 x + 2 \geq 0$
Desarrollando:
$\begin{aligned} 2 x + 1 \leq 0 & y 3 x + 2 \geq 0 \\ \Leftrightarrow 2 x \leq - 1 & y 3 x \geq - 2 \\ \Leftrightarrow x \leq - \frac{1}{2} & y x \geq - \frac{2}{3} \end{aligned}$

$\Leftrightarrow - \frac{2}{3} \leq x \leq - \frac{1}{2}$
Aplicando la definición del valor absoluto:
$\begin{aligned} | 2 x + 1 | - | 3 x + 2 | < 1 & \Rightarrow - (2 x + 1) - (3 x + 2) < 1 \\ \Leftrightarrow - 2 x - 1 - 3 x - 2 - 1 < 0 \\ \Leftrightarrow - 5 x - 4 < 0 \\ \Leftrightarrow 5 x + 4 > 0 \\ \Leftrightarrow 5 x > - 4 \\ \Leftrightarrow x > - \frac{4}{5} \end{aligned}$
Concluimos que la solución a este caso es:
$[- \frac{2}{3}, - \frac{1}{2}] \cap (- \frac{4}{5}, \infty) = [- \frac{2}{3}, - \frac{1}{2}]$

Finalizamos considerando como solución total a la unión de los intervalos obtenidos en los cuatro casos:
$(- \infty, - \frac{2}{3}] \cup [- \frac{2}{3}, - \frac{1}{2}] \cup [- \frac{1}{2}, \infty) = (- \infty, \infty)$

Observemos que para la resolución de este tipo de desigualdades, siempre deberemos considerar los casos correspondientes a los signos del argumento de la función valor absoluto, es decir, cuando el argumento es positivo y cuando es negativo. En la sección de Tarea moral encontrarás ejercicios que te ayudarán a reforzar lo visto en esta entrada.

Más adelante

Ahora que ya hemos visto el procedimiento para encontrar los valores que satisfacen una desigualdad con valor absoluto, en la siguiente entrada lo utilizaremos para continuar resolviendo ejercicios que lo involucren adicionando el concepto de raíz cuadrada de un número real. Veremos que el valor absoluto está relacionado con la definición formal de raíz cuadrada y algunos resultados útiles.

Tarea moral

Demuestra el punto 2 del teorema, recordemos que $a \geq 0$ :
$\begin{aligned} | x | \geq a & \Leftrightarrow - a \geq x o x \geq a \\ \Leftrightarrow x \in (- \infty, - a] \cup [a, \infty) \end{aligned}$

Encuentra los valores que satisfacen las siguientes desigualdades:

$| x - 3 | < 8$
$| 3 x - 3 | > 2 x + 1$
$| x - 1 | | x + 2 | = 3$
$| x - 1 | + | x - 2 | > 1$

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Cálculo Diferencial e Integral I: Valor absoluto. Desigualdad del triángulo

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

En esta entrada veremos una función muy particular: el valor absoluto. Ésta nos permitirá «medir la distancia» entre un par de números reales. Finalizaremos con la demostración de la Desigualdad del triángulo y algunas de sus consecuencias. Esta desigualdad es usada en las demostraciones de Límite y Continuidad que veremos más adelante.

Definición formal

Definición (Valor absoluto): Para todo $x \in R$ definimos la función valor absoluto como sigue:
$| x | = {\begin{cases} x & si x \geq 0 \\ - x & si x < 0 \end{cases}$

Recordando las propiedades de orden, la definición quedaría de la siguiente manera:
$| x | = {\begin{cases} x & si x = 0 o x \in P \\ - x & si - x \in P \end{cases}$
Esta última nos será de utilidad para la demostración de la desigualdad del triángulo que veremos más adelante.

Observación: De la definición anterior notamos que para toda $x \in R$ , su valor absoluto $| x |$ es mayor o igual a cero.

Midiendo distancias

Si observamos la definición del valor absoluto, notamos que asocia a cualquier número real con su distancia respecto al cero. Veámoslo en los ejemplos siguientes:

$| - 3 | = 3$

$| 14 | = 14$

En consecuencia, si consideramos la distancia entre cualquier par de números reales tendríamos la siguiente definición.

Definición: Para cualesquiera $a, b \in R$ tenemos que están a distancia $| a - b |$ .
Observemos que la distancia siempre será positiva o cero.

Desigualdad del triángulo

Teorema (Desigualdad del triángulo): Para todo $a, b \in R$ se cumple la siguiente desigualdad:
$| a + b | \leq | a | + | b | .$

Demostración: Dada la definición del valor absoluto, debemos considerar casos sobre los signos de $a$ y $b$ .
CASO 1: $a \geq 0$ y $b \geq 0$ .
Recordemos que $P$ es cerrado bajo la suma, por lo que tenemos lo siguiente:
$\begin{aligned} | a + b | & = a + b \\ = | a | + | b | . \end{aligned}$
La última igualdad se sigue de $a = | a |$ y $b = | b |$ .

Para los siguientes casos haremos uso de los siguientes resultados que serán demostrados posteriormente:

Resultados: Para cualesquiera $a, b, c \in R$ se cumplen:

$- a - b = - (a + b)$ .
Si $b < 0 \Rightarrow b < - b$ .
Si $a < b \Rightarrow a + c < b + c$ .

CASO 2: $a < 0$ y $b < 0$ .
Notemos que $- a \in P$ y $- b \in P$ por lo que $- a - b \in P$ . Así se sigue que:
$\begin{aligned} (por ser a + b negativo) & | a + b | & = - (a + b) \\ (por el resultado 1) & = - a - b \\ = (- a) + (- b) \\ = | a | + | b |, \end{aligned}$
porque $| a | = - a$ y $| b | = - b$ .

CASO 3: $a \geq 0$ y $b < 0$ .
Para esta demostración debemos considerar dos subcasos.
SUBCASO 1: $a + b \geq 0$ .
Dado lo anterior aplicando la definición de valor absoluto ocurre que:
$\begin{aligned} | a + b | & = a + b \\ (por los resultados 2 y3) & < a - b . \end{aligned}$
Como tenemos que $a - b = | a | + | b |$ , concluimos:
$| a + b | < | a | + | b | .$
SUBCASO 2: $a + b < 0$ .
Procederemos análogamente al subcaso anterior:
$\begin{aligned} | a + b | & = - (a + b) \\ = - a - b \\ (por resultados 2 y3) & < a - b . \end{aligned}$
Ya que $a - b = | a | + | b |$ , tenemos:
$| a + b | < | a | + | b | .$

CASO 4: $a < 0$ y $b \geq 0$ .
Al igual que en el caso 3, para verificar la desigualdad se deberán considerar dos subcasos. La demostración de este caso se deja como parte de la Tarea moral.

Para poder dar por terminada la prueba, debemos demostrar los siguientes resultados auxiliares que utilizamos:

Resultados: Para cualesquiera $a, b, c \in R$ se cumplen:

$- a - b = - (a + b)$ .
Si $b < 0 \Rightarrow b < - b$ .
Si $a < b \Rightarrow a + c < b + c$ .

Demostración:
1. Debemos verificar que $- a - b = (- a) + (- b)$ es inverso aditivo de $a + b$ .
$\begin{aligned} (a + b) + ((- a) + (- b)) & = (b + a) + ((- a) + (- b)) \\ = ((b + a) + (- a)) + (- b) \\ = (b + (a + (- a)) + (- b) \\ = (b + 0) + (- b) \\ = b + (- b) \\ = 0. \end{aligned}$
Concluimos que $(- a) + (- b) = - (a + b)$ .

2. Ya que $b < 0$ sabemos que $- b \in P$ . Queremos probar que $- b - b > 0$ .
Observemos que: $- b - b = (- b) + (- b) \in P$ .
Por lo que concluimos que $b < - b$ .

3. Bastaría ver que $(b + c) - (a + c) \in P$ . Debido a que $b - a \in P$ . Observamos lo siguiente.
$\begin{aligned} b - a & = (b - a) + 0 \\ = (b - a) + (c - c) \\ = (b + c) - (a + c) . \end{aligned}$
$∴ (b + c) - (a + c) \in P .$
$∴ b + c > a + c .$

Observemos que las demostraciones de estos resultados no utilizan la desigualdad del triángulo, más bien hacen uso de las propiedades vistas en las entradas anteriores.

Consecuencias de la desigualdad del triángulo

Proposición (Consecuencias de la desigualdad del triángulo): Sean $a, b \in R$ . Se cumplen las siguientes desigualdades:

$| a - b | \leq | a | + | b |$
$| a | - | b | \leq | a - b |$
$| b | - | a | \leq | a - b |$

En esta ocasión sólo probaremos el punto 2.

Demostración:
2. Como $| a | = | a + 0 |$ , al desarrollar esta igualdad obtenemos:
$\begin{aligned} | a | & = | a + 0 | \\ = | a + (b + (- b)) | \\ = | (a - b) + b | \\ (por la desigualdad del triángulo) & \leq | a - b | + | b | \end{aligned}$
$∴ | a | \leq | a - b | + | b |$
$∴ | a | - | b | \leq | a - b |$

Más adelante

En la próxima entrada comenzaremos a resolver desigualdades donde el valor absoluto se encuentra involucrado.

Tarea moral

Propiedades del valor absoluto.
Prueba los siguientes resultados:
- $| a | = | - a | .$
- $| a b | = | a | | b |$ .
- $| \frac{1}{a} | = \frac{1}{| a |}$ con $a \neq 0$ .
- $\frac{| a |}{| b |} = | \frac{a}{b} |$ con $b \neq 0$ .
Desigualdad del triángulo.
- Realiza la prueba del CASO 4 .
- Demuestra que para cualesquiera $a, b \in R$ :
  - $| a - b | \leq | a | + | b |$ .
  - $| b | - | a | \leq | a - b |$ .

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Cálculo Diferencial e Integral I: Raíz cuadrada y desigualdades

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