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Geometría Moderna I: Teorema de Pitágoras

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Introducción

En esta ocasión veremos el teorema de Pitágoras que relaciona la hipotenusa de un triangulo rectángulo con la longitud de sus catetos, esta propiedad permite definir una métrica en el espacio euclidiano, en particular, con esto podemos calcular la longitud de un segmento si conocemos un triángulo rectángulo que tenga como hipotenusa dicho segmento.

Geométricamente el teorema de Pitágoras nos habla sobre el área de cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo, así que necesitamos presentar un concepto nuevo.

Definición. Definimos el área de un rectángulo como el producto de dos de sus lados adyacentes. De esta manera el área de un cuadrado será su lado al cuadrado.

Como las diagonales de todo rectángulo lo dividen en dos triángulos rectángulos congruentes, de la definición se sigue que el área de un triángulo rectángulo es el semiproducto de sus catetos.

Teorema de Pitágoras

Teorema 1, de Pitágoras. El área de un cuadrado de lado igual a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de cuadrados de lados igual a los catetos del triángulo rectángulo.

Demostración. Consideremos un triángulo rectángulo de catetos $a$ , $b$ e hipotenusa $c$ .

Construimos un cuadrado $A B C D$ de lados $a + b$ , y puntos $P \in A B$ , $Q \in B C$ , $R \in C D$ y $S \in A D$ , tales que $A P = B Q = C R = D S = a$ y $B P = C Q = D R = A S = b$ .

Como los ángulos en las esquinas son rectos entonces por criterio LAL
$\begin{matrix} (1) & △ A S P ≅ △ B P Q ≅ △ C Q R ≅ △ D R S, \end{matrix}$
en particular $P Q = Q R = R S = S P$ .

Por $(1)$ , $∠ C Q R$ y $∠ P Q B$ son complementarios en consecuencia $∠ R Q P = \frac{π}{2}$ .

De manera análoga se ve que
$∠ S R Q = ∠ Q P S = ∠ P S R = ∠ R Q P = \frac{π}{2}$ .

Por lo tanto, $P Q R S$ es un cuadrado de lado $c$ .

Ahora construimos otro cuadrado $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ de lados $a + b$ , y puntos $P^{'} \in A^{'} B^{'}$ y $Q^{'} \in B^{'} C^{'}$ tales que $A^{'} P^{'} = B^{'} Q^{'} = b$ y $B^{'} P^{'} = C^{'} Q^{'} = a$ .

Trazamos una perpendicular a $A^{'} B^{'}$ por $P^{'}$ que interseca a $C^{'} D^{'}$ en $R^{'}$ , y una perpendicular a $B^{'} C^{'}$ por $Q^{'}$ que interseca a $A^{'} D^{'}$ en $S^{'}$ .

Como $A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}$ entonces $P^{'} R^{'} ⊥ C^{'} D^{'}$ , análogamente $Q^{'} S^{'} ⊥ A^{'} D^{'}$ y entonces $P^{'} R^{'} ⊥ Q^{'} S^{'}$ .

Por lo tanto, $A^{'} P^{'} E S^{'}$ , $E Q^{'} C^{'} R^{'}$ , $P^{'} B^{'} Q^{'} E$ y $S^{'} E R^{'} D^{'}$ son rectángulos.

Como los lados opuestos de todo rectángulo son iguales, concluimos que $A^{'} P^{'} E S^{'}$ y $E Q^{'} C^{'} R^{'}$ son cuadrados de lados $b$ y $a$ respectivamente.

$B^{'} E$ y $E D^{'}$ dividen a $P^{'} B^{'} Q^{'} E$ y $S^{'} E R^{'} D^{'}$ en cuatro triángulos rectángulos congruentes entre si pues los rectángulos son congruentes.

Pero al mismo tiempo los triángulos en $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ son congruentes con los triángulos en $A B C D$ , pues tienen los mismos lados $a$ y $b$ , y todos son triángulos rectángulos.

Finalmente, como $A B C D$ y $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ son congruentes entonces sus áreas son iguales y podemos sustraer a cada uno el área de los cuatro triángulos resultando así que el área del cuadrado rosa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados verde y naranja.

Por lo tanto, $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

Reciproco del Teorema de Pitágoras

Teorema 2. Reciproco del teorema de Pitágoras. Si en un triángulo el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados entonces el triángulo es rectángulo.

Demostración. Sea $△ A B C$ un triángulo tal que $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ .

Construimos un punto $D$ del lado opuesto a $C$ respecto de $A B$ tal que $B D = B C$ y $B D ⊥ A B$ .

Por construcción $△ A B D$ es rectángulo, por el teorema de Pitágoras, $A D^{2} = A B^{2} + B D^{2}$ .

Como $B D = B C$ $\Rightarrow B D^{2} = B C^{2}$ , por lo tanto, $A D^{2} = A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$ .

Por hipótesis, $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} \Rightarrow A D^{2} = A C^{2} \Rightarrow A D = A C$ .

Por criterio LLL, $△ A B C ≅ △ A D C$ , en particular $∠ C B A = ∠ A B C = \frac{π}{2}$ .

Caracterización de un ángulo interior

Sea $△ A B C$ entonces por los teoremas 1 y 2
$∠ B = \frac{π}{2} \Leftrightarrow A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ .

Ahora consideremos un triángulo $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ con $A^{'} B^{'} = A B$ y $B^{'} C^{'} = B C$ pero $∠ B^{'} > \frac{π}{2}$ , entonces por la proposición 2 de la entrada desigualdad del triángulo y su reciproco, esto ocurre si y solo si $A^{'} C^{'} > A C$
$\Leftrightarrow A^{'} C^{' 2} > A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = A^{'} B^{' 2} + B^{'} C^{' 2}$

Por otra parte, si tenemos $△ A^{″} B^{″} C^{″}$ tal que $A^{″} B^{″} = A B$ y $B^{″} C^{″} = B C$ pero $∠ B^{″} < \frac{π}{2}$ , por el resultado antes mencionado, esto ocurre si y solo si $A^{″} C^{″} < A C$
$\Leftrightarrow A^{″} C^{″ 2} < A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = A^{″} B^{″ 2} + B^{″} C^{″ 2}$

Resumiendo, tenemos lo siguiente para cualquier triángulo $△ A B C$ , $∠ B$ es:

recto $\Leftrightarrow A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ ,
obtuso $\Leftrightarrow A C^{2} > A B^{2} + B C^{2}$ ,
agudo $\Leftrightarrow A C^{2} < A B^{2} + B C^{2}$ .

Ley del paralelogramo

Teorema 3, ley del paralelogramo. La suma de los cuadrados de los lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus diagonales.

Demostración. Sean $A B C D$ un paralelogramo, $E$ y $F$ los pies de las perpendiculares a $B C$ trazadas desde $A$ y $D$ respectivamente.

Recordemos que los lados opuestos de un paralelogramo son iguales, por lo que $A B = C D$ y $A D = B C$ , además $A E F D$ es un rectángulo y todo rectángulo es paralelogramo, por lo tanto, $A E = D F$ y $E F = A D = B C$ , $\Rightarrow B E = C F$ .

Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos $△ A B E$ , $△ D B F$ y $△ A E C$ obtenemos:

$\begin{matrix} (2) & A B^{2} = A E^{2} + B E^{2} . \end{matrix}$

$D B^{2} = D F^{2} + B F^{2}$
$= A E^{2} + (B C + C F)^{2} = A B^{2} - B E^{2} + (B C + B E)^{2}$
$= A B^{2} - B E^{2} + B C^{2} + 2 B C \times B E + B E^{2}$
$\begin{matrix} (3) & = A B^{2} + B C^{2} + 2 B C \times B E . \end{matrix}$

$A C^{2} = A E^{2} + E C^{2}$
$= A E^{2} + (B C - B E)^{2} = A B^{2} - B E^{2} + B C^{2} - 2 B C \times B E + B E^{2}$
$\begin{matrix} (4) & = A B^{2} + B C^{2} - 2 B C \times B E . \end{matrix}$

Sumamos $(3)$ y $(4)$ para obtener
$A C^{2} + B D^{2} = 2 A B^{2} + 2 B C^{2}$ .

Teorema de Apolonio

Teorema 4, de Apolonio. En todo triangulo la suma de los cuadrados de dos lados es igual a dos veces el cuadrado de la mitad del tercer lado más dos veces el cuadrado de la mediana que biseca al tercer lado.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $M$ el punto medio de $B C$ . Por demostrar que $A B^{2} + A C^{2} = 2 (B M^{2} + A M^{2})$ .

Sea $D$ el pie de la perpendicular a $B C$ trazada desde $A$ , aplicamos el teorema de Pitágoras a los triángulos $△ A D M$ , $△ A D B$ y $△ A D C$ .

$\begin{matrix} (5) & A M^{2} = A D^{2} + D M^{2} . \end{matrix}$

$A B^{2} = A D^{2} + B D^{2}$
$= A M^{2} - D M^{2} + (D M - B M)^{2} = A M^{2} - D M^{2} + D M^{2} - 2 D M \times B M + B M^{2}$
$\begin{matrix} (6) & = A M^{2} + B M^{2} - 2 D M \times B M . \end{matrix}$

$A C^{2} = A D^{2} + D C^{2}$
$= A M^{2} - D M^{2} + (D M + M C)^{2} = A M^{2} - D M^{2} + D M^{2} + 2 D M \times M C + M C^{2}$
$\begin{matrix} (7) & = A M^{2} + 2 D M \times M C + M C^{2} . \end{matrix}$

Como $B M = M C$ sumando $(6)$ y $(7)$ obtenemos
$A B^{2} + A C^{2} = 2 A M^{2} + 2 M C^{2}$ .

Caracterización de las alturas de un triángulo

Proposición. Sean $B C$ un segmento y $P$ un punto en el plano, considera $D$ el pie de la perpendicular a $B C$ trazada desde $P$ , entonces $P B^{2} - P C^{2} = D B^{2} - D C^{2}$ .

Demostración. Los triángulos $△ P D B$ y $△ P D C$ son rectángulos, por el teorema de Pitágoras tenemos que $P B^{2} = P D^{2} + D B^{2}$ y $P C^{2} = P D^{2} + D C^{2}$ .

Despejando $P D^{2}$ de ambas ecuaciones e igualando tenemos que $P B^{2} - D B^{2} = P C^{2} - D C^{2}$
$\Rightarrow P B^{2} - P C^{2} = D B^{2} - D C^{2}$ .

Teorema 5. Sea $△ A B C$ un triángulo entonces un punto $P$ está en la altura por $A$ si y solo si $P B^{2} - P C^{2} = A B^{2} - A C^{2}$ .

Demostración. Supongamos que $P$ es un punto en la altura desde $A$ entonces podemos considerar el triángulo $△ P B C$ .

Por la proposición tenemos que los puntos $P$ y $A$ cumplen que $P B^{2} - P C^{2} = D B^{2} - D C^{2}$ y $A B^{2} - A C^{2} = D B^{2} - D C^{2}$ donde $D$ es el pie de la altura.

Por lo tanto $P B^{2} - P C^{2} = A B^{2} - A C^{2}$ .

Ahora supongamos que $P$ es un punto en el plano tal que $P B^{2} - P C^{2} = A B^{2} - A C^{2}$ por la proposición sabemos que $A B^{2} - A C^{2} = D B^{2} - D C^{2}$ , con $D$ el pie de la altura desde $A$ .

Por transitividad se tiene que $P B^{2} - P C^{2} = D B^{2} - D C^{2}$ .

Sea $E$ el pie de la perpendicular a $B C$ trazada desde $P$ , nuevamente por la proposición tenemos que $P B^{2} - P C^{2} = E B^{2} - E C^{2}$ $\Rightarrow D B^{2} - D C^{2} = E B^{2} - E C^{2}$

Supongamos que $D$ está en el segmento $B C$ y $E$ fuera del segmento y del lado de $B$ (figura 9), otros casos se muestran de manera similar, entonces $E B = E D - B D$ y $E C = E D + D C$ .

$\Rightarrow D B^{2} - D C^{2} = (E D - B D)^{2} - (E D + D C)^{2}$
$= E D^{2} - 2 E D \times B D + B D^{2} - E D^{2} - 2 E D \times D C - D C^{2}$
$\Rightarrow 0 = E D \times B D + E D \times D C = E D (B D + D C)$

Como $B D + D C \neq 0 \Rightarrow E D = 0$
$\Rightarrow E = D$

De esto se concluye que $P$ está en la altura trazada desde $A$ .

Más adelante…

En la siguiente entada estudiaremos el teorema de Tales también conocido como teorema de la proporcionalidad.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Dado un segmento unitario construye un segmento de longitud $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ …
Si $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , y $e$ son las longitudes de cinco segmentos tales que con cualesquiera tres de ellos es posible construir un triángulo, muestra que al menos uno de los triángulos es acutángulo.
Sea $P$ un punto en el interior de $△ A B C$ , considera $D$ , $E$ y $F$ las proyecciones de $P$ a los lados $B C$ , $A C$ y $A B$ respectivamente, expresa $A E$ en términos de $A F$ , $F B$ , $B D$ , $D C$ y $C E$ .
Muestra que en un triángulo con ángulos interiores iguales a $\frac{π}{2}$ , $\frac{π}{3}$ y $\frac{π}{6}$ , se tiene que el cateto opuesto al ángulo de $\frac{π}{6}$ es igual a la mitad de la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo de $\frac{π}{3}$ es igual a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ veces la hipotenusa.
Si dos de los lados de un triángulo miden $a$ y $b$ y el ángulo entre ellos mide $\frac{3 π}{4}$ encuentra la longitud del segmento medio entre los lados dados.

Entradas relacionadas

Ir a Geometría Moderna I.
Entrada anterior del curso: Paralelogramos.
Siguiente entrada del curso: Teorema de Tales.

Fuentes

Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 22-27, 43-44.
Posamentier, A. y Salkind, C; Challenging Problems in Geometry. New York: Dover, 1996, pp 11-14.
Cárdenas, S., Notas de Geometría. México: Ed. Prensas de Ciencias, 2013, pp 39-41.
Wikipedia
Geometría interactiva
Geometry Help

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Definiciones

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

Esta es la primera entrada del curso de Geometría Moderna I el cual está basado en el temario oficial de la Facultad de Ciencias de la UNAM. Aquí presentaremos algunos conceptos básicos que nos serán de ayuda para empezar el curso.

El termino Geometría Moderna se refiere a aquella geometría deductiva, que fue desarrollada después de Euclides y hasta el desarrollo de las geometrías no euclidianas, este periodo está comprendido entre los siglos III AC y XIX DC, es decir, la geometría griega hecha con regla y compás, pero después de los griegos.

La geometría euclidiana estudia propiedades básicas de los objetos geométrico tales como punto, recta, triángulo o circunferencia, a partir de un conjunto de axiomas y de manera sintética, es decir, sin el uso de un eje de coordenadas o métodos algebraicos muy complejos, aunque si se hace uso de nociones básicas de Teoría de Conjuntos, como las de pertenencia o intersección de conjuntos.

Muchas de estas propiedades son de carácter métrico, es decir, sobre la medición de magnitudes de ángulos, longitudes de segmentos, distancias entre puntos o áreas de figuras geométricas, pero también nos hablan sobre la concurrencia de rectas (rectas diferentes que pasan por un mismo punto), colinealidad de puntos (puntos distintos que están sobre una misma recta) o puntos cíclicos (puntos distintos que están en una misma circunferencia).

Punto, recta y circunferencia

Definición 1. Un punto es la representación de un lugar específico en el plano, no tiene longitud, altura ni ninguna otra dimensión, en nuestro cuaderno o el pizarrón podemos representar este lugar con la marca más pequeña y visible que nuestro lápiz o gis puedan hacer, la cual en realidad si tiene dimensiones, pero lo que solo nos interesa es la abstracción de ese lugar marcado.

La mayoría del tiempo para referirnos a puntos emplearemos letras mayúsculas.

Definición 2. Una línea recta es un objeto de una sola dimensión, solo tiene longitud y se extiende de manera infinita en ambos sentidos, todos sus puntos se encuentran en una misma dirección de manera que dos puntos distintos determinan a una línea recta.

Nos referiremos a una línea recta simplemente como recta. Si no conocemos dos puntos por donde pasa una recta la denotaremos con la letra $l$ .

Cuando la intersección de dos rectas $l_{1}$ , $l_{2}$ es vacía, es decir, no tienen ningún punto en común $l_{1} \cap l_{2} = \emptyset$ , decimos que son rectas paralelas y lo denotamos como $l_{1} ∥ l_{2}$ .

A la porción de línea recta que une dos puntos distintos en el plano (incluyendo a los puntos) y que no se extiende más allá de ellos le llamamos segmento de recta o simplemente segmento.

La distancia entre dos puntos es la magnitud del segmento de recta que los une.

Si conocemos dos puntos distintos $P$ , $Q$ de una recta nos referiremos al segmento que une dichos puntos como $P Q$ , en ocasiones también nos podremos referir a la recta completa con la misma notación de acuerdo al contexto del problema.

Definición 3. Dados un punto $O$ del plano y una magnitud $r \geq 0$ , definimos a la circunferencia con centro en $O$ y radio $r$ $(O, r)$ como el conjunto de puntos en el plano cuya distancia al punto $O$ es $r$ .

Algunas veces no nos importará o no conoceremos el centro o el radio de una circunferencia, en tal caso nos referiremos a ella con cualquier otra letra como $Γ$ .

Al segmento que une dos puntos distintos de una circunferencia y que pasa por su centro le llamamos diámetro.

Si conocemos dos puntos $A$ y $B$ diametralmente opuestos de una circunferencia podemos denotarla como $Γ (A B)$ .

A la porción de una circunferencia que une dos puntos distintos en ella le llamamos arco de circunferencia, para dos puntos distintos en una circunferencia $A$ y $B$ , denotamos al arco recorrido de $A$ a $B$ en el sentido contrario de las manecillas del reloj como $\overset{⌢}{A B}$ .

Ángulo

Definición 4. Un ángulo es un objeto formado cuando dos rectas o segmentos se intersecan. Al punto en común le llamamos vértice y los segmentos o semirectas que concurren en el vértice son los lados del ángulo.

Cuando es claro cuáles son los lados de un ángulo con vértice en $O$ lo denotamos como $∠ O$ .

Cuando queremos hacer énfasis en los segmentos que forman un ángulo con vértice $O^{'}$ , escribimos $∠ A O^{'} B$ si nos referimos al desplazamiento del segmento $A O$ hacia $B O$ en contra del movimiento de las manecillas del reloj.

También podemos etiquetar a un ángulo con letras griegas minúsculas.

Cuando dos rectas o segmentos distintos se intersecan se forman cuatro ángulos, en este caso a los ángulos que comparten un lado en común les llamamos adyacentes y a los que no tienen un lado en común, opuestos por el vértice.

Decimos que un ángulo es recto si es aquel que se obtiene cuando dos rectas $l_{1}$ , $l_{2}$ se intersecan formando cuatro ángulos iguales y en este caso decimos que las rectas son perpendiculares $l_{1} ⊥ l_{2}$ . Denotamos a la suma de dos ángulos rectos como $π$ .

Para medir la magnitud de un ángulo $∠ O$ trazamos una circunferencia de radio $1$ con centro en el vértice del ángulo y ubicamos las intersecciones de los lados del ángulo con la circunferencia digamos $A$ y $B$ , entonces la medida de $∠ A O B$ será la magnitud del arco $\overset{⌢}{A B}$ .

En calculo se muestra que $π = 3.14159 \dots$ , es un numero irracional, esto es, su representación decimal es infinita y no periódica.

Otra forma de medir los ángulos es dividir a la circunferencia en $360$ partes iguales o grados, de esto se sigue que $\frac{π}{2} = 90^{\circ}$ , $π = 180^{\circ}$ , $2 π = 360^{\circ}$ .

Un ángulo que es menor que uno recto es un ángulo agudo y uno que es mayor a uno recto se llama ángulo obtuso.

Dos ángulos que suman $\frac{π}{2}$ son complementarios y dos ángulos cuya suma es igual a $π$ se llaman suplementarios.

Triángulo

Definición 5. Un triángulo es una figura en el plano que consiste de tres puntos distintos, llamados vértices, que no son colineales, y por los segmentos que unen dichos vértices a los que llamamos lados del triángulo.

Si los vértices de un triangulo son $A$ , $B$ y $C$ , denotamos al triángulo como $△ A B C$ recorriendo los vértices en el sentido contrario de las manecillas del reloj.

Recordemos leer los ángulos en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. A $∠ B A C$ , $∠ C B A$ y $∠ A C B$ les llamamos ángulos internos o interiores.

Si extendemos los lados del triángulo, a los ángulos que son suplementarios a los ángulos interiores les llamamos ángulos exteriores o externos, notemos que por cada ángulo interno hay dos externos.

Clasificamos a los triángulos de acuerdo a la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos.

De acuerdo a sus lados:
escaleno, si ningún par de lados es igual,
isósceles, si tienen dos lados iguales,
equilátero, si todos sus lados son iguales.

De acuerdo a sus ángulos internos:
rectángulo, si un ángulo interno es recto,
acutángulo, si todos sus ángulos internos son agudos,
obtusángulo, si uno de sus ángulos internos es obtuso.

Problema. Dado un segmento construir sobre él un triángulo equilátero.

Solución. Para hacer una construcción geométrica usamos una regla sin graduar y un compás. La regla nos permite trazar la recta que une cualesquiera dos puntos distintos y con el compás podemos trazar circunferencias conociendo su centro y radio.

Sea $B C$ el segmento dado, trazamos dos circunferencias de radio $B C$ , una con centro en $B$ y otra con centro en $C$ .

Sea $A$ la intersección de $(B, B C)$ con $(C, B C)$ , trazamos $A B$ y $A C$ , entonces $A B = B C$ , por ser radios de $(B, B C)$ y $A C = B C$ , por ser radios de $(C, B C)$ .

Por lo tanto, $A B = B C = A C$ y así $△ A B C$ es equilátero.

El triángulo es uno de los objetos más estudiados en geometría euclidiana. En las próximas entradas abordaremos teoremas fundamentales acerca del triángulo como los de congruencia, semejanza o el teorema de Pitágoras.

Más adelante…

En la siguiente entrada presentaremos los postulados de Euclides que son el punto de partida para poder establecer relaciones entre los objetos que hemos definido.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Muestra que los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Convierte a grados los siguientes ángulos: $\frac{π}{3}$ , $\frac{π}{4}$ , $\frac{3 π}{4}$ .
Calcula la longitud de arco de los siguientes ángulos: $225^{\circ}$ , $270^{\circ}$ , $315^{\circ}$ .
Dados dos segmentos de distinta longitud, construir sobre el mayor un segmento de igual magnitud al menor.
GeoGebra es un software libre de matemáticas muy útil, con él te puedes apoyar para hacer tus demostraciones durante este curso, aqu í esta la versión online.

Entradas relacionadas

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Siguiente entrada del curso: Postulados de Euclides.
Otros cursos.

Fuentes

Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 1-6.
Math Open Reference
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Geometría Moderna I: Teorema de Pitágoras

Introducción

Teorema de Pitágoras

Reciproco del Teorema de Pitágoras

Caracterización de un ángulo interior

Ley del paralelogramo

Teorema de Apolonio

Caracterización de las alturas de un triángulo

Más adelante…

Tarea moral

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Geometría Moderna I: Definiciones

Introducción

Punto, recta y circunferencia

Ángulo

Triángulo

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