Introducción

Continuaremos revisando resultados derivados de las Propiedades básicas de los números reales vistas en la entrada anterior.

Resultados relacionados a la multiplicación

Proposición. Demostraremos lo siguiente:

1. Sean $a,b\in \mathbb{R}$. Si $ab=0\Rightarrow a=0$ ó $b=0$.
2. Sea $a\in \mathbb{R},a\ne 0$. Si $ax=a$, entonces $x=1$.
3. Sean $a,b,c\in \mathbb{R}$ con $a\ne 0$. Si $ab=ac\Rightarrow b=c$.

Demostración:

1. Procederemos a demostrar por contradicción. Así suponemos que $ab=0$, $a\ne 0$ y $b\ne 0$. Entonces por la propiedad M5 existen $a^{-1},b^{-1}\in \mathbb{R}$ tales que $a\cdot a^{-1}=1$ y $b\cdot b^{-1}=1$.
   Y como $ab=0$ se sigue:
   $$\begin{array}{}\text{(por multiplicar }{b}^{-1}\text{)}& & \Rightarrow (ab)\cdot b^{-1}=0\cdot b^{-1}\text{(por M3)}& & \Rightarrow a(b\cdot b^{-1})=0\cdot b^{-1}\text{(por M5)}& & \Rightarrow a(1)=0\cdot b^{-1}\text{(por M4)}& & \Rightarrow a=0\cdot b^{-1}\text{(por M2)}& & \Rightarrow a=b^{-1}\cdot 0\text{(por resultado }a\cdot 0=0\text{)}& & \Rightarrow a=0\Rightarrow \Leftarrow \end{array}$$
   Lo anterior es una contradicción, pues supusimos que $a\ne 0$.
   $\therefore a=0\text{o}b=0$.
   
   Observación: Utilizaremos el símbolo $\Rightarrow \Leftarrow$ para referirnos a una contradicción en las pruebas.
   
   Otra alternativa de demostración para este punto 1 es la siguiente:
   Vamos a suponer que $ab=0$ y $a\ne 0$. Por M5 sabemos que existe $a^{-1}\in \mathbb{R}$ inverso multiplicativo de $a$, así tenemos que:
   $$\begin{array}{}\text{(por multiplicar }{a}^{-1}\text{)}& & \Rightarrow a^{-1}\cdot (ab)=a^{-1}\cdot 0\text{(por M3)}& & \Rightarrow (a^{-1}\cdot a)b=a^{-1}\cdot 0\text{(por M5)}& & \Rightarrow 1\cdot b=a^{-1}\cdot 0\text{(por M4)}& & \Rightarrow b=a^{-1}\cdot 0\text{(por resultado }a\cdot 0=0\text{)}& & \Rightarrow b=0\end{array}$$
   Análogamente, si consideramos $b\ne 0$ obtendríamos que $a=0$.
   $\therefore a=0$ ó $b=0$
2. Como por hipótesis tenemos que $ax=a$.
   $$\begin{array}{}\text{(por sumar }-a\text{)}& & \Rightarrow ax+(-a)=a+(-a)\text{(por S5)}& & \Rightarrow ax+(-a)=0\text{(por }-a=(-1)(a)\text{)}& & \Rightarrow ax+(-1)(a)=0\text{(por M2)}& & \Rightarrow ax+(a)(-1)=0\text{(por D)}& & \Rightarrow a(x+(-1))=0\end{array}$$
   
   Por el punto anterior 1 tenemos que $a=0$ ó $x+(-1)=0$. Pero como por hipótesis tenemos que $a\ne 0$ entonces $x+(-1)=0$.
   
   Como ya vimos que el inverso aditivo es único $\Rightarrow x$ es el inverso aditivo de $-1$, que por el resultado $-(-a)=a$ usando $a=1$, sabemos que es 1.
   $$\therefore x=1$$
3. Como por hipótesis tenemos que $a\ne 0$ entonces existe $a^{-1}\in \mathbb{R}$ por M5.
   Así multiplicando por $a^{-1}$ en ambos lados de la igualdad $ab=ac$ tenemos:
   $$\begin{array}{rl}& \Rightarrow a^{-1}(ab)=a^{-1}(ac)\\ \text{(por M3)}& & \Rightarrow (a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c\text{(por M5)}& & \Rightarrow 1\cdot b=1\cdot c\text{(por M4)}& & \Rightarrow b=c\end{array}$$
   $$\therefore b=c$$
   

Como vimos en las pruebas anteriores, conforme vayamos probando más propiedades los resultados que obtendremos se volverán más interesantes. A continuación demostraremos algunos con los que seguramente ya estás familiarizado.

Algunos productos notables

Notación: Definimos $x-y:=x+(-y)$.

Proposición: Para $x,y\in \mathbb{R}$ se cumple lo siguiente:

1. Diferencia de cuadrados: $x^2–y^2=(x–y)(x+y)$ .
2. Si $x^2=y^2$ entonces $x=y$ o $x=-y$ .
3. Diferencia de cubos: $x^3–y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ .
4. Suma de cubos: $x^3+y^3=(x-y)(x^2-xy+y^2)$ .

Demostración:

1. Partiremos de $(x–y)(x+y)$, así obtenemos lo siguiente:
   $$\begin{array}{rl}\text{(por D)}& (x–y)(x+y)& =(x-y)x+(x-y)y\text{(por M2)}& & =x(x-y)+y(x-y)& =x(x+(-y))+y(x+(-y))\\ \text{(por D)}& & =x\cdot x+x\cdot (-y)+y\cdot x+y\cdot (-y)\text{(por }-xy=x(-y)\text{)}& & =x^2–xy+yx-y^2\text{(por M2)}& & =x^2–xy+xy-y^2\text{(por S5)}& & =x^2+0-y^2\text{(por S4)}& & =x^2-y^2\therefore (x–y)(x+y)& =x^2-y^2\end{array}$$
2. Sabemos que $x^2=y^2$. Veamos que si sumamos $-y^2$ en ambos lados obtenemos:
   $$x^2–y^2=y^2-y^2\Rightarrow x^2–y^2=0$$
   Aplicando el punto anterior se sigue que:
   $$(x–y)(x+y)=0$$
   Recordando la proposición vista al principio de la entrada decimos que: $x-y=0$, o bien, $x+y=0$.
   Por un lado tenemos que al sumar $y$ en $x-y=0$:
   $$\begin{array}{rl}(x-y)+y& =0+y\\ \text{(por S3 y S4)}& x+((-y)+y)& =y\text{(por S5)}& x& =y\end{array}$$
   $$\therefore x=y$$
   
   Y por otro tenemos que al sumar $-y$ en $x+y=0$:
   $$\begin{array}{rl}(x+y)-y& =0-y\\ \text{(por S3 y S4)}& x+(y+(-y))& =-y\text{(por S5)}& x& =-y\end{array}$$
   $$\therefore x=-y$$
   De lo anterior concluimos que $x=y$, ó $x=-y$.
   
   Los incisos 3 y 4 se dejarán como ejercicios en la Tarea moral.
   

Propiedades relacionadas a los inversos multiplicativos

Notación: Denotaremos al inverso multiplicativo de $a\in \mathbb{R}$ como $a^{-1}=\frac{1}{a}$. Consecuentemente, definimos $\frac{a}{b}:=a\cdot b^{-1}$.

Proposición: Para $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ se cumple lo siguiente:

1. Para $a,b\ne 0$, $$(ab{)}^{-1}=a^{-1}{b}^{-1}\text{.}$$
2. Para $b,c\ne 0$, $$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}\text{.}$$
3. Para $b,d\ne 0$, $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\text{.}$$
4. Para $b,d\ne 0$, $$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\text{.}$$
5. Para $b,c,d\ne 0$, $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{bc}\text{.}$$
6. Para $b,d\ne 0$, $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow ad=bc\text{.}$$

Demostración:

1. Observemos que por la propiedad de cerradura M1, $ab\in \mathbb{R}$ y $ab\ne 0$. Así por M5 se sigue que: $$\begin{array}{}\text{(1)}& (ab)(ab{)}^{-1}=1\text{.}\end{array}$$
   De este modo, lo que queremos probar es: $$(ab)(a^{-1}{b}^{-1})=1\text{.}$$
   Comenzando por el lado izquierdo de la igualdad tenemos:
   $$\begin{array}{}\text{(por M3)}& (ab)(a^{-1}{b}^{-1})& =a(b(a^{-1}{b}^{-1}))\text{(por M2)}& & =a(b(b^{-1}{a}^{-1}))\text{(por M3)}& & =a((b{b}^{-1})a^{-1})\text{(por M5)}& & =a((1)a^{-1})\text{(por M4)}& & =a{a}^{-1}\text{(por M5)}& & =1\text{.}\end{array}$$
   Concluimos que $(ab)(a^{-1}{b}^{-1})=1$. Al igualar con $(1)$ nos queda: $$(ab)(ab{)}^{-1}=(ab)(a^{-1}{b}^{-1})\text{.}$$ Y aplicando el punto 3 de la primera sección de esta entrada tenemos: $$(ab{)}^{-1}=a^{-1}{b}^{-1}\text{.}$$
2. Recordemos que por la definición $\frac{a}{b}=a{b}^{-1}$. Por lo que tendríamos:
   $$\begin{array}{rl}\frac{ac}{bc}& =(ac)(bc{)}^{-1}\\ \text{(por el punto anterior)}& & =(ac)(b^{-1}{c}^{-1})\text{(por M3)}& & =((ac)b^{-1})c^{-1}\text{(por M3)}& & =(a(c{b}^{-1}))c^{-1}\text{(por M2)}& & =(a(b^{-1}c))c^{-1}\text{(por M3)}& & =(a{b}^{-1})c)c^{-1}\text{(por M3)}& & =(a{b}^{-1})(c{c}^{-1})\text{(por M5)}& & =(a{b}^{-1})(1)\text{(por M4)}& & =a{b}^{-1}\text{.}\end{array}$$
   $$\therefore \frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}\text{.}$$
3. La propiedad 3 queda como ejercicio para nuestro lector.
4. Procedamos a demostrar la propiedad 4, comenzaremos por $$\frac{ac}{bd}=\frac{ac}{bd}\text{.}$$
   Así por definición tenemos lo siguiente:
   $$\begin{array}{rl}\frac{ac}{bd}& =(ac)(bd{)}^{-1}\\ \text{(por el primer punto)}& & =(ac)(b^{-1}{d}^{-1})\text{(por M3)}& & =((ac)b^{-1})d^{-1}\text{(por M3)}& & =(a(c{b}^{-1}))d^{-1}\text{(por M2)}& & =(a(b^{-1}c))d^{-1}\text{(por M3)}& & =((a{b}^{-1})c)d^{-1}\text{(por M3)}& & =(a{b}^{-1})(c{d}^{-1})& =\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}\text{.}\end{array}$$
   $$\therefore \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\text{.}$$
5. La propiedad 5 queda como ejercicio para nuestro lector.
6. Sean $b,d\ne 0$. Supongamos que: $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\text{.}$$
   $P.d.$ $ad=bc$.
   Ya que $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\text{,}$$ por definición tenemos $a{b}^{-1}=c{d}^{-1}$.
   Multiplicando por $b$ se sigue que:
   $$\begin{array}{rl}& \Rightarrow (a{b}^{-1})b=(c{d}^{-1})b\\ \text{(por M3)}& & \Rightarrow a(b^{-1}b)=c(d^{-1}b)\text{(por M5 y M2)}& & \Rightarrow a(1)=c(b{d}^{-1})\text{(por M4 y M3)}& & \Rightarrow a=(cb)d^{-1}\text{.}\end{array}$$
   
   Ahora multiplicaremos la igualdad anterior por $d$:
   $$\begin{array}{rl}& \Rightarrow ad=((cb)d^{-1})d\\ \text{(por M3)}& & \Rightarrow ad=(cb)(d^{-1}d)\text{(por M5)}& & \Rightarrow ad=(cb)(1)\text{(por M4)}& & \Rightarrow ad=cb\text{(por M2)}& & \Rightarrow ad=bc\text{.}\end{array}$$

Más adelante

Durante las últimas dos entradas vimos las propiedades relacionadas con la suma y la multiplicación de los números reales. Sin embargo, no son las únicas propiedades que este conjunto de números cumple. En la siguiente entrada comenzaremos a ver las propiedades de orden de los números reales y algunas de sus consecuencias.

Tarea moral

Prueba los puntos 3 y 4 de la sección «Algunos productos notables».

• Diferencia de cubos: $x^3–y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$
• Suma de cubos: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$
  Sugerencia: Utiliza el punto anterior «Diferencia de cubos» y prueba que $y^3=-(-y{)}^3$.

Prueba los puntos 3 y 5 de la sección anterior:

• Para $b,d\ne 0$, $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\text{.}$$
• Para $b,c,d\ne 0$, $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{bc}\text{.}$$

Entradas relacionadas

• Ir a: Cálculo Diferencial e Integral I
• Entrada anterior del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Propiedades algebraicas de los números reales (Parte 1)
• Entrada siguiente del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Propiedades de orden de los números reales
• Resto de cursos: Cursos

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»