Geometría Moderna I: Teorema de Thales

Introducción

Otra relación importante entre triángulos además de la de congruencia es la de semejanza el punto de partida es el resultado conocido como teorema de Thales que nos permite hablar acerca de la proporcionalidad de segmentos bajo ciertas condiciones, en la presente entrada desarrollaremos este tema. Para la demostración del teorema de Thales necesitaremos un resultado sobre el área de un triángulo.

Área del triángulo

Definición 1. Recordemos que un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos, los que no tienen un vértice en común, son paralelos, un rectángulo es un caso particular de un paralelogramo donde todos sus ángulos son rectos.

Definición 2. Definimos el área de un rectángulo $\square ABCD$ como el producto entre dos de sus lados adyacentes, es decir, aquellos que comparten un vértice en común y la denotamos $(\square ABCD) = AB \times BC$ .

Definición 3. Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, a los lados adyacentes al ángulo recto les llamamos catetos y al lado opuesto al ángulo recto, aquel que no es adyacente, le llamamos hipotenusa.

Proposición 1. El área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de sus catetos.

Demostración. (1) Sea $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo, a partir de el podemos construimos un rectángulo.

(2) Trazamos rectas paralelas a $BC$ por $A$ y a $AB$ por $C$. Sea $D$ la intersección de las rectas trazadas.

(3) Podemos extender $AC$, $AB$  y $BC$, notamos que los pares de ángulos $\angle ACB$, $\angle DAC$ y $\angle BAC$, $\angle DCA$, son iguales por ser alternos internos además $AC$ es común a los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle ADC$, luego por ALA son congruentes.

(4) Notemos que $\square ABCD$ es un rectángulo pues todos sus ángulos son rectos, como $(\square ABCD) = AB \times BC$ tenemos que $(\triangle ABC)$ = $\frac{AB \times BC}{2}$.

$\blacksquare$

Proposición 2. El área de un triángulo cualquiera es el producto de la altura trazada en cualquiera de sus vértices por la longitud del lado contrario a dicho vértice, al que llamamos base.

Demostración. Sea $\triangle ABC$ un triángulo, tracemos la altura desde el vértice $A$, existen dos posibilidades, el pie de la altura $D$ cae en el segmento $BC$ o cae en la extensión del segmento $BC$. Demostraremos el primer caso, el segundo quedara como ejercicio.

Notemos que se forman dos triángulos rectángulos, $\triangle ABD$ y $\triangle ADC$.
Así $(\triangle ABC) = (\triangle ABD) + (\triangle ADC) = \frac{AD \times BD}{2} + \frac{AD \times DC}{2} = \frac{(BD + DC) \times AD}{2} = \frac{AD \times BC}{2}$.

$\blacksquare$

Lema. Si dos triángulos tienen una misma altura entonces las razones entre sus áreas es igual a la razón entre sus respectivas bases.

Demostración. Sean $\triangle ABC$ y $\triangle A_{1}B{1}C_{1}$ dos triángulos tales que las alturas trazadas desde $A$ y $A_{1}$ sean iguales, llamémosle $h$. Por la proposición anterior se tiene que:

$\frac{\triangle ABC)}{(\triangle A_{1}B_{1}C_{1})} = (\frac{h \times BC}{2}) / (\frac{h \times B_{1}C_{1}}{2}) = \frac{BC}{B_{1}C_{1}}$.

$\blacksquare$

Con esto podemos demostrar el teorema de Thales.

Teorema de Thales

Thales de Mileto es considerado como uno de los primeros filósofos y matemáticos griegos, a él se le atribuyen algunos de los teoremas que ya hemos visto, entre los que están: los ángulos opuestos por el vértice son iguales, el criterio ALA y los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales. Sin embargo se sabe muy poco de su vida y lamentablemente no se conserva ningún texto suyo.

Teorema de la intersección. Sea $\triangle ABC$ un triángulo y sean $B_{1} \in AB$ y $C_{1} \in AC$ entonces $BC$ es paralela a $B_{1}C_{1}$ si y solo si ($\Leftrightarrow$) $\frac{AB}{AB_{1}} = \frac{AC}{AC_{1}}$.

Demostración. (1) Sean $\triangle ABC$ un triángulo y $B_{1} \in AB$, $C_{1} \in AC$. Supongamos que $BC$  y $B_{1}C_{1}$ son paralelas, por demostrar que $\frac{AB}{AB_{1}} = \frac{AC}{AC_{1}}$.

(2) Tracemos el segmento $BC_{1}$, entonces los triángulos $\triangle ABC_{1}$  y $\triangle AB_{1}C_{1}$  tienen la misma altura trazada desde el vértice $C_{1}$ por el lema tenemos que $\frac{(\triangle ABC_{1})}{(\triangle AB_{1}C_{1})} = \frac{AB}{ AB_{1}}$.

(3) De manera análoga tracemos $B_{1}C$, entonces los triángulos $\triangle AB_{1}C$  y $\triangle AB_{1}C_{1}$  tienen la misma altura trazada desde el vértice $B_{1}$, así $\frac{(\triangle AB_{1}C)}{ (\triangle AB_{1}C_{1})} = \frac{AC}{ AC_{1}}$.

(4) Ahora, los triángulos $\triangle B_{1}C_{1}B$ y $\triangle B_{1}C_{1}C$ tienen el lado $B_{1}C_{1}$ en común y como $BC$ y $B_{1}C_{1}$ son paralelas entonces sus alturas trazadas desde los vértices opuestos a $B_{1}C_{1}$ coinciden, por lo tanto $(\triangle B_{1}C_{1}B) = (\triangle B_{1}C_{1}C)$.

Así $(\triangle ABC_{1}) = (\triangle AB_{1}C_{1}) + (\triangle B_{1}C_{1}B) = (\triangle AB_{1}C_{1}) + (\triangle B_{1}C_{1}C) = (\triangle ACB_{1})$.

Y por lo tanto $\frac{AB}{AB_{1}} = \frac{(\triangle ABC_{1} )}{ (\triangle AB_{1}C_{1})} =  \frac{(\triangle ACB_{1})}{(\triangle AB_{1}C_{1})} = \frac{AC}{AC_{1}}$.

$\blacksquare$

Observación: notemos que:

$\frac{AB}{AB_{1}} = \frac{AC}{AC_{1}} \Leftrightarrow \frac{AB_{1} + B_{1}B}{AB_{1}} = \frac{AC_{1} + C_{1}C}{AC_{1}} \Leftrightarrow 1 + \frac{B_{1}B}{AB_{1}} = 1 + \frac{C_{1}C}{AC_{1}} \Leftrightarrow \frac{AC_{1}}{C_{1}C} = \frac{AB_{1}}{B_{1}B}$.

Por lo tanto $\frac{AB}{AB_{1}} = \frac{AC}{AC_{1}}  \Leftrightarrow  \frac{AC_{1}}{C_{1}C} = \frac{AB_{1}}{B_{1}B}$ esto quiere decir que si tenemos dos rectas paralelas, la proporción que hay entre las rectas transversales que las cortan se conserva, sin importar quienes son las rectas transversales.

Para la implicación reciproca supongamos que $\frac{AB}{AB_{1}} = \frac{AC}{AC_{1}}$. Veamos que $BB_{1}$ y $CC_{1}$ son paralelas.

Demostración. (5) Por contradicción, supongamos que las rectas no son paralelas. Tracemos la paralela a $B_{1}C_{1}$ desde $B$ y sea $D $ el punto en que esta recta corta a $AC$, por la implicación que ya hemos mostrado  tenemos que $\frac{AB}{AB_{1}} = \frac{AD}{AC_{1}}$ pero por hipótesis $\frac{AB}{AB_{1}} = \frac{AC} {AC_{1}}$ esto implica que $\frac{AD}{AC_{1}} = \frac{AC} {AC_{1}}$ de esto se sigue qué $AD = AC$ y por lo tanto $D = C$, lo cual es una contradicción pues supusimos que eran diferentes. Así $B_{1}C_{1}$ y $BC$ son paralelas.

$\blacksquare$

La siguiente es una consecuencia directa del Teorema de Thales.

Corolario. Sean $AA_{1}$, $BB_{1}$ y $CC_{1}$ rectas paraleles dos a dos y $l_{1}$, $l_{2}$ rectas transversales a estas, entonces: $\frac{AB}{BC} = \frac{A_{1}B_{1}}{B_{1}C_{1}}$. Recíprocamente si dos de las rectas $AA_{1}$, $BB_{1}$ o $CC_{1}$ son paralelas y se tienen que $\frac{AB}{BC} = \frac{A_{1}B_{1}}{B_{1}C_{1}}$, entonces las tres rectas son paralelas.

Demostración. Consideremos el triángulo $\triangle ACC_{1}$ sea $O$ el punto de intersección entre $BB_{1}$ y $AC_{1}$, entonces, $BO$ y $CC_{1}$ son paralelas, por el primer Teorema de Thales sabemos que $\frac{AB}{BC} = \frac{AO}{OC_{1}}$.

Similarmente consideremos el triángulo $\triangle AA_{1}C_{1}$, entonces $OB_{1}$ y $AA_{1}$ son paralelas, entonces $\frac{C_{1}B_{1}}{B_{1}A_{1}} = \frac{C_{1}O}{OA}$ esto implica que $\frac{OA}{C_{1}O} = \frac{B_{1}A_{1}}{C_{1}B_{1}}$

Por transitividad tenemos que $\frac{AB}{BC} = \frac{B_{1}A_{1}}{C_{1}B_{1}}$. El reciproco se deja como ejercicio.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. Demuestra que un paralelogramo es un rectángulo si y solo si sus diagonales tienen la misma longitud.
  2. Demuestra que el área de un triangulo cualquiera es igual a la mitad del producto entre su base y su altura para el caso en que el pie de la altura cae fuera de la base.
  3. Muestra que si dos triángulos tienen una misma base entonces las razones entre sus áreas es igual a la razón entre sus respectivas alturas.
  4. Muestra que bajo las hipótesis de la primera implicación del Teorema de Thales también se tienen que la proporción entre las rectas que son paralelas es igual a aquella que tienen las transversales, es decir $\frac{AB}{AB_{1}} = \frac{AC}{AC_{1}} = \frac{BC}{B_{1}C_{1}}$.
  5. Prueba que si dos de las rectas $AA_{1}$, $BB_{1}$ o $CC_{1}$ son paralelas y se tienen que $\frac{AB}{BC} = \frac{A_{1}B_{1}}{B_{1}C_{1}}$, entonces las tres rectas son paralelas.

Más adelante…

Ya hemos demostrado el Teorema de Thales, ahora podemos hablar sobre la igualdad de ángulos y proporcionalidad entre los lados de triángulos distintos, esto es la semejanza de triángulos, en la siguiente entrada veremos que de igual forma que en congruencia, también hay varios criterios para verificar la semejanza de triángulos.

Entradas relacionadas

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.