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Investigación de Operaciones: El problema de la mochila (5)

Por Aldo Romero

Introducción

En la entrada anterior hablamos del problema de la dieta, en donde queríamos cumplir ciertas restricciones alimenticias creando un menú de bajo costo. En esta entrada veremos otro ejemplo conocido de PPL: el problema de la mochila. La idea general es que queremos transportar ciertos bienes mediante un contenedor que tiene cierta capacidad. Este contenedor puede ser algo tan sencillo como una mochila, o algo tan complicado como un tren. A continuación veremos un ejemplo intermedio.

Ejemplo del problema de la mochila

Cesar es un fabricante de botanas que vende 3 de sus productos a varios distribuidores dentro de su localidad. Cada caja de sus productos tiene un peso diferente y generan diferentes ganancias al ser vendidas. Esta información está reflejada en la siguiente tabla:

—	Peso por caja en kilogramos	Ganancia en pesos por caja vendida
Producto 1	10	150
Producto 2	12	200
Producto 3	15	300

Cesar tiene una camioneta que aguanta hasta 800 kilos de carga sin contar al conductor. Cesar quiere saber cuales son los productos que debe llevar con tal de maximizar sus ganancias.

Variables de decisión

Nuestra variable de decisión es bastante intuitiva.

$x_{i}$ = número de cajas del producto $i$ que Cesar va a llevar en su camioneta. $i \in {1, 2, 3}$

Función objetivo

Como el objetivo de Cesar es maximizar las ganancias, la función objetivo va a ser:

$M a x z = 150 x_{1} + 200 x_{2} + 300 x_{3}$

Restricciones

En este problema, la única condición que nos dan es que el peso total de las cajas a llevar no exceda la capacidad de carga de la camioneta. Es decir:

$\begin{array}{r} 10 x_{1} + 12 x_{2} + 15 x_{3} \leq 800 \\ x_{i} \geq 0, i \in {1, 2, 3} \end{array}$

Resumen

El PPL que obtenemos es en resumen:

$\begin{aligned} M a x z = 150 x_{1} & + 200 x_{2} + 300 x_{3} \\ s . a . \\ 10 x_{1} & + 12 x_{2} + 15 x_{3} \leq 800 \\ x_{i} & \geq 0, i \in {1, 2, 3} \end{aligned}$

Formulación general del problema de la mochila

Un modelo como el anterior recibe el nombre de problema de la mochila pues originalmente fue formulado del siguiente modo: un excursionista desea determinar la cantidad de latas de ciertos comestibles que llevará en su mochila. Las latas tienen cierto peso $p_{i}$ , cierto valor $v_{i}$ para el excursionista y su mochila tiene capacidad $P$ . Si hay $n$ alimentos disponibles y usamos como variables de decisión a $x_{1}, \dots, x_{n}$ , donde $x_{i}$ es el número de latas de alimento $i$ que el excursionista llevarán, entonces el problema de la mochila es:

$\begin{aligned} M a x z & = \sum_{n}^{i = 1} v_{i} x_{i} \\ s . a . \\ \sum_{n}^{i = 1} p_{i} x_{i} & \leq P \\ x_{i} & \geq 0, x_{i} \in Z, i = 1, \dots, n . \end{aligned}$

Este es un problema de programación lineal, pero más específicamente se le conoce como un problema de programación lineal entera (PPLE), o bien un modelo lineal entero, pues las variables $x_{i}$ están sujetas a tomar sólo valores en los números enteros. Sorpresivamente, aunque los problemas de programación entera parezcan «más fáciles» dado que sus posibilidades están más restringidas, esto no es así. Han sido objeto de mucho estudio pues agregar la condición de integralidad (que las variables sean enteras) crea complicaciones adicionales y hacen que los métodos generales no funcionen tan bien. Los problemas de programación lineal entera son difíciles incluso en términos de una noción computacional muy precisa del tiempo requerido para obtener la mejor solución.

Más adelante…

Aún tenemos algunos problemas conocidos por explorar. El siguiente que veremos es el problema del transporte, en donde queremos saber cómo distribuir productos a través distintas posibilidades de transporte para economizar costos.

En algunas entradas más también hablaremos de cómo llevar cualquier PPL a una forma estándar, que nos permitirá desarrollar la teoría general necesaria para resolverlo.

Tarea

Imagina el siguiente escenario:
Cesar ahora solo vende los productos 1 y 2. El producto 1 ahora pesa 8 kilogramos y el producto 2 ahora pesa 10 kilogramos, que el primero de ellos da una ganancia de $120 y que el segundo da una ganancia de $155. El vehículo que tenemos ahora es un coche que sólo puede cargar 392 kilogramos. ¿Cómo cargarías en este caso el coche para maximizar las ganancias? Plantea el PPL e intenta resolver el problema con las herramientas con las que cuentes hasta ahora.
Para entender un poco el problema binario de la mochila, considera el siguiente ejemplo. Se tienen 7 posibles artículos con pesos de 7, 10, 12, 4, 5, 9, 11 kilos y con valor de 23, 25, 28, 17, 19, 25, 26 respectivamente. Sólo podemos decidir si llevar o no llevar cada artículo, y el peso total que se cargará no puede exceder 40 kilos. ¿Cuáles artículos hay que llevar para maximizar el valor? Plantea el PPL e intenta resolverlo con las herramientas con las que cuentes hasta ahora.
Considera el problema ejemplo original de esta entrada de blog. ¿Qué pasaría con la respuesta del problema si ocurrieran los siguientes escenarios? ¿Las ganancias aumentarán o disminuirán?
- Cesar compró una mejor camioneta, que ahora puede transportar 1.5 toneladas.
- El producto 3 se volvió más caro y ahora Cesar solo gana 250 pesos por caja vendida.
- El tipo de envoltura y material de la caja cambio, por lo que ahora los pesos de los productos son 12, 17, 25 kilos para los productos 1, 2 y 3 respectivamente.

Respuestas

1.- Podríamos calcular cual es el producto que nos da más ganancias por kilo con una simple división. El producto 1 nos da 120/8 = 15 pesos por kilo del producto y el producto 2 nos da 155/10 = 15.5 pesos por kilo. El producto 2 es el que más ganancias nos va a dar por lo que vamos a llenar el carro con la mayor cantidad de productos 1 que se pueda.
Lo máximo que podemos meter dentro del carro son 39 unidades del producto 2, teniendo una ganancia de 6045 pesos, pero nos sobrarían 2 kilos para llegar al límite de peso. Entonces vamos a tratar de considerar las opciones donde incluyamos algunas unidades del producto 1 y a ver si podemos mejoran las ganancias.
Si tomamos 38 unidades del producto 2, nos quedan 12 kilos de capacidad y solamente podemos solamente agregar una unidad del producto 1, teniendo en total una ganancia de 6010 pesos. Esta opción no mejora las ganancias.
Si tomamos 37 unidades del producto 2 nos quedan 22 kilos de capacidad y solamente podemos agregar dos unidades del producto 1, teniendo una ganancia de 5975 pesos. Esta opción tampoco mejora las ganancias.
Ahora, si tomamos 36 unidades del producto 2, nos quedan 32 kilos de capacidad y ahora podemos agregar 4 unidades del producto 1, teniendo ahora una ganancia de 6060 pesos. En este caso SI conseguimos una mejora en nuestras ganancias.
Y si somos observadores, nos daremos cuenta que si seguimos agregando unidades del producto 1, ahora las ganancias solo van a ir disminuyendo, por lo que nos quedaremos con esta última solución para nuestro problema.

2.- La variable de decisión sería como el visto en esta entrada, con la siguiente variante: $x_{i}$ = 1 si el articulo i se va a llevar o 0 si el articulo i no se va a llevar.

La función objetivo simplemente va a ser la que maximice el valor total de los artículos a llevar:

$M a x z = 23 x_{1} + 25 x_{2} + 28 x_{3} + 17 x_{4} + 19 x_{5} + 25 x_{6} + 26 x_{7}$

Y la única restricción es:

$7 x_{1} + 10 x_{2} + 12 x_{3} + 4 x_{4} + 5 x_{5} + 9 x_{6} + 11 x_{7} \leq 40$

Entonces, el problema planteado sería:

$\begin{aligned} M a x z = & 23 x_{1} + 25 x_{2} + 28 x_{3} + 17 x_{4} + 19 x_{5} + 25 x_{6} + 26 x_{7} \\ s . a \\ 7 x_{1} + 10 x_{2} + 12 x_{3} + 4 x_{4} + 5 x_{5} + 9 x_{6} + 11 x_{7} \leq 40 \\ x_{i} \geq 0, i \in 1, \dots, 7 \end{aligned}$

Y el modo de resolverlo es muy similar al anterior, solo hay que considerar los cocientes de los artículos que dan más valor por cada kilo que pesan, tomar los mejores y si sobra capacidad de peso, probar combinaciones de tal manera que el se elimine esa capacidad restante y evaluar si el valor sube en efecto o hasta baja.

3.- $∙$ La solución va a ser similar a el problema 1, se va a llenar la camioneta con el producto que ofrezca la mayor ganancia/kilo (el producto 3) y si sobra capacidad de carga se va a intentar introducir algunos los productos de menor peso, hasta encontrar la solución que nos de las mayores ganancias. La diferencia solo va a ser en el número de unidades que van a entrar en la camioneta y por tanto, la solución aunque sea análoga, va a ser diferente.

$∙$ Como la ganancia del producto de mayor ganancia/kilo cambió, ahora hay que comparar este nuevo valor con el de los otros productos y nos daremos cuenta que ahora tendremos la misma ganancia/kilo entre este producto y el producto número 2, entonces lo que se intentará es llenar la camioneta entre estos dos productos de tal manera que no quede capacidad de carga sobrante.

$∙$ Hay que calcular la nueva ganancia/kilo de cada producto y resulta ahora que al cambiar los pesos de las cajas, el producto 1 es el que mayor ganancia/kilo tiene, entonces vamos a tratar de incluir la mayor cantidad de unidades de este producto que sea posible y si sobra capacidad tratar de combinar con algunas unidades de los otros productos con tal de tener la ganancia más grande.

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Investigación de Operaciones: Introducción a la programación lineal (2)

Por Aldo Romero

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Introducción

En esta entrada comenzaremos a abordar el primer tema de este curso de Investigación de Operaciones: el de la programación lineal. Hablaremos un poco de por qué es importante estudiar esta disciplina. Luego, explicaremos un poco en qué consiste. Finalmente, veremos el tipo de problemas que podremos responder una vez que hayamos desarrollado más teoría.

¿Por qué estudiar programación lineal?

El desarrollo de la programación lineal ha sido clasificado como uno de los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX. En la actualidad es una herramienta de uso cotidiano que permite efectuar de manera óptima muchas de las operaciones que realizan individuos, gobiernos, compañías y negocios. Esto ha su vez ha permitido el uso eficiente de los recursos y ahorros prácticamente incalculables.

Además de las ventajas que trae usar la programación lineal, también es notable la facilidad con la que hoy en día se aplican sus métodos. El tipo de matemáticas sobre las cuales está construida la programación lineal es en general teoría bien conocida: resultados básicos de álgebra lineal, teoremas importantes de cálculo, teoría de gráficas y redes. Esto se complementa con que en la actualidad es sencillo llevar esta teoría a la práctica, pues existen varios lenguajes de programación para uso científico que cuentan con bibliotecas dedicadas a la programación lineal.

¿Qué es la programación lineal?

La programación lineal es una rama de la programación matemática que estudia problemas de optimización en los cuales se desea maximizar (o minimizar) una función lineal restringida mediante ecuaciones o desigualdades lineales. En este contexto no hablamos de la palabra «programación» en el sentido usual de crear código para diseñar programas en una computadora. Más bien, nos referimos a «programación» más como en el sentido de «la programación de cierto canal de televisión» o bien como en la frase «programé una cita con mi dentista», es decir, como una manera de tomar decisiones para repartir un recurso (el tiempo de aire en el caso de la televisión y el tiempo del doctor y del paciente en el ejemplo del dentista).

Existe una gran variedad de problemas, en diversos campos, que pueden ser formulados o aproximados como modelos lineales. Una de las ventajas de resolver problemas por métodos de programación lineal es que existen técnicas eficientes, sencillas y bien estudiadas para resolverlos. Además, se tiene la comodidad de que una vez que se haya resuelto un problema, es sencillo hacer una variación de los parámetros originales para tener una buena intuición de la nueva respuesta sin tener que volver a hacer un procedimiento largo (a esto se le llama análisis de postoptimalidad).

Aunque una de sus aplicaciones más frecuentes es la asignación de recursos, la programación lineal tiene muchas otras posibilidades. En realidad, cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general de un problema de programación lineal, puede ser estudiado mediante las herramientas de la teoría.

Formato general de un problema de programación lineal

A un problema de programación lineal y su modelo lo llamaremos programa lineal. Abreviaremos problema de programación lineal como PPL y programa lineal como PL.

Estos problemas tienen que cumplir con las siguientes condiciones:

El criterio para seleccionar el mejor valor de las variables desconocidas involucradas en el problema, llamadas variables de decisión, puede describirse como función lineal de éstas. A esta función se le da el nombre de función objetivo.
Las reglas de operación que gobiernan el proceso (que definen las alternativas de solución) pueden expresarse mediante un conjunto de ecuaciones o desigualdades lineales a las cuales se les da el nombre de restricciones del problema.

El planteamiento matemático inicial del problema de programación lineal fue desarrollado por George Bernard Dantzig en 1947 junto con el método de solución simplex. El formato general del un modelo de esta clase es:

$\begin{aligned} Maximizar (o Minimizar) \\ z = c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} & + \dots + c_{n} x_{n} \\ s.a (sujeto a) \\ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} & \leq b_{1} (o bien \geq o =) \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} & \leq b_{2} (o bien \geq o =) \\ ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} & \leq b_{m} (o bien \geq o =) \\ x_{i} & \geq 0, i = 1, \dots, n . \end{aligned}$

Este problema de programación lineal PPL puede escribirse en forma matricial:

$\begin{aligned} Max. (o Min.) \\ z & = c \\ s.a \\ A x & \leq b (o bien \geq o =) \\ x & \geq 0. \end{aligned}$

En esta expresión $c$ es un vector renglón en $R^{n}$ , llamado vector de costos o de coeficientes en la función objetivo. El vector $x$ es un vector columna (formado por las variables de decisión $x_{1}, \dots, x_{n}$ ) en $R^{n}$ . La matriz $A$ es de $m$ renglones y $n$ columnas, llamada la matriz de restricciones. Y finalmente $b$ es un vector columna en $R^{n}$ , llamado el vector de recursos o lado derecho.

Más adelante…

En esta entrada hablamos un poco de qué es la programación lineal y qué es un PPL, pero nos hemos quedado en términos un poco abstractos. La mejor forma de entender qué es un problema lineal es mediante la presentación de ejemplos. En las siguientes entradas formularemos algunos ejemplos comunes, motivados en aplicaciones prácticas. Hablaremos del problema de la dieta, el problema de la mochila, el problema del transporte, y otros.

Tarea

Ve el siguiente video de acerca de George Dantzig. ¿Que te pareció la anécdota de su tiempo de estudiante?

Aún no hemos visto ejemplos de Problemas de Programación Lineal (PPL) pero, ¿crees que es siguiente ejemplo pueda formularse como uno? «Encontrar la ruta más corta entre una ciudad y otra teniendo varias rutas posibles que se cruzan entre sí.»
Investiga un poco más de la historia de la programación lineal. ¿Qué gran evento en el mundo ayudó a que la teoría se desarrollara aceleradamente?

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Aprovechar la simetría

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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La simetría, además de ser una propiedad que hace que las cosas se vean bonitas, también es una buena técnica de resolución de problemas. Hay varias formas en las que se puede aprovechar la simetría en un problema. Una es para reducir esfuerzo: ¿para qué repetir un argumento si es el mismo? ¿para qué desarrollar todos los términos si la ecuación es simétrica?

En otras ocasiones la simetría nos permite sospechar que los casos especiales tienen que ser simétricos. A veces no hay razón para que sea de otra forma. Finalmente, la simetría también está presente en una gran variedad de la información del problema, y hay que inventarla o descubrirla para simplificar cuentas, notación y conjeturas.

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