Introducción

En esta sección definiremos operaciones aritméticas entre números cardinales y analizaremos algunas de sus propiedades.

Suma de cardinales

Comenzaremos definiendo la suma de dos cardinales. Dicha operación está motivada en conjuntos finitos; esto es, si $A$ y $B$ son conjuntos finitos con $n$ y $m$ elementos, respectivamente, tales que $A\cap B=\emptyset$, entonces $|A\cup B|=n+m$.

Definición: Si $|A|=\kappa$, $|B|=\lambda$ y $A\cap B=\emptyset$, definimos \[\kappa+\lambda=|A\cup B|.\]

La definición anterior da por hecho que existen conjuntos ajenos $A$ y $B$ tales que $\kappa=|A|$ y $\lambda=|B|$, lo cual es cierto, pues si hacemos $A_1=A\times\{0\}$ y $B_1=B\times\{1\}$, entonces $\kappa=|A_1|$, $\lambda=|B_1|$ y $A_1\cap B_1=\emptyset$.

Para comprobar que la definición de suma de cardinales está bien definida tenemos que mostrar que dicha definición no depende de los conjuntos $A$ y $B$ elegidos; esto es, que si $A,A’,B,B’$ son conjuntos tales que $\kappa=|A|=|A’|$, $\lambda=|B|=|B’|$ y $A\cap B=\emptyset=A’\cap B’$, entonces $|A\cup B|=|A’\cup B’|$.

Lema: Si $A,A’,B,B’$ son conjuntos tales que $|A|=|A’|$, $|B|=|B’|$ y $A\cap B=\emptyset=A’\cap B’$, entonces $|A\cup B|=|A’\cup B’|$.

Demostración:

Dado que $|A|=|A’|$ y $|B|=|B’|$, podemos fijar funciones $f:A\to A’$ y $g:B\to B’$ biyectivas. Luego, $f\cup g:A\cup B\to A’\cup B’$ es una función biyectiva, por lo que $|A\cup B|=|A’\cup B’|$.

$\square$

La definición de suma de cardinales no sólo coincide con la suma ordinaria de números en el caso finito, sino que también se preservan algunas propiedades usuales. Por ejemplo, si $A$ y $B$ son conjuntos ajenos tales que $\kappa=|A|$ y $\lambda=|B|$, entonces $\kappa+\lambda=\lambda+\kappa$. En efecto, como $A\cup B=B\cup A$, entonces $|A\cup B|=|B\cup A|$, y la definición de suma de cardinales implica que $\kappa+\lambda=\lambda+\kappa$. Esto muestra que la suma de números cardinales es una operación conmutativa.

Por otro lado, si $\kappa$, $\lambda$ y $\mu$ son números cardinales, se satisface que $\kappa+(\lambda+\mu)=(\kappa+\lambda)+\mu$, es decir, la suma de números cardinales es también una operación asociativa.

También se puede mostrar que si $\kappa$ y $\lambda$ son cardinales, entonces $\kappa\leq\kappa+\lambda$. En efecto, si $A$ y $B$ son conjuntos ajenos tales que $\kappa=|A|$ y $\lambda=|B|$, entonces $f:A\to A\cup B$ definida por medio de $f(a)=a$ es una función inyectiva. Lo que muestra que $\kappa=|A|\leq|A\cup B|=\kappa+\lambda$.

Asimismo, si $\kappa_1\leq\kappa_2$ y $\lambda_1\leq\lambda_2$ son cardinales, entonces $\kappa_1+\lambda_1\leq\kappa_2+\lambda_2$.

Ya que definimos la suma de cardinales y hemos notado que algunas propiedades de esta nueva operación coinciden con las que ya conocíamos sobre la suma de números naturales, podemos definir la multiplicación de números cardinales, la cual, como es de esperarse, estará motivada en la multiplicación ya conocida de números naturales.

Definición: Si $A$ y $B$ son conjuntos tales que $|A|=\kappa$ y $|B|=\lambda$, entonces \[\kappa\cdot\lambda=|A\times B|.\]
Así como con la suma, debemos verificar que esta nueva operación está bien definida.

Lema: Si $A,A’,B,B’$ son conjuntos tales que $|A|=|A’|$ y $|B|=|B’|$, entonces $|A\times B|=|A’\times B’|$.

Demostración:

Dado que $|A|=|A’|$ y $|B|=|B’|$, podemos fijar funciones $f:A\to A’$ y $g:B\to B’$ biyectivas. Luego, si definimos $h:A\times B\to A’\times B’$ por medio de $h(a,b)=(f(a),g(b))$, entonces $h$ es biyectiva. De modo que $|A\times B|=|A’\times B’|$.

$\square$

El lema anterior muestra que la definición de multiplicación de números cardinales está bien definida, pues no depende de los conjuntos elegidos.

Algunas propiedades de la multiplicación de números naturales se preservan para la multiplicación de números cardinales.

Por ejemplo, si $\kappa$ y $\lambda$ son números cardinales, entonces $\kappa\cdot \lambda=\lambda\cdot\kappa$. En efecto, si $\kappa=|A|$ y $\lambda=|B|$, entonces $\kappa\cdot\lambda=|A\times B|$, pero, dado que $|A\times B|=|B\times A|$ (ya que $h:A\times B\to B\times A$ definida mediante $h(a,b)=(b,a)$ es una biyección), entonces $\kappa\cdot\lambda=|A\times B|=|B\times A|=\lambda\cdot\kappa$.

De manera similar, se puede mostrar que:

1. $\kappa\cdot(\lambda\cdot\mu)=(\kappa\cdot\lambda)\cdot\mu$,
2. $\kappa\cdot(\lambda+\mu)=\kappa\cdot\lambda+\kappa\cdot\mu$

para cualesquiera números cardinales $\kappa$, $\lambda$ y $\mu$.

Para probar el inciso $2$ basta mostrar que para conjuntos $A$, $B$ y $C$ se cumple que $A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C)$.

Algunas propiedades sobre desigualdades con números cardinales que involucran la operación multiplicación, son las siguientes:

Si $\kappa=|A|$ y $\lambda=|B|$, con $B\not=\emptyset$, entonces, definiendo $f:A\to A\times B$ por medio de $f(a)=(a,b_0)$ donde $b_0\in B$ es un elemento fijo, tenemos que $f$ es una función inyectiva y así $\kappa=|A|\leq|A\times B|=\kappa\cdot\lambda$. Lo que muestra que para cualesquiera números cardinales $\kappa$ y $\lambda$, con $\lambda\not=0$, $\kappa\leq\kappa\cdot\lambda$.

De manera similar se puede mostrar que si $\kappa_1\leq\kappa_2$ y $\lambda_1\leq\lambda_2$, entonces $\kappa_1\cdot\kappa_2\leq\lambda_1\cdot\lambda_2$. Basta tomar conjuntos $A,A’,B,B’$ tales que $\kappa_1=|A|$, $\kappa_2=|A’|$, $\lambda_1=|B|$ y $\lambda_2=|B’|$. Luego, como $\kappa_1\leq\kappa_2$ y $\lambda_1\leq\lambda_2$, podemos fijar funciones inyectivas $f:A\to A’$ y $g:B\to B’$ y podemos definir $h:A\times B\to A’\times B’$ por medio de $h(a,b)=(f(a),g(b))$, la cual resulta ser una función inyectiva. Lo que muestra que $\kappa_1\cdot\lambda_1=|A\times B|\leq|A’\times B’|=\kappa_2\cdot\lambda_2$.

Una propiedad más: si $\kappa$ es un número cardinal, entonces $\kappa+\kappa=2\cdot\kappa$.
En efecto, si $\kappa=|A|$, entonces $2\cdot\kappa=|\{0,1\}\times A|$, pues $2=|\{0,1\}|$. Luego, notando que $\{0,1\}\times A=(\{0\}\times A)\cup(\{1\}\times A)$, y dado que $\kappa=|\{0\}\times A|=|\{1\}\times A|$ y $\{0\}\times A$ es ajeno a $\{1\}\times A$, se sigue que $2\cdot\kappa=|\{0,1\}\times A|=|(\{0\}\times A)\cup(\{1\}\times B)|=\kappa+\kappa$.

Juntando esta última propiedad con el hecho de que $\kappa_1\cdot\lambda_1\leq\kappa_2\cdot\lambda_2$ siempre que $\kappa_1\leq\kappa_2$ y $\lambda_1\leq\lambda_2$, se sigue que para un número cardinal $\kappa\geq2$,\[\kappa+\kappa=2\cdot\kappa\leq\kappa\cdot\kappa.\]

La última operación que introduciremos para números cardinales será la exponenciación de cardinales.

Definición: Si $\kappa=|A|$ y $|B|=\lambda$, entonces $\kappa^\lambda=|A^B|$, donde $A^B$ denota al conjunto de las funciones de $B$ en $A$.

Para verificar que esta operación está bien definida tenemos el siguiente lema.

Lema: Si $|A|=|A’|$ y $|B|=|B’|$, entonces $|A^B|=|{A’}^{B’}|$.

Demostración:

Fijemos funciones biyectivas $f:A\to A’$ y $g:B\to B’$ y definamos $F:A^B\to {A’}^{B’}$ como sigue: si $k\in A^B$, sea $F(k)=h$, donde $h:B’\to A’$ está definida mediante $h(g(b))=f(k(b))$ para cada $b\in B$.

$F$ es una función inyectiva, pues, si $k_1,k_2\in A^B$ son tales que $k_1\not=k_2$, entonces existe $b\in B$ de tal modo que $k_1(b)\not=k_2(b)$. Luego, como $f:A\to A’$ es una biyección y $k_1(b)\not=k_2(b)$, se tiene $f(k_1(b))\not=f(k_2(b))$. De modo que si $F(k_1)=h_1$ y $F(k_2)=h_2$, entonces $h_1(g(b))=f(k_1(b))\not=f(k_2(b))=h_2(g(b))$, lo que implica que $h_1\not=h_2$, es decir, $F(k_1)\not=F(k_2)$.

Por otro lado, $F$ es una función sobreyectiva, ya que si $h\in {A’}^{B’}$, entonces considerando las funciones $f^{-1}:A’\to A$ (la cual existe por ser $f$ biyectiva) y $k=f^{-1}\circ h\circ g:B\to A$, se tiene que $F(k)=h’$ donde \[h'(g(b))=f(k(b))=f((f^{-1}\circ h\circ g)(b))=(f\circ f^{-1}\circ h\circ g)(b)=h(g(b)),\]
es decir, $h'(g(b))=h(g(b))$ para todo $b\in B$. Como $B’=\{g(b):b\in B\}$, entonces $h'(b’)=h(b’)$ para todo $b’\in B’$, lo cual nos permite concluir que $h’=h$. Esto muestra que $F(k)=h$ y, por consiguientes, $F$ es sobreyectiva. Por tanto, $F$ es una biyección y así $|A^B|=|{A’}^{B’}|$.

$\square$

De la definición de exponenciación tenemos que $\kappa\leq\kappa^{\lambda},\ \textnormal{si}\ \lambda>0,$
ya que si $\kappa=|A|$ y $\lambda=|B|$, con $B\not=\emptyset$, entonces definiendo $f:A\to A^B$ por medio de $f(a)=g_a$, donde $g_a:B\to A$ está dada por $g_a(b)=a$ para todo $b\in B$, entonces $f$ es una función inyectiva, lo que muestra que $\kappa=|A|\leq|A^B|=\kappa^\lambda$. Note que en este último argumento, implícitamente, supusimos $A\not=\emptyset$, ya que las funciones que definimos resultaban ser funciones constantes y dichas constantes eran elementos de $A$; sin embargo, si $A=\emptyset$ no podemos definir una función constante de $B$ en $A$, ya que no hay elementos en $A$ y, de hecho, al ser $B$ no vacío no existen funciones de $B$ en $A$. De modo que si $A=\emptyset$, entonces $A^B=\emptyset$, por lo que $|A|=0=|A^B|$ y así $|A|=|A|^{|B|}=|A|^\lambda$. En consecuencia, $\kappa\leq\kappa^\lambda$ aún cuando $\kappa=0$.

Por otro lado, si $\kappa>1$, se puede probar que $\lambda\leq\kappa^\lambda$. Para ello supongamos que $A$ y $B$ son conjuntos tales que $\kappa=|A|$ y $\lambda=|B|$ con $\kappa>1$.
Si $\lambda=0$, entonces $B=\emptyset$ y la única función de $B$ en $A$ sería la función vacía, por lo que $\kappa^\lambda=|A^B|=1$. En consecuencia, $\lambda\leq\kappa^\lambda$. \Supongamos ahora que $B\not=\emptyset$. Dado que $\kappa>1$, existen al menos dos elementos distintos $a_0,a_1\in A$. Utilizando a estos dos elementos podemos definir algunas funciones de $B$ en $A$ como sigue: dado $b\in B$, definamos $g_b:B\to A$ por medio de $g_b(x)=\left\{ \begin{array}{lcc}
a_0 & si\ x=b \\
a_1 & si\ x\not=b
\end{array}
\right.$. Podemos considerar entonces la función $\varphi:B\to A^B$ cuya regla de correspondencia es $\varphi(b)=g_b$. Dicha función resulta ser inyectiva, pues si $\varphi(b_1)=\varphi(b_2)$, entonces $g_{b_1}=g_{b_2}$ y por tanto $g_{b_1}(x)=g_{b_2}(x)$ para cada $x\in B$. En particular, para $x=b_1$ tenemos que $a_0=g_{b_1}(b_1)=g_{b_2}(b_1)$. De modo que $b_1=b_2$, pues en caso contrario tendríamos que $g_{b_2}(b_1)=a_1$ lo cual es una contradicción, ya que $g_{b_2}(b_1)=a_0$. De esta manera, si $\varphi(b_1)=\varphi(b_2)$, entonces $b_1=b_2$ y así $\varphi$ es inyectiva.

Esta serie de argumentos muestra que $|B|\leq|A^B|$, es decir, $\lambda\leq\kappa^\lambda$.

A continuación enunciaremos un teorema que nos da una propiedad interesante sobre la exponenciación de cardinales.

Teorema: $\kappa^{\lambda+\mu}=\kappa^{\lambda}\kappa^{\mu}$.

Demostración:

Sean $\kappa=|A|$, $\lambda=|B|$, $\mu=|C|$ con $B\cap C=\emptyset$. Para probar que $\kappa^{\lambda+\mu}=\kappa^\lambda\cdot\kappa^\mu$ vamos a exhibir una función biyectiva entre $A^B\times A^C$ y $A^{B\cup C}$.

Definamos $F:A^B\times A^C\to A^{B\cup C}$ por medio de $F(f,g)=f\cup g$. Note que para cualesquiera $f\in A^B$ y $g\in A^C$, $f\cup g$ es efectivamente una función de $B\cup C$ en $A$, debido a que $dom(f\cup g)=dom(f)\cup dom(g)=B\cup C$ junto al hecho de que $f$ y $g$ son funciones compatibles ya que $dom(f)\cap dom(g)=B\cap C=\emptyset$.

Ahora, $F$ es una función inyectiva, pues si $F(f,g)=F(h,k)$, entonces $f\cup g=h\cup k$; luego, para cada $b\in B$ se tiene que $f(b)=(f\cup g)(b)=(h\cup k)(b)=h(b)$, lo cual implica que $f=h$ y de manera análoga se sigue que $g=k$. Por tanto, $(f,g)=(h,k)$.
Ahora, si $h\in A^{B\cup C}$, podemos considerar las restricciones $h\upharpoonright_B$ y $h\upharpoonright_C$, las cuales resultan ser funciones de $B$ en $A$ y $C$ en $A$, respectivamente. De modo que $(h\upharpoonright_B,h\upharpoonright_C)\in A^{B}\times A^{C}$ y $F(h\upharpoonright_B,h\upharpoonright_C)=h\upharpoonright_B\cup h\upharpoonright_C=h$, lo que muestra que $F$ es sobreyectiva. Por lo tanto, $F$ es una biyección y, en consecuencia, $\kappa^{\lambda+\mu}=\kappa^{\lambda}\cdot\kappa^{\mu}$.

$\square$

Para finalizar con la sección sobre aritmética cardinal tenemos el siguiente resultado sobre el cardinal de un conjunto y su potencia.

Teorema. Si $|A|=\kappa$, entonces $|\mathcal{P}(A)|=2^\kappa$.

Demostración.

Vamos a establecer una función biyectiva entre $\mathcal{P}(A)$ y $\{0,1\}^A$. Para cada $B\subseteq A$, definamos $\chi_B:A\to\{0,1\}$ como sigue \[\chi_B(x)=\left\{\begin{array}{lcc} 1 & si\ x\in B \\ 0 & si\ x\notin B. \end{array} \right.\] Definamos entonces $f:\mathcal{P}(A)\to\{0,1\}^A$ como $f(B)=\chi_B$. Luego, si $B\not=C$, entonces existe $x\in B\setminus C$ o existe $x\in C\setminus B$, de modo que existe $x\in A$ tal que $\chi_B(x)=1$ y $\chi_C(x)=0$ o bien $\chi_{B}(x)=0$ y $\chi_C(x)=1$. En cualquier caso se tiene que $\chi_B\not=\chi_C$, ya que no coinciden en la imagen de un mismo elemento.

Este argumento muestra que $f$ es inyectiva.

Por otro lado, si $g\in\{0,1\}^A$, podemos considerar el conjunto $B=\{x\in A:g(x)=1\}$. Note que $B\in\mathcal{P}(A)$ y $\chi_B=g$, ya que si $x\in B$, entonces $\chi_B(x)=1$ y $g(x)=1$; por otro lado, si $x\notin B$, entonces $\chi_B(x)=0$ y $g(x)=0$. Esto demuestra que $f$ es sobreyectiva.

Por lo tanto, $f$ es una biyección y, en consecuencia, $|\mathcal{P}(A)|=|\{0,1\}^A|=|\{0,1\}|^{|A|}=2^\kappa$.

$\square$

Tarea moral

• Muestra que $\kappa^0=1$ para todo $\kappa$ y $\kappa^1=\kappa$ para todo $\kappa>0$.
• Muestra que $1^\kappa=1$ para todo $\kappa$ y $0^\kappa=0$ para todo $\kappa>0$.
• Demuestra que si $\kappa_1\leq\kappa_2$ y $\lambda_1\leq\lambda_2$, entonces $\kappa_1^{\lambda_1}\leq\kappa_2^{\lambda_2}$.
• Prueba que $\kappa^\kappa\leq2^{\kappa\cdot\kappa}$.
• ¿Existe un conjunto $A$ tal que $\mathcal{P}(A)$ es numerable? Argumenta tu respuesta.

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos acerca del axioma de elección.

Enlaces

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