Archivo de la etiqueta: división armónica

Geometría Moderna I: Haz armónico

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Introducción

Esta es una continuación de la entrada anterior donde vimos algunas propiedades de hileras armónicas de puntos, esta vez nos enfocaremos en propiedades de un haz armónico de rectas, que nos permitirán definir al cuadrilátero armónico.

Haz de rectas

Definición 1. Si cuatro rectas $P A$ , $P C$ , $P B$ , $P D$ concurren en $P$ , decimos que forman un haz de rectas y que $P$ es el vértice del haz, denotamos al haz como $P (A C B D)$ .

Teorema. 1 Sea $P (A C B D)$ un haz de rectas donde $A$ , $C$ , $B$ , $D$ , son colineales, considera $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ , $D^{'}$ , las intersecciones de cualquier otra transversal al haz, entonces $(A, B; C, D) = (A^{'}, B^{'}; C^{'}, D^{'})$ .

Demostración. Aplicamos la ley de los senos a $△ P A C$ , $△ P C B$ , $△ P B D$ y $△ P A D$ .

$\frac{A C}{\sin ∠ A P C} = \frac{P C}{\sin ∠ C A P}$ ,

$\frac{C B}{\sin ∠ C P B} = \frac{P C}{\sin ∠ P B C}$ ,

$\frac{D B}{\sin ∠ B P D} = \frac{P D}{\sin ∠ D B P}$ ,

$\frac{A D}{\sin ∠ A P D} = \frac{P D}{\sin ∠ D A P}$ .

De lo anterior calculamos,
$(A, B; C, D) = \frac{A C}{C B} \frac{D B}{A D}$

$= \frac{\frac{\sin ∠ A P C}{\sin ∠ C A P} \frac{\sin ∠ B P D}{\sin ∠ D B P}}{\frac{\sin ∠ C P B}{\sin ∠ P B C} \frac{\sin ∠ A P D}{\sin ∠ D A P}}$
$\begin{matrix} (1) & = \frac{\sin ∠ A P C}{\sin ∠ C P B} \frac{\sin ∠ B P D}{\sin ∠ A P D} . \end{matrix}$

La última igualdad se debe a que $∠ C A P = ∠ D A P$ y $\sin ∠ P B C = \sin ∠ D B P$ , por ser $∠ P B C$ y $∠ D B P$ suplementarios.

Si hacemos el mismo procedimiento, esta vez con los puntos $A^{'}$ , $C^{'}$ , $B^{'}$ , $D^{'}$ , obtendremos el mismo resultado ya que $∠ A P C = ∠ A^{'} P C^{'}$ , $∠ C P B = ∠ C^{'} P B^{'}$ , $∠ B P D = ∠ B^{'} P D^{'}$ y $∠ A P D = ∠ A^{'} P D^{'}$ .

Por lo tanto $(A, B; C, D) = (A^{'}, B^{'}; C^{'}, D^{'})$ .

Definición 2. Dado un haz de rectas $P (A C B D)$ , si $A$ , $C$ , $B$ y $D$ son colineales, definimos la razón cruzada $P (A, B; C, D)$ del haz como la razón cruzada $(A, B; C, D)$ , de la hilera de puntos $A C B D$ .

Equivalentemente, por la ecuación $(1)$ , podemos definir, $P (A, B; C, D) = \frac{\sin ∠ A P C}{\sin ∠ C P B} \frac{\sin ∠ B P D}{\sin ∠ A P D}$ .

Si $P (A, B; C, D) = - 1$ , decimos que el haz es armónico y que $P A$ , $P B$ son rectas conjugadas armónicas respecto de $P C$ y $P D$ o que $P C$ , $P D$ son conjugadas armónicas respecto de $P A$ y $P D$ .

Ejemplo

Proposición 1. Las rectas que unen los excentros de un triángulo con los puntos medios de los lados del triángulo relativos a esos excentros son concurrentes.

Demostración. Sean $I_{a}$ , $I_{b}$ , $I_{C}$ , los excentros de un triángulo $△ A B C$ , $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ los puntos medio de $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente, consideremos $X = I_{a} A^{'} \cap I_{b} I_{c}$ , $Y = I_{b} B^{'} \cap I_{a} I_{c}$ , $Z = I_{c} C^{'} \cap I_{a} I_{b}$ ; $D = I_{a} A \cap B C$ , $E = I_{b} B \cap C A$ , $F = I_{c} C \cap A B$ .

Consideremos los haces $I_{a} (C D A^{'} B)$ , $I_{b} (A B^{'} E C)$ , $I_{c} (B C^{'} F A)$ , por el teorema 1, tenemos lo siguiente:
$(A^{'}, D; B, C) = (X, A; I_{c}, I_{b})$ ,
$(B^{'}, E; A, C) = (Y, B; I_{c}, I_{a})$ ,
$(C^{'}, F; B, A) = (Z, C; I_{a}, I_{b})$ .

Esto es,
$\begin{matrix} (2) & \frac{A^{'} B}{B D} \frac{C D}{A^{'} C} = \frac{X I_{c}}{I_{c} A} \frac{I_{b} A}{X I_{b}}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (3) & \frac{B^{'} A}{A E} \frac{C E}{B^{'} C} = \frac{Y I_{c}}{I_{c} B} \frac{I_{a} B}{Y I_{a}}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (4) & \frac{C^{'} B}{B F} \frac{A F}{C^{'} A} = \frac{Z I_{a}}{I_{a} C} \frac{I_{b} C}{Z I_{b}} . \end{matrix}$

Como $A D$ , $B E$ , $C F$ ; $I_{a} A$ , $I_{b} B$ , $I_{c} C$ , concurren en el incentro $I$ de $△ A B C$ , aplicando el teorema de Ceva a los triángulos $△ A B C$ y $△ I_{a} I_{b} I_{c}$ tenemos:

$\frac{A F}{F B} \frac{B D}{D C} \frac{C E}{E A} = 1$ ,
$\frac{I_{a} C}{C I_{b}} \frac{I_{b} A}{A I_{c}} \frac{I_{c} B}{B I_{a}} = 1$ .

Recordemos que $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ son los puntos medios de $B C$ , $C A$ y $A B$ , empleando segmentos dirigidos y tomando en cuenta lo anterior, si hacemos el producto del inverso de $(2)$ con $(3)$ y $(4)$ , obtenemos:

$\frac{I_{a} Z}{Z I_{b}} \frac{I_{c} X}{X I_{b}} \frac{I_{c} Y}{Y I_{a}} = 1$ .

Por el teorema de Ceva, $I_{a} X = I_{a} A^{'}$ , $I_{b} Y = I_{b} B^{'}$ , $I_{c} Z = I_{c} C^{'}$ , son concurrentes.

Haz armónico

Proposición 2. Una recta, paralela a alguna de las rectas de un haz, es dividida en dos segmentos iguales por las otras tres rectas del haz si y solo si el haz es armónico.

Demostración. Sean $P (A C B D)$ un haz de rectas con $A$ , $C$ , $B$ , $D$ , colineales en ese orden, $l$ paralela a $P A$ , $C^{'} = l \cap P C$ , $B^{'} = l \cap P B$ , $D^{'} = l \cap P D$ .

Aplicamos la ley de los senos a $△ C^{'} P B^{'}$ y $△ B^{'} P D^{'}$

$\frac{C^{'} B^{'}}{\sin ∠ C^{'} P B^{'}} = \frac{P B^{'}}{\sin ∠ B^{'} C^{'} P}$ ,
$\frac{D^{'} B^{'}}{\sin ∠ B^{'} P D^{'}} = \frac{P B^{'}}{\sin ∠ P D^{'} B^{'}}$ .

Por lo tanto,
$\frac{D^{'} B^{'}}{C^{'} B^{'}} = \frac{\sin ∠ B^{'} C^{'} P}{\sin ∠ C^{'} P B^{'}} \frac{\sin ∠ B^{'} P D^{'}}{\sin ∠ P D^{'} B^{'}}$ .

Por la ecuación $(1)$
$(A, B; C, D) = \frac{\sin ∠ A P C}{\sin ∠ C P B} \frac{\sin ∠ B P D}{\sin ∠ A P D}$ .

Como $P A ∥ C^{'} B^{'} D^{'}$ , entonces $∠ A P C = ∠ B^{'} C^{'} P$ y $∠ A P D$ , $∠ P D^{'} B^{'}$ son suplementarios, además $∠ C P B = ∠ C^{'} P B^{'}$ y $∠ B P D = ∠ B^{'} P D^{'}$ .

Por lo tanto $(A, B; C, D) = \frac{D^{'} B^{'}}{C^{'} B^{'}}$ .

Como resultado, $(A, B; C, D) = - 1 \Leftrightarrow | D^{'} B^{'} | = | C^{'} B^{'} |$ .

Proposición 3. Si dos rectas conjugadas de un haz armónico son perpendiculares entonces son las bisectrices del ángulo formado por las otras dos rectas del haz.

Demostración. Sea $P (A C B D)$ un haz armónico, supongamos que $P A ⊥ P B$ (figura 3), sean $l$ una recta paralela a $P A$ y $C^{'}$ , $B^{'}$ , $D^{'}$ , las intersecciones de $l$ con $P C$ , $P B$ , $P D$ respectivamente.

Por la proposición anterior $C^{'} B^{'} = B^{'} D^{'}$ , como $P A ⊥ P B$ entonces $P B ⊥ C^{'} D^{'}$ .

Por lo tanto, $△ P C^{'} D^{'}$ es isósceles y así, $P A$ y $P B$ son las bisectrices externa e interna de $∠ C^{'} P D^{'}$ .

Proposición 4. Si tenemos dos hileras armónicas $A C B D$ y $A^{'} C^{'} B^{'} D^{'}$ tales que $A A^{'}$ , $B B^{'}$ , $C C^{'}$ concurren en un punto $P$ entonces $D D^{'}$ también pasa por $P$ .

Demostración. Sea $X = P D \cap A^{'} C^{'} B^{'} D^{'}$ , por el teorema 1, $X$ es el conjugado armónico de $C^{'}$ respecto de $A^{'} B^{'}$ , por lo tanto $X = D^{'}$ .

Cuadrilátero armónico

Teorema 2. Sean $A C B D$ un cuadrilátero cíclico, en ese orden cíclico, y $P$ un punto en su circuncírculo, entonces la razón cruzada del haz $P (A C B D)$ no depende de la posición de $P$ .

Demostración. Sea $R$ el circunradio de $A B C D$ , aplicamos la ley extendida de los senos a $△ A P C$ , $△ C P B$ , $△ B P D$ y $△ A P D$ .

$\frac{A C}{\sin ∠ A P C} = \frac{C B}{\sin ∠ C P B} = \frac{D B}{\sin ∠ B P D}$
$= \frac{A D}{\sin ∠ A P D} = \frac{1}{2 R}$ .

Por lo tanto,
$P (A, B; C, D) = \frac{\sin ∠ A P C}{\sin ∠ C P B} \frac{\sin ∠ B P D}{\sin ∠ A P D}$
$= \frac{A C}{C B} \frac{D B}{A D}$ .

Definición 3. Definimos la razón cruzada de cuatro puntos cíclicos $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , como $(A, B; C, D) = P (A, B; C, D)$ , para cualquier punto $P$ en la misma circunferencia.

De manera equivalente, por el teorema 2, podemos definir $(A, B; C, D) = \frac{A C}{C B} \div \frac{A D}{D B}$ , la cual tomamos como positiva si $A B$ y $C D$ no se intersecan dentro de la circunferencia y como negativa en caso contrario.

Si $(A, B; C, D) = - 1$ , decimos que $A C B D$ es un cuadrilátero armónico.

Construcción del conjugado armónico en una circunferencia.

Proposición 5. Sean $Γ$ el circuncírculo de un triángulo $△ A B C$ , $P$ la intersección de las tangentes a $Γ$ por $A$ y $C$ , $D = P B \cap Γ$ , $D \neq B$ , entonces $A B C D$ es un cuadrilátero armónico.

Demostración. Como $∠ D B A = ∠ D A P$ y $∠ C B D = ∠ P C D$ , por criterio de semejanza AA, $△ P B A \sim △ P A D$ y $△ P B C \sim △ P C D$ , recordemos que las tangentes $P A$ y $P C$ son iguales.

Por lo tanto,
$\frac{B A}{A D} = \frac{P B}{P A} = \frac{P B}{P C} = \frac{B C}{C D}$
$\Rightarrow \frac{A B}{B C} = \frac{A D}{D C}$ .

De acuerdo a la definición 3, $A B C D$ es un cuadrilátero armónico.

Proposición 6. Sea $A B C D$ un cuadrilátero armónico, entonces $B D$ y las tangentes a $Γ$ el circuncírculo de $A B C D$ , en $A$ y $C$ son concurrentes.

Sean $l_{1}$ tangente a $Γ$ en $A$ , $P = l \cap B D$ y $E = A C \cap B D$ , por el teorema 2, el haz $A (A B C D)$ es armónico, donde $A A = l_{1}$ , por el teorema 1, $(P, E; D, B) = - 1$ .

Análogamente, sea $l_{2}$ la tangente a $Γ$ en $C$ y $Q = l_{2} \cap B D$ entonces el haz $C (C B A D)$ es armónico, por lo tanto $(Q, E; D, B) = - 1$ .

Por lo tanto, $P = Q$ .

Ejemplo

Proposición 7. Sea $Γ$ el incírculo de un triángulo $△ A B C$ , $X$ , el punto de contacto de $Γ$ con $B C$ , $D$ el pie de la altura por $A$ y $M$ el punto medio de $A D$ , $N = X M \cap Γ$ , $N \neq X$ entonces $X N$ es la bisectriz de $∠ B N C$ .

Demostración. Sea $L$ el punto al infinito de la recta $A D$ , entonces, $M$ y $L$ son conjugados armónicos respecto de $A$ y $D$ .

Sea $X^{'}$ el punto diametralmente opuesto a $X$ , como $X X^{'} ∥ A D$ , entonces $X X^{'} \cap A D = L$ .

Por el teorema 1, el haz $X (D M A X^{'})$ es armónico, sea $U = X A \cap Γ$ , $U \neq X$ , entonces $X N U X^{'}$ es un cuadrilátero armónico.

Sean $Y$ , $Z$ los puntos de tangencia de $Γ$ con $C A$ y $A B$ respectivamente, por la proposición 5, $X Y U Z$ es armónico.

Sea $P = Z Y \cap B C$ , como $B C$ es tangente a $Γ$ en $X$ entonces por la proposición 6, $P U$ es tangente a $Γ$ .

Como $X N U X^{'}$ es armónico, por la proposición 6, $P X$ , $P U$ , $X^{'} N$ son concurrentes, es decir $X^{'}$ , $N$ y $P$ son colineales.

Ya que $X X^{'}$ es diámetro de $Γ$ , entonces $∠ X^{'} N X = \frac{π}{2}$ , es decir, $N X ⊥ N P$ .

Sabemos que $A X$ , $B Y$ , $C Z$ concurren en el punto de Gergonne $G_{e}$ , entonces por el teorema 2 de la entrada anterior, $P = Z Y \cap B C$ es el conjugado armónico de $X$ respecto de $B C$ .

Ya que $N X ⊥ N P$ , por el teorema 3 de la entrada anterior, $N X$ es la bisectriz interna de $∠ B N C$ .

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos sobre las simedianas, estas son las reflexiones de la medianas de un triángulo respecto de las bisectrices que pasan por el mismo vértice, con la ayuda de haces armónicos estableceremos algunas propiedades de estas rectas.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

En un triángulo $△ A B C$ , $D$ , $E$ , $F$ , los pies de las alturas por $A$ , $B$ , $C$ , respectivamente, $I_{a}$ , $I_{b}$ , $I_{c}$ los excentros opuestos a $A$ , $B$ , $C$ respectivamente, demuestra que $I_{a} D$ , $I_{b} E$ , $I_{c} F$ son concurrentes.
$i)$ Dadas tres rectas concurrentes $O A$ , $O C$ , $O B$ , construye el conjugado armónico de $O C$ respecto de $O A$ y $O B$ ,
$i i)$ Si $(A, B; C, D) = - 1$ , $(A, B^{'}; C^{'}, D^{'}) = - 1$ , y $A B \neq A B^{'}$ , muestra que $B B^{'}$ , $C C^{'}$ , $D D^{'}$ son concurrentes.
Sea $A B C D$ un cuadrilátero convexo, $E = A D \cap B C$ , $F = A B \cap C D$ , $G = A C \cap B D$ , sea $O$ la proyección de $G$ en $F E$ , muestra que $∠ A O B = ∠ C O D$ .
Muestra que las rectas que unen un punto en una circunferencia con los extremos de un cuerda, dividen armónicamente al diámetro perpendicular a dicha cuerda.
En un triángulo $△ A B C$ , $A^{'}$ es el punto medio de $B C$ , sea $Γ$ la circunferencia con diámetro $A A^{'}$ , considera $D = Γ \cap A B$ , $E = Γ \cap C A$ , $D \neq A \neq E$ , y $P$ la intersección de las tangentes a $Γ$ en $D$ y $E$ , muestra que $P B = P C$ .

Entradas relacionadas

Ir a Geometría Moderna I.
Entrada anterior del curso: División armónica.
Siguiente entrada del curso: Simediana.
Otros cursos.

Fuentes

Lozanovski, S., A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry. Version 1.4. 2020, pp 159-166.
Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 149-161.
Aref, M. y Wernick, W., Problems and Solutions in Euclidean Geometry. New York: Dover, 2010, pp 178-186.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: División armónica

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Deja un comentario

Introducción

En entradas anteriores definimos la razón en la que un punto divide a un segmento e hicimos uso de este concepto, obviando el cambio de signo, nos podemos preguntar que es lo que pasa cuando dos puntos distintos dividen en la misma razón a un segmento, esto es lo que se conoce como división armónica.

Definición 1. Definimos la razón cruzada de dos pares de puntos colineales $(A, B)$ y $(C, D)$ como
$(A, B; C, D) = \frac{A C}{C B} \div \frac{A D}{D B}$ .

Si $C$ está en el segmento $A B$ , $D$ en su extensión y la razón en la que $C$ y $D$ dividen al segmento $A B$ es la misma en valor absoluto, entonces $(A, B; C, D) = - 1$ .

En este caso, decimos que $C$ y $D$ dividen al segmento $A B$ armónicamente, o que $C$ y $D$ son conjugados armónicos respecto de $A$ y $B$ .

Observación. Notemos que el conjugado armónico de un punto respecto de otros dos puntos dados es único, pues ya probamos que para todo número real $r$ , existe un único punto que divide a un segmento dado en $r$ .

Hilera armónica

Teorema 1. Si dos puntos $C$ y $D$ dividen armónicamente al segmento $A B$ en la razón $| \frac{p}{q} |$ entonces los puntos $A$ y $B$ dividen armónicamente a $C D$ en la razón $| \frac{p - q}{p + q} |$ .

Demostración. Supongamos que $\frac{A C}{C B} = \frac{p}{q}$ y $\frac{A D}{D B} = \frac{- p}{q}$ , entonces usando segmentos dirigidos,

$\frac{A C}{C B} + \frac{C B}{C B} = \frac{p}{q} + \frac{q}{q} \Rightarrow$

$\begin{matrix} (5) & \frac{A B}{C B} = \frac{p + q}{q} . \end{matrix}$

$\frac{A D}{D B} + \frac{D B}{D B} = \frac{- p}{q} + \frac{q}{q} \Rightarrow$
$\begin{matrix} (6) & \frac{A B}{D B} = \frac{q - p}{q} . \end{matrix}$

De manera análoga podemos encontrar
$\begin{matrix} (7) & \frac{A B}{A C} = \frac{C B + A C}{A C} = \frac{q + p}{p}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (8) & \frac{A B}{A D} = \frac{D B + A D}{A D} = \frac{p - q}{p} . \end{matrix}$

Haciendo el cociente de $(2)$ entre $(1)$ obtenemos
$\frac{C B}{B D} = \frac{p - q}{p + q}$ .

Análogamente de $(4)$ y $(3)$ obtenemos
$\frac{C A}{A D} = \frac{q - p}{p + q}$ .

Definición 2. Debido a esta propiedad reciproca en la que si $(A, B; C, D) = - 1$ entonces $(C, D; A, B) = - 1$ , decimos que $A C B D$ es una hilera armónica de puntos o simplemente una hilera armónica.

Corolario 1. Si $(A, B; C, D) = - 1$ , entonces $\frac{A B}{C D} = \frac{p^{2} - q^{2}}{2 p q}$ .

Demostración. $C D = A D - A C$
$= A B p (\frac{1}{p - q} - \frac{1}{p + q}) = A B p (\frac{p + q - (p - q)}{p^{2} - q^{2}})$ .

Donde la segunda igualdad se debe a $(3)$ y $(4)$ .

Por lo tanto, $\frac{A B}{C D} = \frac{p^{2} - q^{2}}{2 p q}$ .

Construcción del conjugado armónico

Teorema 2. Sea $△ A B C$ , considera $X \in B C$ , $Y \in C A$ , $Z \in A B$ , cada uno en el interior del lado respectivo y sea $X^{'} = Z Y \cap B C$ , entonces $X$ y $X^{'}$ son conjugados armónicos respecto a $B C$ si y solo si $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes.

Demostración. Aplicando el teorema de Menelao a $△ A B C$ y la transversal $X^{'} Y Z$ tenemos
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X^{'}}{X^{'} C} \frac{C Y}{Y A} = - 1$ .

Por el teorema de Ceva $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes si y solo si,
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = 1$ .

Dividiendo ambas expresiones obtenemos
$(B, C; X, X^{'}) = \frac{B X}{X C} \div \frac{B X^{'}}{X^{'} C} = - 1$ .

Proposición 1. Las proyecciones de los puntos de una hilera armónica en cualquier recta, forman otra hilera armónica.

Demostración. Sean $A C B D$ una hilera armónica y $l$ cualquier otra recta, consideremos $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ , $D^{'}$ , las proyecciones de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ respectivamente en $l$ .

Sea $P = A C B D \cap l$ , como $A A^{'} ∥ B B^{'} ∥ D D^{'}$ , tenemos las siguientes semejanzas, $△ P B^{'} B \sim △ P D^{'} D \sim △ P A^{'} A$ (figura 3), es decir:

$\frac{P A^{'}}{P D^{'}} = \frac{P A}{P D} \Leftrightarrow \frac{- A^{'} P - P D^{'}}{P D^{'}} = \frac{- A P - P D}{P D}$
$\Leftrightarrow \frac{A^{'} D^{'}}{A D} = \frac{P^{'} D^{'}}{P D}$ .

Igualmente podemos ver que $\frac{D^{'} B^{'}}{D B} = \frac{P^{'} D^{'}}{P D}$ .

Por lo tanto $\frac{A^{'} D^{'}}{D^{'} B^{'}} = \frac{A D}{B D}$ .

De manera análoga podemos encontrar $\frac{A^{'} C^{'}}{C^{'} B^{'}} = \frac{A C}{C B}$ .

Como $(A, B; C, D) = - 1$ , entonces,
$\frac{A^{'} D^{'}}{D^{'} B^{'}} = \frac{A D}{B D} = - \frac{A C}{C B} = - \frac{A^{'} C^{'}}{C^{'} B^{'}}$ .

División armónica y bisectrices

Teorema 3. Sean $A$ , $C$ , $B$ , $D$ , cuatro puntos colineales, en ese orden, sea $P$ un punto fuera de la recta $A C B D$ , entonces, si dos de las siguientes tres propiedades son ciertas, la tercera también es cierta:
$i)$ $(A, B; C, D) = - 1$ ,
$i i)$ $P C$ es la bisectriz interna de $∠ A P B$ ,
$i i i)$ $P C ⊥ P D$ .

Demostración.
$i)$ y $i i)$ se cumplen, como $P C$ es la bisectriz interna de $∠ A P B$ , por el teorema de la bisectriz, la bisectriz externa de $∠ A P B$ interseca a $A B$ en el conjugado armónico de $C$ , el cual es único por la observación hecha en la introducción.

Por lo tanto, $P D$ es la bisectriz externa de $∠ A P B$ y así $P C ⊥ P D$ .

$i i)$ y $i i i)$ se cumplen, ya que $P C$ es la bisectriz interna de $∠ A P B$ y $P C ⊥ P D$ , entonces $P D$ es la bisectriz externa de $∠ A P B$ .

Por el teorema de la bisectriz, $C$ y $D$ son conjugados armónicos.

$i)$ y $i i i)$ se cumplen, si $C$ y $D$ son conjugados armónicos respecto de $A B$ entonces se encuentran en la circunferencia de Apolonio determinada por la razón $\frac{A C}{C B} = | \frac{A D}{D B} |$ .

Recordemos que $C D$ es diámetro de esta circunferencia, como $P C ⊥ P D$ , entonces $P$ pertenece a este lugar geométrico.

Por lo tanto, $\frac{A P}{P B} = \frac{A C}{C B} = | \frac{A D}{D B} |$ , por el reciproco del teorema de la bisectriz, $P C$ y $P D$ son las bisectrices interna y externa de $∠ A P B$ respectivamente.

Corolario 2. Considera un triángulo $△ A B C$ , $I$ el incentro, $I_{c}$ el excentro relativo al vértice $C$ y $C_{1} = C I \cap A B$ , entonces $(C, C_{1}; I, I_{c}) = - 1$ .

Demostración. En $△ A C_{1} C$ , $A I$ y $A I_{c}$ son las bisectrices interna y externa respectivamente de $∠ C_{1} A C$ .

Como se cumplen los puntos $i i)$ y $i i i)$ del teorema anterior entonces $(C, C_{1}; I, I_{c}) = - 1$ .

Punto medio de conjugados armónicos

Teorema 4. Si $A$ , $C$ , $B$ , $D$ , son cuatro puntos colineales, en ese orden, y $O$ el punto medio del segmento $A B$ entonces $(A, B; C, D) = - 1$ si y solo si $O C \times O D = O A^{2}$ .

Demostración. Empleando segmentos dirigidos tenemos lo siguiente:
$A C - C B = (A O + O C) - (C O + O B) = 2 O C$ ,
$A D - D B = (A O + O D) - (D O + O B) = 2 O D$ ,
$A C + C B = A B = A D + D B = 2 A O$ .

Por lo tanto, $O C \times O D = O A^{2}$
$\Leftrightarrow 2 O C \times 2 O D = (2 A O)^{2}$
$\Leftrightarrow (A C - C B) (A D - D B) = (A C + C B) (A D + D B)$
$\Leftrightarrow (A C \times A D) - (A C \times D B) - (A D \times C B) + (C B \times D B)$
$= (A C \times A D) + (A C \times D B) + (A D \times C B) + (C B \times D B)$
$\Leftrightarrow - 2 A C \times D B = 2 A D \times C B$
$\Leftrightarrow (A, B; C, D) = - 1$ .

Proposición 2.Sean $A$ , $C$ , $B$ , $D$ , cuatro puntos colineales, entonces $(A, B; C, D) = - 1$ , si y solo si al medir todos los segmentos de un punto de la hilera armónica, $B$ por ejemplo, tenemos $\frac{2}{B A} = \frac{1}{B C} + \frac{1}{B D}$ .

Demostración. $\frac{A C}{C B} = - \frac{A D}{D B}$
$\Leftrightarrow \frac{A B + B C}{C B} = - \frac{A B + B D}{D B}$
$\Leftrightarrow \frac{B A}{B C} - 1 = \frac{B A}{D B} + 1$
$\Leftrightarrow \frac{1}{B C} + \frac{1}{B D} = \frac{2}{B A}$ .

Teorema de Feuerbach

Teorema 5, de Feuerbach. La circunferencia de los nueve puntos y el incírculo de un triángulo son tangentes.

Demostración. Paso 1. Sean $△ A B C$ , $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ su triangulo medial, $Γ (N)$ la circunferencia de los nueve puntos (el circuncírculo de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ) y considera la tangente $C^{'} T$ a $Γ (N)$ en $C^{'}$ .

Notemos que $∠ T C^{'} A$ y $∠ C^{'} B^{'} A^{'}$ son ángulos semiinscrito e inscrito respectivamente de $Γ (N)$ y abarcan el mismo arco, por lo tanto, son iguales.

Recordemos que los lados de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ son paralelos a los de $△ A B C$ y por lo tanto, $△ A B C$ y $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ son semejantes.

En consecuencia,
$∠ B C^{'} T = ∠ B C^{'} A^{'} - ∠ T C^{'} A$
$= ∠ B A C - ∠ C^{'} B^{'} A^{'} = ∠ A - ∠ B$ .

Paso 2. Sean $Γ (I)$ el incírculo de $△ A B C$ , $C_{1} = C I \cap A B$ y $C_{1} P$ tangente a $Γ (I)$ en $P$ .

Como $C_{1} A$ y $C_{1} P$ son tangentes a $Γ (I)$ desde $C_{1}$ entonces $∠ P C_{1} I = ∠ I C_{1} A$ .

Por lo tanto,
$∠ B C_{1} P = π - ∠ P C_{1} A$
$= π - (2 ∠ I C_{1} A) = π - 2 (π - ∠ A - \frac{∠ C}{2})$
$= ∠ A + (∠ A + ∠ C - π) = ∠ A - ∠ B$ .

Así, $C^{'} T ∥ C_{1} P$ .

Paso 3. Sean $Γ (I_{c})$ el excírculo opuesto al vértice $C$ , $Z_{c}$ el punto de tangencia entre $Γ (I_{c})$ y $A B$ , $Z$ el punto de tangencia entre $Γ (I)$ y $A B$ , $H_{c}$ el pie de la altura por $C$ en $△ A B C$ .

Por el corolario 2, $(C, C_{1}; I, I_{c}) = - 1$ y por la proposición 1, $(H_{c}, C_{1}; Z, Z_{c}) = - 1$ .

Recordemos que el punto medio de $Z$ y $Z_{c}$ coincide con el punto medio $C^{'}$ , de $A B$ .

Por el teorema 4, $C^{'} C_{1} \times C^{'} H_{c} = C^{'} Z^{2}$ .

Sea $F = C^{'} P \cap Γ (I)$ , $F \neq P$ , por la potencia de $C^{'}$ respecto de $Γ (I)$ tenemos
$C^{'} P \times C^{'} F = C^{'} Z^{2} = C^{'} C_{1} \times C^{'} H_{c}$ .

Por la ecuación anterior, el teorema de las cuerdas nos dice que $H_{c} C_{1} P F$ es cíclico.

Por lo tanto, $∠ H_{c} F P$ y $∠ P C_{1} H_{c}$ son suplementarios.

En consecuencia, $∠ H_{c} F C^{'} = ∠ B C_{1} P = ∠ B C^{'} T$ .

Por otra parte, notemos que $C^{'} H_{c}$ es una cuerda de la circunferencia de los nueve puntos $Γ (N)$ , sea $F^{'}$ en el arco $\overset{⌢}{C^{'} H_{c}}$ (recorrido en ese sentido).

Entonces, $∠ B C^{'} T + ∠ T C^{'} F^{'} + ∠ F^{'} C^{'} H_{c} = π = ∠ H_{c} F^{'} C^{'} + ∠ C^{'} H_{c} F^{'} + ∠ F^{'} C^{'} H_{c}$ , además $∠ T C^{'} F^{'} = ∠ C^{'} H_{c} F^{'}$ , pues abarcan el mismo arco.

Por lo tanto, los puntos $F^{'}$ en el arco $\overset{⌢}{C^{'} H_{c}}$ , cumplen que $∠ H_{c} F^{'} C^{'} = ∠ B C^{'} T$ , además son los únicos, siempre y cuando estén del mismo lado que $C$ respecto de $C^{'} H_{c}$ .

Como $F$ cumple estas características, entonces $F \in Γ (N)$ .

Paso 4. Sean $U$ la intersección de la tangente a $Γ (N)$ en $F$ con $C^{'} T$ y $V$ la intersección de la tangente a $Γ (I)$ en $F$ con $C_{1} P$ .

Como $U C^{'} = U F$ , por ser tangentes a $Γ (N)$ desde $U$ , entonces $∠ U C^{'} F = ∠ C^{'} F U$ , igualmente vemos que $∠ V P F = ∠ P F V$ .

Pero $∠ U C^{'} F = ∠ V P F$ pues $C^{'} U ∥ P V$ y $C^{'} P F$ es transversal a ambas.

Por lo tanto, $∠ C^{'} F U = ∠ P F V = ∠ C^{'} F V$ , es decir $U F$ y $V F$ son la misma recta.

Como resultado tenemos que $Γ (N)$ y $Γ (I)$ son tangentes en $F$ .

Definición 3. Al punto de tangencia entre el incírculo y la circunferencia de los nueve puntos $F$ , se le conoce como punto de Feuerbach.

Más adelante…

Continuando con el tema de división armónica, en la siguiente entrada estudiaremos haces armónicos.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

$i)$ Divide un segmento dado en una razón dada $\frac{p}{q}$ ,
$i i)$ Muestra que $H N G O$ es una hilera armónica, donde $H$ es el ortocentro, $N$ el centro de los nueve puntos, $G$ el centroide y $O$ el circuncentro de un triángulo.
Si los puntos $C$ y $D$ dividen internamente y externamente de manera armónica en la razón $\frac{p}{q}$ al segmento $A B$ , muestra que el punto medio de $C D$ divide al segmento $A B$ en la razón $\frac{p^{2}}{q^{2}}$ .
Prueba que la suma de los cuadrados de dos segmentos armónicos es igual a cuatro veces el cuadrado de la distancia entre los puntos medios de estos segmentos.
Considera el segmento determinado por el vértice de un triángulo y la intersección de la bisectriz interna o externa con el lado opuesto, muestra que los pies de las perpendiculares a dicha recta desde los otros dos vértices del triángulo dividen al segmento de manera armónica.
Si los puntos $C$ y $D$ dividen armónicamente al segmento $A B$ y $O$ es el punto medio de $A B$ , muestra que $O C^{2} + O D^{2} = C D^{2} + 2 O A^{2}$ .
Si $(A, B; C, D) = - 1$ y $A^{'}$ , $B^{'}$ son los conjugados armónicos de $D$ respecto a los pares de puntos $(A, C)$ y $(B, C)$ respectivamente, muestra que $(A^{'}, B^{'}; C, D) = - 1$ .
Sean $△ A B C$ , $D$ , $E$ , $F$ , los puntos de tangencia del incírculo de $△ A B C$ con $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente, sea $X$ en el interior de $△ A B C$ tal que el incírculo de $△ X B C$ es tangente a $B C$ , $C X$ , $X B$ en $D$ , $Y$ , $Z$ , respectivamente, demuestra que $E F Z Y$ es cíclico.
Demuestra que la circunferencia de los nueve puntos de un triángulo es tangente a cada uno de sus excírculos.

Entradas relacionadas

Ir a Geometría Moderna I.
Entrada anterior del curso: Punto de Nagel.
Siguiente entrada del curso: Haz armónico.
Otros cursos.

Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 53-56, 166-171.
Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 149-161.
Lozanovski, S., A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry. Version 1.4. 2020, pp 156-158.
Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 200-203.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

El blog de Leo

Aprendiendo, creando y compartiendo matemáticas

Archivo de la etiqueta: división armónica

Geometría Moderna I: Haz armónico

Introducción

Haz de rectas

Ejemplo

Haz armónico

Cuadrilátero armónico

Construcción del conjugado armónico en una circunferencia.

Ejemplo

Más adelante…

Tarea moral

Entradas relacionadas

Fuentes

Agradecimientos

Geometría Moderna I: División armónica

Introducción

Hilera armónica

Construcción del conjugado armónico

División armónica y bisectrices

Punto medio de conjugados armónicos

Teorema de Feuerbach

Más adelante…

Tarea moral

Entradas relacionadas

Fuentes

Agradecimientos