Introducción
En la entrada anterior hablamos del problema de la dieta, en donde queríamos cumplir ciertas restricciones alimenticias creando un menú de bajo costo. En esta entrada veremos otro ejemplo conocido de PPL: el problema de la mochila. La idea general es que queremos transportar ciertos bienes mediante un contenedor que tiene cierta capacidad. Este contenedor puede ser algo tan sencillo como una mochila, o algo tan complicado como un tren. A continuación veremos un ejemplo intermedio.
Ejemplo del problema de la mochila
Cesar es un fabricante de botanas que vende 3 de sus productos a varios distribuidores dentro de su localidad. Cada caja de sus productos tiene un peso diferente y generan diferentes ganancias al ser vendidas. Esta información está reflejada en la siguiente tabla:
| — | Peso por caja en kilogramos | Ganancia en pesos por caja vendida |
| Producto 1 | 10 | 150 |
| Producto 2 | 12 | 200 |
| Producto 3 | 15 | 300 |
Cesar tiene una camioneta que aguanta hasta 800 kilos de carga sin contar al conductor. Cesar quiere saber cuales son los productos que debe llevar con tal de maximizar sus ganancias.
Variables de decisión
Nuestra variable de decisión es bastante intuitiva.
$x_i$ = número de cajas del producto $i$ que Cesar va a llevar en su camioneta. $i \in \{1, 2, 3\}$
Función objetivo
Como el objetivo de Cesar es maximizar las ganancias, la función objetivo va a ser:
$$Max \quad z = 150x_1 + 200x_2 + 300x_3$$
Restricciones
En este problema, la única condición que nos dan es que el peso total de las cajas a llevar no exceda la capacidad de carga de la camioneta. Es decir:
\begin{align*}
10x_1 + 12x_2 + 15x_3 \leq 800\\
x_i \geq 0, i \in \{1, 2, 3\}\\
\end{align*}
Resumen
El PPL que obtenemos es en resumen:
\begin{align*}
Max \quad z= 150x_1&+ 200x_2 + 300x_3\\
s.a.&\\
10x_1&+12x_2+15x_3 \leq 800\\
x_i& \geq 0,i \in \{1, 2, 3\}\\
\end{align*}
Formulación general del problema de la mochila
Un modelo como el anterior recibe el nombre de problema de la mochila pues originalmente fue formulado del siguiente modo: un excursionista desea determinar la cantidad de latas de ciertos comestibles que llevará en su mochila. Las latas tienen cierto peso $p_i$, cierto valor $v_i$ para el excursionista y su mochila tiene capacidad $P$. Si hay $n$ alimentos disponibles y usamos como variables de decisión a $x_1,\ldots,x_n$, donde $x_i$ es el número de latas de alimento $i$ que el excursionista llevarán, entonces el problema de la mochila es:
\begin{align*}
Max \quad z &= \sum_{n}^{i=1} v_ix_i\\
s.a.&\\
\sum_{n}^{i=1} p_ix_i &\leq P\\
x_i &\geq 0, x_i \in \mathbb Z, i=1, \ldots, n.\\
\end{align*}
Este es un problema de programación lineal, pero más específicamente se le conoce como un problema de programación lineal entera (PPLE), o bien un modelo lineal entero, pues las variables $x_i$ están sujetas a tomar sólo valores en los números enteros. Sorpresivamente, aunque los problemas de programación entera parezcan «más fáciles» dado que sus posibilidades están más restringidas, esto no es así. Han sido objeto de mucho estudio pues agregar la condición de integralidad (que las variables sean enteras) crea complicaciones adicionales y hacen que los métodos generales no funcionen tan bien. Los problemas de programación lineal entera son difíciles incluso en términos de una noción computacional muy precisa del tiempo requerido para obtener la mejor solución.
Más adelante…
Aún tenemos algunos problemas conocidos por explorar. El siguiente que veremos es el problema del transporte, en donde queremos saber cómo distribuir productos a través distintas posibilidades de transporte para economizar costos.
En algunas entradas más también hablaremos de cómo llevar cualquier PPL a una forma estándar, que nos permitirá desarrollar la teoría general necesaria para resolverlo.
Tarea
- Imagina el siguiente escenario:
Cesar ahora solo vende los productos 1 y 2. El producto 1 ahora pesa 8 kilogramos y el producto 2 ahora pesa 10 kilogramos, que el primero de ellos da una ganancia de \$120 y que el segundo da una ganancia de \$155. El vehículo que tenemos ahora es un coche que sólo puede cargar 392 kilogramos. ¿Cómo cargarías en este caso el coche para maximizar las ganancias? Plantea el PPL e intenta resolver el problema con las herramientas con las que cuentes hasta ahora. - Para entender un poco el problema binario de la mochila, considera el siguiente ejemplo. Se tienen 7 posibles artículos con pesos de 7, 10, 12, 4, 5, 9, 11 kilos y con valor de 23, 25, 28, 17, 19, 25, 26 respectivamente. Sólo podemos decidir si llevar o no llevar cada artículo, y el peso total que se cargará no puede exceder 40 kilos. ¿Cuáles artículos hay que llevar para maximizar el valor? Plantea el PPL e intenta resolverlo con las herramientas con las que cuentes hasta ahora.
- Considera el problema ejemplo original de esta entrada de blog. ¿Qué pasaría con la respuesta del problema si ocurrieran los siguientes escenarios? ¿Las ganancias aumentarán o disminuirán?
- Cesar compró una mejor camioneta, que ahora puede transportar 1.5 toneladas.
- El producto 3 se volvió más caro y ahora Cesar solo gana 250 pesos por caja vendida.
- El tipo de envoltura y material de la caja cambio, por lo que ahora los pesos de los productos son 12, 17, 25 kilos para los productos 1, 2 y 3 respectivamente.
Respuestas
1.- Podríamos calcular cual es el producto que nos da más ganancias por kilo con una simple división. El producto 1 nos da 120/8 = 15 pesos por kilo del producto y el producto 2 nos da 155/10 = 15.5 pesos por kilo. El producto 2 es el que más ganancias nos va a dar por lo que vamos a llenar el carro con la mayor cantidad de productos 1 que se pueda.
Lo máximo que podemos meter dentro del carro son 39 unidades del producto 2, teniendo una ganancia de 6045 pesos, pero nos sobrarían 2 kilos para llegar al límite de peso. Entonces vamos a tratar de considerar las opciones donde incluyamos algunas unidades del producto 1 y a ver si podemos mejoran las ganancias.
Si tomamos 38 unidades del producto 2, nos quedan 12 kilos de capacidad y solamente podemos solamente agregar una unidad del producto 1, teniendo en total una ganancia de 6010 pesos. Esta opción no mejora las ganancias.
Si tomamos 37 unidades del producto 2 nos quedan 22 kilos de capacidad y solamente podemos agregar dos unidades del producto 1, teniendo una ganancia de 5975 pesos. Esta opción tampoco mejora las ganancias.
Ahora, si tomamos 36 unidades del producto 2, nos quedan 32 kilos de capacidad y ahora podemos agregar 4 unidades del producto 1, teniendo ahora una ganancia de 6060 pesos. En este caso SI conseguimos una mejora en nuestras ganancias.
Y si somos observadores, nos daremos cuenta que si seguimos agregando unidades del producto 1, ahora las ganancias solo van a ir disminuyendo, por lo que nos quedaremos con esta última solución para nuestro problema.
2.- La variable de decisión sería como el visto en esta entrada, con la siguiente variante: $x_i$ = 1 si el articulo i se va a llevar o 0 si el articulo i no se va a llevar.
La función objetivo simplemente va a ser la que maximice el valor total de los artículos a llevar:
$$Max z = 23x_1 + 25x_2 + 28x_3 + 17x_4 + 19x_5 + 25x_6 + 26x_7$$
Y la única restricción es:
$$7x_1 + 10x_2 + 12x_3 + 4x_4 + 5x_5 + 9x_6 + 11x_7 \leq 40$$
Entonces, el problema planteado sería:
\begin{align*}
Max z = &23x_1 + 25x_2 + 28x_3 + 17x_4 + 19x_5 + 25x_6 + 26x_7\\
&s.a\\
&7x_1 + 10x_2 + 12x_3 + 4x_4 + 5x_5 + 9x_6 + 11x_7 \leq 40\\
&x_i \geq 0, i \in {1, \ldots, 7}\\
\end{align*}
Y el modo de resolverlo es muy similar al anterior, solo hay que considerar los cocientes de los artículos que dan más valor por cada kilo que pesan, tomar los mejores y si sobra capacidad de peso, probar combinaciones de tal manera que el se elimine esa capacidad restante y evaluar si el valor sube en efecto o hasta baja.
3.- $\bullet$ La solución va a ser similar a el problema 1, se va a llenar la camioneta con el producto que ofrezca la mayor ganancia/kilo (el producto 3) y si sobra capacidad de carga se va a intentar introducir algunos los productos de menor peso, hasta encontrar la solución que nos de las mayores ganancias. La diferencia solo va a ser en el número de unidades que van a entrar en la camioneta y por tanto, la solución aunque sea análoga, va a ser diferente.
$\bullet$ Como la ganancia del producto de mayor ganancia/kilo cambió, ahora hay que comparar este nuevo valor con el de los otros productos y nos daremos cuenta que ahora tendremos la misma ganancia/kilo entre este producto y el producto número 2, entonces lo que se intentará es llenar la camioneta entre estos dos productos de tal manera que no quede capacidad de carga sobrante.
$\bullet$ Hay que calcular la nueva ganancia/kilo de cada producto y resulta ahora que al cambiar los pesos de las cajas, el producto 1 es el que mayor ganancia/kilo tiene, entonces vamos a tratar de incluir la mayor cantidad de unidades de este producto que sea posible y si sobra capacidad tratar de combinar con algunas unidades de los otros productos con tal de tener la ganancia más grande.
Entradas relacionadas
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