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Geometría Moderna I: Cuadrilátero ortodiagonal

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Introducción

Decimos que un cuadrilátero convexo es ortodiagonal si sus diagonales son perpendiculares. En esta entrada veremos algunas propiedades del cuadrilátero ortodiagonal.

Dos caracterizaciones para el cuadrilátero ortodiagonal

Teorema 1. Un cuadrilátero convexo es ortodiagonal si y solo si la suma de los cuadrados de dos lados opuestos es igual a la suma de los cuadrados de los restantes lados opuestos.

Demostración. Sea $A B C D$ convexo, consideremos $P$ la intersección de las diagonales, $ϕ = ∠ A P B$ , $ψ = ∠ B P C$ .

Como $ϕ + ψ = π$ entonces $\cos ϕ = - \cos ψ$ .

Aplicando la ley de los cosenos a los triángulos $△ A P B$ , $△ B P C$ , $△ C P D$ y $△ A P D$ obtenemos,
$A B^{2} = A P^{2} + B P^{2} - 2 A P \times B P \cos ϕ$ ,
$B C^{2} = B P^{2} + C P^{2} - 2 B P \times C P \cos ψ$ ,
$C D^{2} = C P^{2} + D P^{2} - 2 C P \times D P \cos ϕ$ ,
$A D^{2} = A P^{2} + D P^{2} - 2 A P \times D P \cos ψ$ .

Por lo tanto,
$A B^{2} + C D^{2} - B C^{2} - A D^{2}$
$= (A P^{2} + B P^{2} + 2 A P \times B P \cos ψ) + (C P^{2} + D P^{2} + 2 C P \times D P \cos ψ)$
$- (B P^{2} + C P^{2} - 2 B P \times C P \cos ψ) - (A P^{2} + D P^{2} - 2 A P \times D P \cos ψ)$
$= 2 \cos ψ (A P \times B P + C P \times D P + B P \times C P + A P \times D P)$ .

Notemos que $0 < ψ < π$ , por lo tanto,
$\overset{―}{A C} ⊥ \overset{―}{B D} \Leftrightarrow ψ = \frac{π}{2} \Leftrightarrow \cos ψ = 0$
$\Leftrightarrow A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + A D^{2}$ .

Proposición 1. Sean $A B C D$ convexo, $P$ la intersección de las diagonales, $m_{i}$ con $i = 1, 2, 3, 4$ las medianas de los triángulos $△ A P B$ , $△ B P C$ , $△ C P D$ y $△ A P D$ , que pasan por $P$ , entonces $A B C D$ es ortodiagonal si y solo si $m_{1}^{2} + m_{3}^{2} = m_{2}^{2} + m_{4}^{2}$ .

Demostración. Aplicando el teorema de Apolonio para calcular la longitud de las medianas en términos de los lados de sus respectivos triángulos obtenemos,

$m_{1}^{2} + m_{3}^{2} = m_{2}^{2} + m_{4}^{2}$
$\Leftrightarrow 4 m_{1}^{2} + 4 m_{3}^{2} = 4 m_{2}^{2} + 4 m_{4}^{2}$
$\Leftrightarrow 2 (A P^{2} + B P^{2}) - A B^{2} + 2 (C P^{2} + D P^{2}) - C D^{2}$
$= 2 (B P^{2} + C P^{2}) - B C^{2} + 2 (A P^{2} + D P^{2}) - A D^{2}$
$\Leftrightarrow A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + A D^{2}$ .

La última doble implicación es cierta por el teorema 1.

Circunferencia de los 8 puntos del cuadrilátero ortodiagonal

Definición. Al cuadrilátero formado por los pies de las $m$ -alturas de un cuadrilátero convexo se le conoce como cuadrilátero principal órtico.

Lema 1. Los vértices del paralelogramo de Varignon y los vértices del cuadrilátero principal órtico de un cuadrilátero convexo que se encuentran sobre lados opuestos, están en dos circunferencias con centro en $G$ , el centroide del cuadrilátero.

Demostración. Sean $A B C D$ un cuadrilátero convexo $M_{1}$ , $M_{2}$ , $M_{3}$ y $M_{4}$ los puntos medios de $A B$ , $B C$ , $C D$ y $A D$ respectivamente.

Recordemos que las diagonales del cuadrilátero de Varignon, es decir, las bimedianas $M_{1} M_{3}$ y $M_{2} M_{4}$ , se intersecan en su punto medio, $G$ , al que llamamos centroide.

Sean $M_{1} H_{1}$ , $M_{2} H_{2}$ , $M_{3} H_{3}$ y $M_{4} H_{4}$ las $m$ -alturas de $A B C D$ .

Por construcción $∠ M_{3} H_{1} M_{1} = ∠ M_{1} H_{3} M_{3} = \frac{π}{2}$ , por lo tanto, $M_{1} M_{3}$ es el diámetro de una circunferencia con centro en $G$ y que pasa por $H_{1}$ y $H_{3}$ .

De manera análoga podemos ver que los puntos $H_{2}$ y $H_{4}$ están en una circunferencia de diámetro $M_{2} M_{4}$ con centro en $G$ .

Teorema 2. Los vértices del paralelogramo de Varignon y los vértices del cuadrilátero principal órtico de un cuadrilátero convexo están en una misma circunferencia con centro en el centroide del cuadrilátero si y solo si el cuadrilátero es ortodiagonal.

A dicha circunferencia se le conoce como primera circunferencia de los ocho puntos del cuadrilátero ortodiagonal.

Demostración. El lema anterior nos dice que los puntos $M_{1}, H_{1}, M_{3}, H_{3}$ y $M_{2}, H_{2}, M_{4}, H_{4}$ están en dos circunferencias con centro en $G$ , el centroide de $A B C D$ .

Además, las bimedianas de un cuadrilátero se bisecan en el centroide del cuadrilátero.

Por lo tanto, el paralelogramo de Varignon y el cuadrilátero principal órtico son ambos cíclicos y comparten la misma circunferencia si y solo si $M_{1} M_{3} = M_{2} M_{4}$ , es decir, las bimedianas tienen la misma longitud, si y solo si el paralelogramo de Varignon es un rectángulo si y solo si $A B C D$ es ortodiagonal.

Teorema de Brahmagupta

Teorema 3. de Brahmagupta. En un cuadrilátero ortodiagonal y cíclico, el anticentro coincide con la intersección de las diagonales del cuadrilátero.

Demostración. Recordemos que en un cuadrilátero cíclico las $m$ -alturas son concurrentes y definimos al punto de concurrencia como el anticentro, el cual tiene la propiedad de ser simétrico al circuncentro respecto a $G$ , el centroide del cuadrilátero.

Sea $A B C D$ ortogonal y cíclico, tracemos el segmento $M P$ que pasa por el punto medio de $A B$ y la intersección de las diagonales $P$ , consideremos $H = M P \cap B C$ .

En un triángulo rectángulo la distancia del punto medio de la hipotenusa a los tres vértices del triángulo es la misma, por lo tanto, $△ A M P$ es isósceles pues $∠ D P A = \frac{π}{2}$ .

Esto implica que $∠ P A M = ∠ M P A = ∠ H P C$ .

Donde la última igualdad se debe a que los ángulos considerados son opuestos por el vértice, además $∠ A D P = ∠ P C H$ .

Como consecuencia de las últimas dos igualdades tenemos $△ A P D \sim △ P H C$ , por criterio de semejanza AA.

Entonces $∠ C H P = ∠ D P A = \frac{π}{2}$ , por lo tanto, $M H$ es una $m$ -altura de $A B C D$ .

De manera análoga podemos ver que las otras $m$ -alturas pasan por $P$ y como todas las $m$ -alturas de un cuadrilátero cíclico concurren en el anticentro entonces este coincide con $P$ .

Proposición 2. En un cuadrilátero cíclico y ortodiagonal la distancia desde el circuncentro a uno de los lados del cuadrilátero es igual a la mitad del lado opuesto.

Demostración. Sea $G$ el centroide del cuadrilátero $A B C D$ (figura 5) y $N$ el punto medio de $B C$ .

Sabemos que $G$ biseca a $M N$ y a $O P$ , por lo tanto, $M O N P$ es un paralelogramo, en consecuencia, la distancia de $O$ a $B C$ es $O N = M P = \frac{A D}{2}$ .

Donde la primera igualdad se da porque $M O N P$ es paralelogramo y la segunda porque $M$ es el punto medio de la hipotenusa en $△ A P D$ .

Corolario 1. El circunradio de un cuadrilátero cíclico y ortodiagonal $A B C D$ con lados $a = A B$ , $b = B C$ , $c = C D$ y $d = A D$ cumple la siguiente igualdad, $4 R^{2} = a^{2} + c^{2} = b^{2} + d^{2}$ .

Demostración. Por la prueba de la proposición anterior sabemos que $∠ O N B = \frac{π}{2}$ (figura 5), por lo tanto podemos aplicar el teorema de Pitágoras a $△ O N B$ .

$R^{2} = O B^{2} = O N^{2} + B N^{2} = (\frac{A D}{2})^{2} + (\frac{B C}{2})^{2}$
$\Leftrightarrow 4 R^{2} = d^{2} + b^{2}$ .

De manera análoga se ve que $4 R^{2} = a^{2} + c^{2}$ .

Circunferencia de Droz-Farny

Lema 2. Sean $A B C D$ cíclico $O$ y $H$ el circuncentro y el anticentro respectivamente, consideremos el cuadrilátero principal órtico con vértices $H_{1} \in C D$ , $H_{2} \in A D$ , $H_{3} \in A B$ , $H_{4} \in B C$ , sean $X_{i}$ , $X_{i}^{'}$ las intersecciones de $(H_{i}, H_{i} O)$ (la circunferencia con centro en $H_{i}$ y radio $H_{i} O$ ) con el lado de $A B C D$ al que pertenece $H_{i}$ . Entonces los puntos $X_{1}, X_{1}^{'}, X_{3}, X_{3}^{'}$ y los putos $X_{2}, X_{2}^{'}, X_{4}, X_{4}^{'}$ pertenecen a dos circunferencias con centro en $H$ .

Demostración. Veamos que $X_{1} X_{1}^{'} X_{3} X_{3}^{'}$ es cíclico.

Dado que $H H_{1}$ es la mediatriz de $X_{1} X_{1}^{'}$ entonces $H X_{1} = H X_{1}^{'}$ , de manera similar vemos que $H X_{3} = H X_{3}^{'}$ .

Por otra parte, como $X_{1} \in (H_{1}, H_{1} O)$ , entonces $H_{1} X_{1} = H_{1} O$ .

Sea $G$ el centroide del cuadrilátero $A B C D$ y recordemos que $G$ biseca a $O H$ .

Aplicando el teorema de Pitágoras a $△ H H_{1} X_{1}$ y el teorema de Apolonio a la mediana $H_{1} G$ en $△ H H_{1} O$ obtenemos,
$H X_{1}^{2} = H H_{1}^{2} + H_{1} X_{1}^{2} = H H_{1}^{2} + H_{1} O^{2}$
$\begin{matrix} (1) & = 2 H_{1} G^{2} + 2 O G^{2} . \end{matrix}$

De manera análoga calculamos
$\begin{matrix} (2) & H X_{3}^{2} = 2 H_{3} G^{2} + 2 O G^{2} . \end{matrix}$

Por el lema 1, $H_{1}$ y $H_{3}$ están en una misma circunferencia con centro en $G$ por lo tanto $H_{1} G = H_{3} G$ , de $(1)$ y $(2)$ se sigue que $H X_{1}^{'} = H X_{1} = H X_{3} = H X_{3}^{'}$ .

Así, $X_{1}$ , $X_{1}^{'}$ , $X_{3}$ y $X_{3}^{'}$ están en una misma circunferencia con centro en $H$ .

De manera análoga se ve que $X_{2}$ , $X_{2}^{'}$ , $X_{4}$ , $X_{4}^{'}$ están en una misma circunferencia concéntrica con la anterior.

Teorema 4. Sea $A B C D$ cíclico entonces los 8 puntos $X_{i}$ , $X_{i}^{'}$ con $i = 1, 2, 3, 4$ se encuentran en una misma circunferencia con centro en $H$ , el anticentro del cuadrilátero cíclico, si y solo si $A B C D$ es ortodiagonal, esta es la primera circunferencia de Droz-Farny del cuadrilátero.

Demostración. Los puntos consideraos son concíclicos si y solo si las dos circunferencias a las que pertenecen tienen el mismo radio es decir $H X_{1} = H X_{2} = H X_{3} = H X_{4}$ .

En la demostración del lema anterior vimos que $H X_{i}^{2} = 2 H_{i} G^{2} + 2 O G^{2}$ .

Esto implica que $H X_{1} = H X_{2} = H X_{3} = H X_{4} \Leftrightarrow H_{1} G = H_{2} G = H_{3} G = H_{4} G$ , esto quiere decir que los vértices del cuadrilátero principal órtico de $A B C D$ están en una misma circunferencia con centro en $G$ .

Por el teorema 3, esto ocurre si y solo si $A B C D$ es ortodiagonal.

Proposición 3. Sea $A B C D$ cíclico y ortodiagonal entonces el radio de la primera circunferencia de Droz-Farny es igual al circunradio de $A B C D$ .

Demostración. Por la prueba de lema 2 sabemos que
$\begin{matrix} (3) & H X_{1}^{2} = 2 H_{1} G^{2} + 2 O G^{2} . \end{matrix}$

El teorema 3 nos dice que el anticentro $H$ coincide con $P$ , la intersección de las diagonales, por lo tanto $△ C H D$ es rectángulo (figura 7). Si $M_{3}$ es el punto medio de $C D$ , la hipotenusa, entonces $M_{3} H = M_{3} C$ .

Como $O$ esta en la mediatriz de $C D$ , entonces $O M_{3} ⊥ C D$ .

Aplicando el teorema de Pitágoras a $△ O M_{3} C$ y el teorema de Apolonio a la mediana $M_{3} G$ en $△ O H M_{3}$ tenemos,

$\begin{matrix} (4) & O C^{2} = M_{3} O^{2} + M_{3} C^{2} = M_{3} O^{2} + M_{3} H^{2} = 2 M_{3} G^{2} + 2 O G^{2} . \end{matrix}$

Por el teorema 3, $M_{3}$ y $H_{1}$ están en una misma circunferencia con centro en $G$ , por lo tanto $H_{1} G = M_{3} G$ .

De $(3)$ y $(4)$ se sigue que $R = O C = H X_{1}$ .

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos sobre cuadriláteros que tienen un incírculo.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Muestra que de todos los cuadriláteros convexos con diagonales dadas los ortodiagonales son los de mayor área y calcula el área en función de las diagonales.
Sea $A B C D$ un cuadrilátero convexo y $P$ la intersección de las diagonales, consideremos los circunradios $R_{1}$ , $R_{2}$ , $R_{3}$ y $R_{4}$ de los triángulos $△ A P B$ , $△ B P C$ , $△ C P D$ y $△ A P D$ respectivamente, demuestra que
$i)$ $A B C D$ es ortodiagonal si y solo si $R_{1}^{2} + R_{3}^{2} = R_{2}^{2} + R_{4}^{2}$
$i i)$ $A B C D$ es ortodiagonal si y solo si los circuncentros de los triángulos $△ A P B$ , $△ B P C$ , $△ C P D$ y $△ A P D$ son los puntos medios de los lados del cuadrilátero.
Sea $A B C D$ un cuadrilátero convexo y $P$ la intersección de las diagonales, considera las alturas $h_{1}$ , $h_{2}$ , $h_{3}$ y $h_{4}$ , de los triángulos $△ A P B$ , $△ B P C$ , $△ C P D$ y $△ A P D$ trazadas desde $P$ , muestra que $A B C D$ es ortodiagonal si y solo si $\frac{1}{h_{1}^{2}} + \frac{1}{h_{3}^{2}} = \frac{1}{h_{2}^{2}} + \frac{1}{h_{4}^{2}}$ .
Sean $A B C D$ un cuadrilátero convexo, $P$ la intersección de las diagonales, $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ y $P_{4}$ las proyecciones trazadas desde $P$ a los lados $A B$ , $B C$ , $C D$ y $A D$ respectivamente, y considera los puntos $P_{i}^{'}$ con $i = 1, 2, 3, 4$ como las intersecciones de $P P_{i}$ con el lado opuesto al que pertenece $P_{i}$ prueba que
$i)$ $A B C D$ es ortodiagonal si y solo si $∠ C B P + ∠ P C B + ∠ P A D + ∠ A D P = π$
$i i)$ $A B C D$ es ortodiagonal si y solo si $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}$ es cíclico.
$i i i)$ $A B C D$ es ortodiagonal si y solo si los 8 puntos $P_{i}$ , $P_{i}^{'}$ con $i = 1, 2, 3, 4$ son cíclicos, a esta circunferencia se le conoce como segunda circunferencia de los ocho puntos del cuadrilátero ortodiagonal.
$i v)$ La primera y la segunda circunferencias de los ocho puntos de un cuadrilátero ortodiagonal son la misma si y solo si el cuadrilátero es cíclico.

Muestra que un cuadrilátero convexo $A B C D$ es ortodiagonal si y solo si el cuadrilátero $P_{1}^{'} P_{2}^{'} P_{3}^{'} P_{4}^{'}$ , definido en el ejercicio anterior (figura 8), es un rectángulo cuyos lados son paralelos a las diagonales de $A B C D$ .
Sean $A B C D$ cíclico, $O$ el circuncentro, $H$ el anticentro y considera los puntos medios $M_{i}$ con $i = 1, 2, 3, 4$ del cuadrilátero (figura 9), define $Y_{i}$ , $Y_{i}^{'}$ como las intersecciones de $(M_{i}, M_{i} H)$ (la circunferencia con centro en $M_{i}$ y radio $M_{i} H$ ) con el lado de $A B C D$ al que biseca $M_{i}$ .
$i)$ Muestra que los puntos $Y_{1}, Y_{1}^{'}, Y_{3}, Y_{3}^{'}$ y los putos $Y_{2}, Y_{2}^{'}, Y_{4}, Y_{4}^{'}$ están en dos circunferencias con centro en $O$
$i i)$ Dichas circunferencias son la misma si y solo si $A B C D$ es ortodiagonal, esta es la segunda circunferencia de Droz-Farny del cuadrilátero.

Entradas relacionadas

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Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 136-138.
Mammana, Maria Flavia; Micale, Biagio; Pennisi, Mario., The Droz-Farny Circles of a Convex Quadrilateral, Forum Geometricorum, (2011), 11, pp 109–119.
Josefsson, Martin., Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals, Forum Geometricorum, (2012), 12, pp 13–25.
Wikipedia

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Teoremas de Varignon y Van Aubel

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

Con esta entrada damos inicio a la cuarta unidad que tratará sobre cuadriláteros. Comenzaremos hablando sobre el paralelogramo de Varignon y el teorema de Van Aubel.

Área del cuadrilátero

A partir de la ubicación de las diagonales de un cuadrilátero podemos establecer una clasificación de estos.

Un cuadrilátero es convexo si sus dos diagonales se encuentran dentro de él, es cóncavo si tiene una diagonal dentro y otra fuera de él, y es cruzado si las dos diagonales se ubican fuera del cuadrilátero.

El teorema de Varignon nos habla sobre el área de un cuadrilátero en general y ya que no es tan intuitivo definir el área de un cuadrilátero cruzado es necesario introducir el concepto de área orientada.

Consideraremos el área de un triángulo como positiva si recorremos sus vértices en el sentido opuesto a las manecillas del reloj y como negativa en caso contrario.

De esta manera tenemos que para un triángulo $△ A B C$ ,
$(△ A B C) = (△ B C A) = (△ C A B)$
$= - (△ C B A) = - (△ A C B) = - (△ B A C)$ .

Definición 1. Definimos el área de un cuadrilátero $A B C D$ como la suma de las áreas de los triángulos que se forman al considerar una de sus diagonales, esto es,
$(A B C D) = (△ A B C) + (△ C D A)$ .

Notemos que como resultado de esta definición el área del cuadrilátero cruzado resulta ser la diferencia de las áreas de los triángulos que se forman al considerar la intersección cruzada de los lados.

Paralelogramo de Varignon

Teorema 1, de Varignon.
$i)$ Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero convexo son los vértices de un paralelogramo, conocido como paralelogramo de Varignon, cuyo perímetro es la suma de las diagonales del cuadrilátero,
$i i)$ el área del paralelogramo de Varignon es la mitad del área del cuadrilátero.

Demostración. Sean $A B C D$ un cuadrilátero convexo y $M_{a b}$ , $M_{b c}$ , $M_{c d}$ y $M_{d a}$ los puntos medios de $A B$ , $B C$ , $C D$ y $D A$ respetivamente.

Notemos que $M_{a b} M_{b c}$ y $M_{c d} M_{d a}$ son segmentos medios de $△ A B C$ y $△ D A C$ por lo que $M_{a b} M_{b c} ∥ C A ∥ M_{c d} M_{d a}$ y $2 M_{a b} M_{b c} = C A = 2 M_{c d} M_{d a}$ .

De manera análoga podemos ver que $M_{a b} M_{d a} ∥ D B ∥ M_{b c} M_{c d}$ y $2 M_{a b} M_{d a} = B D = 2 M_{b c} M_{c d}$ .

Por lo tanto los lados opuestos de $M_{a b} M_{b c} M_{c d} M_{d a}$ son paralelos y $M_{a b} M_{b c} + M_{b c} M_{c d} + M_{c d} M_{d a} + M_{d a} M_{a b} = \frac{C A + B D + C A + B D}{2} = C A + B D$ .

Para calcular el área de $M_{a b} M_{b c} M_{c d} M_{d a}$ primero notemos que $△ A M_{a b} M_{d a}$ y $△ A B D$ son semejantes pues $M_{a b} M_{d a} ∥ B D$ .

También sabemos que $M_{a b} M_{d a} = \frac{B D}{2}$ , por lo que las alturas desde $A$ , $h$ y $h^{'}$ de $△ A M_{a b} M_{d a}$ y $△ A B D$ respectivamente, también cumplirán que $h = \frac{h^{'}}{2}$ .

Por lo tanto,
$(△ A M_{a b} M_{d a}) = \frac{M_{a b} M_{d a} \times h}{2}$
$= \frac{\frac{1}{2} D B D \times \frac{1}{2} h^{'}}{2} = \frac{1}{4} \frac{B D \times h^{'}}{2}$
$= \frac{1}{4} (△ A B D)$ .

De manera similar podemos encontrar las áreas de $△ B M_{b c} M_{a b}$ , $△ C M_{c d} M_{b c}$ y $△ D M_{d a} M_{c d}$ .

En consecuencia,
$(M_{a b} M_{b c} M_{c d} M_{d a}) = (A B C D) - (△ A M_{a b} M_{d a}) - (△ B M_{b c} M_{a b}) - (△ C M_{c d} M_{b c}) - (△ D M_{d a} M_{c d})$
$= (A B C D) - \frac{1}{4} ((△ A B D) + (△ B C D) + (△ C D B) + (△ D A C))$
$= (A B C D) - \frac{2}{4} (A B C D)$
$= \frac{(A B C D)}{2}$ .

Corolario. Sea $A B C D$ un cuadrilátero convexo, entonces su cuadrilátero de Varignon
$i)$ es un rombo si y solo si $A C = B D$ ,
$i i)$ es un rectángulo si y solo si $A C ⊥ B D$ ,
$i i i)$ es un cuadrado si y solo si $A C = B D$ y $A C ⊥ B D$ .

Demostración. Sean $E$ , $F$ , $G$ , $H$ , los puntos medios de $B C$ , $C D$ , $D A$ , $A B$ , respectivamente como $E F$ y $F G$ son segmentos medios de $△ D B C$ y $△ A D C$ , entonces, $2 E F = B D$ , $E F ∥ B D$ y $2 F G = A C$ , $F G ∥ A C$ .

$i)$ $E F G H$ es un rombo, entonces por definición $E F = F G \Leftrightarrow A C = B D$ .

$i i)$ $E F G H$ es un rectángulo, entonces por definición $E F ⊥ F G \Leftrightarrow A C ⊥ B D$ .

$i i i)$ Es consecuencia de $i)$ y $i i)$ .

Centroide de un cuadrilátero

Definición 2. Los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero se llaman bimedianas.

Al segmento que une los puntos medios de las diagonales de un cuadrilátero se le conoce como recta de Newton.

Teorema 2. Las bimedianas de un cuadrilátero convexo y su recta de Newton son concurrentes y se bisecan entre sí, el punto de concurrencia es el centroide del cuadrilátero.

Demostración. Sea $A B C D$ un cuadrilátero convexo y $M_{a b}$ , $M_{b c}$ , $M_{c d}$ , $M_{d a}$ , $M$ , $N$ , los puntos medios de $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ , $A C$ , $B D$ , respectivamente.

$M_{a b} M_{c d}$ y $M_{b c} M_{d a}$ son las diagonales del paralelogramo de Varignon, por lo tanto, se intersecan en $J$ su punto medio.

Por otra parte, $M_{a b} M$ es un segmento medio de $△ A B C$ , por lo que $M_{a b} M ∥ B C$ ; $N M_{c d}$ es un segmento medio de $△ D B C$ , por lo tanto, $N M_{c d} ∥ B C$ , y así $N M_{c d} ∥ M_{a b} M$ .

Igualmente vemos que $M_{a b} N ∥ M M c d$ .

Por lo tanto, $M_{a b} N M_{c d} M$ es un paralelogramo, en consecuencia las diagonales $M_{a b} M_{c d}$ y $N M$ se intersecan en $J$ su punto medio.

En conclusión, $J$ es el punto medio de $M_{a b} M_{c d}$ , $M_{b c} M_{d a}$ y $N M$ .

Construcción de un cuadrilátero

Problema. Construye un cuadrilátero $A B C D$ conociendo $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ y $M_{a b} M_{c d}$ donde $M_{a b}$ y $M_{c d}$ son los puntos medios de $A B$ y $C D$ respectivamente.

Solución. Primero construimos el paralelogramo $M_{a b} N M_{c d} M$ , donde $M$ y $N$ son los puntos medios de las diagonales $A C$ y $B D$ , de la siguiente manera.

De la demostración del teorema 2 sabemos que $M_{a b} M = N M_{c d} = \frac{B C}{2}$ y $M_{a b} N = M M_{c d} = \frac{A D}{2}$ (figura 4).

También sabemos que la diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes, por lo que basta construir un triángulo de lados $M_{a b} M_{c d}$ , $\frac{B C}{2}$ y $\frac{A D}{2}$ y luego trazar paralelas por $M_{a b}$ y $M_{c d}$ a los lados del triángulo construido completando así el paralelogramo.

De manera similar construimos el paralelogramo $M_{a b} M_{b c} M_{c d} M_{d a}$ donde $M_{b c}$ y $M_{d a}$ serían los puntos medios de $B C$ y $A D$ respectivamente.

Sabemos también que $M_{b c} M ∥ A B$ por lo que trazamos la paralela $A B$ a $M_{b c} M$ por $M_{a b}$ tal que $A M_{a b} = M_{b c} B = \frac{A B}{2}$ .

Con $A$ y $B$ construidos, por $M_{b c}$ trazamos $A B C$ tal que $B M_{b c} = M_{b c} C = \frac{B C}{2}$ , similarmente construimos $D$ .

Teorema de Van Aubel

Teorema 3, de Van Aubel. Los segmentos que unen los centros de cuadrados construidos externamente sobre lados opuestos de un cuadrilátero convexo son perpendiculares y tienen la misma longitud.

Demostración. Sean $A B C D$ un cuadrilátero convexo y $E F B A$ , $B G H C$ , $D C I J$ , $L A D K$ , cuadrados construidos externamente sobre los lados de $A B C D$ y $O_{1}$ , $O_{2}$ , $O_{3}$ , $O_{4}$ , sus respectivos centros.

Sea $M = L B \cap E D$ , como $A L = A D$ y $A B = A E$ y $∠ L A B = ∠ D A E$ , por criterio de congruencia LAL, $△ L A B ≅ △ D A E$ ,
$\Rightarrow L B = D E$ y $∠ A E M = ∠ A B M$ .

Por lo tanto, $M E B A$ es cíclico, así, $∠ E M B = ∠ E A B$ , es decir $L B ⊥ D E$ .

Considera $N$ el punto medio de $B D$ , $N O_{4}$ y $N O_{3}$ son segmentos medios de $△ B D E$ y $△ D B L$ respectivamente.

Esto implica que $2 N O_{4} = D E$ y $N O_{4} ∥ D E$ y $2 N O_{3} = L B$ y $N O_{4} ∥ L B$ .

Por lo tanto, $N O_{4} = N O_{3}$ y $N O_{4} ⊥ N O_{3}$ .

Igualmente vemos que $N O_{1} = N O_{2}$ y $N O_{1} ⊥ N O_{2}$ .

Sea $V = O_{1} O_{3} \cap O_{2} O_{4}$ , por criterio de congruencia LAL, $N O_{1} O_{3} ≅ N O_{2} O_{4}$ ,
$\Rightarrow O_{1} O_{3} = O_{2} O_{4}$ y $∠ V O_{1} N = ∠ V O_{2} N$ .

Por lo tanto, $V N O_{1} O_{2}$ es cíclico, y así $O_{1} O_{3} ⊥ O_{2} O_{4}$ .

Definición 3. Nos referiremos al cuadrilátero $O_{1} O_{1} O_{3} O_{4}$ como cuadrilátero externo de Van Aubel y a la intersección de sus diagonales como punto externo de Van Aubel.

Centroide del cuadrilátero de Van Aubel

Teorema 4. Un cuadrilátero y su cuadrilátero externo de Van Aubel tienen el mismo centroide.

Demostración. Sean $A B C D$ y $O_{1} O_{2} O_{3} O_{4}$ su cuadrilátero externo de Van Aubel, $M$ y $N$ los puntos medios de $A C$ y $B D$ , y $V$ el punto externo de Van Aubel.

En el teorema anterior vimos que $N V$ es una cuerda común a las circunferencias cuyos diámetros son $O_{1} O_{2}$ y $O_{3} O_{4}$ , por lo tanto la línea que une sus centros $M_{1, 2} M_{3, 4}$ biseca a $N V$ y $M_{1, 2} M_{3, 4} ⊥ N V$ .

De manera análoga podemos ver que $M V$ es una cuerda común a las circunferencias cuyos diámetros son $O_{2} O_{3}$ y $O_{4} O_{1}$ y por lo tanto la línea que une sus centros $M_{2, 3} M_{4, 1}$ biseca a $M V$ y $M_{2, 3} M_{4, 1} ⊥ M V$ .

Por otra parte, por el teorema de Van Aubel las diagonales del cuadrilátero de Van Aubel son perpendiculares y tienen la misma longitud. Entonces por el corolario, su paralelogramo de Varignon $M_{1, 2} M_{2, 3} M_{3, 4} M_{4, 1}$ es un cuadrado, en particular, $M_{1, 2} M_{3, 4} ⊥ M_{2, 3} M_{4, 1}$ .

En consecuencia, en $△ M N V$ , $M_{1, 2} M_{2, 3} ∥ M V$ y $M_{1, 2} M_{2, 3}$ pasa por el punto medio de $N V$ , por lo tanto $M_{1, 2} M_{2, 3}$ biseca a $M N$ .

Igualmente podemos ver que $M_{2, 3} M_{4, 1}$ biseca a $M N$ .

Por el teorema 2 sabemos que el punto medio $J$ de $M N$ es el centroide de $A B C D$ y que la intersección de las bimedianas $M_{1, 2} M_{3, 4}$ y $M_{2, 3} M_{4, 1}$ es el centroide de $O_{1} O_{2} O_{3} O_{4}$ .

Más adelante…

En la siguiente entrada continuaremos el estudio de los cuadriláteros cíclicos que comenzamos en la entada teorema de Ptolomeo.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Muestra que un cuadrilátero es dividido por una de sus diagonales en dos triángulos de igual área si y solo si la diagonal biseca a la otra diagonal.
Verifica que el teorema de Varignon se cumple para los cuadriláteros cóncavo y cruzado.
Sean $A B C D$ un cuadrilátero $U$ y $V$ los puntos medios de $\overset{―}{A C}$ y $\overset{―}{B D}$ respectivamente y $T$ la intersección de $\overset{―}{A B}$ con $\overset{―}{C D}$ . Prueba que $(△ T U V) = \frac{(A B C D)}{4}$ .
Sugerencia. Considera $H$ y $F$ los puntos medios de $\overset{―}{A D}$ y $\overset{―}{B C}$ y los cuadriláteros $A C B D$ , $C U F T$ y $B V F T$ para calcular el área de los triángulos $△ U V F$ , $△ U F T$ y $△ V F T$ .

Construye un cuadrilátero dados dos ángulos opuestos, la longitud de las diagonales y el ángulo entre las diagonales.
Verifica que el teorema de Van Aubel se cumple cuando los cuadrados son construidos internamente, y también para los para los cuadriláteros cóncavo y cruzado.
Muestra que en un cuadrilátero convexo los puntos medios de sus diagonales y los puntos medios de las diagonales de su cuadrilátero externo de Van Aubel, forman un cuadrado, y que el punto externo de Van Aubel pertenece al circuncírculo de este cuadrado.

Entradas relacionadas

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Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 124-127.
Coxeter, H. y Greitzer, L., Geometry Revisited. Washington: The Mathematical Association of America, 1967, pp 51-56.
Santos, J., Tesis Geometría del Cuadrilátero. 2010, pp 6-13.
D. Pellegrinetti., The Six-Point Circle for the Quadrangle. International Journal of Geometry, Vol. 8 (Oct., 2019), No. 2, pp 5–13.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

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Más adelante…

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