Geometría Moderna I: Teorema de Thales

Introducción

En esta entrada estudiaremos el teorema de Thales y algunas aplicaciones. Este teorema nos dice que dos rectas paralelas cortan a otras dos en segmentos proporcionales.

En la entrada anterior definimos el área de un rectángulo y vimos que como consecuencia de esto el área de un triángulo rectángulo era el semiproducto de sus catetos. En esta ocasión necesitaremos hablar del área de un triángulo en general.

Denotaremos al área de un triángulo $\triangle ABC$ como $(\triangle ABC)$.

Área del triángulo

Proposición 1. El área de un triángulo es el producto de la altura trazada por uno de sus vértices por la base o lado contrario a dicho vértice.

Demostración. Sea $\triangle ABC$ un triángulo, tracemos la altura desde el vértice $A$, existen dos posibilidades, el pie de la altura $D$ se encuentra en el segmento $\overline{BC}$ o está en la extensión del segmento.

Caso 1, $D \in \overline{BC}$

Figura 1

Notemos que se forman dos triángulos rectángulos, $\triangle ABD$ y $\triangle ADC$.
$\Rightarrow (\triangle ABC) = (\triangle ABD) + (\triangle ADC)$
$= \dfrac{BD \times AD}{2} + \dfrac{DC \times AD}{2}$
$= \dfrac{(BD + DC)AD}{2} = \dfrac{BC \times AD}{2}$.

Caso 2, $D \notin \overline{BC}$

Figura 2

Notemos que se forman dos triángulos rectángulos, $\triangle ADB$ y $\triangle ADC$.
$\Rightarrow (\triangle ABC) = (\triangle ADC) – (\triangle ADB)$
$= \dfrac{ DC \times AD }{2} – \dfrac{DB \times AD}{2}$
$= \dfrac{(DC – DB)AD}{2} = \dfrac{BC \times AD}{2}$.

$\blacksquare$

Proposición 2. Si dos triángulos tienen una misma altura entonces las razones entre sus áreas es igual a la razón entre las bases perpendiculares a las alturas.

Demostración. Sean $\triangle ABC$ y $\triangle A’B’C’$ dos triángulos tales que las alturas trazadas desde $A$ y $A’$ son iguales, digamos $h$.

Figura 3

$\dfrac{(\triangle ABC)}{(\triangle A’B’C’)} = \dfrac{\dfrac{BC \times h}{2}}{\dfrac{B’C’ \times h}{2}}$
$ = \dfrac{BC \times h}{B’C’ \times h} = \dfrac{BC}{B’C’}$.

$\blacksquare$

Teorema fundamental de la proporcionalidad

Teorema 1, de Thales. Sean $\triangle ABC$, $B’$ y $C’$ en $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ respectivamente tales que $\overline{B’C’} \parallel \overline{BC}$, entonces
$i)$ $\dfrac{AB}{B’B} = \dfrac{AC}{C’C}$, $\dfrac{AB}{AB’} = \dfrac{AC}{AC’}$ y $\dfrac{AB’}{B’B} = \dfrac{AC’}{C’C}$,
$ii)$ $\dfrac{AB}{AB’} = \dfrac{AC}{AC’} = \dfrac{BC}{B’C’}$.

Demostración. Como $\triangle B’C’B$ y $\triangle B’C’C$ tienen la misma base $\overline{B’C’}$ y están contenidos en las mismas paralelas, lo que implica que su altura es la misma, entonces tienen la misma área.

Figura 4

$\begin{equation} (\triangle B’C’B) = (\triangle B’C’C) \end{equation}$
$\Rightarrow (\triangle AB’C’) + (\triangle B’C’B) = (\triangle AB’C’) + (\triangle B’C’C)$
 $\begin{equation} \Rightarrow (\triangle AC’B) = (\triangle AB’C) \end{equation}$

De las escuaciones $(1)$ y $(2)$ y la proposición 2 obtenemos
$\dfrac{(\triangle AC’B)}{(B’C’B)} = \dfrac{(\triangle AB’C)}{(\triangle B’C’C)}$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{B’B} = \dfrac{AC}{C’C}$.

Notemos que $\dfrac{AB}{B’B} = \dfrac{AC}{C’C}$, $\dfrac{AB}{AB’} = \dfrac{AC}{AC’}$ y $\dfrac{AB’}{B’B} = \dfrac{AC’}{C’C}$ son equivalentes.

$\dfrac{AB}{B’B} = \dfrac{AC}{C’C}$
$\Leftrightarrow \dfrac{AB’ + B’B}{B’B} = \dfrac{AC’ + C’C}{C’C}$
$\Leftrightarrow \dfrac{AB’}{B’B} = \dfrac{AC’}{C’C}$

$\dfrac{AB}{AB’} = \dfrac{AC}{AC’}$, equivale a
$\dfrac{AB’ + B’B}{AB’} = \dfrac{AC’ + C’C}{AC’}$
$\Leftrightarrow \dfrac{B’B}{AB’} = \dfrac{C’C}{AC’}$
$\Leftrightarrow \dfrac{AB’}{B’B} = \dfrac{AC’}{C´C}$

Para la parte $ii)$ trazamos una paralela a $\overline{AB}$ por $C’$ que interseca a $\overline{BC}$ en $D$, por la parte $i)$, se cumple
$\dfrac{AC}{AC’} = \dfrac{BC}{BD}$.

Figura 5

Como $\square B’BDC$ es paralelogramo $BD = B’C’$
$\Rightarrow \dfrac{AC}{AC’} = \dfrac{BC}{B’C’}$.

$\blacksquare$

Reciproco del teorema de Thales.

Teorema 2, reciproco del teorema de Thales. Sean $\triangle ABC$, $B’$ y $C’$ en $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ respectivamente tales que, $\dfrac{AB}{B’B} = \dfrac{AC}{C’C}$ o $\dfrac{AB}{AB’} = \dfrac{AC}{AC’}$ o $\dfrac{AB’}{B’B} = \dfrac{AC’}{C’C}$, entonces $\overline{B’C’} \parallel \overline{BC}$.

Demostración. Supongamos que $\overline{B’C’}$ y $\overline{BC}$ no son paralelas, sea $D \in \overline{AC}$ tal que $\overline{B’D} \parallel \overline{BC}$, por el teorema de Thales $\dfrac{AB}{B’B} = \dfrac{AC}{DC}$.

Figura 6

Pero por hipótesis $\dfrac{AB}{B’B} = \dfrac{AC}{C’C}$, y por transitividad
$\dfrac{AC}{DC} = \dfrac{AC}{C’C}$
$\Rightarrow DC = C’C \Rightarrow D = C’ \Rightarrow B’C’ \parallel BC$.

Por la equivalencia entre las expresiones $\dfrac{AB}{B’B} = \dfrac{AC}{C’C}$, $\dfrac{AB}{AB’} = \dfrac{AC}{AC’}$ y $\dfrac{AB’}{B’B} = \dfrac{AC’}{C’C}$ queda demostrado el teorema.

$\blacksquare$

Teorema de la bisectriz

Teorema 3, de la bisectriz. Las bisectrices interna y externa del ángulo de un triángulo dividen al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados del triángulo.

Demostración. Consideremos un triángulo $\triangle ABC$ y la bisectriz interior de $A$, la cual interseca a $\overline{BC}$ en $D$.

Trazamos la paralela a $\overline{AD}$ por $C$, y sea $E$ la intersección de la extensión de $\overline{AB}$ con la paralela.

Figura 7

Como $\overline{AD} \parallel \overline{CE}$ entonces $\angle BAD = \angle AEC$ por ser ángulos correspondientes entre paralelas y $\angle DAC = \angle ECA$ por ser ángulos alternos internos entre paralelas.

Ya que $\overline{AD}$ es bisectriz de $A$ entonces $\angle BAD = \angle DAC$ y por lo tanto $\angle AEC = \angle ECA$
$\Rightarrow \triangle ACE$ es isósceles, es decir, $AC = AE$.

Aplicando el teorema de Thales a $\triangle BCE$ tenemos que
$\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AE} = \dfrac{AB}{AC}$.

$\blacksquare$

Definición. Una ceviana es un segmento que tiene extremos en el vértice de un triángulo y en el lado opuesto a dicho vértice.

Reciproco del teorema de la bisectriz

Teorema 4, reciproco del teorema de la bisectriz. Si una ceviana divide internamente al lado de un triángulo en segmentos proporcionales a los otros lados del triángulo entonces es la bisectriz interna del ángulo por donde pasa.

Demostración. Sea $\triangle ABC$ y $\overline{AD}$ con $D \in \overline{BC}$ tal que $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{DC}$.

Extendemos $\overline{AB}$ del lado de $A$ hasta $E$ talque $AE = AC$ (figura 7), como $\triangle AEC$ es isósceles entonces
$\begin{equation} \angle AEC = \angle ECA \end{equation}$

En el triángulo $\triangle BCE$ tenemos que $\dfrac{AB}{AE} = \dfrac{BD}{DC}$,
por el reciproco del teorema de Thales, $\overline{AD} \parallel \overline{EC}$,
$\Rightarrow \angle BAD = \angle AEC$, por ser ángulos correspondientes,
$\Rightarrow \angle DAC = \angle ECA$, por ser ángulos alternos internos.

Por $(3)$ se sigue que $\angle BAD = \angle DAC$, por lo tanto, $\overline{AD}$ es la bisectriz interna de $A$.

$\blacksquare$

El caso para la bisectriz exterior se deja como ejercicio.

Construcciones

Problema. Dados dos segmentos y un segmento unitario, construye el producto y el cociente de los segmentos dados.

Solución. Sean $a$ y $b$ la magnitud de los segmentos dados.

Sea $\overline{AB}$ el segmento unitario, extendemos $\overline{AB}$ hasta $B’$ tal que $BB’ = a$.

Levantamos sobre $\overline{AB}$ en $A$ un segmento $AC = b$, unimos $B$ con $C$ y trazamos por $B’$ la paralela a $\overline{BC}$.

Sea $C’$ la intersección de $\overline{AC}$ con la paralela trazada, por el teorema de Thales aplicado a $\triangle AB’C’$, $\dfrac{AB}{BB’} = \dfrac{AC}{CC’} $.
$\Rightarrow AB \times CC’ = AC \times BB’ $
$\Rightarrow CC’ = ab$.

Figura 8

Para el cociente seguimos el mismo procedimiento, pero esta vez con $AB = a$ y $BB’ = 1$, por el teorema de Thales obtendremos
$a = \dfrac{b}{CC’} \Rightarrow CC’ = \dfrac{b}{a}$.

Figura 9

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. Muestra que la suma de las distancias de un punto interior a los lados de un triangulo equilátero es constante. Este resultado es conocido como teorema de Viviani.
Figura 10
  1. $i)$ Muestra que si dos rectas $l_{1}$ y $l_{2}$ son transversales a tres paralelas $\overline{AA’}$, $\overline{BB’}$ y $\overline{CC’}$ (figura 11), entonces $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A’B’}{B’C’}$.
    $ii)$ Recíprocamente si $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A’B’}{B’C’}$ y dos de las tres rectas $\overline{AA’}$, $\overline{BB’}$, $\overline{CC’}$son paralelas, entonces las tres rectas son paralelas.
Figura 11
  1. Usando el teorema de Thales,
    $i)$ muestra que el segmento que une puntos medios de dos lados de un triangulo es paralelo e igual a la mitad del tercer lado,
    $ii)$ recíprocamente muestra que si una recta pasa por el punto medio de un triangulo y es paralela a un segundo lado entonces pasa por el punto medio del tercer lado.
  2. Prueba que un segmento que pasa por el vértice de un triangulo divide externamente al lado opuesto en segmentos proporcionales a los restantes lados del triangulo si y solo si es la bisectriz exterior del ángulo.
Figura 12
  1. Divide un segmento dado en una razón dada.
  2. Divide un segmento dado en $n$ partes iguales.

Más adelante…

En la siguiente entrada y con la ayuda del Teorema de Thales veremos otra herramienta importante en el estudio de la geometría, los criterios de semejanza de triángulos.

Entradas relacionadas

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.