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Álgebra Superior I: Negaciones de proposiciones con conectores y cuantificadores

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

Ya hemos visto cómo podemos crear proposiciones complejas a partir de proposiciones básicas usando conectores y cuantificadores. En esta entrada repasaremos cómo hacer negaciones de los distintos conectores lógicos de los que hemos platicado, y hablaremos de cómo hacer eso mismo para los cuantificadores universales y existenciales.

Recordatorio de negaciones de conectores lógicos.

Hemos hablado de cinco conectores lógicos: negación, conjunción, disyunción, implicación y doble implicación. En entradas anteriores hemos platicado de qué sucede con algunos de ellos si los negamos.

Negación, conjunción y disyunción

Negar una negación es sencillo. Ya vimos con anterioridad que $\neg(\neg P)\equiv P$. Para la conjunción y disyunción hablamos de las leyes de De Morgan en la entrada correspondiente. Nos dicen que estos conectores se niegan como sigue:

  • $\neg (P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q$
  • $\neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q$

Siendo que trabajemos con alguna de estas, solo es necesario recordar: «la conjunción se niega con la disyunción de las negaciones y la disyunción se niega con la conjunción de las negaciones».

Implicación

Para ver cómo es que se niega este conector, recordemos su equivalencia lógica: $$P \Rightarrow Q \equiv \neg P \lor Q.$$

Lo siguiente que podemos hacer es aplicar una ley de De Morgan:

$$\neg (P \Rightarrow Q) \equiv \neg(\neg P \lor Q) \equiv P \land \neg Q.$$

Lo cuál nos quiere decir: «la negación de la implicación es que se cumpla la hipótesis y no la tesis» o «una promesa falla cuando pasa la condición requerida, pero no sucede lo requerido».

Doble implicación

Ahora, recordemos que la doble implicación $P \Leftrightarrow Q$ la definimos mediante $(P\Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$. De esta manera, podemos usar nuevamente leyes de De Morgan para obtener:

$$ \begin{aligned} \neg(P \Leftrightarrow Q) &\equiv \neg((P\Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P))\\ &\equiv \neg(P\Rightarrow Q) \lor \neg(Q \Rightarrow P) \\ &\equiv (P \land \neg Q) \lor (Q \land \neg P)\end{aligned}$$

Esto lo podemos pensar como «Las negación de un doble condicional es que las dos proposiciones tengan valores de verdad distintos». Para que la negación de la doble implicación sea verdadera necesitamos que $P$ sea verdad y $Q$ falsa o $Q$ verdad y $P$ falsa.

Para recapitular esta parte, recuerda la siguiente tabla:

ConectorNegación
$\neg P$$P$
$P \lor Q$$\neg P \land \neg Q$
$P \land Q$$\neg P \lor \neg Q$
$P \Rightarrow Q$$P \land \neg Q $
$P \Leftrightarrow Q$$(P \land \neg Q) \lor (Q \land \neg P)$

Negaciones de cuantificadores

Ahora que ya hemos visto sobre las negaciones de los conectores, es turno de que hablemos un poco de los cuantificadores. Y para esto recordemos que un cuantificador nos da información sobre los posibles valores de verdad de un predicado a través de un universo.

Negación de cuantificadores universales

Observa por un momento el siguiente predicado:

«Todos los números primos son impares»

Esta proposición la podemos ver de la forma $\forall x: P(x)$ en el universo de discurso de los números enteros. Y la proposición nos dice que cada número primo que tomemos, será impar. ¿Esto es verdad? Pues resulta que no. Y de hecho el único número primo que no es impar es el 2. En este caso no podemos decir que sea verdad la proposición cuantificada, esto pues existe al menos un número entero que no cumple la proposición. ¿Ves a dónde vamos con las palabras resaltadas?

Para negar el cuantificador $\forall$ usamos el cuantificador $\exists$ diciendo que existe un elemento que no cumple la propiedad:

$\neg(\forall x: P(x)) \equiv \exists x: \neg P(x)$

Pensemos en el significado de la expresión. Si tenemos $\neg(\forall x: P(x))$ significa que en el universo de discurso, existe una manera de elegir a $x$, digamos $x=a$ donde $P(a)$ es falsa, es decir $\neg P(a)$ es verdadera.

Negación de cuantificadores existenciales

Por otro lado, pensemos en el siguiente ejemplo:

«Existe un número entero mayor a 1 y menor a 2»

Para poder decir si es verdad o no, deberíamos ponernos de acuerdo en qué es un número entero o qué significa que sea menor o mayor que otro. Pero nuestra intuición nos dice que esto no es cierto (y estamos en lo correcto al pensar así). Ahora ¿Cómo se te ocurre que podríamos negar la expresión $\exists x: P(x)$, donde nuestro universo de discurso son los números enteros y $P(x) : 1<x \land x<2$? Pues necesitaríamos que no exista algún elemento que cumpla la condición. Entonces podemos notar que lo que nos dice esta negación es que cualquier elemento que tomemos de nuestro universo de discurso, no cumplirá con la proposición. Es decir, «Para todo $x$ en el universo de discurso, no se cumplirá el predicado». Dicho de otra forma:

$\neg (\exists x: P(x)) \equiv \forall x: \neg (P(x)).$

Vayamos un paso más allá, pues $P(x) : 1<x \land x<2$ es una conjunción. Al negarla, por leyes de De Morgan obtenemos una disyunción $\neg P(x): \neg(1<x) \lor \neg (x<2)$. Así, podríamos concluir entonces que la negación de

«Existe un número entero $x$ tal que $x>1$ y $x<2$.»

es

«Para todo número entero $x$, o bien no se cumple $x>1$ o bien no se cumple $x<2$.»

Negar hasta lo más profundo posible

Cuando hablamos de negar una proposición matemática compuesta por proposiciones específicas, o bien de negar una fórmula proposicional, nuestro objetivo es llevar las negaciones hasta las proposiciones básicas o las variables proposicionales o las variables de predicado. Por ejemplo, pensemos en simplificar la siguiente negación:

$$\neg(\exists x: (P(x)\lor Q(x)) \land (\neg R(x)\Rightarrow P(x))).$$

Aquí la primera negación está afectando al cuantificador existencial, entonces lo primero que hacemos es cambiarlo en un cuantificador universal de la negación:

$$\forall x: \neg((P(x)\lor Q(x)) \land (\neg R(x)\Rightarrow P(x))).$$

Ahora la negación está actuando en una conjunción, entonces usamos De Morgan para simplificar a

$$\forall x: \neg(P(x)\lor Q(x)) \lor \neg (\neg R(x) \Rightarrow P(x)).$$

Ahora hay una negación en una disyunción y una en una implicación. Entonces, usamos las reglas que vimos arriba para simplificar a lo siguiente

$$\forall x: (\neg P(x)\land \neg Q(x)) \lor (\neg R(x) \land \neg P(x)).$$

Esta ya es la forma final que nos interesa. Nota que las negaciones ya están sólo junto a $P(x), Q(x), R(x)$, pero ya no afectan conjunciones, disyunciones, condicionales ni cuantificadores.

Más adelante…

Llegando a este punto, ya tenemos el conocimiento necesario para hablar de una sustancia muy importante en la matemática: las demostraciones. Esto es, ¿cómo podemos estar seguros de cuándo algo se cumple y cuándo no?, ¿qué significa que un enunciado se derive de otros enunciados? Y más importante: vamos a introducir algunas técnicas de demostración que te ayudarán a entender de qué estamos hablando en matemáticas cuando haya que verificar algo. Y para esto usaremos algo conocido como reglas de inferencia.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. ¿Cuál es la negación de las siguientes proposiciones?
    • $P\lor (Q \Rightarrow S)$
    • $(P \Leftrightarrow (Q\land \neg S))$
    • $P \land (Q\lor R)$
    • $P \Rightarrow(Q \Rightarrow P)$
  2. ¿Cuál es la negación de las siguientes proposiciones que involucran cuantificadores?
    • $\forall x:(P(x)\Rightarrow Q(x))$
    • $\exists y: (\forall x: (P(x)\land Q(y)))$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Problemas de condicionales y cuantificadores

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

En esta entrada resolveremos problemas de temas vistos en entradas anteriores. Haremos algunos ejemplos relacionados con los conectores condicionales que vimos en una entrada anterior: la implicación y la doble implicación. También veremos algunos de cuantificadores lógicos.

Problemas resueltos

Problema. Si $P$ y $R$ son verdaderas y $Q$ es falsa, di si la siguiente proposición es verdadera o falsa: $$(P \lor R) \Rightarrow \neg(Q \land R).$$

Solución. Haremos una tabla de verdad pero únicamente con los valores que nos dan, es decir, no vamos a hacer la tabla para todos los casos, sino únicamente los que nos interesan en este momento:

$P$$Q$$R$$P \lor R$ $Q \land R$$\neg (Q \land R)$$(P \lor R) \Rightarrow \neg(Q \land R)$
$1$$0$$1$  $1$ $0$  $1$   $1$

Por lo tanto la proposición es verdadera para los valores de verdad dados.

$\square$

Problema. Di si las siguientes proposiciones sobre los números enteros son verdaderas o no:

  1. $(3+1=4) \Rightarrow (0<10)$
  2. $(4=5) \Leftrightarrow (9+1=10)$
  3. $((6<7) \lor (3^2=10)) \Rightarrow (12<12^2)$
  4. $((-1<1) \land (1<-1)) \Leftrightarrow ((13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2))$

Solución.

Vamos a hacer algunas verificaciones sobre cada una de las proposiciones para encontrar su valor de verdad:

  • $(3+1=4) \Rightarrow (0<10)$

Como $3+1=4$ es verdadera y $0<10$ es verdadera también, entonces la proposición es verdadera.

  • $(4=5) \Leftrightarrow (9+1=10)$

Recordemos que la doble condicional es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Por un lado no es cierto que $4=5$ mientras que sí es verdad que $9+1=10$. Por lo tanto la proposición es falsa.

  • $((6<7) \lor (3^2=10)) \Rightarrow (12<12^2)$

Vamos a ver la proposición por partes. Primero veamos que $((6<7) \lor (3^2=10))$ es una disyunción verdadera pues una de las proposiciones que la componen, $6<7$, lo es. Como $12<12^2$ es verdad, entonces la implicación tiene antecedente y subsecuente verdaderos y por lo tanto es verdadera.

  • $((-1<1) \land (1<-1)) \Leftrightarrow ((13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2))$

De nuevo vamos a dividir la proposición en sus partes, $(-1<1) \land (1<-1)$ y $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$. Primero notemos que $(-1<1) \land (1<-1)$ es falsa, pues no es cierto que $1<-1$.

Ahora, veamos cómo es $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$. Nota que $12=13-1$ y $12=12-1+1$, entonces $13-1=12-1+1$. Entonces esta primera parte es verdad, mientras que $1+1=2$ pero no es cierto que $2<2$. Así que es falso que $1+1<2$. Entonces $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$ es falso.

Como $(-1<1) \land (1<-1)$, $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$ son ambas falsas, entonces $((-1<1) \land (1<-1)) \Leftrightarrow ((13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2))$ es verdadero.

$\square$

Nota: En este tipo de ejercicios, ¿viste cómo se dieron las argumentaciones de las proposiciones en cada caso? El secreto aquí fue «desarmar» las proposiciones en partes más pequeñas. Esto lo hacemos pues recuerda que los conectores son binarios, esto significa que su valor de verdad depende del valor de verdad de las dos proposiciones que conectan.

Así, para ver cuál es el valor de verdad de $((6<7) \lor (3^2=10)) \Rightarrow (12<12^2)$, lo que hicimos fue deshacerlo en sus partes. Una parte $A$ fue $(6<7) \lor (3^2=10)$ y la otra parte $B$ fue $12<12^2$. Entonces bastaba con verificar cuáles eran los valores de verdad de $A$ y $B$. Para ello, volvimos a «desarmar» a $A$ en sus partes «atómicas». Es decir, desarmamos $(6<7) \lor (3^2=10)$ en $6<7$ y $3^2=10$ y estudiamos el valor de verdad de cada uno de ellos. Usualmente este tipo de pensamiento de «desarmar un problema en sus partes» te ayudará a verificar o demostrar cosas más adelante.

Problema. Sean $P(x)$, $Q(x)$ y $R(x)$ los siguientes predicados:

  • $P(x): x \leq 4$
  • $Q(x): x +1$ es par.
  • $R(x): x> 0$

Si nuestro universo de discurso son los números enteros, ¿cuáles son los valores de verdad de las siguientes proposiciones?

  1. $P(1)$
  2. $P(1) \Rightarrow Q(1)$
  3. $P(0) \Rightarrow (R(5) \Rightarrow Q(0))$
  4. $R(-1) \lor P(2)$
  5. $\neg R(-2) \land P(-2)$

Solución.

1.$P(1)$

Es verdadera, pues $1 \leq 4$.

2. $P(1) \Rightarrow Q(1)$

Como $P(1)$ es verdadera y además $1+1=2$ es par, entonces la proposición es verdadera.

3. $P(0) \Rightarrow (R(5) \Rightarrow Q(0))$

Vamos a dividir la proposición en partes. Primero notemos que $P(0)$ es verdad. Mientras que $R(5) \Rightarrow Q(0)$ es falsa, ya que es cierto que $5>0$ pero es falso que $0+1$ sea par. Entonces la proposición es falsa.

4. $R(-1) \lor P(2)$

Como $R(-1)$ es falsa pero $P(2)$ es verdad, entonces la proposición es verdadera.

5. $\neg R(-2) \land P(-2)$

Como $-2>0$ es falsa, entonces $\neg R(-2)$ es verdad. Además, $-2<4$ es verdad. De esta manera la proposición es verdadera.

$\square$

Problema. Considera los siguientes predicados:

  • $P(x): 2x>0$
  • $Q(x):x>0$
  • $R(x): x=20$
  • $T(x):x<0$

Determina la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones, considerando que nuestro universo de discurso son los números enteros. Si la proposición no es verdadera, da un contraejemplo o explicación de ello.

  1. $\forall x: (P(x) \Rightarrow Q(x))$
  2. $\exists x: (Q(x) \land T(x))$
  3. $\forall x: (R(x) \Rightarrow Q(x))$
  4. $\exists ! x:(R(x))$
  5. $ \nexists x :(Q(x) \land P(x))$

Solución.

  • $\forall x:(P(x) \Rightarrow Q(x))$

Nota que siempre que se cumple $2x>0$ entonces $x>0$ (más adelante demostrarás esto con toda formalidad, pero de momento lo daremos por cierto). Por lo tanto la proposición es verdadera.

  • $\exists x: (Q(x) \land T(x))$

Para que esto sucediera, necesitaríamos la existencia de al menos un elemento $x$ que cumpla $0<x$ y $x>0$, es decir necesitaríamos un elemento que sea positivo y negativo a la vez, pero esto no es posible. Por lo tanto la proposición es falsa.

  • $\forall x:(R(x) \Rightarrow Q(x))$

Lo que nos dice esta proposición es «Para todo número entero $x$ que cumpla $x=20$ entonces $x>0$» o dicho de otra manera: «Si un número entero es igual a 20, entonces será positivo.» Lo cuál es correcto, pues si el número es distinto a 20, la implicación será correcta (recuerda la tabla de verdad de la implicación), mientras que el único caso en donde la hipótesis se cumple es cuando $x=20$ y claramente es un número que cumple $x>0$. Entonces la proposición es verdadera.

  • $\exists ! x:(R(x))$

Esto nos quiere decir que existe un único número entero que sea igual a 20, e inmediatamente podemos saber que es verdadera, pero ¿A qué nos referiremos que un número sea igual a 20? Primero tendríamos que ponernos de acuerdo de qué significa la igualdad. Aunque ahora no lo haremos, piensa el cómo nos aseguraríamos de que es el único número entero que cumple esa propiedad. ¿Qué pasaría si no fuera cierto?

  • $ \nexists x: (Q(x) \land P(x))$

Lo que dice la proposición es que ningún número $x$ va a cumplir a la vez $x>0$ y $2x>0$, pero esto no es cierto, pues pensemos en $x=1$. Cumple $Q(x)$ ya que $1>0$ y cumple $P(x)$ porque $2\cdot 1=2>0$. Entonces podemos decir que es falso pues dimos un contraejemplo que contradijo la proposición.

$\square$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Cuantificadores existenciales y universales

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

4 respuestas

Introducción

Hasta ahora hemos visto proposiciones, variables proposicionales, conectores y fórmulas lógicas. Por ello, ya podemos decir cómo se manejan las proposiciones al combinarlas o qué significa que dos proposiciones sean equivalentes.

Sin embargo, hasta ahora no hemos trabajado con tanto rigor los objetos a los que nos referimos dentro de una proposición. Por ejemplo cuando decimos la proposición «Este número es impar» puede que sea o no verdadera, pero esto depende de una cosa: el contexto. ¿A qué número nos estamos refiriendo? Podríamos estar en la siguiente conversación: «Hay números distintos a los múltiplos de 2, por ejemplo el 3. Este número es impar.» A esto último, estando en contexto, ya le podríamos asociar un valor de verdad.

En general esto no es así. Podemos ir variando a qué número nos referimos. En ocasiones las proposiciones tienen una variable y, dependiendo el valor de esa variable, cambian su significado o su valor de verdad. En esta entrada formalizamos estas ideas y hablamos de cuantificadores, que nos permitirán «recorrer» todos los valores posibles de una variable.

Términos variables y predicados

Volvamos a nuestro ejemplo. Al tomar la proposición $P$ «el número es impar», podríamos referirnos al $1$, $2$, $3$, $80$ o $20,000$. Así, es más conveniente pensar en que la proposición depende de una variable como sigue:

$P(\text{el número})$ = «$\text{el número}$ es impar».

Visto de esta manera, $P(2)$ es la proposición «$2$ es impar». En general $P(x)$ es la proposición «$x$ es impar» y esta hace referencia a que el número es una variable que puede tomar distintos valores «permitidos». Observa que en este caso no tendría sentido decir si $P(\text{azul})$ es verdadero o falso. A este tipo de proposiciones que tienen una variable (o más), se les llama predicados.

¿Notas que tenemos que ponernos de acuerdo sobre cuál es el contexto sobre el que estamos hablando al momento de asignarle un valor a nuestra variable? Esto debido a que no podríamos decir que «azul es impar» o «la luna es impar». A este «conjunto» dentro del cual pueden tomar valores nuestras variables le llamamos universo de discurso. Aunque suena algo sofisticado, puedes pensarlo como el contexto al que nos estamos acoplando.

Es muy importante siempre tener claro el universo de discurso cuando usamos predicados. No será lo mismo estar hablando de número pares, que de números enteros. Sabemos que todos los números pares no son impares. Mientras que algunos números enteros son impares. Estas palabras enfatizadas son las que nos van a permitir hablar más sobre cómo es nuestro universo de discurso. No es lo mismo que solo un objeto del universo cumpla un predicado (tenga valor de verdad verdadero) a que todos los objetos de nuestro universo las cumplan.

Cuantificador universal

Cuando tenemos un predicado $P(x)$, no podemos decir si es verdadero o falso hasta que no hayamos decidido quién es exactamente el objeto $x$ dentro de nuestro universo de discurso del que estamos hablando. Pero lo que sí podemos hacer es pensar en si ninguno, alguno o todos los elementos de dicho universo de discurso hacen que $P(x)$ sea verdadero, o no. A esto se le llama cuantificar un predicado.

El primer cuantificador que nos interesa es el cuantificador universal que transforma un predicado en una afirmación de que todo objeto de nuestro universo de discurso hace que la proposición $P(x)$ sea verdadera. Dicho cuantificador universal puede pensarse como agregar un «Para todo $x$ en el universo de discurso,» antes del predicado $P(x)$ que nos interesa. Lo que esto hace es que transforma el predicado $P(x)$ en la proposición $\forall x: P(x)$, la cual acordamos que es cierta siempre y cuando cualquier objeto $x$ de nuestro universo de discurso hace que $P(x)$ sea cierta. Entonces la veracidad de $\forall x: P(x)$ depende fuertemente tanto de:

  • La proposición $P(x)$
  • El universo de discurso en el que estemos.

Cotidianamente también decimos simpemente «Para todo $x$, $P(x)$», pero es muy importante que el universo de discurso sea claro.

Veamos un ejemplo poco a poco. Consideremos el siguiente predicado:

$$P(x)= \text{$x$ es múltiplo de $2$.}$$

Este predicado no tiene ningún valor de verdad. Lo podemos pensar como que es una proposición cuyo contenido depende de una variable $x$ que no hemos decidido. Ahora acordemos como universo a los números múltiplos de $4$. A partir de ello, podemos crear la siguiente proposición con el cuantificador universal $\forall$:

$$\forall x \text{ múltiplo de $4$}: P(x).$$

En palabras «todo múltiplo de $4$ es múltiplo de $2$». Al cuantificar el predicado, ya se convierte en una proposición. ¿Es verdadera? Sí, en efecto, sin importar cuál $x$ tomemos que sea múltiplo de $4$, cumplirá que es múltiplo de $2$.

Pero, ¡cuidado! Podríamos estar trabajando en otro universo de discurso, donde los objetos que nos interesan son todos los enteros. Si ese fuera el caso, al cuantificar universalmente tendríamos lo siguiente:

$$\forall x \text{ entero}: P(x).$$

Esta es una proposición, pero es falsa, pues podemos encontrar un entero, digamos $5$, para el cual $P(5)=\text{$5$ es múltiplo de $2$.}$ es falso. Por ello, la proposición con el cuantificador es falsa.

Algunos otros ejemplos de cómo podemos usar este cuantificador son los siguientes. Observa cómo se deja claro el universo de discurso.

  • $\forall x$ número par, $x$ es múltiplo de 2.
  • $\forall x$ grupo cíclico, $x$ es generado por un único elemento.
  • $\forall x$ año bisiesto, $x$ tiene 366 días.
  • $\forall (x,y)$ vector en $\mathbb{R}^2$, $\norm{x+y}\leq\norm{x}+\norm{y}.$ *

Recuerda que ahora no es necesario que conozcamos a la perfección el universo de discurso del que estamos hablando en estos ejemplos. En estas entradas no nos interesa estudiar a los pares, a los grupos cíclicos, o a los años bisiestos. Los ponemos como ejemplos únicamente para ver que las ideas de lógica aplican a todos ellos. Por ejemplo para el segundo ejemplo el objetivo es que entiendas que siempre que consideremos un grupo cíclico (sea lo que signifique un grupo o un grupo cíclico), ese grupo es generado por un único elemento (sea lo que signifique que un grupo se genere por un único elemento). En este caso nuestro universo de discurso serán los grupos cíclicos, mientras que $P(x)$ es el predicado «$x$ es generado por un único elemento». En estos renglones sólo nos interesa entender cuándo estamos hablando de un universo de discurso, un cuantificador y un predicado.

Cuantificador existencial

El cuantificador «para todo» establece que una proposición es verdadera para todos los objetos de un universo de discurso. Pero esto no siempre pasa. Por ejemplo, pensemos en que nuestro universo de discurso es $$A=\{\text{pescados, reptiles, aves, piedras, felinos}\}$$ y nuestro predicado $P(x)$ es «Los gatos son $x$». En este caso no todas las formas de asignar un objeto del universo a la variable $x$ darán proposiciones verdaderas. Los gatos no son pescados, reptiles ni mucho menos piedras o aves. Pero los gatos sí son felinos. En este caso la asignación $x=\text{felinos}$ será la única en la que se cumpla el esquema proposicional.

El cuantificador existencial permite enunciar una proposición que acordamos que se vuelve verdadera cuando uno (o más) de los objetos del universo de discurso hacen que obtengamos una proposición verdadera. Así, una vez acordado un universo de discurso y un predicado $P(x)$, diremos que la proposición $\exists x:P(x)$ es verdadera cuando logremos encontrar algún $x$ para el cual $P(x)$ sea verdadera.

En palabras, esto se dice a veces como «existe $x$ en el universo de discurso que cumple $P(x)$», o simplemente como «existe $x$, $P(x)$», cuando el universo de discurso se sobreentiende.

Algunos ejemplos del uso de este cuantificador son los siguientes:

  • $\exists n$ número entero que es solución a $n^2=4$.
  • $\exists n$ número entero que cumple $e^{i\pi}+n=0.$ **

Nuevamente, es muy importante que se acuerde el universo de discurso para poder concluir la veracidad de una proposición que involucra un cuantificador existencial. Por ejemplo, la proposición

$$\exists x \text{ número real}: x^2=-1$$

es falsa, pues no existe tal real (al elevar un real al cuadrado siempre queda mayor o igual a cero), mientras que la proposición

$$\exists x \text{ número complejo}: x^2=-1$$

es verdadera, pues el número complejo $x=i$ cumple que $x^2=-1$ es verdadero.

Cuantificador «existe un único»

El cuantificador «existe» tiene una variante más restrictiva. Cuando decimos que existe al menos un elemento en nuestro universo de discurso que cumple una propiedad, también tenemos que puede haber $2$, $3$ o $20$ elementos que lo cumplen. Por ejemplo: «$\exists n$ número entero que es solución a $n^2=4$» tiene dos posibilidades, pues al tomar $n=-2$ o $n=2$ el predicado se transforma en una proposición verdadera.

Pero es muy frecuente en matemáticas que se busque que uno y sólo un elemento que haga verdadero a a un predicado. Para referirnos a estas ocasiones, usamos el cuantificador «$\exists!$», que se lee como «existe un único«. Por ejemplo, sabemos que el único número primo par es 2. Así que podríamos decir: «$\exists! x$ número entero que es primo y par».

La regla de asignación de verdad es que $\exists! x: P(x)$ será verdadera si hay un único $x$ del universo de discurso que haga que $P(x)$ sea verdadera. Si no hay, o hay más de uno, entonces $\exists! x:P(x)$ será falsa.

Otros ejemplos (algunos informales) de su uso son:

  • $\exists!x$ día de la semana tal que $x$ empieza con la letra L
  • $\exists!x$ número real tal que $x$ es neutro aditivo. ***
  • $\exists!n$ número entero que cumple $e^{i\pi}+n=0.$

¿Observas que la última oración se parece mucho al último ejemplo del cuantificador anterior? Y con esto no estamos contradiciendo nada, en el ejemplo anterior solo estamos diciendo «Existe un número entero $n$ que es solución a $e^{i\pi}+n=0$» con lo que queremos decir que existe al menos uno, mientras que en el último ejemplo, decimos «Existe un único número entero $n$ que es solución a $e^{i\pi}+n=0$». Aquí, el objetivo solo es ser más específicos, lo que quiere decir que sólo estamos dando información extra acerca de la proposición.

Tabla resumen de conjunciones y cuantificadores

A continuación resumimos en una tabla varios símbolos lógicos que hemos discutido.

Negaciones$\neg$
Conjunciones$\land$
Disyunciones$\lor$
Implicaciones$\Rightarrow$
Dobles implicaciones$\Leftrightarrow$
Para todos los casos$\forall$
Para al menos un caso$\exists$
Para un único caso$\exists!$

Combinando conectores y cuantificadores

Habiendo conocido los distintos cuantificadores, podríamos hacer afirmaciones un poco más extensas usando otros conectores lógicos en los predicados que usamos. Por ejemplo, pensemos en que nuestro universo de discurso son los números enteros. Consideremos los predicados $P(x)=x<0$ y $Q(x)=x<1$. Entonces podríamos decir

$$\forall \text{$x$ número entero: } (P(x) \Rightarrow Q(x))$$

En palabras: «Para todo número entero $x$, si $x$ es menor a 0, entonces $x$ es menor a 1». Esto es una afirmación verdadera.

También podríamos poner algo del estilo

$$\exists \text{$x$ número entero: } (x+3=8) \land (x^2-2=23).$$

Esta también es una afirmación verdadera pues $x=5$ es un número entero que cumple la proposición $x+3=8$ y la proposición $x^2-2=23$.

También podemos tener predicados con más de una variable e irlos cuantificando poco a poco. Por ejemplo, pensemos nuevamente a los números enteros como nuestro universo de discurso y $P(x,y)$ como la afirmación $x+y=0$. Tenemos que $P(2,-2)$ es verdadero, mientras que $P(2,2)$ es falso, pues es falso que $2+2=0$. Podemos cuantificar a $y$ con un existencial de unicidad para obtener lo siguiente: $$\exists ! y: P(x,y).$$ Esto todavía no es una proposición de la que podamos saber si es cierta o verdadera. Aunque $y$ ya está cuantificado, $x$ sigue siendo variable. Lo que sí es que entonces es un predicado que de la variable $x$ y ahora podemos cuantificarlo con respecto a $x$ para obtener, por ejemplo,

$$\forall x: (\exists! y: P(x,y)).$$

Aquí estaríamos diciendo «para cada número entero $x$, existe un único número entero $y$ tal que $x+y=0$». Dicho de otra forma, cada vez que consideramos un número entero $x$, digamos $3$, existirá un único número entero $y$ que cumplirá la ecuación $x+y=0$. En este caso ese número $y$ es $-3$, pues dijimos que $x=3$ y sólo hay un número que al sumarlo a $3$ nos da $0$.

Entender estas dobles cuantificaciones será crucial para entender, por ejemplo, la definición de límite en Cálculo Diferencial e Integral I.

Notas

Estas son algunas anotaciones del artículo y no es necesario que las sepas, únicamente son curiosidades o temas por aparte que forman parte de la cultura matemática.

* Esta se conoce como la desigualdad del triángulo y nos dice básicamente que la suma de la longitud de dos lados de un triángulo siempre será mayor a la longitud del tercer lado.

** Esta afirmación está relacionada con la llamada identidad de Euler y algunos piensan que es una de las ecuaciones más hermosas de las matemáticas. En otros cursos como Álgebra Superior 2 o Variable Compleja 1 puede que vuelvas a ver esta identidad con su demostración.

*** El único neutro aditivo es el $0$, y esto quiere decir que al sumarle este a cualquier otro número, dará el mismo número.

Más adelante…

Cuando estamos hablando de cuantificadores, también nos van a interesar sus negaciones. Por ejemplo, ¿a qué nos referiremos cuando digamos $\neg (\forall x P(x))$? ¿o cuando digamos $\neg (\exists x (P(x) \Rightarrow Q(x)))$? Lo primero que tenemos que entender es qué quiere decir negar un cuantificador universal y uno existencial. Eso es justo lo que estudiaremos en la siguiente entrada.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Imagina que definitivamente quieres comprar un helado. Cuando vas a la heladería, sólo venden un sabor. Esto tiene desventajas, por supuesto. Pero, ¿qué ventajas tiene que sólo haya un sabor de helado? Enlista todas las que puedas.
  2. En los ejemplos siguientes encuentra el universo de discurso y su predicado.
    1. $\forall x$ número par,$x$ es múltiplo de 2.
    2. $\forall x$ año bisiesto, $x$ tiene 366 días.
    3. $\forall (x,y)$ vector en $\mathbb{R}^2$, $\norm{x+y}\leq\norm{x}+\norm{y}$.
  3. Considera el predicado $P(x)=«x$ es múltiplo de 11». Da cuatro universos de discurso tales que los siguientes enunciados sean ciertos:
    • $\forall x P(x)$
    • $\exists x P(x)$
    • $\exists! x P(x)$
    • $\nexists x P(x)$
  4. Considera la proposición: $P(x,y,z)$ = «$x^3+y^3=z^3$». ¿Cuál de los siguientes enunciados representa la oración «No existen números enteros $x,y,z$ que cumplen $P(x,y,z)$»?:
    • $\forall x (\exists y (\exists z P(x,y,z)))$
    • $\nexists (x,y,z)P(x,y,z)$
    • $\forall x (\nexists(y,z)P(x,y,z))$
    • $\nexists x (\forall (x,y) P(x,y,z))$
  5. ¿El ejercicio anterior sólo tiene una solución? Si hay más de una opción correcta, ¿cómo argumentarías que dos enunciados representan el mismo enunciado?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Condicionales y dobles condicionales

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

Hemos hablado en las últimas entradas de tres conectores muy importantes: la negación, la conjunción y la disyunción. Sin embargo, como recordarás en la introducción al tema, mencionamos más de tres conectores. Ha llegado el momento en que veamos a los conectores condicionales: la implicación y la doble implicación.

Pensar en consecuencias

Para introducir mejor la implicación, pensemos en qué significa la palabra sin algún contexto matemático. ¿Qué se te viene a la mente cuando oyes la palabra «implicación»? Quizá se te venga a la mente «consecuencia», que a su vez significa cosas o acciones que derivan otras más.

Un ejemplo es el siguiente: ¿qué implicación tiene que se acabe la pila de un celular? Pues en principio se apaga el teléfono. Entonces podríamos decir «Si se acaba la pila del celular, entonces se apagará». Otro ejemplo: ¿qué consecuencias tiene llegar tarde a una cita médica? Pues muy probablemente se cancelará. Esto mismo lo podemos decir así: «Si llego tarde a una cita médica, entonces la cancelarán». Un último ejemplo sería el siguiente: «Si sube el nivel de dióxido de carbono en la atmósfera, entonces los polos se derretirán».

Todas estas oraciones son ejemplos de condicionales, y para entender su estructura, volvamos al primer ejemplo. Pensemos en las proposiciones
\begin{align*}
P &= \text{El celular se queda sin pila.}\\
Q &= \text{El celular se apaga.}
\end{align*}

Podemos reescribir la oración «Si se acaba la pila del celular entonces se apagará» como «Si pasa $P$, entonces pasa $Q$». Observa que siempre que pase $P$, entonces pasará $Q$. Esto lo escribiremos como $P \Rightarrow Q$ y se lee «$P$ implica $Q$». Lo que estamos diciendo con esta oración es que si el valor de verdad de $P$ es verdadero entonces el valor de verdad de $Q$ es verdadero.

Observa que si al celular no se le acaba la pila, entonces no tendría porqué apagarse, entonces si $P$ es falso, $Q$ puede ser falso y no hay problema. También puede pasar que apagues el celular, pero no necesariamente sea porque se le acabó la pila, entonces si $P$ es falso, $Q$ también puede ser verdadero y no hay algún problema con ello. El único problema sería decir que se le acabó la pila al celular y sigue prendido, eso sería algo que no puede suceder, porque sabemos que «Si se acaba la pila del celular, entonces se apagará».

Todo esto lo resumimos en la tabla de verdad de la siguiente sección.

Tabla de verdad de la implicación

Dadas proposiciones $P$ y $Q$, pensamos en la implicación $P\Rightarrow Q$ como la proposición que tiene la siguiente tabla de verdad.

$P$$Q$$P \Rightarrow Q$
$0$$0$$1$ 
$0$$1$$1$ 
$1$$0$ $0$
$1$$1$ $1$

Quizá sigas teniendo dificultades para entender porqué si $P$ es falso, $Q$ puede tener cualquier valor y seguir haciendo la expresión verdadera. Para ello, piensa en lo siguiente: lo que dice la implicación es que siempre que pase la primera condición $P$, también llamada hipótesis, ocurrirá $Q$, también conocida como tesis. Puede ser que se cumpla $Q$ y no se cumpla $P$, pero eso no contradice lo que dice la implicación, o puede que igual no se cumpla ni $Q$ ni $P$. Lo único que nos dice la implicación es que siempre que se cumpla $P$ va a tener como consecuencia que se cumpla $Q$. Entonces el único caso en donde desobedecemos a la implicación (donde es falsa), es cuando pasa $P$ y no pasa $Q$, que corresponde al penúltimo renglón de la tabla de verdad.

Condiciones suficientes y necesarias

El siguiente y último conector que vamos a ver es la doble implicación. A diferencia de la implicación, asumimos que para que una proposición sea verdadera, es necesaria que la otra también y viceversa. Para esto, refiramos a la doble implicación como una equivalencia lógica $P \Leftrightarrow Q :\equiv (P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$. En otras palabras decimos que hay una doble implicación entre $P$ y $Q$ si $P$ implica $Q$ y además $Q$ implica $P$.

Además de este nombre, algunas formas de referirse a la doble implicación que encontrarás serán:

  • «$P$ es equivalente a $Q$»
  • «Una condición necesaria y suficiente para $Q$ es $P$»
  • «$P$ si y sólo si $Q$»

Esta última se utiliza mucho en enunciados matemáticos como proposiciones y teoremas.

Tabla de verdad de la doble implicación

$P$$Q$$P \Rightarrow Q$$Q \Rightarrow P$$(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$$P\Leftrightarrow Q$
$0$$0$ $1$$1$$1$  $1$ 
$0$$1$$1$ $0$ $0$ $0$ 
$1$$0$  $0$$1$ $0$ $0$
$1$$1$  $1$$1$ $1$   $1$

Nota que la doble implicación es verdad cuando los valores de $P$ y $Q$ son ambos verdaderos o ambos falsos. Esto quiere decir que en este caso si alguno es verdadero, entonces los dos son verdaderos, mientras que si uno es falso, los dos lo serán.

La implicación en términos de otros conectores

El hecho de que hayamos aprendido los primeros tres conectores (negación, conjunción y disyunción) antes que estos no es coincidencia. Resulta que la implicación y la doble implicación se «pueden construir» a partir de los primeros tres. Con esto nos referimos a que la implicación es equivalente a una expresión hecha únicamente por los anteriores.

Para ello, primero recuerda cómo construimos la implicación. La única forma en que la implicación $P \Rightarrow Q$ sea falsa es que $P$ sea verdadero y $Q$ falso. Entonces si $P$ es falso, no importa qué valor tome $Q$. De esta forma, cada vez que $\neg P$ sea verdad, la implicación también será verdadera. Pero si $P$ es verdadero, entonces $Q$ debe serlo también. Eso lo podemos expresar como $\neg P \lor Q$ que quiere decir «$P$ no pasa o $Q$ es verdadero» y coincide con lo que acabamos de decir. Para convencerte de eso, revisa con cuidado la siguiente tabla.

$P$$Q$$\neg P$ $\neg P \lor Q$$P \Rightarrow Q$
$0$$0$ $1$$1$  $1$ 
$0$$1$$1$  $1$ $1$ 
$1$$0$  $0$ $0$ $0$
$1$$1$  $0$ $1$   $1$

Entonces $\neg P \lor Q \equiv P \Rightarrow Q$. Entonces cada vez que digamos que «Una cosa implica la otra», podemos pensarlo como «La negación de la primera cosa o la otra». Siempre es útil regresar a ejemplos concretos. Piensa cuidadosamente por qué es lo mismo decir «si llueve el piso se moja» y decir «no llueve o el piso está seco».

La contrapositiva de una implicación

Una propiedad que más adelante nos servirá sobre la implicación es el hecho de que en ocasiones es más sencillo trabajar con las negaciones de las proposiciones que con las proposiciones normales. No te preocupes si no entiendes a qué nos referimos con esto, más adelante lo veremos con más calma.

Un ejemplo de esto es verificar la siguiente proposición: «Si un número al cuadrado es par, entonces el número es par». A primera vista no es tan fácil verificar directamente esta proposición que es de la forma $P \Rightarrow Q$. Resulta que la forma en que se comprueba esto es con una equivalencia de la implicación. Para llegar a esta equivalencia, como primer paso, notaremos que podemos poner a la implicación en términos de la negación. Para esto, vamos a usar el resultado anterior para encontrar lo que buscamos.

Recordemos que $\neg P \lor Q \equiv P \Rightarrow Q$, y la conjunción es conmutativa, es decir $\neg P \lor Q \equiv Q \lor \neg P$.

¿Podemos ver esto de otra forma?

Pues resulta que sí. Veamos a $Q$ como la negación de la negación de $Q$, dicho de otra forma, $Q \equiv \neg \neg Q$. Esto último nos ayuda a ver la equivalencia de otra forma: $Q \lor \neg P \equiv\neg \neg Q \lor \neg P$. El siguiente paso es pensar a $\neg Q$ como un término por sí mismo y a $\neg P$ como otro término. Dicho de otra forma agrupemos términos para ver la equivalencia de manera distinta: $$Q \lor \neg P \equiv\neg (\neg Q) \lor (\neg P).$$ Ahora, pensemos a $\neg Q$ como una proposición y a $\neg P$ como otra. La expresión está diciendo «La negación de $\neg Q$ una cosa o $\neg P$» ¿Suena familiar? Esto justamente es la equivalencia de la implicación. Dicho de otra manera, fíjate que tenemos una equivalencia:

$$Q \lor \neg P \equiv\neg (\neg Q) \lor (\neg P) \equiv \neg Q \Rightarrow \neg P.$$

Es decir,

$$P \Rightarrow Q \equiv \neg Q \Rightarrow \neg P.$$

Cuando tenemos una implicación de la forma $P\Rightarrow Q$, a la fórmula proposicional $\neg Q \Rightarrow \neq P$ le llamamos la contrapositiva.

Regresando al ejemplo inicial de esta sección, la proposición «Si un número al cuadrado es par, entonces el número es par» podemos pensarla como «Si un número es impar entonces su cuadrado es impar», lo cual es mucho más fácil de verificar. En entradas posteriores retomaremos esta forma de pensar. Por lo mientras es suficiente que entiendas que la implicación es equivalente a su contrapositiva.

El caso en donde todo es verdadero

Antes de terminar esta entrada, introduciremos un concepto que resultará útil cuando llegue el momento de estudiar inferencias. Para ello, observa la tabla de verdad de la fórmula proposicional $((Q \Rightarrow P) \land Q) \Rightarrow P$:

$P$$Q$$Q \Rightarrow P$$Q \Rightarrow P \land Q$$(Q \Rightarrow P \land Q) \Rightarrow P$
$0$$0$ 1 01 
$0$$1$ 0 0 1
$1$$0$ 1 0 1
$1$$1$ 11  1

¿Notas algo peculiar? Toda la columna final es verdadera. Esto quiere decir que no importa qué valores tomen las variables proposicionales, siempre es verdadera la expresión. A una fórmula matemática que cumpla esto le llamamos una tautología.

Sucede algo que une aún más los conceptos de tautología y doble condicional. ¿Recuerdas que las fórmulas proposicionales $\neg(P \land Q)$ y $\neg P \lor \neg Q$ son equivalentes? Pues veamos ahora sus tablas de verdad:

$P$$Q$$P \land Q$$\neg (P \land Q)$$\neg P$$\neg Q$$\neg P \lor \neg Q$$\neg (P \land Q)\Leftrightarrow (\neg P \lor \neg Q)$
$0$$0$ 01 1111 
$0$$1$ 01 101 1
$1$$0$ 01 011 1
$1$$1$ 10000 1

Hemos agregado una última columna, la correspondiente a $\neg (P \land Q))\Leftrightarrow (\neg P \lor \neg Q)$. ¡Es una tautología! Esto sucede siempre: dos fórmulas proposicionales $F_1$ y $F_2$ son equivalentes siempre que $F_1 \Leftrightarrow F_2$ sea una tautología.

Más adelante…

Recuerda el ejemplo que mencionamos anteriormente «Un número al cuadrado es par si el número es par», no especificamos de qué número se trataba, sin embargo hay una infinidad de números los cuales podemos tomar como ejemplo para verificar la propiedad. Entonces podemos decir «$1^2$ es par si $1$ es par» o «$38^2$ es par si $38$ es par», o en general podemos decir «$x^2$ es par si $x$ es par». ¿Pero quién es $x$? ¿Qué valores puede tomar? En la siguiente entrada veremos algo conocido como predicados y cuantificadores. Estos ampliarán el poder de las proposiciones introduciendo variables dentro de las proposiciones. Con ello, se puede cambiar el objeto al que se refiere una proposición y, dependiendo de esto, su valor de verdad.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Escribe las siguientes frases en lógica proposicional:
    • Si hoy es lunes, entonces mañana será viernes.
    • El caos implica el orden.
    • Para que crezcan las plantas, tienes que regarlas.
    • Hoy es lunes si mañana es martes y mañana es martes si hoy es lunes.
    • Hoy es lunes si y sólo si mañana es martes.
  2. Verifica que siempre «Una cosa siempre se implica a sí misma», es decir, verifica que si $P$ es una proposición, entonces $P \Rightarrow P$ siempre es verdadera.
  3. Haz la tabla de verdad de la implicación $P\Rightarrow Q$ y de su contrapositiva $\neg Q \Rightarrow \neg P$ para convencerte de que en verdad son equivalentes.
  4. ¿Cómo verificarías que  $P \Leftrightarrow Q \equiv (\neg Q \lor P)\land(\neg P \lor Q)$? Recuerda que la doble implicación $P \Leftrightarrow Q$ es equivalente a $(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$.
  5. Verifica que la doble condicional es conmutativa, es decir $P \Leftrightarrow Q \equiv Q \Leftrightarrow P $. ¿La condicional es conmutativa?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Problemas de proposiciones y conectores

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

2 respuestas

Introducción

En esta entrada, presentaremos únicamente problemas resueltos de proposiciones y conectores. Con ayuda de ellos podrás poner en práctica lo visto con anterioridad y entender mejor las propiedades de los conceptos vistos.

Problemas resueltos

Problema 1. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones?

  • ¿Qué día es hoy?
  • Toda función derivable es continua.
  • ¿El día de hoy lloverá?
  • ¿Cuántos números primos existen?
  • ¡Que gusto verte!
  • Todo espacio vectorial tiene dimensión finita.
  • El libro habla sobre historia universal.

Solución. Veamos cada oración con cuidado.

¿Qué día es hoy?

No es proposición. Esta oración es una pregunta, por lo cuál no puede tener asignado algún valor de verdad, pues no denota información que puede ser cierta o falsa (ojo: al responder la pregunta con por ejemplo «Hoy es lunes» esta respuesta sí tiene valor de verdad, pues podríamos decir que es lunes o no, pero en sí, la pregunta no tiene un valor de verdad por lo que no es proposición).

Toda función derivable es continua.

Sí es proposición. Independientemente de que sepas qué es una función derivable o qué es una función continua, sabes que esta sólo tiene dos opciones: o es cierta o no lo es. Esto es lo que le da el atributo de ser proposición (además es proposición matemática), pues se le puede asignar un valor de verdad.

¿El día de hoy lloverá?

No es proposición. Nuevamente como en el primer ejemplo, la pregunta no carga consigo algún valor de verdad, puesto que la pregunta no está afirmando o negando algo, sino está preguntando algo sin decir que será de una u otra manera. Otro caso sería si la oración fuera «El día de hoy lloverá» (¿Notas que ya no tiene signos de interrogación?) que sí es una proposición.

¿Cuántos números primos existen?

No es una proposición. Esto debido a que es una pregunta que no afirma o niega algún hecho.

¡Que gusto verte!

No es una proposición. Esta es una expresión, y no se le puede asignar un valor de verdad. Este tipo de oraciones que denotan expresiones no son proposiciones.

Todo espacio vectorial tiene dimensión finita.

Sí es una proposición. Esta es una proposición matemática la cual puede ser verdadera o falsa, pues afirma que todo espacio vectorial (no es necesario que sepas qué es un espacio vectorial) cumple la propiedad de tener dimensión finita (tampoco es necesario que sepas qué significa esto). Entonces podemos decir «Es cierto que todo espacio vectorial tiene dimensión finita» o «Es falso que todo espacio vectorial tiene dimensión finita».

El libro habla sobre historia universal.

Sí es una proposición. Observa que para decidir si es verdad o no deberíamos saber de qué libro estamos hablando, pero independientemente de eso, se puede decir que la oración es verdadera o falsa, es decir, se le puede asignar un valor de verdad.

$\triangle$

Problema 2. ¿Son equivalentes $\neg Q$ y $(\neg P \land Q) \lor \neg Q$?

Solución. No lo son, para ello, nota que no coinciden en su tabla de verdad. Estamos indicando en verde las columnas de las expresiones que nos interesan.

$P$$Q$$\neg P$ $\neg Q$$\neg P \land Q$$(\neg P \land Q) \lor \neg Q$
$0$$0$ $1$$1$ $0$  $1$ 
$0$$1$$1$  $0$  $1$ $1$ 
$1$$0$  $0$ $1$  $0$ $1$
$1$$1$  $0$ $0$  $0$   $0$

Esto quiere decir que si $P$ es falso y $Q$ es verdadero,  $\neg Q$ es falso mientras que $(\neg P \land Q) \lor \neg Q)$ es verdadero, por lo que las expresiones no son equivalentes.

$\triangle$

Problema 3. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a $\neg (P \lor (Q \land R))$?

  • $ P \lor (\neg Q \lor \neg R)$
  • $\neg P \land (\neg Q \lor \neg R)$
  • $\neg P \land (\neg Q \land \neg R)$

Para la que es equivalente, justifica por qué lo es. Para las que no son equivalentes, encuentra valores de verdad de las variables proposicionales $P$, $Q$ y $R$ que haga que las expresiones sean diferentes.

Solución. Una técnica que podríamos usar son las tablas de verdad, sin embargo sería una tabla grande, pues en principio hay 8 combinaciones para los valores de verdad de las variables proposicionales $P,Q$ y $R$. Por esta razón, mejor haremos uso de las propiedades de los conectores que ya hemos demostrado.

Primero veamos de qué forma podríamos cambiar la forma en que pensamos a $\neg (P \lor (Q \land R))$. ¿Notas que hay una negación al principio de la fórmula proposicional? Algo natural sería tratar de «distribuirla», pero recuerda que cuando «distribuimos» la negación, aplicamos las leyes de De Morgan. Entonces,

$$\neg (P \lor (Q \land R)) \equiv \neg P \land \neg(Q \land R) $$

Ahora vamos a fijarnos en $\neg P \land \neg(Q \land R)$. Y vamos a notar que podemos aplicar nuevamente las leyes de De Morgan, ahora para distribuir la negación del segundo paréntesis. Dicho de otra manera,

$$\neg P \land \neg (Q \land R) \equiv \neg P \land (\neg Q \lor \neg R)$$

Nota que para esto, la negación se distribuyó entre $Q$ y $R$. Así, hemos mostrado que

\begin{align*}
\neg (P \lor (Q \land R)) &\equiv \neg P \land \neg(Q \land R), \text{ y que}\\
\neg P \land \neg (Q \land R) &\equiv \neg P \land (\neg Q \lor \neg R).
\end{align*}

Ahora, recordando la propiedad transitiva de la equivalencia, tenemos que

$$\neg (P \lor (Q \land R)) \equiv \neg P \land (\neg Q \lor \neg R)$$

Así, encontramos que la la expresión del inicio es equivalente a la segunda opción. Si quisieras, podrías hacer la tabla de verdad para verificar esto.

Veamos ahora que las otras dos fórmulas proposicionales no son equivalentes. Para ello, basta encontrar valores de verdad de las variables proposicionales $P$, $Q$ y $R$ para los cuales las expresiones no tengan el mismo valor de verdad.

Primero verificaremos que $ P \lor (\neg Q \lor \neg R)$ no es equivalente a $\neg (P \lor (Q \land R))$. Para ello, nota que $ P \lor (\neg Q \lor \neg R) \equiv P \lor \neg (Q \land R)$. Y esta última es equivalente a $\neg (\neg P \land (Q \land R))$. Ahora nota que si $P$ es verdadero, entonces $\neg (\neg P \land (Q \land R))$ es verdadero, mientras que $\neg (P \lor (Q \land R))$ es falso. Si aún no te queda claro, observa el siguiente renglón de la tabla de verdad:

$P$$Q$$R$$Q \land R$$P \lor (Q \land R)$$\neg (P \lor (Q \land R))$$\neg P$$\neg P \land (Q \land R)$$\neg(\neg P \land (Q \land R))$
$1$$0$$0$$0$$1$$0$$0$$0$$1$

En el párrafo anterior estamos mostrando un caso en donde $P$ es verdadero (observa que en nuestra justificación del párrafo anterior no importa qué valores tienen $Q$ y $R$, pero en este caso observamos la combinación en donde ambos son falsos, eso no afecta el resultado) y las celdas coloreadas (que son aquellas que deseamos comparar) no coinciden. Es decir no pueden ser equivalentes porque existe al menos un caso en donde no coinciden en su tabla de verdad.

De manera similar, para probar que $\neg P \land (\neg Q \land \neg R)$ no es equivalente a $\neg (P \lor (Q \land R))$ daremos un caso en donde no se da la igualdad en las tablas de verdad. Nota que $\neg P \land (\neg Q \land \neg R) \equiv \neg P \land \neg ( Q \lor R)$ y a su vez, $\neg P \land \neg ( Q \lor R) \equiv \neg (P \lor (Q \lor R))$. Ahora veamos el caso particular en la siguienta tabla de verdad:

$P$$Q$$R$$Q \land R$$P \lor (Q \land R)$$\neg (P \lor (Q \land R))$$Q \lor R$$ P \lor (Q \lor R)$$ \neg (P \lor (Q \lor R))$
$0$$1$$0$$0$$0$$1$$1$$1$$0$

Esto termina el problema.

$\triangle$

¿Cómo le hicimos en la segunda parte para «sacar de la manga» los valores de verdad de $P$, $Q$ y $R$ que nos ayudarían a verificar que las proposiciones no eran equivalentes? La intuición fue la siguiente:

Quisiéramos un caso en que no coincidieran los valores, uno que fuera verdadero y otro falso. Veamos cómo se comporta $\neg (P \lor (Q \land R))$. Para que esta no sea equivalente a la segunda proposición, deberíamos pensar que una es verdadera y la otra falsa. Le asignaremos un valor de verdad a la primera proposición, digamos que es verdadera (entonces la segunda proposición sería falsa), y como hay una negación delante entonces $P \lor (Q \land R)$ debería ser falsa. Pon atención que tenemos un $\lor$ adentro de la expresión, el cuál es falso si las dos proposiciones que conectan son falsas, así que piensa en qué necesitan para ser falsas, y date cuenta que requieren las siguientes dos condiciones:

  • $P$ falsa
  • $Q$ o $R$ falsa

A fuerza, $P$ debe ser falsa, así que no le movemos más.

Por otro lado, vamos a ver cómo se comporta $ \neg (P \lor (Q \lor R))$. Recuerda que pensamos en un caso en que no coincidan los valores de verdad de las fórmulas proposicionales, y si quedamos en que la primera proposición era verdadera, entonces esta es falsa, lo cual haría a $P \lor (Q \lor R)$ verdadera. Además también dijimos que $P$ es falsa, entonces para que toda la fórmula proposicional sea verdadera, tendremos que hacer que $Q \lor R$ sea verdadera. Alguna de estas dos es falsa (también era una condición que establecimos para la veracidad de la primera fórmula proposicional), digamos que $R$ es la falsa, entonces $Q$ es verdadera. De esta manera obtuvimos el ejemplo que hacía las fórmulas proposicionales diferir en alguna combinación de valores de verdad.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Completa la tabla de verdad para verificar que $\neg (\neg P \land (Q \land R))$ no es equivalente a $\neg (P \lor (Q \land R))$. Observa cómo en todas los renglones en donde $P$ es verdadero, $\neg (\neg P \land (Q \land R))$ es distinto a $\neg (P \lor (Q \land R))$.
  2. Completa la tabla de verdad de$ \neg (P \lor (Q \lor R))$ junto a $\neg (P \lor (Q \land R))$. ¿Existen otros casos en donde sus valores de verdad sean distintos?

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»